ELEKTROMAGNETINĖS SĄVEIKOS REIKŠMĖ -...

BENDROJI FIZIKA. ELEKTRA IR MAGNETIZMAS. PASKAITŲ KONSPEKTAS 1

ELEKTROMAGNETINĖS SĄVEIKOS REIKŠMĖ GAMTOJE IR MOKSLE

Įvadas Yra žinomos keturios fundamentinės sąveikos: gravitacinė, elektromagnetinė, stiprioji ir silpnoji. Dvi pastarosios pasireiškia mikropasaulyje. Gravitacinė sąveika vyrauja kosmose ir nulemia Visatos sandarą ir evoliuciją. Tarp mus supančių kūnų ši sąveika yra labai silpna. Mūsų aplinkoje pasaulio įvairovę nulemia elektromagnetinė sąveika. Kokias elektromagnetinės kilmės jėgas Jūs nagrinėjote mechanikos, molekulinės fizikos ir termodinamikos kursuose? … Tai bet kokios stūmos jėgos, trinties, tamprumo, deformacijos, skysčio paviršiaus įtempimo jėgos, kurios susideda iš daugelio atomų, molekulių sąveikos jėgų. Visi kūnai susideda iš atomų, o pastarieji – iš teigiamai įelektrinto branduolio ir elektronų, turinčių neigiamą krūvį. Elektrinė jėga veikia ne tik tarp atomo įelektrintų dalelių, bet ir tarp pačių atomų, net tarp molekulių. Todėl elektromagnetinė sąveika sąlygoja skysčių ir kietų kūnų būseną, fazinius virsmus. Kodėl žmogus, veikiamas Žemės traukos neprasmenga pro grindis? Dėl elektrinės stūmos jėgų. Elektromagnetinės jėgos veikia atmosferoje, žemėje, augaluose, gyvūnuose. Jų poveikyje atsirado ir evoliucionuoja gyvybė. Visos embriono (gemalo) ląstelės yra vienodos. Veikiant elektromagnetinėms jėgoms iš jų išauga įvairūs organizmo organai. Amerikiečių gydytojams pavyko nustatyti tų elektromagnetinių bangų dažnį, intensyvumą, kurių lauke auga žiurkės embrionas, ir tomis bangomis apspinduliavę žiurkės nupjautos kojos vietą iššaukė ląstelių augimą – žiurkės koja ataugo. Beveik visi fiziologiniai procesai žmoguje yra elektromagnetinių bangų lydimi. Iš elektrokardiogramų, encefalogramų ir kitų elektromagnetinių procesų tyrimo būdų yra nustatomas sveikatos stovis, o, veikiant organizmą iš išorės elektromagnetinėmis bangomis, galima jį pagydyti. Elektromagnetinė sąveika daugiau ar mažiau susijusi su daugelio mokslo šakų: optika, elektronika, kieto kūno, atomo, puslaidininkių fizika, net psichologija, biologija medicina bei kitais tyrimo objektais ir naudojama, kaip šių mokslų tyrimo instrumentas. Elektromagnetinė sąveika naudojama įvairiuose prietaisuose, ja naudojantis sukuriamos naujos technologijos, medžiagos, tobulinama telekomunikacija, kompiuteriai. Nors elektromagnetinė sąveika yra plačiai paplitusi ir vaidina lemiamą vaidmenį mus supančioje aplinkoje, elektromagnetizmo mokslo pradmenys padėti tik XIX a. gale. Klasikinė mechanika buvo baigta XVII a. Tokį elektromagnetizmo reiškinių tyrimo vėlavimą sąlygoja jų nesuvokimas mūsų pojūčiais. Elektromagnetinių reiškinių nematome, negirdime, negalime paliesti, paragauti, pauostyti. 100 metų buvo bandoma elektromagnetinius reiškinius įsprausti į mechanikos rėmus. Todėl atsirado nevykę iš mechanikos paimti terminai: elektrinio, magnetinio laukų stipris, elektrovaros jėga ir kt. Pirmosios žinios apie elektromagnetinę sąveiką jau buvo prieš 3000 metų. Senovės egiptiečiai naudojo žaibolaidžius, kinai kompasus, graikai žinojo patrinto į vilną gintaro savybę traukti lengvus daiktus. Buvo manoma, kad ši trauka analogiška bitės ir žiedo traukai, gyvūno ir maisto traukai. 1600 m. anglų gydytojas Gilbertas išskyrė įelektrintų ir įmagnetintų kūnų traukas. Didelį indėlį, kuriant elektromagnetizmo mokslą įnešė danų mokslininkas Erstedas, prancūzų – Amperas, anglų – Faradėjus. Visus eksperimentinius dėsnius ir Faradėjaus idėjas Maksvelas išreiškė

lauko lygtimis: ir medžiagos lygtimis:

∫ ∫ ∫+= sddtDd sdj dH .1 rr

rrlrr

; ;E j .1rr

λ=

∫ ∫∂∂

= sdBt

dE .2 rrlrr

; H B .2 0

rrµµ= ;

0 sdB .3 =∫rr

; E D .3 0

rrεε= .

∫ ∫= dV sdD .4 ρrr

.

Taip buvo sukurta klasikinė elektromagnetizmo teorija. Tai buvo fenomenologinė teorija, kuri neatsižvelgia į medžiagos ir krūvių diskretiškumą ir fizikinius dydžius: krūvį, laukų stiprį ir kt. išreiškia tolydžiomis funkcijomis. Mes ir apsiribosime klasikine elektromagnetizmo teorija. Kaip elektromagnetinė sąveika buvo nagrinėjama Lietuvoje? . 1802 m. profesorius Steponas Stubelevičius įrengė fizikos laboratoriją. Naudojo 60 ir 100 elementų Voltos stulpu Vilniaus universitete elektros eksperimentai buvo pradėti XVII a. profesoriaus Tomo Žebrausko

ELEKTROSTATIKA. KRŪVIŲ SĄVEIKA.

