Elementi di

statistica

Scuola media G. Ungaretti

Prof. Enrico Castello

conoscere i criteri organizzatori di una tabella di dati

distinguere frequenze assolute e frequenze percentuali

determinare indici centrali e di variabilità

formulare ipotesi intuitive su eventuali relazioni tra i

dati descritti in una tabella o in un grafico

Ti insegnerò a……

individuare le informazioni in una rappresentazione statistica

(diagrammi e tabelle)

usare e interpretare misure di centralità e di dispersione

confrontare diverse distribuzioni con lo stesso carattere

individuare relazioni tra le variabili rappresentate per

descrivere il fenomeno ed effettuare previsioni

Quindi saprai……

STATISTICA E FENOMENI COLLETTIVI

La STATISTICA si occupa dello studio dei FENOMENI COLLETTIVI. Un fenomeno collettivo è un insieme di fenomeni singoli, tutti dello stesso tipo.

Un fenomeno singolo costituisce una unità statistica

ESEMPIO

L’altezza di un alunno in una classe costituisce un FENOMENO SINGOLO. L’altezza di tutti gli alunni in una classe costituisce un FENOMENO COLLETTIVO

L’INDAGINE STATISTICA

Fenomeno collettivo Esempio: situazione occupazionale nella provincia di Cosenza

Popolazione Residenti nella Provincia in un certo periodo

Unità statistiche Singoli individui

Caratteri (modalità) Sesso (M o F), età, stato civile, condizione professionale, …

• Osservazione Registrazione delle risposte ad un questionario

• Aspetti del fenomeno - Quota disoccupati -

Quota disoccupazione giovanile

- Durata di disoccupazione - Relazione tra occupazione,

disoccupazione e sesso - …

L’INDAGINE STATISTICA E LE SUE FASI

1) IMPOSTAZIONE DELL’INDAGINE STATISTICA 2) RACCOLTA DATI

3) SPOGLIO E TRASCRIZIONE DEI DATI 4) ELABORAZIONE DATI

Per INDAGINE STATISTICA si intende un’insieme di attività finalizzate ad approfondire la conoscenza di un fenomeno. Le sue FASI sono:

1) IMPOSTAZIONE DELL’INDAGINE STATISTICA

In questa prima fase occorre precisare: LO SCOPO DELLA RICERCA GLI OBIETTIVI CHE SI VOGLIONO RAGGIUNGERE LE UNITÀ STATISTICHE OGGETTO DI INDAGINI

2) RACCOLTA DEI DATI

NATURA DEI DATI I dati raccolti possono essere di natura QUANTITATIVA oppure QUALITATIVA I dati qualitativi sono rappresentati da aggettivi (nazionalità, religione, ecc) I dati quantitativi sono espressi da numeri (altezza, peso, ecc.)

METODI DI RACCOLTA DEI DATI La raccolta dei dati può essere GLOBALE oppure a CAMPIONE La raccolta globale riguarda tutte le unità statistiche che compongono il fenomeno collettivo La raccolta a campione riguarda solo una parte delle unità statistiche che compongono il fenomeno collettivo

In questa seconda fase occorre stabilire in modo preciso quali sono i dati da rilevare

TECNICA DI RACCOLTA DEI DATI Tecnicamente,la raccolta dei dati può essere fatta in modi diversi, tuttavia la raccolta più seguita è quella dell’INTERVISTA DIRETTA o INDIRETTA L’intervista diretta prevede domande poste direttamente dall’intervistatore L’intervista indiretta prevede il riempimento di un questionario che l’intervistato deve riempire in tutte le sue parti

ORGANI PREPOSTI ALLA RACCOLTA DEI DATI La raccolta dei dati può essere fatta da CHIUNQUE abbia interesse a fare una ricerca statistica. In Italia l’organo più importante che si occupa della raccolta dei dati e della loro successiva elaborazione è L’ISITUTO CENTRALE DI STATISTICA (sigla ISTAT)

