Elementos de Máquinas para Automação PMR 3307 - A01 ... · de elementos de máquinas...

Elementos de Máquinas para Automação

PMR 3307 - A01

INTRODUÇÃO

2019.2

2

PMR-3307

Informações gerais

Docentes: Prof. Dr. Nicola Getschko e Prof. Dr. Rodrigo Stoeterau

Departamento de Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos

- Salas MS-04 / MS-03

e-mails: [email protected] / [email protected]

Horário: Terças-feiras das 9:20 – 11:00 – A03

Sextas-feiras das 07:30-9:10 – A03

3

Método de Avaliação

𝑵𝑭 =𝑨𝒗𝟏 + 𝑨𝒗𝟐

𝟐∗ 𝟎, 𝟕 + 𝑵𝒐𝒕𝒂𝒑𝒓𝒐𝒋𝒆𝒕𝒐 ∗ 𝟎, 𝟑

➔ NF 5

➔ A frequência mínima é de 75%; alunos que se

ausentarem por mais de oito (08) aulas serão

reprovados.

PMR-3307

4

Cronograma de aulas

PMR-3307

5

PMR-3307

Cronograma de aulas

PMR-3307

Bibliografia

• Shigley, J. F.; Budynas, R.; Nisbett, J. K., Elementos de Máquinas. 8ª edição, McGraw-Hill

• Norton, R. L., Projeto de Máquinas, uma abordagem integrada, Prentice-Hall Publishing, 1998.

• Juvinall, R. C.; Marshek, K. M.,Projeto de components de máquinas, LTC

• Niemann, H. Elementos de máquinas, vol i, II e III

7

Objetivo

Apresentar os fundamentos para o dimensionamento

de elementos de máquinas utilização de critérios de

falha e dinâmica, incluindo as formas de cálculo dos

esforços internos e externos e combinação de tensões

usando Círculo de Mohr.

Apresentar uma abordagem holística para a solução

de problemas de engenharia que envolvam o projeto

de sistemas mecânicos

PMR-3307

Conduçãos do curso

• As sessões consistirão de aulas expositivas dialogadas, com discussão dos assuntos do curso e reuniões para os trabalhos em grupo.

• Estão previstas as seguintes atividades EXTRA-SALA: trabalhos práticos, com leitura e estudo de textos, preparação dos relatórios e apresentação

• Será enfatizada a troca de experiências entre os participantes, e entre estes e o professor.

• Discussões serão estimuladas durante as aulas.

8

PMR-3307

Conduçãos do curso

➢ Importante

✓ ler, pensar, entender, reler, discutir e aplicar.

✓ Não separar o curso da sua vida profissional;

✓ aplicar ao seu trabalho sempre que possível

9

PMR-3307

10

Tópicos

➢ Introdução

➢ Processo de desenvolvimento de produto

➢ Projeto detalhado

PMR-3307

11

PMR-3307

12

Introdução

▪ Projeto

▪ Design

▪ Project

▪ Konstruktion

▪ Projekt

PMR-3307

≠

≠

13

Processo de desenvolvimento de produto

PMR-3307

ideia produto

Trajetória do Projeto

IdeiaProduto

14

PMR-3307

15


PMR-3307

ideia produto

Segundo Shigley

16


PMR-3307 Gestão do Processo de Desenvolvimento de Produtos – Resenfeld, H.; Forcelini, F.

17

PMR-3307

Fases do Projeto

Necessidades Requisitos Especificações

Projeto Informacional

- Tangíveis- Intangíveis

Requisitosdo projeto

Especificações do projeto

Ex: Peso até 12 kg

Ex: Custo até R$ 235,00

Projeto Detalhado

Preparação produção

Lançamento do Produto

Projeto Conceitual


Planejamento do Projeto

Ex: Leve

Ex: Barato

18

PMR-3307

Fases do Projeto

Projeto Detalhado



Projeto Conceitual



SoluçõesEspecificações

Projeto Conceitual

Especificações do projeto

Estrutura de blocos diagramas

Escolha das melhores soluções

19

PMR-3307

Fases do Projeto

Soluções Projeto de engenharia

Projeto Detalhado

Melhore solução

Projeto Detalhado



Projeto Conceitual



Aqui está a nossa

disciplina

20

PMR-3307

Fases do Projeto

Projeto de engenharia

Projeto Detalhado

Projeto Detalhado



Projeto Conceitual



Dimensionamento e especificação de

componentes

MockupsProtótipos- Computacionais- Analíticos- Funcionais

Desenhos de engenharia

Desenhos de fabricação

Documentação total (montagem, manutenção,

manuais, testes, etc.)

