Disposizioni sempliciDefinizione: una disposizione semplice (senza ripetizioni) di n oggetti presi k alla volta ( ) è una k-upla orinata di k oggetti distinti scelti tra gli n.

(dove con sono indicate il numero delle permutazioni)

Proposizione: il numero di disposizioni semplici di n oggetti presi k alla volta è il prodotto dei k numeri naturali decrescenti a partire da n:

Disposizioni con ripetizione

Definizione: una disposizione con ripetizione di n oggetti presi k alla volta ( ) è una k-upla

ordinata i cui elementi, non necessariamente distinti, sono scelti fra gli n.

Proposizione: il numero di disposizioni con ripetizione di n oggetti presi k alla volta è:

PermutazioniDefinizione: una permutazione di n oggetti dati è una n-upla ordinata i cui elementi sono tutti gli n oggetti.

Proposizione: il numero delle permutazioni di n oggetti è

Combinazioni sempliciDefinizione: una combinazione semplice di n oggetti presi k alla volta ( ) è un sottoinsieme non ordinato di k oggetti distinti presi dagli n

Proposizione: il numero di combinazioni semplici di n oggetti presi k alla volta è:

Combinazioni con ripetizioneDefinizione: una combinazione con ripetizione di n oggetti presi k alla volta () è un insieme non ordinato di k oggetti non necessariamente distinti scelti tra gli n

Proposizione: il numero di combinazioni con ripetizioni è:

Probabilità matematicaDefinizione: si chiama spazio campionario l'insieme S di tutti i possibili esisti di un dato esperimento.Un evento è un insieme di esiti, cioè un sottoinsieme dello spazio campionario S.

Dati due eventi allora anche -

Data una successione numerabile di eventi , allora anche la loro unione è un evento, quindi

-

Dato un evento , allora anche il suo complementare -

Si dice poi classe di eventi ogni insieme non vuoto di eventi che risulti essere chiuso rispetto alle operazioni insiemistiche elementari, vale a dire:

Definizione: due eventi sono detti incompatibili se sono disgiunti, cioè se

Definizione: sia S uno spazio campionario ed una classe di eventi in S. Sia P una funzione definita su a valori in :

1.Se A e B sono due eventi incompatibili, allora 2.

Se è una successione numerabile di eventi incompatibili, si ha:

3.

Allora ( ) è detto spazio di probabilità e P(A) è detta probabilità dell'evento se valgono i seguenti tre assiomi:

Teorema (regola di complementazione): sia un evento e il suo complementare, allora si ha:

Elementi di statistica

Lezioni Pagina 1

Dimostrazione:

Essendo allora A e sono eventi incompatibili. Quindi si ottiene:

Da cui la tesi.

Teorema (regola di complementazione): sia un evento e il suo complementare, allora si ha:

Dimostrazione:

Sia A un qualunque evento della classe . Allora anche e anche . Inoltre A ed sono incompatibili, quindi . Quindi:

Teorema:

Dimostrazione:

Essendo si può decomporre B negli eventi incompatibili A e . si può quindi scrivere:

Essendo

Teorema: se A e B sono eventi tali che allora

Dimostrazione:

l'evento A può essere decomposto negli eventi incompatibili e . Quindi:

Da cui la tesi.

Teorema: se A e B sono due eventi qualunque allora:

Dimostrazione:

Scriviamo come unione di due eventi incompatibili e B. Quindi:

Teorema (regola di addizione per eventi arbitrari): se A,B sono eventi arbitrari di uno spazio di probabilità, allora:

Spazio di probabilità finito

dove questa è la probabilità associta ad ogni elemento appartente ad S, e gli sono gli eventi elementari

-

-

Spazio di probabilità che possiede un numero finito di elementi. Quindi, preso si

dice finito quando è possibile affermare che:

Quindi preso un qualsiasi evento A compreso in S, la probabilità di A è somma delle probabilità degli eventi elementari contenuti in A

Per dimostrare che questa è una funzione probabilità, sappiamo che la probabilità di S deve essere 1, ovvero:

Inoltre deve anche essere vero che la somma delle probabilità degli eventi disgiunti, deve essere uguale alla probabilità dell'unione dei due eventi:

Spezzo le sommatorie poiché eventi disgiunti

Definizione: si dice spazio equiprobabile (o uniforme) uno spazio di probabilità finito dove ciascun

Lezioni Pagina 2

Definizione: si dice spazio equiprobabile (o uniforme) uno spazio di probabilità finito dove ciascun elemento dello spazio campionario S ha la stessa probabilità.Probabilità condizionata

Definizione: dato uno spazio di probabilità ( ) e due eventi A e B di con , si chiama

probabilità condizionata di A dato B il numero

. Tale numero che esprime la probabilità che

avvenga A una volta che sia avvenuto B sarà per definizine:

Teorema delle probabilità composte: dati gli eventi A e B, con , allora:

Proposizione: dati due eventi A e B con P(A)>0 e P(B)>0, allora:

Eventi indipendenti

Definizione: due eventi si dicono indipendenti se:

Dimostrazione:

Dimostriamo che sono indipendenti A e :

Quindi

Scambiando l'ordine lo si dimostra anche per gli altri casi.

Teorema: se A e B sono indipendenti, allora lo sono anche A e , e B, e

Definizione: dato uno spazio di probabilità (S; ,P) si chiama partizione di S un insieme di eventi incompatibili tali che:

Teorema della probabilità totale: dato un evento B e una partizione finita di S, con per

ogni i, si ha:

In virtù del teorema delle probabilità composte si può scrivere che:

Sostituendo P(B) con la relazione data dal teorema della probabilità totale segue la tesi.

Dimostrazione:

Teorema di Bayes: dato un evento B con P(B)>0 e una partizione finita di S con per ogni i,

vale la relazione:

Variabili aleatorieDefinizione: dato uno spazio di probabilità ( ), si dice variabile aleatoria si dice variabile aleatoria o casuale una funzione X che ad ogni s\inS associa un numero in modo che ogni insieme sia un evento contenuto in Definizione: si chiama classe dei Borelliani la più piccola classe di sottoinsiemi di numeri reali che comprende tutti gli intervalli ed è chiusa rispetto alle operazione di unione e completazione.

Definizione: data una variabile aleatoria X, si chiama distribuzione o legge di X l'applicazione che ad ogni Borelliano B associa la probabilità della sua immagine inversa

Definizione: data una variabile aleatoria X definita sullo spazio di probabilità ( ), si chiama funzione di distribuzione o di ripartizione di X la funzione così definita:

Proposizione: vale la relazione:

Proposizione: la funzione di distribuzione è monotona non decrescente, vale a dire:

Lezioni Pagina 3

Proposizione: la funzione di distribuzione è monotona non decrescente, vale a dire:

Proposizione: valgono i due limiti seguenti:

Variabili aleatorie discrete

c'è un insieme finito o numerabile di valori tali che 1.

