Elementi di strutturistica cristallina II
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Reticoli tri-dimensionali I reticoli (primitivi e non) sono raggruppati in base alle relazioni tra
i parametri reticolari ma anche in base all’esistenza di elementi di
simmetria tra i punti reticolai.
Reticolo Simmetrie Parametri reticolari
Triclino Nessuna a≠b≠c α ≠ β ≠ γ ≠90°
Monoclino Un piano m oppure un asse 2 a≠b≠c α = β = 90° ≠ γ
Ortorombico Ogni asse ha un piano m o
un asse 2 o entrambi
a≠b≠c α = β = γ =90°
Esagonale Un asse 6 con o senza un
centro di inversione -1
a=b≠c α=β=90°≠γ=120°
Tetragonale Un asse 4 con o senza un
centro di inversione -1
a=b≠c α = β = γ =90°
Trigonale
Romboedrico
Un asse 3 con o senza un
centro di inversione -1
Trig. a=b≠c α=β=90°≠γ=120°
Romb. a=b=c α = β = γ ≠90°
Cubico 4 assi 3 intersecati con o
senza un centro -1
a=b=c α = β = γ =90°
Reticoli tri-dimensionali Oltre ale tassellazioni primitive è possibile individuare anche
tassellazioni non primitive nello spazio 3D. In totale i sistemi
reticolari primitivi 3D sono 7 e quelli non primitivi 7.
I 14 reticoli 3D possibili sono
detti Reticoli di Bravais.
I reticoli non primitivi
contengono più di un punto
reticolare:
P - primitivi – 1 p.to
C – faccia centrata – 2 p.ti
I – corpo centrato – 2 p.ti
F – facce centrate – 4 p.ti
Reticoli tri-dimensionali I totale quindi possono esistere 14 reticoli tridimensionali detti
Reticoli di Bravais.
Reticoli tri-dimensionali - algebra Analogamente a quanto fatto per i reticoli bi-dimensionali anche nel
caso dei reticoli di Bravais è possibile darne una descrizione
matricale a meno dei versori di una terna cartesiana nello spazio 3D.
z
y
x
wvu
wvu
wvu
c
b
a
zwyvxuc
zwyvxub
zwyvxua
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
Per un reticolo cubico
semplice
a=b=c α= β=γ=90°
z
y
x
u
u
u
c
b
a
zuyxc
zyuxb
zyxua
ˆ
ˆ
ˆ
00
00
00
ˆˆ0ˆ0
ˆ0ˆˆ0
ˆ0ˆ0ˆ
I vettori reticolari coincidono
con i vettori della cella elementare
Reticoli tri-dimensionali - algebra Esistono altri reticoli trimensionali primitivi oltre a quello cubico.
Per un reticolo ortorombico
semplice
a ≠ b≠c α= β=γ=90°
z
y
x
w
v
u
c
b
a
zwyxc
zyvxb
zyxua
ˆ
ˆ
ˆ
00
00
00
ˆˆ0ˆ0
ˆ0ˆˆ0
ˆ0ˆ0ˆ
In entrambi i casi i vettori reticolari coincidono con i vettori della
cella elementare
z
y
x
v
u
u
c
b
a
zvyxc
zyuxb
zyxua
ˆ
ˆ
ˆ
00
00
00
ˆˆ0ˆ0
ˆ0ˆˆ0
ˆ0ˆ0ˆ
Per un reticolo tetragonale semplice
a=b≠c α= β=γ=90°
Reticoli tri-dimensionali - algebra I reticoli monoclini primitivi hanno una serie di possibili “settings”
ovvero possono essere realizzati formando l’angolo diverso da 90°
tra una qualunque delle 3 coppie di vettori reticolari.
Convenzionalmente:
• Alpha è formato tra b e c.
•Beta è formato tra a e c.
•Gamma è formato tra a e b.
Per un reticolo monoclino
semplice
a≠b≠c α=γ=90°≠β
zwyxwc
zyvxb
zyxua
ˆsinˆ0ˆcos
ˆ0ˆˆ0
ˆ0ˆ0ˆ
In questo caso i vettori reticolari
coincidono con i vettori della cella
elementare
z
y
x
ww
v
u
c
b
a
ˆ
ˆ
ˆ
sin0cos
00
00
Reticoli tri-dimensionali - algebra I reticoli triclini sono solo primitivi.
