Wykład VII

ELEMENTY IDEALNE: OPORNIK, CEWKA I

KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

IDEALNA REZYSTANCJA W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Symbol rezystora:

Idealny rezystor w obwodzie prądu przemiennego:

Wykres wektorowy (wskazowy):

L=0; C=0

IDEALNA REZYSTANCJA W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Przebiegi czasowe wartości chwilowych prądu i napięcia idealnego opornika R.

MOC CHWILOWA

Moc chwilowa p jest funkcja sinusoidalną o podwójnej częstotliwości, bez składowej stałej i co ćwierć okresu zmienia swój znak.Gdy przy zgodnych znakach napięcia i prądu moc chwilowa jest dodatnia p=ui>0, odbiornik pobiera w danej chwili ze źródła moc p oraz w czasie elementarnym dt energie w ilości pdt. Gdy p=ui

IDEALNA REZYSTANCJA W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Moc w obwodzie z rezystorem idealnym

Moc chwilowa jest funkcją tętniącą.Moc tracona na idealnym rezystorze jest MOCĄ CZYNNĄ

Tworzenie przebiegu mocy chwilowej p(t) idealnego opornika R

IDEALNA POJEMNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Symbol kondensatora:

Idealna pojemność w obwodzie prądu przemiennego:

Wykres wektorowy (wskazowy):

R=0; L=0

IDEALNA POJEMNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Przebiegi czasowe wartości chwilowych prądu i napięcia idealnego kondensatora C.

Napięcie chwilowe na pojemności opóźnia sięwzględem prądu chwilowego o kąt fazowy -ππππ/2 (-90 stopni). Lub Prąd chwilowy (i) na pojemności wyprzedza w fazie napięcie chwilowe (u) o kąt fazowy +ππππ/2 (+90 stopni).

IDEALNA POJEMNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Zależność prądowo-napięciowa :

Kąt fazowy :

Zależność częstotliwościowa :

Reaktancja pojemnościowa lub biernyopór pojemnościowy:

Susceptancja pojemnościowa lub przewodność bierna pojemnościowa (jednostką jest 1simens (1S))

IDEALNA POJEMNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Moc w obwodzie z kondensatorem idealnym :

Idealny kondensator nie pobiera mocy czynnej.Moc tracona na idealnym kondensatorze jest MOCĄ BIERNĄ POJEMNOŚCIOWĄ

Tworzenie przebiegu mocy chwilowej p(t) idealnej pojemności C:

Q=UIsinϕϕϕϕ dla idealnego kondensatora przy ϕϕϕϕ= - ππππ/2; Q= - UI; moc bierna jest równa co do bezwzględnej wartości mocy pozornej S=Q.Moc bierna pojemnościowa ma znak przeciwny do znaku mocy biernej indukcyjnej.

IDEALNA INDUKCYJNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Symbol cewki (indukcyjności) :

Idealna indukcyjność w obwodzie prądu przemiennego:

Wykres wektorowy (wskazowy):

R=0; C=0

IDEALNA INDUKCYJNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Przebiegi czasowe wartości chwilowych prądu i napięcia idealnej indukcyjności L.

Napięcie chwilowe na indukcyjności wyprzedza prąd chwilowy o kąt fazowy +ππππ/2 (+90 stopni).

Lub

Prąd chwilowy (i) na indukcyjności opóźnia się w fazie za napięciem chwilowym (u) o kąt fazowy -ππππ/2 (-90 stopni).

IDEALNA INDUKCYJNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Zależność prądowo-napięciowa :

Kąt fazowy :

Zależność częstotliwościowa :

Reaktancja indukcyjna lub opór biernyindukcyjny:

Susceptancja indukcyjna lub przewodność bierna indukcyjna (jednostką jest 1simens (1S))

IDEALNA INDUKCYJNOŚĆ W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Moc w obwodzie z indukcyjnością idealną :

Idealna indukcyjność nie pobiera mocy czynnej.Moc tracona na idealnej indukcyjności jest MOCĄ BIERNĄ INDUKCYJNĄ.

Tworzenie przebiegu mocy chwilowej p(t) idealnej indukcyjności L:

MOC CHWILOWA I ŚREDNIA UKŁADU ZŁOŻONEGO

Wyznaczanie wartości średniej mocy p(t) szeregowego układu RL.

