Mtodo de los elementos finitos 1

Mtodo de los elementos finitos

Solucin de MEF en 2D para una configuracinde un magnetostato, (las lneas muestran la

direccin de la densidad de flujo calculada, y elcolor, su magnitud).

La malla 2D para la imagen superior (la malla esms densa alrededor de nuestro objetivo, aquellaszonas de mayor inters, o de mayor complejidad

en el clculo).

Una funcin en H10, con valor cero en los puntosfinales (azul), y una aproximacin lineal (rojo).

El mtodo de los elementos finitos (MEF en castellano o FEM eningls) es un mtodo numrico general para la aproximacin desoluciones de ecuaciones diferenciales parciales muy utilizado endiversos problemas de ingeniera y fsica.

El MEF est pensado para ser usado en computadoras y permiteresolver ecuaciones diferenciales asociadas a un problema fsico sobregeometras complicadas. El MEF se usa en el diseo y mejora deproductos y aplicaciones industriales, as como en la simulacin desistemas fsicos y biolgicos complejos. La variedad de problemas alos que puede aplicarse ha crecido enormemente, siendo el requisitobsico que las ecuaciones constitutivas y ecuaciones de evolucintemporal del problema a considerar sean conocidas de antemano.

Introduccin

El MEF permite obtener una solucin numrica aproximada sobre uncuerpo, estructura o dominio (medio continuo) sobre el que estndefinidas ciertas ecuaciones diferenciales en forma dbil o integral quecaracterizan el comportamiento fsico del problema dividindolo enun nmero elevado de subdominios no-intersectantes entre sdenominados elementos finitos. El conjunto de elementos finitosforma una particin del dominio tambin denominada discretizacin.Dentro de cada elemento se distinguen una serie de puntosrepresentativos llamados nodos. Dos nodos son adyacentes sipertenecen al mismo elemento finito; adems, un nodo sobre lafrontera de un elemento finito puede pertenecer a varios elementos. Elconjunto de nodos considerando sus relaciones de adyacencia se llamamalla.

Los clculos se realizan sobre una malla de puntos (llamados nodos),que sirven a su vez de base para discretizacin del dominio enelementos finitos. La generacin de la malla se realiza usualmente conprogramas especiales llamados generadores de mallas, en una etapaprevia a los clculos que se denomina pre-proceso. De acuerdo conestas relaciones de adyacencia o conectividad se relaciona el valor deun conjunto de variables incgnitas definidas en cada nodo ydenominadas grados de libertad. El conjunto de relaciones entre elvalor de una determinada variable entre los nodos se puede escribir enforma de sistema de ecuaciones lineales (o linealizadas). La matriz dedicho sistema de ecuaciones se llama matriz de rigidez del sistema. Elnmero de ecuaciones de dicho sistema es proporcional al nmero denodos.

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Triangulacin.

Tpicamente el anlisis de los elementos finitos se programacomputacionalmente para calcular el campo de desplazamientos y,posteriormente, a travs de relaciones cinemticas y constitutivas lasdeformaciones y tensiones respectivamente, cuando se trata de unproblema de mecnica de slidos deformables o ms generalmente unproblema de mecnica de medios continuos. El mtodo de loselementos finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidadde introducir dominios de clculo complejos (en dos o tresdimensiones). Adems el mtodo es fcilmente adaptable a problemasde transmisin de calor, de mecnica de fluidos para calcular camposde velocidades y presiones (mecnica de fluidos computacional, CFD)o de campo electromagntico. Dada la imposibilidad prctica deencontrar la solucin analtica de estos problemas, con frecuencia en laprctica ingenieril los mtodos numricos y, en particular, los elementos finitos, se convierten en la nica alternativaprctica de clculo.

Una importante propiedad del mtodo es la convergencia; si se consideran particiones de elementos finitossucesivamente ms finas, la solucin numrica calculada converge rpidamente hacia la solucin exacta del sistemade ecuaciones.

Breve resea histricaEl Mtodo de Elementos Finitos (MEF) fue al principio desarrollado en 1943 por Richard Courant, quien utiliz elmtodo de Ritz de anlisis numrico y minimizacin de las variables de clculo para obtener soluciones aproximadasa un sistema de vibracin. Poco despus, un documento publicado en 1956 por M. J. Turner, R. W. Clough, H. C.Martin, y L. J. Topp estableci una definicin ms amplia del anlisis numrico.[1] El documento se centr en larigidez y deformacin de estructuras complejas. Con la llegada de los primeros ordenadores instaura el clculomatricial de estructuras. ste parte de la discretizacin de la estructura en elementos lineales tipo barra de los que seconoce su rigidez frente a los desplazamientos de sus nodos. Se plantea entonces un sistema de ecuaciones resultadode aplicar las ecuaciones de equilibrio a los nodos de la estructura. Este sistema de ecuaciones se esquematiza de lasiguiente manera:

(*)

Donde las incgnitas son los desplazamientos en los nodos (vector u) que se hallan a partir de las "fuerzas" o"solicitaciones" en los nodos (vector ) y de la rigidez de las barras (matriz de rigidez ). Conocidos dichosdesplazamientos es posible determinar los esfuerzos en las barras. La solucin obtenida es exacta.

