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Elettrostatica

Prof. Sergio Catalanotti Corso di Fisica - Elettrostatica 2

La forza di Coulomb

Consideriamo due cariche elettriche puntiformi ferme Q e q poste a distanza R

Tra di esse si sviluppa una forza detta Forza di Coulomb

Intensità:

Direzione:

Verso: Repulsiva se le cariche hanno ugual segnoAttrattiva se le cariche hanno segno diverso

Retta congiungente le due cariche

204

1

R

qQF

In formula si scrive: RR

qQF

3

04

1


Consideriamo una carica Q ed una seconda carica q. Dovunque poniamoquesta seconda carica essa sarà soggetta alla forza di Coulomb

Le linee di flusso

Q

q

q

Possiamo allora costruire una curva tangente inogni punto alla forza agente sulla carica q edotteniamo una serie di linee che prendono il nomedi

Linee di flusso

Data la struttura della forza di Coulomb le linee diflusso prodotte da una carica Q hanno unastruttura radiale, uscente se la carica è positiva edentrante se la carica è negativa

+


Per il momento trascuriamo l’aspetto vettoriale e focalizziamo l’attenzione sullaintensità della forza di interazione coulombiana

204

1

R

qQF

Il campo elettrostatico

Possiamo separare i due termini della carica ottenendo

qR

QF

204

1

Ed immaginare che la presenza della forza sia dovuta ad una modifica delleproprietà dello spazio indotta dalla carica Q e subita dalla carica q.

Definiamo quindi il campo elettrico prodotto dalla carica Q come

204

1

R

QE


Come abbiamo costruito, a partire dalla forza di Coulomb, le linee di flussopossiamo costruire, per il campo elettrico, le

Le linee del campo

Linee del campo elettrico

+ -

Linee del campo elettrico peruna carica positiva

Linee del campo elettrico peruna carica negativa


E’ possibile dimostrare che la forza di Coulomb è una forza conservativa.

L’energia potenziale

Si può allora definire l’energia potenziale associata alla forza elettrostatica

Utilizzando come riferimento un punto all’infinito si ottiene che l’energiapotenziale è data dalla formula

r

qQrU

04

1)(

Se anche in questo caso si separa il termine associato alla sorgente (la caricaQ) da quello associato al rivelatore (la carica q) si ottiene

qrVqr

QrU )(

4

1)(

0

ove abbiamo fatto uso del

Potenziale elettrico V(r)


Il potenziale elettrico appena definito è una grandezza estremamente utile pertrattare molti problemi elettrici principalmente poiché essa è uno scalare per cuiil potenziale elettrico prodotto da una somma di cariche si determina facilmentecome somma dei potenziali elettrici prodotti da ognuna delle singole cariche.

Il potenziale elettrico

Volt

Nel sistema MKS esso si esprime in

Poiché il potenziale elettrico è associato all’energia potenziale anche per essovale la regola che la sua definizione è legata alla scelta di un punto arbitrario,con potenziale nullo.

Il legame tra campo elettrico e differenza di potenziale si determina facilmentedalla relazione

B

A

ldEBVAV


Come abbiamo appena visto

Le linee equipotenziali

-

r

QrV

04

1)(

Di conseguenza le linee di ugual potenziale hanno una struttura sferica.

Tutti i punti che hanno una uguale distanza dallacarica hanno lo stesso potenziale per cui unacarica posta in uno qualsiasi di questi punti ha lastessa energia potenziale.

Di conseguenza una qualunque carica che sisposta lungo la linea equipotenziale non varia lasua energia e quindi su di essa il campo di forzeelettriche non compie alcun lavoro.


Consideriamo ora non più una singola carica ma due cariche, di modulo ugualema di segno opposto, posti a distanza d:

Il dipolo elettrico

+--q-q +q

d

Un sistema di questo tipo viene detto:

Dipolo elettricoLa retta passante per le due cariche viene detta

Asse del dipolo


Un dipolo elettrico ha carica complessiva nulla ma se consideriamo il campoprodotto da ognuna delle due cariche osserviamo che si viene a generare uneffetto di campo elettrico se ci si trova a breve distanza.

Il campo di dipolo elettrico

Come si osserva dalle linee delcampo l’effetto è presente nelleimmediate vicinanze del dipolo madiminuisce man mano che ci siallontana, in particolar modo se ci siallontana in direzione perpendicolareall’asse di dipolo

A media distanza, quindi, un effetto dicampo elettrico da dipolo lo si puòosservare solo lungo l’asse del dipolostesso.