Moc czynna

z wykresu wektorowego wynika, że:

zatem

Moc bierna

z wykresu wektorowego

zatem

Moc pozorna

po uwzględnieniu U=ZI otrzymamy S=ZI2 przy czym

MOC CHWILOWA I ŚREDNIA UKŁADU ZŁOŻONEGO

Wykres wektorowy napięć i prądów szeregowego układu RL.

MOC CHWILOWA I ŚREDNIA UKŁADU RLC

Moc średnia układu RLC:

MOC CZYNNA, BIERNA I POZORNA

Moc w układzie RLC:

Dodaniu wartości chwilowych napięć zgodnie z drugim prawemKirchhoffa, odpowiada dodanie geometryczne wektorów odwzorowujących poszczególne napięcia na elementach RLC

Napięcie na zaciskach dwójnika jest sumą geometryczną napięć na poszczególnych elementach. U=UR+UL+UC równanie to wyraża drugie prawo Kirchhoffa w postaci zespolonej: suma wektorów wartości skutecznej napięć źródłowych występujących w oczku równa się sumie wektorów wartości skutecznej napięć na wszystkich elementach oczka.

MOC CZYNNA, BIERNA I POZORNA

Wyznaczenie napięcia układu U:

gdzie:

oraz I – wspólny prąd układu; Po obustronnym pomnożeniu równanie (*) przez prąd I:

(*)

Oznaczając :

Otrzymuje się :

MOC CZYNNA, BIERNA I POZORNA

stąd otrzymamy trójkąt mocy :

Trudne ☺

S - MOC POZORNA – iloczyn wartości skutecznej napięcia i prądu, (jednostka 1 woltoamper [VA]).

P - MOC CZYNNA – nazywana wartością średnią mocy chwilowej. Iloczyn wartości skutecznej napięcia i prądu oraz kosinusa kata (zwanego współczynnikiem mocy) przesunięcia fazowego między napięciem i prądem (jednostka 1 wat [W]).

Q - MOC BIERNA – iloczyn wartości skutecznej napięcia i prądu oraz sinusa kata przesunięcia fazowego, (jednostka 1 war [VAr]).

Q = 0 →→→→ ϕϕϕϕ > 0; odbiornik rezystancyjny,Q > 0 →→→→ ϕϕϕϕ > 0; odbiornik rezystancyjno – indukcyjny,Q < 0 →→→→ ϕϕϕϕ < 0; odbiornik rezystancyjno – pojemnościowy,

TRÓJKĄT OPORNOŚCI (IMPEDANCJI) W UKŁADACH PRĄDU PRZEMIENNEGO

Obustronne dzielenie równania (*) przez prąd I:

TRÓJKĄT OPORNOŚCI (IMPEDANCJI) W UKŁADACH PRĄDU PRZEMIENNEGO

Z – czyli impedancja układu wynosi :

Napięcia na reaktancjach wynoszą odpowiednio:

XL – reaktancja indukcyjna

Xc – reaktancja pojemnościowa

gdzie: ωωωω=2ππππf

Przy połączeniu szeregowym n gałęzi o impedancjach:

TRÓJKĄT OPORNOŚCI (IMPEDANCJI) W UKŁADACH PRĄDU PRZEMIENNEGO

Z – impedancja układuX– reaktancjaR – rezystancja

Reaktancja X dwójnika szeregowego R,L,C w zależności od L,C,ωωωω, może być:

- dodatnia XL > XC;

- ujemna XL < XC;

- równa zeru XL = XC (rezonans napięć).

zatem:

X>0 →→→→ ϕϕϕϕ>0, kąt fazowy jest dodatni, obwód ma charakter indukcyjny,

X

UKŁADY ROZGAŁEZIONE, UKŁAD RÓWNOLEGŁY RLC

Układ równoległy RLC i jego wykres wektorowy

IR=GUIC=ωωωωCU=BCUIL=(1/ωωωωC)U=BLU

UKŁADY ROZGAŁEZIONE, UKŁAD RÓWNOLEGŁY RLC

Prawo Ohma dla układu równoległego:

UKŁADY ROZGAŁEZIONE, UKŁAD RÓWNOLEGŁY RLC

Z – impedancja układuX– reaktancjaR – rezystancja B – susceptancjaG – konduktancjaY - admitancja

Susceptancja B dwójnika równoległego R,L,C, w zależności od L,C,ωωωω, może być: dodatnia BC>BL; ujemna BC0 →→→→ ϕϕϕϕ

RÓWNOWANA ZAMIANA UKŁADU OPOROWEGO RLC NA UKŁAD PRZEWODNOSCIOWY.