BENDROJI FIZIKA. ELEKTRA IR MAGNETIZMAS. PASKAITŲ KONSPEKTAS 2 pastangomis. Jis anksčiau nei Erstedas stebėjo elektros srovės atsiradimą uždarame laide, judinant jį magnetiniame lauke. 1819 m. parašė veikalą “Elektros įtaka gyvūnų būsenai”. 1812 m. Napaleonas stebėjosi Vilniaus architektūra ir fizikos laboratorijų aukštu lygiu. Kai jis paklausė su pašaipa: “Kokią jūs dėstote fiziką?” Stubelevičius atsakė:”Tokią kaip ir Paryžiuje”. Nuo 1819 m. universitete elektromagnetizmo kursą dėstė Feliksas Dževinskis. Jis parašė išsamų elektromagnetizmo kursą, kur nagrinėjo naujausius atradimus, atliko Ampero eksperimentus. Su Lietuvos vardu susijęsTeodoras Grotus (1785 – 1822). Gimė jis Vokietijoje, mokslus ėjo įvairiuose Europos universitetuose, nuo 1802 m. gyveno Lietuvoje savo dvare Gedučiuose (Pakruojo rajonas). Ten ir palaidotas. Jis pirmas pasaulyje sukūrė elektrolizės teoriją, kuri buvo papildyta tik po 100 metų.

Elektros krūviai ir elektriniai laukai Tai pagrindinės elektromagnetizmo sąvokos. Elektromagnetinių reiškinių mes nesuvokiame pojūčiais, o apie jų buvimą sprendžiame iš mechaninių jėgų atsiradimo. Atlikime klasikinį bandymą, kurį jūs stebėjote mokykloje. Ant izoliatoriaus (nelaidžių siūlų) kabo dvi folijos tūtelės (1a pav.). Patriname sausą stiklo lazdelę į šilką, odą arba popierių ir paliečiame vieną tūtelę ir po to antrą. Tūtelės atsistumia viena nuo kitos (1b pav.).

1 pav. Įelektritų tūtelių sąveika b c a

Tą patį efektą gauname palietę tūteles patrinta į vilną arba kailį ebonito lazdele. Jei tūteles paliesime skirtingomis lazdelėmis, jos trauks viena kitą (1c pav.). Aiškindami šį bandymą, sakome: patrinta lazdele paliesdami tūtelę, pastarajai perdavėme elektros krūvį. Vienodus krūvius turinčios tūtelės stumiasi, o skirtingus – traukiasi. Ką vadiname elektros krūviu? Krūvis apibūdina elektromagnetinę sąveiką, kaip ir masė apibūdina gravitacinę sąveiką. Empiriškai nustatytos 3 krūvio savybės: 2 – jų rūšių krūvių buvimas; krūvio tvermės dėsnis; krūvio kvantavimas. I savybė. Amerikiečių fizikas Benjaminas Franklinas pasiūlė krūvius, analogiškus krūviui, kurį įgyja patrinta į šilką (odą) stiklo lazdelė vadinti teigiamais, o krūvius analogiškus krūviui, kurį įgyja į kailį (vilną) patrinta ebonito lazdelė, vadinti neigiamais. Taigi yra 2 – jų rūšių krūviai: teigiami ir neigiami. Kodėl yra tik 2 – jų rūšių krūviai? Atsakymo neturime. Manoma, kad tai 2 – jų priešybių buvimas vienovėje, simetrijos išraiška. Kūnai, turintys vieno ženklo krūvius vienas kitą stumia, o skirtingo ženklo – traukia. II savybė. Yra žinomas medžiagos tvermės dėsnis. Kadangi krūvis yra medžiagos savybė, tai postuluojamas ir krūvio tvermės dėsnis: algebrinė krūvių suma uždaroje sistemoje nekinta

∑ = const q , arba visoje Visatoje

∑ = 0 q . Pavyzdžiui, plonasienėje dėžutėje yra vakuumas. Jeigu į dėžutę patenka fotonas (šviesos kvantas ne medžiaginė dalelė), jis gali virsti į neigiamą elektroną ir tokią pat tik teigiamą dalelę – pozitroną. Krūvių suma nepakito. Krūvio tvermės dėsnį galima iliustruoti tokiu bandymu (2 pav.). Patriname ebonitinę plokštelę į organinio stiklo plokštelę ir įnešame į tuščiavidurį metalinį rutulį, uždėtą ant elektroskopo (prietaiso, reaguojančio į įelektrintus kūnus). Rodyklė atsilenkia. Taip pat ji atsilenkia ir įnešus kitą plokštelę. Įnešus abi nesuglaustas plokšteles, rodyklė neatsilenkia. Ištraukiame vieną plokštelę, rodyklė vėl atsilenkia.



2 pav. Krūvio tvermės dėsnio iliustracija

III savybė. Žinome, kad medžiagą galime susmulkinti iki atomo, o kiek galime susmulkinti krūvį? Tiksliais eksperimentais įrodyta, kad visi gamtoje egzistuojantys krūviai susideda iš elementarių nedalomų krūvių e. q = Σne, kur n = 1, 2, 3 … .Šis mažiausias krūvis yra elektrono krūvis. Taigi gamtoje nepasisekė rasti fizikinių objektų, kurių krūviai būtų trupmeninė elementariojo krūvio dalis. Elektrono masė me = 9,1⋅ 10-31 kg, o krūvis e = 1,6⋅10-C-19C. Tačiau bandymai atrasti laisvus krūvius yra nesėkmingi. Todėl mažiausią krūvį turinti laisva dalelė yra elektronas. Taigi, krūvis yra fizikinis dydis, apibūdinantis elektromagnetinę sąveiką ir pasižymintis trimis išvardintomis savybėmis, kurių paaiškinti negalime. Tiksliau šios sąvokos apibrėžti negalime. Yra pasakojamas anekdotas: “Profesorius per egzaminą klausia studento, kas yra elektra. Studentas: “Tikrai žinojau, bet pamiršau.” Profesorius: “Kaip gaila! Vienintelis žmogus pasaulyje žinojo, kas yra elektrair tas pamiršo.” Elektromagnetinei sąveikai paaiškinti vien krūvio sąvokos nepakanka, lieka neatsakyta į klausimą, kaip vieno krūvio poveikis persiduoda kitam krūviui. Kai sakoma “krūvis”, suprantama, kad tai yra kūnas turintis krūvį. Dažnai “įelektrintas kūnas” terminas pakeičiamas tiesiog terminu “krūvis”. Iki XIX a. pabaigos buvo teigiama, kad vieno krūvio poveikis kitam persiduoda betarpiškai per atstumą. Tai toliveikos teorija. Pagal ją pajudėjus vienam krūviui akimirksniu tai pajus ir kitas. Faradėjus teigė, kad sąveika persiduoda ne akimirksniu, o per tam tikrą laiką per tarpininką, kurį pavadino lauku. Tai artiveikos teorija. Abi teorijos vienodai gerai paaiškina nejudančių krūvių sąveika, tačiau judančių krūvių sąveika paaiškina tik artiveikos teorija. Pagal ją kiekvieno krūvio aplinkoje yra elektrinis laukas per kurį ir persiduoda elektromagnetinė sąveika. Yra dvi pagrindinės materijos rūšys: laukas ir medžiaga. Medžiaga – sutankinta materija, laukas – išsklaidyta materija. Abi formos susilieja mikropasaulyje (fotonas yra laukas virstąs medžiagos dalelėmis: elektronu ir pozitronu). Taigi elektrinis laukas yra materijos rūšis, o krūvis medžiagos (materijos rūšies) savybė.

