Elementos Finitos de Viga

FEM

Ing. NelsonM.

Lafontaine,Ph. D

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Viga de Bernoulli

Viga de Timoshenko

Elementos Finitos de Viga

Ing. Nelson M. Lafontaine, Ph. D

INTECInstituto Tecnologico de Santo Domingo

Ing. Nelson M. Lafontaine, Ph. D FEM

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Indice

1 VigasIntroduccionViga de BernoulliViga de Timoshenko


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Seccion 1

Vigas


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Placas

Objetivos de la unidadIntroducir al alumno a la formulacion por EF de elemento viga.Se estudiara dos vertientes: La viga de Bernoulli y la viga deTimoshenko.


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Viga de Bernoulli

Viga de Bernoulli. Hipotesis1 Las flechas de todos los puntos de una seccion transversal

son pequenos e iguales.2 El desplazamiento lateral es nulo.3 Las secciones transversales normales al eje de la viga antes

de la deformacion, permanecen planas y ortogonales adicho eje despues de la deformacion.


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Figura 1 : Viga de Bernoulli


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Viga de Bernoulli

Campo de desplazamientos

u(x ,z) = −zθx (1.1)v(x ,z) = 0 (1.2)w(x ,z) = w (1.3)

θx =dwdx (1.4)

(1.5)


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Viga de Bernoulli

Campo de deformaciones

εf =

(εxεyγxy

)=

dudx00

=

−z ddx( dw

dx)

00

(1.6)

εx = −z d2wdx2 (1.7)


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Viga de Bernoulli

Relacion Tension-Deformacion

σx = Eεx = −zE d2wdx2 (1.8)

(1.9)

Momento Flector (+)

M = −∫∫

Azσx dA =

∫∫A

z2E d2wdx2 dA = EIχ (1.10)

(1.11)


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Figura 2 : Convenios de signos para tensiones y momentos en una viga.


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Viga de Bernoulli

Expresion de los principios de trabajos virtuales∫∫∫VδεxσdV = −

∫lδwqdx −

∑iδwi Wi +

∑jδθxi Mj (1.12)

δU =

∫∫∫VδεxσdV (1.13)

=

∫l

[∫∫A

(−zδ d2wdx2 )(−zE d2w

dx2 )

]dAdx (1.14)

=

∫l

[∫∫A

z2dA]δ

d2wdx2 E d2w

dx2 dx (1.15)

=

∫lδ

d2wdx2 EI d2w

dx2 dx (1.16)

=

∫lδχMdx (1.17)

(1.18)


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Viga de Bernoulli

Concepto basico

Se aprecia claramente que el trabajo de deformacion virtual dela viga puede obtenerse a partir de las contribuciones deltrabajo que realizan cada uno de los momentos sobre lascurvaturas correspondientes. Ademas aparecen derivadassegundas de la flecha, lo que exige que tanto la flecha como suprimera derivada sean continuas (continuidad de clase C1).


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Discretizacion en EFElemento Finito de viga C1 de dos nodosVariables fundamentales son wi y dwi

dx

w = N1(ξ)w1 + N1(ξ)dw1dξ + N2(ξ)w2 + N2(ξ)

dw2dξ (1.19)

w = N1w1 + N1le

2dw1dx + N2w2 + N2

le

2dw2dx (1.20)


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Viga de Bernoulli

Discretizacion en EFElemento Finito de viga C1 de dos nodos

N1 =12(2 − 3ξ+ ξ3) (1.21)

N1 =12(1 − ξ− ξ2 + ξ3) (1.22)

N2 =12(2 + 3ξ− ξ3) (1.23)

N2 =12(1 − ξ+ ξ2 + ξ3) (1.24)


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Viga de Bernoulli


w = Nae (1.25)

dx =le

2 dξ ; dwdx =

2le

dwdξ ; d2w

dx2 =4l2e

d2wdξ2 (1.26)


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Viga de Bernoulli

Discretizacion en EFElemento Finito de viga C1 de dos nodos. Curvatura χ

χ=d2wdx2 =

4l2e

[d2N1dξ2 w1 +

d2N1dξ2

dw1dξ +

d2N2dξ2 w2 +

d2N2dξ2

dw2dξ

](1.27)

χ= Bf ae (1.28)


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Discretizacion en EFElemento Finito de viga C1 de dos nodos. Matriz deRigidez

∫lδχMdx =

∫lδχEIχdx = δaT

e

∫ 1

−1BT

f EIBfle

2 dξ = δaTe Ke (1.29)

Ke =EIl3e

12 6le −12 6le6le 4l2

e −6le 2l2e

−12 −6le 12 −6le6le 2l2

e −6le 4l2e

(1.30)


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Viga de Timoshenko

Viga de Timoshenko. Hipotesis1 Las flechas de todos los puntos de una seccion transversal

son pequenos e iguales.2 El desplazamiento lateral es nulo.3 Las secciones transversales normales al eje de la viga antes

de la deformacion permanecen planas pero nonecesariamente normales a dicho eje despues de ladeformacion.