Uso prctico del mtodo hacia 1950Cuando se produce la llegada de los primeros equipos de cmputo en la dcada de 1950, el clculo de estructuras seencontraba en un punto en el que los mtodos de clculo predominantes consistan en mtodo iterativos (mtodos deCross y Kani) que se realizaban de manera manual y, por tanto, resultaban bastante tediosos. El clculo de unaestructura de edificacin de varios pisos, por ejemplo, poda llevar varias semanas, lo cual supona un costesustancial de tiempo en detrimento de la posibilidad de invertir este en la optimizacin de la estructura.La llegada de la computadora permiti el resurgimiento del mtodo de los desplazamientos ya conocidos en siglosanteriores (Navier, Lagrange, Cauchy), pero que eran difciles de aplicar dado que al final conducan a la resolucinde enormes sistemas de ecuaciones inabordables desde el punto de vista manual.

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De 1960 a 1970Cuando las aplicaciones prcticas de elementos finitos crecieron en tamao, los requerimientos de tiempo de clculoy memoria de los ordenadores creci. En ese punto el desarrollo de algoritmos ms eficientes se volvi importante.Para la resolucin de los sistemas de ecuaciones se potencia el estudio de la adaptabilidad de los algoritmos yaconocidos (Gauss, Cholesky, Crout, Gradiente conjugado, etc). El ahorro de tiempo es impensable y con ello el usodel mtodo matricial se extiende. Este desarrollo se hace especialmente notable en estructuras de edificacin dondela discretizacin de los prticos en barras, es prcticamente inmediata a partir de las vigas y los pilares.Sin embargo, y a pesar de desarrollarse modelizaciones de elementos superficiales mediante barras (losas conemparrillados, elementos curvos mediante aproximaciones de elementos rectos, etc.), se plantean grandesdificultades ante estructuras continuas (superficies y volmenes) y con geometras complejas. De ah que seaprecisamente dentro del campo aeroespacial donde comiencen a desarrollarse las nuevas tcnicas del MEF. Dada sugeneralidad el mtodo se ampli a otros campos no estructurales como la conduccin de calor, la mecnica defluidos, etc. donde compiti con otros mtodos numricos como el de mtodo de las diferencias finitas que ansiendo ms intuitivos, tenan de nuevo dificultades de planteamiento para geometras complejas.Con la llegada de los centros de clculo y los primeros programas comerciales en los aos 60, el MEF a la vez que sepopulariza en la industria refuerza sus bases tericas en los centros universitarios.En los aos 70 se produce un gran crecimiento de la bibliografa as como la extensin del mtodo a otros problemascomo los no lineales. En esta dcada, el MEF estaba limitado a caros ordenadores centrales generalmente posedopor las industrias aeronuticas, de automocin, de defensa y nucleares. Se estudian nuevos tipos de elementos y sesientan las bases matemticas rigurosas del mtodo, que haba aparecido antes ms como tcnica de la ingeniera quecomo mtodo numrico de la matemtica.

A partir de 1980Por ltimo, a partir de la dcada de los 80, con la generalizacin de los ordenadores personales, se extiende el uso delos programas comerciales que se especializan en los diversos campos, instaurndose el uso de pre ypostprocesadores grficos que realizan el mallado y la representacin grfica de los resultados. Se contina en elestudio de la aplicacin del mtodo a nuevos modelos de comportamiento (plasticidad, fractura, dao continuo, etc.)y en el anlisis de los errores.En la actualidad, dentro del campo estructural, el MEF comparte protagonismo con el mtodo matricial, siendomuchos los programas que mezclan el anlisis por ambos mtodos, debido sobre todo a la mayor necesidad dememoria que requiere el anlisis por elementos finitos. As se ha dejado la aplicacin del MEF para el anlisis deelementos continuos tipo losa o pantalla, mientras que los prticos siguen todava discretizndose en barras yutilizando el mtodo matricial. Y desde el rpido declive en el coste de los ordenadores y el fenomenal incrementoen la potencia de clculo, el MEF ha desarrollado una increble precisin. A da de hoy, los superordenadores soncapaces de dar resultados exactos para todo tipo de parmetros.

Descripcin matemtica del mtodoEl desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un problema definido mediante ecuacionesdiferenciales y condiciones de contorno requiere en general cuatro etapas:1. El problema debe reformularse en forma variacional.2. El dominio de variables independientes (usualmente un dominio espacial para problemas dependientes del

tiempo) debe dividirse mediante una particin en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a laparticin anterior se construye un espacio vectorial de dimensin finita, llamado espacio de elementos finitos.Siendo la solucin numrica aproximada obtenida por elementos finitos una combinacin lineal en dicho espaciovectorial.