2.

Definizione: una variabile aleatoria X è discreta se:

Variabili aleatoria continue

Definizione: una variabile aleatoria X si dice assolutamente continua se esiste una funzione che permette di rappresentare la funzione distribuzione F(x) di X come funzione integrale, tale

che:

Media e Varianza

Definizione: si chiama media (o valor medio, o valore atteso, o aspettazione matematica o speranza matematica) della variabile aleatoria X il numero così definito:

Definizione: si chiama varianza della variabile aleatoria il numero così definito:

Definizione: la radice quadrata della varianza si chiama deviazione e si indica con

Definizione: sia X una variabile casuale con varianza maggiore di zero. Si chiama variabile casuale standardizzata associata ad X la variabile casuale così definita:

Dimostrazione:Proposizione: ogni variabile casuale standardizzata ha media nulla e varianza uguale a 1

Variabili aleatorie bidimensionaliDefinizione: dato uno spazio di probabilità ( ) si dice variabile aleatoria bidimensionale una

coppia di funzioni che ad ogni associa una coppia di numeri reali tali che

ogni insieme sia un evento contenuto in

Proprietà:

Definizione: data una variabile aleatoria bidimensionale definita sullo spazio di probabilità ( ) si chiama funzione di distribuzione o di ripartizione ad essa associata la funzione così definita:

Definizione: si chiama covarianza delle variabili casuali X e Y il numero:

Definizione: due variabili aleatorie sono indipendenti quando la funzione di distribuzione congiunta è uguale al prodotto delle funzioni di distribuzione marginali:

Lezioni Pagina 4

Teorema: condizione necessaria e sufficiente perché due variabili aleatorie siano indipendenti è che si abbia:

Teorema: condizione necessaria e sufficiente perché due variabili aleatorie discrete siano indipendenti è che sia

Teorema: condizione necessaria e sufficiente perché due variabili aleatorie continue siano indipendenti è che sia

Distribuzione Binomiale

Dove p è la probabilità di A in una singola prova e

Teorema di Bernoulli: la probabilità che in n prove indipendenti l'evento A avvenga esattamente k volte è:

Definizione: dati e , si chiama variabile aleatoria binomiale la variabile aleatoria discreta (e finita) avente la seguente funzione di probabilità

Teorema: una variabile casuale X binomiale ha media e varianza date da:

Distribuzione di Poisson

Definizione: una variabile aleatoria è detta variabile aleatoria di Poisson con parametro se può assumere infiniti valori K=0,1… con probabilità

Teorema: media e varianza della distribuzione di Poisson sono uguali a Distribuzione Gaussiana o Normale

Definizione: una variabile aleatoria continua è detta di Gauss con parametri e si scrive , se la funzione di densità è:

Teorema:

Teorema: la funzione distribuzione normale F(x) di media e varianza si può rappresentare in termini della funzione di distribuzione normale di media zero e varianza 1 nel seguente modo

Statistica matematicaPopolazioni e campioniDefinizione: si definisce popolazione un insieme i cui elementi hanno in comune almeno una caratteristica o attributo.Definizione: si chiama campione casuale di dimensione n, estratto da una popolazione avente X come variabile aleatoria sottostante, una variabile n-dimensionale ( ), con indipendenti e aventi la stessa distribuzione di X.Stimatori

Definizione: si definisce statistica una funzione delle variabili casuali che non

contiene parametriDefinizione: si definisce stimatore una statistica che viene utilizzata per stimare un parametro incognito Definizione: uno stimatore T del parametro si dice corretto se la sua media coincide con : Media campionaria

Definizione: si chiama media campionaria di un campione la variabile casuale così definita:

Teorema: la media campionaria è uno stimatore corretto della media vera , ovvero:

Lezioni Pagina 5

Dimostrazione:

Ricordando che

Teorema: la media campionaria è uno stimatore corretto della media vera , ovvero:

Varianza campionaria

Definizione: si chiama varianza campionaria di un campione , , la variabile casuale così definita

Covarianza campionaria

Definizione: si chiama covarianza campionaria del campione la variabile

aleatoria

Distribuzioni Chi-Quadro e di Student

Definizione: date n variabili aleatorie normali standardizzate indipendenti, la variabile aleatoria somma dei loro quadrati è detta chi-quadro, con n gradi di libertà e si indica con

. Si ha dunque:

Definizione: se Z è una variabile aleatoria normale standardizzata e una variabile aleatoria chi-

quadro con n gradi di libertà, se Z e sono indipendenti, allora la variabile aleatoria segue una

distribuzione t di Student con n gradi di libertà, dove:

Intervalli di fiducia o confidenza

Definizione: si definisce intervallo di fiducia (o confidenza) di livella per il parametro θ dell'intervallo tale che:

Con e variabili aleatorie funzione del campione casuale.

Formulazione di un test di ipotesi

Definire l'ipotesi di lavoro, detta ipotesi nulla, indicata con . Nel caso più semplice e comunque questa ipotesi è del tipo . in contrapposizione a questa dobbiamo anche formulare un ipotesi alternativa del tipo . Se è vera, allora deve necessariamente essere falsa e viceversa.

1.

Scegliere una statistica appropriata e identificare la distribuzione campionaria.2.Precisare il rischio α di errore di prima specie che si è disposti a correre, equivalentemente specificare il livello di fiducia, che viene detto significatività del test. Tanto α è minore, quanto la significatività è alta.

3.

Se opportuno specificare il massimo errore di seconda specie β per l'ipotesi alternativa.4.Decidere la dimensione n del campione5.Determinare la regione di accettazione dell'ipotesi nulla , quindi una regione A tale che: Dunque costriamo A in modo tale da:

indicato poi con Θ l'insieme dei numeri reali sul quale il parametro θ assume i propri valori, si chiama regione critica o di rifiuto la regione complementare di A:

6.

Si estrae un campione di dimensione stabilita e con i valori osservati del campione si determina la stima puntuale di θ del parametro. Si hanno quindi le seguenti implicazioni:

7.

Spesso vengono formulate ipotesi che riguardano un parametro θ della popolazione, che possono essere accettate o rifiutate a valle di un test statistico così strutturato:

Lezioni Pagina 6

determina la stima puntuale di θ del parametro. Si hanno quindi le seguenti implicazioni:

Test di significatività

Idnicata con T la statistica dei test, il test consiste nell'osservare dal campione casuale il valore numerico t di T e nel determinare quindi la probabilità che T assuma un valore che ecceda t, suposta vera l'ipotesi nulla. Il significato di eccede dipende dal tipo di test, nel caso di test unilaterale:

Nel caso di test bilaterale simmetrico (come Z e ):

Definizione: si chiama valore p o p-dei-dati il minimo per cui l'ipotesi nulla deve essere rigettata con un test d'ipotesi di livello di fiducia

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Metodi di Statistical Process ControlQuesti metodi rappresentano una collezione di tecniche qualitative e quantitative che ci consentono di mantenere un processo in controllo, conoscere e migliorare la sua capacità.

