Eletrodinâmica de Podolsky Aplicada à Cosmologia · RESUMO...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS

Clícia Naldoni de Souza

Eletrodinâmica de Podolsky Aplicada àCosmologia

Poços de Caldas/MG2016

Clícia Naldoni de Souza

Eletrodinâmica de Podolsky Aplicada àCosmologia

Dissertação apresentada como parte dos re-quisitos para obtenção do título de Mestreem Física pelo Programa de Pós Graduaçãoem Física da Universidade Federal de Alfenas.Área de concentração em Física de Partículase Campos.Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Rocha Cuzi-natto

Poços de Caldas/MG2016

S729e Souza, Clícia Naldoni de.

Eletrodinâmica de Podolsky aplicada à cosmologia / Clícia Naldonide Souza. – Poços de Caldas, 2016.

96 f. –

Orientador: Rodrigo Rocha Cuzinatto. Dissertação (Mestrado em Física) – Universidade Federal de

Alfenas, Poços de Caldas, MG, 2016.Bibliografia. 1. Cosmologia. 2. Maxwell, Equações de. 3. Eletrodinâmica. I.

Cuzinatto, Rodrigo Rocha. II. Título.

CDD: 523.1

Dedico este trabalho aos curiosos e a você leitor.

AGRADECIMENTOS

À minha mãe Wilma, pois sem sua contínua motivação e suporte para que euprosseguisse estudando, eu não teria sido capaz de alcançar meus objetivos.

À minha mãe biológica, Vânia Naldoni (in memoriam), por ter me mostrado aimportância de sermos autênticos.

Ao Daniel Oftedal, meu noivo e amigo, pelo amor, cuidado e carinho nesses doisúltimos anos. Sem seu suporte, o caminho seria mais árduo.

Ao meu orientador e amigo Prof. Dr. Rodrigo Cuzinatto, pelo seu suporte contínuodesde o primeiro ano da minha graduação até o presente momento. Agradeço sua paciência,motivação e por muitas vezes me prevenir dos obstáculos que estariam por vir. Eu tambémagradeço ao professor Rodrigo por ter me apresentado às maravilhas do mundo da físicateórica, mais especificamente, por ter me dado a oportunidade de trabalhar nessa área tãofascinante que é a cosmologia.

Ao Prof. Dr. Cassius, por também estar ao longo do meu percurso desde o primeiroano de graduação. Agradeço sua imensa ajuda, seus comentários que sempre foram degrande valia para meu enriquecimento e por ter me ensinado desde matemática computa-cional até mecânica analítica. Seu entusiasmo e seu grande conhecimento são inspiradores.

Ao Prof. Dr. Léo, pelas incontáveis reuniões e conversas sobre o universo primordial,sendo o principal colaborador do presente trabalho e sem sua ajuda, essa dissertação seriamenos rica.

Ao Prof. Dr. Pimentel, por ter nos recebido no IFT e ter acrescentado de formasignificativa a este trabalho.

Ao Prof. Dr. Gardim, por ter me mostrado que física e literatura podem andarjuntas e por me ensinar eletrodinâmica de uma forma criativa. Agradeço-o também porter aceitado ser membro da banca examinadora do presente trabalho.

Ao Prof. Dr. Gustavo, por me ter me ensinado eletromagnetismo ainda na graduaçãoe, depois, mecânica estatística, contribuindo assim, imensamente para o meu conhecimento,para que eu tivesse capacidade de realizar este trabalho. Agradeço-o também pelo seuentusiasmo e prestatividade com todos os seres que passam por sua vida.

Ao Edu, por ter me ensinado a trabalhar com análise numérica, pelas conversasenriquecedoras, por me salvar inúmeras vezes quando havia problema com os gráficos epor sempre se dispor a me ensinar.

Ao meu tio Valter Amoedo, por ter me ensinado ainda na minha infância que omundo não era o limite.

Ao tio Walter e à tia Wanda, por terem colocado as fitas cassete de Cosmos paraeu assistir enquanto os adultos conversavam.

À May, por ter me ajudado a me tornar uma pessoa mais humana e por suaamizade.

À Gabi, por me ajudar a ter uma vida social durante o mestrado. Sua alegria,disposição e amizade são de grande valia para meu ser.

À Paula Sato, pela amizade e pelas conversas frutíferas sobre didática e sobre avida.

Ao Tavio, por sua amizade, companhia nos estudos e nas conversas filosóficas.Ao Pedro, pela amizade e conversas enriquecedoras sobre psicologia.À Naty, pela paciência, presença e amizade. Por ter tirado minhas dúvidas em

análise química e daí, firmamos uma amizade duradoura.À Paty Gonçalves, pela amizade e por acompanhar nas comidas vegetarianas.Aos meus amigos e orientadores ao veganismo: Jessica, Cardim, Manucci, Raquel e

Marcella.Ao Silas, pela amizade, incentivo e por ter me falado do ninjutsu.À Aline e ao Mário, pela amizade, conversas transcendentais e jantas maravilhosas.À Ana Lúcia, por me ajudar me entender melhor.Ao William de Oliveira, por ter me ensinado técnicas de oratória.À Sabrina e ao George, fundadores da escola de negócios e coworking UpStairs,

por cederem o espaço para eu trabalhar nos últimos meses de conclusão desta dissertação.Agradeço-os também por, em pouco tempo, terem me dado as ferramentas e oportunidadespara me desenvolver como ser humano. Sem falar das conversas frutíferas com meuscoworkers: Dai, Júlio, Andress e Marcelo. Valeu pessoal!

Às meninas da república Bruna e Bia, pela coexistência.À CAPES, pelo apoio financeiro.A todos que de alguma forma contribuiram para a realização deste trabalho e para

o meu desenvolvimento pessoal, direta ou indiretamente nesses últimos dois anos da minhavida.

“And in the end it is not the years in your life that count, it’s the life in your years.”Abraham Lincoln

“Conheça todas as teorias, domine todas as técnicas, mas ao tocar uma alma humana, sejaapenas outra alma humana.”

Carl Jung

RESUMO

O mesmo procedimento estabelecido em teoria dos campos clássicos que nos leva a deduziras equações de Maxwell, também conduz à eletrodinâmica de Podolsky, desde que aLagrangia envolva derivadas do tensor intensidade de campo. A partir das equações decampo para Podolsky, que apresenta uma constante de acoplamento a associada à massado fóton, é possível deduzir a equação de estado para a radiação de Podolsky. Essaequação é do tipo P = w (a, T ) ε, em que P é pressão do gás fotônico; ε, a sua densidadede energia e w é o parâmetro da equação barotrópica que depende da temperatura T ,além da massa do fóton. Usando essa equação de estado na expressão de conservaçãodo tensor energia-momento de fluido perfeito e na equação de Friedmann, é possívelresolver a dinâmica cósmica para um universo preenchido pela radiação de Podolsky.Mostramos que a dinâmica é pouco afetada pela presença de fótons massivos, uma vezque 0, 282 < wPodolsky < wMaxwell = 1/3 para qualquer valor de T , ou equivalentente, dotempo cosmológico t. A correção de Podolsky para a lei de Stefan-Boltzmann é obtida paraqualquer valor de temperatura, descrevendo potencialmente desde o universo primordialaté o universo atual. Essa correção é relevante no intervalo 0 . ξ . 8 para o parâmetroadimensional ξ = βm. A máxima influência da massa do fóton acontece em ξref = 2, 899.Fora do intervalo referido intervalo de ξ, a dinâmica cosmológica de Podolsky tende àde Maxwell: nos limites de universo primordial (ξ 1) e universo atual/futuro (ξ 1),wPodolsky → wMaxwell e o fator de escala de Podoslsky vai com

√t, de maneira consistente

com um gás de fótons não massivos.Palavras-chave: Podolsky. Maxwell. Eletrodinâmica. Cosmologia.

ABSTRACT

The same procedure established by the classical field theory which leads us to Maxwell’sequations also leads to Podolsky’s electrodynamics provided that the Lagrangian containsderivatives of the field strength. With Podolsky’s field equations in hand, which has acoupling constant a associated to the photon mass, it’s possible to derive an equationof state for Podolsky’s radiation. The equation of state is of the type P = w (a, T ) ε,where P is the pressure of the photon gas; ε is its energy density and w is the barotropicparameter depending on the temperature T and the photon mass. If we use the equationof state in the fluid equation and afterwards in Friedmann’s equation, it’s possible tosolve the cosmic dynamics for a universe filled with Podolsky radiation. We show thatthe cosmic dynamics is not affected in a significant way by the massive photons, once0, 282 < wPodolsky < wMaxwell = 1/3 for any value of T , or equivalently of the cosmic time t.Podolsky correction to the Stefan-Boltzmann law is obtained for every T ; it potentiallydescribes the whole cosmic history. This correction is significant in the interval 0 . ξ . 8for the dimensionless parameter ξ = βm. The maximum influence of the photon masstakes place at ξref = 2, 899. Out the above interval for ξ, Podolsky cosmic dynamics tendsto the Maxwell’s one: the scale factor behaves as

√t in the limits corresponding to the

primeval universe (ξ 1) and present-day universe (ξ 1), when wPodolsky → wMaxwell.Keywords: Podolsky. Maxwell. Electrodynamics. Cosmology.

.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Gráfico de εεM

em função do parâmetro adimensional ξ. ε = εM érepresentado pela reta vermelha pontilhada e, se ε = εPod, obtém-se acurva preta.Fonte: Da autora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 2 – Gráfico da equação efetiva, w (ξ), para a Eletrodinâmica Generalizada(curva preta). Observamos o comportamento do parâmetro w da equaçãoefetiva de Podolsky. A reta vermelha pontilhada representa Maxwell ouw = 1/3. ξmin representa o ponto de maior influência de Podolsky, paraξmin = ξref = 2, 899, i.e., w (ξmin) = 0, 282.Fonte: Da autora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 3 – Gráfico do comportamento da variação do parâmetro de equação deestado (dw/dξ), onde a curva pontilhada vermelha representa a primeiraderivada de w em relação à ξ para Maxwell e a curva preta para Podolsky.Fonte: Da autora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 4 – Gráfico do fator de escala a completo em relação à ξ para Podolsky(curva preta) e para Maxwell.Fonte: Da autora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 5 – Gráfico do tempo adimensional τ em função de ξ para Podolsky.Fonte: Da autora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 6 – Fator de escala a em função do tempo cósmico τ para Maxwell (curvavermelha pontilhada) e para Podolsky (curva preta).Fonte: Da autora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – História térmica do universo. Adaptado de (ELLIS,2012) . . . . . . . . 28Tabela 2 – Limites para a massa de Podolsky de acordo com a literatura recente.

As letras na última coluna indicam respectivamente: D. para o eventode desacoplamento de neutrinos, T. para transição quark-hadron e U.para unificação eletrofraca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Tabela 3 – Solução da dinâmica cósmica considerando um universo plano respei-tando a métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker para diversoscomponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

SUMÁRIO

1 A TEORIA ELETROMAGNÉTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1 O paradigma Maxwelliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Eletrodinâmica de Podolsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Limites experimentais para a massa de Podolsky . . . . . . . . . . . 26

2 MECÂNICA ESTATÍSTICA BOSÔNICA . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 Função de partição de um gás de fótons massivos . . . . . . . . . . . 34

2.2 Obtenção das propriedades termodinâmicas sem aproximação . . . 35

3 ESTRUTURA GERAL DA DINÂMICA CÓSMICA . . . . . . . . . . 37

3.1 As equações básicas da cosmologia física . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Equação do Fluido para Podolsky: equação a(T ) . . . . . . . . . . . 40

3.3 Equação de Friedmann para Podolsky: equação t(T ) . . . . . . . . . 41

4 SOLUÇÕES APROXIMADAS PARA A DINÂMICA CÓSMICA . . 43

4.1 A aproximação βm 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 A densidade de energia para altas temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1.2 A pressão para altas temperaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.3 Pressão em função da densidade de energia: P (ε) . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.4 Equação de Fluido: a equação de ε(a) no limite βm 1 . . . . . . . . . . 47

4.1.5 Equação de Friedmann: a equação de a(t) no limite βm 1 . . . . . . . . 48

4.1.6 A aproximação βm 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1.7 A densidade de energia para altas temperaturas: βm 1 . . . . . . . . . . 49

4.1.8 A pressão para temperaturas finitas: βm 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.9 Relação entre a pressão e densidade de energia no regime de temperaturafinita: βm 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 SOLUÇÃO COSMOLÓGICA COMPLETA E ANÁLISE DE SUA DI-NÂMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

APÊNDICES 69

APÊNDICE A – EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DA ELETRODI-NÂMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A.1 Equação de Movimento da Eletrodinâmica Maxwelliana . . . . . . . 71A.2 Equação de Movimento da Eletrodinâmica de Podolsky . . . . . . . 73

APÊNDICE B – CONSIDERAÇÕES SOBRE UM GÁS DE FÓTONS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

APÊNDICE C – INTEGRAIS IMPORTANTES . . . . . . . . . . . 83C.1 Integral na forma

∫∞0 p2 ln

(1− e−βp

)dp . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

C.2 Integral na forma∫∞0 p2e−kβ

√p2+m2

dp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

19

INTRODUÇÃO

O físico e matemático escocês James C. Maxwell estabeleceu o paradigma da teoriaclássica de campos para a interação eletromagnética (JACKSON, 1999). Seu maior feitofoi unificar em quatro equações os resultados de Gauss, Ampère, Faraday e tantos outrosque estudaram os campos elétrico E e magnético B, entrelaçando fenômenos como luz,eletricidade e magnetismo numa mesma teoria. Suas equações preveem a existência deondas eletromagnéticas, revelam a natureza da luz e estabelecem com sucesso as basesda teoria de gauge mais simples que conhecemos. Apesar da eletrodinâmica de Maxwelldesempenhar um papel crucial para o desenvolvimento tecnológico da humanidade, existemteorias alternativas como por exemplo, as de Podolsky e Weber.

Um dos motivos principais que faz com que a teoria de Maxwell seja tão aceitapela comunidade científica, é que ela possui duas simetrias fundamentais da natureza: a deLorenz e a de gauge (BONIN et al., 2010). Por outro lado, em uma eletrodinâmica massivacuja Lagrangiana para o potencial vetor dependente apenas de Aµ e ∂νAµ a simetria degauge é quebrada (PROCA; GOUDSMIT, 1939), (CUZINATTO et al., 2011). Uma teoriamassiva que possui a simetria de Lorenz foi proposta por Boris Podolsky em 1942, e édenominada Eletrodinâmica Generalizada (PODOLSKY; SCHWED, 1948), (PODOLSKY,1942),(PODOLSKY; KIKUCHI, 1944). É importante notar que o eletromagnetismo dePodolsky depende de um parâmetro livre, a, que é proporcional à m−1, onde m é amassa do fóton. Esse parâmetro pode ser fixado a partir de experimentos ou observações(CUZINATTO et al., 2011), (BONIN et al., 2010). Portanto, se existir um modo massivopara o fóton, a eletrodinâmica de Podolsky é um dos candidatos para a descrição dainteração eletromagnética.

Um dos principais motivos de estudar eletrodinâmicas alternativas, é que existe nateoria Maxwelliana uma divergência na origem para um potencial de Coulomb clássicode uma carga pontual, sendo que para Podolsky, o potencial é finito em todos os pontos(PODOLSKY, 1942).

Interessa-nos estudar Podolsky num contexto cosmológico pois pode haver implica-ções geradas por uma era da radiação composta por fótons massivos. Isso pode gerar umanova física e lançar luz sobre alguns dos problemas da cosmologia moderna.

A teoria mais aceita é a de que o universo teve um início através do Big Bang epor isso, em geral a cosmologia tenta modelar o cosmos levando em consideração esseparadigma. Entretanto, o Big Bang traz consigo problemas. São problemas fundamentaisda cosmologia moderna: o problema da planura e o problema do horizonte. O problemada planura surge devido ao fato de que é sabido, através de dados observacionais, queo universo é aproximadamente plano hoje. Seguindo essa lógica, ele deveria ser aindamais plano no passado. Já o fato de que o universo é altamente isotrópico e homogêneo

20 SUMÁRIO

hoje, nos faz pensar que ele deveria ter sido assim no início também, apesar de queos domínios separados estiveram causalmente desconectados (SANOJA, 2010). Existemmuitos conceitos “estranhos” da cosmologia moderna como inflação, energia escura, formasexóticas de matéria denominada escura e até mesmo multiversos, que surgem da tentativade explicar o que pode-se observar atualmente ou na tentativa de solucionar os problemascitados: problema da planura e do horizonte.

Quando tentamos modelar um universo somente com radiação, descobre-se que asequações de Maxwell não conseguem descrever um universo isotrópico e homogêneo comuma distribuição de cargas total uniforme, pois o tensor de campo eletromagnético, Fµν ,num cenário deste tipo deveria desaparecer em todas as direções (LI, 2016). Entretanto,não é isso que acontece na eletrodinâmica Maxwelliana. Em um universo fechado comcarga total não nula, as equações de Maxwell falham independentemente da simetria doespaço-tempo e da distribuição de cargas. Daí a importância de estudar eletrodinâmicasalternativas em um contexto cosmológico, pois um modelo do universo primordial pode serdiferente do que o obtido estudando a cosmologia do modelo padrão. Segundo Branbergeret. al. (CAI et al., 2009), dado um modelo de Lee-Wick obtém-se um universo em bounce(ou em português rebote) e, é possível introduzir um potencial para um campo escalar eobter um período longo o suficiente de inflação depois de ter havido esse salto. Um modelodeste tipo, pode solucionar os principais problemas da cosmologia moderna. Lee e Wick(1969) (LEE; WICK, 1969b),(LEE; WICK, 1969a) trabalharam exatamente com o mesmoformato de eletrodinâmica massiva que Podolsky, com exceção de que fizeram isso de umamaneira mais ampla num contexto perturbativo de teoria de campos que Podolsky nãoteve possibilidade de fazer, pois na década de 40 os diagramas de Feynmann ainda nãoestavam consolidados. Em vista disso, pode ser que a eletrodinâmica de Podolsky tenhaalgum efeito no modelo de universo primordial.