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3.3. Se obtiene la proyeccin del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de laparticin. Esto da lugar a un sistema con un nmero de ecuaciones finito, aunque en general con un nmeroelevado de ecuaciones incgnitas. El nmero de incgnitas ser igual a la dimensin del espacio vectorial deelementos finitos obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensin tanto mejor ser la aproximacinnumrica obtenida.

4.4. El ltimo paso es el clculo numrico de la solucin del sistema de ecuaciones.Los pasos anteriores permiten construir un problema de clculo diferencial en un problema de lgebra lineal. Dichoproblema en general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensin no-finita, pero que puede resolverseaproximadamente encontrando una proyeccin sobre un subespacio de dimensin finita, y por tanto con un nmerofinito de ecuaciones (aunque en general el nmero de ecuaciones ser elevado tpicamente de miles o inclusocentenares de miles). La discretizacin en elementos finitos ayuda a construir un algoritmo de proyeccin sencillo,logrando adems que la solucin por el mtodo de elementos finitos sea generalmente exacta en un conjunto finitode puntos. Estos puntos coinciden usualmente con los vrtices de los elementos finitos o puntos destacados de losmismos. Para la resolucin concreta del enorme sistema de ecuaciones algebraicas en general pueden usarse losmtodos convencionales del lgebra lineal en espacios de dimensin finita.En lo que sigue d es la dimensin del dominio, n el nmero de elementos finitos y N el nmero de nodos total.

Formulacin dbilLa formulacin dbil de una ecuacin diferencial permite convertir un problema de clculo diferencial formulado entrmino de ecuaciones diferenciales en trminos de un problema de lgebra lineal planteado sobre un espacio deBanach, generalmente de dimensin no finita, pero que puede ser aproximado por un sistema finito de ecuacionesalgebraicas.Dada una ecuacin diferencial lineal de la forma:

(1)

Donde la solucin es una cierta funcin definida sobre un dominio d-dimensional , y se han especificadoun conjunto de condiciones de contorno adecuadas, puede suponerse que la funcin buscada es un elemento de unespacio de funciones o espacio de Banach V y que la ecuacin (2) es equivalente a:

(2a)

Donde V' es el espacio dual de V, la forma variacional dbil se obtiene buscando la nica solucin tal que:(2b)

Cuando el operador lineal es un operador elptico, el problema se puede plantear como un problema de minimizacinsobre el espacio de Banach.

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Discretizacin del dominio

Dado un dominio con una frontera continua en el sentido de Lipschitz una particin en n "elementosfinitos", es una coleccin de n subdominios que satisfece:1.2. Cada es un conjunto compacto con una frontera Lipschitz-continua.3.Usualmente por conveniencia prctica y sencillez de anlisis, todos los "elementos finitos" tienen la misma "forma",es decir, existe un dominio de referencia y una coleccin de funciones biyectivas:

Este dominio de referencia se suele llamar frecuentemente tambin dominio isoparamtrico. En los anlisis 2D (d =2) el dominio de referencia se suele tomar como un tringulo equiltero o un cuadrado, mientras que en losanlisis 3D (d = 3), el dominio de referencia tpicamente es un tetraedro o un hexaedro. Adems sobre cada elementose considerarn algunos puntos especiales, llamados nodos y que generalmente incluirn los vrtices del elementofinito y se requerir la condicin adicional de que dos elementos adyacentes compartan los nodos sobre elsubconjunto , es decir:

Una vez definida la particin en elementos finitos, se define sobre cada elemento un espacio funcional de dimensinfinito, usualmente formado por polinomios. Este espacio funcional servir para aproximar localmente la solucin delproblema variacional. El problema variacional en su forma dbil se plantea sobre un espacio de dimensin no-finita,y por tanto la funcin buscada ser una funcin de dicho espacio. El problema en esa forma exacta escomputacionalmente inabordable, as que en la prctica se considerar un subespacio de dimensin finita delespacio vectorial original . Y en lugar de la solucin exacta de (2b) se calcula la proyeccin de la solucin originalsobre dicho subespacio vectorial de dimensin finita, es decir, se resolver numricamente el siguiente problema:

(2c)

Donde:

, es la solucin aproximada.es el proyector ortogonal del espacio original sobre el subespacio vectorial

asociado a la discretiacin.Si la discretizacin es suficientemente fina y el espacio funcional finito sobre cada elemento est bien escogido, lasolucin numrica obtenida aproximar razonablemente bien la solucin original. Eso implicar en generalconsiderar un nmero muy elevado de elementos finitos y por tanto un subespacio de proyeccin de dimensinelevada. El error entre la solucin exacta y la solucin aproximada puede acotarse gracias al lema de Ce, que enesencia afirma que la solucin exacta y la solucin aproximada satisfacen:

(LC)

Es decir, el error depender ante todo de lo bien que el subespacio vectorial asociado a la discretizacin en elementosfintios aproxime el espacio vectorial original .