Istogrammi e grafici rami e foglie-

Check sheet-

Grafici di Pareto-

Diagrammi causa-effetto-

Diagrammi sulla concentrazione dei difetti-

Grafici a dispersione-

Carte di controllo-

In particolare queste si compongono di:

Carte di controllo

Una particolare carta di controllo, che verrà ripresa nel seguito, è quella per attributi, dove al posto di considerare la media e la varianza, possiamo invece monitorare la percentuale di parti fuori specifica, riducendo i dati in uscita dal processo a un si/no.

Le carte di controllo sono una metodologia statistica che, attraverso un'analisi regolare dell'output di un processo, consente di accorgersi di uno scostamento di un processo dalla sua condizione nominale. Ad esempio, dato un processo, sappiamo che l'output del processo è distribuito per una variabilità intrinseca del processo secondo una gaussiana. Quindi se il processo è in controllo la fluttuazione dell'output sarà prevedibili, ma se si verifica una perturbante esterna, l'output subirà una fluttuazione non prevedibile e il processo potrebbe essere fuori controllo.

Una carta di controllo è un grafico bidimensionale, dove sull'asse verticale troviamo il valore W associato al campione dei dati, su quella orizzontale troviamo il tempo. Inoltre sono presenti altre 3 linee orizzontali, la linea di controllo superiore, quella inferiore e quella centrale. Un processo viene detto in allarme quando W esce dai limiti imposti dalle linee di controllo.

In generale quindi una carta di controllo è così composta:

Una carta di controllo così costruita viene detta Carta di controllo di Shewhart e generalmente il coefficiente K=3 se non diversamente segnalato. Il suo funzionamento può essere rappresentato attraverso una flow chart, in cui vediamo che il sistema della carta di controllo si implementa sull'output di un processo, introducendo un sistema di misura rappresentato da una valvola.

Introduzione al Controllo Statistico della Qualità

Lezioni Pagina 8

È importante sottolineare che la modalità e la frequenza della misura e la dimensione del campione, dipendono dalle necessità tecnologiche, devono essere ponderate sia sulla necessità effettiva della qualità del output e sul fatto che queste misurazioni richiedono spesso del personale specializzato che le esegue, quindi anche la componente umana è da valutare per non incorrere in errori facendo fare troppo spesso la misura.Criteri di allarmeIn generale i criteri di allarme si basano sulla presenza di punti esterni ai limiti di controllo, oppure se ci sono dei punti che seguendo particolari trend, ad esempio andamenti ciclici, sequenze crescenti o altri.Una carta di controllo altro non è che una statistica, quindi non è una verifica certa ma ha una probabilità di errore.Posso avere ad esempio un errore del primo tipo, ovvero anche se il processo è in controllo ho la variabilità di W che mi porta ad avere un allarme. Lo si indica con alfa e la probabilità dell'errore del primo tipo è la probabilità di avere un allarme con un sistema in controllo.L'errore del secondo tipo è invece , quando ho un processo fuori controllo che però, per la varianza statistica, rientra nella fascia di accettabilità, quindi abbiamo un assenza di allarme giustificato.Una carta di controllo è dunque a tutti gli effetti un test statistico.

Va infine evidenziato come non sempre sia una buona scelta quella di inserire molti criteri di controllo, infatti ogni criterio di controllo costituisce un test statistico, che se identifica un allarme implica la necessità di fermare il processo per analizzare le cause che hanno mandato il processo fuori controllo.

Problema del falso allarmeIl problema è legato ai costi, un falso positivo è costoso perché ogni volta che si verifica va ricercata la presenza di un effettivo fuori controllo, soprattutto nel caso in cui l'impianto va

Ad esempio, presi due criteri di controllo, disgiunti, al 5%, con probabilità indipendenti, abbiamo che la probabilità che almeno uno dei due vada in allarme è dello 0.7, quindi abbiamo un elevato rischio di falso allarme.

Lezioni Pagina 9

ricercata la presenza di un effettivo fuori controllo, soprattutto nel caso in cui l'impianto va fermato, quindi ho un costo di mancata produzione. Inoltre l'operatore potrebbe non controllare tutti gli allarmi, causa l'alta probabilità di falso positivo, quindi si rischia di avere un allarme non verificato.Problema del mancato allarmeÈ legato al rischio di produzione di parti fuori specifica, quindi quando si arriva al momento dell'assemblaggio o della vendita, se il prodotto è fuori specifica si perde tempo o soldi.

I parametri alfa e beta non possono essere verificati contemporaneamente, quindi assume particolare importanza il fattore K (che nel caso di k non assegnato o nuova carta si assume uguale a 3) e nelle carte di controllo

L'importanza dell'errore del secondo tipo è rappresentato dalla ricerca della probabilità di avere un allarme al primo campione successivo allo scostamento del processo dalla sua condizione nominale. In particolare sappiamo che, al crescere di controlli:

Quindi il numero medio di campioni per avere un allarme quando il sistema è fuori controllo ( ):

Mentre se il sistema fosse in controllo ( ), il numero medio di campioni prima di avere un falso allarme:

Esempio:

Lezioni Pagina 10

Le carte di controllo si distinguono in due grandi famiglie, quelle per attributi, in cui la variabile di controllo è discreta, quindi basate sulle distribuzioni di Poisson e di Bernoulli; e quelle per variabili, dove invece W è una variabile aleatoria continua, quindi basate su distribuzioni Gaussiane o del t di Student.In prima analisi sembrerebbe non aver senso una carta di controllo per attributi, ad esempio poichè i limiti di specifica sono delle misure, quindi continue. Tuttavia queste sono quelle maggiormente impiegate, sebbene infatti si sappia che le carte per variabili siano più potenti di quelle per attributi, gli attributi sono più semplici da comprendere.Un attributo è adimensionale e può essere considerato come un verdetto del tipo Si/NO, quindi quando si crea la carta di controllo, questa può essere creata per fattori intrinsecamente non misurabili, quali i difetti di cucitura o di verniciatura, per fattori misurabili che vengono trasformati, ad esempio una dimensione fuori tolleranza è un attributo negativo.Non conformità, difetto

Quindi la non conformità è il non rispetto di una specifica, il difetto è l'impossibilità del prodotto a compiere l'operazione per cui era stato pensato.Non bisogna confondere la non conformità e il prodotto non conforme, infatti un pezzo non è conforme se non compie il suo scopo, mentre la non conformità è il mancato raggiungimento delle specifiche.

Controllano il numero di parti non conformi (p e np)-

Controllano le non conformità (c e v)-

Esistono due tipologie di carte di controllo per attributi:

Carte P e NPSono le più utilizzate a livello industriale, perché monitorano il numero delle parti non conformi in un certo processo.