Consideriamo due cariche +q e –q poste a distanza d ed un punto qualsiasi Pposto a distanza r1 ed r2 dalle due cariche.

Il potenziale di dipolo elettrico

Ognuna delle due cariche genera nel punto P un proprio potenziale elettrico.Essendo il potenziale uno scalare, il potenziale totale è e semplicemente lasomma algebrica dei due potenziali:

210

11

4)(

rr

qPV

-q +qd

P

r2r1

rθ

Se ci si pone a grande distanza,ovvero se

r >> d

la formula precedente si semplifica in

20

cos

4)(

r

dqPV


Consideriamo due cariche +q e –q poste a distanza d ed un punto qualsiasi Pposto a distanza r dal centro delle due cariche.

Il momento di dipolo elettrico

dqp

Con questa definizione il potenziale elettrico prodotto a grande distanza da undipolo elettrico diviene

304

1)(

r

rpPV

+q-qd

Indichiamo con d il vettore che ha origine nella carica negativa e termine inquella positiva.Definiamo

Momento di dipolo elettrico


Osserviamo attentamente l’ultima equazione:

Il momento di dipolo elettrico

304

1)(

r

rpPV

Possiamo notare che il potenziale è nullo perpendicolarmente all’asse deldipolo mentre assume i valori massimi lungo questo asse.In questo caso il potenziale diviene

204

1)(

r

pPV

mentre il campo elettrico in questa situazione è proporzionale a

3

1)(

rPV

e quindi cala a zero più rapidamente di quanto non accada per il campoelettrico prodotto da una singola carica


Il flusso del campo elettricoConsideriamo una regione dello spazio nel quale esiste un campo elettrico E.

dS

E

Immaginiamo ora una superficie nello ed indichiamo con dS un vettoreperpendicolare alla superficie, di intensità proporzionale all’area della superficie.Definiamo ora una nuova grandezza fisica detta:flusso di campo elettrico uscente da una superficiecome:

SdEd

Per una superficie finita S avremo allora:

S

SdE


Il teorema di GaussConsideriamo una regione dello spazio nel quale esiste un campo elettrico Eprodotto da una qualsiasi distribuzione di carica.Immaginiamo ora una superficie chiusa generica. E’ possibile dimostrare chevale il

Teorema di Gauss

ovvero:

i

S

QSdE0

1

Il flusso di campo elettrico uscente da una qualunque superficie chiusa èproporzionale alla sola carica complessivamente presente all’interno della

superficie:

Ove Qi è la carica complessivamente presente nel volume delimitato dallasuperficie S.


Il campo elettrico nei conduttoriConsideriamo un materiale conduttore e limitiamoci a considerare la situazionein elettrostatica, ovvero quando non c’è movimento di caricheSappiamo che in un conduttore esistono elettroni liberi di muoversi per cui seesiste un campo elettrico questi nel seguono le linee.Poiché abbiamo detto di limitarci al caso dell’elettrostatica possiamo concludereche all’interno di un conduttore non ci sono cariche nette e che quindi questepossono esistere solo sulla superficie esterna.

Prendiamo ora una qualunque superficie chiusa che sia contenuta all’internodel conduttore. Per quanto abbiamo detto la carica netta totale contenuta inquesta superficie è nulla e, per il teorema di Gauss, sarà nullo anche il flusso dicampo elettrico uscente da questa superficie generica.Data la genericità della superficie possiamo concludere che all’interno di unqualsiasi conduttore è sempre:

0E


Gauss per calcolare il campoIl teorema di Gauss è molto utile per determinare il campo elettrico prodotto daalcune distribuzioni di caricheConsideriamo ad esempio un filo di lunghezza infinita uniformemente carico,tale cioè che preso un qualunque elemento di lunghezza dl la caricaaccumulata sia pari a

dldq ove λ è la densità lineare di carica elettrica.Data la simmetria del problema possiamo affermare che il campo elettricoprodotto ha una simmetria cilindrica, ovvero comunque si consideri unasuperficie cilindrica con centro nel filo, il campo elettrico sarà costante su tuttala superficie e di direzione perpendicolare alla superficie stessa.Possiamo utilizzare questa simmetria per applicare il teorema di Gauss ondedeterminare il campo elettrico prodotto dal filo uniformemente carico.