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Funciones de forma y espacio de la solucinExisten muchas formas de elegir un conjunto de funciones que formen una base vectorial sobre la que aproximar lasolucin exacta del problema. Desde un punto de vista prctico resulta til definir un espacio vectorial dedimensin finita definido sobre el dominio de referencia formado por todos los polinomios de grado igual oinferior a cierto grado:

Entonces mediante las aplicaciones que aplican el dominio de referencia a cada elemento finito se define el espaciovectorial que servir para aproximar la solucin como:

(3)

Cuando es una funcin lineal y el espacio est formado por polinomios entonces la restriccin de estambin un polinomio. El espacio vectorial es un espacio polinmico en que la base de dicho espacio estformada por funciones de forma , que dado el conjunto de nodos del dominio de referencia se definen como:

Esto permite definir de manera unvoca unas funciones de forma sobre el dominio real sobre el que se define elproblema:

Estas funciones se pueden extender a todo el dominio, gracias a que el conjunto de subdominios o elementos finitosconstituye una particin de todo el dominio:

Las funciones de forma permiten proyectar sobre el espacio de elementos finitos cualquier funcin definida sobre eldominio original mediante el proyector :

(4)

Resolucin de las ecuacionesFijada una base asociada a una determinada discretizacin del dominio, como por ejemplo la dada por las funciones

la forma dbil del problema (, cuando la funcin es bilineal) puede escribirse como una ecuacinmatricial simple:

Donde N es el nmero de nodos. Agrupando los trminos y teniendo en cuenta que v^h es arbitario y que por tanto laecuacin anterior debe cumplirse para cualquier valor de dicho vector arbitrario se tiene que:

(5)

Este es la forma comn del sistema de ecuaciones de un problema de elementos asociado a una ecuacin diferenciallineal, no dependiente del tiempo. Esta ltima forma es precisamente la forma (*) de la resea histrica. Pararesolver numricamente el sistema de ecuaciones (*), que usualmente consta de miles o incluso centenares de miles

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de ecuaciones se requieren algoritmos eficientes que optimicen el nmero de operaciones que debe realizarse yahorren memoria.En general las complicaciones computacionales que deben resolverse en la resolucin numrica son:

1. El clculo de la matriz de coeficientes , esto generalmente requiere integracin numrica aproximadalo cual es una nueva fuente de errores en el clculo por el MEF.

2. El uso de un mtodo eficiente para resolver el sistema de ecuaciones obtenido. Por ejemplo el mtodo de Crameres totalmente impracticable para , un ordenador de unos 10 GFlops tardara ms de 2 aos en resolverel sistema por dicho mtodo, mientras que si se usa el mtodo de eliminacin gaussiana tardara menos de unadiez milsima de segundo.

Para entender la necesidad de la integracin numrica necesitamos ver qu forma tiene tpicamente la forma dbil delproblema, expresada en trminos de los subdominios o elementos finitos. Esa forma dbil involucra integrales de laforma:

Donde:

son el domino sobre el que se plantea el problema.

, representan a cada uno de los elementos finitos y al dominio isoparamtrico que da la forma de loselementos finitos.

, representan la funcin que debe integrarse y su expresin sobre el dominioisoparamtrico.

, la aplicacin que relaciona el dominio isoparamtrico con cada elemento finito., son los pesos y los puntos de integracin usados para integracin gaussiana.

, son el nmero total de elementos y el nmero de puntos de integracin por elemento.

Aproximacin del errorDe acuerdo con el lema de Ce (LC) el error cometido en la aproximacin de una solucin exacta medianteelementos finitos viene acotada por el error de aproximacin, es decir, la solucin obtenida mediante el MEF es,tanto ms buena cuanto mejor sea la aproximacin . Dado que el error de aproximacin depende crucialmentedel tamao de los elementos, cuanto mayor sea su nmero a igualdad de otros factores tanto menor ser el error deaproximacin. A continuacin acotamos este error de aproximacin que acotar el error de la solucin de elementosfinitos.Para ello necesitamos definir el dimetro de cada subdominio o elemento finito:

h es un medida de la finura de la discretizacin es el mximo de los anteriores valores. Puede comprobarse que elerror de aproximacin (y por tanto el error de la solucin mediante elementos finitos) viene acotada por:

(AE)

Donde:

, son respectivamente la solucin exacta y la solucin obtenida mediante elementos finitos., es un nmero real que depende de la forma del dominio, entre otros factores.

, es el k+1-simo espacio de Sobolev de funciones sobre el dominio ., es la seminorma dada por:

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siendo un multindice y la derivada parcial de u asociada al mismo. La norma del espacio L2().