Aqui está a nossa

disciplina

21

PMR-3307

Fases do Projeto

Projeto de engenharia

Projeto Detalhado

Projeto Detalhado



Projeto Conceitual



22

Detalhamento

PMR-3307

• Qual material?• Qual geometria?• Quais dimensões?• Qual critério de

falha?• Quais normas?• Qual processo de

fabricação?• Quais tolerâncias?• Qual acabamento?• Quais mancais?• Qual custo?• Etc.

23

PMR-3307

Recomendações de como resolver um problema

➢ Somente unidades no SI

➢ Faça bons desenhos de rascunhos

• Identifique o sistema de coordenadas

• Nomeie dimensões e forças

• Bons diagramas de corpo livre são bons auxiliares na solução

➢ Mostre de forma organizada seu raciocínio

➢ Siga as convenções

➢ Desenvolva o raciocínio simbolicamente. Deixem os números para o final

➢ Verifique as respostas. Sempre pergunte: Faz sentido?

24

PMR-3307

Forças, momentos e vetores

➢ Forças

• Quais suas origens?

→ Contato?

→Gravitacionais?

→ Campos?

• Identifique a força (nomeie)

• Identifique o ponto de aplicação

• Identifique a intensidade

• Identifique a direção

՜𝐹𝑎

g

a

b

𝐹𝑏

cm

𝐹𝑎 = 𝐹𝑎𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐹𝑎𝑦 Ƹ𝑗 + 𝐹𝑎𝑧𝑘

x

y

z

՜𝐹

𝐹 = 𝐹𝑎 + 𝐹𝑏

25

PMR-3307

Forças, momentos e vetores

➢ Momentos

• = Torque

• Momento = força * distância

• Identifique o momento (nomeie)

