ELEMENTI DI PROBABILITA’

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La probabilità nella vita di tutti i giorni

Nella vita di tutti i giorni accade spesso di dover prendere delledecisioni in condizioni di incertezza circa l’esito delle scelte.

• è probabilie che oggi piova;

• è probabile che se decido di studiare con costanzasupererò l’esame con un buon voto.

La probabilità è la branca della matematica che si pone l’obiettivodi quantificare l’incertezza.

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La probabilità nella vita di tutti i giorni

Nella vita di tutti i giorni accade spesso di dover prendere delledecisioni in condizioni di incertezza circa l’esito delle scelte.

• è probabilie che oggi piova;

• è probabile che se decido di studiare con costanzasupererò l’esame con un buon voto.

La probabilità è la branca della matematica che si pone l’obiettivodi quantificare l’incertezza.

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La probabilità nella vita di tutti i giorni

Nella vita di tutti i giorni accade spesso di dover prendere delledecisioni in condizioni di incertezza circa l’esito delle scelte.

• è probabilie che oggi piova;

• è probabile che se decido di studiare con costanzasupererò l’esame con un buon voto.

La probabilità è la branca della matematica che si pone l’obiettivodi quantificare l’incertezza.

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La probabilità nella vita di tutti i giorni

Nella vita di tutti i giorni accade spesso di dover prendere delledecisioni in condizioni di incertezza circa l’esito delle scelte.

• è probabilie che oggi piova;

• è probabile che se decido di studiare con costanzasupererò l’esame con un buon voto.

La probabilità è la branca della matematica che si pone l’obiettivodi quantificare l’incertezza.

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Incertezza e inferenza

L’inferenza statistica, la generalizzazione dal campione alla popo-lazione, richiede che si traggano delle conclusioni a partire dainformazioni incomplete. Questo presuppone un grado di in-certezza.

Un buon statistico arriverà a dei risultati induttivi assicurandosiche il rischio di incertezza sia ridotto al minimo.

Ogni conclusione inferenziale sarà basata su ragionamenti diprobabilità.

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Incertezza e inferenza

L’inferenza statistica, la generalizzazione dal campione alla popo-lazione, richiede che si traggano delle conclusioni a partire dainformazioni incomplete. Questo presuppone un grado di in-certezza.

Un buon statistico arriverà a dei risultati induttivi assicurandosiche il rischio di incertezza sia ridotto al minimo.

Ogni conclusione inferenziale sarà basata su ragionamenti diprobabilità.

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Incertezza e inferenza

L’inferenza statistica, la generalizzazione dal campione alla popo-lazione, richiede che si traggano delle conclusioni a partire dainformazioni incomplete. Questo presuppone un grado di in-certezza.

Un buon statistico arriverà a dei risultati induttivi assicurandosiche il rischio di incertezza sia ridotto al minimo.

Ogni conclusione inferenziale sarà basata su ragionamenti diprobabilità.

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Concetti fondamentali di probabilità

• Esperimento aleatorio o fenomeno casuale: processo cheporta ad un risultato incerto

• Evento elementare: un possibile risultato di unesperimento aleatorio

• Spazio campionario: insieme di tutti i possibili esiti di unfenomeno aleatorio (S).

• Evento: qualsiasi sottoinsieme di eventi elementari di unospazio campionario.

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Concetti fondamentali di probabilità

• Esperimento aleatorio o fenomeno casuale: processo cheporta ad un risultato incerto

• Evento elementare: un possibile risultato di unesperimento aleatorio

• Spazio campionario: insieme di tutti i possibili esiti di unfenomeno aleatorio (S).

• Evento: qualsiasi sottoinsieme di eventi elementari di unospazio campionario.

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Concetti fondamentali di probabilità

• Esperimento aleatorio o fenomeno casuale: processo cheporta ad un risultato incerto

• Evento elementare: un possibile risultato di unesperimento aleatorio

• Spazio campionario: insieme di tutti i possibili esiti di unfenomeno aleatorio (S).

• Evento: qualsiasi sottoinsieme di eventi elementari di unospazio campionario.

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Concetti fondamentali di probabilità

• Esperimento aleatorio o fenomeno casuale: processo cheporta ad un risultato incerto

• Evento elementare: un possibile risultato di unesperimento aleatorio

• Spazio campionario: insieme di tutti i possibili esiti di unfenomeno aleatorio (S).

• Evento: qualsiasi sottoinsieme di eventi elementari di unospazio campionario.

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EsempioSi effettuano due lanci consecutivi di una moneta.

Lo spazio campione è l’insieme

S = {TT,CC,TC,CT}.

Il risultato di una singola prova in cui otteniamo una T e una C èl’evento elementare.

E0 = {TC}.