Cmo trabaja el MEF en la prctica?El MEF es un mtodo numrico de resolucin de ecuaciones diferenciales. La solucin obtenida por MEF es sloaproximada, coincidiendo con la solucin exacta slo en un nmero finito de puntos llamados nodos. En el resto depuntos que no son nodos, la solucin aproximada se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos para losnodos, lo cual hace que la solucin sea slo aproximada debido a ese ltimo paso.El MEF convierte un problema definido en trminos de ecuaciones diferenciales en un problema en forma matricialque proporciona el resultado correcto para un nmero de finito de puntos e interpola posteriormente la solucin alresto del dominio, resultando finalmente slo una solucin aproximada. El conjunto de puntos donde la solucin esexacta se denomina conjunto nodos. Dicho conjunto de nodos forma una red, denominada malla formada porretculos. Cada uno de los retculos contenidos en dicha malla es un "elemento finito". El conjunto de nodos seobtiene dividiendo o discretizando la estructura en elementos de forma variada (pueden ser superficies, volmenes ybarras).Desde el punto de vista de la programacin algortmica modular las tareas necearias para llevar a cabo un clculomediante un programa MEF se dividen en: Preproceso, que consiste en la definicin de geometra, generacin de la malla, las condiciones de contorno y

asignacin de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones existen operaciones cosmticas deregularizacin de la malla y precondicionamiento para garantizar una mejor aproximacin o una mejorconvergencia del clculo.

Clculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del tiempo, permite generar unconjunto de N ecuaciones y N incgnitas, que puede ser resuelto con cualquier algoritmo para la resolucin desistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema a tratar es un problema no-lineal o un problema dependientedel tiempo a veces el clculo consiste en una sucesin finita de sistemas de N ecuaciones y N incgnitas quedeben resolverse uno a continuacin de otro, y cuya entrada depende del resultado del paso anterior.

Postproceso, el clculo proporciona valores de cierto conjunto de funciones en los nodos de la malla que definela discretizacin, en el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y enocasiones se aplican operaciones de suavizado, interpolacin e incluso determinacin de errores de aproximacin.

Preproceso y generacin de la mallaLa malla se genera y sta en general consta de miles (e incluso centenares de miles) de puntos. La informacin sobrelas propiedades del material y otras caractersticas del problema se almacena junto con la informacin que describela malla. Por otro lado las fuerzas, los flujos trmicos o las temperaturas se reasignan a los puntos de la malla. A losnodos de la malla se les asigna una densidad por todo el material dependiendo del nivel de la tensin mecnica u otrapropiedad. Las regiones que recibirn gran cantidad de tensin tienen normalmente una mayor densidad de nodos(densidad de malla) que aquellos que experimentan poco o ninguno. Puntos de inters consisten en: puntos defractura previamente probados del material, entrantes, esquinas, detalles complejos, y reas de elevada tensin. Lamalla acta como la red de una araa en la que desde cada nodo se extiende un elemento de malla a cada nodoadyacente. Este tipo de red vectorial es la que lleva las propiedades del material al objeto, creando varios elementos.Las tareas asignadas al preproceso son:1.1. El continuo se divide, mediante lneas o superficies imaginarias en un nmero de elementos finitos. Esta parte del

proceso se desarrolla habitualmente mediante algoritmos incorporados a programas informticos de malladodurante la etapa de preproceso.

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2. Se supone que los elementos estn conectados entre s mediante un nmero discreto de puntos o nodos, situadosen sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos sern las incgnitas fundamentales del problema, tal ycomo ocurre en el anlisis simple de estructuras por el mtodo matricial.

3. Se toma un conjunto de funciones que definan de manera nica el campo de desplazamientos dentro de cadaelemento finito en funcin de los desplazamientos nodales de dicho elemento. Por ejemplo el campo dedesplazamientos dentro de un elemento lineal de dos nodos podra venir definido por: u = N1u1 + N2u2, siendo N1y N2 las funciones comentadas (funciones de forma) y u1 y u2 los desplazamientos en el nodo 1 y en el nodo 2.

4.4. Estas funciones de desplazamientos definirn entonces de manera nica el estado de deformacin del elemento enfuncin de los desplazamientos nodales. Estas deformaciones, junto con las propiedades constitutivas delmaterial, definirn a su vez el estado de tensiones en todo el elemento, y por consiguiente en sus contornos.

5. Se determina un sistema de fuerzas concentradas en los nodos, tal que equilibre las tensiones en el contorno ycualesquiera cargas repartidas, resultando as una relacin entre fuerzas y desplazamientos de la forma F = Ku,que como vemos es similar a la del clculo matricial.

Clculo y resolucin de sistemas de ecuacionesEn un problema mecnico lineal no-dependientes del tiempo, como un problema de anlisis estructural esttico o unproblema elstico, el clculo generalmente se reduce a obtener los desplazamientos en los nodos y con ellos definirde manera aproximada el campo de desplazamientos en el elemento finito.Cuando el problema es no-lineal en general la aplicacin de las fuerzas requiere la aplicacin incremental de lasfuerzas y considerar incrementos numricos, y calcular en cada incremento algunas magnitudes referidas a los nodos.Algo similar sucede con los problemas dependientes del tiempo, para los que se considera una sucesin de instantes,en general bastante cercanos en el tiempo, y se considera el equilibrio instantneo en cada instante. En general estosdos ltimos tipos de problemas requieren un tiempo de clculo subtancialmente ms elevado que en un problemaestacionario y lineal.