Prendo con una data frequenza un determinato campione di n parti e si verifica che le parti del campione soddisfino le specifiche. Quindi i parametri di questa carta sono:

Carta np

Lo schema di Shewhart della carta np si costruisce a partire dall'ipotesi che p, la probabilità di generare parti non conformi, sia un valore noto o posto pari ad un target. Quindi:

Bisogna prestare attenzione che per il fatto dell'approssimazione gaussiana, potremmo avere un limite di controllo inferiore negativo, il che non avrebbe senso, quindi in caso di limite inferiore negativo diciamo che è uguale a zero.Inoltre sappiamo che se il valore effettivo del p di processo è diverso da quello voluto, possono verificarsi molti allarmi.Questa carta si presta bene quando facciamo analisi su campione di dimensione n costante.Carta p

Se invece n varia da campione a campione o se si vuole avere una grandezza facilmente interpretabile sulla carta, si utilizza la carta p. Su questa carta analizzo la frazione di difettosi in uscita dal processo.

La qualità in produzione: carte di controllo per attributi

Lezioni Pagina 11

Progettazione della carta di controllo pFase 1: Progettazione

Se p non è noto bisogna stimarlo, quindi si procede prelevando da un processo che sia in una ragionevole condizione di regime m campioni (20-25) di n elementi. Per ognuno degli m campioni si calcola la frazione di difettosi:

Dopo di che si esegue il plot dei grafici e si calcola lo stimatore della frazione p:

Si calcolano quindi i limiti della carta di controllo utilizzando nelle formule al posto di p. Quindi, dopo aver eseguito il plot della carta di controllo si devono ricercare le cause assegnabili per i campioni fuori controllo per i punti dove la carta risulta esterna ai limiti.

Fatto questo si eliminano dalla carta i valori per cui esiste una causa assegnabile e quindi si ricalcolano i limiti. Questo iter va eseguito fintanto che esistono punti fuori controllo per cui esiste una causa assegnabile. I limiti si ricalcolano come:

E si riapplicano le formule di cui sopra.Fase 2: GestioneDopo aver progettato la carta, per ogni campione calcolo il , quindi plotto il nuovo punto sulla carta. Se qeusto risulta essere in fuori controllo ricerco le cause assegnabili senza modificare i limiti della carta stessa.È importante sottolineare come dopo il riavvio di un processo, a seguito dell'eliminazione di una causa identificabile, è possibile che il processo cambi e che quindi vadano ricalcolati i limiti della carta.Carta npAlle volte tuttavia può essere significativo avere sul grafico il numero dei non conformi piuttosto che la stima della porzione dei non conformi. I vantaggi della carta np sono che sono che è di più facile applicazione, tuttavia p assume un significato maggiore, quindi diventa più importante stimarlo correttamente.

Effetto di K sulle prestazioni della carta

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Approssimazione della binomiale

Come abbiamo già introdotto, le distribuzioni possono essere approssimate attraverso una Gaussiana, tuttavia questa approssimazione ha dei limiti, infatti risulta adeguata per:

Mentre non è fattibile per:

In particolare l'approssimazione è:

Curva caratteristica operativaSintetizzando si può dire che la carta p consiste dei due limiti LCI e LCS entro i quali deve rimanere il

valore campionario

La curva caratteristica operativa ci permette di vedere contemporaneamente i valori dei parametri alpha e beta, vogliamo che sia una curva molto pendente per garantire che la nostra carta di controllo sia efficace.Osservazioni

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Carta p, scelta della dimensione del campioneAnche la scelta del campione in una carta p è importante, infatti per n e p piccoli (ad esempio p=0.01 e n=8) abbiamo che il limite di controllo superiore si trova a 0.1155Se anche dovessimo trovare un solo non conforme sugli 8, vediamo che la frazione di p non conformi vale 1.12, quindi la carta segnalerebbe un problema con il processo. Il problema però spesso può non sussistere, quindi l'operatore potrebbe iniziare a pensare che il processo sia ancora in controllo e ignora l'allarme.

I problemi con un n piccolo e una bassa probabilità sussistono anche in fase di progettazione, infatti supponendo di prende 20 campioni di 8 con una p a 0.01, allora avremmo che la probabilità di non trovare nessun difettoso è:

Ovvero abbiamo la probabilità del 20% di non avere difettosi, quindi non possiamo progettare neanche la carta.

D=0 evento raro○

LCI>0○

Riferiti ad processo in controllo:-

Sensibilità a spostamento media○

Riferiti ad processo fuori controllo-

Metodo 1:

La formula risolutiva di questo metodo è:

Metodo 2: La formula risolutiva è:

Metodo 3: Metodo di DuncanBisogna scegliere n in modo che sia pari al 50% la probabilità che uno spostamento della frazione di non conformi pari a sia segnalato con un allarme al primo campione successivo. Quindi:

Dobbiamo quindi determinare n:

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Carta c

l'obbiettivo è sorvegliare il numero totale di non conformità rilevate in un prodotto o in un'unità di ispezione, ad esempio i difetti di cucitura in un abito o di saldatura in 100 metri di tubo. In generale questa carta segue una distribuzione di Poisson, quindi possiamo approssimare la variabile aleatoria X con una Poisson:

In questo tipo di carta osserviamo la variabile campionaria che identifica il numero di non conformità X. Se è noto il valore di C possiamo utilizzare l'approssimazione Gaussiana e K=3:

Se c non è noto, va invece progettata la carta ex novo.Progettazione della carta cUna volta che il processo è a regime, si prelevano m prodotti o unità di ispezione iniziale [20,25] e si effettua un data snooping per stimare c.

Si calcola come in formula e si utilizza per stimare i limiti della carta con l'approssimazione gaussiana.

Dopo di che si identificano i punti in fuori controllo, si cerca una causa assegnabile, si elimina la causa e il punto e si ripete il calcolo (come per la carta p).Carta uIn alcuni casi si può essere interessati al numero di difetti per unità di misura o per prodotto (ad esempio difetti al metro, difetti all'unità), per controllare i quali si utilizza una carta di tipo u.

Questa carta studia la variabile aleatoria

dove X è il numero di difetti riscontrati nel gruppo di

n prodotti ed n è il numero di unità o la quantità di UDM dell'unità in ispezione.

Le caratteristiche della variabile aleatoria sono:

Se è noto il valore di c, quindi è noto anche

, possiamo utilizzare l'approssimazione Gaussiana

e K=3:

Se non è noto, va invece progettata la carta ex novo.Progettazione della carta uUna volta che il processo è a regime, si prelevano m prodotti o unità di ispezione iniziale [20,25] e si effettua un data snooping per stimare c.

Si calcola come in formula e si utilizza per stimare i limiti della carta con l'approssimazione gaussiana.