TRASCRIZIONE IN TABELLE Una volta enumerati e classificati, i dati vengono trascritti in TABELLE. Si distinguono diversi tipi di TABELLE

CLASSIFICAZIONE DEI DATI IN GRUPPI I dati raccolti, dopo essere stati enumerati vengono CLASSIFICATI in GRUPPI ossia suddivisi in classi omogenee

3) SPOGLIO E TRASCRIZIONE DEI DATI

ENUMERAZIONE DEI DATI L’enumerazione dei dati avviene scrivendo materialmente un numero progressivo (001, 002, ecc.) su ogni questionario allo scopo di effettuare un controllo sul numero delle unità statistiche effettivamente prese in considerazione

Tale fase comporta:

1) TABELLA SEMPLICE

RAPPRESENTAZIONE NUMERICA

Orario

(h)

Temperatura (°C)

0 2

6 2

12 11

18 8

24 4

ESEMPIO: Riportiamo in una TABELLA SEMPLICE i DATI riguardanti le TEMPERATURE registrate durante una giornata autunnale ad intervalli di sei ore:1)h=0;T=2°c 2)h=6;T=2°C 3)h=12;T=11°C 4)h=18;T=8°C 5)h=24;T=4°C

dati

tabella semplice

2) TABELLA COMPOSTA

RAPPRESENTAZIONE NUMERICA

ESEMPIO: Riportiamo in una TABELLA COMPOSTA i DATI riguardanti le ALTEZZE (h) ed i PESI (P) di una famiglia di quattro persone: 1) Padre; h = 175 cm; p = 80 kg 3) Figlio h = 180 cm; p = 74 kg 2) Madre: h = 170 cm; p = 64 kg 4) Figlia h = 173 cm; p = 60 kg

dati

tabella composta

Componente

nucleo

altezza

h = cm

peso

P = kg

Padre 175 80

Madre 170 64

Figlio 180 74

Figlia 173 60

TRASCRIZIONE DEI DATI PER CLASSI

La rappresentazione di una DISTRIBUZIONE DI DATI PER CLASSI, si presenta VANTAGGIOSA quando i dati sono molto NUMEROSI per una rappresentazione ponderata

Rappresentazione ponderata

Rappresentazione per classi di peso

CLASSI DI PESO

(termini)

N° STUDENTI

(frequenze)

50 – 60 Kg 4

60 – 70 Kg 7

70 – 80 Kg 3

totale 14

L’ informazione, diviene meno precisa nel caso di una distribuzione per classi, tuttavia la visione della distribuzione diventa più semplice e rapida

PESO (Kg)

(termini)

N° STUDENTI

(frequenze)

52 1

54 1

55 2

60 1

63 1

68 2

69 3

71 1

73 1

75 1

TOTALE 14

E S E M P I O

4) ELABORAZIONE DEI DATI

In questa fase i dati vengono sottoposti ad una elaborazione matematica il cui scopo è quello di esprimere i risultati dell’indagine in modo sintetico

1) LE FREQUENZE ASSOLUTE E RELATIVE 2) LA MEDIA ARITMETICA 3) LA MEDIA PONDERATA 4) GLI SCARTI DALLA MEDIA ARITMETICA 5) LA VARIANZA 6) LO SCARTO QUADRATICO MEDIO 7) LA MODA 8) LA MEDIANA

Alcune forme di elaborazione dei dati statistici sono:

FREQUENZE ASSOLUTE

La FREQUENZA ASSOLUTA indica quante volte la MODALITÀ di un CARATTERE si ripete

Colore capelli

(carattere)

N° persone

(frequenza assoluta)

Neri 10 Castani 6 Rossi 1 biondi 5 totale 22

Frequenze

assolute

carattere

modalità

FREQUENZE RELATIVE

La frequenza relativa di una certa modalità è data dal rapporto tra la frequenza assoluta di tale modalità ed il numero totale dei casi; se è percentuale il valore va moltiplicato per 100:

Le FREQUENZE ASSOLUTE, di due distribuzioni di dati, anche della stessa specie, non sono confrontabili in quanto si riferiscono, in generale, ad un diverso numero di casi complessivi. Questo inconveniente viene superato introducendo il concetto di FREQUENZA RELATIVA

totalefrequenzaassolutafrequenzarelativafrequenza

OSSERVAZIONE: Le frequenze relative % non sono

altro che RAPPORTI PERCENTUALI

100%_ totalefrequenza

assolutafrequenzarelativafrequenza

CALCOLO DELLE FREQUENZE RELATIVE

Consideriamo i dati presenti nella seguente tabella

Colore capelli

(carattere)

frequenze

assolute

neri 10

castani 6

rossi 1

biondi 5

TOTALE 22

Colore capelli

frequenze

assolute

frequenze

relative %

neri 10 45,46

castani 6 27,27

rossi 1 4,55

biondi 5 22,72

TOTALE 22 100

45,4510022

10

54,410022

1

27,2710022

6

72,2210022

5

Calcolo FREQUENZE RELATIVE %

MEDIA ARITMETICA SEMPLICE

n

naaaa

M

......

321

naaa ..............21

Consideriamo una distribuzione di DATI DIVERSI UNO

DALL’ALTRO:

La MEDIA ARITMETICA SEMPLICE è uguale alla somma dei

dati divisa per n, cioè:

Gli indici di posizione centrale

COMPITO VOTO

N° 1 7

N° 2 8

N° 3 6

TOTALE 21

Un alunno nei tre compiti di matematica ha riportato

i voti presenti in tabella.

Calcolare la MEDIA ARITMETICA dei voti.

n

aaaM 321

73

21

3

687

M

Dove:

21 = somma dei voti

3 = numero dei voti

7 = MEDIA ARITMETICA dei voti

MEDIA ARITMETICA SEMPLICE

Esempio di calcolo

Gli indici di posizione centrale

MEDIA ARITMETICA PONDERATA

Se i dati si presentano con una certa FREQUENZA o PESO allora il calcolo della media deve essere effettuato sommando ogni termine tante volte quante indica la sua frequenza

Supponiamo che: Il termine a1 si presenta con frequenza p1 Il termine a2 si presenta con frequenza p2 ………………………………………………………………………… Il termine an si presenta con frequenza pn

Il calcolo della MEDIA PONDERATA si effettua con la relazione:

n

nn

pppp

papapapaMp

.......

......

321

332211

Gli indici di posizione centrale

MEDIA ARITMETICA PONDERATA

Esempio di calcolo

20 Studenti di una classe, hanno ottenuti

in matematica i voti riportati in tabella

Calcolare la MEDIA PONDERATA dei voti.

54321

5544332211

ppppp

papapapapaMp

Dove:

122 = somma dei voti

20 = numero di studenti

6,1 = MEDIA PONDERATA dei voti

Voto in Matematica

Numero

studenti

4 2

5 3

6 8

7 5

8 2

totale 20

1,620

122

25832

2857863524

Mp

Gli indici di posizione centrale

MEDIA PONDERATA NEL CASO DI UNA

DISTRIBUZIONE DI DATI PER CLASSI

In questo caso ad ogni classe, viene sostituito il

TERMINE CENTRALE, calcolato mediante la semisomma

dei termini estremi della classe (X1-X2)

I termini centrali così ottenuti costituiscono i termini

a1; a2; a3; ecc. della distribuzione

classe frequenza

X1-X2 p1

X2-X3 p2

X3-X4 p3

ecc. ecc.

2

211

xxa

Termine centrale

frequenze

a1 p1

a2 p2

a3 p3

ecc. ecc.

n

nn

pppp

papapapaMp

.......

......