PostprocesoActualmente, el MEF es usado para calcular problemas tan complejos, que los ficheros que se generan comoresultado del MEF tienen tal cantidad de datos que resulta conveniente procesarlos de alguna manera adicional parahacerlos ms comprensible e ilustrar diferentes aspectos del problema. En la etapa de post-proceso los resultadosobtenidos del la resolucin del sistema son tratados, para obtener representacin grficas y obtener magnitudesderivadas, que permitan extraer conclusiones del problema.El post-proceso del MEF generalmente requiere software adicional para organizar los datos de salida, de tal maneraque sea ms fcilmente comprensible el resultado y permita decidir si ciertas consecuencias del problema son o noaceptables. En el clculo de estructuras por ejemplo, el post-proceso puede incluir comprobaciones adicionales de siuna estructura cumple los requisitos de las normas pertinentes, calculando si se sobrepasan tensiones admisibles, oexiste la posibilidad de pandeo en la estructura.

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Problemas termomecnicosUn amplio rango de funciones objetivo (variables con el sistema) estn disponibles para la minimizacin lamaximizacin: Masa, volumen, temperatura Energa tensional, esfuerzo tensional Fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleracin Sinttica (definidas por el usuario)Hay mltiples condiciones de carga que se pueden aplicar al sistema. Algunos ejemplos son: Puntuales, presin, trmicas, gravedad, y cargas centrfugas estticas Cargas trmicas de soluciones del anlisis de transmisin de calor Desplazamientos forzados Flujo de calor y convencin Puntuales, de presin, y cargas de gravedad dinmicasCada programa MEF puede venir con una biblioteca de elementos, o una que es construda con el tiempo. Algunosejemplos de elementos son: Elementos tipo barra Elementos tipo viga Placa/Cscara/Elementos compuestos Panel de sndwich Elementos slidos Elementos tipo muelle Elementos de masa Elementos rgidos Elementos amortiguadores viscososMuchos programas MEF tambin estn equipados con la capacidad de usar mltiples materiales en la estructura,como: Modelos elsticos isotrpicos / ortotrpicos / anistropicos generales Materiales homogneos / heterogneos Modelos de plasticidad Modelos viscosos

Tipos de anlisis ingenierilesEl programador puede insertar numerosos algoritmos o funciones que pueden hacer al sistema comportarse demanera lineal o no lineal. Los sistemas lineales son menos complejos y normalmente no tienen en cuentadeformaciones plsticas. Los sistemas no lineales toman en cuenta las deformaciones plsticas, y algunos incluso soncapaces de verificar si se presentara fractura en el material.Algunos tipos de anlisis ingenieriles comunes que usan el mtodo de los elementos finitos son: Anlisis esttico se emplea cuando la estructura est sometida a acciones estticas, es decir, no dependientes del

tiempo. Anlisis vibracional es usado para analizar la estructura sometido a vibraciones aleatorias, choques e impactos.

Cada uno de estas acciones puede actuar en la frecuencia natural de la estructura y causar resonancia y elconsecuente fallo.

Anlisis de fatiga ayuda a los diseadores a predecir la vida del material o de la estructura, prediciendo el efectode los ciclos de carga sobre el especimen. Este anlisis puede mostrar las reas donde es ms probable que sepresente una grieta. El anlisis por fatiga puede tambin predecir la tolerancia al fallo del material.

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Los modelos de anlisis de transferencia de calor por conductividad o por dinmicas trmicas de flujo del materialo la estructura. El estado continuo de transferencia se refiere a las propiedades trmicas en el material que tiene unadifusin lineal de calor.

Resultados del MEFEl MEF se ha vuelto una solucin para la tarea de predecir los fallos debidos a tensiones desconocidas enseando losproblemas de la distribucin de tensiones en el material y permitiendo a los diseadores ver todas las tensionesinvolucradas. Este mtodo de diseo y prueba del producto es mejor al ensayo y error en donde hay que mantenercostos de manufactura asociados a la construccin de cada ejemplar para las pruebas.Las grandes ventajas del clculo por ordenador se pueden resumir en: Hace posible el clculo de estructuras que, bien por el gran nmero de operaciones que su resolucin presenta

(entramados de muchos pisos, por ejemplo) o por lo tedioso de las mismas (entramados espaciales, por ejemplo)las cuales eran, en la prctica, inabordables mediante el clculo manual.

En la mayora de los casos reduce a lmites despreciables el riesgo de errores operativos.

