Fluxo de Potência em Redes Modeladas no Nível de Subestação.
Eletricidade A - ENG04474 AULA X. Potência em Bipolos P(t) = v(t)i(t) = Fluxo de Energia P(t) =...
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Eletricidade A - ENG04474Eletricidade A - ENG04474
AULA XAULA X
Potência em BipolosPotência em Bipolos
P(t) = v(t)i(t) =P(t) = v(t)i(t) = Fluxo de EnergiaFluxo de Energia
A potência é (geralmente) uma função do tempoA potência é (geralmente) uma função do tempo O fluxo de energia pode ser positivoO fluxo de energia pode ser positivo (bipolo recebe energia) (bipolo recebe energia) ou negativoou negativo
(bipolo fornece energia), dependendo do momento (bipolo fornece energia), dependendo do momento tt em que se observa. em que se observa.
P(t)P(t) é denominada POTÊNCIA INSTANTÂNEA é denominada POTÊNCIA INSTANTÂNEA
0 1 2 3 4 5-3
-2
-1
0
1
2
3
Potência InstantâneaPotência Instantânea
Exemplo:Exemplo:
ii((tt)=cos(5t)+2e)=cos(5t)+2e-2t-2t
vv(t)=-sen(5t)-0,8e(t)=-sen(5t)-0,8e-2t-2t
i(t)v(t)
p(t)
Bipolo recebe energia
Bipolo fornece energia
Potência MédiaPotência Média
A Potência Média é definida como:A Potência Média é definida como:
Tt
t
dttpT
P0
0
)(1
Onde T é o período de tempo em que se calcula o valor médio
2 4 5 6
6
-5
-2
T=4
p(t) WP 6562456245
41
Fluxo médio de Energia entre 2s e 6s
foi de -6J/s
Potência Instantânea em Bipolos Potência Instantânea em Bipolos sob Excitação Senoidal em RPsob Excitação Senoidal em RP
vv(t)=(t)=VVMMcos(cos(t+t+vv))
ii((tt)=)=IIMMcos(cos(t+t+ii))
pp((tt) =) = VVMMcos(cos(t+t+vv)) IIMMcos(cos(t+t+ii))
tIVt
IVIVtp iv
MMiv
MMiv
MM 2sensen2
2coscos2
cos2
P P Q
p(t) =P+Pcos(2t)-Qsen(2t)
Potência Instantânea em Bipolos sob Potência Instantânea em Bipolos sob Excitação Senoidal em RPExcitação Senoidal em RP
ExemploExemplo
0 1 2 3 4 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
p(t) =P+Pcos(2t)-Qsen(2t)
PP
Potência Média em Bipolos com Potência Média em Bipolos com Excitação Senoidal em RPExcitação Senoidal em RP
dttQtPPdttpT
PTt
t
2
0
0
0
2sen2cos2
)(1
PP
0 1 2 3 4 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Potência em R, L e C sob Excitação Potência em R, L e C sob Excitação SenoidalSenoidal
Resistores ( Resistores ( vv - - ii =0) =0)
pp((tt) ) = = P P + + PPcos(2cos(2t)t) ; ; Q=0Q=0
Indutores ( Indutores ( vv - - ii = 90º) = 90º)
pp((tt) ) = = -Q-Qsen(2sen(2t)t) ; ; P=0P=0
Capacitores ( Capacitores ( vv - - ii = -90º) = -90º)
pp((tt) ) = = QQsen(2sen(2t)t) ; ; P=0P=0
p(t) =P+Pcos(2t)-Qsen(2t)
PP = Potência Média ou Real
(Watts) (W)
QQ = Potência Reativa (Volt-Ampere Reativo)
(VAr)
Fator de PotênciaFator de Potência
O ângulo O ângulo = = v v - - ii é denominado ângulo do fator de potência é denominado ângulo do fator de potência
cos(cos() ) é denominadoé denominado de fator de potência (fp) de fator de potência (fp) do bipolodo bipolo
Como cos(v - i )= cos(i - v ) costuma-se associar ao fp os termos “fator de potência atrasado (>0 - característica indutiva) ” ou “fator de potência adiantado (<0 - característica capacitiva) ”
p(t) =P+Pcos(2t)-Qsen(2t)
ivMM IV cos
2P iv
MM IVQ sen
2
Potência ComplexaPotência Complexa Representação Fasorial da PotênciaRepresentação Fasorial da Potência em Circuitos RLC em Circuitos RLC
com excitação Senoidal em RPcom excitação Senoidal em RP
tQtPPtp 2sen2cos)(
ivPQ
QPtPtp 1-22 tg e onde 2cos)( SS
tjjjtj eePePtp 22 ReRe)( SS
SSS jQPePtp tj onde Re)( 2
0 onde ReRe)( 20 jPeetp tjtj PSP
tjtj eetp 20Re)( SP
Não gira Gira (freq. 2)
2
PS*
p(t)
imag.
real
Obs: S*=P-jQ
Potência ComplexaPotência Complexa
Obtendo oObtendo o Fasor Fasor SS a partir dos a partir dos fasores fasores VV e e II::
jQP S
ivivMM j
IV sencos2
S
ivjMM eIV
2S
iMvMivMM IVIV 21
21
S
*
21
VIS
vMV V
iMI I
Valor Médio Quadrático Valor Médio Quadrático (RMS) ou Valor Eficaz(RMS) ou Valor Eficaz
O valor médio quadrático de um sinal x(t) é definido como:O valor médio quadrático de um sinal x(t) é definido como:
O valor eficaz (RMS) de uma senóide é:O valor eficaz (RMS) de uma senóide é:
Tt
t
eficaz dttxT
X0
0
2)(1
Tt
t
Meficaz dttXT
X0
0
2cos1
2M
eficaz
XX
Potência ComplexaPotência Complexa
Se expressarmos as amplitudes das tensões e correntes de um circuito por seus valores eficazes todos os módulos dos fasores correspondentes ficarão divididos por raiz de dois.
Pelo princípio da linearidade, se dividirmos as amplitudes de todas as fontes independentes do circuito por raiz de dois, então todas as tensões e correntes do circuito passarão a ser divididas por raiz de dois.
Usando fasores de módulo Eficaz:
i
Mv
MjMM IVe
IViv
222S
*efefIVS
Formas Alternativas para a Formas Alternativas para a Potência ComplexaPotência Complexa
Partindo-se de Partindo-se de S =S = VVefef.I.Iefef** pode-se escrever pode-se escrever SS como: como:
*efefefef IIZSIZV
2
efIZS Note que o ângulo de S é igual ao ângulo z de Z
z 2
efIZS
*
*efef
*
efef
efef Z
VVZV
VSZV
I
*
2
ef
Z
VS
ouou