Lezioni Pagina 15

Dopo di che si identificano i punti in fuori controllo, si cerca una causa assegnabile, si elimina la causa e il punto e si ripete il calcolo (come per la carta p).È importante notare che se n è costante, le carte u e c coincidono a meno di una costante, come era per le carte p e np; tuttavia se n è variabile devo utilizzare la carta u.

In genere viene usata l'approssimazione Gaussiana, tuttavia le vere distribuzione sono discrete, quindi bisogna prestare attenzione alle situazioni asimmetriche.

-

Bisogna verificare l'adeguatezza delle funzioni di densità utilizzate, con particolare riguardo per la distribuzione di Poisson

-

Si deve cercare di avere n costante-

Quando si devono stimare i valori caratteristici del processo occorre che il processo sia a regime.

-

Osservazioni conclusive

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In diverse situazioni possiamo essere interessati ad una caratteristica di qualità di cui misurare il valore. In molti di questi casi la variabile aleatoria è distribuita secondo una distribuzione normale.

Le carte di controllo per variabili sono applicabili laddove è possibile misurare un parametro legato alla qualità, quindi laddove è definita una specifica e quindi, in definitiva, siamo interessati a valutare quei parametri che influenzano la funzionalità del pezzo.L'ipotesi, oltre alla distribuzione gaussiana, è anche quella di indipendenti e identicamente distribuite.Il problema è l'indipendenza delle misurazioni. È importante sottolineare che, poiché la variabile è più informativa dell'attributo, potrebbe venire spontaneo ridurre l'intervallo delle misurazioni, poiché il campione da verificare è più contenuto. Tuttavia aumentare il numero di controlli, significa anche incorrere più spesso in un falso allarme, questo per cui implica di dover prestare maggior attenzione sui dati in uscita dalla carta.Inoltre, riducendo il tempo in cui faccio controlli, si rischia di vedere un'autocorrelazione temporale, quindi sembra che ci siano dei trend o delle serie di valori.Quindi le problematiche di una carta per variabili sono: l'autocorrelazione temporale e l'indipendenza delle misurazioni.Verifica delle ipotesiDobbiamo quindi verificare sui dati la validità dell'ipotesi di normalità, attraverso il metodo grafico (qualitativo) o il test di Anderson-Darling; la verifica dell'assenza di autocorrelazione attraverso il test di Bartlett.Normal probability plot (qualitativo)Studio la funzione di ripartizione propria confrontandola con quella empirica, quindi ricavata dai dati.

Per farlo, come prima cosa riordino i dati empirici raccolti in ordine crescente, dopo di che associo ad ogni i-esimo valore il valore di:

Dopo di che calcolo la e, plottando i dati della cumulata teorica e quella empirica sullo stesso grafico, allora i dati dovrebbero disporsi su una linea retta.

La qualità in produzione: carte di controllo per variabili

Lezioni Pagina 17

Posso anche scegliere di plottare l'inverso della cumulata teorica contro l'inverso della cumulata empirica, verificando come i punti osservati si debbano distribuire lungo una retta.Test di Anderson-DarlingÈ un test quantitativo, in ogni caso quando i dati non sono normali:

L'autocorrelazione dei datiNon faremo verifiche o test in linea di principio, tuttavia è importante fare un data snooping per verificare la presenza o meno di autocorrelazione. l'autocorrelazione può essere positiva quando dati positivi sono simili, mentre può essere negativa quando valori temporalmente vicina sono molto diversi. l'autocorrelazione negativa, tuttavia è rara e non crea problemi gravi sulle carte.Carte di controllo per variabili

Scegliere opportunamente la variabile che controllo, affinchè sia effettivamente legata alla qualità e alla specifica di processo.

-

l'idea del controllo per variabili non è direttamente correlata al controllo della qualità del prodotto, infatti quando applico la carta di controllo per variabili devo:

Dati i limiti di specifica, il valore atteso della gaussiana deve essere centrato rispetto ai limiti:

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In queste condizioni definiamo il processo in controllo. Tuttavia il processo potrebbe andare fuori controllo, ad esempio la media potrebbe spostarsi di un centesimo, quindi:

Dove vediamo che la frazione dei difettosi è quasi quadruplicata.Se invece il processo andasse fuori controllo per l'aumento della deviazione standard:

Dove abbiamo quindi un considerevole aumento della frazione di difettosi.Una carta di controllo tuttavia non può verificare simultaneamente la media e la deviazione standard del campione, quindi dovrò abbinarne due. La prima è una carta Xbar, che monitora il valore atteso in uscita dal processo, sfruttando come stimatore il valore atteso campionario, la seconda che

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in uscita dal processo, sfruttando come stimatore il valore atteso campionario, la seconda che misurerà la dispersione (carta R, importanza storica (range), carta S, deviazione standard)Carta XbarSupponiamo di conoscere sia la media che la varianza del nostro processo e di essere nelle condizioni nominali del processo, quindi preleviamo ad intervalli regolari un campione di n osservazioni e in base al campione osservato ci chiediamo se la media e la varianza sono cambiati rispetto al valore nominale.Per controllare la nostra variabile di controllo, quindi la media, prendiamo un suo stimatore, la media campionaria, e costruiamo la carta di controllo secondo l'approccio di Shewhart.

Quindi:

E dunque:

(Petrò sconsiglia l'approccio che sfrutta

)

Anche Xbar segue una distribuzione normale, quindi la carta di controllo Xbar è una carta probabilistica e il K che usiamo è esattamente

Carte per la dispersione

Condiziona la difettosità del processo;-

Per interpretare correttamente gli approcci sulla carta Xbar se i parametri sono incogniti-

Abbiamo detto che è necessario sorvegliare la variabilità del processo perché:

La carta R, range, è la carta che indica il massimo meno il minimo fratto due, quindi è di più facile gestione ed è più facile da gestire

-

Le carte a nostra disposizione sono 2:

Carta R

È possibile utilizzare l'escursione campionaria R come stimatore della dispersione associata ad un campione di osservazione. Si definisce R come:

Secondo lo schema di Shewhart:

Dove e sono valori tabulati. E dunque:

Utilizzo della cartaIn ipotesi di conoscere i parametri ( ), la carta può essere usata online: per ogni nuovo campione i, calcolo le statistiche e e le confronto coi limiti di controllo delle due carte per capire se il processo è in controllo.

Mi assicuro che il processo sia in regime tecnico produttivo1.Prendo m campioni2.Eseguo un'analisi esplorativa dei dati3.Stimo i parametri incogniti per costruire le carte4.Verifico che tutti gli m campioni siano in controllo e eseguo la diagnostica dei punti fuori controllo

5.

In caso di fuori controllo giustificato, elimino il campione dal set e ripeto i punti 4 e 5.6.

