ELEMENTOS FINITOS CON MATFEM

2012

ALUMNO: DIAZ VIVANCO, Víctor Hugo

CÓDIGO: 16080538

12/12/2012

ENMALLADORES Y UN PROBLEMA RESUELTO EN GID-MATfem

Solid model

MEF model

meshing

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL

DE HUAMANGA

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOLOGIA

Y CIVIL

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERIA

CIVIL

INTRODUCCIÓN AL METODO DE LOS ELEMENTOS

FINITOS

TEMA:”ENMALLADORES”

DOCENTE : ING. CRISTIAN CASTRO PEREZ

ALUMNO : DIAZ VIVANCO, Víctor Hugo

CÓDIGO : 16080538

AYACUCHO – PERÚ

2012

ING. CIVIL UNSCH IC-535

1 INTRODUCCION AL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

ÍNDICE

1. INTRODUCCION Pág. 2

2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA Pág. 3

3. CONCLUSIONES Pág. 24

4. BIBLIOGRAFIA Pág. 24



1. INTRODUCCIÓN

El método de los elementos finitos es de suma importancia en la solución de múltiples

problemas ya sea de estructuras, hidráulica, etc. Este método nos da una solución

aproximada de los resultados. Depende mucho los resultados al escoger el tipo de

mallado que se va utilizar, el tipo de elemento finito, las condiciones de contorno, etc.

Para el mallado en este trabajo se utilizó el programa GID y para la obtención de

resultados el MATfem. Particularmente se utilizó para un problema de transferencia de

calor.



2. FUNDAMENTACION TEÓRICA

2.1 ENMALLADO

El Enmallado es el proceso usado para “llenar” el modelo sólido con elementos y

nodos, para crear el modelo de elementos finitos.

Es necesario recordar que se necesitan elementos y nodos para generar la solución

por elementos finitos, no únicamente el modelo sólido. El modelo sólido NO

participa en la solución.

2.1.1 Clases de métodos de enmallado A pesar de las muchas diferencias conceptuales (los métodos de generación de mallado han sido desarrollados en muy diferentes contextos y para muy diferentes campos de aplicación), George (1991) propone una clasificación de estas técnicas en siete clases. Aunque esta clasificación refleja las principales aproximaciones publicadas, según Frey and George (2000) algunas técnicas pueden ser consideradas conjuntamente (debido a sus propiedades intrínsecas), lo que lleva a modificar la clasificación para dejarla en solo cinco categorías:

Clase 1. Métodos manuales o semiautomáticos. Son aplicables a dominios geométricamente simples. Los métodos enumerativos (las entidades de mallado son explícitamente definidas por el usuario) y los métodos explícitos (que aprovechan las ventajas de la caracterización geométrica del dominio) son representativos de esta clase. Clase 2. Métodos de parametrización (mapeo). El mallado final es el resultado del mapeo de la transformación inversa de una red regular de puntos en un espacio paramétrico, al espacio físico. Dependiendo de si la función de mapeo es definida implícita o explícitamente podemos distinguir dos categorías principales en esta clase: Métodos de interpolación algebraica. El mallado se obtiene usando una interpolación transfinita de las curvas del contorno u otras técnicas relacionadas, explícitamente definidas. Métodos basados en la solución. El mallado es generado basándose en la solución numérica de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales (elíptico, hiperbólico o parabólico), por lo que depende de una función definida analíticamente. Clase 3. Métodos de descomposición del dominio. El mallado es el resultado de un análisis de arriba a abajo que consiste en dividir el dominio a mallar en dominios más pequeños, parecidos geométricamente a un dominio de referencia (por su forma). Se han propuesto dos categorías principales para clasificar este tipo de métodos, siendo la diferencia entre ellas la naturaleza estructurada o no estructurada del mallado usado para cubrir los dominios pequeños:



Métodos de descomposición en bloques. El dominio es descompuesto en algunos subdominios simples (bloques), cada uno de los cuales es entonces mallado de forma estructurada (obtenido, por ejemplo, usando una técnica de mapeo). Métodos de descomposición espacial. El dominio es aproximado con una unión de celdas inconexas que son subdivididas para cubrir una región del objeto, cada celda será después descompuesta en los elementos de mallado. Son representativas de esta clase las técnicas basadas en un árbol cuarto o en un árbol octal (ver sección 3.1.3. Clase 4. Métodos de inserción de puntos / creación de elementos. Estos métodos generalmente parten de una discretización del contorno del dominio (aunque esto no es estrictamente necesario), y básicamente consisten en la creación e inserción de nodos interiores (y por tanto elementos) en el dominio. El método conocido como de frente en avance (creación de elementos) (ver sección 3.1.4) y las técnicas basadas en la triangulación de Delaunay (inserción de puntos) (ver sección 3.1.5) son dos métodos representativos de esta clase. Clase 5. Métodos constructivos. El mallado final del dominio es el resultado de la unión de algunos mallados usando transformaciones geométricas o topológicas, siendo creados cada uno de ellos con algunos de los métodos anteriores.

2.2 Métodos de Delaunay-Voronoï La triangulación de Delaunay fue una de las primeras técnicas de discretización triangular utilizadas. En 1855 Dirichlet propuso un método con el que, dado un conjunto de puntos Pi, se puede definir un conjunto de regiones poligonales (2D) o poliédricas (3D) Vi asociadas a cada punto, de modo que cualquier punto de la región Vi se encuentra más cercano al punto Pi que a cualquiera del resto. Es decir:

{ }

Cada una de estas regiones se denomina región de Voronoï y el conjunto de ellas es un mosaico de Dirichlet o diagrama de Voronoï [Aur91]. A partir de su definición resulta evidente que cada lado (o cara) de estas regiones poligonales (o poliédricas) se encuentra equidistante de los dos puntos que separa. La unión de todos estos puntos por pares genera otra discretización del dominio, conocida como triangulación de Delaunay, que posee una característica muy interesante para la generación de mallas: la regularidad de ángulos en los triángulos generados es máxima. Es decir, dado un conjunto de nodos, el método de Delaunay garantiza una triangulación óptima. Sin embargo, en el caso volumétrico, esta triangulación óptima no garantiza que los tetraedros generados sean óptimos, por lo que, en general, tras la generación de la malla son necesarias técnicas de detección y corrección de tetraedros defectuosos. La generación de este tipo de discretización consiste en un método sistemático dividido en las siguientes etapas:

1. En caso de que el dominio del problema no sea convexo, definición de un dominio convexo que incluya al dominio que se pretende discretizar y generación de su triangulación. La forma más sencilla de hacer esto es mediante la especificación de 4 puntos que formen un cuadrado en el caso bidimensional u 8 puntos que formen un cubo en el caso volumétrico.

2. Introducción de un nuevo nodo del dominio.



3. Determinación de los elementos cuyas circunferencias circunscritas (o esferas circunscritas) contienen al nuevo nodo. Estos elementos deben ser eliminados, así como sus aristas (y caras) comunes.

4. Determinación de los nodos pertenecientes a esos elementos. 5. Determinación de las aristas (o caras) exteriores de los elementos eliminados, es

decir, del hueco que resulta tras la eliminación de los elementos anteriores. 6. Generación de nuevos elementos mediante la unión de las aristas (o caras)

detectadas en el punto 5 con el nuevo nodo. 7. Repetición de la secuencia desde el punto 2 hasta que todos los nodos hayan

sido introducidos. La figura 1.6 muestra un ejemplo de la aplicación de estas 5 etapas en un dominio bidimensional.

8. Eliminación de las aristas y elementos (2D) o aristas, caras y elementos (3D) que no pertenezcan al dominio.

Como se ha comentado anteriormente, este algoritmo genera únicamente la conectividad, asumiendo conocidas las posiciones de los nodos de la malla. El cálculo de estas posiciones se realiza generalmente a partir de una malla de referencia, una función de densidad de malla [Alf96], [Che96], [Owe97], [Cun97], [Geo98] o en el contexto de un procedimiento adaptativo [Bor97] como los que se describen en el capítulo 5 de esta tesis. En este último caso, los nuevos nodos se generan en aquellos elementos que presenten un elevado error. Asimismo, si se parte de una discretización inicial del contorno y éste no es convexo, ésta puede verse modificada en el proceso de inserción de nodos. Ésta es una de las principales desventajas de la triangulación de Delaunay, pues dificulta la utilización de una metodología multibloque, que más adelante es comentada, ya que esta técnica requiere una misma discretización en las interfaces de los distintos bloques que forman el dominio. Existen variantes de la triangulación de Delaunay que fuerzan a mantener la discretización del contorno o bien la restauran tras aplicar el procedimiento general, tanto en discretizaciones bidimensionales [Loz93] como volumétricas [Kry98], [Bak98], [Lea98a]. Estas técnicas son conocidas como Delaunay restringidas y, en general, no garantizan la generación de una malla óptima en el sentido anteriormente comentado. En la figura 1.7. se muestra la evolución de una triangulación Delaunay bidimensional conforme los nodos son introducidos.