L’evento che si verifica quando si presenta una sola volta T è ilsottoinsieme

E1 = {TC,CT}.

L’evento che si verifica quando si presenta la prima volta T è

E2 = {TT,TC}.

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EsempioSi effettuano due lanci consecutivi di una moneta.Lo spazio campione è l’insieme

S = {TT,CC,TC,CT}.

Il risultato di una singola prova in cui otteniamo una T e una C èl’evento elementare.

E0 = {TC}.

L’evento che si verifica quando si presenta una sola volta T è ilsottoinsieme

E1 = {TC,CT}.

L’evento che si verifica quando si presenta la prima volta T è

E2 = {TT,TC}.

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EsempioSi effettuano due lanci consecutivi di una moneta.Lo spazio campione è l’insieme

S = {TT,CC,TC,CT}.

Il risultato di una singola prova in cui otteniamo una T e una C èl’evento elementare.

E0 = {TC}.

L’evento che si verifica quando si presenta una sola volta T è ilsottoinsieme

E1 = {TC,CT}.

L’evento che si verifica quando si presenta la prima volta T è

E2 = {TT,TC}.

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EsempioSi effettuano due lanci consecutivi di una moneta.Lo spazio campione è l’insieme

S = {TT,CC,TC,CT}.

Il risultato di una singola prova in cui otteniamo una T e una C èl’evento elementare.

E0 = {TC}.

L’evento che si verifica quando si presenta una sola volta T è ilsottoinsieme

E1 = {TC,CT}.

L’evento che si verifica quando si presenta la prima volta T è

E2 = {TT,TC}.

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EsempioSi effettuano due lanci consecutivi di una moneta.Lo spazio campione è l’insieme

S = {TT,CC,TC,CT}.

Il risultato di una singola prova in cui otteniamo una T e una C èl’evento elementare.

E0 = {TC}.

L’evento che si verifica quando si presenta una sola volta T è ilsottoinsieme

E1 = {TC,CT}.

L’evento che si verifica quando si presenta la prima volta T è

E2 = {TT,TC}.

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Eventi particolari

• Evento certo: l’intero spazio campionario

• Evento impossibile: insieme vuoto /0

Esempi.

L’evento certo se lancio un dado è {1,2,3,4,5,6}.L’evento certo se voglio estrarre una pallina rossa da un’urnacontenente 10 palline rosse è {Rossa}.L’evento {Gialla} se voglio estrarre una pallina gialla daun’urna con 10 palline rosse è impossibile.

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Eventi particolari

• Evento certo: l’intero spazio campionario• Evento impossibile: insieme vuoto /0

Esempi.

L’evento certo se lancio un dado è {1,2,3,4,5,6}.L’evento certo se voglio estrarre una pallina rossa da un’urnacontenente 10 palline rosse è {Rossa}.L’evento {Gialla} se voglio estrarre una pallina gialla daun’urna con 10 palline rosse è impossibile.

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Eventi particolari

• Evento certo: l’intero spazio campionario• Evento impossibile: insieme vuoto /0

Esempi.

L’evento certo se lancio un dado è {1,2,3,4,5,6}.

L’evento certo se voglio estrarre una pallina rossa da un’urnacontenente 10 palline rosse è {Rossa}.L’evento {Gialla} se voglio estrarre una pallina gialla daun’urna con 10 palline rosse è impossibile.

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Eventi particolari

• Evento certo: l’intero spazio campionario• Evento impossibile: insieme vuoto /0

Esempi.

L’evento certo se lancio un dado è {1,2,3,4,5,6}.L’evento certo se voglio estrarre una pallina rossa da un’urnacontenente 10 palline rosse è {Rossa}.

L’evento {Gialla} se voglio estrarre una pallina gialla daun’urna con 10 palline rosse è impossibile.

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Eventi particolari

• Evento certo: l’intero spazio campionario• Evento impossibile: insieme vuoto /0

Esempi.

L’evento certo se lancio un dado è {1,2,3,4,5,6}.L’evento certo se voglio estrarre una pallina rossa da un’urnacontenente 10 palline rosse è {Rossa}.L’evento {Gialla} se voglio estrarre una pallina gialla daun’urna con 10 palline rosse è impossibile.

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Eventi e teoria degli insiemi.

Dal momento che gli eventi sono insiemi, ogni affermazione con-cernente gli eventi può essere tradotta nel linguaggio della teoriadegli insiemi e viceversa; in particolare avremo un’algebra deglieventi corrispondente all’algebra degli insiemi.

Usando le operazioni insiemistiche sugli eventi di S si possonoottenere nuovi eventi di S.

Se A e B sono eventi di S, allora possiamo definire le operazionitra essi.

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Eventi e teoria degli insiemi.