Progettazione della carta-fase 1

Per stimare i parametri ( ) faccio, per :

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Per sigma invece, sappiamo che R è uno stimatore di sigma, quindi:

Quindi i limiti della carta Xbar sono:

Il limite di controllo inferiore della carta R deve essere sempre maggiore o al più uguale a zero

1.

La variabile R non è distribuita secondo una gaussiana, quindi 2.

Nota bene:

Mentre per la carta R

Per K=3 si possono usare direttamente i valori tabulati.

Modifica delle dimensioni del campione: Carta Xbar e carta RPosso come sempre decidere di cambiare la dimensione del campione, per i più vari motivi, a partire da una carta troppo sensibile e via dicendo.Non è un problema se già conosco i parametri della distribuzione, infatti nella carta Xbar conoscendo già i valori di sigma e mu, devo solo cambiare il valore di n nel calcolo dei limiti di controllo e ho finito. Nella carta R devo variare di valori dei parametri d.

Se invece i parametri della gaussiana sono stimati, nella carta Xbar:

Resta invariato, va semplicemente considerato il nuovo n e la carta continua a funzionare.

Nella carta R invece:

Abbiamo che i limiti sono dettati dal range, quindi abbiamo che il range medio ci aspettiamo che cambi, poiché ci aspettiamo di osservare picchi maggiori all'aumentare del campione. Quindi ci aspettiamo che:

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aspettiamo che:

Infatti in una carta R abbiamo che il range è direttamente dipendente dalla sigma, che deve restare costante se il processo è in controllo anche per un cambio di dimensione del campione.Carta S

Possiamo monitorare la dimensione del processo tramite la deviazione standard campionaria S, ricordandoci che questa vale:

È importante notare come S sia uno stimatore distorto della varianza, quindi il valore atteso di S NON è sigma.Fase 2: impiego della cartaLa carta X continua ad essere uguale.

La carta S, per fare i limiti di controllo diventa:

Quali sono questi parametri? Abbiamo detto che il vare atteso di S non è sigma, quindi:

Dove è un valore tabulato. La varianza di S vale:

Quindi:

Fase 1: progettazione della carta S

Prendiamo m campioni, a cui associamo un valore medio campionario e una deviazione standard campionaria:

Quindi:

Questo è valido se e soltanto se la dimensione degli m campioni è costante.Quindi le nostre carte si calcolano come:

Carte I-MRÈ detta carta per individui. In alcuni casi abbiamo che la dimensione del campione è 1, tuttavia non possiamo costruire una statistica su un solo campione.se ad esempio la mia variabile di controllo è la concentrazione di soluto in un solvente, quindi prelevo un campione di soluzione ad intervalli di

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concentrazione di soluto in un solvente, quindi prelevo un campione di soluzione ad intervalli di tempo. Infatti in questo caso, m campioni presi contemporaneamente dovrebbero essere identici, e mi danno al massimo la variabilità del mio processo.

L'idea di questa carta è quella di raggruppare due dati consecutivi e creare un range sul valore di questi due dati in uscita dal processo, quindi:

Non raggruppiamo più di due campioni poiché si verifica come non è efficace. Inoltre nelle carte viste fino ad ora, vale il teorema centrale del limite, qui invece non possiamo fare la stessa assunzione, infatti i dati sono fortemente autocorrelati ed inoltre il campione è unitarioLa carta I-MR è quindi molto sensibile alla non normalità dei dati e all'autocorrelazione.Fase 1: Progettazione carta I-MR

Fase 2: utilizzo

A parametri di processo noto, abbiamo che per la carta I:

Mentre per la carta MR abbiamo:

Curva OCLa curva OC ci fornisce la probabilità di non avere un allarme al primo campione successivo ad un cambiamento dei parametri del processo. Calcoliamo la curva OC per una carta Xbar nel caso in cui vari la media del processo.

NON CE NE FREGA UNA BEGA PER LE CARTE R E S, SO DIFFICILI E PER UNA VOLTA NON SIAMO STRONZI… YEEEE

(pezzo in mezzo alla formula sopra)

Nella carta x tracciamo la carta di controllo a sigma costante, ovvero il sigma che dovrebbe avere il processo in controllo, dopo di che si fa variare mu e si studia come varia la curva caratteristica operativa.

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Altri parametri e curve

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Questa è davvero la curva ATS se e solo se il numero di campioni nel tempo resta costante, se no il grafico rappresenta una ARL

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Misura della capacità

la tolleranza naturale, ovvero l'intervallo tipico entro cui cade una qualità in uscita dal processo. Il problema è che non sono noti su un processo nuovo. Studiare la tolleranza naturale ci permette di studiare i limiti del nostro processo; lo studio è di tipo quantitativo, poiché sono i limiti superiori e inferiori del processo; tuttavia è qualitativo poiché non è direttamente sovrapposto all'intervallo di specifica.

-

Indice di capacità.-

Tipicamente si usano due strumenti principali:

La tolleranza naturale (ISO 16269-6)Intervallo di tolleranza statistico: Intervallo determinato da un campione casuale in modo tale che si possa ritenere, con un livello di confidenza specificato, che l’intervallo copra almeno una certa porzione della popolazione campionata.

Campione normale a media e varianza note,-

Campione normale, media incognita, varianza nota;-

Campione normale a media e varianza incognita;-

Distribuzione qualsiasi e incognita.-

Abbiamo quattro casistiche:

Il primo di questi quattro cassi in realtà è fittizio, infatti se conosco la distribuzione, la media e la varianza del mio processo, allora conosco il processo e posso identificare i limiti di tolleranza naturale del processo.

Allora la probabilità si calcola come:

Posto poi Allora:

Quindi invertendo:

Da cui l'intervallo:

I limiti sono imposti sulla base della percentuale di pezzi che devono cadere nel processo, per questo motivo il primo processo è fittizio, infatti posso definire i limiti di tolleranza naturale di un processo che segue una distribuzione normale:

Quindi quando conosco la distribuzione dei dati, il valore atteso e la varianza il calcolo della tolleranza naturale è diretto.A parametri incogniti, sapendo tuttavia che i dati si distribuiscono secondo la normale, dobbiamo stimare per prima cosa la media e la varianza, quindi per farlo usiamo la media campionaria e la varianza campionaria, quindi per prima cosa dobbiamo avere un campione di dati in uscita dal processo.

Avendo quindi i valori di e di calcoliamo i valori di tolleranza come:

Varianza nota, limite unilaterale1.Varianza nota, limite bilaterale;2.Varianza non nota, limite unilaterale3.Varianza non nota, limite bilaterale.4.