A presente dissertação está organizada da seguinte forma. No Capítulo 1 fazemosuma breve discussão da eletrodinâmica de Podolsky. Falamos das motivações para estudá-la, passando pela construção da sua Lagrangiana, obtendo as equações de movimento parao potencial vetor, as condições de gauge para Maxwell e para Proca e também discutimosos limites experimentais para a massa de Podolsky. No Capítulo 2 discutimos a mecânicaestatística para um gás de fótons da eletrodinâmica de Podolsky, passando pela estatísticabosônica, construção da função de partição, incluindo a discussão dos graus de liberdadeinternos e também obtemos as propriedades termodinâmicas: pressão e densidade deenergia sem aproximação. Os reflexos da eletrodinâmica de Podolsky para a cosmologiaconstam no Capítulo 3, onde obtemos as equações diferenciais da dinâmica cósmica semaproximação. Devido ao fato de não termos encontrado uma solução analítica para essasequações diferenciais, são apresentados resultados obtidos através da análise numérica.Na busca por uma solução analítica, estudamos o limite de βm 1, que corresponde aocomeço da história térmica do universo, e o limite βm 1, que corresponde ao universo

SUMÁRIO 21

atual e seu futuro. Nessas considerações, β ≡ (kBT )−1 é o parâmetro de Boltzmann, T éa temperatura e kB é a constante de Boltzmann; m é a massa do fóton de Podolsky. Asconclusões dessa investigação são apresentadas no Capítulo 4. Finalmente, no Capítulo 5tecemos nossos comentários finais.

23

1 A TEORIA ELETROMAGNÉTICA

Para melhor apreciar a proposta generalizadora de Podolsky, convém lembrar osprincipais resultados da teoria de Maxwell para o campo eletromagnético. Isso é feito napróxima seção, que também serve para fixarmos a notação.

1.1 O PARADIGMA MAXWELLIANO

Existem quatro equações para o campo elétrico E e para o campo magnético B novácuo, denominadas Equações de Maxwell, onde não há densidade de cargas (ρ = 0) e adensidade de corrente é nula (j = 0). Na forma diferencial, as quatro equações de Maxwellsão:

∇ · E = 0,

∇ ·B = 0,

∇× E = −∂B∂t,

∇×B = µ0ε0∂E∂t.

(1.1)

A primeira equação do conjunto (1.1) refere-se à Lei de Gauss; a segunda, à ausência demonopólos magnéticos; a terceira, à Lei de Faraday e a quarta, à lei de Ampère-Maxwell.A beleza dessas equações está ligada ao fato de serem invariantes por transformações deLorentz, algo que só seria verificado depois do advento da Relatividade Especial, quandoas Eqs. (1.1) já estavam estabelecidas e haviam previsto a natureza e a velocidade depropagação da luz.

Sob as transformações de Lorentz:

x′µ = Λµν x

ν ,

(µ = 0, 1, 2, 3) com

(Λµν) =

γ −βγ 0 0

−βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

,

os campos E e B assumem as formas abaixo (GRIFFITHS, 2014):

E′

1 = E1, E′

2 = γ (E2 − vB3) , E′

3 = γ (E3 + vB2) ,

B′

1 = B1, B′

2 = γ(B2 −

v

c2E3

), B

′

3 = γ(B3 + v

c2E2

),

sendoγ = 1√

1− v2

c2

,

24 Capítulo 1. A Teoria Eletromagnética

e c é a magnitude da velocidade da luz. Essas transformações indicam que as componentesdos campos elétrico e magnético misturam-se quando passamos de um referencial inercialK para um outro referencial K ′ em movimento relativo uniforme de velocidade v =dxi

dt(i = 1, 2, 3) com respeito ao primeiro. Isso sugere a unificação dos campos elétrico e

magnético em um único tensor, chamado tensor intensidade de campo eletromagnético,que é a matriz 4× 4:

(F µν) =

0 E1 E2 E3

−E1 0 B3 −B2

−E2 −B3 0 B1

−E3 B2 −B1 0

. (1.2)

A matriz acima é também um tensor anti-simétrico: tensor porque obedece à lei detransformação (SABBATA; GASPERINI, 1985):

F ′µν = ∂x′µ

∂xα∂x′ν

∂xβFαβ; (1.3)

anti-simétrico pois, para as componentes da matriz (1.2), vale

Fµν = −Fνµ. (1.4)

Os campos E e B podem ser descritos em termos do potencial escalar φ e dopotencial vetor A:

B = ∇×A,

E = −∇φ− ∂A∂t.

Por isso, sabemos que os campos elétrico e magnético dependem das derivadas de Aµ =(φ,A) = (φ, A1, A2, A3). Logo, o tensor intensidade de campo eletromagnético pode serescrito como:

Fµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ, (1.5)

com a taquigrafia∂µ ≡

∂

∂xµ.

Com a definição (1.5), as equações de Maxwell na forma diferencial (1.1) podemser resumidas em:

∂µFµν = 0, (1.6)

que representam as leis de Gauss e de Ampère-Maxwell no vácuo, e

∂µFρσ + ∂σFµρ + ∂ρFσµ = 0, (1.7)

que são as equações de Faraday e de ausência de monopólos magnéticos. Essas duasequações são encontradas no Apêndice A.

1.2. Eletrodinâmica de Podolsky 25

1.2 ELETRODINÂMICA DE PODOLSKY

Apesar da aceitação da teoria Maxwelliana, o objetivo desta dissertação é apresentarnovas possibilidades para a aplicação da teoria eletromagnética no contexto da cosmologia.A Lagrangiana de Podolsky é:

LP = −14FµνF

µν + a2

2 ∂µFµν∂ζF

ζν . (1.8)

Consideremos o caso sem fonte, i.e., jµ = 0. O segundo termo depois da igualdade na Eq.(1.8) é justificado pela Teoria Quântica de Campos (PODOLSKY; KIKUCHI, 1944).

Da mesma forma que em Maxwell o tensor F µν é representado por (1.5):

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ.

O parâmetro livre a tem dimensões de m−1, onde m tem dimensão de energia.1 No limite|m| −→ ∞ recuperamos a densidade Lagrangiana de Maxwell dada pela Eq. (A.1) (BONINet al., 2010).

As equações de movimento associadas à LP = L (Aµ, ∂νAµ, ∂ρ∂νAµ) são:2

(1 + a2

)∂νF

νµ = 0, (1.9)

que generaliza a Eq. (1.6), e∂[µFρσ] = 0, (1.10)

que é a identidade de Bianchi, válida também para Maxwell, Eq. (1.7). Essas equações sãodeduzidas no Apêndice A.

Considerando (1.9) e (1.5), temos:(1 + a2

)∂µF

µν =(1 + a2

)(Aν − ∂µ∂νAµ) =

(1 + a2

)Aν −

(1 + a2

)∂ν∂µA

µ

(1.11)O segundo termo pode ser reescrito assim:

(1 + a2

)∂ν∂µA

µ = ∂ν (∂µAµ) + a2∂ρ∂ρ∂ν (∂µAµ) .

Como as derivadas ordinárias comutam, podemos fazer ∂ν aparecer à frente de todos ostermos no último membro. De fato,

(1 + a2

)∂ν∂µA

µ = ∂ν (∂µAµ) + a2∂ρ∂ν∂ρ (∂µAµ) = ∂ν

(∂µA

µ + a2∂ρ∂ρ∂µA

µ),

i.e. (1 + a2

)∂ν∂µA

µ = ∂ν[(

1 + a2)∂µA

µ].

1 Na presente dissertação usamos o sistema natural de unidades e a assinatura da métrica (+−−−)[vide (A.3)].

2 = ∂µ∂µ = ηµν∂

µ∂ν = c−2∂20 − ∂2

i .


Perceba que, sob a condição (GALVãO; PIMENTEL, 1988):

(1 + a2) ∂µAµ = 0 (gauge de Lorenz generalizado) , (1.12)

temos: (1 + a2

)∂ν∂µA

µ = 0 , (1.13)

de modo que o segundo termo do lado direito de (1.11) se anula:(1 + a2

)∂µF

µν =(1 + a2

)Aν . (1.14)

A condição (1.12) é chamada de gauge de Lorenz generalizado porque é válidapara a eletrodinânima generalizada de Podolsky. O nome dessa condição de gauge éapropriado pois, no caso da eletrodinâmica convencional de Maxwell, usamos o gauge deLorenz, ∂µAµ = 0, o qual é exatamente (1.12) com a = 0.

Usando (1.14) em (1.9), obtemos a equação de movimento da eletrodinâmica dePodolsky em termos de Aµ:

(1 + a2)Aν = 0 (equação de movimento) . (1.15)

Essa expressão permite ver existência de um modo massivo e um modo semmassa para o campo eletromagnético na teoria de Podolsky.3 Isso é feito empregando atransformada de Fourier de Aµ conforme segue. Seja:

Aν (xµ) =∫Aν (pµ) e−ipλxλd4p . (1.16)

Logo,

∂ρAν (xµ) =

∫A (pµ) e−ipλxλ ∂

∂xρ

(−ipλxλ

)d4p =

∫A (pµ) e−ipλxλ (−ipρ) d4p ,

ou seja, ganhamos uma fator (−ipρ) no integrando da transformada de Fourier quandoatuamos o operador de derivação ∂ρ sobre Aν . Acontece que há várias derivadas de Aν naequação (1.15); veja: (

1 + a2)Aν =

(1 + a2∂σ∂σ

)∂ρ∂ρA

ν = 0 .

Ao substituirmos (1.16) em (1.15), resulta:(1 + a2

)∂ρ∂ρ

∫Aνe−ipλx

λ

d4p = 0

(1 + a2

) ∫Aνe−ip

λxλ

(−ipλ∂xλ

∂xρ

)(−ipρ) d4p = 0

3 Todo o procedimento que segue deveria, a rigor, ser realizado com a equação de movimento com fontes,ao invés da Eq. (1.15). Com isso a separação do potencial vetor em um setor massivo e um setor nãomassivo segue de maneira dedutiva e sem ambiguidades.

1.2. Eletrodinâmica de Podolsky 27

(1 + a2

) ∫Aνe−ip

λxλ(−p2

)d4p = 0 ,(

1 + a2∂σ∂σ) ∫

Aνe−ipλxλ

(−p2

)d4p = 0 .

Agora, distribuímos a integral pelos dois termos do parênteses, escrevendo:∫Aνe−ip

λxλ(−p2

)d4p+ a2 ∂σ∂σ

∫Aνe−ip

λxλ(−p2

)d4p = 0 .

Por analogia aos passos anteriores, sabemos que vamos obter mais um fator (−p2) nointerior da segunda integral devido às derivadas ∂σ∂σ:∫

Aνe−ipλxλ

(−p2

)d4p+ a2

∫Aνe−ip

λxλ(−p2

) (−p2

)d4p = 0 ,

ou ∫Aνe−ip

λxλ[p2(1− a2p2

)]d4p = 0 .

Essa equação é safisfeita identicamente caso o conteúdo do colchetes no integrando sejazero. Por isso, requerimos que:

p2 (1− a2p2) = 0 , (1.17)

que é chamada de relação de dispersão.Por sua vez, a Eq. (1.17) é satisfeita para

p2 = 0 (relação de dispersão de Maxwell) , (1.18)

ou1− a2p2 = 0 (relação de dispersão de Proca) . (1.19)

Enfatizamos que as Eqs. (1.18) e (1.19) são independentes.A Eq. (1.18) é chamada de relação de dispersão do eletromagnetismo de Maxwell

e é consistente com um fóton de massa de repouso nula. Isso é assim pois lembramos adefinição do quadrimomento da relatividade especial (MARION, 2013):

pµ =(p0,p

)= (ε,p)

Então:p2 = pµpµ = ηµνp

µpν = p0p0 − p1p1 − p2p2 − p3p3 = ε2 − p2 , (1.20)

de modo que p2 = 0 é

ε2 − p2 = 0⇒ ε2 = p2 (Maxwell) . (1.21)

Quando essa equação é comparada com a relação de Einstein da relatividade especial,4

ε2 = p2 +m2 (relatividade especial) , (1.22)4 Em unidade do SI, a relação de einstein é ε2 = (pc)2 +

(mc2)2.


percebemos que a igualdade só é possível se

m = 0 (Maxwell) , (1.23)

daí dizermos que o fóton na eletrodinâmica de Maxwell tem massa nula.A Eq. (1.19) é chamada de relação de dispersão da eletrodinâmica de Proca

(PROCA; GOUDSMIT, 1939) e está ligada a um fóton massivo. Em verdade, substituindo(1.20) em (1.19) resulta:

1− a2(ε2 − p2

)= 0⇒ a2

(ε2 − p2

)= 1⇒ ε2 − p2 = 1

a2 ,

i.e.ε2 = p2 + 1

a2 (Proca) . (1.24)

Comparando (1.24) e a relação de energia da relatividade especial (1.22), temos:

m2 = 1a2 (Proca) , (1.25)

e, por essa razão, dizemos que o fóton da teoria de Podolsky é massivo. Afinal, o fator aque aparece na Lagrangiana de Podolsky é o inverso da massa de Proca.

Dessa forma, percebemos que na teoria de Podolsky temos um fóton com um modosem massa – o modo de Maxwell, Eq. (1.23) – e um modo massivo – o modo de Proca,Eq. (1.25). Ademais, esses modos são independentes, pois eles decorrem das Eqs. (1.18)e (1.17), que são independentes. Essa independência dos modos fotônicos tambémé manisfesta nas Eqs. (1.21) e (1.24) para as energias dos fótons e será de fundamentalimportância quando construirmos a função de partição Z (ε) da teoria de Podolsky.

1.3 LIMITES EXPERIMENTAIS PARA A MASSA DE PODOLSKY

Uma predição fundamental das equações de Maxwell é que a radiação eletromagné-tica viaja à uma velocidade constante no vácuo, c. No contexto da eletrodinâmica quântica(QED, do inglês Quantum Electrodynamics), um campo eletromagnético relativístico quan-tizado com frequência ν, é reconhecido como um conjunto de partículas fotônicas comenergia hν. Esses quanta de luz viajam à velocidade constante c e, por isso, tem massa derepouso nula. Devido ao fato de essa teoria ter apresentado uma predição de seis ou maiscasas decimais (GOLDHABER; NIETO, 1971) já na década de 70, a ideia do fóton nãoter massa tornou-se um axioma da física.

De uma maneira geral, a ideia da existência de fótons massivos é compatível comos princípios mais gerais da física de partículas (FONSECA; PAREDES, 2010), por isso, apossibilidade de ser um fato verídico não deve ser descartada. Na Tabela 2 fazemos umapanhado bibliográfico das predições da massa do fóton no contexto eletrodinâmica dePodolsky.

1.3. Limites experimentais para a massa de Podolsky 29

Para relacionar a energia da massa do fóton com uma temperatura associada auma era específica pela qual o universo tenha passado, é necessário termos em mãos o valormédio da energia atual. Depois da descoberta da Radiação Cósmica de Fundo (em inglês,Cosmic Microwave Background: CMB) por Arno Penzias e Robert Wilson na décadade 60, foi possível obter muitos dados até então inacessíveis, e.g. a temperatura atualdo universo e sua densidade de energia. Esses dados são de grande importância para acosmologia observacional. Usando uma antena ultrasensível na detecção de microondas naBell Telephone Laboratories, em Nova Jersey, os dois físicos estadunidenses encontraramum fundo isotrópico de radiação microondas (PENZIAS; WILSON, 1965). Recentemente,o satélite COBE (do inglês Cosmic Background Explorer) nos forneceu dados suficientespara concluir que a CMB pode ser muito bem ajustada ao espectro do corpo negro com atemperatura T0 = 2, 725± 0, 001 K (DODELSON, 2003). A densidade de energia da CMBpode ser calculada através da equação de Stefan-Boltzmann ε = σT 4, onde σ é a constantede Stefan-Boltzmann. A densidade de energia da CMB é então 4, 17× 10−14 J m−3. Comisso é possível calcular a energia média dos fótons da CMB: E0 = 6, 34× 10−4 eV (RYDEN,2003).

Em termos numéricos segundo a Ref. (BUFALO; PIMENTEL; SOTO, 2014), temos:

m > 370 GeV. (1.26)

Vamos fazer uma razão para relacionar a energia média por partícula com a temperatura.Para isso, utilizamos a temperatura atual T0, a temperatura T relacionada à massa-energiade 370× 109 eV, a energia atual E0 e a de energia de Podolsky EP consistente com (1.26).A seguir os passos:

TPT0'EPE0'

3, 7× 1011

6, 34× 10−4eVeV

TP '(5, 836 0× 1014

)× 2, 725 ' 1, 590 3× 1015 K. (1.27)

Essa temperatura corresponde a um universo primordial como esperado para a etapa emque a radiação de Podolsky tem algum efeito cosmológico. Podemos realizar essa mesmaestimativa para outros valores de limites inferiores da massa do fóton de Podosky, conformea literatura. Ou seja, sabendo que 1 eV equivalem a 1, 60217733× 10−19 J e que kT = E,onde k é a constante de Boltzmann igual a 1, 38064852× 10−23 J

K e E é energia média porpartícula, podemos completar a última coluna da Tabela 1 para a temperatura.