Dal momento che gli eventi sono insiemi, ogni affermazione con-cernente gli eventi può essere tradotta nel linguaggio della teoriadegli insiemi e viceversa; in particolare avremo un’algebra deglieventi corrispondente all’algebra degli insiemi.

Usando le operazioni insiemistiche sugli eventi di S si possonoottenere nuovi eventi di S.

Se A e B sono eventi di S, allora possiamo definire le operazionitra essi.

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Eventi e teoria degli insiemi.

Dal momento che gli eventi sono insiemi, ogni affermazione con-cernente gli eventi può essere tradotta nel linguaggio della teoriadegli insiemi e viceversa; in particolare avremo un’algebra deglieventi corrispondente all’algebra degli insiemi.

Usando le operazioni insiemistiche sugli eventi di S si possonoottenere nuovi eventi di S.

Se A e B sono eventi di S, allora possiamo definire le operazionitra essi.

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Eventi e teoria degli insiemi

• Unione di insiemi: l’evento ”A oppure B o entrambi”

A∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

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Eventi e teoria degli insiemi

• Unione di insiemi: l’evento ”A oppure B o entrambi”

A∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

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Eventi e teoria degli insiemi

• Intersezione di insiemi: l’evento ”sia A che B”

A∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

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Eventi e teoria degli insiemi

• Intersezione di insiemi: l’evento ”sia A che B”

A∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

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Eventi e teoria degli insiemi

• Differenza tra due insiemi: l’evento ”A ma non B”

A\B = {x ∈ A : x /∈ B}

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Eventi e teoria degli insiemi

• Differenza tra due insiemi: l’evento ”A ma non B”

A\B = {x ∈ A : x /∈ B}

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Eventi e teoria degli insiemi

• Complementare di A rispetto a S : l’evento ”non A”

A = Ac = {x ∈ S : x /∈ A}

= S\A

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Eventi e teoria degli insiemi

• Complementare di A rispetto a S : l’evento ”non A”

A = Ac = {x ∈ S : x /∈ A}= S\A

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Eventi e teoria degli insiemi

• Complementare di A rispetto a S : l’evento ”non A”

A = Ac = {x ∈ S : x /∈ A}= S\A

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Eventi e loro relazione

• Due eventi sono detti disgiunti, mutuamente esclusivi o in-compatibili se non hanno esiti in comune. La loro intersezione èl’insieme vuoto.

• Gli eventi E1,E2, . . . ,Ek sono collettivamente esaustivi se

E1∪E2∪ . . .∪Ek = S

ossia gli eventi compongono interamente lo spazio campionario.

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Eventi e loro relazione

• Due eventi sono detti disgiunti, mutuamente esclusivi o in-compatibili se non hanno esiti in comune. La loro intersezione èl’insieme vuoto.

• Gli eventi E1,E2, . . . ,Ek sono collettivamente esaustivi se

E1∪E2∪ . . .∪Ek = S

ossia gli eventi compongono interamente lo spazio campionario.

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Eventi e loro relazione

• Due eventi sono detti disgiunti, mutuamente esclusivi o in-compatibili se non hanno esiti in comune. La loro intersezione èl’insieme vuoto.

• Gli eventi E1,E2, . . . ,Ek sono collettivamente esaustivi se

E1∪E2∪ . . .∪Ek = S

ossia gli eventi compongono interamente lo spazio campionario.

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Esempio

Si consideri il lancio di un dado a sei facce, allora lo spazio cam-pionario è

S = {1,2,3,4,5,6}

Sia A l’evento ”Il risultato è un numero pari” allora

A = {2,4,6}

Sia B l’evento ”Il risultato è un numero maggiore o uguale a 3”allora

B = {3,4,5,6}

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Esempio

Si consideri il lancio di un dado a sei facce, allora lo spazio cam-pionario è

S = {1,2,3,4,5,6}

Sia A l’evento ”Il risultato è un numero pari” allora

A = {2,4,6}

Sia B l’evento ”Il risultato è un numero maggiore o uguale a 3”allora

B = {3,4,5,6}

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Esempio

Si consideri il lancio di un dado a sei facce, allora lo spazio cam-pionario è

S = {1,2,3,4,5,6}

Sia A l’evento ”Il risultato è un numero pari” allora

A = {2,4,6}

Sia B l’evento ”Il risultato è un numero maggiore o uguale a 3”allora

B = {3,4,5,6}

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EsempioDati gli insiemi S, A e B:

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} B = {3,4,5,6}

• Eventi complementari

Ac = A = {1,3,5} Bc = B = {1,2}

• Eventi intersezione

A∩B = {4,6} Ac∩B = {3,5}

• Eventi unione

A∪B = {2,3,4,5,6} Ac∪A = {1,2,3,4,5,6}= S

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EsempioDati gli insiemi S, A e B:

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} B = {3,4,5,6}

• Eventi complementari

Ac = A = {1,3,5} Bc = B = {1,2}

• Eventi intersezione

A∩B = {4,6} Ac∩B = {3,5}

• Eventi unione

A∪B = {2,3,4,5,6} Ac∪A = {1,2,3,4,5,6}= S

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EsempioDati gli insiemi S, A e B:

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} B = {3,4,5,6}

• Eventi complementari

Ac = A = {1,3,5} Bc = B = {1,2}

• Eventi intersezione

A∩B = {4,6} Ac∩B = {3,5}

• Eventi unione

A∪B = {2,3,4,5,6} Ac∪A = {1,2,3,4,5,6}= S

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EsempioDati gli insiemi S, A e B:

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} B = {3,4,5,6}

• Eventi complementari

Ac = A = {1,3,5} Bc = B = {1,2}

• Eventi intersezione

A∩B = {4,6} Ac∩B = {3,5}

• Eventi unione

A∪B = {2,3,4,5,6} Ac∪A = {1,2,3,4,5,6}= S

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EsempioDati gli insiemi S, A e B:

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} B = {3,4,5,6}

• Eventi complementari

Ac = A = {1,3,5} Bc = B = {1,2}

• Eventi intersezione

A∩B = {4,6} Ac∩B = {3,5}

• Eventi unione

A∪B = {2,3,4,5,6} Ac∪A = {1,2,3,4,5,6}= S

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EsempioDati gli insiemi S, A e B:

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} B = {3,4,5,6}

• Eventi complementari

Ac = A = {1,3,5} Bc = B = {1,2}

• Eventi intersezione

A∩B = {4,6} Ac∩B = {3,5}

• Eventi unione

A∪B = {2,3,4,5,6} Ac∪A = {1,2,3,4,5,6}= S

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EsempioDati gli insiemi S, A e B:

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} B = {3,4,5,6}

• Eventi complementari

Ac = A = {1,3,5} Bc = B = {1,2}

• Eventi intersezione

A∩B = {4,6} Ac∩B = {3,5}

• Eventi unione

A∪B = {2,3,4,5,6} Ac∪A = {1,2,3,4,5,6}= S

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Esempio

Dati gli insiemi S, A e B:

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} B = {3,4,5,6}

• A e B non sono incompatibili:

A∩B = {4,6} 6= /0

• A e B non sono colletivamente esaustivi

A∪B = {2,3,4,5,6} 6= S

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Esempio

Dati gli insiemi S, A e B:

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} B = {3,4,5,6}

• A e B non sono incompatibili:

A∩B = {4,6} 6= /0

• A e B non sono colletivamente esaustivi

A∪B = {2,3,4,5,6} 6= S

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Esempio

Dati gli insiemi S, A e B:

S = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6} B = {3,4,5,6}

• A e B non sono incompatibili:

A∩B = {4,6} 6= /0

• A e B non sono colletivamente esaustivi

A∪B = {2,3,4,5,6} 6= S

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Contare gli elementi di un insieme

A volte può essere difficile, e lungo, determinare per elen-cazione diretta gli elementi in uno spazio campione finito.E’ preferibile avere dei metodi per contare il numero di talielementi senza elencarli.

Il calcolo combinatorio fornisce dei metodi per calcolare ilnumero di elementi di un insieme.

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Contare gli elementi di un insieme

A volte può essere difficile, e lungo, determinare per elen-cazione diretta gli elementi in uno spazio campione finito.E’ preferibile avere dei metodi per contare il numero di talielementi senza elencarli.

Il calcolo combinatorio fornisce dei metodi per calcolare ilnumero di elementi di un insieme.

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Contare gli elementi di un insiemeIl docente di Statistica decide di somministrare agli studenti delcorso un test a sorpresa con tre domande a risposta multipla.Ogni domanda ha cinque risposte e lo studente risponde in manieracorretta (C) o sbaglia (S). Se uno studente risponde in modo cor-retto alle prime due domande e sbaglia la terza, il suo risultatosarà CCS.Qual è lo spazio campionario relativo ai possibili risultati, ossiail numero di esiti corretti o sbagliati possibili?

Risposta : 2×2×2 = 8.

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Contare gli elementi di un insiemeIl docente di Statistica decide di somministrare agli studenti delcorso un test a sorpresa con tre domande a risposta multipla.Ogni domanda ha cinque risposte e lo studente risponde in manieracorretta (C) o sbaglia (S). Se uno studente risponde in modo cor-retto alle prime due domande e sbaglia la terza, il suo risultatosarà CCS.Qual è lo spazio campionario relativo ai possibili risultati, ossiail numero di esiti corretti o sbagliati possibili?

Risposta : 2×2×2 = 8.

