Elementi di analisi matematica

Microeconomia

Vincenzo Merella

Corso di Laurea in Economia e Gestione Aziendale

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La retta: de�nizione

De�nita genericamente dall�equazione: y = m � x + q

Esempio nel gra�co: y = (1/2) � x + 1

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La retta: interpretazione

Supponiamo che, in y = (1/2) � x + 1:x = euro dedicati all�acquisto di prosciutto

y = etti di prosciutto

Che informazioni ci fornisce il gra�co?

il primo etto di prosciutto è gratuito (x = 0 ) y = 1)

gli etti di prosciutto successivi costano 2 euro

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La retta: de�nizioni

Le lettere x e y indicano le variabili:

x indica la variabile indipendente

y indica la variabile dipendente (dipende dal valore di x)

Le lettere m e q indicano i parametri:

m indica il coe¢ ciente angolare (valore di y per x = 1 e q = 0)

q indica l�intercetta (valore di y per x = 0)

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La retta: esercizi

Illustrare gra�camente la quantità di bottiglie di aranciata ottenibili alvariare degli euro dedicati all�acquisto della bevanda, sapendo che ilprezzo di una bottiglia è pari a 3 euro.

Come varia il gra�co dell�esercizio precedente in seguito a uno scontoper bottiglia pari a 50c/? E nel caso di un aumento di prezzo pari a 1euro?

Illustrare gra�camente il credito residuo di una scheda telefonica alvariare del numero di chiamate e¤ettuate, sapendo che il prezzo diuna telefonata è pari a 50c/ e il credito iniziale è di 3 euro.

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Intersezione tra rette: de�nizione

Punto d�incontro tra due rette

Esempio nel gra�co: y1 = x1 e y2 = 2x2 � 1

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Intersezione tra rette: calcolo e interpretazione

Il punto d�incontro si ha per x1 = x2 e y1 = y2

abbiamo perciò: x = x1 = y1 = y = y2 = 2x2 � 1 = 2x � 1

x = 2x � 1 implica x = 1, e inoltre y = x = 1

Esempio. Salumeria e ingrosso:

la salumeria o¤re ogni etto di prosciutto a un euro: y = x

l�ingrosso o¤re ogni etto a 50c/, con �ingresso�pari a 50c/: y = 2x � 1

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Intersezione tra rette: esercizi

Illustrare gra�camente la quantità di bottiglie di aranciata ottenibilida un supermercato e da un ingrosso al variare degli euro dedicatiall�acquisto della bevanda, sapendo che il prezzo di una bottiglie nelsupermercato è pari a 3 euro (e la prima è gratis!), mentre il prezzoall�ingrosso è pari a 2 euro. Per quale livello di spesa otteniamo lastessa quantità di bottiglie da entrambi i venditori? (Dove convieneacquistare l�aranciata al variare del livello di spesa?)

Illustrare gra�camente il credito residuo di due schede telefoniche alvariare del numero di chiamate e¤ettuate, sapendo che il prezzo diuna telefonata è per entrambe pari a 50c/ e il credito iniziale èrispettivamente di 3 e 5 euro. E¤ettuando quale numero di chiamate,lo stesso per ciascuna scheda, otteniamo lo stesso credito residuo?Come cambia la tua risposta se invece il prezzo di una chiamata conla seconda scheda è pari a un euro?

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La derivata: concetto base

La derivata misura la variazione della variabile indipendente al variaredella variabile indipendente

Nell�esempio iniziale, risponde alla domanda: quanti etti di prosciuttoaggiuntivi si ottengono con un euro in più?

la risposta è: 50g, indipendentemente dalla quantità acquistata

proprietà generale della retta: la sua derivata è una costante

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La derivata: concetto generale

Nelle curve, la variazione della variabile indipendente al variare dellavariabile indipendente cambia a seconda del punto in cui si calcola

Nel gra�co di una curva d�indi¤erenza, il valore della variazione è:

maggiore quando si calcola nel passaggio da B a F...