Per un reticolo triclino semplice
a≠b≠c α ≠ β ≠ γ ≠90°
zwywxwc
zvyvxvb
zuyuxua
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
Dalle precedenti equazioni è immediato
calcolare l’ampiezza dei parametri reticolari
(coincidono con i moduli dei vettori) e gli
angoli (con il metodo del prodotto scalare)
z
y
x
www
vvv
uuu
c
b
a
ˆ
ˆ
ˆ
222
222
222
wwwc
vvvb
uuua
bavuvuuv
cawuwuuw
cbwvwvvw
cos
cos
cos
Reticoli tri-dimensionali - algebra Per un reticolo esagonale
primitivo
I vettori reticolari coincidono
con i vettori di traslazione della
cella elementare
z
y
x
w
uu
uu
c
b
a
zwc
yu
xu
b
yu
xu
a
ˆ
ˆ
ˆ
00
02
32
02
32
ˆ
ˆ2
3ˆ
2
ˆ2
3ˆ
2
I vettori reticolari di celle primitive coincidono con i vettori di
traslazione della cella stessa.
Nel caso di celle non primitive (che contengono più di un punto
reticolare) i vettori reticolari NON coincidono con i vettori di
traslazione della cella.
a=b≠c α= β=90° ≠ γ=120°
Reticoli tri-dimensionali - algebra I reticoli romboedrici sono solo primitivi e possono essere
rappresentati con settings romboedrici o trigonali.
Per un reticolo romboedrico semplice
a=b=c α = β = γ ≠90°
zwywxwc
zvyvxvb
zuyuxua
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
Dalle precedenti equazioni è immediato
calcolare l’ampiezza del parametro
reticolare e l’angolo
z
y
x
www
vvv
uuu
c
b
a
ˆ
ˆ
ˆ
....coscoscos2
222222222
a
vuvuuv
wwwcvvvbuuuaa
Reticoli tri-dimensionali - algebra I reticoli romboedrici sono solo primitivi e possono essere
rappresentati con settings romboedrici o trigonali.
Per un reticolo romboedrico in setting
trigonale (analogo all’esagonale)
a = b ≠ c α = β = 90°≠γ =120°
z
y
x
w
uu
uu
c
b
a
zwc
yu
xu
b
yu
xu
a
ˆ
ˆ
ˆ
00
02
32
02
32
ˆ
ˆ2
3ˆ
2
ˆ2
3ˆ
2
E’ importante sottolineare che il reticoli romboedrico nel suo setting
trigonale è non primitivo.
Questo significa che il medesimo arrangiamento spaziale di punti
reticolari può essere descritto da un reticolo primitivo (romboedrico)
o non primitivo (trigonale).
La differenza tra essi e il sistema esagonale riguarda l’esistenza di
un’asse di simmetria 6 tra i punti reticolari.
Reticoli tri-dimensionali - algebra E’ sempre possibile trasformare un setting romboedrico primitivo in
un setting trigonale non primitivo e vice-versa.
Le due operazioni di trasformazione 3D
per passare da un sistema reticolare
all’altro sono:
trig
trig
trig
rhom
rhom
rhom
31
31
32
31
32
31
31
31
31
c
b
a
c
b
a
Questo significa che una medesima
struttura cristallina può essere
descritta usando indifferentemente
una tassellazione dello spazio 3D
con un setting trigonale (non
primitivo) o romboedrico (primitico). rhom
rhom
rhom
trig
trig
trig
111
011
101
c
b
a
c
b
a
Reticoli non-primitivi
Per un reticolo cubico a corpo
centrato
z
y
xu
c
b
a
cbac
cbab
cbaa
p
p
p
p
p
p
ˆ
ˆ
ˆ
111
111
111
2
2
12
12
1
I vettori reticolari primitivi
I vettori di traslazione della
cella elementare
z
y
x
u
c
b
a
zuc
yub
xua
ˆ
ˆ
ˆ
100
010
001
ˆ
ˆ
ˆ
I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della
cella elementare. La celle primitiva è ROMBOEDRICA.
a=b=c α= β=γ=90°
Reticoli non-primitivi Per un reticolo tetragonale a
corpo centrato
z
y
x
uv
uv
uvu
c
b
a
cbac
cbab
cbaa
P
P
P
P
P
P
ˆ
ˆ
ˆ
11
11
11
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
I vettori reticolari primitivi
I vettori di traslazione della
cella elementare
z
y
x
uv
u
c
b
a
zvc
yub
xua
ˆ
ˆ
ˆ
00
010
001
ˆ
ˆ
ˆ
I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della
cella elementare. La cella primitiva è una cella TRICLINA.