Il campo elettrico di un filoPrendiamo allora in considerazione un cilindro di raggio R, centrato nel filo, e dilunghezza pari ad L

ELR2

Applichiamo ora a questa superficie il teorema diGauss

0i

S

QSdE

Per quanto abbiamo detto sulla direzione del campo elettrico possiamo dedurreche il flusso di campo elettrico uscente dalle superfici laterali è nullo mentrequello uscente dalla superficie curva è

LQ D’altra parte la carica contenuta nel cilindro è:

RE

02

e quindi

L


Il campo elettrico di un pianoPrendiamo ora in considerazione un piano infinito uniformemente carico condensità superficiale di carica σ

ES2

Sempre per motivi di simmetria possiamo dedurre che il campo elettricoprodotto è diretto perpendicolarmente al piano e può, eventualmente, dipenderesolo dalla distanza dal piano

SQ D’altra parte la carica contenuta nel parallelepipedo è:

e quindi

Se allora prendiamo una parallelepipedo con due facce parallele al piano edapplichiamo il teorema di Gauss possiamo dedurre che il flusso di campoelettrico uscente dalle quattro superfici laterali è nullo mentre quello uscentedalle due superfici parallele al piano è

02

E


Il campo elettrico tra due pianiPrendiamo ora in considerazione due piani infiniti posti paralleli a distanza d eduniformemente carichi con densità superficiale di carica +σ e -σ rispettivamente

Ognuno dei due piani produce da ambo i lati un campoelettrico di intensità pari a

02

E

I due campi elettrici sono prodotti da cariche di segnoopposto per cui nelle due regioni esterne essi siannullano a vicenda mentre nella regione interna sisommano

Avremo pertanto la seguente situazione: 0E

0E

Regione interna

Regioni esterne

L

+ -


La capacità elettricaConsideriamo un qualunque corpo carico elettricamente con carica Q.Nello spazio circostante esso genera un campo elettrico cui può essereassociato un potenziale V(r).Di conseguenza esso stesso si viene a porre ad un potenziale V, rispetto ad unriferimento arbitrariamente scelto.Questo potenziale V del corpo può essere collegato alla carica Q del corpodalla relazione:

VCQ dove la grandezza C, qui definita, viene detta

Capacità elettricaLa capacità viene espressa, nel sistema MKS, in

Farad


Il condensatore elettricoPrendiamo in considerazione due qualsiasi corpi metallici, carichi elettricamentecon +Q e –Q rispettivamente, con interposto il vuoto.Ognuno di questi corpi, a causa della carica presente su di essi, si pone ad undeterminato potenzialePoiché le cariche accumulate sono uguali in valore ma di segno opposto i duecorpi si porranno a potenziale +V e –V rispettivamente.

12 VVCQ

Condensatore elettrico

Ed il valore della sua capacità si determina dalla relazione

Un sistema di questo tipo viene detto


Il condensatore a facce pianeCome esempio di condensatore consideriamo due piani metallici carichielettricamente con densità +σ e –σ rispettivamente, con interposto il vuoto.Come abbiamo visto precedentemente questa doppia distribuzione di caricaproduce un campo elettrico solo nella regione intermedia, con valore

Possiamo allora determinare la differenza di potenziale tra le due superfici

QS

ddldEBVaV

B

A 00

0E

ove abbiamo espresso la carica totale come prodotto della densità per l’areaRicordando la definizione di capacità otteniamo che in questo caso

S

dC

0


Energia del campo elettricoConsideriamo un condensatore di capacità C e determiniamo quanto lavorooccorre spenderlo per caricarlo. Questo lavoro corrisponderà all’energia(potenziale) accumulata nel condensatore.Supposto che il condensatore sia già caricato con Q e quindi presenti unadifferenza di potenziale tra le due armature pari a V, determiniamo quantolavoro occorre fare per incrementare la carica di una quantità dq.

dqVdL

2

00 2

1VCdVCVdQVL

VQ

e di conseguenza:

Riferendoci al caso di un condensatore a facce piane e parallele possiamoscrivere che

d

SCedEV

0


Energia accumulata nel condensatoreAbbiamo visto, nella diapositiva precedente che l’energia accumulata in uncondensatore a facce piane e parallele vale

dS

2

0

22

0

2

2

1

2

1

2

1EdSdE

d

SVCU

Ma il volume dello spazio tra le due armature, dove esiste il campo elettrico, èpari al prodotto

e di conseguenza la densità di energia associata ad un campo elettrico è pari a

2

02

1E

dS

Uu


Consideriamo ora cosa accade ad un atomo

Le proprietà elettriche della materia

Esso può essere considerato come un nucleo centralecostituito da particelle cariche positivamente (i protoni)e da particelle neutre (i neutroni).Intorno al nucleo abbiamo una nuvola elettronicacarica negativamente. Le diverse funzioni diprobabilità degli elettroni costituiscono i cosiddettiorbitali.Di regola, pertanto un atomo è elettricamente neutro ma il fatto che le carichepositive sono distribuite distinte da quelle negative fa sì che l’atomo possaprodurre intorno a se un campo di multipolo, in particolare possiamo riferirci aquello di dipolo.L’accoppiamento di più atomi sino a formare le molecole deforma ulteriormentegli orbitali e può pertanto generare un campo di multipolo anche intenso.