I valori di sono tabulati, esistono 4 tabelle:

Nelle tabelle abbiamo 2 ingressi, in riga la dimensione del campione, in colonna la probabilità desiderata entro cui cada la qualità in uscita dal processo. Inoltre le tabelle sono divise anche per

Capacità di Processo

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desiderata entro cui cada la qualità in uscita dal processo. Inoltre le tabelle sono divise anche per confidence level, quindi la tabella è anche stilata tenendo conto della probabilità cada effettivamente nelle specifica della tolleranza naturale, quindi ad esempio, se la tabella ha un livello di confidenza al 75%, 75 volte su 100 che considero questo intervallo, ritrovo effettivamente il p% dei pezzi che ho prodotto col processo. Infatti questi limiti sono stimati!

Infine, nel caso di dati non normali, un buon approccio potrebbe essere quello di trasformare i dati in modo da normalizzarli, calcolare i limiti di tolleranza naturale sui dati trasformati e poi anti-trasformare i limiti. Questi non saranno simmetrici rispetto al valore atteso ma sono molto più affidabili. Se non troviamo un modo per trasformare i dati, prendiamo come tolleranza il massimo e il minimo dei valori osservati, imponendo questi come limiti. Ovviamente anche in questo caso i limiti sono stimati, quindi essendo delle stime avranno anche queste un loro livello di confidenza, quindi a livello di normativa, si controllano alfa e p contemporaneamente, imponendo così la dimensione del campione da analizzare. Quindi abbiamo una tabella a due ingressi, e p, che ci dà la dimensione del campione.

Queste tabelle esistono sia nel caso unilaterale che bilaterale. Nel caso unilaterale inoltre possiamo anche calcolarlo semplicemente, infatti sappiamo che, fissato il limite:

Il caso bilaterale è più complesso e ce ne sbattiamo altamente la minchia. Nel caso in cui dovesse servire una soluzione approssimata, perché siamo stronzi, allora:

E noi siamo stronzi e ste formule sono da imparare per l'esame!

Quindi concludendo:

Consente di valutare in modo immediato entro quali limiti di tolleranza reale un sistema produttivo può essere efficacemente applicato.

-

Può essere espressa nell’unità di misura in cui tipicamente lavora il sistema di misura considerato.

-

La tolleranza naturale è, a tutti gli effetti, un indice di performance del sistema produttivo considerato:

Non considera gli effettivi limiti di tolleranza prodotto che si vuole realizzare.-

Per essere ben compresa, richiede una adeguata conoscenza del sistema produttivo, quindi è adatta alla comunicazione all’interno del settore aziendale “produzione”, ma non è comprensibile in contesti differenti.

-

I suoi limiti sono:

Condizioni di performance: condizioni definite con precisione in cui il processo è

Misura di performance: misura statistica del prodotto di una caratteristica di un processo che può non essere dimostrabilmente in condizioni di controllo statistico;

-

Indici della capacità (ISO 22514-4:2016)

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Condizioni di performance: condizioni definite con precisione in cui il processo è valutato, e nelle quali la stabilità statistica non è stata ottenuta.

○

Indice di performance: quantità che descrive la performance in relazione a condizioni stabilite.

○

Condizioni di capacità: condizioni definite con precisione in cui il processo è valutato, e nelle quali la stabilità statistica è stata ottenuta.

○

Indice di capacità: quantità che descrive la capacità in relazione a condizioni stabilite○

Capacità: abilità di un sistema, organizzazione o processo di realizzare un prodotto che soddisfi i requisiti del prodotto stesso (ISO 9000).

-

l'indice di capacità potrebbe sembrare un rapporto, infatti è banalmente un rapporto:

Il problema di standardizzare gli indici di capacità è emerso recentemente, infatti servono a dimostrare la capacità del processo e dimostrarla al cliente, per questo gli indici si distinguono in indici di performance (sulla base della condizione di processo, anche se fuori controllo statistico) e di capacità (la carta di controllo funziona)Se il processo è in controllo, performance e capacità coincidono.Se il processo non è in controllo, allora avremo che i dati nel breve tempo sono dispersi e cambiano la loro media e la loro varianza, allora:

Ovvero prendiamo un periodo lungo su cui calcolare la varianza campionaria:

A livello di normativa la struttura degli indici è:

Differiscono per il quantile al denominatore, calcolato sulla distribuzione caratteristica, che può essere ottenuta in condizioni di performance o di capacità.

Supponendo una distribuzione standard si arriva a definire:

Esprimendo così l'indice inoltre vediamo come la definizione dipenda solo dalla dispersione del nostro processo e non dal suo valore atteso. Questo è il process capability ratio. Questo indice è definibile solo con indici di specifica bilaterali, sebbene nella realtà i limiti siano spesso unilaterali.

Nel caso di limite bilateri si usano:

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Esiste inoltre un legame tra il valore di difettosi e il numero di difettosi in uscita dal processo (normale), in particolare, presi:

Allora:

Dove è la frazione di pezzi buoni.

Preso poi un processo centrato, quindi in cui:

Possiamo esprimere il PCR in funzione di quello inferiore e di quello superiore:

Si può inoltre scriverei scrivere:

Ovvero che per un processo centrato il Spesso la frazione di difettosi in uscita dal processo viene misurato in parti per milione.Se il processo non è centrato, la porzione di non conformi è diversa da quella di tabella.

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Posto poi:

Se cambia la varianza non è più sufficiente definire il quindi si introduce il che introduce al denominatore un termine che tenga conto della distanza della media dal valore di target.

Questo termine non viene utilizzato e non è normato perché non sappiamo come utilizzarlo.Conclusione

Scegliere un processo adatto (economicamente) ad un prodotto o alla sequenza dei progetti;-

Scegliere una strategia di controllo: frequenza, dimensione del campione e valutazione se un processo è perfetto (non lo controllo)

-

Ridefinire le specifiche di un nuovo processo○

Ridurre la variabilità del processo.○

Scegliere il fornitore sulla base delle sue capacità, se questa non è adeguata:-

A cosa serve lo studio della capacità:

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Struttura generale di processoIn un processo vogliamo controllare sia l'output del processo, attraverso una carta di controllo, che l'input. l'input di processo lo controlliamo attraverso i piani di accettazione, infatti l'input è un materiale che ci arriva da un fornitore (che può essere anche uno stesso reparto della nostra azienda, un'altra azienda o un mercato di una nazione estera) e deve soddisfare degli standard.Procedura di accettazione

Accettare, ovvero accettiamo il lotto fornitoci1.Rifiuta, quando il lotto non rispetta gli standard preposti2.Ripara, quando cliente e fornitore si accordano per non scartare il lotto, ma cercano di ripararlo.

3.

I possibili esisti di questa procedura sono 3:

Ovviamente il piano di accettazione deve essere preposto, altrimenti la conclusione è quella di accettare sempre; altresì si potrebbe decidere di controllare tutto o fare un controllo campione.Possiamo decidere di non controllare quando il mio fornitore è un altro settore della mia stessa azienda o un'azienda partner, quindi conosco la capacità e posso evitare di controllare.