ELEMENTARUSIS KRŪVIS. MIKROSKOPINIAI KRŪVININKAI Mikroskopiniai krūvininkai: apie 200 mikrodalelių, jonai, protonai, neutronai, elektronai. Jonai atsiranda, kai atomo ar molekulės elektronų sluoksniui pritrūksta vieno ar kelių elektronų, (teigiami jonai) arba atvirkščiai, kai sluoksnyje susikaupia perdaug elektronų (neigiami jonai). Neutrono krūvis yra nulinis. Elementarusis krūvis – elektrono krūvis e. e = 1,6⋅10-C-19C. Eksperimentais buvo nustatyta, kad krūvis visada pasikeičia dydžiu, sveikąjį skaičių kartų didesniu ar mažesniu už elementarųjį krūvį ir kad nėra mažesnių krūvių už elementarųjį. ∆q = ne. Lotynų kalbos žodis “invariantis” reiškia nekintantis. Invariantiškumas – pastovumas, nepriklausomumas nuo tam tikrų fizikinių sąlygų. Krūvio invariantiškumas reiškia, krūvio nepriklausomumą nuo judėjimo greičio. Tai patvirtina atomo stabilumas, jo neutralumas. Elektronai atome juda žymiai greičiau už protonus. Jeigu krūvio dydis priklausytų nuo greičio, atomai negalėtų būti neutralūs. Elektromagnetizmo mokslas skirstomas į 3 dalis: elektrostatika, nagrinėjančią nejudančius krūvius ir jų laukus, 2) nuolatinę srovę ir jos magnetinį lauką (nagrinėjami tolygiai judantys krūviai ir magnetiniai laukai) ir 3) elektromagnetiniai virpesiai ir bangos (nagrinėjami su pagreičiu judantys krūviai ir elektromagnetiniai laukai).



I DALIS

ELEKTROSTATIKA

1.KRŪVIŲ SĄVEIKA

1.1. Taškinis krūvis Realiame fiziniame pasaulyje reiškinių ir daiktų ryšiai labai sudėtingi. Tyrinėtojai atmeta nereikšmingus, neesminius ryšius ir kuria tų objektų, reiškinių modelius. Mechanikoje nagrinėjant kūnų judėjimą naudojama materialaus taško sąvoka. Analogiškas modelis yra taškinis krūvis. Taškiniu krūviu vadiname krūvį kūno, kurio matmenys daug kartų mažesni už atstumą nuo to kūno iki taškų, kuriuose nagrinėjamas to krūvio poveikis (D>> a) (1.1.1. pav.) Tas pats krūvis gali būti ir taškinis ir ne. Pavyzdžiui, Žemės krūvis yra taškinis kokio nors toli esančio ufonauto atžvilgiu ir netaškinis Žemės gyventojų atžvilgiu.

q AD

a

1.1.1 pav.

1.2. Kulono dėsnis Įelektrintų kūnų sąveikos jėga skiriasi nuo gravitacijos jėgos: 1. Gravitacinė yra tik traukos jėga, o elektrinė yra ir stūmos jėga; 2. Elektrinė jėga stipresnė už gravitacinę. 2 –jų elektronų stūmos jėgą Fs yra didesnė už jų gravitacinę traukos jėgą 4,7⋅ 1042 kartų. 3. Gravitacinę jėgą negalima ekranuoti, o elektrinę galima. Krūvių sąveikos jėga – naujo tipo jėga. Nuo ko ji priklauso? Ji priklauso nuo atstumo tarp įelektrintų kūnų, nuo kūnų dydžio, formos, orientacijos (1.2.1. pav.). Gauti tos jėgos išraišką bendra forma negalime. Tai įmanoma tik taškiniams krūviams, kai jų matmenys maži lyginant su atstumais tarp jų. q2 q1

aD

1.2.1. pav.

Taškinių krūvių sąveikos dėsnį nustatė prancūzų mokslininkas Kulonas 1785 m. su sukamosiomis svarstyklėmis (1.2.2. pav.). Jas sudaro ant plono metalinio siūlelio per vidurį pakabintas stiklinis arba ebonitinis stiebelis S; ant vieno jo galo užmautas rutuliukas. Tokiame pat aukštyje įtaisytas antras rutuliukas. Abu rutuliukai įelektrinami. Kulonas darė prielaidą, kad įelektrinti laidūs rutuliukai sąveikauja taip, kaip ir taškiniai krūviai, esantys rutuliukų centre. Kulonas nustatė:

F ~ 2R1

; F ~ q1q2; F yra centrinė.



1.2.2. pav.

v Kiekybiškai šis dėsnis užrašomas taip:

12312

2121 R

RqqkF

rr= . (2.1)

Pagal III –jį Niutono dėsnį 1221 F Frr

−= arba F21 = F12.

Kulono dėsnio formuluotė: dviejų taškinių krūvių sąveikos jėga yra tiesiai proporcinga tų krūvių sandaugai, atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui ir nukreipta išilgai tiesės, jungiančios krūvius.