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Contare gli elementi di un insiemeIl docente di Statistica decide di somministrare agli studenti delcorso un test a sorpresa con tre domande a risposta multipla.Ogni domanda ha cinque risposte e lo studente risponde in manieracorretta (C) o sbaglia (S). Se uno studente risponde in modo cor-retto alle prime due domande e sbaglia la terza, il suo risultatosarà CCS.Qual è lo spazio campionario relativo ai possibili risultati, ossiail numero di esiti corretti o sbagliati possibili?

Risposta : 2×2×2 = 8.17 / 37

Contare gli elementi di un insieme

Ogni volta che siamo in presenza di prove ripetute il modo piùsemplice per contare il numero di esiti possibli è costruire undiagramma ad albero e osservare, seguendo i suoi rami,quantipossibili cammini si formano. Numericamente possiamo contarlimoltiplicando tra loro il numero di rami di ogni biforcazione, ossiail numero di esiti possibili in ciascuna prova.

Formalmente:

Se gli insiemi A1,A2, . . . ,Ak contengono rispettivamente n1,n2, . . . ,nk

oggetti, il numero di modi diversi di scegliere prima un oggettodi A1, poi un oggetto di A2, . . ., infine un oggetto di Ak è

N = n1 ·n2 · . . . ·nk

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Contare gli elementi di un insieme

Ogni volta che siamo in presenza di prove ripetute il modo piùsemplice per contare il numero di esiti possibli è costruire undiagramma ad albero e osservare, seguendo i suoi rami,quantipossibili cammini si formano. Numericamente possiamo contarlimoltiplicando tra loro il numero di rami di ogni biforcazione, ossiail numero di esiti possibili in ciascuna prova.

Formalmente:

Se gli insiemi A1,A2, . . . ,Ak contengono rispettivamente n1,n2, . . . ,nk

oggetti, il numero di modi diversi di scegliere prima un oggettodi A1, poi un oggetto di A2, . . ., infine un oggetto di Ak è

N = n1 ·n2 · . . . ·nk

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Contare gli elementi di un insieme

Ogni volta che siamo in presenza di prove ripetute il modo piùsemplice per contare il numero di esiti possibli è costruire undiagramma ad albero e osservare, seguendo i suoi rami,quantipossibili cammini si formano. Numericamente possiamo contarlimoltiplicando tra loro il numero di rami di ogni biforcazione, ossiail numero di esiti possibili in ciascuna prova.

Formalmente:

Se gli insiemi A1,A2, . . . ,Ak contengono rispettivamente n1,n2, . . . ,nk

oggetti, il numero di modi diversi di scegliere prima un oggettodi A1, poi un oggetto di A2, . . ., infine un oggetto di Ak è

N = n1 ·n2 · . . . ·nk

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Contare gli elementi di un insieme

Ogni volta che siamo in presenza di prove ripetute il modo piùsemplice per contare il numero di esiti possibli è costruire undiagramma ad albero e osservare, seguendo i suoi rami,quantipossibili cammini si formano. Numericamente possiamo contarlimoltiplicando tra loro il numero di rami di ogni biforcazione, ossiail numero di esiti possibili in ciascuna prova.

Formalmente:

Se gli insiemi A1,A2, . . . ,Ak contengono rispettivamente n1,n2, . . . ,nk

oggetti, il numero di modi diversi di scegliere prima un oggettodi A1, poi un oggetto di A2, . . ., infine un oggetto di Ak è

N = n1 ·n2 · . . . ·nk

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Esempio

In quanti modi diversi una commissione di 25 persone può scegliereun presidente e un vicepresidente?

Il presidente può essere scelto in 25 modi diversi, quindi il vi-cepresidente in 24 modi diversi; ci sono in tutto

N = 25 ·24 = 600

modi diversi in cui la scelta richiesta può essere fatta.

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Esempio

In quanti modi diversi una commissione di 25 persone può scegliereun presidente e un vicepresidente?

Il presidente può essere scelto in 25 modi diversi, quindi il vi-cepresidente in 24 modi diversi; ci sono in tutto

N = 25 ·24 = 600

modi diversi in cui la scelta richiesta può essere fatta.

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Disposizioni con ripetizione

Nell’esempio sul test di statistica N = 2×2×2 = 8, ma allora

N = 23.

In casi di questo tipo, in cui n1 = n2 = . . .= nk = n, si ha

N = nk,

che rappresenta il numero delle disposizioni con ripetizione di noggetti a gruppi di k, ossia dei gruppi che si possono formarescegliendo k oggetti, anche ripetibili, fra n oggetti disponibili.Siindica

D(r)n,k = nk.

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Disposizioni con ripetizione

Nell’esempio sul test di statistica N = 2×2×2 = 8, ma allora

N = 23.