Quando la prova è distruttiva1.Quando i costi di ispezione sono molto alti2.Quando il tempo di ispezione è elevato3.Quando il fornitore ha un processo di produzione capace (ma non eccessivamente)4.Quando l’elemento non è così critico da obbligare ad un controllo al 100%5.

Quando si esegue un controllo a campione:

Omogeneità-

Congruenza coi sistemi di campionamento-

La formazione dei lotti deve essere fatta secondo due criteri:

Deve assicurare la casualità;-

Deve essere composto attraverso tecniche che considerano la non casualità.-

Il campione invece:

I piani di campionamento

Singoli, in cui viene utilizzato un singolo parametro per decidere se accettare o rifiutare-

Doppi, in cui i parametri sono due-

Multipli o sequenziali, in cui la somma di più parametri ci dice se accettare o meno.-

Come per le carte di controllo possono essere fatti piani di campionamento per attribuiti o per variabili. Inoltre i piani si distinguono in:

Esempio di piano per attributi singolo

Dimensione del lotto: N=10000-

Dimensione del campione n=89-

Numero di accettazione Ac=2-

Numero di rifiuto Re=3=Ac+1-

Numero di non conformi d-

Sia dato un piano singolo tale che:

La procedura prevede che:

Curva caratteristica operativaCome per le carte di controllo, anche in questo caso possiamo definire una curva caratteristica operativa, la quale ci dà la probabilità di accettare un lotto in funzione della difettosità nello stesso, ritenuta costante.Quella ideale è un rettangolo ed è costruita con un ispezione senza errori del 100% del lotto con difettosità minore dello 0.01.

Piani di Accettazione

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Quella reale invece viene costruita (sempre supponendo di non commettere errori nell'ispezione) su un campione di n elementi di un lotto di N

Se

allora posso calcolare la probabilità di accettare può essere calcolata attraverso una

binomiale:

La curva dipende anche dalla dimensione del campione n prelevato dal lotto, infatti, come possiamo

vedere dal grafico in cui il rapporto

Cambiando il valore del numero di accettazione invece:

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Vedendo invece l'andamento della carta per piani con e , avendo una maggior selettività dovuta all'aumento della dimensione del campione, che diventa più significativo per l'intero lotto

Acceptable quality levelÈ il livello più basso di qualità del fornitore ritenuto mediamente accettabile dal cliente, quindi il livello di qualità attorno al quale il fornitore vuole attestarsi nell'ottica di ridurre i costi di produzione.

Lot tollerance percent defectiveÈ il più basso livello di qualità ritenuto accettabile dal consumatore in un lotto isolato

Progettazione di una curva OC

Per progettare la curva bisogna specificare il valore di n, elementi nel campione di ispezione e di Ac. La curva risulta completamente definita se e soltanto se sono assegnati i valori di:

Con:

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Ispezione con ripristinoIn molti casi se il lotto viene respinto, si passa ad una ispezione al 100% ( a carico del fornitore o del consumatore) con la sostituzione (o riparazione) dei pezzi difettosi (non conformi)In questi casi, la qualità media risultante (QMR o AOQ= Average Outgoing Quality) è migliore della qualità del fornitore.

Average output qualityAOQ ha significato su un gran numero di lotti ispezionati (perché calcoliamo un valore medio)

Average total inspected

Piani d'accettazione di Dodge-Romig

- Un AOQL e individuare un piano con ATI minimo ad un noto livello di p, ovvero conoscendo la media del fornitore

Possiamo tuttavia pensare di progettare un piano di accettazione basandoci su:

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media del fornitore- Fissare un LTPD (p2, Pa2=0.010) e individuare un piano con ATI minimo ad un noto livello di p,

ovvero conoscendo la media del fornitore.In entrambi i casi questa pianificazione si appoggia all'utilizzo delle tavole di Dodge-Romig, anche nel caso di pianifica di piani doppi.Per ricavare la dimensione del campione e del numero di accettazione a AOQL noto si tratta di entrare nelle tavole e intersecare la riga con la dimensione del nostro lotto e la colonna della p del nostro fornitore. In tabella leggiamo anche LTPD, mentre per ricavare l'ATI:

Nel secondo caso cerchiamo le tabelle ad LTPD e procediamo come sopra. Quando

Dobbiamo ispezionare tutto il lotto.Piani di campionamento doppiNota bene: di norma imponiamo sempre che

Consideriamo il piano:

Allora:

Questo è quindi lo schema del piano di accettazione, di cui dobbiamo calcolare le probabilità.Curva caratteristica operativa

La curva caratteristica operativa rappresenta l'andamento della probabilità di accettare totale Pa, in funzione della media del lotto:

Progetto di piani doppiSi assegnano i due punti caratteristici della curva Oc complessiva, dopodiché dalle tavole di Grubbs, valide con , e oppure dove sono indicati Ac1 e Ac2. mentre Re1=Re2=Ac2+1Per calcolare in un piano doppio AOQ e ATI, sotto ipotesi di essere in fase di ripristino e che non vi siano errori:

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In funzione della media p di difettosi abbiamo:

ASN: Avarege sample number

- Completare sempre l'ispezione- Arrestare l'ispezione quando sia possibile decidere se accettare o rifiutare.

Ispezione completa

I campioni vengono presi in più stadi.se nel generico stadio “i” il numero degli oggetti non conformi (cumulati) è < Aci accetto, se > Rei rifiuto, in caso contrario procedo allo stadio successivo. In genere il primo campione è ispezionato completamente. Si noti che nell’ultimo stadio è Re n = Ac n + 1per fermare il campionamento.

la quantità ASN(p) misura, al variare della difettosità in ingresso p , il numero medio di unità ispezionate nella fase di campionamento. Abbiamo due strategie percorribili:

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Piani di accettazione Military Standard. (MIL STD 105 D ISO 3951)Sono piani di accettazione che derivano dal mondo militare, questi vengono solitamente utilizzati in azienda in particolari situazioni, infatti derivando dal mondo militare, sono meno efficaci nell'individuare lotti da rifiutare, tuttavia sono veloci da applicare e riducono le tempistiche di accettazione.Si applicano a piani di accettazione singoli, doppi e multipli, con 3 comportamenti, regolati da switching rules, di tipo ridotto, normale o severo.Le tavole sono diversi per diversi valori di AQL e per livelli di ispezione:Ci sono i livelli speciali ad alto rischio (S1, S2, S3 ed S4) e i livelli metà (I), normale (II) e doppio (III).Si entra sempre in con un comportamento normale:

La condizione And, per passare al comportamento ridotto, si applica quando la produzione è stabile, sono stati accettati 10 lotti consecutivi e il responsabile della qualità approva lo switch. Si ritorna a un comportamento normale quando viene rifiutato un lotto, si manifesta un irregolarità nella produzione, un lotto non rispetta né i criteri di accettazione né quelli di rifiuto.

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