+ q1

12Fr

+ q1

12Fr

- q2

21Fr

x

1.2.3. pav.

21Fr

+q2

x

Koeficientas k priklauso nuo aplinkos, kurioje yra krūviai ir nuo dydžių F, q ir R matavimo vienetų. SI sistemoje ir vakuumui

041πε2

2

CNmk = 9⋅ 109 arba k = . (2.2)

Čia ε0 – elektrinė konstanta

ε0 = 2

212-

2

2

9 NmC108.85

NmC

10941

⋅=⋅⋅π

. (2.3)

Jeigu kūnai ne rutulio formos ir įelektrinti netolygiai, tuomet reikia juos suskirstyti į taškinius krūvius ir rasti visų šių taškinių krūvių tarpusavio sąveikos jėgų sumą. Kokiems atstumams tarp krūvių galioja Kulono dėsnis?Iš formulės (1.1) matome, kad kai R →∞, F → 0, o kai R → 0, F →∞. (ištikrųjų taip nėra). Eksperimentiškai nustatyta, kad Kulono dėsnis galioja, kai 10-17 m < R < 107 m. Šį krūvių sąveikos dėsnį 13 metų prieš Kuloną atrado anglų fizikas Kavendišas (1731 – 1810). Tačiau jis savo darbų nespausdino ir jo atrastas krūvių sąveikos dėsnis buvo nežinomas 100 metų. Jį jo rankraščiuose rado Maksvelas.

1.3. Elektrinių laukų superpozicijos principas Tegul turime tris taškinius krūvius: q1, q2 ir q3.( 1.3.1 pav.) Išpradžių į tašką A patalpiname q1, o q3 nunešame tolyn. Po to išnešame q2, o q3 patalpiname į tašką B. Po to abu krūvius patalpiname į taškus A ir B.

didelis atstumas

q

F1

2

A

q1

q -q3 B

- q

didelis atstumas F1

3

q1

b a

-q3 B

q1

F1

q2 A

c 1.3.1 pav.


BENDROJI FIZIKA. ELEKTRA IR MAGNETIZMAS. PASKAITŲ KONSPEKTAS 6 Visais atvejais išmatuojame krūvį q1 veikiančią jėgą. Gauname, kad trečiu atveju veikianti krūvį q1 jėga

13121 F F Frrr

+= . Išvada: sąveikos jėga tarp dviejų krūvių nepriklauso nuo trečio krūvio buvimo. Tyrimai parodė, kad išmatuota jėga visada yra lygi sumai pagal Kulono dėsnį apskaičiuotų jėgų, kuriomis tiriamąjį krūvį veikia kiti krūviai. Superpozicijos principo matematinė išraiška yra

∑= iF Frr

. Superpozicijos principas yra teiginys, kad dviejų krūvių sąveikos jėga nesikeičia, jeigu šalia yra kiti krūviai; jėga, kuria tiriamąjį krūvį veikia kiti krūviai, yra lygi sumai jėgų, kuriomis kiekvienas krūvis atskirai veikia tiriamąjį krūvį.

2. ELEKTRINIO LAUKO VAKUUME APIBŪDINIMAS

Pažinimo procesas vyksta taip: 1) pradžioje yra stebimas reiškinys; 2) suformuluojami fizikiniai dydžiai, apibūdinantys reiškinį; 3) užrašoma formulė, siejanti šiuos fizikinius dydžius; 4) kuriama teorija, paaiškinanti šią formulę (dėsnį); 5) teorija tikrinama eksperimentais. Elektrinį lauką apibūdina elektrinio lauko stipris E ir potencialas ϕ. Pirmas dydis yra vektorinis, antras – skaliarinis.

2.1. Elektrinio lauko stipris Kiekvieną krūvį supančioje erdvėje yra elektrinis laukas – materijos pavidalas, pasižymintis savybe veikti krūvius mechanine jėga. Nejudančių krūvių laukai yra vadinami elektrostatiniais laukais. Mes juos ir nagrinėsime. Tegu turime taškinį krūvį q (2.1.1. pav.). Jį supančioje erdvėje yra laukas.

Apie jo buvimą sprendžiame iš mechaninės jėgos, veikiančios kitą krūvį. Į lauko tašką A patalpiname bandomąjį krūvį qb. Bandomasis krūvis turi būti mažas, kad taške A nepakeistų krūvio q0 lauko. Jėga, veikianti qb yra proporcinga qb t.y. FA∼ qb

arba bAA qE Frr

= . Proporcingumo koeficientas yra vektorius, nes jėga yra vektorius. Jis būdingas tik tam lauko taškui A.

q0

FA

qb

FB

qb

A B

BFr

2.1.1 pav. Jeigu tą patį bandomąjį krūvį iš taško A perkelsime į tašką B, jėga pasikeis ir dydžiu ir kryptimi.

bBB qE Frr

; BA E Err

≠ . =

Taigi, dydis apibūdina elektrinio lauko savybes. Jis vadinamas elektrinio lauko stipriu. Bendru atveju Er

bqFEr

r= .

Elektrinio lauko stipriu taške vadiname fizikinį dydį, lygų skaitmeniškai jėgai, veikiančiai vienetinį teigiamą krūvį arba lygų jėgos, kuria laukas veikia tame taške esantį teigiamą krūvį ir to krūvio santykiui. Elektrinio lauko stipris dar vadinamas tiesiog elektriniu vektoriumi E

r. Jam suteikiama teigiamą krūvį

veikiančios jėgos kryptis Europos valstybėse. JAV Er

kryptis sutampa su neigiamą bandomąjį krūvį veikiančios jėgos kryptimi.

Elektrinio lauko stiprio matavimo vienetas [ ]mNE v = - niutonas metrui arba voltas metrui [ ]

mVE v = .

2.2.Taškinio krūvio lauko stipris

Tegul taškinio krūvio q0 lauke patalpinamas bandomasis krūvis qb taške A (2.2.1. pav.) Tuos krūvius veikianti jėga pagal Kulono dėsnį yra

A3A

b0 RR

qqk F

rr= .