In casi di questo tipo, in cui n1 = n2 = . . .= nk = n, si ha

N = nk,

che rappresenta il numero delle disposizioni con ripetizione di noggetti a gruppi di k, ossia dei gruppi che si possono formarescegliendo k oggetti, anche ripetibili, fra n oggetti disponibili.Siindica

D(r)n,k = nk.

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Disposizioni con ripetizione

Nell’esempio sul test di statistica N = 2×2×2 = 8, ma allora

N = 23.

In casi di questo tipo, in cui n1 = n2 = . . .= nk = n, si ha

N = nk,

che rappresenta il numero delle disposizioni con ripetizione di noggetti a gruppi di k, ossia dei gruppi che si possono formarescegliendo k oggetti, anche ripetibili, fra n oggetti disponibili.

Siindica

D(r)n,k = nk.

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Disposizioni con ripetizione

Nell’esempio sul test di statistica N = 2×2×2 = 8, ma allora

N = 23.

In casi di questo tipo, in cui n1 = n2 = . . .= nk = n, si ha

N = nk,

che rappresenta il numero delle disposizioni con ripetizione di noggetti a gruppi di k, ossia dei gruppi che si possono formarescegliendo k oggetti, anche ripetibili, fra n oggetti disponibili.Siindica

D(r)n,k = nk.

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Esempio

Quante parole di 5 lettere (anche senza significato) si possonoscrivere con le 21 lettere dell’alfabeto?

Si tratta di parole del tipo:

abcde, aabbc, ..., zzzzz

La risposta è

D(r)21,5 = 215 = 4084101

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Esempio

Quante parole di 5 lettere (anche senza significato) si possonoscrivere con le 21 lettere dell’alfabeto?

Si tratta di parole del tipo:

abcde, aabbc, ..., zzzzz

La risposta è

D(r)21,5 = 215 = 4084101

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Esempio

Quante parole di 5 lettere (anche senza significato) si possonoscrivere con le 21 lettere dell’alfabeto?

Si tratta di parole del tipo:

abcde, aabbc, ..., zzzzz

La risposta è

D(r)21,5 = 215 = 4084101

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Disposizioni semplici senza ripetizione

Se vogliamo disporre in sequenza k oggetti tra n oggetti tuttidistinti si parla di disposizioni semplici (senza ripetizione).

In pratica è come se volessimo riempire k caselle vuote in se-quenza avendo a disposizione n scelte:

Dn,k = n(n−1)(n−2) . . .(n− k+1) =n!

(n− k)!

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Disposizioni semplici senza ripetizione

Se vogliamo disporre in sequenza k oggetti tra n oggetti tuttidistinti si parla di disposizioni semplici (senza ripetizione).In pratica è come se volessimo riempire k caselle vuote in se-quenza avendo a disposizione n scelte:

Dn,k = n(n−1)(n−2) . . .(n− k+1) =n!

(n− k)!

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FattorialeDato n naturale si definisce n fattoriale, indicato con n!, il prodottodei primi n naturali minori o uguali di quel numero

n! = n · (n−1) · (n−2) · · ·3 ·2 ·1

Notate che:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 ·1 = 2

3! = 3 ·2 ·1 = 6

5!4! =

5·4·3·2·14·3·2·1 = 5

5!3! =

5·4·3·2·13·2·1 = 5 ·4 = 20

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FattorialeDato n naturale si definisce n fattoriale, indicato con n!, il prodottodei primi n naturali minori o uguali di quel numero

n! = n · (n−1) · (n−2) · · ·3 ·2 ·1

Notate che:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 ·1 = 2

3! = 3 ·2 ·1 = 6

5!4! =

5·4·3·2·14·3·2·1 = 5

5!3! =

5·4·3·2·13·2·1 = 5 ·4 = 20

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FattorialeDato n naturale si definisce n fattoriale, indicato con n!, il prodottodei primi n naturali minori o uguali di quel numero

n! = n · (n−1) · (n−2) · · ·3 ·2 ·1

Notate che:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 ·1 = 2

3! = 3 ·2 ·1 = 6

5!4! =

5·4·3·2·14·3·2·1 = 5

5!3! =

5·4·3·2·13·2·1 = 5 ·4 = 20

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FattorialeDato n naturale si definisce n fattoriale, indicato con n!, il prodottodei primi n naturali minori o uguali di quel numero

n! = n · (n−1) · (n−2) · · ·3 ·2 ·1

Notate che:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 ·1 = 2

3! = 3 ·2 ·1 = 6

5!4! =

5·4·3·2·14·3·2·1 = 5

5!3! =

5·4·3·2·13·2·1 = 5 ·4 = 20

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FattorialeDato n naturale si definisce n fattoriale, indicato con n!, il prodottodei primi n naturali minori o uguali di quel numero