++

++-


Momento dipolare molecolareacqua metanolo Acido cloridrico

H

HO

1.85 D

OH CH3

1.71 D

ClH

1.08 D

ammoniaca Diossido di carbonio Tetracloruro di carbonio

1.85 D 1.71 D 1.08 D

HH

NH

1.47 D 0 D 0 D

O = C = OCl Cl

C

Cl

Cl

Il momento di dipolo è espresso in unità Debye: 1 D = 3.336×10-30 C m


Come si è visto nella diapositiva precedente alcune molecole hanno unmomento di dipolo proprio e vengono dette

Il momento di dipolo

mentre altre non posseggono un proprio momento di dipolo

molecole polari

In condizioni normali, ovvero in assenza di un campo elettrico esterno, accadeperò che tutte le sostanze, anche quelle costituite da molecole polari, nonpresentino alcun momento di dipolo complessivo.

Ciò perché in assenza di sollecitazioni esterne i singolo dipoli, eventualmentepresenti, sono orientati in maniera totalmente casuale e pertanto si elidono avicenda

In presenza di un campo esterno, invece, la situazione cambia poiché entra inazione un effetto detto di

Induzione elettrostatica


Consideriamo una molecola polare.

Polarizzazione per orientamento

Come abbiamo già detto, in assenza di campo elettricoesterno i singoli dipoli delle diverse molecole sonoorientati a caso e cambiano continuamente orientazionea causa dell’agitazione termica delle molecole stesse. Ilmomento totale risultante è nullo.In presenza di un campo esterno, invece, ogni singolodipolo tende a privilegiare una orientazione associata aquella del campo esterno e pertanto compare unmomento di dipolo complessivo diverso da zero.

L’agitazione termica tende a contrastare questocomportamento ma in realtà riesce solo a diminuirnel’effetto.Poiché il momento di dipolo totale è stato causato da unorientamento privilegiato dei singoli momenti si parla di

Polarizzazione per orientamento


Consideriamo una molecola non polare.

Polarizzazione per deformazione

Polarizzazione per deformazione

++

++-

++

++-

In assenza di un campo elettrico esterno il momento didipolo è nullo.

In presenza di un campo elettrico esterno lestrutture orbitali risentono l’effetto del campo e sideformano.

Compare allora un momento polare indotto dalcampo elettrico esterno e si parla di


I materiali che abbiamo appena descritto hanno la caratteristica chepraticamente tutti gli elettroni sono strettamente legati ai loro nuclei e soloalcuni, a causa dell’energia termica, sono liberi di saltare da un atomo all’altro.

Materiali isolanti e conduttori

IsolantiQuesti materiali sono detti

Vi è, in natura, un altro tipologia di materiali per i quali in ogni atomo esistonoelettroni che a causa dell’energia termica, sono capaci di svincolarli dal lorolegame atomico e pertanto saltano continuamente da un atomo all’altro.Questi materiali sono detti

Conduttori

Normalmente, in assenza di un campo elettrico esterno, il moto di questielettroni è completamente casuale e pertanto ogni singola porzione delmateriale è elettricamente neutra.


Consideriamo una materiale conduttore.

Polarizzazione dei conduttori

In assenza di un campo elettrico esterno il movimentodegli elettroni liberi è casuale ed ogni parte del materialeè elettricamente neutra

In presenza di un campo elettrico esterno i singolielettroni, sotto l’azione della forza elettrostatica,privilegeranno il moto lungo l’asse del campoelettrico.Si avrà allora una tendenza degli elettroni a localizzarsi verso l’origine delcampo elettrico che pertanto risulterà carica negativamente; di conseguenza laregione opposta risulterà povera di elettroni e pertanto risulterà caricapositivamente

- +---

-+++

+


Polarizzazione per induzione

+ - ++++++-----

Per quanto abbiamo sinora detto possiamo notareche se consideriamo un corpo carico esso genera,nello spazio circostante, un campo elettrico.Se avviciniamo ad esso un qualunque materiale,inizialmente neutro dappertutto, il campo elettricoinduce una polarizzazione per cui si genererà unacarica elettrica negativa in prossimità dellasorgente del campo e positiva nella direzioneopposta.