A temperatura de Podolsky encontrada de acordo com os cálculos indicados acimanos dá a escala de energia em que a contribuição de Podolsky é mais relevante paraa dinâmica cósmica. De acordo com a Tabela 1 a massa de Podolsky é mais relevanteno intervalo entre o início do universo até aproximadamente o evento de bariogênese.Entretanto, para tempos menores que 10−10 s, a física é incerta. Para valores de tempo daordem de 10−43 s (tempo de Planck) espera-se que a Relatividade Geral não seja mais válida


Tabela 1 – História térmica do universo. Adaptado de (ELLIS,2012)

Eventos Tempo Energia Temperature (K)

Era da Gravitação Quântica < 10−43 s 1019 GeV 1.16× 1032

A Grande Unificação ' 10−36 s ' 1016 GeV ' 1.16× 1029

Inflação e Reaquecimento ' 10−34 s / 1015 GeV / 1.16× 1028

Desacoplamento Matéria Escura Fria < 10−10 s > 1 T eV > 1.16× 1016

Bariogênese < 10−10 s > 1 T eV > 1.16× 1016

Unificação eletrofraca < 10−10 s 0, 1− 1 T eV 1015−1016

Transição quark-hadron < 10−4 s 0, 1− 0, 4 GeV 1012

Desacoplamento de neutrinos 1 s 1 MeV 1010

Aniquilação elétron-pósitron 4 s 0, 5 MeV 5.8× 109

Nucleossínteses 200 s 0, 1 MeV 1.2× 109

Era matéria-radiação 104 yrs 1 eV 11605Desacoplamento de fótons 4× 104 yrs 0, 1 eV 1160.5Idade das Trevas 105−108 yrs

Reionização 108 yrs

Formação das Galáxias ' 6× 108 yrs

Era da energia escura ' 109 yrs

Sistema Solar ' 8× 109 yrs

Hoje ' 14× 109 yrs 1 m eV 11.605

Tabela 2 – Limites para a massa de Podolsky de acordo com a literatura recente. As letrasna última coluna indicam respectivamente: D. para o evento de desacoplamentode neutrinos, T. para transição quark-hadron e U. para unificação eletrofraca.

Referência Massa mγ T (K) Eventos

(BONIN et al., 2010) &4,0 MeV 1, 719× 1010 D.(CUZINATTO et al., 2011) >35,51 MeV 1, 526× 1011 D.(BARONE; NOGUEIRA, 2015) '10 GeV 4, 298× 1013 T.(BUFALO; PIMENTEL; ZAMBRANO, 2012) &37,595 GeV 1, 616× 1014 T.(ACCIOLY et al., 2011) '42 GeV 1, 805× 1014 T.(BUFALO; PIMENTEL; SOTO, 2014) >370 GeV 1, 590× 1015 U.

e a gravidade passa a ser uma interação quântica (ELLIS; MAARTENS; MACCALLUM,2012).

Fazendo um levantamento bibliográfico das massas de Podolsky já calculadas,podemos relacioná-las com as temperaturas de acordo com a história térmica do universoapresentada pela Tabela 1.

Na Tabela 2 é possível observar diferentes limites inferiores para a massa do fótonseguindo a eletrodinâmica de Podolsky. Essa eletrodinâmica prevê um fóton com massa

1.3. Limites experimentais para a massa de Podolsky 31

de repouso muito maior que zero; por outro lado, a eletrodinâmica de Proca (PROCA;GOUDSMIT, 1939) é construída para um fóton com massa muito pequena, próxima dozero. Ao contrário da eletrodinâmica de Proca, onde o limite da massa do fóton abrange ouniverso num futuro longínquo, a eletrodinâmica de Podolsky tem sua maior influência nopassado do universo, como veremos no capítulo 4.

O fato de que quando relacionamos a ordem da massa do fóton de Podolskycom a cronologia do universo, abranger altas energias, faz sentido. Isso ocorre porque aeletrodinâmica de Podolsky insere um parâmetro a que é proporcional à m−1, o que implicaque o fóton massivo é uma partícula pesada. De fato, recentemente, Accioly (ACCIOLYet al., 2011) encontrou que a massa de Podolsky é ' 42 GeV, que é da mesma ordem demagnitude que a massa dos bósons W e Z.

O limite inferior para as massas de Podolsky citados na primeira coluna da Tabela2, abrangem eventos desde o desacoplamento de neutrinos até a grande unificação.

33

2 MECÂNICA ESTATÍSTICA BOSÔNICA

De acordo com a teoria de Planck, a energia de uma onda eletromagnética não écontínua, mas quantizada. Se a frequência da onda eletromagnética é ν, então a energiada onda é dada por:1

εs = nsω = nshν = nshc

λ= nscp, (2.1)

onde ns = 0, 1, 2, 3... é um número inteiro positivo incluindo o 0, ω é a frequência angular,s representa os possíveis estados e é a constante reduzida de Planck = h/2π, p = k éo momento linear e k, o vetor de onda. A onda eletromagnética pode ser considerada umconjunto de fótons com a energia de cada fóton sendo hν. Quando a onda eletromagnéticae a parede do recipiente que a contém estão em equilíbrio térmico (radiação de corponegro), pode-se usar as relações termodinâmicas macroscópicas para estudar a pressão edensidade de energia dos fótons, que nada mais são que propriedades termodinâmicas dogás.

Considerando que os fótons são partículas indistinguíveis e não-interagentes, pode-mos tratá-los como um gás quântico ideal. Os fótons são partículas bosônicas, devido aofato de terem spin inteiro e por isso, obedecem à estatística de Bose-Einstein. Entretanto,existe uma grande diferença entre fótons e bósons: o número de fótons não é limitado. E,por isso, a restrição usualmente utilizada:∑

j=1nj = N, (2.2)

onde N é o número total de partículas, não pode ser aplicada. Devido a esse fato, aestatística fotônica é mais simples que a estatística de Bose-Einstein.

Já é sabido através da mecânica estatística que a Função de Partição Z, querepresenta a soma sobre todos os estados (do alemão Zustandsumme) é definida daseguinte maneira (REIF, 2009):

Z ≡∑s

e−βεs , (2.3)

para β definido como:β ≡ 1

kBT, (2.4)

onde T é a temperatura e kB é a constante de Boltzmann.Para esse tipo de estatística, a função de partição é dada pela soma sobre todos os

valores ns (número de partículas por estados s) para cada s, sem qualquer restrição. Logoa soma sobre todos os valores é,

Z =∑S

e−β(n1ε1+n2ε2+...) =∑

n1,n2,...

(e−βn1ε1e−βn2ε2 ...

)=

∞∑n1=0

e−βn1ε1∞∑

n2=0e−βn2ε2 ..., (2.5)

1 Especialmente nesta seção será usado o sistema internacional de unidades SI.

34 Capítulo 2. Mecânica Estatística Bosônica

onde cada soma é do tipo série geométrica:

S = c+ cf + cf 2 + ...+ cfn. (2.6)

Se o fator |f | < 1 e a série é infinita, S converge para:

S = c

1− f . (2.7)

Des fato: ∞∑n=0

(e−βε

)n= 1 + e−βε +

(e−βε

)2+(e−βε

)3+ ...+

(e−βε

)ne ∞∑

n=0

(e−βε

)n= 1

(1− e−βεn) . (2.8)

Substituindo (2.8) em (2.5), temos:

Z = 1(1− e−βε1)

1(1− e−βε2)

1(1− e−βε3) ... =

∞∏s=1

1(1− e−βεs) . (2.9)

Aplicando o logaritmo:

lnZ = ln∞∏s=1

1(1− e−βεs) =

∞∑s=1

ln 1(1− e−βεs) ,

assimlnZ (ε) = −

∑εs

ln(1− e−βεs

), (2.10)

que é o ln da função de partição na distribuição fotônica.A passagem de (2.10) do regime discreto para o contínuo ocorre da seguinte maneira:

lnZ (ε) = −∑εs

ln(1− e−βεs

)→ lnZ (p) = −gNV

∫ d3p(2π)3 ln

(1− e−βp

), (2.11)

sendo gN o grau de degenerescência, associados à propagação dos fótons. A energia ε estáassociada ao momento p pela relação de Einstein. V é o volume do recipiente que encerrao gás de fótons. A justificativa para o fator V

(2π)3d3p encontra-se no Apêndice B.Para os fótons não-massivos da teoria de Maxwell gN = 2. Podemos escrever então

que a função de partição contínua de Maxwell é dada por:

lnZM = − 2V(2π)3

∫d3p ln

(1− e−βp

), (2.12)

definimos:I ≡

∫d3p ln

(1− e−βp

),

onde p2=p2x + p2

y + p2z e d3p = dpxdpydpz = p2 sinφdθdφdp em coordenadas esféricas.

I =∫ ∞

0

∫ 2π

0

∫ π

0p2 sinφdθdφdp ln

(1− e−βp

)=∫ 2π

0sinφdφ

∫ π

0dθ∫ ∞

0p2dp ln

(1− e−βp

)

35

Usando a integral deduzida (C.5) no Apêndice C.1, temos:

I = − cosφ|π0 (2π)(−π4

45β3

)= 2 (2π)

(−π4

45β3

)(2.13)

onde o resultado da integral em p só é válido para β ∈ R e positivo (uma condição quecertamente é satisfeita, pois a temperatura absoluta é sempre positiva). Substituímos(2.13) em (2.12):

lnZM = π2V

45β3 . (2.14)

A mecânica estatística de sistemas em equilíbrio dá uma relação para pressão emtermos da função de partição Z (REIF, 2009), qual seja:

P = 1β∂∂V

lnZ. (2.15)

Para o caso específico de Maxwell, vale (2.14). Portanto:

P (β) = 13π2

15β4 . (2.16)

A densidade de energia ε em termos da função de partição é (REIF, 2009):

ε = − 1V

∂∂β

lnZ, (2.17)

i.e.ε (β) = − 1

V

∂

∂β

(π2V

45β3

)= π2

15β4 . (2.18)

Substituímos (2.18) em (2.16):

P = 13ε (Maxwell) , (2.19)

que é a pressão de radiação de um gás de fótons na eletrodinâmica de Maxwell.Conforme mencionamos na seção 1.2, há dois modos de energia (ou momento) para

os fótons na teoria de Podolsky; e esses modos são independentes. Portanto, se desejamosconstruir a função de partição da teoria de Podolsky ZP , devemos somar sobre esses modosindependentes:

lnZPod = −∑

modosfotônicos

∑εs

ln(1− e−βεs

)= −

∑εM

ln(1− e−βεM

)−∑εP

ln(1− e−βεP

), (2.20)

onde εM e εP são as energias associadas ao modos não-massivo e massivo respectivamente.A energia εM é justamente a Eq. (1.21), i.e.

εM = p . (2.21)

A energia εP é a que aparece na Eq. (1.24), ou seja,

ε2 = p2 + 1a2 = p2 +m2 , (2.22)


onde usamos (1.25).Agora é trivial rescrever (2.20) usando (2.21) e (2.22), juntamente com a passagem

ao contínuo no espaço dos momentos sugerida em (2.11). temos:

lnZPod = −gMV∫ d3p

(2π)3 ln(1− e−βp

)− gPV

∫ d3p(2π)3 ln

[1− e−β

√p2+m2

], (2.23)

com gM = 2 (o fóton não massivo tem graus de degenerescência dois) e gP = 3 (o modomassivo do fóton propaga-se nas três direções espaciais) (TU; LUO; GILLIES, 2005).

2.1 FUNÇÃO DE PARTIÇÃO DE UM GÁS DE FÓTONS MASSIVOS

A primeira integral do lado direto de (2.23) diz respeito à eletrodinâmica de Maxwelle já foi resolvida acima – vide Eq. (2.13). A segunda integral do lado direito de (2.23)pode ser rescrita em coordenadas esféricas. Assim, temos:

lnZPod = π2V

45β3 − gPV

2π2

∫ ∞0

dp p2 ln[1− e−β

√p2+m2

](2.24)

Estudando a técnica de expansão de uma função em série de Taylor (ARFKEN;WEBER, 2007), concluímos que:

f (x) = ln (1 + x) =∞∑k=1

(−1)k+1 xk

k, (2.25)

para um x < 1. Com isso,

−∞∑k=1

1ke−kβ√p2+m2 = ln

[1 +

(−e−β

√p2+m2

)]=

=∞∑k=1

(−1)k+1

(−e−β

√p2+m2

)kk

=∞∑k=1

(−1)2k+1 e−kβ√p2+m2

k(2.26)

Inserindo (2.26) em (2.24):

lnZPod = π2V

45β3 + gPV

2π2

∞∑k=1

1k

∫ ∞0

dp p2e−kβ√p2+m2

. (2.27)

A integral em (2.27) é resolvida em detalhes no Apêndice C.2. Substituindo (C.23)em (2.27), encontramos:

lnZPod = π2V

45β3 + gP2βm4V

π2

∞∑k=1

K2 (kβm)(kβm)2 , (2.28)

onde K2 (x), para x ≡ kβm, é a função especial de Bessel modificada de segundo tipo.

2.2. Obtenção das propriedades termodinâmicas sem aproximação 37

2.2 OBTENÇÃO DAS PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS SEM APROXIMAÇÃO

Iremos calcular pressão e densidade de energia em termos do somatório do logaritmoda função de partição da seção anterior. Sabemos pelo mecânica estatística que a pressãoé expressa pela Eq. (2.15) e a densidade de energia por (2.17). Dessa forma, substituindo(2.28) em (2.15), temos:

P (β,m) = π2

45β4

[1 + 45gP2

(βm)4

π4

∞∑k=1

K2 (kβm)(kβm)2

]. (2.29)

Obtemos assim a equação para a pressão considerando a eletrodinâmica de Podolsky.Pode-se perceber que o primeiro termo depois da igualdade representa o gás de fótons nãomassivos – vide Eq. (2.16). O segundo termo de (2.29) acompanha-o como uma correçãodevido à massa do fóton. Esse padrão ocorrerá a cada passo das contas que são realizadasneste trabalho.

Para a densidade de energia, vale a relação (2.17). Substituindo (2.28) nessa relação,obtemos:

ε (β,m) = 3 π2

45β4 −gP2m4

π2

∞∑k=1

∂

∂β

(βK2 (kβm)(kβm)2

). (2.30)

A derivada da Eq. (2.30) é:

∂

∂β

(βK2 (kβm)(kβm)2

)= −K2 (kβm)

(kβm)2 −K1 (kβm) +K3 (kβm)

2 (kβm) , (2.31)

onde usamos a relação de recorrência (GRADSHTEYN; RYZHIK; TABLES, 1965):

Kν−1 (z) +Kν+1 (z) = −2 ddzKν (z) , (2.32)

para ν = 2.Substituindo (2.31) em (2.30):

ε = 3 π2

45β4 + gP2m4

π2

∞∑k=1

[K2 (kβm)(kβm)2 + K1 (kβm)

2 (kβm) + K3 (kβm)2 (kβm)

]. (2.33)

A relação de recorrência

zKν−1 (z)− zKν+1 (z) = −2νKν (z) , (2.34)

com ν = 2, resulta em:

K1 (kβm)2 (kβm) + 2K2 (kβm)

(kβm)2 = K3 (kβm)2 (kβm) . (2.35)

Substituindo (2.35) em (2.33):

ε (β,m) = π2

15β4

1 + 15gP

2β4m4

π4

∞∑k=1

[K1 (kβm)

(kβm) + 3K2 (kβm)(kβm)2

], (2.36)


Esta é densidade de energia para a Eletrodinâmica Generalizada de Podolsky sem qualqueraproximação. Da mesma forma que na expressão para pressão (2.29), obtemos um termonão-massivo que representa a eletrodinâmica de Maxwell – cf. Eq. (2.18), mais um termode correção que é a correção de Podolsky.

39

3 ESTRUTURA GERAL DA DINÂMICA CÓSMICA

Até agora foi possível calcular, sem lançar mão de nenhuma aproximação, aspropriedades termodinâmicas: pressão, Eq. (2.29), e densidade de energia, Eq. (2.36), paraa Eletrodinâmica Generalizada.

Acontece que a pressão P e a densidade de energia ε são grandezas fundamentaispara determinar a dinâmica do universo. De fato, como veremos neste capítulo, P e εaparecem nas equações diferenciais de fluido e de Friedmann que permitem obter como oparâmetro de escala a (uma medida das distâncias cósmicas) varia com o tempo cosmológicot. Nossa estratégia será escrever as equações diferencias de fluido e de Friedmann emfunção de β, resolvendo assim um sistema paramétrico a (T ) e t (T ).

3.1 AS EQUAÇÕES BÁSICAS DA COSMOLOGIA FÍSICA

Friedmann deduziu um conjunto de equações, usando a Relatividade Geral deEinstein e considerando o princípio cosmológico,1 que descrevem a expansão do espaço noUniverso.

A Relatividade Geral é uma das teorias mais notórias da história da física, masaté mesmo Einstein teve problemas na sua tentativa de usá-la para deduzir equaçõesda dinâmica cósmica, pois naquela época acreditava-se que o universo era estático. Nasua tentativa, Einstein encontrou termos que envolviam a expansão do universo atual, oque foi descoberto logo depois por Hubble como um fato. Entretanto, devido ao sensocomum de seu tempo, a única forma de encontrar um universo estático seria adicionarum termo constante, chamado constante cosmológica e representado pela letra grega Λ(EINSTEIN, 1917). No final, Einstein aceitou o universo em expansão, e chamou suaconstante cosmológica de o maior erro de sua vida. Hoje em dia, a constante cosmológica écotada como um dos candidatos para explicar componentes exóticos, e.g., a energia escura.

O matemático e físico russo Alexander Alexandrovich Friedmann publicou em1924 um artigo em alemão: “Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativerKrümmung des Raumes” (em português, “Da possibilidade de um mundo com umaconstante de curvatura negativa do espaço”), onde ele demonstrou com sucesso a dinâmicacósmica do modelo de curvatura negativa (FRIEDMANN, ).