n! = n · (n−1) · (n−2) · · ·3 ·2 ·1

Notate che:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 ·1 = 2

3! = 3 ·2 ·1 = 6

5!4! =

5·4·3·2·14·3·2·1 = 5

5!3! =

5·4·3·2·13·2·1 = 5 ·4 = 20

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FattorialeDato n naturale si definisce n fattoriale, indicato con n!, il prodottodei primi n naturali minori o uguali di quel numero

n! = n · (n−1) · (n−2) · · ·3 ·2 ·1

Notate che:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 ·1 = 2

3! = 3 ·2 ·1 = 6

5!4! =

5·4·3·2·14·3·2·1 = 5

5!3! =

5·4·3·2·13·2·1 = 5 ·4 = 20

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FattorialeDato n naturale si definisce n fattoriale, indicato con n!, il prodottodei primi n naturali minori o uguali di quel numero

n! = n · (n−1) · (n−2) · · ·3 ·2 ·1

Notate che:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 ·1 = 2

3! = 3 ·2 ·1 = 6

5!4! =

5·4·3·2·14·3·2·1 = 5

5!3! =

5·4·3·2·13·2·1 = 5 ·4 = 20

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Esempio

Quante parole di 5 lettere diverse si possono formare con l’alfabetodi 21 lettere?

Sono le disposizioni semplici di 21 oggetti diversi a gruppi di 5.Abbiamo 21 possibilità per sceglier la prima lettera, 20 per laseconda, 19 per la terza, 18 per la quarta e 17 per l’ultima.

Applicando la formula:

D21,5 = 21 ·20 ·19 ·18 ·17 = 2441880

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Esempio

Quante parole di 5 lettere diverse si possono formare con l’alfabetodi 21 lettere?

Sono le disposizioni semplici di 21 oggetti diversi a gruppi di 5.Abbiamo 21 possibilità per sceglier la prima lettera, 20 per laseconda, 19 per la terza, 18 per la quarta e 17 per l’ultima.

Applicando la formula:

D21,5 = 21 ·20 ·19 ·18 ·17 = 2441880

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Esempio

Quante parole di 5 lettere diverse si possono formare con l’alfabetodi 21 lettere?

Sono le disposizioni semplici di 21 oggetti diversi a gruppi di 5.Abbiamo 21 possibilità per sceglier la prima lettera, 20 per laseconda, 19 per la terza, 18 per la quarta e 17 per l’ultima.

Applicando la formula:

D21,5 = 21 ·20 ·19 ·18 ·17 = 2441880

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Esempio

In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina cheha solo 4 posti?

Sono le disposizioni semplici di 10 elementi a gruppi di 4:

D10,4 = 10 ·9 ·8 ·7 = 7980

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Esempio

In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina cheha solo 4 posti?

Sono le disposizioni semplici di 10 elementi a gruppi di 4:

D10,4 = 10 ·9 ·8 ·7 = 7980

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Esercizio

Trovare quante parole (anche senza significato) di 4 lettere pos-sono essere formati con le prime 7 lettere dell’alfabeto (a, b, c,..., g) se:

a) si ammettono delle ripetizioni;

b) non si ammettono ripetizioni;

c) l’ultima lettera deve essere g e non si ammettonoripetizioni.

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Permutazioni

Nel caso particolare in cui k = n le disposizioni semplici si chia-mano permutazioni.

Le permutazioni di n oggetti distinti sono tutti i gruppi formaticiascuno da tutti gli n oggetti dati e che differiscono solo perl’ordine degli oggetti. Il numero delle permutazioni di n oggettidistinti è dato da:

Pn = n!

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Permutazioni

Nel caso particolare in cui k = n le disposizioni semplici si chia-mano permutazioni.Le permutazioni di n oggetti distinti sono tutti i gruppi formaticiascuno da tutti gli n oggetti dati e che differiscono solo perl’ordine degli oggetti.

Il numero delle permutazioni di n oggettidistinti è dato da:

Pn = n!

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Permutazioni

Nel caso particolare in cui k = n le disposizioni semplici si chia-mano permutazioni.Le permutazioni di n oggetti distinti sono tutti i gruppi formaticiascuno da tutti gli n oggetti dati e che differiscono solo perl’ordine degli oggetti. Il numero delle permutazioni di n oggettidistinti è dato da:

Pn = n!

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Esempio

Quante parole si possono formare anagrammando la parola ”me-dia”?

Gli anagrammi si formano da una parola qualunque cambiandol’ordine delle sue lettere. La parola ”media” è composta da 5lettere tutte diverse tra loro, per cui tutti gli anagrammi possonoessere formati considerando delle permutazioni:

P5 = 5! = 120

Esercizio Quanti numeri diversi di tre cifre si possono formareconsiderando le cifre 1, 2, 3?