El coste computacional de este tipo de técnicas, según [Löh97], es O(n log(n)), donde n es el número de elementos, aunque otros autores han obtenido comportamientos lineales [Geo92], [Kar97], este último mediante el uso de estructuras de datos arbóreas que facilitan la localización de nodos o elementos vecinos. A este coste se debe añadir el necesario para la restauración del contorno, si así se precisa, y, en el caso volumétrico, la detección y corrección de los tetraedros que presenten una mala relación de aspecto. La literatura sobre este tipo de métodos es muy vasta. Para una descripción más detallada del algoritmo de inserción de puntos se puede consultar [Geo91]. Otras implementaciones con ligeras variantes se pueden encontrar en [Cav85], [Geo92], [Far93], [Kar97], [Mur98] para dominios bidimensionales, en [Zhe96b] para superficies y en [Zhe96a], [Lew96], [Fuc98], [Sin98] para volúmenes.

2.2 ELEMENTOS FINITOS El objetivo del análisis por medio del método de los elementos finitos, es determinar de forma precisa la respuesta de un sistema modelado con una cantidad finita de elementos y sujeto a unas cargas determinadas. En la generación de un modelo por elementos finitos, siempre se tiene presente que se está desarrollando un modelo el cual es una idealización de un sistema físico real. Con muy pocas excepciones, como el del análisis estático de vigas simples, marcos y sistemas de membranas, el método de elementos finitos no genera una solución ‘exacta’. Sin embargo, con un modelo adecuado, se puede obtener una solución precisa. Cuando la formulación analítica de un problema es difícil de desarrollar, FEM (Finite Element Method) provee uno de los más fiables métodos para atacar el problema. En la creación de un modelo FEM, se debe esforzar por la precisión y la eficiencia computacional. En la mayoría de los casos, el uso de un modelo complejo y muy refinado no es justificable, aunque este probablemente genere mayor exactitud computacional a expensas de un innecesario incremento en el tiempo de procesamiento. El tipo y la complejidad del modelo dependen sobre todo del tipo de resultados requeridos. Como regla general, un modelo de elementos finitos puede empezar con un modelo simple. Los resultados de este modelo sencillo, combinados con la comprensión del comportamiento del sistema, puede ayudar a decidir si es necesario refinar el modelo y en que parte del mismo.

2.2.1 Tipos de Elementos Finitos Esta sección describe muchas características sobresalientes de los elementos más utilizados; denominados, truss, beam, plane stress, plane strain, axisymmetric, membrane, plate, shell, solid ó brick, tetrahedral, hexahedral, boundary, y gap. Los



programas comerciales de elementos finitos poseen una gran cantidad de elementos en sus librerías. Sin embargo, la mayoría de las estructuras y aplicaciones mecánicas pueden ser solucionadas con los elementos básicos ya mencionados. Dependiendo la dimensión, los elementos básicos se pueden dividir en tres categorías: elemento de línea, área y volumen. Truss, beam y los elementos de restricción, son de línea. Plane stress, plain strain, axisymmetric, membrane, plate y shell son elementos de área. Solid ó brick, tetrahedral y hexahedral son elementos de volumen. Los criterios para la selección del elemento apropiado para cada aplicación se verán más adelante.