MEF de Orden SuperiorLos ltimos avances en este campo indican que su futuro est en mtodos de adaptacin de orden superior, queresponde satisfactoriamente a la creciente complejidad de las simulaciones de ingeniera y satisface la tendenciageneral la resolucin simultnea de los fenmenos con mltiples escalas. Entre las diversas estrategias de adaptacinpara los elementos finitos, los mejores resultados se pueden lograr con la hp-adaptabilidad. La adaptatividadorientada a un objetivo esta basada en la adaptacin de la malla de elementos finitos, con el objetivo de mejorar laresolucin en una cantidad especfica de inters (en lugar de reducir al mnimo el error de la aproximacin en algunanorma global), y la hp-adaptabilidad se basa en la combinacin de refinamientos espaciales (h-adaptabilidad), conuna variacin simultnea del orden del polinomio de aproximacin (p-adaptabilidad). Existen ejemplos donde la'hp-adaptabilidad' result ser la nica manera de resolver el problema en un nivel requerido de exactitud.

LimitacionesEn general el MEF tal como se usa actualmente tiene algunas limitaciones: El MEF calcula soluciones numricas concretas y adaptadas a unos datos particulares de entrada, no puede

hacerse un anlisis de sensibilidad sencillo que permita conocer como variar la solucin si alguno de losparmetros se altera ligeramente. Es decir, proporciona slo respuestas numricas cuantitativas concretas norelaciones cualitativas generales.

El MEF proporciona una solucin aproximada cuyo margen de error en general es desconocido. Si bien algunostipos de problemas permiten acotar el error de la solucin, debido a los diversos tipos de aproximaciones que usael mtodo, los problemas no-lineales o dependientes del tiempo en general no permiten conocer el error.

En el MEF la mayora de aplicaciones prcticas requiere mucho tiempo para ajustar detalles de la geometra,existiendo frecuentemente problemas de mal condicionamiento de las mallas, desigual grado de convergencia dela solucin aproximada hacia la solucin exacta en diferentes puntos, etc. En general una simulacin requiere eluso de numerosas pruebas y ensayos con geometras simplificadas o casos menos generales que el que finalmentepretende simularse, antes de empezar a lograr resultados satisfactorios.

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Mtodo implcito y mtodo explcitoEn problemas dinmicos, donde las magnitudes cambian a lo largo del tiempo, existen diversos mtodos paraintegrar en el tiempo. En ambos mtodos se discretiza el tiempo, por lo que se considera la solucin slo para uncierto nmero de instantes (para el resto de valores del tiempo se pued interpolar la solucin por intervalos). Ladiferencia entre un instante en el que se busca la solucin y el siguiente se denomina, paso de tiempo. Las dosprincipales variantes del clculo por FEM son: Mtodo implcito, que requieren resolver a cada paso de tiempo un sistema de ecuaciones, aunque pueden usarse

pasos de tiempo ms largos. Mtodo explctio, que no requieren resolver un sistema de ecuaciones a cada paso de tiempo, aunque debido a que

la convergencia no siempre est asegurada el paso de tiempo debe escogerse convenientemente pequeo.

El mtodo implcitoEstos clculos suelen usarse para el cclulo de rigidez (aunque aveces tambin se pueden calcular en dinmico).Entre los mtodos implcitos algunos son incondicionalmente convergentes (no divergen exponencialmente de lasolucin exacta) slo para cierta eleccin fija de los parmetros del mtodo.Los clculos por el mtodo implcito (o semi-implcito a la parte ms rgida del sistema) requieren mucho mstiempo de computacin para dar un paso en el tiempo, ya que deben invertir una matriz de tamao muy grande, poresto, se suelen emplear mtodos de intereacin, en vez de mtodos directos. En compensacin, se pueden usar pasosde tiempo mucho ms grandes ya que son estables.

El mtodo explcitoUn mtodo explcito es el que no requiere la resolucin de un sistema de ecuaciones no trivial a cada paso de tiempo.En estos clculos se realiza una simulacin con modificacin de la malla a lo largo del tiempo. En general losmtodos explcitos requieren menor tiempo de computacin que los mtodos implcitos aunque frecuentementepresentan el problema de no ser incondicionalmente convergentes, y requieren evaluar primero el paso de tiempomximo para que la computacin sea numricamente estable. Los mtodos explcitos suelen ser condicionalmenteconvergentes pero no incondicionalmente convergentes, por lo que el paso de tiempo usado en el esquema dediferencias finitas debe ser menor que cierto valor:

Siendo las frecuencias propias del sistema.Se estrealizando un clculo explcito, se est realizando un anlisis dinmico del mecanismo u estructura, enel que suele haber pasos de tiempo muy cortos para que sea estable, aunue se puede lograr una alta precisinpara sistemas dinmicos.

En los elementos finitos explcitos es preferible el uso de elementos sencillos, como cuadrilteros con un punto deintegracin y estabilizacin frente a modos de energa nula, frente a elementos de orden superior.Los mtodos explcitos encuentran su campo de aplicacin ptimo en problemas de dinmica rpida, en los que seproducen fuertes no linealidades y el empleo de intervalos de tiempo pequeos pasa a ser una necesidad.Una ventaja importante del mtodo explcito es la resolucin de las ecuaciones a nivel exclusivamente local, sinplantear en ningn momento sistemas de ecuaciones globales acopladas. Esto permite el uso de algoritmos elementopor elemento, que facilitan el clculo en paralelo. Planteados como mtodos de relajacin dinmica o relajacinviscosa, se enmarcan junto con mtodos iterativos de resolucin de ecuaciones no lineales, como los mtodos derelajacin de Gauss-Seidel, o gradiente conjugado precondicionado con tcnicas de elemento por elemento. Siendomuy interesante para el clculo en paralelo.