BENDROJI FIZIKA. ELEKTRA IR MAGNETIZMAS. PASKAITŲ KONSPEKTAS 7 Rašome veikiančią krūvį qb veikiančią jėgą.

bAA qE Frr

= . Pagal superpozicijos principą q0

EA

RA qb

A ∑=n

iibib EqEqrr

∑∑ ==n

iiA FFrr

.

Taigi, arba . Prilyginę q∑=n

iibA EqqErr

∑=n

iiA EErr

b = 1, gauname: 2.2.1 pav.

A3A

0 RRq r

bA k

qF Er

r== .

Skaliariškai 2A

0A R

qkE = . Bet kuriame taške 2

0

Rq

kE . =

bAA qEF

2.3.Superpozicijos principas elektriniams laukams

Tegu turime n taškinių krūvių. Jų laukų taške A talpiname bandomąjį krūvį qb (2.3.1. pav.).

q1

-q2

-qn

A qb

q3 Rašome veikiančią qb jėgą rr

=

∑ ==n

iiA FFrr

. Pagal superpozicijos principą

2.3.1 pav.

∑ ∑=n

iipib EqEqrr

.

∑=n

iibbA EqqErr

arba . ∑=n

iiA EErr

Tai yra elektrinių laukų superpozicijos principo matematinė formuluotė. Vieno krūvio elektrinio lauko stipris tam tikrame taške nepriklauso nuo kitų krūvių buvimo. Todėl bet kokio skaičiaus taškinių krūvių sistemos sukurto lauko stipris yra lygus sumai laukų stiprių, sukurtų kiekvieno krūvio atskirai, kai visų kitų krūvių nėra. Taikant Kulono dėsnį ir superpozicijos principą sprendžiamas pagrindinis elektrostatikos uždavinys: Duoti taškiniai krūviai q1 … qn . Rasti E (x,y,z)

2.4. Elektrinis dipolis Elektriniu dipoliu vadiname dviejų vienodo dydžio skirtingų ženklų taškinių krūvių sistemą (2.4.1. pav.)

Vektorius lr

nuo neigiamojo krūvio iki teigiamojo vadinamas dipolio

petimi, o vektorius + q l - q

lrr

q p = vadinamas dipolio momentu. Čia q – kiekvieno krūvio absoliutinė vertė. Elektrinio dipolio lauko skaičiavimas. Dipolio elektrinis laukas susideda

iš dipolį sudarančių krūvių laukų. Dipolio petys yra daug kartų mažesnis už atstumą nuo dipolio iki taško, kuriame skaičiuojamas lauko stipris (2.4.2. pav.).

2.4.1. pav.

a) lauko stipris dipolio ašyje.

- q + q

2l

E - E +

E A

R - R

R+

2.4.2. pav. Tiriamojo taško A atstumą nuo teigiamojo krūvio pažymėkime R +, nuo neigiamojo R - - nuo dipolio vidurio R.



++= E E E -A

rrr

arba

EA = E+ - E- = 2-

2 Rkq -

Rkq

+

.

EA = kq ( 2-

2 R1-

R1

+

) = kq 2-

2

22-

RRRR

−−

+

+ = kq( )( )

22-

--

RRRRRR

+

++ +−.

Kadangi l << R+ , R- ,R , tai R nedaug skiriasi nuo R+ ∼ R -.

EA = 4R R2 kq l

.

EA = 3R2kp

.

Dipolio lauko stipris staigiau kinta nuo atstumo, negu vieno taškinio lauko stipris. Lauko stipris taške, esančiame statmenyje į dipolio ašį (2.4.3. pav.)

R - = R + = R, o E - = E + = E = 2Rkq

. - q + q

R+

A

R -

E -

E +

E A

2p

α

α

R2l

EA = 2 E cos α. cos α = .

Taigi,

2Rkq

R2l

. arba E = 2

3Rkp

EA = .

Šiuo atveju lauko stipris dvigubai didesnis negu (a) atveju. c) Lauko stipris bet kuriame lauko taške (2.4.4. pav.). Brėžiame iš taško C statmenį į BA. CD⊥ BA. Į tašką D patalpiname du vienodo didumo, bet priešingo ženklo krūvius. Nuo to lauko stipris nepasikeis. Gauname du dipolius. Vieno jų petys l⊥ - tiriamas taaškas A yra statmenyje į ašį (nesvarbu, kad statmuo neina ne per dipolio vidurį). Antro dipolio petys l - tiriamasis taškas A yra to dipolio ašyje. Jo lauko stipris taške A yra IIE

r, o pirmojo

dipolio - . Matome, kad ⊥ . Pagal Pitagoro

teoremą

⊥Er

IIEr

⊥Er

22IIA EEE ⊥+= .

2.4.3. pav.

- q + q

2.4.4. pav.

R+

A

R -

E⊥

E

E A

α C

+q -q

l l⊥

l

D

B

E = 3II

Rk2p

ir E⊥ = 3Rkp⊥ .

p = ql ql cos α; p⊥ = ql⊥ql sin α.

αα 223A sincos4

Rkp E += ;

1cos3Rkp E 2

3A += α ;

Iš šios formulės galime gauti (a) ir (b) atvejų formules. Iš tikrųjų,

atveju α = 0; 33A Rkp213

Rkp E =+= ,atveju α =

2π

; 33A Rkp10

Rkp E =+= .



2.5. Elektrinio lauko grafinis vaizdavimas Elektrinio lauko pobūdį galima nusakyti nurodant kiekviename jo taške elektrinį vektorių. Taškinio krūvio lauko vaizdas būtų maždaug toks (2.5.1. pav.). Elektromagnetizmo kurse laukas grafiškai vaizduojamas jėgų

linijomis. Jėgų linija vadiname liniją, kurios kiekviename taške elektrinis vektorius nukreiptas išilgai liestinės tame taške. Linijos kryptis sutampa su elektrinio vektoriaus kryptimi (2.5.2. pav.)

Er

Er E

r

2.5.2. pav. 2.5.1. pav.

Jėgų linijos dar vadinamos elektrinio lauko stiprio linijomis, atspindi ir lauko stiprį. Susitarta pro vienetinio ploto paviršių statmeną jėgų linijoms išvesti tiek linijų, kad jų skaičius būtų lygus elektrinio lauko stipriui toje erdvės vietoje (2.5.3. pav.). n = E.