A métrica utilizada usada para isso é a de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker(FLRW):

ds2 = dt2 − a2 (t)( 1

1− κr2dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2

), (3.1)

1 Hipótese que nos diz que em escalas suficientemente grandes, o universo pode ser consideradoespacialmente homogêneo e isotrópico.

40 Capítulo 3. Estrutura Geral da Dinâmica Cósmica

onde a (t) é o fator de escala representa a dependência temporal entre a distância relativade dois pontos do universo. κ é o parâmetro de curvatura do espaço, tomado como um dosvalores do conjunto −1, 0,+1 os quais descrevem um espaço hiperbólico (aberto), plana(Euclidiano) ou esférico (fechado), respectivamente. Em nossa convenção, r é admensional.A métrica (3.1) descreve o universo isotrópico e homogêneo, porque não possui nenhumtermo cruzado entre o espaço e o tempo [e.g. do tipo f (t, r) dtdr] e, por isso, não privilegianenhuma direção (ROMEU, 2014). Consideramos c = 1. Com (3.1), podemos deduzir asequações de Friedmann usando o maquinário da Relatividade Geral.

As equações de Einstein são (D’INVERNO, 1992):

Gµν = Rµν −12gµνR = 8πGTµν , (3.2)

G é a constante universal da gravitação.O lado esquerdo de (3.2) representa a parte geométrica das equações de campo de

Einstein, onde Gµν é chamado tensor de Einstein, e para calculá-lo usamos a métrica (3.1).Gµν contém um tensor de Ricci, Rµν , e um escalar de Ricci, R. Em geral, o lado esquerdoapresenta ainda Λ, introduzido por Einstein com intuito de obter o seu universo estático.Entretanto, para o presente trabalho Λ é nulo.2

Do lado direito de (3.2) temos o tensor energia momento de um fluido perfeitoTµν . Esse tensor é usado para modelar distribuições de matéria homogêneas e isotópicas,como admitimos que seja o caso do universo. Para um sistema de eixos que acompanha omovimento global do universo (referencial co-móvel), a velocidade vi = dxi/ds é nula, aopasso que dt/ds = 1. Por isso, o quadri-vetor velocidade é:

uα = (1, 0, 0, 0) (co-móvel) . (3.3)

Isso simplifica bastante a forma de Tµν , que é dado pela expressão:

Tµν = (ε+ P )uµuν − Pgµν , (3.4)

sendo gµν é o tensor da métrica do espaço-tempo curvo (que não é constante como o tensordo espaço-tempo euclidiano ηµν), P é a pressão.

Substituindo (3.1), (3.3) e (3.4) em (3.2), é possível obter as equações diferenciaispara a dinâmica cósmica, denominadas equações de Friedmann (ROMEU, 2014). Temos:

(a (t)a (t)

)2

= H2 = 8πG3 ε (t) + Λ

3 −κ2

a2 (3.5a)(a (t)a (t)

)= −4πG

3 [ε (t) + 3P (ε)] + Λ3 , (3.5b)

2 Depois do artigo de Einstein de 1917 sobre a constante cosmológica (EINSTEIN, 1917), outra notávelcontribuição foi feita por W. de Sitter. De Sitter estudou o modelo dinâmico onde existe constantecosmológica, i.e., Λ 6= 0, mas sem matéria e energias ordinárias (SITTER, 1917).

3.1. As equações básicas da cosmologia física 41

Tabela 3 – Solução da dinâmica cósmica considerando um universo plano respeitando amétrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker para diversos componentes.

Componente EoS Fator de escala a (t)Radiação Maxwelliana P = 1

3ε (t/t0)1/2

Matéria incoerente P = 0 (t/t0)2/3

Constante cosmológica P = −ε = constante eH(t−t0)

Nas Eqs. (3.5a) e (3.5b) usamos a notação a = dadt, onde, por definição, a quantidade

a0 = a (t0) = 1 é usualmente tomada como o fator de escala atual. Note que a Eq. (3.5b)não possui o parâmetro de curvatura, pois sendo uma constante, sua derivada é zero. Arazão

H ≡ a

a

é conhecida como função de Hubble. A Eq. (3.5a) é deduzida da componente 00 dasequações de campo de Einstein. Já (3.5b) é deduzida da primeira equação de Friedmann,juntamente com o traço das equações de Einstein.

Para resolver a primeira equação de Friedmann da dinâmica cósmica é necessárioobtermos mais uma, que relaciona o fator de escala a (t) e a densidade de energia ε. Essaequação adicional é a equação da conservação ou equação de fluido, que é deduzida apartir da conservação covariante do tensor energia-momento ∇µT

µν = 0 (∇ = ∂ + Γ é ooperador derivada covariante, e Γ é a conexão de Christoffel). O resultado é:

ε = −3a

(ε+ P ) . (3.6)

Até agora temos três funções desconhecidas, a (t), ε (t) e P (t). Poderíamos pensarque as três equações diferenciais (3.5a), (3.5b) e (3.6) seriam suficientes para encontrarmosessas funções desconhecidas. Todavia, as equações diferenciais não são independentes:combinando(3.5a) e (3.6) obtem-se (3.5b). Evidentemente, precisaremos de uma terceiraequação independente para fechar o sistema. A equação que cumprirá esse papel é umaequação de estado (EoS, do inglês Equation of State) que relaciona P e ε.3 Essa relaçãoirá refletir nosso conhecimento sobre os componentes que constituem o universo.

Os principais componentes cósmicos são: poeira (matéria incoerente, bariônica ouescura), radiação (campo eletromagnético, Maxwelliano ou não) e a constante cosmológica(ou energia escura) (D’INVERNO, 1992). Cada um deles terá a sua equação de estadoP (ε) correspondente, e cada qual levará a uma solução para a (t) particular (RYDEN,2003),(SOUZA, 2012). A Tabela 3 exibe essas informações para as equações de estado e asolução da dinâmica cósmica a (t).

3 As EoS são encontradas através do nosso conhecimento de termodinâmica e mecânica estatística.


A equação de estado para a radiação massiva da eletrodinânima de Podolsky nãoencontra-se na Tabela 3 por uma boa razão. Observe novamente as Eqs. (2.29) e (2.36):

P (β) = π2

45β4

[1 + 45gP2

(βm)4

π4∑∞k=1

K2(kβm)(kβm)2

]ε (β) = π2

15β4

1 + 15gP

2β4m4

π4∑∞k=1

[K1(kβm)

(kβm) + 3K2(kβm)(kβm)2

] . (3.7)

Para escrever P (ε) deveríamos, por exemplo, (i) isolar β na equação para ε (β) paraobter β = β (ε); e (ii) substituir β = β (ε) na equação de P (β), construindo a funçãoP (β (ε)) = P (ε). Acontece que não é possível realizar o passo (i) analiticamente.4

Em verdade, β aparece no argumento das funções de Bessel modificadas, a somatóriainfinita dessas funções não tem uma forma analítica fechada, o que torna a equação ε (β)transcedental em β. Conclusão: a equação de estado para a radiação de Podolsky é osistema de equações paramétricas (3.7). Essa diferença importante com respeito aoscasos tratados na Tabela 3 exigirá uma abordagem diferente para resolver as equações dacosmologia (3.5a) e (3.6):

a2

a2 = 8πG3 ε (t) + Λ

3 −κ2

a2

ε = −3 aa

(ε+ P ). (3.8)

As equações (3.8) serão resolvidas parametricamente. Na seção 3.2, substituímos (3.7) nasegunda relação do sistema (3.8) para obter uma equação para o fator de escala em funçãoda temperatura, i.e. tentaremos determinar a (β). Na seção 3.3, o objetivo é trabalharcom a primeira equação do sistema (3.8) na tentativa de encontrar o tempo cosmológicoem função da temperatura, i.e., t (β). Se isso for possível, a dinâmica cósmica para aeletrodinâmica geeralizada será dada por a (β) e t (β).

3.2 EQUAÇÃO DO FLUIDO PARA PODOLSKY: EQUAÇÃO a(T )

Para resolver a equação do fluido para Podolsky, usaremos as quantidades termo-dinâmicas (2.29) e (2.36) calculadas anteriormente, sem aproximação, juntamente com(3.6):5

dεdt

+ 3dadt

1a

[ε (β) + P (β)] = 0dεdβ

dβdt

+ 3 dadβ

dβdt

1a

[ε (β) + P (β)] = 0dεdβ

= −3 dadβ

1a

[ε (β) + P (β)] ,

i.e., ∫ dεdβ

[ε (β) + P (β)]dβ = −3∫ da

a. (3.9)

4 A inversão do passo (i) pode ser realizada analiticamente apenas no caso aproximado tratado naSeção 4.

5 Utilizamos o sistema natural de unidades em que kB = 1.

3.3. Equação de Friedmann para Podolsky: equação t(T ) 43

Para avaliar a integral no lado esquerdo de (3.9), temos que fazer o cálculo da derivada deε em relação a β. Usando a Eq. (2.36):

dε

dβ= −4 π2

15β5 +

+gP2m4

π2

∞∑k=1

d

d (kβm)

(K1 (kβm)

(kβm)

)d (kβm)dβ

+ 3 d

d (kβm)

(K2 (kβm)(kβm)2

)d (kβm)dβ

.

(3.10)Com a relação:6

∂

∂z

(Kν (z)zν

)= −Kν+1 (z)

zν,

podemos calcular as derivadas presentes em (3.10). O resultado é:

dε

dβ= − 4π2

15β5

1 + 15gPβ4m4

8π4

∞∑k=1

(K2 (kβm) + 3K3 (kβm)

kmβ

). (3.11)

Substituindo (2.29), (2.36) e (3.11) em (3.9):

∫ 1 + 15gP (βm)4

8π4∑∞k=1

(K2 (kβm) + 3K3(kβm)

kmβ

)1 + 45gP

8(βm)4

π4∑∞k=1

(K1(kβm)


) dβ

β=∫ da

a. (3.12)

A integração da Eq. (3.12) leva a função a = a (β) desejada. Entretanto, até onde osenvolvidos no presente trabalho têm conhecimento, não há uma solução analítica fechadapara a equação (3.12). No Capítulo 5, resolveremos essa equação numericamente. Por hora,dirigimos nossa atenção à equação de Friedmann para a radiação de Podolsky.

3.3 EQUAÇÃO DE FRIEDMANN PARA PODOLSKY: EQUAÇÃO t(T )

Utilizando a primeira equação de Friedmann (3.5a) para um universo plano, k = 0,e sem a presença da constante cosmológica, Λ = 0, podemos encontrar uma equaçãodiferencial para t (T ). Da seguinte maneira:

(a

a

)2= 8π

3 ε

1a

da

dβ

dβ

dt=√

8π3 ε

i.e. ∫ 1a

da

dβ

dβ√ε

=√

8π3

∫dt. (3.13)

6 Disponível em http://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/20/01/02/0006/


A Eq. (3.12) é o mesmo que:

1a

da

dβ=

1 + 15gP (βm)4

8π4∑∞k=1


kmβ

)1 + 45gP

8(βm)4

π4∑∞k=1

(K1(kβm)


) 1β. (3.14)

Substituindo (3.14) e (2.36) em (3.13):√8π3

45∫dt =

=∫ 1+ 15

8gPπ4 (βm)4∑∞

k=1

(K2(kβm)+3K3(kβm)

kmβ

)1+3 15

8gPπ4 (βm)4∑∞

k=1

(K1(kβm)

(kβm) +4K2(kβm)(kβm)2

) βdβ[1+ 15gP

2(βm)4π4

∞∑k=1

(K1(kβm)

(kβm) +3K2(kβm)(kβm)2

)] 12. (3.15)

Usando a relação de recorrência:

zKν−1 (z)− zKν+1 (z) = −2νKν (z) ,

temos:K1 (kβm)

(kβm) − K3 (kβm)(kβm) = −4K2 (kβm)

(kβm)2

K1 (kβm)(kβm) = −4K2 (kβm)

(kβm)2 + K3 (kβm)(kβm) . (3.16)

Subsitutindo (3.16) em (3.15):

π√15

√8π3

∫dt =

∫[1 + 15

8gPπ4 (βm)4

∞∑k=1


kmβ

)]β

[1 + 315

8gPπ4 (βm)4

∞∑k=1

(K3(kβm)

(kβm)

)] [1 + 415

8gPπ4 (βm)4

∞∑k=1

(K3(kβm)

(kβm) −K2(kβm)(kβm)2

)] 12dβ

(3.17)Assim como o que aconteceu em (3.12), não foi possível encontrar uma solução

analítica fechada para (3.17) durante o percurso deste trabalho: não obtivemos t (β)analiticamente como havíamos o planejado. A saída será resolver as Eqs. (3.12) e (3.17)numericamente no Capítulo 5.

Uma solução alternativa para resolver as Eqs. (3.12) e (3.17) analiticamente éaproximar essas expressões. Tal aproximação pode ser justificada caso entendamos acontribuição do termo massivo de Podolsky como uma leve correção à Maxwell, fato queserá verificado pela análise numérica no gráfico da Figura 2, apresentado no Capítulo 5.Isso de fato fará sentido nos regimes βm 1 e βm 1, que correspondem a épocas bemdeterminadas da história térmica do universo. Passaremos a estudar esses limites comcuidado no próximo capítulo.

45

4 SOLUÇÕES APROXIMADAS PARA A DINÂMICA CÓSMICA

Como visto no capítulo anterior, não conhecemos nenhum método analítico paraencontrar a solução das equações para a(T ) e T (t) do modelo de Podolsky. Faremos asolução numérica dessas equações adiante. Antes, porém, estudaremos alguns regimesaproximados de soluções analíticas para os quais a solução numérica completa deveconvergir.

Aqui é o ponto onde existem mudanças nas equações quando tomamos aproximaçõespara βm. Por isso, teremos dois limites para as expressões a(T ) e T (t), uma para aaproximação no início (βm 1) do universo e outra para o futuro do universo (βm 1).

4.1 A APROXIMAÇÃO βm 1

Analisando a definição (2.4), podemos observar que para que o limite βm 1seja verdadeiro, a temperatura T deverá tender a valores muito maiores que a massa dofóton de Podolsky. Devido ao fato de estarmos no limite de altas energias, concluímos queestamos tratando do universo primordial, pois hoje os fótons que produzem a RadiaçãoCósmica de Fundo (CMB, do inglês Cosmic Radiation Background) tem sua temperaturamedida em (2, 725± 0, 002) K (ARFKEN; WEBER, 2007).

Para considerarmos o limite de universo primordial, iremos fazer uma expansãoem série de Taylor na função especial de Bessel modificada de segundo tipo K2(kβm),mantendo termos de primeira ordem (ARFKEN; WEBER, 2007):

K2(kβm) ' 2(kβm)2 −

12 +O

((kβm)2

). (4.1)

Podemos substituir essa expansão no segundo termo do lado direito de Eq. (2.28):

lnZP = gP2βm4V

π2

[2

(βm)4

∞∑k=1

1k4 −

12 (βm)2

∞∑k=1

1k2

]. (4.2)

Os somatórios infinitos 1k2 e 1

k4 já existem na sua forma fechada. O somatório∞∑k=1

1k2 = π2

6 ,

é chamado de Problema da Basileia e foi resolvido por Euler.Além disso, também temos resolvido analiticamente o seguinte somatório:

∞∑k=1

1k4 = π4

90 .

Logo,

lnZP = V

(βm)3

[π2

90gPm3 − 1

24gPm3 (βm)2

].

46 Capítulo 4. Soluções Aproximadas para a Dinâmica Cósmica

A função completa de partição é dada por:

lnZPod = π2V

45β3 + V

(βm)3

[π2

90gPm3 − 1

24gPm3 (βm)2

], para βm 1. (4.3)

Com o logaritmo da função de partição total em mãos, podemos calcular as duasgrandezas termodinâmicas necessárias para determinar a dinâmica do cosmos através daEquação de Friedmann: a pressão P e a densidade de energia ε.

4.1.1 A densidade de energia para altas temperaturas

Nesta seção levamos em consideração apenas o universo primordial, devido aolimite tomado anteriormente βm 1 que implica em dizer que m T . Levando emconsideração um universo plano e preenchido somente com radiação, a teoria Maxwellianaestabelece que ε ∝ β−4. Devido à discussão dos modos de Maxwell e Proca no Capítulo 2,é sensato esperar que teremos um termo não massivo que corresponderá à Maxwell e umtermo massivo associado à Proca.

Para calcular a densidade de energia, usaremos a expressão (2.17) juntamente coma função de partição de Podolsky aproximada para altas energia (4.3):

ε(β,m) ' π2

151β4 + π2

30gPm4 1(βm)4 −

124gPm

4 1(βm)2 . (4.4)

O primeiro termo do lado direito da Eq. (4.4) é o resultado usual de Planck. Osegundo termo é a correção devido à massa de Podolsky. Usando β – Eq. (2.4) – em termosde T no sistema natural de unidades:

ε(T,m) ' π2

15T4 + π2

30gPT4 − 1

24gPm2T 2, (4.5)

Ou aindaε(T,m) ' (σ0 + δσpassado)T 4 ' σT 4, (4.6)

ondeσ0 ≡

π2

15 , (4.7)

é a constante de Stefan-Boltzmann em unidades naturais e

δσpassado = gP2

[σ0 −

112 (mβ)2

], (4.8)

é nossa correção para Podolsky δσ no limite βm 1. Note que agora temos uma novaconstante de Boltzmann σ ≡ σ0 + δσpassado que considera a correção de Podolsky para ouniverso primordial δσpassado.