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Viga de Timoshenko

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Figura 3 : Viga de Timoshenko.


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Viga de Timoshenko

Campo de desplazamientos

u(x ,z) = −zθx (1.31)v(x ,z) = 0 (1.32)w(x ,z) = w (1.33)

θx =dwdx +φ (1.34)

(1.35)


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Campo de deformaciones

εx =dudx = −z dθ

dx (1.36)

γxy =dwdx +

dudz =

dwdx −θx = −φ (1.37)


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Viga de Timoshenko

Relacion Tension-Deformacion

σx = Eεx = −zE dθdx = −zEχ (1.38)

τxz = Gγxy = G(dwdx −θx ) (1.39)

Momento Flector (+)

M = −∫∫

Azσx dA =

∫∫A

z2E dθdx dA = EI dθ

dx = EIχ

(1.40)

Q = −∫∫

Azτxz dA =

∫∫A

G(dwdx −θx )dA = GAdθ

dx = EIγxy

(1.41)(1.42)


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Figura 4 : Convenios de signos momento flector y esfuerzo cortante en una viga.

xτxz = αGγxz (1.43)


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Viga de Timoshenko

Expresion de los principios de trabajos virtuales∫∫∫V

(δεxσx + δεxzτxz )dV = −∫

lδwqdx −

∑iδwi Wi +

∑jδθxi Mj

(1.44)

δU =

∫∫∫V

(δεxσx + δγxzτxz )dV (1.45)

=

∫l

[∫∫A

(δχzσx + δγxy τxy )dA]

dx (1.46)

=

∫l(δχM + δγxy Q)dx (1.47)

=

∫lδ(

dθdx )EI dθ

dx + δ(dwdx −θ)αAG(

dwdx −θ)dx

(1.48)


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Viga de Timoshenko

Concepto basico

Se aprecia claramente que el trabajo de deformacion virtual dela viga puede obtenerse a partir de las contribuciones deltrabajo que realizan cada uno de los momentos sobre lascurvaturas correspondientes y los efuerzos tangenciales sobrelas deformaciones cortantes. Ademas aparecen primerasderivadas de la flecha y el giro, lo que permite la utilizacion deelementos finitos de clase C0.


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Discretizacion en EFElemento Finito de viga C0 (lineal) de dos nodosVariables fundamentales son wi y i

w = N1(ξ)w1 + N2(ξ)w2 (1.49)θ = N1θ1 + N2θ2 (1.50)


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Viga de Timoshenko


N1 =12(1 − ξ) (1.51)

N2 =12(1 + ξ) (1.52)

dx =le

2 dξ (1.53)

(1.54)


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Viga de Timoshenko


w = Nae = [N1,N2] [w1,w2]T (1.55)θ = Nθe = [N1,N2] [θ1,θ2]T (1.56)

χ=dθdx =

dξdx

(dN1dξ dθ1 +

dN2dξ dθ2

)(1.57)

γxy =dwdx −θ =

dξdx

(dN1dξ w1 +

dN2dξ w2

)− (N1θ1 + N2θ2)

(1.58)


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Discretizacion en EFElemento Finito de viga C0 de dos nodos. Curvatura χ

χ= Bf ae (1.59)γxz = Bcae (1.60)

Bf =[0, 2

ledN1dx ,0, 2

ledN1dx

]=[0, −1

le,0, 1

le

](1.61)

Bc =[ 2

ledN1dx ,−N1,

2le

dN1dx ,−N2

]=[− 1

le,−1

2 (1 − ξ),1le,−1

2 (1 + ξ)]

(1.62)ae = [w1,θ1,w2,θ2] (1.63)


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Discretizacion en EFElemento Finito de viga C0 de dos nodos. Matriz deRigidez

∫lδχM + δγxy Qdx =

∫lδχEIχdx + δγxyαAGγdx (1.64)

= δaTe

∫ 1

−1

(BT

f EIBfle

2 + BTc αGABc

le

2

)dx (1.65)

= δaTe (Ke

f + Kec ) (1.66)

K = Kef + Ke

c =

∫ 1

−1BT DB le

2 dx (1.67)

B =(Ke

f ,Kec)

, D = diag(EI,αAG) (1.68)


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Concepto basico

La matriz de rigidez a flexion exige un solo punto de integracionya que los terminos son constantes. La matriz de rigidez acortante requiere dos puntos de integracion ya que aparecen enel integrando terminos cuadraticos por el producto Ni Nj .


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Eugenio Onate Ibanez de Navarra.Calculo de estructuras por el metodo de elementos finitos: analisis elastico lineal.1992.

Calos. A Felippa.Home page of carlos a. felippa.://www.colorado.edu/engineering/CAS/Felippa.d/FelippaHome.d/Home.html.

E. L. Wilson.Three dimensional static and dynamic analysis of structures: a physical approach with emphasis onearthquake engineering.Computers and Structures Inc, 2, 1998.

Olgierd Cecil Zienkiewicz.El metodo de los elementos finitos.Reverte, 1981.


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