∆S = 1

Jėgų linijos visai tiksliai parodo (pavaizduja) elektrinį lauką visoje erdvėje: parodo bet kurioje erdvės vietoje ir stiprį, ir E

rkryptį. Tokį elektrinio lauko vaizdavimą yra įvedęs

Faradėjus 1852 m. Realiai jėgų linijų nėra. Jos tik įsivaizduojamos. Tačiau jėgų linijų eigą erdvėje galima stebėti. 2.5.3. pav. 2.6. Elektrinis dipolis elektrostatiniame lauke

Laukas vienalytis. = const. Jėgų linijos yra lygiagrečios vienodai nutolusios tiesės (2.6.1. pav.).

Dipolio krūvius veikia vienodo didumo, bet priešingų krypčių jėgos Er

-Fr

ir +Fr

.

-Fr

= - F+

r arba F- = F+.

Eq- F-

rr= q F, E

rr=+ .

Dipolį veikia jėgų pora. Jėgos momentas [ ]F M . Kadangi rlrr

=

lr q p = , tai M

ryra statmenas p

r ir E plokštumai ir nukreiptas

nuo mūsų. Todėl M = p E sin α, jį žymime kryžiuku “+”.Pagal strėlės orientaciją. Žiūrėdami į strėlės priekį, matome tašką • (smaigalį) Žiūrėdami į strėlės galą, matome kryžių +.Todėl vektorių, nukreiptą nuo mūsų žymime +, o nukreiptą į mus – tašku. Taigi, vienalyčiame elektriniame lauke dipolį veikia jėgos momentas,

kuris stengiasi dipolį pasukti taip, kad jo elektrinis momentas r

būtų lygiagretus

.

r

pEr

- q

F+

F-

+q

M

2.6.1. pav.

α

lr

Laukas nevienalytis ≠ const. (2.6.2. pav.). E

r

Nevienalyčiame lauke dipolis suksis ir bus traukiamas F = F- - F+ jėgos į stipresnio lauko sritį.

+ q- ql

2.6.2. pav.

+Fr

Fr

Er

EF+ = qE

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+ l xE Ex F- = q .

Dipolį veikiančių jėgų atstojamoji yra

dxdEp

xE p FF F xx

- =∂∂

=−= + .

Jeigu dipolis lauko linijoms nelygiagretus, tai

z E p

y E

p xE p F z

zy

yx

xx ∂∂

+∂

∂+

∂∂

= .

Analogiškai išreiškiamos Fy ir Fz komponentės.



2.6. Ilginis, paviršinis ir tūrinis krūvių tankis Realūs krūviai nėra taškiniai. Prieš pradedant tirti realių įelektrintų kūnų laukus, reikia apžvelgti krūvių pasiskirstymo erdvėje atvejus. Krūviai gali būti išsidėstę diskretiškai (taškinių krūvių sistema) ir nenutrūkstamai (tolydžiai) išilgai linijos, ant paviršiaus ir tūryje. Tolydus krūvių išsidėstymas apibūdinamas krūvių tankiu. Krūvis q išsidėstęs linijoje (ploname siūle) (2.7.1. pav.).

Išskiriame ∆l ilgio linijos atkarpą. Joje krūvį pažymime ∆q. Ilginiu krūvio tankiu τ (tau) vadiname dydį, skaitine verte lygų nykstamai mažo vienetinio ilgio krūviui. q

l ∆l

∆q

ll ddqq

=∆l

lim0

∆=

→∆

τ . [ ]mC

v =τ .

Jeigu τ = const, tai l

q =τ . Čia q visos linijos krūvis, l - linijos ilgis. 2.7.1. pav.

b) Krūvis q išsidėstęs ant S ploto paviršiaus (2.7.2. pav.). ∆S ploto paviršiaus krūvį pažymėkime ∆q. Paviršiniu krūvio tankiu σ (sigma) vadiname fizikinį dydį, skaitine verte lygų nykstamai mažo vienetinio ploto paviršiaus krūviui.

dSdq

Sq lim

0S=

∆∆

=→∆

σ . [ ] 2v mC

=σ .

∆q

∆S

Kai σ = const, tai σ = Sq

.

2.7.2. pav. Krūvis q išsidėstęs V tūryje (2.7.3. pav.).

∆V tūrio krūvį pažymėkime ∆q. Tūriniu krūvio tankiu ρ (ro) vadiname fizikinį dydį, skaitine verte lygų nykstamai mažo vienetinio tūrio kruviui

Vq lim

0V ∆∆

=→∆

ρ . [ ] 3mC =ρ . Kai ρ = const,

Vq =ρ .

∆q

∆V

Bendrai elektroststikos uždavinį galime suformuluoti taip:

2.7.3. pav. Duota: ρ (x,y,z), Rasti: E

r(x,y,z,).

Sprendimas.

dV R

k EV

2∫=ρ

.

Netaisyklingos formos netolygiai įelektrinto kūno lauko stiprį apskaičiuoti pagal šią formulę yra gana sunku. Paprasčiau lauko stiprį galima surasti pasinaudojant būdingomis elektrostatinio lauko savybėmis. Tam reikia rasti ryšį tarp elektrinio lauko stiprio ir lauko šaltinio krūvio, t.y. suformuluoti Gauso teoremą.

2.7. Elektrinio vektoriaus srautas

Ši sąvoka elektrodinamikoje labai svarbi. Ji naudojama svarbiausių elektrinių ir magnetinių laukų savybių išraiškai. Pradžioje ji buvo naudojama pratekėjusio pro tam tikrą paviršių skysčio kiekiui išreikšti. Pavyzdžiui, pratekėjęs skysčio tūris per S ploto paviršių (2.8.1. pav.) per vienetinį laiką V = vS. Čia v – skysčio tekėjimo greitis. Jeigu greitis nėra statmenas paviršiui (2.8.2. pav.), o sudaro kampą β, kuris lygus

2 πα + . Tada V = vS cosα.

v S

2.8.1. pav.

Šį išraiška primena dviejų vektorių skaliarinę sandaugą α cos ab b a =rr

. Čia α - kampas, kurį sudaro

paviršiaus normalė su greičio vektoriumi v ( a bir rr

vektorių kampas).