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Esempio

Quante parole si possono formare anagrammando la parola ”me-dia”?

Gli anagrammi si formano da una parola qualunque cambiandol’ordine delle sue lettere. La parola ”media” è composta da 5lettere tutte diverse tra loro, per cui tutti gli anagrammi possonoessere formati considerando delle permutazioni:

P5 = 5! = 120

Esercizio Quanti numeri diversi di tre cifre si possono formareconsiderando le cifre 1, 2, 3?

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Esempio

Quante parole si possono formare anagrammando la parola ”me-dia”?

Gli anagrammi si formano da una parola qualunque cambiandol’ordine delle sue lettere. La parola ”media” è composta da 5lettere tutte diverse tra loro, per cui tutti gli anagrammi possonoessere formati considerando delle permutazioni:

P5 = 5! = 120

Esercizio Quanti numeri diversi di tre cifre si possono formareconsiderando le cifre 1, 2, 3?

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Esempio

Si fanno sedere 5 uomini e 4 donne in fila: in quanti modi ledonne possono occupare i posti pari?

Gli uomini possono essere sistemati in 5! modi diversi (permu-tazioni), le donne in 4! modi diversi. Ciascuna sistemazionedegli uomini può essere associata ad ogni sistemazione delledonne, quindi il numero complessivo di sistemazioni è:

N = 5! ·4! = 120 ·24 = 2880.

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Esempio

Si fanno sedere 5 uomini e 4 donne in fila: in quanti modi ledonne possono occupare i posti pari?

Gli uomini possono essere sistemati in 5! modi diversi (permu-tazioni), le donne in 4! modi diversi. Ciascuna sistemazionedegli uomini può essere associata ad ogni sistemazione delledonne, quindi il numero complessivo di sistemazioni è:

N = 5! ·4! = 120 ·24 = 2880.

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Esempio

Quante parole si possono formare anagrammando la parola ”oro”?

oro roo oor

Sono tre modi diversi.Nota bene che

3! = 6 6= 3.

Non possiamo avere delle permutazioni semplici in quanto nontutte le lettere sono distinte tra loro. Per ottenere il numero dimodi corretto si divide per il numero di combinazioni che portereb-bero allo stesso anagramma, in questo caso sono due.

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Esempio

Quante parole si possono formare anagrammando la parola ”oro”?

oro roo oor

Sono tre modi diversi.

Nota bene che3! = 6 6= 3.

Non possiamo avere delle permutazioni semplici in quanto nontutte le lettere sono distinte tra loro. Per ottenere il numero dimodi corretto si divide per il numero di combinazioni che portereb-bero allo stesso anagramma, in questo caso sono due.

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Esempio

Quante parole si possono formare anagrammando la parola ”oro”?

oro roo oor

Sono tre modi diversi.Nota bene che

3! = 6 6= 3.

Non possiamo avere delle permutazioni semplici in quanto nontutte le lettere sono distinte tra loro. Per ottenere il numero dimodi corretto si divide per il numero di combinazioni che portereb-bero allo stesso anagramma, in questo caso sono due.

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Permutazioni

Supponiamo che un insieme sia formato da n oggetti non tuttidistinti, dei quali cioè n1 sono di un tipo (indistinguibili), n2 di unsecondo tipo, ..., nk del k-esimo tipo, con n1 +n2 + . . .+nk = n.

Si ha che il numero delle permutazioni di n oggetti non tutti dis-tinti è dato da

Pn,n1,...,nk =n!

n1! ·n2! · · ·nk!

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Permutazioni

Supponiamo che un insieme sia formato da n oggetti non tuttidistinti, dei quali cioè n1 sono di un tipo (indistinguibili), n2 di unsecondo tipo, ..., nk del k-esimo tipo, con n1 +n2 + . . .+nk = n.Si ha che il numero delle permutazioni di n oggetti non tutti dis-tinti è dato da

Pn,n1,...,nk =n!

n1! ·n2! · · ·nk!

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Esempio

Contare gli anagrammi della parola ”statistica”.

La parola è formata da 10 lettere di cui solo 5 sono distinte. Inparticolare abbiamo 2 s, 3 t, 2 a, 2 i, 1 c, ma allora il numero dianagrammi è:

P10,2,3,2,2,1 =10!

2! ·3! ·2! ·2!= 100800

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Esempio

Contare gli anagrammi della parola ”statistica”.

La parola è formata da 10 lettere di cui solo 5 sono distinte. Inparticolare abbiamo 2 s, 3 t, 2 a, 2 i, 1 c, ma allora il numero dianagrammi è:

P10,2,3,2,2,1 =10!

2! ·3! ·2! ·2!= 100800

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