Por se tratar de um campo massivo, temos 3 graus de liberdade associados quecorrespondem a duas polarizações transversais e uma longitudinal. A primeira instânciaconsideramos gP = 3, mas existe uma discussão em aberto ao redor da possibilidade do

4.1. A aproximação βm 1 47

modo longitudinal interagir fracamente com a matéria (TU; LUO; GILLIES, 2005). Dessaforma, a lei de Planck seria alterada por um fator de 3/2, exatamente o que temos emgP/2. Outra forma de expressar (4.5) é:

ε(β,m) ' 1β4

[σ0 + σ0

gP2 −

112gP2 (βm)2

]. (4.9)

Passamos, agora, ao estudo da pressão para o gás de fótons de Podolsky no limite βm 1.

4.1.2 A pressão para altas temperaturas

Utilizando (2.15) e (4.3), podemos calcular a pressão no limite de altas temperaturas:

P (β,m) = 1β

∂

∂VlnZPod '

π2

451β4 + π2

90gPm4

(βm)4 −124gP

m4

(βm)2 (4.10)

ouP (β,m) ' π2

451β4 + π2

45gP2

m4

(βm)4 −112gP2

m4

(βm)2 . (4.11)

O primeiro termo do lado direito da Eq. (4.11) é o resultado usual de Planck paraa pressão. O segundo termo é a correção devido à massa de Podolsky.

4.1.3 Pressão em função da densidade de energia: P (ε)

Próximo passo é obter uma equação de estado na forma P (ε). Para isso vamosinverter a Eq. (4.9) para obter um β (ε) e posterior substituição em (4.11). Definindox = 1

β2 , temos:

ε ' σ0

(1 + gP

2

)x2 − 1

12m2 gP

2 x, (4.12)

que é uma equação do segundo grau em x:

x2 − 112

m2 gP2

σ0(1 + gP

2

)x− ε

σ0(1 + gP

2

) ' 0

cuja solução é:

x ' 1524m2

π2

gP2(

1 + gP2

) ±√√√√√√ ε

σ0(1 + gP

2

) + 152

242m4

π4

(gP2

)2

(1 + gP

2

)2 ,

i.e.

1β2 '

1524m2

π2

gP2(

1 + gP2

) ± m2(1 + gP

2

)√ 1σ0

ε

m4

(1 + gP

2

)+ 152

2421π4

(gP2

)2, (4.13)

ou ainda,

T 2 ' 1524m2

π2

gP2(

1 + gP2

) ± m2(1 + gP

2

)√ 1σ0

ε

m4

(1 + gP

2

)+ 152

2421π4

(gP2

)2.


Para decidir qual é o sinal adequado no lado direito na expressão de T 2 considere oseguinte. Se estamos no limite de altas temperaturas, a densidade de energia é extremamentegrande devido à lei de Stefan-Boltzmann, ε ∝ T 4. Logo:

ε

m4 1⇒√

ε

m4 1⇒√ε m2. (4.14)

Isso significa que o segundo termo do lado direito supera o primeiro, Se mantivermos osinal negativo, teremos T 2 < 0, o que não tem significado físico. Logo, o sinal que seráadotado é o positivo:

T 2 ' 1524m2

π2

gP2(

1 + gP2

) + m2(1 + gP

2

)√ 1σ0

ε

m4

(1 + gP

2

)+ 152

2421π4

(gP2

)2.

Ademais, ao extrair a raiz quadrada de ambos os membros desconsideramos um eventualsinal negativo global, já que temperaturas absolutas são sempre positivas.

T '

√√√√√1524m2

π2

gP2(

1 + gP2

) + m2(1 + gP

2

)√ 1σ0

ε

m4

(1 + gP

2

)+ 152

2421π4

(gP2

)2. (4.15)

Com essas escolhas, a expressão de β fica:

1β2 '

m2(1 + gP

2

) [15π2

ε

m4

(1 + gP

2

)] 12

1 +

(gP2

)2(1 + gP

2

) 15242

1π2m4

ε

12

+ 1524m2

π2

gP2(

1 + gP2

) .Devido à (4.14), m4

ε 1, o segundo termo do parêntese é pequeno e ele pode ser aproximado,

conduzindo à:

1β2 '

√ε

15π2(1 + gP

2

) 1

2

+gP2

24

15π2(1 + gP

2

) m2√ε

1 +gP2

48

15π2(1 + gP

2

) 1

2m2√ε

.

Usando (4.14) novamente:

T 2 ' 1β2 '

√ε

15π2(1 + gP

2

) 1

2

+gP2

24

15π2(1 + gP

2

) m2√ε

.Próximo passo é substituir esse resultado na expressão para pressão (4.11), para

assim obter a equação da pressão em função da densidade de energia P (ε). Temos, apósfazer uso da aproximação (4.14):

P ' ε

3

(1− A 1√

ε

), (4.16)

ondeA ≡ 1

3

√15π

gP2√

1 + gP2

m2. (4.17)

Isso determina a equação de estado P = P (ε) no limite βm 1. Estamos prontospara a análise das consequências cosmológicas para o universo primordial de levarmos emconta a eletrodinâmica de Podolsky.


4.1.4 Equação de Fluido: a equação de ε(a) no limite βm 1

Para ser possível analisar a dinâmica cósmica no regime m4 ε, iremos substituira Eq. (4.16) na equação de conservação (3.6):

dε

da= −4

a

(ε− A

4√ε),

i.e. ∫ dε(ε− A

4√ε) = −4

∫ da

a,

A integral do lado esquerdo é:

∫ dε(ε− A

4√ε) = 2 ln

(4√ε− A

).

Então, (4√ε− A

)2' C2a−4,

sendo C uma constante de integração. Temos:

ε (a) ' 1a4

(14C + A

4 a2)2.

Seja εP o valor da densidade de energia quando o efeito da massa fotônica daeletrodinâmica de Podolsky passa ser relevante. Seja aPod o valor do fator de escalacorrespondente à εPod. (Operacionalmente, εPod e aPod são apenas duas constantes.) Essevalor para a densidade de energia está relacionado à densidade de energia crítica naépoca em que Podolsky poderia ter maior influência. Usando a condição de contornoε (aPod) = εPod, fixamos C em:

C = a2Pod (4√εPod − A) .

Assim,

ε (a) ' εPod

241a4

[22a2

Pod + A√εPod

(a2 − a2

Pod

)]2

. (4.18)

Em (4.18) assume-se que a < aPod, caso contrário os dois termos do lado direitoserão pequenos. Se a < aPod o primeiro termo será grande, pois apresenta a2

Pod/a2 e o

segundo será uma correção negativa. Além disso, como esperado, mais uma vez a equaçãosubdivide-se entre um termo não massivo que corresponde à densidade de energia paraa radiação a−4 mais uma correção devido ao parâmetro de Podolsky. Isso comprova quequando o fator de escala era muito pequeno, a densidade de energia era muito grande(condição de Big Bang).


4.1.5 Equação de Friedmann: a equação de a(t) no limite βm 1

Para terminar de analisar a dinâmica cósmica, vamos substituir a expressão encon-trada para ε (a) [Eq. (4.18)] na primeira equação de Friedmann (3.5a), para obter o fatorde escala em termos do tempo. Logo,

(a

a

)2= 8πG

3 ε

1a

da

dt'√

8πG3 εPod

1(2a)2

[(2aPod)2 + A

√εPod

(a2 − a2

Pod

)].

Façamos:

HPod ≡√

8πG3 εPod, (4.19)

a da

a2Pod

(1− (A/2)2

ε1/2Pod

)+ (A/2)2

ε1/2Pod

a2' HPoddt.

Logo, (a

aPod

)2' 1− ε

1/2Pod

(A/2)2

[1− exp

(2(A/2)2

ε1/2Pod

HPod (t− tPod))]

. (4.20)

que é a solução procurada para um universo dominado pela radiação de Podolsky.A Eq. (4.20) deve se reduzir ao caso padrão de um universo dominado pela radiação

Maxwelliana na condição em que o fator de Podolsky é zero. No limite Maxwellianopodemos fazer a seguinte aproximação, devido ao fato de m2

√εPod 1, usando (4.14):

(a

aPod

)2' 1− 2HPod (t− tPod)

conforme esperado da seção 3.1 para a era da radiação (de Maxwell) — vide Tabela 3.

4.1.6 A aproximação βm 1

Satisfazemos a condição βm 1 para um valor fixo qualquer da massa m exigindoque β seja grande, o que equivale a dizer que a temperatura deve ser pequena. A situaçãoem que a temperatura é pequena corresponde ao período cosmológico que vivemos. Defato, a temperatura média do universo é estimada em T0 = 2, 725 ± 0, 001 K (RYDEN,2003).

Nessas condições, podemos expandir o termo K2(kβm) da equação do lnZP, Eq.(2.28), como:

K2(kβm) '√

π

2kβme−kβm +O

( 1kβm

)3/2 .

Com isso, a função de partição ficará:


lnZPod '32βm4V

π2 (βm)2

∞∑k=1

1k2

√π

2kβme−kβm.

Consideramos apenas o primeiro termo da soma (k = 1), pois o segundo termo da somatóriajá é muito menor que o primeiro. Os termos seguintes podem então, ser desprezados.Obtemos,

lnZPod ' 3V√

m3

23π3β3 e−kβm ' 3V

(m

2πβ

) 32

e−βm

A função completa de partição é dada por:

lnZPod 'π2V

45β3 + 3V(

m2

2πβm

) 32

e−βm para βm 1. (4.21)

Com o logaritmo da função de partição total em mãos, podemos calcular duasgrandezas termodinâmicas necessárias para que possamos calcular a dinâmica do cosmosatravés da Equação de Friedmann: a pressão P e a densidade de energia ε.

4.1.7 A densidade de energia para altas temperaturas: βm 1

Nesta seção levamos em consideração apenas o presente e o futuro cósmico, poispara que o limite tomado seja verdadeiro, a massa de Podolsky deverá ser muito maiorque a temperatura.

Tal qual no limite tratado anteriormente, βm 1, consideraremos um universoplano e preenchido somente com radiação. Assim sendo, a teoria Maxwelliana estabeleceque a densidade de energia é diretamente proporcional à T 4.1 Em virtude da discussão dosmodos de Maxwell e Proca no Capítulo 2, é sensato esperar que teremos um termo nãomassivo que corresponderá à Maxwell, proporcional à β−4, e um termo massivo associadoà Proca, da mesma forma que no limite para o universo primordial tratado anteriomente.

Para calcular a densidade de energia, usaremos a expressão (2.17) juntamente coma função de partição de Podolsky aproximada para baixas temperaturas (4.21). Logo,

ε(β,m) ' π2

15β4 + 3[

3 + 2βm2β

](m

2πβ

) 32

e−βm,

sabemos que para o limite que estamos trabalhando 3 + 2βm ' 2βm, assim:

ε(β,m) ' π2

15β4 + 3m(m

2πβ

) 32

e−βm, (4.22)

ouε(β,m) ' π2

15β4

[1 + 45

2 32π

72

(βm)52 e−βm

].

1 Essa é a chamada lei de Stefan-Boltzmann.


Usando a definição (2.4), β ≡ 1/T e (4.7), σ0 = π2/15, obtemos:2

ε(T,m) ' T 4[σ0 + 45σ0√

8π7

(m

T

) 52e−

mT

](4.23)

ouε(T,m) ' T 4 [σ0 + δσfuturo] ,

onde calculamos a correção de Podolsky para o futuro. O resultado da correção paraPodolsky no limite βm 1, pode ser confirmado no artigo “Podolsky Electromagnetismat Finite Temperature: Implications on Stefan-Boltzmann Law” (BONIN et al., 2010):

δσfuturo ≡45σ0√

8π7

(m

T

) 52e−

mT (4.24)

Sabemos que:σ ≡ σ0 + δσfuturo, (4.25)

Logo,ε(T,m) ' T 4σ. (4.26)

4.1.8 A pressão para temperaturas finitas: βm 1

Para calcular a pressão, usaremos a expressão (2.15) juntamente com a função departição de Podolsky aproximada para baixas temperaturas (4.21). Logo,

P (β,m) = 1β

∂

∂V

π2V

45β3 + 3V(

m2

2πβm

) 32

e−βm

,ou seja,

P (T,m) ' 13

(π2

15

)T 4[1 + 3

(45√8π7

)(m

T

) 32e−

mT

].

Através das definições de σ0, Eq. (4.7), δσfuturo, Eq. (4.24) e de σ, Eq. (4.25):

P (T,m) ' 13T

4

σ0 +3(

45σ0√8π7

) (mT

) 52 e−

mT(

mT

) ,

assim:

P ' 13T

4

σ0 + 3(mT

)δσFuturo

. (4.27)

Como teste de consistência, podemos analisar o regime Maxwelliano, onde a correçãode Podolsky δσ (T,m) tende a zero, como consequência: σ0 = σ. Recuperamos dessa formaa pressão de radiação de Maxwell, vide Eq. (2.19), como esperado:

P ' 13T

4σ. (4.28)

2 Lembrando que estamos trabalhando com o sistema natural de unidades devido à praticidade que essesistema nos proporciona nas deduções das equações.


4.1.9 Relação entre a pressão e densidade de energia no regime de temperaturafinita: βm 1

Para que seja possível calcular a equação de fluido (3.6), é necessário primeirorelacionar as duas propriedades termodinâmicas encontradas, (4.26) e (4.27). Desse modo,podemos finalmente resolver a equação de Friedmann que nos dá a dinâmica cósmicapara o universo atual. Entretanto, podemos notar que não é possível inverter a Eq. (4.23)para encontrar uma função P (ε) de forma analítica. Essa dificuldade acontece devido aotermo de correção de Podolsky (4.24), pois possui uma função exponencial que dificulta ainversão, tornando assim, a Eq. (4.23), uma equação transcedental. Por isso, o próximopasso seria resolver as equações desse limite numericamente. Esse trabalho tem o mesmonível de dificuldade da solução não-aproximada. Por isso, optamos por passar diretamenteà solução numérica do caso completo, como pode ser visto no Capítulo 5.

55

5 SOLUÇÃO COSMOLÓGICA COMPLETA E ANÁLISE DE SUADINÂMICA

O objetivo deste capítulo é construir as equações completas para a EletrodinâmicaGeneralizada, resolvê-las numericamente e analisar o comportamento do universo na erada radiação de Podolsky em contraste com a era de radiação padrão de Maxwell.

Por conveniência, foi introduzido um parâmetro adimensional ξ,1 sendo este definidocomo:

ξ ≡ βm. (5.1)

Substituímos (5.1) em (2.28) para obter a função de partição em função de ξ:

lnZ (ξ) = π2V m3

45 ξ3

[1 + 45ξ4 gP

2π4

∞∑k=1

K2 (kξ)(kξ)2

]. (5.2)

Com o objetivo de obter a densidade de energia em função do novo parâmetro ξ,substituímos (5.1) em (2.36):

ε (m, ξ) = π2m4

15ξ4

[1 + 15ξ4 gP

2π4

∞∑k=1

(K1 (kξ)kξ

+ 3K2 (kξ)(kξ)2

)], (5.3)

e, de modo análogo, substituindo (5.1) em (2.29), temos a pressão:

P (m, ξ) = π2m4

45ξ4

[1 + 45ξ4 gP

2π4

∞∑k=1

(K2 (kξ)(kξ)2

)]. (5.4)

Observamos que a densidade de energia total de Podolsky, Eq. (2.36) ou Eq. (5.3),é proporcional à densidade de energia do gás de fótons da teoria Maxwelliana, Eq. (2.18):

εM = π2

15β4 = π2m4

15ξ4 . (5.5)

Logo,εPod = π2m4

15ξ4 (1 + δε) = εM (1 + δε) , (5.6)

onde εM é a densidade de energia da parte não-massiva e δε é a correção de Podolsky,definida como:

δε ≡ 15gP2

ξ4

π4

∞∑k=1

[K1 (kξ)

(kξ) + 3K2 (kξ)(kξ)2

]. (5.7)

O termo de proporção entre as teorias de Maxwell e Podolsky é (1 + δε); esse termodepende da massa do fóton de Podolsky e da temperatura. Portanto, na região onde δε édesprezível, tende-se à teoria de Maxwell.1 É preferível lidar com parâmetros adimensionais nas análises numéricas das equações. No nosso caso,

o parâmetro adimensional ξ é além de tudo muito útil, pois não requer que fixemos um valor específicopara a massa do fóton.

56 Capítulo 5. Solução cosmológica completa e análise de sua dinâmica

Figura 1 – Gráfico de εεM

em função do parâmetro adimensional ξ. ε = εM é representadopela reta vermelha pontilhada e, se ε = εPod, obtém-se a curva preta.Fonte: Da autora.

A Fig. 1 mostra o gráfico de ε/εM em função de ξ. A reta pontilhada representa ocomportamento da radiação Maxwelliana: de fato, se ε = εM, então ε/εM = 1. Por outrolado, se ε = εPod, Eq. (5.6), então ε/εM = 1 + δε, representado pela curva preta no gráficoda Fig. 1. É possível observar claramente que δε é desprezível no regime de valores grandesde ξ.