Fizikoje naudojama paviršiaus vektoriaus sąvoka arba paviršiaus normalės vektoriaus sąvoka. Paviršiaus vektoriumi vadiname vektorių, kurio modulis lygus to paviršiaus plotui, o kryptis sutampa su išorinės normalės kryptimi.

Sr

nr

S

nS S rr= .

Čia n – yra vienetinis normalės vektorius.

Skysčio srautas arba skysčio greičio vektoriaus srautas pro paviršių S yra V = Svrr2.8.3. pav. .

Sr

v

S

α

2π

β

c)

v

v Sr

b) a)

Sr

2 πα =

Sr

α = 0

0 2

>>απ

Sr

2.8.4. pav. Skysčio arba skysčio tekėjimo greičio vektoriaus srautas pro paviršius a) υ = vS; b) υ = 0 ; c) υ = vS cos α. Analogikai formuluojamas ir vektoriaus E

rsrauto per paviršių S sąvoka. Ji išreiškia jėgų linijų veriančių

paviršių skaičių. Skysčio srovės linijas pakeičiame jėgų linijomis.

SE α

Sdr

Sr

α

Sr

E

c) a) b) 2.8.5. pav. Elektrinio vektoriaus srautas pro paviršių S:

a) N = ES; b) SENrr

; c) ∫=S

SdENrr

= .

(c) atvejas yra bendras, kai elektrinis laukas nevienalytis ir paviršius pro kurį skaičiuojame srautą yra ne

plokščias. Srauto matavimo vienetas yra [ ]C

Nm N2

v = .

2.8. Gauso teorema integraline išraiška

Gauso teorema susieja lauko stiprio srautą pro uždarą paviršių su to paviršiaus apsuptame tūryje esančiu krūviu. E

r

Sdr

S

+q R

Sakykime, kad lauko šaltinis yra teigiamas taškinis krūvis q, kuris yra R spindulio sferinio paviršiau gaubiamo tūrio viduryje (2.9.1. pav.) Elektrinio vektoriaus srautas pro šį paviršių .

∫=S

SdENrr

.

Kadangi visur Er

II Sdr

, tai 2.9.1. pav.



∫=S

EdSN .

Šiame paviršiuje E visur vienodas, todėl

∫= dSE N arba N = E 4 πR2.

Taškinio krūvio q lauko stipris sferos paviršiaus taškuose

2Rkq E = . Tai N = 4π kq.

Jėgų linijų skaičius pro bet kokios formos S uždarą paviršių (2.9.2. pav.)bus toks pat, kaip ir pro sferinį paviršių.

Jeigu uždaro paviršiaus gaubiamame tūryje yra daugiau krūvių, tai pagal elektrinių laukų superpozicijos principą

S

∑∫ == qk 4 SdEN πrr

(1)

∑∫ == qk 4 SdEN πrr

, kai q yra paviršiaus gaubiamo tūrio viduje. 2.9.2. pav.

0 SdEN == ∫rr

, kai krūviai yra gaubiamo tūrio išorėje. SdEN == ∫rr

0, kai krūviai yra gaubiamo tūrio

išorėje. Kai krūviai yra pasiskirstę tolygiai tūriniu tankiu ρ, tai

dV k 4 SdEN ∫∫ == ρπrr

(2)

0 41 kεπ

= , todėl ∫∫ == dV 1 SdEN0

ρε

rr (3)

(1), (2) ir (3) yra Gauso teoremos išraiškos. Ji formuluojama taip: elektrinio vektoriaus srautas pro uždarą paviršių yra lygus 4πk ir to paviršiaus gaubiamame tūryje esančių krūvių algebrinės sumos sandaugai. Pavaizduokime visus vektorius (2.9.3. pav.).

Er

q

Sdr

V

dV

qn

q2

q1

S Sdr

Er

arba

2.9.3. pav. Gauso teorema yra Kulono dėsnio išvada. Jeigu taškinių krūvių sąveikos jėga nebūtų atvirkščiai proporcinga R2, o rodiklis R būtų ne “2”, o kitoks, tai Gauso teorema negaliotų.

2.9. Gauso teoremos taikymas elektrinio lauko stipriui skaičiuoti

Nusibraižome įelektrintą kūną, jo lauko jėgų linijas. Per taškus, kuriuose norime rasti elektrinio lauko stiprį brėžiame paviršių, gaubiantį įelektrintą kūną tokios formos, kad būtų lengviau integruoti skaičiuojant srautą.

Er• • •C B A

Er

Sdr

Sdr

•O Pritaikykime Gauso teormą įelektrinto laidaaus rutulio lauko stipriui rasti (2.10.1 pav.). Jo spindulys R0, o krūvis +q. Ieškosime lauko stiprio E taškuose A, B ir C. Per šiuos taškus braižome uždarus paviršius gaubiančius rutulį. Srautą lengviausia apskaičiuoti tuo atveju, jei paviršiai bus koncentrinės sferos, kurių spinduliai xA, xB= R0 ir xC. Skaičiuojame ssrautą pro paviršių, kuriame yra taškas A.

x

2.10.1. pav.



∫∫ ⋅=== 2AAAA x4E dSE SdEN π

rr.

Pagal Gauso teoremą EA⋅4πxA = 4πkq. Gauname

2A

A xkq E = . Gauname taškinio krūvio lauko stiprio

formulę. Taigi, įelektrinto laidaus rutulio lauko stipris už rutulio yra toks pat, kaip ir to paties dydžio taškinio krūvio, patalpinto į rutulio centrą, lauko stipris. Todėl Kulonas savo eksperimentuose naudojo įelektritus rutuliukus ir jų krūvius laikė taškiniais. Kai x = xB = R0, tai

2.10.2. pav.

O

E

02R

kqE =

x Rutulio viduje krūvių nėra, nes krūviai, veikiami stūmos jėgų visada išsidėsto laidininko paviršiuje. Todėl EC=0. Nubraižome E(x) ir jėgų linijas.Kairėje rutulio pusėje ašies x ir E

r kryptys yra priešingos, todėl E

projekcija į x ašį yra neigiama ir E atidedame žemyn nuo ašies.