• Identifique o ponto de aplicação

• Identifique a intensidade

• Identifique as distâncias até

o ponto de aplicação

• Identifique a direção

• Use a regra da mão direita

՜𝐹𝑎

g

a

b 𝐹𝑏𝑥

cm

x

y

z

𝑀 = 𝑀𝑎𝑥 +𝑀𝑎𝑦 −𝑀𝑏𝑥 +𝑀𝑏𝑦

•

𝐹𝑎𝑥

𝐹𝑎𝑦

𝐹𝑏𝐹𝑏𝑦

՜𝑀

𝑀𝑎𝑥 = 𝑎𝑦𝐹𝑎𝑥

𝑎𝑦

𝑎𝑥

𝑏𝑦

𝑏𝑥

𝑎

𝑏

26

PMR-3307

Exercício 01

➢ Determine os esforços resultantes no ponto Referencia

՜𝐹𝑎

𝐹𝑏

՜𝐹𝑐

Ref•

𝐹𝑏 = 2. 𝐹𝑎

𝐹𝑐 = 3/2. 𝐹𝑎

𝑅𝑒𝑓

𝐹𝑛 = 0

𝑅𝑒𝑓

𝑀𝑛 = 0

27

PMR-3307


𝐹𝑐 = 3/2. 𝐹𝑎

𝑹𝒆𝒇

𝑭𝒏 = 𝟎

➢ Identifique o sistema de coordenadas

Exercício 01


28

PMR-3307

𝐹𝑟𝑒𝑓 = 𝐹𝑟𝑒𝑓𝑥

2+ 𝐹𝑟𝑒𝑓𝑦

2

𝑭𝒓𝒆𝒇 = 𝟎

𝐹𝑎𝑥 = 𝐹𝑎 . cos 𝜃𝑎𝐹𝑎𝑦 = 𝐹𝑎 . sin 𝜃𝑎

𝐹𝑐𝑥 = 𝐹𝑐 . cos 𝜃𝑐𝐹𝑐𝑦 = 𝐹𝑐 . sin 𝜃𝑐

𝐹𝑏𝑥 = 𝐹𝑏 . cos 𝜃𝑏𝐹𝑏𝑦 = 𝐹𝑏 . sin 𝜃𝑏

𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙= 𝟎

𝐹𝑎𝑥 = 𝐹𝑎 . cos 𝜃𝑎𝐹𝑐𝑥 = 𝐹𝑐 . cos 𝜃𝑐−𝐹𝑏𝑥 = 𝐹𝑏 . cos 𝜃𝑏

𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚= 𝟎

𝐹𝑎𝑦 = 𝐹𝑎 . sin 𝜃𝑎

−𝐹𝑏𝑦 = 𝐹𝑏 . sin 𝜃𝑏

𝐹𝑐𝑦 = 𝐹𝑐 . sin 𝜃𝑐

Exercício 01


29

PMR-3307

𝑭𝒓𝒆𝒇 = 𝟎𝐹𝑎𝑥 = 𝐹𝑎 . cos 𝜃𝑎𝐹𝑎𝑦 = 𝐹𝑎 . sin 𝜃𝑎

𝐹𝑐𝑥 = 𝐹𝑐 . cos 𝜃𝑐𝐹𝑐𝑦 = 𝐹𝑐 . sin 𝜃𝑐

𝐹𝑏𝑥 = 𝐹𝑏 . cos 𝜃𝑏𝐹𝑏𝑦 = 𝐹𝑏 . sin 𝜃𝑏

𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙= 𝟎

𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚= 𝟎

X(+)

Y(+)

𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚= 𝐹𝑎 . sin 𝜃𝑎 − 𝐹𝑏 . sin 𝜃𝑏 + 𝐹𝑐 . sin 𝜃𝑐 = 𝟎

𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚= 𝐹𝑎.sin 𝑎 − 2 𝐹𝑎.sin 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.sin 𝑐 = 𝟎

𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙= 𝐹𝑎 . cos 𝜃𝑎 + 𝐹𝑐 . cos 𝜃𝑐 − 𝐹𝑏 . cos 𝜃𝑏 = 𝟎

𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙=𝐹𝑎.cos 𝑎 − 2 𝐹𝑎.cos 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.cos 𝑐 = 𝟎


𝐹𝑐 = 3/2. 𝐹𝑎

Exercício 01


30

PMR-3307

𝐹𝑟𝑒𝑓 = 𝐹𝑎.cos 𝑎 − 2 𝐹𝑎.cos 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.cos 𝑐2+ 𝐹𝑎.sin 𝑎 − 2 𝐹𝑎.sin 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.sin 𝑐

2

𝑹𝒆𝒇

𝑭𝒏 = 𝟎

𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚= 𝐹𝑎.sin 𝑎 − 2 𝐹𝑎.sin 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.sin 𝑐 = 𝟎

𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙=𝐹𝑎.cos 𝑎 − 2 𝐹𝑎.cos 𝑏 + (3/2) 𝐹𝑎.cos 𝑐 = 𝟎

𝐹𝑟𝑒𝑓 = 𝐹𝑟𝑒𝑓𝑥

2+ 𝐹𝑟𝑒𝑓𝑦

2

Exercício 01


31

PMR-3307


𝐹𝑐 = 3/2. 𝐹𝑎

𝑀𝑟𝑒𝑓 = 𝑀𝑎𝑥 - 𝑀𝑎𝑦 - 𝑀𝑏𝑥 +𝑀𝑏𝑦

- 𝑀𝑐𝑥 - 𝑀𝑐𝑦

𝑀𝑟𝑒𝑓 = 𝐹𝑎𝑥. 𝑑𝑎𝑦 - 𝐹𝑎𝑦 . 𝑑𝑎𝑥 - 𝐹𝑏𝑥. 𝑑𝑏𝑦+ 𝐹𝑏𝑦. 𝑑𝑏𝑥 - 𝐹𝑐𝑥 . 𝑑𝑐𝑦- 𝐹𝑐𝑦. 𝑑𝑐𝑥

𝑀𝑟𝑒𝑓 = 𝐹𝑎.cos 𝑎. 𝑑𝑎𝑦 - … .