Należy dokonać równoważnej zamiany:

stad:

Po podstawieniu a, b, c do wyrażeń na G i B, otrzymuje się:

Zatem admitancja układu równoległego w zależności od R i X układu szeregowego ma postać:

ZJAWISKO REZONANSU

Jeżeli częstotliwość drgań wymuszonych jest równa częstotliwości drgań swobodnych, mówimy, że w obwodzie elektrycznym (układzie fizycznym) występuje zjawisko rezonansu.

Zjawisko rezonansu przedstawia taki stan pracy obwodu elektrycznego, przy którym reaktancja wypadkowa (rezonans napięć) obwodu lub susceptancja wypadkowa (rezonans prądów) obwodu jest równa zeru.

W stanie rezonansu napięcie i prąd na zaciskach rozpatrywanego obwodu są zgodne w fazie, tzn. argument impedancji zespolonej (rez. napięć) lub admitancji zespolonej (rez. prądów) jest równy zeru (ϕϕϕϕ=0).

Częstotliwość, przy której reaktancja wypadkowa lub susceptancjawypadkowa obwodu jest równa zeru, nazywa się częstotliwościąrezonansową i oznaczana jest fr lub f0.

Zachodzi kompensacja napiec lub prądów.

REZONANS NAPIEĆ

Zjawisko rezonansu napieć w gałęzi szeregowej polega na tym, że przy określonej częstotliwości, zwanej częstotliwością rezonansowąnapięcia na cewce oraz kondensatorze są równe co do modułu, a przeciwne co do znaku, wobec czego ich suma wektorowa jest równa zeru.

Warunek wystąpienia rezonansu napięć:

REZONANS NAPIEĆ

Warunek wystąpienia rezonansu napięć:

DOBROC UKŁADU REZONANSOWEGO

Dobroć układu rezonansowego określa: ile razy napięcie na indukcyjności (lub pojemności) przewyższa napięcie na wejściu układu.

Wykres wektorowy napięć i prądów w przypadku rezonansu napiec.

Dobroć układu rezonansowego Q (dla rezonansu napięć):

DOBROC UKŁADU REZONANSOWEGO

Określenie dobroci układu rezonansowego Q jeśli {R, L, C i U} = const

korzystając z wyrażenia na dobroć Q:

otrzymuje się równanie prądowe I = f (ω) z parametrem Q:

(**)

PRZEBIEGI I, Z, UL, UC W FUNKCJI CZĘSTOTLIWOŚCI

Funkcje I, Z, UL, UC = f (ω) opisują zjawisko rezonansu w układzie szeregowym:

2

2 1

−+

=

CLR

EI

ωω

2

2 1

−+

⋅=⋅=

CLR

ERIRU R

ωω

2

2 1

−+

⋅=⋅=

CLR

ELIXU LL

ωω

ω

2

2 1

−+

=⋅=

CLRC

EIXU CC

ωωω

Zostaną przedstawione charakterystyki rezonansowe, tzn. wykresy wartości skutecznych prądu I oraz napięć UR , UL i UC , przy stałej wartości skutecznej E sinusoidalnego napięcia źródłowego o zmiennej pulsacji ωωωω , jako funkcje tej pulsacji. Podstawę sporządzenia wykresów stanowią zależności:

PRZEBIEGI I, Z, UL, UC W FUNKCJI CZĘSTOTLIWOŚCI

Funkcje I, Z, UL, UC = f (ω) opisują zjawisko rezonansu w układzie szeregowym:

Charakterystyki częstotliwościowe XL, XC, Z, ϕϕϕϕ, I

Przebiegi: U, I, Z, UC, UL w funkcji częstotliwości. (wykres charakterystyk amplitudowych)

PASMO PRZEPUSZCZANIA

Jeśli rezystancja R układu rezonansowego rośnie, jego dobroć Q maleje i odwrotnie.

Ilustracja wyznaczania pasma przepustowego (ωωωω1 -ωωωω2) w zależności od dobroci Q układu rezonansowego.