...rispetto a quanto accade nel passaggio da E ad H

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La derivata: de�nizione

La derivata è de�nita come il limite del rapporto incrementale trala variabile indipendente e la variabile indipendente:

y 0 = lim∆x!0

∆y∆x

∆y rappresenta la variazione della variabile indipendente (y)

∆x rappresenta la variazione della variabile dipendente (x)

lim∆x!0 signi�ca che consideriamo la più piccola variazione di x

Nel caso della retta, qualsiasi rapporto incrementale �nito eguaglia ilsuo limite, calcolato dalla derivata

Nel caso della curva no: consideriamo allora il limite per averel�informazione sul rapporto incrementale per tutti i punti della curva

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La derivata: calcolo

Sebbene il concetto di derivata sia complesso, il calcolo è semplice

Si tratta infatti di applicare determinati criteri:

le derivate notevoli per le funzioni semplici, delle quali possiamostilare un �prontuario�

le regole di derivazione per le funzioni complesse

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Derivate notevoli

Funzione costante, y = q:y 0 = 0

Funzione potenza, y = xn:

y 0 = n � xn�1

la retta y = mx è un caso particolare di questa funzione (n = 1):

y 0 = m � 1 � x1�1 = m (= costante)

la regola si applica anche per n < 0, ad es. y = x�1 = 1/x :

y 0 = �1 � x�1�1 = �x2 = 1x2

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Derivate notevoli

Altre applicazioni della funzione potenza includono:

n = �k, che implica y = x�k = 1/xk :

y 0 = �k � x�k�1 = �kx�(1+k ) = � kx1+k

n = 1/2, che implica y = x1/2 =px :

y 0 = (1/2) � x1/2�1 =x�1/2

2=

12x1/2 =

12px

n = 1/3, che implica y = x1/3 = 3px :

y 0 = (1/3) � x1/3�1 =x�2/3

3=

13x2/3 =

1

3 3px2

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Derivate notevoli

Funzione logaritmica, y = logb x :

y 0 =logb ex

=1

x loge b=

1x ln b

la funzione y = ln x è un caso particolare di questa funzione (b = e):

y 0 =1x

Funzione esponenziale, y = ax :

y 0 = ax � ln a

la funzione y = ex è un caso particolare di questa funzione (a = e):

y 0 = ex � ln e = ex

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Regole di derivazione

Somma di funzioni, y = f (x) + g (x):

y 0 = f 0 (x) + g 0 (x)

Prodotto di funzioni, y = f (x) � g (x):

y 0 = f 0 (x) � g (x) + f (x) � g 0 (x)

Rapporto di funzioni y = f (x) /g (x):

y 0 =f 0 (x) � g (x)� f (x) � g 0 (x)

[g (x)]2

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Derivate: esercizi

Calcolare la derivata della funzione y = 3x2 + 5x + 11

Calcolare la derivata della funzione y = 3 5px4 + ax + loga x

Calcolare la derivata della funzione, y = ex �px

Calcolare la derivata della funzione, y = ex/px

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Derivata parziale di funzione a più variabili: calcolo

Nel caso di funzione a più variabili:

y = f (x1, x2)

si deriva rispetto alla variabile data considerando l�altra costante

Esempi:

y = x1 + x2dydx1

= 1+ 0dydx2

= 1

y = (x1 � 1)px2

dydx1

= 1 � px2 + (x1 � 1) � 0dydx2

=x1 � 12px2

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Derivata parziale di funzione a più variabili: esercizi

Calcolare le derivate parziali della funzione y = 5px1 + x2

Calcolare le derivate parziali della funzione y = ln x1 + 9 ln x2

Calcolare le derivate parziali della funzione y = (x1 + 3) (x2 + 5)

Calcolare le derivate parziali della funzione y =px1 � (x2)�1/2

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Massimo/minimo di una funzione: calcolo

In economia, il calcolo delle derivate è strumentale all�identi�cazionedi un estremo (massimo o minimo) di una funzione

L�identi�cazione di un massimo (o minimo) avviene come segue:

1 si calcola la derivata della funzione

2 si eguaglia la risultante espressione a zero (da cui si ottiene il valoredella variabile indipendente che garantisce un estremo)

3 si calcola la derivata seconda (derivata della derivata)

4 si studia is segno della derivata seconda:

se essa è positiva, abbiamo un minimo

se essa è negativa, abbiamo un massimo

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Massimo/minimo di una funzione: esercizi

Calcolare l�estremo della funzione y = 38x � x2

eguagliamo a zero la derivata prima della funzione:

y 0 = 38� 2x = 0 ! x = 19

il punto x = 19 è un massimo, dato che:

y 00 = �2 < 0

Calcolare l�estremo della funzione y = �x2 + 10x � 23

Calcolare l�estremo della funzione y = x2 + 4x

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