No gráfico da Fig. 1 percebemos o valor 2, 5 no eixo das ordenadas no limiteξ → 0 para a curva de εPod

εM(linha preta). Isso acontece pois limξ→0 δε = 1, 5, levando à

ε/εM = 2, 5.Até este momento não analisamos o comportamento do parâmetro da equação de

estado w (conhecido também como equação efetiva) na equação de estado barotrópicaP = wε. Este parâmetro é definido como a razão entre a pressão e a densidade de energiade um determinado componente do universo – no nosso caso, a radiação no contexto daEletrodinâmica Generalizada. Logo,

wPod ≡P

ε. (5.8)

Para Maxwell esse parâmetro é bem definido e vale 1/3, implicação direta do logaritmo(2.19). Já para Podolsky, o parâmetro wPod deverá ser a razão entre (5.4) e (5.3):

wPod =13π2m4

15ξ4

[1 + 45ξ4 gP

2π4∑∞k=1

(K2(kξ)(kξ)2

)]π2m4

15ξ4

[1 + 15ξ4 gP

2π4∑∞k=1

(K1(kξ)kξ

+ 3K2(kξ)(kξ)2

)]

57

Figura 2 – Gráfico da equação efetiva, w (ξ), para a Eletrodinâmica Generalizada (curvapreta). Observamos o comportamento do parâmetro w da equação efetivade Podolsky. A reta vermelha pontilhada representa Maxwell ou w = 1/3.ξmin representa o ponto de maior influência de Podolsky, para ξmin = ξref =2, 899, i.e., w (ξmin) = 0, 282.Fonte: Da autora.

i.e.wPod = 1

31(

1 + 15ξ4 gP2π4∑∞

k=1K1(kξ)kξ

1+45ξ4 gP2π4∑∞

k=1K2(kξ)(kξ)2

) = 13

(1

1 + fPod

), (5.9)

onde, por conveniência, definimos a função fPod:

fPod =15ξ4 gP

2π4∑∞k=1

K1(kξ)kξ

1 + 45ξ4 gP2π4

∑∞k=1

(K2(kξ)(kξ)2

) . (5.10)

Perceba que quando fPod pode ser desprezado, o resultado Maxwelliano é recuperado, Eq.(2.19). A curva de wPod é traçada na Fig. 2, onde também aparece a reta MaxwellianawM = 1/3, para comparação.

Através da equação efetiva wPod podemos perceber que nos dois limites, ξ → 0(universo muito no passado) e ξ 1 (universo muito no futuro), a dinâmica da teoria deMaxwell (linha pontilhada em vermelho na Fig. 2) é recuperada. Devido a esse fato nãohá mudança na dinâmica cósmica em nenhum dos extremos.

Isso faz sentido para o passado (i.e. ξ 1), pois nesse limite a energia térmica émuito maior que a massa do fóton de Podolsky (vide discussão no Capítulo 4). Com isso, o


fóton de Podolsky se comportará como uma partícula ultrarelativística, como consequênciarecuperamos a teoria de Maxwell usual.

No futuro, a condição ξ = m T−1 1 é satisfeita para uma massa m muitomaior que a temperatura T . Isso é naturalmente obtido fisicamente, pois T é da ordem depoucos kelvin (e.g., hoje a temperatura da radiação cósmica de fundo é T0 ' 2, 73 K '2, 35× 10−4 eV) enquanto que a massa esperada pelo fóton de Podolsky é de, no mínimo,3, 70× 1011 eV, conforme a Tabela 2 e a Ref. (BUFALO; PIMENTEL; SOTO, 2014).

Apesar de Podolsky tender a Maxwell nos dois extremos do universo (vide Fig. 2),existe um valor de ξ, que denominamos ξmin, onde Podolsky tem maior influência paraa dinâmica cósmica. ξmin corresponde ao menor valor assumido por w (ξ), o ponto maisbaixo da curva preta na Fig. 2. Temos:

ξmin = 2, 899 , wPod (ξmin) = 0, 282 .

Esse é o valor de wPod que mais difere de wM = 1/3 = 0, 333.A Eletrodinâmica Generalizada promove uma aceleração maior que a de Maxwell.

De fato, a curva preta que representa a eletrodinâmica de Podolsky, no gráfico da Fig. 2, estáabaixo da reta vermelha pontilhada que representa o caso de Maxwell: wPod (ξmin) < wM,logo a/a ∝ (1 + 3w) é menor em Podolsky – vide Eq. (3.5b). Além disso, a aceleraçãomáxima produzida pelo efeito do fóton massivo acontece no ponto ξmin.

Por essas razões físicas, fica claro que o valor ξmin é um bom valor de referênciapara o parâmetro ξ:

ξref = ξmin.

Esse valor é utilizado como condição de contorno para a solução das equações diferenciais(3.6) e (3.5a) na forma numérica. Também, ξref já foi importante para nós anteriormente,na solução aproximada, vide Seção 4.1.5, onde precisávamos determinar o ponto em queo fator de escala de Podolsky, aPod, seria normalizado. Vamos utilizar a normalizaçãoaPod = 1, onde aPod não pode ser confundido com a definição de fator de escala atuala0 = 1, pois agora estamos tomando a condição de normalização para o tempo em quePodolsky teve maior efeito, i.e., no universo primordial. Utilizamos essa normalização paraaPod (ξref) = 1.

É interessante construir um gráfico do comportamento da primeira derivada doparâmetro de equação de estado em função de ξ. Este gráfico é mostrado na Fig. 3. Pode-seobservar claramente que Podolsky apresenta uma dw/dξ 1 para ξ → 0. Por isso, emboraa equação de estado de Podolsky tenda à de Maxwell no começo do universo, a primeirarapidamente se diferencia da última. Ainda que isso seja verdade, dw/dξ de Podolsky édiferente de zero em apenas cerca de 3% (que é o valor mínimo das ordenadas observado naFig. 3). Além disso, o gráfico de dw/dξ é consistente com a equivalência Podolsky-Maxwellξ ' 8. O ponto de mínino na Fig. 2 ocorre no ponto em que a derivada dw/dξ se anula eisso ocorre em ξ = 2, 9, conforme o esperado.

59

Figura 3 – Gráfico do comportamento da variação do parâmetro de equação de estado(dw/dξ), onde a curva pontilhada vermelha representa a primeira derivada dew em relação à ξ para Maxwell e a curva preta para Podolsky.Fonte: Da autora.

Usando (3.6) e (5.8), temos:

da

dξ= − a

3 (1 + wPod) εdε

dξ. (5.11)

Com essa equação diferencial construímos o gráfico de a (ξ), pois ε (ξ) é uma funçãoconhecida, Eq. (5.3).

Para resolver (5.11), precisamos ter dεdξ. Isso segue diretamente do logaritmo (3.11):

basta dividí-la por m e usar a definição de ξ = βm. Logo,

dε

dξ= −4π

2m4

15ξ5

[1 + 15gP ξ

4

8π4

∞∑k=1

(K2 (kξ) + 3 1

kξK3 (kξ)

)]. (5.12)

Observe que, ao substituir (5.3) e (5.12) em (5.11), o termo de massa que não está embutidona definição de ξ será cancelado. Devido a esse fato, não é necessário fixar um valor paraa massa de Podolsky na análise numérica, feita logo abaixo (Fig. 4).

A equação que soluciona a dinâmica cósmica é a Eq. (3.5a), vide Seção 3.1. Conside-ramos o caso do universo plano, κ = 0, somente com radiação e sem constante cosmológica,Λ = 0, assim:2 (

a

a

)2= 8πεPod

3ε

εPod.

2 Lembramos novamente que estamos usando o sistema natural de unidades.


Usamos a definição para o parâmetro de densidade, Ω:

Ω ≡ ε (a)εPod

, (5.13)

que é uma grandeza adimensional. Empregamos também a definição (4.19):

HPod ≡√

8πεPod

3 . (5.14)

Então, (a

a

)2= H2

PodΩ

oudt

dξ= 1a (ξ)HPod

√Ω (ξ)

da

dξ.

Definimos:HPodt ≡ τ , (5.15)

como o tempo cósmico adimensional: a unidade relacionada à HPod é s−1; t é dado em s.Assim,

dτ

dξ= 1√

Ω (ξ)1

a (ξ)da

dξ, (5.16)

que é a equação de Friedmann resolvida numericamente para obter o comportamento τ (ξ).Observe que a função Ω (ξ) é obtida do logaritmo (5.3): basta dividí-la por εPod e teremosa equação da densidade de energia em termos de Ω (ξ). O fator da

dξvem da resolução de

(5.11).Usando as condições de Big Bang, a (0) = 0 e τ (0) = 0, podemos obter gráficos

das Figuras 4, e 5. É possível assim, construir um gráfico de a (τ) quando fazemos umgráfico paramétrico de a (ξ) e τ (ξ), c.f. a Fig. 6.

O gráfico da Fig. 4 representa o fator de escala em relação à ξ e foi obtido da soluçãode (5.11). A curva preta é a solução completa para a Eletrodinâmica Generalizada e, paraefeito de comparação, podemos observar a curva vermelha pontilhada da EletrodinâmicaMaxwelliana. Na Fig. 2, para o gráfico de w (ξ), percebemos que a maior influência paraPodolsky está na região em que ξ varia entre 0 e 8, grosseiramente. Assim, no gráficode a (ξ), na Fig. 4, delimitamos o intervalo do fator de escala entre 0 e 4. Ainda nográfico de a (ξ), percebemos que se ξ ∝ β e, estes são inversamente proporcionais àtemperatura, conforme o fator de escala aumenta, temos um decaimento na temperatura,em conformidade com o modelo de Big Bang.

Resolvendo logaritmo (5.16) numericamente temos um gráfico do tempo cósmicoadimensional, τ , em função do parâmetro ξ (vide Fig. 5) para um universo primordialpreenchido por fótons massivos. Pode ser visto que, assim como no gráfico anterior paraa (ξ), quanto maior o tempo cósmico menor a temperatura relacionada, pois ξ ∝ 1/T .Isso é consistente com o comportamento de um universo em expansão. Da mesma forma,

61

Figura 4 – Gráfico do fator de escala a completo em relação à ξ para Podolsky (curvapreta) e para Maxwell.Fonte: Da autora.

limitamos o eixo para ξ entre os valores 0 e 8, pois de acordo com a Fig. 2, é nesse intervaloque Podolsky tem maior influência sobre Maxwell. Isso significa que no gráfico τ (ξ) quea maior influência de Podolsky está para valores de τ entre 0 e 25. Como consequêncialimitamos τ nesse intervalo na Fig. 6.

É possível obter o gráfico paramétrico a (τ) a partir das Eqs. (5.11) e (5.16) paraa (ξ) e τ (ξ). O resultado é a Fig. 6. O comportamento mostrado por a(τ) confirma nossaspredições de que, levando em conta uma eletrodinâmica de fótons massivos, não há umefeito significativo na dinâmica cósmica em relação ao que já era esperado de Maxwell.Como pode-se notar no gráfico da Fig. 6, para τ = 0 até aproximadamente τ = 1 Maxwellé equivalente à Podolsky, isso aparece como consequência direta das condições iniciaisutilizadas. Após o período de equivalência, que representa um dos extremos da Fig. 2,segue um período onde há uma pequena diferença entre as duas teorias, que equivale aoperíodo de maior influência de Podolsky. Limitamos o gráfico para τ entre 0 e 20, poiscomo como visto no gráfico w (ξ) a maior de influência de Podolsky acontece para ξ entre0 e 8.

Neste capítulo, fizemos a análise da dinâmica cósmica para um universo preenchidopor radiação de Podolsky. No próximo capítulo, faremos considereções finais sobre essasanálises e previsões de estudos futuros para o presente trabalho.


Figura 5 – Gráfico do tempo adimensional τ em função de ξ para Podolsky.Fonte: Da autora.

Figura 6 – Fator de escala a em função do tempo cósmico τ para Maxwell (curva vermelhapontilhada) e para Podolsky (curva preta).Fonte: Da autora.

63

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Segundo (CUZINATTO et al., 2011), a Eletrodinâmica Generalizada é a únicaextensão possível do eletromagnetismo que possui derivadas de segunda ordem do tensorde campo, tomando o cuidado de preservar a linearidade das equações, sem quebrar asduas simetrias da interação eletromagnética, a saber: a de gauge e a de Lorenz. Abordamosessas questões na Seção 1.2. A teoria de Podolsky prevê a existência de um modo massivopara o fóton. Neste trabalho, perguntamo-nos quais poderiam ser os efeitos gravitacionaispara o universo em larga escala advindos desses possíveis modos massivos de radiação.

O principal objetivo desta dissertação foi analisar as diferenças da era da radiaçãode Podolsky com a era da radiação ordinária na cosmologia de background homogêneo eisotrópico. Para tanto, usamos todo o maquinário da mecânica estatística em equilíbriotermodinâmico, pois essa teoria nos possibilita encontrar as equações de estado quecomplementam as equações de fluido e de Friedmann. Com base nisso, pudemos solucionara dinâmica cósmica para um gás de fótons massivos no modelo padrão da cosmologia.

Vimos que a teoria de Podolsky afeta a dinâmica cósmica, e isso acontece para ξ entre0 e 8 (vide gráfico da Fig. 2). Entretanto, essa influência da Eletrodinâmica Generalizadanão é pronunciada. De fato, não obtivemos uma dinâmica acelerada primordial que poderiaser interpretada como um período inflacionário baseado em primeiros princípios, porexemplo. Tampouco encontramos um universo com bounce, que seria interessante porprever um efeito atípico do modelo cosmológico padrão. O que ocorre é uma aceleração daexpansão cósmica levemente maior do que acontece em uma era da radiação a la Maxwell.Esse efeito pode ser observado no gráfico w (ξ) em conjunto com a equação de Friedmannpara a aceleração, Eq. (3.5b):(

a (t)a (t)

)= −4πG

3 [ε (t) + 3P (ε)] .

Qualquer material com pressão e densidade de energia positivas, produzirá uma aceleraçãonegativa que é consistente com uma força gravitacional atrativa, na interpretação Newto-niana da interação gravitacional. O gás de fótons massivos é caracterizado por P = wPodε

em que 0, 282 < wPod < wM = 1/3. Logo, por um lado, a aceleração na expansão estágarantida para qualquer valor de tempo; e, por outro lado, a radiação de Maxwell é capazde acelerar o universo em uma taxa menor do que a radiação de Podolsky.

Neste trabalho foi descoberto que a teoria de Podolsky tende à de Maxwell noslimites βm 1, passado do universo e βm 1, presente e futuro cósmico (vide Fig. 2).Sendo assim, a teoria de Podolsky representa uma correção à de Maxwell, que é efetivapara a evolução do universo no intervalo 0 . ξ . 8. O intervalo de energia em que Podolskytem maior influência pode ser calculado através de uma estimativa para massa de Podolskye do valor de referência do parâmetro utilizado, ξref. Escolhemos o valor de m = 370 GeV

64 Capítulo 6. Considerações Finais

da tabela 2, que corresponde ao menor valor para a massa do fóton de acordo com osvínculos experimentais para o espalhamento Bhabha. Desse modo, Podolsky tem maiorefeito em kT ' 130 GeV, i.e., no universo primordial. De acordo com a tabela 3, esse valorde temperatura está relacionado a eventos anteriores à unificação eletrofraca.

O gráfico de a (τ) na Fig.6 também mostra que a dinâmica de Podolsky diferencia-sepouco da de Maxwell. Com o valor de w (ξref) da Fig. 2, é possível calcular a diferença

∆w ≡ wM − wPod (ξref)wM

= 15, 3%

com respeito ao wM da teoria Maxwelliana. Esse valor mostra que, mesmo no máximo desua influência para a cosmologia, a Eletrodinâmica Generalizada altera em apenas cercade 15% aequação de estado para a radiação, não importa o quão massivo seja o fóton dateoria de Podolsky.

Nosso modelo é considerado um toy model, longe de ser um modelo realista para ouniverso primordial, pois não levamos em consideração interações, possíveis decaimentos,produções de pares e nem mesmo outras componentes. Apesar de ser um modelo simplista, acosmologia de Podolsky permite-nos observar como os fótons massivos poderiam influenciara dinâmica do universo primordial. Com essa vantagem em mente, poderíamos pensar emalguns projetos futuros envolvendo a cosmologia de Podolsky. O primeiro seria estudaro universo com múltiplas componentes, onde uma dessas componentes é a radiação dePodolsky. Para isso, usamos as mesmas equações do capítulo 5 com somas sobre osparâmetros de densidade dos vários possíveis componentes. Por exemplo, logaritmo (3.6)pode ser rescrita da seguinte forma:

da

dξ= −dεi

dξ

a

3εi (1 + w) ,

e a equação de Friedmann, Eq. (3.5a):

dτ

dξ= 1a

da

dξ

(N∑i=1

Ωi (a) + Ωk0

a2

)− 12

,

onde o índice i representa as i-ésima componente que preenchem o universo. O parâmetroΩk0 é denominado parâmetro de curvatura (e é zero para o universo plano que consideramosneste trabalho). Além de considerar outras componentes, é possível pensar em consideramosoutros valores para κ (parâmetro de curvatura).

Outro trabalho futuro possível é expandir a nossa análise cosmológica a outrosmodelos de eletrodinâmica. Muito já foi feito no campo da eletrodinâmicas não-lineares(NOVELLO, 2010), (MEDEIROS, 2012), (AKMANSOY, 2014); (AKMANSOY; MEDEI-ROS, 2014), e a Ref. (TU; LUO; GILLIES, 2005) lida com a eletrodinâmica de Proca emcosmologia. Ainda assim, pretendemos investigar, dentre os modelos de eletrodinâmicanão-maxwelliana, quais os que ainda não tiveram suas implicações cosmológicas analisadas,e implementar esse estudo.

65

O trabalho (BONIN et al., 2010) encontrou uma correção para a lei de Stefan-Boltzmann devida à eletrodinâmica de Podolsky para o universo atual. As inomogeneidadesda radiação de fundo foram usadas para vincular a massa do fóton da teoria de Podolsky.Nesta dissertação, estendemos a abrangência da cosmologia de Podolsky para qualquerperíodo da evolução do universo. Apesar da abrangência maior, as equações da cosmologiaforam todas resolvidas em termos do parâmetro ξ = mβ. A conclusão é: a cosmologiade Podolsky depende do produto mβ, mas não diretamente da massa. Devido a essacaracterística, deixamos de vincular a massa de Podoslky diretamente, usando um eventocomológico bem determinado. Talvez essa limitação possa ser superada no futuro.

67

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http://stacks.iop.org/0034-4885/68/i=1/a=R02

APÊNDICES

73

APÊNDICE A – EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DAELETRODINÂMICA

A seguir usamos o métodos variacional para encontrar a Equação de Euler-Lagrangee com ela as equações de Movimento das eletrodinâmicas de Maxwell e Podolsky.