PASMO PRZEPUSZCZANIA

Moc pobierana przez układ przy rezonansie:

Prąd określony jest z warunku połowy mocy maksymalnej:

stąd:

Zatem pasmo przepuszczania wyznacza podział częstości: ,

gdy

Dobroć układu rezonansowego:

rIUP ⋅=

max

2222

1max

rIUIUP ⋅=⋅

=2

rI

I =

21ωωω ≤≤

2

rI

I ≥

QL

R

rr

112 =⋅

=−

ωωωω

PRZYKŁAD OBLICZENIOWY

Dane: R = 10 Ω, L = 1, C = 1 µF, U = 10 mV.

Szukane: = ?, Q = ?, UC = ?

]s[10

10

11 13

6

−−

==⋅

=CL

oω

10010

1103

=⋅

=⋅

=R

LQ o

ω

]mA[110

01,0===

R

UI

]V[101,0100 =⋅=⋅= UQUC

REZONANS PRĄDÓW

Zjawisko rezonansu prądów w gałęziach równoległych polega natym, że przy określonej częstotliwości, zwanej częstotliwościąrezonansową prądy na cewce oraz kondensatorze są równe co do modułu, a przeciwne co do znaku, wobec czego ich suma wektorowa jest równa zeru.

Warunek wystąpienia rezonansu prądu:

REZONANS PRĄDÓW

PRZEBIEGI W FUNKCJI CZĘSTOTLIWOŚCI

Funkcje IC IL IG, U, Y = f (ω) opisują zjawisko rezonansu w układzie równoległym:

Rys. 3 Charakterystyki częstotliwościowe obwodu rezonansu prądów

Przebiegi: BL, BC, Y w funkcji częstotliwości.

Kirchhoff Gustaw Robert (1824-1887)

Urodził się w Królewcu, jako trzeci syn radcy prawnego. Podczas studiów na miejscowym uniwersytecie oraz po ich ukończeniu zajmował się głównie badaniem prądów elektrycznych. Wynalazłsilne ogniwo elektryczne (znane pod jego nazwiskiem), które składało się z cynku i węgla, a jako elektrolit i depolaryzator użyłkwasu siarkowego i azotowego.

W latach 1845-1848 odkrył prawa przepływu prądu elektrycznego stanowiące podstawę teorii obwodów elektrycznych, nazwane później na jego cześć prawami Kirchhoffa:

•pierwsze prawo Kirchhoffa mówi, iż suma algebraiczna prądów przepływających przez wszystkie przewody w sieci łączące się w jednym punkcie jest równa zeru,

•drugie prawo Kirchhoffa mówi, iż suma algebraiczna sił elektromotorycznych wewnątrz dowolnego obwodu zamkniętego jest równa sumie iloczynów natężenia prądów i oporów elektrycznych w różnych częściach tego obwodu.

Kirchhoff Gustaw Robert (1824-1887)

W 1950 r. został profesorem we Wrocławiu, zaś mając 30 lat podjął pracę na uniwersytecie w Heidelbergu. W 1857 r. podał ogólną teorię przepływu prądu w przewodnikach.W 1858 r. przedstawił tzw. równanie telegraficzne, za pomocą którego wykazał, że wzdłuż przewodów rozchodzi się "fala elektryczna", na którą nakłada siępodobna fala odbita (o kierunku przeciwnym). Wykazał też, że fale te rozchodząsię z prędkością zbliżoną do prędkości światła. Odkrycie to przyczyniło się do powstania jednolitej teorii fal Maxwella.

Inne prace związane z elektrycznością Kirchhoffa dotyczyły obliczania pojemności kondensatorów oraz związane były z badaniami pól elektrycznych. Prowadził również badania nad wzajemnym oddziaływaniem pól elektrycznych i magnetycznych z mechanicznymi naprężeniami i odkształcaniem materiałów. Zainteresowania Kirchhoffa obejmowały również inne dziedziny fizyki. Zajmował się optyką, ciepłem, mechaniką ciał stałych, hydrodynamiką, fizykąmatematyczną i teorią sprężystości.

asługą Kirchhoffa w dziedzinie zjawisk świetlnych, a w szczególności analizy spektralnej, było odkrycie absorpcji światła, co umożliwiło identyfikacjępierwiastków znajdujących się na Słońcu i na innych obiektach kosmicznych. Dzięki analizie spektralnej odkrył pierwiastki: cez i rubid.Jego odkrycia przyczyniły się do nadania mu wielu tytułów akademii naukowych.

KONIEC WYKŁADU VII