Ciò accade qualunque sia la natura del materiale.Sappiamo però che nel caso dei materiali isolanti questa polarizzazione noncorrisponde ad una effettiva separazione della carica ma solo alla disposizionedei singoli dipoli. In un conduttore, invece, si ha una vera e propria separazionedelle cariche elettriche.


Conduttore o isolante?Per poter distinguere tra i due tipi di materialioccorre generare l’induzione in un blocco dimateriale spezzato in due parti.Sotto l’azione del campo esterno il blocco sipolarizza.

+ ------++++++

Separiamo ora le due parti ed allontaniamo lasorgente del campo elettrico

Per un materiale isolante, nel qualenon c’è stata una vera separazionedi cariche i due frammenti nonpresenteranno alcuna caricaelettrica.

Per un materiale conduttore,invece, la separazione dellecariche è reale e pertanto ognunodei due frammenti risulterà caricoelettricamente

- -- ---

++ ++ ++-----

++

+++


Polarizzazione di un dielettricoConsideriamo ora un materiale isolante posto in una regione dello spazio nelquale esista un campo elettrico E, per semplicità, supposto costante.Ad esempio possiamo pensare a due superfici piane e parallele su ognuna dellequali sia accumulata una carica (+Q e –Q rispettivamente).Nello spazio compreso tra le due superfici si genera un campo elettrico costantee perpendicolare alle superfici stesse, di intensità

Per quanto detto precedentemente ilmateriale si polarizza e quindi vengonoa crearsi, sulle superfici estremedell’isolante, delle cariche elettrichenette diverse da zero mentre all’internole cariche opposte dei dipoli adiacenti siannullano a vicenda.

0E


Vettore polarizzazioneLa polarizzazione del dielettrico porta alla creazione di un nuovo vettore cherappresenta l’ordinamento (o la deformazione) dei dipoli elementari di cui ècostituita la materia.Per definire questo nuovo vettore consideriamo il momento di dipolo di ogniatomo (orientato o deformato) lungo la direzione del campo elettrico.Moltiplicando questo momento di dipolo dei singoli atomi per il numero di dipolielementari per unità di volume abbiamo il vettore

PolarizzazionepnP

La direzione di questo vettore è parallela a quella del campo mentre il suo versoè parallelo al campo stesso.All’interno del dielettrico, quindi, è presente sia un campo elettrico E che unapolarizzazione P.


Cariche libere e polarizzateIndicando con

PLIBPOLLIB

Sappiamo, peraltro, che il campo elettrico tra le due piastre vale

LIB

la densità superficiale di cariche (libere) accumulate che hanno generato ilcampo, e con

PPOL

la densità superficiale di cariche di polarizzazione possiamo osservare cheall’interno dell’isolante la densità di carica netta è data dalla somma algebrica(aritmeticamente la differenza) delle due densità di cariche e quindi

00

P

E LIB


Vettore spostamento elettricoDi conseguenza

Possiamo allora definire una nuova grandezza, il vettorespostamento elettrico

definito come

PELIB 0

e di conseguenza

LIBD

PED 0


Suscettività e permettività

EP e

0

In molti materiali (ma non è sempre vero) il vettore polarizzazione è paralleloal vettore campo elettrico risultante nel materiale e di conseguenza possiamoscrivere:

dove ce è una costante adimensionata detta suscettività elettrica, chedipende dal materiale.Possiamo allora scrivere

EEEEPED ee

10000

avendo definito lapermettività (o costante dielettrica) del mezzo

e 10


Effetti della permittivitàIn chimica, particolarmente importante risulta la valutazione della permittivitàelettrica che caratterizza un dato solvente, in quanto questa grandezzapermette di stabilire quale solvente sia più opportuno per portare in soluzioneun dato soluto.Ad esempio, l’acqua è uno dei solventi polari che possiede permittivitàelettrica relativa molto elevata (78.5) ed è perciò in grado di solubilizzare icomposti ionici o fortemente polari. Solo alcuni acidi acquosi molto fortipossiedono una permittività elettrica superiore all'acqua es: acido nitrico,acido perclorico.Di contro il benzene, con valore della costante dielettrica relativa 2.30, risultaun solvente molto utile per ottenere soluzioni di composti organici poco polari(o apolari) e non idrosolubili.L’etanolo è un solvente con caratteristiche intermedie, possedendola pari a28.In conclusione più è elevata la permittività elettrica di un solvente, maggiore èla sua solubilità nei confronti di elettroliti.

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