𝑹𝒆𝒇

𝑴𝒏 = 𝟎

Exercício 01 - Solução


32

PMR-3307

Carregamentos

➢ Forças

▪ Concentrados

▪ Distribuídos

➢ Momentos

𝑭𝒂

𝑭𝒃

՜𝑭𝒄

𝑷𝒂

𝑷𝒃

՜𝑷𝒄

𝑴𝒂

𝑴𝒃

𝑴𝒄

33

PMR-3307

Apoios

• Fixo

• Deslizante

• Engastado

• Com cabo

• Com contato

𝑅𝑏

𝑅𝑎

𝑅𝑏𝑅𝑎

𝑅𝑏

𝑅𝑎𝑅𝑏

𝑅𝑎

𝑅𝑏

՜𝐹𝑎

՜𝑇

34

PMR-3307

Apoios e reações

՜𝐹𝑎

𝐹𝑏

՜𝐹𝑐

Ref•

𝐹𝑐𝑥

𝐹𝑎𝑥

𝐹𝑎𝑦

𝐹𝑐𝑦

𝑎

𝑐

𝐹𝑏𝑥

𝐹𝑏𝑦

𝑏

x

y

z

՜𝐹𝑎

𝐹𝑏

՜𝐹𝑐

Ref•

𝐹𝐴2𝑥

𝐴1𝐹𝐴1𝑦

𝐹𝐴2𝑦

𝐴2

՜𝑀՜

𝑀

𝐴1

𝐴2

PMR-3307

Apoios, reações e modelo de viga

՜𝐹𝑎

𝐹𝑏

՜𝐹𝑐

𝐹𝑐𝑥

𝐹𝑎𝑥

𝐹𝑎𝑦

𝐹𝑐𝑦

𝑎

𝑐

𝐹𝑏𝑥

𝐹𝑏𝑦

𝑏

x

y

z

35

𝐼 ⇒ 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖a

Á𝑟𝑒𝑎

𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙

𝐹𝐴2𝑥

𝐴1

𝐴2

36PMR-3307

Apoios, reações e esforços internos

՜𝐹𝑎

𝐹𝑏

՜𝐹𝑐

Ref•

𝐹𝑐𝑥

𝐹𝑎𝑥

𝐹𝑎𝑦

𝐹𝑐𝑦

𝑎

𝑐

𝐹𝑏𝑥

𝐹𝑏𝑦

𝑏

x

y

z

𝐹𝐴1𝑦

𝐹𝐴2𝑦

𝐴2

՜𝑀

36 𝐹𝐴1𝑦

𝐹𝐴2𝑦

𝐹𝐴2𝑥

𝐹𝐴2𝑥

𝐴1

𝐴2𝐴1

𝐴2

37PMR-3307

Apoios, reações e modelo de viga

՜𝐹𝑎

𝐹𝑏

՜𝐹𝑐

𝐹𝑐𝑥

𝐹𝑎𝑥

𝐹𝑎𝑦

𝐹𝑐𝑦

𝑎

𝑐

𝐹𝑏𝑥

𝐹𝑏𝑦

𝑏

x

y

z

𝐹𝐴1𝑦

𝐹𝐴2𝑦37

𝐼 ⇒ 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖a

𝐸

Á𝑟𝑒𝑎

𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙

37

՜𝐹𝑎