a=b≠c α= β=γ=90°
Reticoli non-primitivi Per un reticolo ortorombico a
corpo centrato
I vettori reticolari primitivi
I vettori di traslazione della
cella elementare
z
y
x
uw
uvu
c
b
a
zwc
yvb
xua
ˆ
ˆ
ˆ
00
00
001
ˆ
ˆ
ˆ
a ≠ b≠c α= β=γ=90°
z
y
x
uwuv
uwuv
uwuvu
c
b
a
cbac
cbab
cbaa
P
P
P
P
P
P
ˆ
ˆ
ˆ
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della
cella elementare. La cella primitiva è una cella TRICLINA
Reticoli tri-dimensionali - algebra
I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della
cella elementare. La cella elementare è una cella MONOCLINA.
Per un reticolo ortorombico a
faccia centrata
z
y
x
w
vu
vu
c
b
a
cc
bab
baa
p
p
p
ˆ
ˆ
ˆ
00
022
022
2
1
2
1
2
1
2
1
I vettori reticolari primitivi
I vettori di tralsazione della
cella elementare
z
y
x
w
v
u
c
b
a
zwc
yvb
xua
ˆ
ˆ
ˆ
00
00
00
ˆ
ˆ
ˆ
a ≠ b≠c α= β=γ=90°
Reticoli tri-dimensionali - algebra Per un reticolo monoclino a
faccia centrata
z
y
x
ww
vu
vu
c
b
a
cc
bab
baa
p
p
p
ˆ
ˆ
ˆ
cos0cos
022
022
2
1
2
1
2
1
2
1
I vettori reticolari primitivi
I vettori reticolari non primitivi
a≠b≠c α=γ=90°≠β
z
y
x
ww
v
u
c
b
a
ˆ
ˆ
ˆ
sin0cos
00
00
I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della
cella elementare. La cella primitiva è una cella TRICLINA
Reticoli tri-dimensionali - algebra
Per un reticolo cubico a facce
centrate
z
y
xu
c
b
a
cac
cbb
baa
P
P
P
P
P
P
ˆ
ˆ
ˆ
101
110
011
2
2
12
12
1
I vettori reticolari primitivi
I vettori di traslazione della
cella elementare
z
y
x
u
c
b
a
zuc
yub
xua
ˆ
ˆ
ˆ
100
010
001
ˆ
ˆ
ˆ
a=b≠c α= β=γ=90°
I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della
cella elementare. La cella primitiva è una cella ROMBOEDRICA
Reticoli tri-dimensionali - algebra
Per un reticolo cubico a facce
centrate
z
y
x
uw
uwuv
uvu
c
b
a
cac
cbb
baa
P
P
P
P
P
P
ˆ
ˆ
ˆ
01
0
01
2
2
12
12
1
I vettori reticolari primitivi
I vettori di tralsazione della
cella elementare
z
y
x
uw
uvu
c
b
a
zwc
yvb
xua
ˆ
ˆ
ˆ
00
00
001
ˆ
ˆ
ˆ
a ≠ b≠c α= β=γ=90°
I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della
cella elementare. La cella primitiva è una cella TRICLINA
Volume delle celle elementari Il volume di una cella elementare si può calcolare facilmente a
partire dai vettori di traslazione della cella stessa.
sinsinsin abccbaVcell
Per un reticolo triclino primitivo
In termini di algebra matricale:
vuvuwwuwuvwvwvuV
vuvu
wuwu
wvwv
wvucbaV
vuvu
wuwu
wvwv
cb
vuvuz
wuwuy
wvwvx
wvu
wvu
zyx
cb
cbaV
zwyvxuc
zwyvxub
zwyvxua
ˆ
ˆ
ˆˆˆˆ
det
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
Volume delle celle elementari Per sistemi a simmetria maggiore le equazioni si semplificano.
sinsinsin abccbaVcell
Per i vari sistemi reticolari:
1. Cubico
2. Tetragonale
3. Esagonale
3aVcubic
caVtetragonal2
caVhexagonal2
2
3
4. Romboedrico
5. Ortorombico
6. Monoclino
abcV icorthorhomb
33
rhomb sinraV tttrigonal caV
2
2
3
sinmonoclinic abcV