Eléments d'algèbre linéaire Matrices Calcul matriciel Déterminant Résolutions des systèmes d...
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Eléments d'algèbre linéaire
• Matrices
• Calcul matriciel
• Déterminant
• Résolutions des systèmes d ’équations linéaires, règle de Cramer.
• Inversion de matrice
• Ensembles convexes
Matrices
npnjnn
ipijii
pj
pj
pnij
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aA
21
21
222221
111211
,
A est une matrice de dimension np
Exemples de matrice carrée
Matrice diagonale
nna
a
a
00
0
0
00
22
11
nn
n
a
aa
00
0111
Matrice triangulaire
100
0
10
001
Matrice unité
npnn
p
p
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
nppp
n
n
t
aaa
aaa
aaa
A
21
22212
12111
Transposé d ’une matrice
Calcul matriciel
npnn
p
p
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
npnn
p
p
bbb
bbb
bbb
B
21
22221
11211
• Egalité de 2 matrices: aij=bij, i, j• Somme de 2 matrices: cij=aij+bij, i, j• Multiplication d'une matrice par un scalaire : cij= aij i, j
Remarque: A et B sont de même dimension
Calcul matriciel: Produit de 2 matrices
colonnes q
21
21
222221
111211
lignes p
pqpjpp
iqijii
qj
qj
bbbb
bbbb
bbbb
bbbb
colonnes p
21
21
222221
111211
lignesn
npnjnn
ipijii
pj
pj
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
nqnjnn
iqijii
qj
qj
cccc
cccc
cccc
cccc
21
21
222221
111211
le nombre de lignes de la matrice B est égal au nombre de colonnes de la matrice A.
Notions sur les matrices
•On appelle rang de la matrice A de dimension np le nombre maximum de vecteur indépendants parmi les p vecteurs colonnes de A.•On appellera matrice inverse d'une matrice carrée A d'ordre n, la matrice notée A-1 vérifiant A-1.A=I (avec I la matrice unité).
Déterminants d’ordre 2
(II) )(
)( (I)
21111221122211
12222121122211
22212
11211
ababaaaay
ababaaaax
byaxa
byaxa
122122112221
1211 aaaaaa
aa
221
111
211112222
121
122221 , I)(ba
ba
ababy
ab
ab
ababx
déterminant d'ordre 2 :
• Si = 0, le système est indéterminé si les second membres de (II) sont nuls, et impossible autrement. • Si 0, alors on a
0
19503)19(53
)11(1)11(14
71
235
11
333
17
3253
25
131
52
3114
171
535
323
3
101
525
313
4
0340
1071
5235
3123
Méthode de calcul des déterminants
Propriétés des déterminants
• Tout déterminant ayant deux de ses lignes (ou deux de ses colonnes) égales ou proportionnelles est nul.• Multiplier par un même facteur tous les éléments d'une même
ligne ou d'une même colonne d'un déterminant revient à multiplier la valeur de ce déterminant par .• On ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant aux éléments d'une ligne (ou d'une colonne) les quantités proportionnelles aux éléments correspondants dzs autres lignes (ou colonnes)
Résolution des systèmes d’équations linéaires: Règle de Cramer
Pour chaque inconnue le numérateur s'obtient en remplaçant dans les coefficients de cette inconnue par les termes constant du second membre du système
221
111
211112222
121
122221 ,ba
ba
ababy
ab
ab
ababx
0
Exemple de résolution des systèmes d’équations linéaires: Règle de Cramer
0674
522
96 3
852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
027
6740
2120
6031
1512
Exemple de résolution des systèmes d’équations linéaires: Règle de Cramer
327
816740
2125
6039
1518
1
x 427
1086701
2150
6091
1582
2
x
127
276041
2520
6931
1812
3
x 127
270741
5120
9031
8512
4
x
Résolution des systèmes d’équations linéaires: Inversion d’une matrice
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bXA
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
.
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
Résolution des systèmes d’équations linéaires: Inversion d ’une matrice
A.X=I.B I.X=A-1B
100
010
001
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1
100
010
001
A
Exemple d’inversion d ’une matrice
121
423
312
Quelle est la matrice inverse de ?
100
010
001
121
423
312
III
IIIII
IIII
4
3
100
410
301
1210
0107
075
62
11423
932
321
321
321
xxx
xxx
xxx
En déduire la solution du système
Exemple d’inversion d ’une matrice
IIIII
II
III
5
1
10
7
5
1
5
10
4105
1
10
71
105
20107
0010
1
IIII
III
I
4
70
134
1050705
1
10
71
100
0100
0010
1
III
II
I
110
110
134
157
2710
100
010
001
134
157
27101A
Exemple d’inversion d ’une matrice
La solution du système d'équation est donc
3
2
1
6
11
9
134
157
2710
3
2
1
x
x
x
Ensemble convexe
Un ensemble (de points) E est dit convexe s'il contient en entier le segment de droite joignant deux quelconque de ses points. C'est à dire que si x et y sont les coordonnées de deux point de E, alors pour toute valeur du coefficient dans l'intervalle [0,1], la combinaisons linéaire (dite combinaison linéaire convexe) x+(1-)y représente un point qui appartient à E.
Ensemble convexe
On appelle points extrémals (ou points angulaires d'un ensemble convexe des points qui ne sont situés à l'intérieur d'aucun segment joignant deux points de l'ensemble.
cercle carré droite
Nous appellerons polyèdre convexe tout ensemble convexe fermé borné dont l'ensemble des points extrémals est fini. Par ensemble fermé, nous entendons un ensemble qui contient tous ses points extrémals.
Ensemble convexe
Proposition: Si K est un polyèdre convexe fermé, tout point x, combinaison linéaire convexe des points angulaires de l'ensemble K, appartient à cet ensemble.
Polyèdre convexe Fermé mais non borné