𝐹𝑏

՜𝐹𝑐

𝐹𝑐𝑥𝐹𝑎𝑥

𝐹𝑎𝑦

𝐹𝑐𝑦

𝑎𝑐

𝐹𝑏𝑥

𝐹𝑏𝑦

𝑏

𝐴1𝐹𝐴1𝑦𝐹𝐴2𝑦

՜𝑀

՜𝑀

՜𝑀

𝐹𝐴2𝑥

𝐹𝐴2𝑥

𝐴1

𝐴2

PMR-3307

No projeto

z

x

y

38

𝑎

𝑭𝒓𝒆𝒇 = 𝑭𝒓𝒆𝒇𝒙

𝟐+ 𝑭𝒓𝒆𝒇𝒚

𝟐

𝑭𝒓𝒆𝒇 = 𝑭𝒂.cos 𝒂 −2 𝑭𝒂.cos 𝒃 + (3/2) 𝑭𝒂.cos 𝒄𝟐+ 𝑭𝒂.sin 𝒂 − 2 𝑭𝒂.sin 𝒃 + (3/2) 𝑭𝒂.sin 𝒄

𝟐

𝑏

PMR-3307

Forças e momentos atuantes

𝑷𝒆 𝑷𝒑𝒍 ՜𝑭𝒄

՜𝑭𝒇

𝑭𝒑𝑴𝒕

𝑷𝒑ç 𝒛

z

x

y

39

𝑏𝑎

40

PMR-3307

Reações - Bidimensional -

𝑹𝒂𝒙𝑹𝒃𝒙

z

x

y

𝑹𝒃𝒛

𝑏𝑎

PMR-3307

Diagramas de corpo livre

- Bidimensional -


𝑹𝒂𝒛

𝑷𝒆 𝑷𝒑𝒍 𝑷𝒑𝒄(𝒛)՜𝑭𝒄

՜𝑭𝒇

𝑭𝒑𝑴𝒕

z

x

y

41

𝑏𝑎

PMR-3307

Diagramas de corpo livre

- Tridimensional -

z

x


𝑹𝒂𝒛

𝑷𝒆 𝑷𝒑𝒍 𝑷𝒑𝒄՜𝑭𝒄

՜𝑭𝒇

𝑹𝒂𝒚𝑹𝒃𝒚

𝑹𝒂𝒛

𝑷𝒑𝒍՜𝑭𝒄

՜𝑭𝒇

𝑭𝒑

𝑴𝒕z

y

42

𝑴𝒕

43

PMR-3307

Carregamentos

44

PMR-3307

Exercício 02

➢ O fuso de esferas recirculantes, utilizando para converter movimento no sistema de posicionamento linear abaixo, pode usar duas soluções de montagem. Uma com fuso bi –apoiado, e outra em balanço. Desenvolva as equações de equilíbrio estático, e as equações de esforços e flexão para as duas soluções propostas. Use as considerações que vocês acharem necessárias. Qual das duas soluções produz menor flexão na extremidade (a)?