321

332211

SEMISOMME

Infine la media

ponderata si

calcola con la

relazione

2

322

xxa

Gli indici di posizione centrale

MEDIA PONDERATA DI UNA DISTRIBUZIONE DI DATI PER CLASSI

Esempio di calcolo

Si fa riferimento ai dati della tabella 1

Classi di età (anni)

n° persone

(Frequenze)

0 - 20 35

20 - 40 4

40 - 60 1

totale 40

termini

centrali

n° persone

(Frequenze)

a1 = 10 P1 = 35

a2 = 30 P2 = 4

a3 = 50 P3 = 1

totale 40

1340

520

40

1504303510

321

332211

ppp

papapaMp

CALCOLO

valori centrali

102

20

2

2001

a

302

60

2

40202

a

Calcolo della media ponderata

Età media = 13 anni

Gli indici di posizione centrale

MEDIANA

Si definisce MEDIANA il termine che occupa il POSTO CENTRALE di una distribuzione di dati ordinati in modo crescenti

ESEMPIO: Determinare la MEDIANA della seguente distribuzione di voti:

VOTO FREQUENZA

5 4

6 8 7 4

8 2

9 1

5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 9

Il TERMINE CENTRALE è il 6, infatti è quello che lascia alla sua destra e alla sua sinistra un eguale numero di termini, pertanto si ha:

MEDIANA = 6

Si ordinano i dati in maniera crescente

Se i dati sono in numero pari, allora si hanno due termini centrali, in tal caso come mediana si prende la loro media aritmetica

Gli indici di posizione centrale

Si definisce MODA di una distribuzione di dati il termine corrispondente alla MASSIMA FREQUENZA. In sostanza si tratta del termine più comune

MODA

ESEMPIO: Determinare la MODA della seguente distribuzione di voti:

VOTO FREQUENZA

5 4

6 8 7 4

8 2

9 1

Il termine che corrisponde alla massima frequenza (8) è il 6, pertanto:

MODA = 6

Gli indici di posizione centrale

Per comprendere cos’è la VARIABILITA’ di un fenomeno statistico consideriamo la tabella che segue, nella quale vengono indicati quanti televisori sono stati venduti da un commerciante nei primi tre mesi del 2003 e 2004

VARIABILITA’ DI UN FENOMENO STATISTICO

Gennaio 30 40

febbraio 30 20

marzo 30 30

totale 90 90

mese 2003 2004

Si ha VARIABILITA’quando i dati relativi ad un fenomeno statistico non sono tutti uguali

Dalla tabella si nota che nel 2003 la vendita mensile dei televisori risulta COSTANTE (30-30-30), mentre nel 2004 essa subisce una VARIAZIONE (40-20-30)

Pertanto: 1) NON SI HA VARIABILITÀ nelle Vendite del 2003 2) SI HA VARIABILITÀ nelle vendite del 2004

SCARTI DALLA MEDIA ARITMETICA

Si definiscono SCARTI DALLA MEDIA ARITMETICA le Differenze fra ciascun TERMINE e la MEDIA ARITMETICA

Data la seguente distribuzione di dati a1; a2; a3; ……….; an Sia M la loro media aritmetica, gli SCARTI sono: (a1-M); (a2-M); (a3-M); (………); (an-M)

Gli scarti possono essere POSITIVI e NEGATIVI, tuttavia la loro SOMMA è SEMPRE UGUALE A ZERO S = (a1-M) + (a2-M) + (a3-M) + (………) + (an-M) = 0

VARIANZA (σ2)

La VARIANZA serve per valutare la VARIABILITÀ di un fenomeno statistico

1) La VARIANZA è sempre POSITIVA: infatti i termini (a-M)2 sono tutti positivi 2) La VARIANZA è uguale a ZERO se la VARIABILITÀ è nulla 3) La VARIANZA è tanto più ALTA quanto più alta è la VARIABILITÀ