A.1 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DA ELETRODINÂMICA MAXWELLIANA

No vácuo, o eletromagnetismo clássico pode ser deduzido da ação:

S =∫ (−1

4FµνFµν)d4x,

onde d4x é elemento de volume do espaço-tempo. Isso significa que a densidade Lagrangianade Maxwell é dada por:

L = −14FµνF

µν = −14η

µρηνσFµνFρσ, (A.1)

que é uma decorrência direta do fato de

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

ser invariante de gauge (BONIN, 2011), pois para uma transformação de gauge A′ν =Aν − ∂νf , não há variação do tensor eletromagnético:

F′

µν = ∂µ (Aν − ∂νf)− ∂ν (Aµ − ∂µf)

F′

µν = ∂µAν − ∂µ∂νf − ∂νAµ + ∂µ∂νf

F′

µν = ∂µAν − ∂νAµ = Fµν , (A.2)

onde f é uma função arbitrária.A matriz (ηνσ) é a métrica de Minkowski, que escreve-se:

(ηνσ) =

+1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

(A.3)

em coordenadas cartesianas.O próximo passo para encontrar as equações de Maxwell (1.6) a partir de (A.1)

é tratar cada componente do potencial vetor Aµ como um campo independente (Fµν édado em termos de Aµ) e usar as equações de Euler-Lagrange generalizada para quatrodimensões,

∂L∂Aµ

− ∂µ∂L

∂ (∂νAµ) = 0, (A.4)

74 APÊNDICE A. Equações de Movimento da Eletrodinâmica

onde L ≡ L (Aµ (x) , ∂νAµ (x)). A equação de Euler-Lagrange em mecânica clássica envolveL = L (qi (x) , qi (x)). Em teoria dos campos clássicos (não-quântico), ao invés de usarmoso conceito de coordenadas generalizadas, lidamos com campos contínuos Aµ (x), onde xestá em R4. As velocidades qi (t) são equivalentes às derivadas do campo ∂νAµ (x) ≡ ∂Aµ(x)

∂xν

com respeito ao tempo e às coordenadas espaciais (NOLTING, 2010).Encontramos (A.4) pelo princípio da mínima ação:

δS =∫

Ωd4x δL (Aµ, ∂νAµ) =

∫Ωd4x

[∂L∂Aµ

δAµ + ∂L∂ (∂νAµ)δ (∂νAµ)

]

δS =∫

Ωd4x

[∂L∂Aµ

δAµ + ∂L∂ (∂νAµ)∂ν (δAµ)

]

δS =∫

Ωd4x

[∂L∂Aµ

δAµ + ∂ν

(∂L

∂ (∂νAµ)δAµ)− ∂ν

(∂L

∂ (∂νAµ)

)δAµ

],

onde Ω representa o domínio de integração. Usamos a regra de derivação do produto:

∂ν

(∂L

∂ (∂νAµ)δAµ)

= ∂ν∂L

∂ (∂νAµ)δAµ + ∂L∂ (∂νAµ)∂ν (δAµ) . (A.5)

Então,

δS =∫

Ωd4x

[∂L∂Aµ

− ∂ν∂L

∂ (∂νAµ)

]δAµ +

∫∂Ω

(∂L

∂ (∂νAµ)δAµ)dSν , (A.6)

onde ∂Ω é a borda do volume de integração Ω e dSν um elemento de área orientado dessasuperfície. Como δAµ = 0 sobre ∂Ω, o último termo de (A.6) se anula. Ademais, a condiçãode mínima ação requer δS = 0, ou seja

δS =∫

Ωd4x

[∂L∂Aµ

− ∂ν∂L

∂ (∂νAµ)

]δAµ = 0 ,

que é satisfeita para qualquer Ω se o núcleo da integral é identicamente zero. Isso conduzà equação de Euler-Lagrange (A.4).

Para usar (A.1) em (A.4), é conveniente calcular:

∂L∂Aα

= ∂

∂Aα

(−1

4ηµρηνσFµνFρσ

)= ∂

∂Aα

[−1

4ηµρηνσ (∂µAν − ∂νAµ) (∂ρAσ − ∂σAρ)

]= 0,(A.7)

pois Fµν = Fµν (∂µAν), ou seja, Fµν independe explicitamente de Aµ. Também temos:

∂L∂ (∂αAβ) = ∂

∂ (∂αAβ)

[−1

4ηµρηνσ (∂µAν − ∂νAµ) (∂ρAσ − ∂σAρ)

]∂L

∂ (∂αAβ) = −14η

µρηνσ[(δαµδ

βν − δαν δβµ

)(∂ρAσ − ∂σAρ) + (∂µAν − ∂νAµ)

(δαρ δ

βσ − δασδβρ

)]

∂L∂ (∂αAβ) = −1

4[(∂αAβ − ∂βAα

)−(∂βAα − ∂αAβ

)+(∂αAβ − ∂βAα

)−(∂βAα − ∂αAβ

)]

A.2. Equação de Movimento da Eletrodinâmica de Podolsky 75

∂L∂ (∂αAβ) = −

[∂αAβ − ∂βAα

]= −Fαβ (A.8)

Substituímos (A.7) e (A.8) em (A.4):∂L∂Aµ

− ∂µ∂L

∂ (∂νAµ) = 0− ∂µ (−F νµ) = 0⇒ ∂µFνµ = 0⇒ ∂µ (−F µν) = 0,

onde usamos (1.4). Logo,∂µF

µν = 0, (A.9)

que é logaritmo (1.6).logaritmo (1.7) é uma identidade verificada diretamente da definicao de Fµν , Eq.

(1.5). De fato,∂µFρσ + ∂σFµρ + ∂ρFσµ =

= ∂µ (∂ρAσ − ∂σAρ) + ∂σ (∂µAρ − ∂ρAµ) + ∂ρ (∂σAµ − ∂µAσ)

= (∂µ∂ρAσ − ∂µ∂ρAσ) + (−∂µ∂σAρ + ∂µ∂σAρ) + (−∂σ∂ρAµ + ∂σ∂ρAµ) = 0,

onde usamos [∂µ, ∂ν ] = 0. Logo, como nlogaritmo (1.7):

∂µFρσ + ∂σFµρ + ∂ρFσµ = 0. (A.10)

Esta equação é chamada de identidade de Bianchi.

A.2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DA ELETRODINÂMICA DE PODOLSKY

Aplicando o princípio da mínima ação,

δS =∫

Ωd4x δL (Aµ, ∂νAµ, ∂ρ∂νAµ) = 0, (A.11)

deduzimos a equação de Euler-Lagrange para LP = L (Aµ, ∂νAµ, ∂ρ∂νAµ). Isso é necessáriopois agora a Lagrangiana depende também da derivada segunda do potencial, e já não sepode fazer uso de (A.4). Temos:

δL = ∂L∂Aµ

δAµ + ∂L∂ (∂νAµ)δ (∂νAµ) + ∂L

∂ (∂ρ∂νAµ)∂ρδ (∂νAµ)

δL = ∂L∂Aµ

δAµ + ∂L∂ (∂νAµ)δ (∂νAµ) + ∂ρ

[∂L

∂ (∂ρ∂νAµ)δ (∂νAµ)]−[∂ρ

∂L∂ (∂ρ∂νAµ)

]δ (∂νAµ)

δL = ∂L∂Aµ

δAµ + ∂L∂ (∂νAµ)δ (∂νAµ) + ∂ρ

∂ν

[∂L

∂ (∂ρ∂νAµ)δAµ]− ∂ν

∂L∂ (∂ρ∂νAµ)δAµ

−[∂ρ


]δ (∂νAµ)

δL = ∂L∂Aµ

δAµ +[

∂L∂ (∂νAµ) − ∂ρ


]δ (∂νAµ) + ∂ρ

∂ν

[∂L



.

δL = ∂L∂Aµ

δAµ + ∂ν

[∂L

∂ (∂νAµ) − ∂ρ∂L

∂ (∂ρ∂νAµ)

]δAµ

− ∂ν

[∂L

∂ (∂νAµ) − ∂ρ∂L

∂ (∂ρ∂νAµ)

]δAµ

+ ∂ρ

∂ν

[∂L



.

76 APÊNDICE A. Equações de Movimento da Eletrodinâmica

δL = ∂L∂Aµ

δAµ + ∂ρ

[∂L

∂ (∂ρAµ) − ∂ν∂L

∂ (∂ν∂ρAµ)

]δAµ

+[−∂ν

∂L∂ (∂νAµ) + ∂ν∂ρ


]δAµ

+ ∂ρ

∂ν

[∂L



.

δL =[∂L∂Aµ

− ∂ν∂L

∂ (∂νAµ) + ∂ν∂ρ∂L

∂ (∂ρ∂νAµ)

]δAµ

+ ∂ρ

[∂L

∂ (∂ρAµ) − ∂ν∂L

∂ (∂ν∂ρAµ)

]δAµ + ∂ν

[∂L



.

δL =[∂L∂Aµ

− ∂ν∂L

∂ (∂νAµ) + ∂ν∂ρ∂L

∂ (∂ρ∂νAµ)

]δAµ

+ ∂ρ

∂L

∂ (∂ρAµ)δAµ − 2∂ν∂L

∂ (∂ν∂ρAµ)δAµ + ∂ν

[∂L

∂ (∂ρ∂νAµ)δAµ]

.

Logo,

δS =∫

Ωd4x

(∂L∂Aµ

− ∂ν∂L

∂ (∂νAµ) + ∂ν∂ρ∂L

∂ (∂ρ∂νAµ)

)δAµ

+∫∂ΩdSρ

∂L

∂ (∂ρAµ)δAµ − 2∂ν∂L

∂ (∂ν∂ρAµ)δAµ + ∂ν

[∂L

∂ (∂ρ∂νAµ)δAµ]

(A.12)

onde usamos o teorema de Gauss:∫Ωd4x ∂ρV

ρ =∫∂ΩdSρ V

ρ,

sendo V ρ um vetor, que, para nós, é o termo entre chaves na segunda linha de (A.12).O termo de superfície em (A.12) anula-se pois δAµ = 0 quando calculado na borda

∂Ω, de modo que a condição δS = 0 é satisfeita se

∂L∂Aµ

− ∂ν∂L

∂ (∂νAµ) + ∂ρ∂ν∂L

∂ (∂ρ∂νAµ) = 0 . (A.13)

Esta é a equacão de Euler-Lagrange para uma teoria que depende da segunda derivada docampo.

Utilizando explicitamente a métrica (1.8),

LP = −14η

µρηνσFµνFρσ + a2

2 ηµρηνσηζτ∂µFρσ∂ζFτν , (A.14)

para calcular ∂L∂Aµ

, ∂L∂(∂νAµ) e ∂L

∂(∂ρ∂νAµ) , e poder utilizar (A.14) em (A.13). Assim, em umprocedimento análogo ao feito para Maxwell, temos:

∂L∂Aα

= 0, (A.15)

devido ao fato de não haver dependência explicita em Aµ.

A.2. Equação de Movimento da Eletrodinâmica de Podolsky 77

Para ∂L∂(∂νAµ) , temos:

∂L∂ (∂αAβ) = −Fαβ. (A.16)

Para ∂L∂(∂α∂βAψ) , temos:

∂L∂ (∂α∂βAψ) = −1

4ηµρηνσ

[∂

∂ (∂α∂βAψ)FµνFρσ]

+ a2

2 ηµρηνσηζτ

[∂

∂ (∂α∂βAψ)∂µFρσ∂ζFτν],

e∂ρ∂ν

∂L∂ (∂ρ∂νAµ) = a2

(∂ρ∂

ρ∂τF µτ − ∂µ∂φ∂τF φ

τ

).

Notamos que o último termo se anula. De fato:

∂φ∂τF φ

τ = 12∂φ∂

τF φτ + 1

2∂φ∂τF φ

τ = 12∂φ∂

τF φτ − 1

2∂β∂αFαβ

Usando o mesmo raciocínio para o índice α do último termo de ∂φ∂τF φτ , temos:

∂φ∂τF φ

τ = 12∂φ∂

τF φτ − 1

2∂φ∂τF φ

τ = 0

Logo, ficamos com:

∂ρ∂ν∂L

∂ (∂ρ∂νAµ) = a2∂ρ∂ρ∂τF µ

τ = a2∂νF µν = a2∂νF

νµ , (A.17)

onde é o operador D’Alembertiano. De acordo com (A.3) η00 = +1; ηi0 = η0i = 0;ηii = −1; ηik = 0 para i 6= k. Então:

= 1c2∂2

∂t2−∇2,

onde ∇2 é o Laplaciano e ηµν é o inverso da métrica de Minkowski.Substituímos (A.15), (A.16) e (A.17) em (A.13):

−∂ν (−F νµ) + a2∂νFνµ = 0 ,

ou seja, (1 + a2

)∂νF

νµ = 0 . (A.18)

que é uma das equações de movimento da eletrodinâmica de Podolsky – Eq. (A.18).A segunda equação da Eletrodinâmica Generalizada é:

∂[µFρσ] = 0. (A.19)

logaritmo (A.19) é a mesma que (A.10): como a definição de F µν para Podolsky é a mesmade Maxwell, a identidade de Bianchi permanece válida.

79

APÊNDICE B – CONSIDERAÇÕES SOBRE UM GÁS DEFÓTONS

Este apêndice apresenta o método para passar de uma estatística discreta departículas não relativísticas para o regime contínuo de partículas relativísticas. É sabidoque o fóton apresenta uma distribuição de energia contínua e por isso, é necessário conheceressa passagem para completar o estudo proposto no presente trabalho.

A partir de agora vamos supor uma partícula não relativística com uma momentop, e em determinado instante localizada em uma posição r confinada em um recipiente devolume V . É necessário fazer uma análise do número de estados quânticos possíveis s esuas energias correspondentes εs para cada partícula não interagente. Para isso, iremosdesconsiderar por enquanto o efeito das paredes deste recipiente. Utilizando o formalismoda mecânica quântica podemos relacionar essa partícula à sua função de onda Ψ (r, t) paraposteriormente podermos fazer uso da equação de Schrödinger:

i∂Ψ (r, t)

∂t= HΨ (r, t) , (B.1)

onde H é o Hamiltoniano da partícula. Considerando que não há nenhuma força atuandosobre a partícula em questão, a energia potencial será nula e o Hamiltoniano será somentea contribuição da energia cinética (REIF, 2009):

H = p2

2m = 12m

(i∇)2

= − 12m2∇2, (B.2)

onde ∇2 é o operador Laplaciano, no espaço euclidiano:

∇2 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 . (B.3)

Usando o ansatz e logaritmo (B.2):

Ψ (r, t) = ψ (r) e−iωt, (B.4)

nlogaritmo (B.1), onde ω é a frequência, obtemos:

−2mω

ψ (r) = ∇2ψ (r) .

Usando (2.1), temos como resultado uma equação de Schrödinger independente do tempo,onde Ψ = Ψ (r, t) e ψ = ψ (r), para ε = ω:

−2mε2 ψ = ∇2ψ, (B.5)

ou∇2ψ + 2mε

2 ψ = 0. (B.6)

80 APÊNDICE B. Considerações sobre um gás de fótons

logaritmo (B.6) é uma equação de onda e tem soluções da forma mais geral do tipo:

ψ = Aei(kxx+kyy+kzz) = Aeik·r, (B.7)

onde k é o vetor de onda e A é uma constante. Substituindo (B.7) em (B.6), temos:

∇2(Aeik·r

)+ 2mε

2 Aeik·r = 0, (B.8)

considerando (B.3):

A

(∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

)(ei(kxx+kyy+kzz)

)+ 2mε

2 Aeik·r = 0,

onde (∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

)(eikxxeikyyeikzz

)=

= (ikx)2 eikxxeikyyeikzz + (iky)2 eikxxeikzz + (ikz)2 eikxxeikyy,

assim,

0 = A[(ikx)2 eikxxeikyyeikzz + (iky)2 eikxxeikzz + (ikz)2 eikxxeikyy

]+ 2mε

2 Aeik·r

0 =[(ikx)2 + (iky)2 + (ikz)2

]Aeik·r + 2mε

2 Aeik·r

0 = −(k2x + k2

y + k2z

)Aeik·r + 2mε

2 Aeik·r (B.9)

0 = −(k2x + k2

y + k2z

)ψ + 2mε

2 ψ (B.10)

A função de onda (B.7) não pode se anular dentro do recipiente em que a partícula está,por isso podemos dividir logaritmo (B.9) por ψ:

ε = 2

2m(k2x + k2

y + k2z

)= 2

2mk2, (B.11)

por isso, pode-se concluir que a energia ε é função apenas da magnitude do vetor de onda,k≡ |k|.

Sabendo que:

pψ =(i∇)ψ = A

i

(∂

∂x+ ∂

∂y+ ∂

∂z

)ei(kxx+kyy+kzz)

pψ = A[(kx) eik·r + (ky) eik·r + (kz) eik·r

]pψ = kψ.

oup = k, (B.12)

81

que é a relação de de Broglie. Tanto (B.11) quanto (B.12) são obtidos do fato que ψ devesatisfazer a equação de Schrödinger (B.1).

O próximo passo é considerar como o estado de cada fóton é especificado. Conside-remos a eletrodinâmica de Maxwell. Como estamos lidando com uma onda eletromagnética,o campo elétrico E deve satisfazer uma equação do tipo onda:

∇2E = 1c2∂2E∂t2

, (B.13)

O conjunto de soluções para ondas planas é dado por:

E = Bei(k·r−ωt) = E0 (r) e−iωt, (B.14)

onde B é uma constante e E0 satisfaz a equação de onda independente

∇2E0 +(ω

c

)2E0 = 0, (B.15)

o que concluímos após substituir (B.14) em (B.13). Sabemos que o vetor de onda satisfazas condições:

k = ω

c, k ≡ |k| . (B.16)

Inserindo (B.14) na lei de Gauss no vácuo, ∇ · E = 0, concluímos que k · E = 0.Assim, o campo elétrico deve ser transversal ao vetor de onda (REIF, 2009). Portanto,para cada k teremos duas possibilidades para a direção do campo elétrico, sabendo queeste deve ser perpendicular à k, existem dois possíveis fótons correspondentes às duaspossibilidades de polarização de E.