a. Elementos ‘Truss’ El elemento truss, es un elemento caracterizado básicamente porque solo puede comportarse como un miembro sometido a dos fuerzas (se sabe por tanto que estas cargas deben estar dirigidas a lo largo del eje longitudinal del elemento). Una estructura los elementos se pueden modelar como un elemento Truss si cumplen estos tres requerimientos: a. Su longitud es mucho mayor que su alto o ancho (entre 8 y 10 veces); b. Esta es conectada con el resto de la estructura con pasadores que no transfieren momentos.; y c. Las cargas externas solo son aplicadas en el extremo de los elementos, y son paralelas al mismo (Carga Axial). Los elementos Truss solo pueden ser sometidos a tracción o compresión. De esta forma, la única propiedad de la sección que se debe especificar es el área axial del elemento. La figura 2.2.1 muestra la geometría y las fuerzas nodales en un elemento truss tridimensional. Como se muestra en la figura, un elemento truss tridimensional posee tres grados de libertad por nodo, esto es tres desplazamientos sobre los ejes globales X, Y y Z.

b. Elementos ‘Beam’ El elemento Beam, es probablemente el más usado. Además de sus aplicaciones obvias en estructuras, muchos otros sistemas, como uniones mecánicas, sistemas de conductos, tuberías y vigas en puentes pueden ser modeladas con el elemento ‘beam’. Para miembros estructurales para ser modelados con elementos ‘Beam’, una de sus dimensiones debe ser mucho mayor, por lo menos 10 veces más grande que las otras dos. Contrario al elemento truss, el elemento beam puede estar sometido a cargas



transversales y/o momentos flectores en adición a la tracción y compresión. La geometría y los desplazamientos/rotación son mostrados en la figura 2.2.2. Note que el elemento beam tridimensional posee seis grados de libertad por nodo, esto es, tres desplazamientos y tres rotaciones sobre los ejes globales X, Y y Z.

Los perfiles comunes de elementos beam, son la sección I, sección en T, caja, circular y canales. Dentro de las propiedades de la sección, se debe especificar el área axial, la resistencia a la torsión y el momento de inercia. c. Elementos Elásticos bidimensionales Hay tres tipos de elementos bidimencionales: 1. Plane Stress Elements (Esfuerzo plano) 2. Plane Strain Elements (Deformación plana) 3. Axisymmetric Elements (Elementos Axisimétricos). c.1. Elementos sometidos a Esfuerzo Plano y Deformación Unitaria Plana La explicación sobre la diferencia entre los casos de esfuerzo plano y deformación unitaria plana ya fue definida en el primer capítulo del curso. Para el caso de análisis plano existen principalmente dos tipos de elementos: Triangular y Cuadrilátero. Dependiendo el tipo del tipo de esfuerzo al que está sometido el elemento, este se debe modelar como esfuerzo plano o deformación unitaria plana.

Como regla, se prefieren los elementos cuadriláteros a los triangulares por razones de isotropía geométrica. Sin embargo, se sugiere el uso de elementos triangulares cuando



se presentan irregularidades en la geometría del elemento a modelar, como se muestra en la figura 2.2.4.

c.2. Elementos Axisimétricos Tanques de acero y concreto, rotores, conchas, toberas y contenedores son algunos ejemplos representativos de estructuras axisimétricas. De forma similar a las estructuras tridimensionales que están bajo condición de esfuerzo plano o deformación plana, las estructuras axisimétricas sometidas a cargas axisimétricas, pueden ser analizadas en un modelo bidimensional. Para analizar una estructura axisimétrica, como un cilindro de pared delgada t, sujeta a una presión constante p, el modelo es la intersección del cilindro con el plano YZ como se muestra en la figura 2.2.5. La carga p, es aplicada al modelo de elementos finitos como se muestra en la figura 2.2.5(b). Cuadriláteros y triángulos axisimétricos poseen dos grados de libertad en cada nodo, figuras. 3.2.5(c) y (d).

d. Sólidos elásticos tridimensionales ó elementos ‘Brick’ Los elementos sólidos son elementos tridimencionales con tres grados de libertad translacional por nodo, ver figura 2.2.6. Los nodos son usualmente introducidos en la intersección de los tres planos, o la mitad de la intersección de dos planos Un elemento brick de 8 nodos, con sus respectivos grados de libertad se puede apreciar en la figura 3.2.6.