La VARIANZA è la media aritmetica degli scarti al quadrato, si indica con il simbolo σ2 ( si legge sigma al quadrato) e si calcola con la relazione:

n

MnaMaMa 2........22

212

CALCOLO DELLA VARIANZA

giorno

1 Kg di Ciliegie

1 Kg di Angurie

Scarto

ciliegie

Scarto al

quadrato

Scarto

angurie

Scarto al

quadrato

Lunedì € 5,00 € 1,00 - 0,25 0,0625 + 0,25 0,0625

Martedì € 5,10 € 1,00 - 0,15 0,0225 + 0,25 0,0625

Mercoledì € 5,20 € 0,80 - 0,05 0,0025 + 0,05 0,0025

Giovedì € 5,30 € 0,70 + 0,05 0,0025 - 0,05 0,0025

Venerdì € 5,40 € 0,50 + 0,15 0,0225 - 0,25 0,0625

Sabato € 5,50 € 0,50 + 0,25 0,0625 - 0,25 0,0625

MEDIA € 5,25 € 0,75 Somma=0

Somma = 0,175

Somma = 0

Somma = 0,225

Essendo la VARIANZA delle angurie (0,04), maggiore della VARIANZA delle ciliegie (0,03), il prezzo delle angurie ha subito una variazione maggiore rispetto al prezzo delle ciliegie

Per le ciliegie si ha: M = 5,25 e σ2 = 0,175/6 = 0,03

Per le angurie si ha: M = 0,75 e σ2 = 0,225/6 = 0,04

I prezzi di CILIEGIE ed ANGURIE, in una settimana, variano secondo i dati riportati in tabella. Stabilire in base al calcolo della VARIANZA quale dei due prodotti ha subito una maggiore variazione di prezzo.

SCARTO QUADRATICO MEDIO (σ)

A volte per misurare il grado di VARIABILITÀ di una distribuzione di dati, si preferisce ricorrere allo SCARTO QUADRATICO MEDIO cioè alla RADICE QUADRATA della VARIANZA

2var ianza

L’IMPORTANZA dello scarto quadratico medio risiede nel fatto che esso permette di giungere al concetto di NORMALITA’ nel campo statistico

Un CARATTERE su cui si indaga si dice compreso NELLA NORMA quando esso non differisce dal CARATTERE MEDIO di più o di meno tre volte lo SCARTO QUADRATICO MEDIO.

Esempio: Se una popolazione evidenzia un’ALTEZZA MEDIA H = 175 cm con uno SCARTO QUADRATICO MEDIO σ = 5 cm, possiamo dire che Un’ALTEZZA rientra NELLA NORMA se compresa tra: H – 3 σ = 175 – 3 x 5 = 160 cm H + 3 σ = 175 + 3 x 5 = 190 cm ALTEZZE fuori da tale intervallo (160;190cm) sono FUORI NORMA

NORMA e FUORI NORMA

Un CARATTERE che va fuori tali limiti si dice FUORI NORMA

Prova tu………

Esercizio individuale per il 7 maggio

Lanciando due dadi, si sono registrati i seguenti punteggi totali:

10 – 9 – 8 – 11 – 5 – 4 – 10 – 4 – 7 – 7 – 9 – 10 – 4 – 6 – 8 – 9 – 6 –

5 – 6 – 8 – 7 – 10 – 9 – 5 – 6 – 3 – 8 – 7 – 5 – 7 – 11

1. organizza i dati in una tabella di frequenza

2. qual è il dato con la maggior frequenza

3. sono usciti più frequentemente risultati dispari o pari?

4. sono usciti più frequentemente risultati maggiori o minori di 7?

5. qual è la frequenza percentuale del punteggio 6?

6. Determina la MODA e la MEDIANA

Questionario voi e lo sport

LAVORO DI GRUPPO (entro mercoledì 9 maggio): INDAGINE STATISTICA

Dati generali

1 Cittadinanza ................ 2 Sesso M F 3 Età ................ 4 Peso ................ 5 Altezza .................

Dati specifici

1 Pratichi uno sport? SI NO 2 Se sì: calcio? SI NO 3 Se sì: nuoto/pallanuoto? SI NO 4 Se sì: danza/ginnastica? SI NO 5 Se sì: pallavolo? SI NO 6 Se sì: pallacanestro? SI NO 7 Se sì: arti marziali? SI NO 8 Se sì: tennis? Si NO 9 Se sì: altro? SI NO