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Referencia[1][1] Turner, M., R. W. Clough, H. C. Martin y L. J. Topp, "Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structuures", J. Aeronautical Science 23

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Enlaces externos A 3D-Model for Computer Simulation of Atrial Electrophysiology (http:/ / www. stormingmedia. us/ 65/ 6599/

A659904. html?categoryID=187& categoryPageCount=& addToCart=1) Mtodo elementos finitos, captulo de un libro (http:/ / matematicas. uclm. es/ ind-cr/ metnum/ files/ efinitos. pdf) PETSc-FEM: A General Purpose, Parallel, Multi-Physics FEM Program (http:/ / www. cimec. org. ar/ petscfem) Se pueden encontrar algunos ejemplos de post-procesado en MEF en AeroMech (http:/ / www. aeromechsupport.

nl) Elementos Finitos programados en Matlab alto orden Dimensin 1 (http:/ / math. uprm. edu/ ~isnar_an/

01-05-2010/ pde_nume/ hw1. pdf) Elementos Finitos programados en C++ orden 1 Dimensin 2 (http:/ / math. uprm. edu/ ~isnar_an/ 01-05-2010/

pde_nume/ hw2. pdf)

Programas para elementos finitos Abaqus Flux Cosmos Staad.pro Catia v5 Cype Dlubal RFEM (http:/ / www. dlubal. com/ es) Sap2000 Algor HKS/Abaqus/Simulia ANSYS CAELinux Elmer FEAP Phase2 Nastran Stampack I-deas Femap Pro/ENGINEER Mechanica Elas2D Comsol (http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ COMSOL_Multiphysics) Castem

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SolidWorks SOFiSTiK (http:/ / www. sofistik. com/ ) FreeFem OpenFEM OpenFlower OpenFOAM Calculix Tochnog Gmsh-GetDP Z88 CYMECAP Architrave

Enlaces externos Analisis de un desvo de Ferrocarril por el Mtodo de los Elementos Finitos (Proyecto fin de carrera de Ingeniera

Mecnica de la Universidad de Oviedo) (http:/ / www. docstoc. com/ docs/ 104986585/Analisis-de-un-desvio-de-ferrocaril-FEM), Portada (http:/ / www. docstoc. com/ docs/ 104988070/portada-proyecto-def), Anexo (http:/ / www. docstoc. com/ docs/ 104998809/ Anexo).

Principales programas de FEM: Ansys (http:/ / www. ansys. com/ ) y Abaqus (http:/ / www. cecalc. ula. ve/documentacion/ tutoriales/ abaqus/ introduccion_abaqus. pdf).

Fuentes y contribuyentes del artculo 15

Fuentes y contribuyentes del artculoMtodo de los elementos finitos Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=61376256 Contribuyentes: A martindiaz, Ascnder, Boatbadly, Cuat, Cucharro, Danit, Davius, DoNvErDuGo, Egaida, Felipe Raimann, Felipebm, GermanX, Il foco, Ingenioso Hidalgo, Integral triple, Isnardo.arenas, Juanjo.it.ab, Mel 23, Nicoguaro, Oxilium, Paintman, Plux, Rafael.heras,Ricar256, SPQRes, SchmidtCristian, SimnK, Tabeissan, Tano4595, Technopat, Tehelado, Tortillovsky, 121 ediciones annimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:FEM example of 2D solution.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FEM_example_of_2D_solution.png Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike3.0 Unported Contribuyentes: ZureksArchivo:Example of 2D mesh.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Example_of_2D_mesh.png Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 UnportedContribuyentes: ZureksArchivo:Finite element method 1D illustration1.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Finite_element_method_1D_illustration1.png Licencia: Public DomainContribuyentes: Adam majewski, Christian1985, Jahobr, Joelholdsworth, Krishnavedala, Maksim, WikipediaMasterArchivo:Piecewise linear function2D.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Piecewise_linear_function2D.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: OlegAlexandrov

LicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

Mtodo de los elementos finitosIntroduccin Breve resea histrica Uso prctico del mtodo hacia 1950 De 1960 a 1970 A partir de 1980

Descripcin matemtica del mtodo Formulacin dbil Discretizacin del dominio Funciones de forma y espacio de la solucin Resolucin de las ecuaciones Aproximacin del error

Cmo trabaja el MEF en la prctica? Preproceso y generacin de la malla Clculo y resolucin de sistemas de ecuaciones Postproceso Problemas termomecnicos

Tipos de anlisis ingenieriles Resultados del MEF MEF de Orden Superior Limitaciones

Mtodo implcito y mtodo explcitoEl mtodo implcitoEl mtodo explcito

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