Entretanto, não são todos os valores do vetor de onda que são possíveis, apenasalguns valores discretos que dependem das condições de contorno. Iremos agora considerarum recipiente cúbico de lado L, ou seja, o volume V é igual a L3. Assumindo que L λ,i.e., o lado será muito maior que o comprimento de onda, para λ = 2π/k. Fora desserecipiente não poderá haver partícula, assim, x ∈ [0, L], y ∈ [0, L] e z ∈ [0, L]. Portanto, afunção de onda ψ deverá satisfazer as condições (REIF, 2009):

ψ (0, y, z) = ψ (L, y, z) = 0,

ψ (x, 0, z) = ψ (x, L, z) = 0,

ψ (x, y, 0) = ψ (x, y, L) = 0.

(B.17)

Considerando a função de onda espacial (B.7), podemos checar as condições acima impostas:

ψ (0, y, z) = Aei(kyy+kzz) (B.18)

eψ (L, y, z) = Aei(kxL+kyy+kzz), (B.19)

82 APÊNDICE B. Considerações sobre um gás de fótons

entãoAei(kyy+kzz) = Aeikyy+ikzzeikxL ⇒ 1 = eikxL .

Usando a equação de Euler,eiθ = cos θ + i sin θ,

para θ = kxL, temos1 = cos (kxL) + i sin (kxL) ,

a qual é verdadeira se:cos (kxL) = 1 (B.20)

ei sin (kxL) = 0. (B.21)

Essas equações são satisfeitas para:

kxL = 2πnx, (B.22)

onde nx são valores inteiros nx = 0, 1, 2, 3, ...Consideramos sempre números inteiro positivos para que as ondas estejam sempre

propagando no eixo x positivo. Um raciocínio análogo vale apara as outras direçõesespaciais. Assim:

kx = 2π

Lnx,

ky = 2πLny,

kz = 2πLnz.

(B.23)

A variação das componentes do vetor onda será:∆kx = 2π

L∆nx,

∆ky = 2πL

∆ny,

∆kz = 2πL

∆nz.

(B.24)

No limite termodinâmico, V é muito grande. Logo, L 1 e, então:

∆kx 1.

Isso justifica passarmos aos infinitésimos:dkx → 2π

L∆nx,

dky → 2πL

∆ny,

dkz → 2πL

∆nz;

(B.25)

ou seja, para um pequeno intervalo k e k + dk, temos:

∆nx →(L

2π

)dkx.

83

Nesse ponto é possível reconhecer o número de estados transladados ρ (k) d3k para cadavetor de onda. Dessa forma:

ρ (k) d3k = ∆nx∆ny∆nz = L3

(2π)3dkxdkydkz = V

(2π)3d3k, (B.26)

onde d3k é um elemento do espaço k. A densidade de estados ρ é independente de k eproporcional ao volume, i.e., o número de estados por unidade de volume é independentedo tamanho ou da geometria deste volume V .

Sabendo que f (k) d3k é o número médio de fótons por unidade de volume, comuma direção específica de polarização e considerando logaritmo (B.26), existem (2π)−3 d3kestados fotônicos de um tipo por unidade de volume. Usando (2.10) podemos garantir,depois de toda a argumentação acima, que a passagem de um regime discreto para ocontínuo ocorre da seguinte maneira:

lnZ (ε) = −∑εs

ln(1− e−βεs

)→ lnZ (p) = −gNV

∫ d3p(2π)3 ln

(1− e−βp

), (B.27)

sendo gN o número de graus de liberdade internos do fóton. logaritmo (B.27) é a relação(2.11) do Capítulo 2.

85

APÊNDICE C – INTEGRAIS IMPORTANTES

C.1 INTEGRAL NA FORMA∫∞

0 p2 ln(1− e−βp

)dp

Rescrevemos a integral ∫ ∞0

p2 ln(1− e−βp

)dp

da seguinte forma:∫ ∞0

p2 ln(1− e−βp

)dp = 1

3

∫ ∞0

d(p3)

ln(1− e−βp

).

Aplicamos integração por partes:

13

∫ ∞0

d(p3)

ln(1− e−βp

)=[p3

3 ln(1− e−βp

)]∞0

+

− 13

∫ ∞0

p3 β

(eβp − 1)dp,

onde o primeiro termo é zero aplicando os limites de integração. Logo,

13

∫ ∞0

d(p3)

ln(1− e−βp

)= −1

3

∫ ∞0

p3 β

(eβp − 1)dp.

Fazemos com que s = βp, assim:

13

∫ ∞0

d(p3)

ln(1− e−βp

)= − 1

3β3

∫ ∞0

s3

(es − 1)ds.

Usamos a relação entre a função Gama Γ (z) e a função zeta de Riemann ζ (z)(GRADSHTEYN; RYZHIK; TABLES, 1965):

Γ (z) ζ (z) =∫ ∞

0

sz−1

(es − 1)ds (R(z) > 1) ,

para z = 4, temos:

13

∫ ∞0

d(p3)

ln(1− e−βp

)= − 1

3β3 Γ (4) ζ (4) .

Usamos a definição da função Gama (GRADSHTEYN; RYZHIK; TABLES, 1965):

Γ (z) ≡∫ ∞

0e−ttz−1dt (R(z) > 0) , (C.1)

encontrando depois da aplicação de várias integrais por partes o seguinte resultado:

Γ (4) =∫ ∞

0e−tt3dt = 6.

86 APÊNDICE C. Integrais importantes

Assim,13

∫ ∞0

d(p3)

ln(1− e−βp

)= − 1

3β3 6ζ (4) . (C.2)

Usamos a definição da função zeta de Riemann (GRADSHTEYN; RYZHIK; TABLES,1965):

ζ (z) = 1(1− 21−z) Γ (z)

∫ ∞0

tz−1

et + 1dt, (R(z) > 0) (C.3)

assim, para z = 4, temos:

ζ (4) = 1(1− 2−3) 6

∫ ∞0

t3

et + 1dt

ζ (4) = 421

∫ ∞0

t3

et + 1dt = 421

7π4

120

ζ (4) = 421

∫ ∞0

t3

et + 1dt = π4

90 . (C.4)

Substituindo (C.4) em (C.2):

13

∫ ∞0

d(p3)

ln(1− e−βp

)= − π4

45β3 . (C.5)

C.2 INTEGRAL NA FORMA∫∞

0 p2e−kβ√p2+m2

dp

Para deduzirmos a contribuição de Podolsky na sua forma integral, é necessárioaprender como manipular a seguinte integral (MEDEIROS, 2007):

Ie =∫ ∞

0p2e−kβ

√p2+m2

dp. (C.6)

Primeiramente, essa integral vem da seguinte:

I =∫ d3p

(2π)3 e−kβ√

p2+m2,

que pode ser reescrita em coordenadas esféricas em forma de integral tripla da seguinteforma:

I = 1(2π)3

∫dpxdpydpze

−kβ√

(p2x+p2

y+p2z)+m2

I = 1(2π)3

∫ 2π

0

∫ π

0

∫ ∞0

p2e−kβ√p2+m2 sinφdpdφdθ

I = 1(2π)3 2π(2)

∫ ∞0

p2e−kβ√p2+m2

dp

I = 12π2

∫ ∞0

p2e−kβ√p2+m2

dp. (C.7)

Agora vamos chamar a integral que sobrou de uma função de β e m, pois essa integraçãoacontece em p e por isso, o resultado será alguma f (β,m). Então,

I = 12π2f (β,m) ,

C.2. Integral na forma∫∞

0 p2e−kβ√p2+m2

dp 87

onde

f (β,m) ≡∫ ∞

0p2e−kβ

√p2+m2

dp. (C.8)

Esse foi o primeiro passo para entender e tentar manipular a integral.Segundo passo é determinar quem é f (β,m) e para isso vamos investigar e manipular

a função de Bessel modificada na sua forma integral, pois ela assemelha-se muito coma integral cuja solução queremos buscar. A função de Bessel modificada é dada por(GRADSHTEYN; RYZHIK; TABLES, 1965):

Kν (z) =√π

Γ(ν + 1

2

) (z2

)ν ∫ ∞1

e−zx (x2 − 1)ν√x2 − 1

dx.

Iremos fazer a troca de variáveis:

x =√t2

m2 + 1⇒ dx = t

m21√

t2

m2 + 1dt .

Substituindo isso em Kν (z), temos:

Kν (z) =√π

Γ(ν + 1

2

) (z2

)ν ∫ ∞0

e−z√

t2m2 +1 ( t2

m2 + 1− 1)ν√

t2

m2 + 1− 1t

m21√

t2

m2 + 1dt

Kν (z) =√π

Γ(ν + 1

2

) (z2

)ν ∫ ∞0

e−z√

t2m2 +1 ( t2

m2

)νtm

t

m21√

t2

m2 + 1dt

Kν (z) =√π

Γ(ν + 1

2

) (z2

)ν ∫ ∞0

e−z√

t2m2 +1 t2ν

m2ν1m

1√t2

m2 + 1dt.

Observe que os limites de integração mudam quando fazemos essa troca de variáveis.Fazendo z ≡ βm, temos:

Kν (βm) =√π

Γ(ν + 1

2

) (βm2

)ν ∫ ∞0

e−βm

√t2m2 +1 t2ν

m2ν1m

1√t2

m2 + 1dt.

Assim:

Kν (βm) =√π

Γ(ν + 1

2

) (βm2

2m

)ν ∫ ∞0

e−β√t2+m2 t2ν

m2ν1√

t2 +m2dt

Kν (βm) =√π

Γ(ν + 1

2

) ( β

2m

)νm2ν

∫ ∞0

e−β√t2+m2 t2ν

m2ν1√

t2 +m2dt

Kν (βm) =√π

Γ(ν + 1

2

) ( β

2m

)ν ∫ ∞0

e−β√t2+m2

√t2 +m2

t2νdt. (C.9)


O terceiro passo para resolver a integral (C.6) é derivar logaritmo (C.9) em relaçãoa β:

dKν (βm)dβ

=√πν

Γ(ν + 1

2

) ( β

2m

)ν−1 ( 12m

) ∫ ∞0

e−β√t2+m2

√t2 +m2

t2νdt

+√π

Γ(ν + 1

2

) ( β

2m

)ν ∫ ∞0

e−β√t2+m2

√t2 +m2

t2ν(−√t2 +m2

)dt

dKν (βm)dβ

=√π

Γ(ν + 1

2

) νβ

(β

2m

)ν−1 (β

2m

)︸︷︷︸

( β2m)ν

∫ ∞0

e−β√t2+m2

√t2 +m2

t2νdt

−√π

Γ(ν + 1

2

) ( β

2m

)ν ∫ ∞0

e−β√t2+m2

t2νdt.

Pela regra da cadeia:

dKν (βm)d (βm)

d (βm)dβ

=√π

Γ(ν + 1

2

) νβ

(β

2m

)ν ∫ ∞0

e−β√t2+m2

√t2 +m2

t2νdt

−√π

Γ(ν + 1

2

) ( β

2m

)ν ∫ ∞0

e−β√t2+m2

t2νdt,

para obtermos algo parecido com a integral que estamos estudando, Eq. (C.6), ν tem quevaler 1. Assim,

mdK1 (βm)d (βm) =

√π

Γ(1 + 1

2

) νβ

(β

2m

)∫ ∞0

e−β√t2+m2

√t2 +m2

t2dt−√π

Γ(1 + 1

2

) ( β

2m

)∫ ∞0

e−β√t2+m2

t2dt.

Fixando ν = 1 na Eq. (C.9) e comparando com o que temos acima concluímos que:

mdK1(βm)d(βm) = 1

βK1 (βm)−

√π

Γ(1+ 12)(β

2m

) ∫∞0 e−β

√t2 +m2t2dt.

(C.10)

Para rescrever a integral do lado direito de (C.10), usaremos a função Gama(também chama de função fatorial). Por definição (GRADSHTEYN; RYZHIK; TABLES,1965):

Γ (z) ≡∫ ∞

0e−ttz−1dt (R(z) > 0) ,

que, assim como o fatorial, satisfaz a propriedade:

Γ (z + 1) = zΓ (z) ,

Na Eq. (C.10) aparece Γ(1 + 1

2

), por isso z = 1

2 . Então:

Γ(1

2 + 1)

= 12Γ

(12

), (C.11)

ondeΓ(1

2

)=∫ ∞

0e−tt

12−1dt =

∫ ∞0

e−tt−12dt.


0 p2e−kβ√p2+m2

dp 89

Pela substituição de variáveis t = u2, temos que dt = 12u du e, obviamente,

√t = u. Assim:

Γ(1

2

)=∫ ∞

0

e−u2

u

12udu

Γ(1

2

)= 1

2

∫ ∞0

e−u2du, (C.12)

que é similar à integral de Gauss,

IG ≡∫ ∞−∞

e−u2du .

Como e−u2 é uma função simétrica com respeito à origem u = 0, a integral de Gauss podeser escrita como:

IG = 2∫ ∞

0e−u

2du

I2G = 4

(∫ ∞0

e−u2du)(∫ ∞

0e−u

2du)

I2G = 2

(∫ ∞0

e−u2du)(∫ ∞

0e−w

2dw)

I2G = 2

∫ ∞0

e−u2−w2

dudw

I2G = 2

∫ ∞0

e−(u2+w2)dudw,

em coordenadas polares r2 = u2 + w2, onde o Jacobiano é rdrdθ. Logo,

I2G = 2

∫ 2π

0

∫ ∞0

e−r2rdrdθ,

por substituição simples chamando y = −r2, temos dy = −2rdr. Então,

I2G

2 = −12

∫ 2π

0

∫ −∞0

eydydθ

I2G

2 = −12 (2π)

(e−r

2)∞0

I2G

2 = −π (0− 1)

I2G

2 = π,

i.e.,IG = 2

√π. (C.13)

Substituindo o resultado da função erro (C.13) em (C.12):

Γ(1

2

)= 1

22√π

Γ(1

2

)=√π. (C.14)

Substituindo (C.14) em (C.11):

Γ(1

2 + 1)

= 12√π. (C.15)


Substituindo o valor da nossa função Gama C.15 na nossa função modificada de Bessel,Eq. (C.10):

mdK1 (βm)d (βm) = 1

βK1 (βm)− 2

√π√π

(β

2m

)∫ ∞0

e−β√t2+m2

t2dt

dK1 (βm)d (βm) = 1

βmK1 (βm)−

(β

m

)1m

∫ ∞0

e−β√t2+m2

t2dt.

É possível reconhecer no segundo termo depois da igualdade a integral que estávamos àprocura [vide (C.8)]. Então,

dK1(βm)d(βm) = 1

βmK1 (βm)−

(βm

)1mf (β,m). (C.16)

Para continuarmos as contas, precisaremos lançar mão das relações de recorrênciadas funções modificadas de Bessel (ARFKEN; WEBER, 2007):

Kν−1 (x)−Kν+1 (x) = −2νx

Kν (x) , (C.17)

eKν−1 (x) +Kν+1 (x) = −2ν dKν (x)

dx. (C.18)

Para ν = 1, a Eq. (C.18) tomará a seguinte forma:

K0 (x) +K2 (x) = −2x

dK1 (x)dx

,

onde x ≡ βm, na nossa notação, assim:

K0 (βm) +K2 (βm) = −2dK1 (βm)d (βm)

dK1 (βm)d (βm) = −K0 (βm)−K2 (βm)

2 . (C.19)

Igualando as Eqs. (C.16) e (C.19):−K0 (βm)−K2 (βm)

2 = 1βm

K1 (βm)−(β

m

)1mf (β,m) (C.20)

Agora reescrevendo a Eq. (C.17) com ν = 1, temos:−K0 (βm)

2 + K2 (βm)2 = K1 (βm)

βm

K2 (βm)2 = K1 (βm)

βm+ K0 (βm)

2 . (C.21)

Substituindo (C.21) em (C.20):−K0 (βm)

2 − 1βm

K1 (βm) +(β

m

)1mf (β,m) = K2 (βm)

2−K0 (βm)

2 − 1βm

K1 (βm) +(β

m

)1mf (β,m) = K1 (βm)

βm+ K0 (βm)

2

−K0 (βm)2 − K0 (βm)

2 +(β

m2

)f (β,m) = K1 (βm)

βm+ K1 (βm)

βm


0 p2e−kβ√p2+m2

dp 91

−K0 (βm) +(β

m2

)f (β,m) = 2K1 (βm)

βm

K0 (βm)2 + K1 (βm)

βm= 1

2βm

(β2

m

)f (β,m) .

Pela Eq. (C.21):

K2 (βm)2 = 1

2βm

(β2

m

)f (β,m)

K2 (βm) =(β

m2

)f (β,m)

f (β,m) = K2 (βm)(m2

β

). (C.22)

Com várias manipulações algébricas e conhecimentos de física matemática, foipossível manipular uma função especial e encontrar uma primitiva analítica para umintegral sem solução tabelada.

Assim, a integral (C.6), ficará considerando um k qualquer, onde k ∈ R∗, juntamentecom βm:

Ie =∫ ∞

0p2e−kβ

√p2+m2

dp = K2 (kβm)(m2

kβ

)

Ie = βm4 K2 (kβm) 1k

(1

β2m2

)

Ie = βm4 1k

K2 (kβm)(βm)2 . (C.23)

Eletrodinâmica de Podolsky Aplicada à Cosmologia · RESUMO...

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