El elemento brick puede proveer información acerca de la variación tridimensional de los esfuerzos y deformaciones del elemento.

e. Elementos ‘Tetrahedral’ and ‘Hexahedral’ Así como los elementos brick, los elementos ‘tetrahedral’ y ‘hexahedral’ pueden ser usados para modelar estructuras tridimensionales. El tetraedro puede ser visto como un triángulo en tercera dimensión, como se ve en la figura 2.2.7, mientras que el hexaedro puede ser visto como un cuadrilátero extendido en la tercera dimensión. Se puede apreciar entonces que el hexaedro tiene la misma geometría del elemento brick de 8 nodos. La diferencia entre estos dos, es la formulación y precisión computacional. Por lo general los elementos tetraedro y el hexaedro poseen solo tres grados de libertad por nodo, y la precisión de estos elementos se puede incrementar colocando nodos en la mitad de los lados.

Figura 2.2.7 (a) Tetraedro de 4 nodos; (b) tetraedro de 10 nodos.



2.3. ¿CÓMO TRABAJA EL MEF EN LA PRÁCTICA?

El MEF es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. La solución

obtenida por MEF es sólo aproximada, coincidiendo con la solución exacta sólo en un

número finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la

solución aproximada se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos para

los nodos, lo cual hace que la solución sea sólo aproximada debido a ese último paso.

El MEF convierte un problema definido en términos de ecuaciones diferenciales en un

problema en forma matricial que proporciona el resultado correcto para un número de

finito de puntos e interpola posteriormente la solución al resto del dominio, resultando

finalmente sólo una solución aproximada. El conjunto de puntos donde la solución es

exacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red,

denominada malla formada por retículos. Cada uno de los retículos contenidos en dicha

malla es un "elemento finito". El conjunto de nodos se obtiene dividiendo o

discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies,

volúmenes y barras).

Desde el punto de vista de la programación algorítmica modular las tareas necesarias

para llevar a cabo un cálculo mediante un programa MEF se dividen en:

Preproceso, que consiste en la definición de geometría, generación de la malla, las

condiciones de contorno y asignación de propiedades a los materiales y otras

propiedades. En ocasiones existen operaciones cosméticas de regularización de la

malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximación o una mejor

convergencia del cálculo.

Cálculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del

tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incógnitas, que puede ser

resuelto con cualquier algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones

lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no-lineal o un problema

dependiente del tiempo a veces el cálculo consiste en una sucesión finita de

sistemas de N ecuaciones y N incógnitas que deben resolverse uno a continuación

de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior.

Post proceso, el cálculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los

nodos de la malla que define la discretización, en el postproceso se calculan

magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se

aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de errores

de aproximación.

Pre proceso y generación de la malla

La malla se genera y ésta en general consta de miles (e incluso centenares de miles) de

puntos. La información sobre las propiedades del material y otras características del

problema se almacena junto con la información que describe la malla. Por otro lado las

fuerzas, los flujos térmicos o las temperaturas se reasignan a los puntos de la malla. A

los nodos de la malla se les asigna una densidad por todo el material dependiendo del

nivel de la tensión mecánica u otra propiedad. Las regiones que recibirán gran cantidad

de tensión tienen normalmente una mayor densidad de nodos (densidad de malla) que

aquellos que experimentan poco o ninguno. Puntos de interés consisten en: puntos de

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica



fractura previamente probados del material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y

áreas de elevada tensión. La malla actúa como la red de una araña en la que desde cada

nodo se extiende un elemento de malla a cada nodo adyacente. Este tipo de red

vectorial es la que lleva las propiedades del material al objeto, creando varios

elementos.

Las tareas asignadas al preproceso son:

1. El continuo se divide, mediante líneas o superficies imaginarias en un número de

elementos finitos. Esta parte del proceso se desarrolla habitualmente mediante

algoritmos incorporados a programas informáticos de mallado durante la etapa

de preproceso.

2. Se supone que los elementos están conectados entre sí mediante un número

discreto de puntos o “nodos”, situados en sus contornos. Los desplazamientos

de estos nodos serán las incógnitas fundamentales del problema, tal y como

ocurre en el análisis simple de estructuras por el método matricial.