𝑏

𝑎 𝑏

𝑎𝑐

𝑐

Ltotal

Lfuso = Ltotal/4Lfuso = Ltotal/4

PMR-3307

➢ Desenvolvendo as equações de equilíbrio estático para o corpo rígido abaixo

x

y

L

A B

C F

LL

45

Estado de tensão geral sobre um elemento

PMR-3307

x

y

L

AB

C F

LL

1 2

3

𝑅𝑏𝑥

𝑅𝑏𝑦𝑅𝑎𝑦

𝐹 + 𝑅𝑏𝑥 = 0 𝐹𝑥 = 0

𝑀𝐴 = 0

𝐹𝑦 = 0 𝑅𝑎𝑦 + 𝑅𝑏𝑦 = 0

𝑅𝑏𝑦 . 𝐿 + 𝐹 . (3

4𝐿2) = 0

𝑅𝑏𝑦 . 𝐿 + 𝐹 . (𝐿. − sin 𝜃) = 0

𝑅𝑏𝑥 = −𝐹

𝑅𝑎𝑦 = −𝑃. sin 𝜃

𝑅𝑏𝑦 = 𝑃. sin 𝜃

46



PMR-3307

x

y

47



PMR-3307

Resultantes Internas

Análise individual dos esforços

x

y

L

AB

C F

LL

1 2

3

𝑅𝑎𝑦 = −𝑃. sin 𝜃𝑅𝑏𝑦 = 𝑃. sin 𝜃


A

CL

1

𝐹𝑎𝑦

𝐹𝑎𝑥

𝐹𝑐𝑦

𝐹𝑐𝑥

𝑭𝟏

𝑭𝟏

𝐹𝑐𝑥 + 𝐹𝑎𝑥 = 0 𝐹𝑥 = 0

𝑀𝐵 = 0

𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑐𝑦 + 𝐹𝑎𝑦 = 0

-𝐹𝑐𝑦 . 𝐿. cos 𝜃 + 𝐹𝑐𝑥 . sin 𝜃 = 0

𝐿. sin 𝜃

𝐿. cos 𝜃

48

PMR-3307

x

y

L

AB

CF

L1 2

3

𝑅𝑎𝑦 = −𝑃. sin 𝜃 𝑅𝑏𝑦 = 𝑃. sin 𝜃


B

C

L

2

𝐹𝑏𝑦

𝐹𝑏𝑥

𝐹𝑐𝑦

𝐹𝑐𝑥

𝐹𝑐𝑥 + 𝐹𝑏𝑥 = 0 𝐹𝑥 = 0

𝑀𝐵 = 0

𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑐𝑦 + 𝐹𝑏𝑦 = 0

𝐹𝑐𝑦 . 𝐿. cos 𝜃 + 𝐹𝑐𝑥 . sin 𝜃 = 0

𝐿. sin 𝜃

𝐿. cos 𝜃

𝑭𝟐

𝑭𝟐

49



PMR-3307

x

y

L

AB

C F

LL

1 2

3

𝑅𝑎𝑦 = −𝑃. sin 𝜃 𝑅𝑏𝑦 = 𝑃. sin 𝜃


A B

𝐹𝑎𝑦

𝐹𝑎𝑥

𝐹𝑏𝑦

𝐹𝑏𝑥

L

3

𝐹𝑐𝑥 + 𝐹𝑎𝑥 = 0 𝐹𝑥 = 0

𝑀𝐴 = 0

𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑐𝑦 + 𝐹𝑎𝑦 = 0

−𝐹𝑏𝑦 . 𝐿 = 0

𝑭𝟑

𝑭𝟑

50



51

PMR-3307

Esforços combinados

( Tensões combinadas)

x

y

L

AB

C F

LL

1 2

3

𝑅𝑎𝑦 = −𝑃. sin 𝜃𝑅𝑏𝑦 = 𝑃. sin 𝜃

𝑅𝑏𝑥 = −𝐹 AB

C F

L

1

2

L

𝑭𝟏

𝑭𝟏 𝑭𝟐

𝑭𝟐

𝑭𝟏 𝑭𝟐𝜑

PMR-3307

Esforços combinados

x

y

L

A B

3

AB

C F

L

1

2

L

𝑭𝟏

𝑭𝟏 𝑭𝟐

𝑭𝟐

𝑭𝟏 𝑭𝟐𝜑

C

𝑭𝟐

𝑭𝟑 𝑭𝟑

𝑅𝑏𝑦𝑅𝑎𝑦

𝑭𝟑 𝑭𝟑

52

PMR-3307

Diagrama de Esforços

x

y

L

A B

3

𝑭𝟏 𝑭𝟐

𝑅𝑏𝑦

𝑭𝟑 𝑭𝟑

L(x)

A

3

𝑭𝟏

𝑅𝑎𝑦

𝑭𝟑𝑬𝑨𝒓𝒚 (𝒙)

𝑬𝑨𝒓𝒙 (𝒙)

𝑴𝑨𝒓 (𝒙)

L(x)

3

𝑅𝑏𝑦

𝑬𝑩𝒓𝒚 (𝒙)

𝑬𝑩𝒓𝒙 (𝒙)

𝑴𝑩𝒓 (𝒙)

B

𝑭𝟐

Força cortante

Força axial

Momento

Flexão53

PMR-3307


x

y

L(x)