3. Se toma un conjunto de funciones que definan de manera única el campo de

desplazamientos dentro de cada “elemento finito” en función de los

desplazamientos nodales de dicho elemento. Por ejemplo el campo de

desplazamientos dentro de un elemento lineal de dos nodos podría venir

definido por: u = N1u1 + N2u2, siendo N1 y N2 las funciones comentadas

(funciones de forma) y u1 y u2 los desplazamientos en el nodo 1 y en el nodo 2.

4. Estas funciones de desplazamientos definirán entonces de manera única el

estado de deformación del elemento en función de los desplazamientos

nodales. Estas deformaciones, junto con las propiedades constitutivas del

material, definirán a su vez el estado de tensiones en todo el elemento, y por

consiguiente en sus contornos.

5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre

las tensiones en el contorno y cualesquiera cargas repartidas, resultando así

una relación entre fuerzas y desplazamientos de la forma F = K·u, que como

vemos es similar a la del cálculo matricial.

2.4. ¿Qué es GID?

GiD es un requisito universal, adaptable y fácil de usar y post-procesador para las

simulaciones numéricas de la ciencia y la ingeniería. Se ha diseñado para cubrir todas las

necesidades comunes en el ámbito de simulaciones numéricas de pre a post-

procesamiento: modelado geométrico, definición eficaz de los datos de análisis, el

mallado, la transferencia de datos al software de análisis, así como la visualización de

resultados numéricos.

2.4.1. Solución de un problema en GID

A continuación se muestra un problema de transferencia de calor, se trata de una placa

cuadrada de lado 9 m. Esta placa está sometida a diferentes temperaturas como se

puede ver en la figura.



En la solución del problema se mostrada la distribución de la temperatura a lo largo de

toda la placa.

Se usó para la generación de mallas el GID y para obtener los resultados el programa

MATfem (transferencia de calor).

Ejemplo (Transferencia de calor)

1. Pre proceso

Definición de la geometría



Generación de la superficie y visualización de los nodos y elementos

Menú -> Datos -> Tipo de Problema (transferencia de calor)



Condiciones de contorno (Asignar restricciones de temperatura)

Asignar propiedades del material



Utilidades -> Preferencias -> Mallar (normal)



Generación del archivo que va utilizar en el MATLAB extensión .m)

Ubicar el archivo generado en el MATLAB y se le hace doble clic al archivo

Ejecutamos el programa en el Command Window



2. Post proceso

Presentación de resultados

Clic en la siguiente figura

Aparece una nueva barra de herramientas y se abre el archivo de los resultados



Flujos de temperatura



Reactive fluxes



3. CONCLUSIONES

Se puedo observar en la teoría que existen varios tipos de elementos finitos,

dependiendo del tipo de problema que se va resolver se escoge el tipo de elemento

finito.

El problema se resolvió utilizando el GID, particularmente se utilizó para problemas

de trasferencia de calor.

Los resultados obtenidos son aceptables ya que nos da una idea de cómo se

distribuye la temperatura a lo largo de toda la placa. Estos resultados no se

pudieron corroborar ya que no se disponía de algún software para comprobar estos

resultados.

4. BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos#Preproceso

_y_generaci.C3.B3n_de_la_malla

http://www.mefsimulacion.com/pdf/General/CFDJet.PDF

http://oa.upm.es/1089/1/JAIME_OTERO_GARCIA.pdf

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/elementos-finitos-elementos-resorte-

barra-y-viga/elementos-finitos-elementos-resorte-barra-y-viga.pdf

http://almec.files.wordpress.com/2007/10/resumen.pdf

http://www.slideshare.net/frankbotero/tranf-calor

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos#Preproceso_y_generaci.C3.B3n_de_la_malla

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_los_elementos_finitos#Preproceso_y_generaci.C3.B3n_de_la_malla

http://www.mefsimulacion.com/pdf/General/CFDJet.PDF

http://oa.upm.es/1089/1/JAIME_OTERO_GARCIA.pdf

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/elementos-finitos-elementos-resorte-barra-y-viga/elementos-finitos-elementos-resorte-barra-y-viga.pdf

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/elementos-finitos-elementos-resorte-barra-y-viga/elementos-finitos-elementos-resorte-barra-y-viga.pdf

http://almec.files.wordpress.com/2007/10/resumen.pdf

http://www.slideshare.net/frankbotero/tranf-calor

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