A

3

𝑭𝟏

𝑅𝑎𝑦

𝑭𝟑𝑬𝑨𝒓𝒚 (𝒙)

𝑬𝑨𝒓𝒙 (𝒙)

𝑴𝑨𝒓 (𝒙)

𝑬𝑨𝒓𝒚 (𝒙)

𝑬𝑨𝒓𝒙 (𝒙)𝑴𝑨𝒓 (𝒙)

𝑬𝑨𝒓𝒛 (𝒙)

𝑴𝑨´𝒓 (𝒙)

x

y

z

𝝉𝒙𝒙 ≅ 𝝈𝒙𝝉𝒛𝒛 ≅ 𝝈𝒛

𝝉𝒚𝒚 ≅ 𝝈𝒚

𝝉𝒙𝒛

𝝉𝒙𝒚

𝝉𝒚𝒛𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒛𝒙

𝝉𝒛𝒚

𝝈𝒛𝝈𝒙

𝝈𝒚


54

PMR-3307

Equações diferenciais de equilíbrio

Elemento infinitesimal com tensões e forças

atuando

x

y

𝝉𝒙𝒚

𝝉𝒚𝒛 +𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑦𝑑𝑦

𝝉𝒙𝒚 +𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥𝑑𝑥

𝒅𝒚

𝒅𝒙

𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝜏𝑥𝑦𝜕𝑦

+ 𝑋 = 0

𝜕𝜏𝑦𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝜎𝑦𝜕𝑦

+ 𝑌 = 0

𝑀𝑧 = 0 ⇒ 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥



+𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑧

+ 𝑋 = 0

𝝉𝒚𝒛

𝝈𝒚

𝝈𝒚 +𝜕𝜎𝑦

𝜕𝑦𝑑𝑦

𝝈𝒙 +𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥

𝑑𝑥𝝈𝒙

55

PMR-3307

Exercício 3

➢ Uma barra de 10 mm2 e L em mm é fixada suspensaconforme a figura abaixo. O peso por unidade decomprimento é . Determine a tensão normal nessabarra utilizando as equações diferenciais de equilíbrio.

x

y

L

56

PMR-3307

Exercício 3

➢ Diagrama de corpo livre e equações de equilíbrio.

x

y

L

Ry

RxMr

X = L

A (10 mm2)

𝑋 − 𝑅𝑥 = 0 𝐹𝑥 = 0

𝑀𝑜 = 0

𝐹𝑦 = 0 𝑅𝑦 = 0

𝑋 = 𝑅𝑥

𝑅𝑥 = Ԧ𝛾𝐿o

𝑀𝑟 = 0

x

y

L

Ry

RxMr

o

57

PMR-3307

Exercício 3

➢ Equações diferenciais de equilíbrio.



+𝜕𝜏𝑥𝑧𝜕𝑧

+ 𝑋 = 0𝜕𝜎𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑦+ 𝑋 = 0

𝟎


+𝛾

𝐴= 0

𝑑𝜎𝑥 = −𝛾

𝐴𝑑𝑥


= −𝛾

A

න0

𝐿

𝑑𝜎𝑥 = −𝛾

𝐴න0

𝐿

𝑑𝑥 𝜎𝑥 = −𝛾

𝐴(𝐿 − 𝑥)

𝟎

x

y

L

Ry

RxMr

X = L

A (10 mm2)

o

𝜎𝑥0 = −𝛾

𝐴(𝐿) 𝜎𝑥𝐿 = 0

𝜎𝑥 (𝐿) = 0

58

59

PMR-3307

Exercício 3

➢ Diagramas de esforços

𝜎𝑥 (𝐿) = 0

x

y

L

Ry

RxMr

X = L

A (10 mm2)

o

M Vo o o

MomentoForça

cortante

𝜎𝑥 o 𝑣

Força axial Flexão

FIM DA AULA 01

Próximas aula

3ª feira - Teorias de Falha: Falha por impacto – Prof. Nicola;

6ª feira - Comportamento mecânico dos materiais– Prof. Rodrigo

PMR-3307

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