2.10. Gauso teoremos diferencialinė išraiška. Puasono lygtis. Gauso teorema integraline forma yra

dV k 4 SdENS

∫∫ == ρπrr

.

Ši formulė sieja krūvį ir lauko stiprį skirtinguose lauko taškuose. Nagrinėjant teoriškai laukus, reikia žinoti abiejų dydžių ryšį tame pačiame taške. Tą ryšį ir nustato Gauso teorema diferencialine išraiška. Tegu tiriamojo lauko taške A elektrinis vektorius E

r, kurio projekcijos į x, y ir z ašis yra : Ex, Ey ir Ez.

Nubraižome nykstamai mažą gretasienį, kurio briaunų ilgiai dx, dy ir dz, o viena viršūnė yra taške A(x,y,z) (2.111. pav.).

dS

0

z

y

)E,E,(E E zyx

r

dy

dz A ρ

dx

Sdr

)E,E,(E E zyx

r

0

z

y

x x2.11.1. pav. Apskaičiuokime elektrinio vektoriaus srautą pro šio gretasienio paviršių : dNy – srautas pro šoninius paviršius statmenus y ašiai; dNy1 – srautas pro kairįjį užbrūkšniuotą paviršių; dNy2 – srautas pro dešinijį užbrūkšniuotą paviršių. dNy = dNyz - dNy1 = Ey+dy dx dz – Eydx dz;

dNy = (Ey+dy – Ey) dx dy (1) Ey+dy išskaidome Teiloro eilute:

Ey+dy = Ey + ....(dy) yE

dyy

E 22

y2

y ++∂

∂+

∂

∂

Apsiribojame dviem pirmaisiais nariais.



Ey+dy = Ey + dyy

E y

∂

∂. (2)

Iš (2) ir (1) gauname:

dNy = τdy

E dydz dx

yE yy

∂

∂=

∂

∂.

Čia dτ = dx dy dz – nykstamai mažo gretasienio tūris. Analogiškai gauname E

r srautus ir pro kitus šoninius paviršius.

dNx = τdx

Ex

∂∂

; dNz = τdz

Ez

∂∂

.

Pilnutinis elektrinio vektoriaus srautas pro visą gretasienio paviršių

dN = dNx+dNy +dNz = τdz

Ey

Ex

E zyx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

.

Pagal Gauso teoremą dN = ρdτ 4πk. Čia ρ yra krūvio tūrinis tankis gretasienyje. Taigi,

τdz

Ey

Ex

E zyx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

= 4πkρdτ.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

zE

yE

xE zyx = 4πkρ =

0ερ

.

Ši lygtis yra vadinama Puasono lygtimi. Tai Gauso teorema diferencialine išraiška. Ji sieja lauko stiprį ir krūvį tame pačiame erdvės taške. Elektrinio vektoriaus projekcijų į koordinačių ašis išvestinių pagal koordinates suma vadinama elektrinio vektoriaus divergencija ir žymima divE

r.

Taigi,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

zE

yE

xE zyx = divE

r.

div yra operatorius

div = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

zyx.

divEr. =

V

SdElim

0V ∆∫

→∆

rr

;

Tai vektoriaus E divergencijos apibrėžimas. Elektrinio vektoriaus divergencija vadiname fizikinį dydį skaitine veerte lygų elektrinio vektoriaus srautui pro nykstamai mažą vieneto tūrio uždarą paviršių. Gauso teorema diferencialine išraiška

divEr = 4πkρ =

0ερ

.

Tuose taškuose, kur ρ = 0 ir divEr = 0. Taigi, divE

r nusako lauko šaltinį, panašiai kaip tekančioje upėje

vandens šaltinį nusako vandens tekėjimo greičio divergencija div vr (2.11.2. pav.).

Visuose taškuose, išskyrus šaltinį ar tirpstančio ledo gabalėlį div vr = 0, nors V ≠ 0.

upės dugnas

0 v div =r

V ≠ 0 vandens šaltinis

Analogišką vaizdą turime ir elektrostatiniame lauke Kur ρ = 0 ir divEr = 0, nors

E ≠ 0. Taigi elektrostatinis laukas yra šaltinio (versmės) laukas. Spręsdami pagrindinį elektrostatikos uždavinį, kai duota ρ (x,y,z) ir reikia rasti E(x,y,z) naudojamės Gauso teorema

divEr =

0ερ

. 2.11.2. pav.



Vektorius E nusakomas trimis skaičiais Ex, Ey, Ez. Be to, praktiškai išmatuoti Er labai sunku. Todėl

elektrinio lauko apibūdinimui įvedamas skaliarinis dydis – potencialas. Jis nusakimas vienu skaičiumi ir jį nesunku išmatuoti.

2.11. Elektrinio lauko jėgų darbas. Elektrinio lauko vektoriaus cirkuliacija. Į vienalytį lauką patalpiname taškinį krūvį q į tašką 1 (2.12.1. pav.).

Jis pradeda judėti, įgyja kinetinę energiją darbo, kurį atlieka elektrinės jėgos, sąskaita. Šis darbas yra A12 = qE(x2 –x1).

O

q

1 2 x

Tegu x2 –x1 = h. Tuomet A12 = qEh. A12 = qEh , A13 = 0, A42 = 0, A1342 =qEh, A142 = qEh (2.12.2. pav.). Krūvio perkėlimo trajektoriją galima atvaizduoti laipteliais ir įrodyti, kad Al = qEh. Taigi, vienalyčiame elektrostatiniame lauke darbas

nepriklauso nuo kelio formos, o priklauso tik nuo pradinio ir galinio trajektorijos taško padėties. Kaip ir termodinamikoje, jei darbą atlieka lauko jėgos, jis yra teigiamas, jei išorinės jėgos – neigiamas.

2.12.1. pav.

Todėl darbas, perkeliant krūvį vienalyčiame elektrostatiniame lauke uždara trajektorija lygus 0. Toks laukas yra vadinamas potencialiniu lauku. Potencialinis laukas yra ir gravitacinis laukas. Darbas, perkeliant kreidą nuo stalo į aukštį h, nepriklauso nuo trajektorijos ir lygus mgh. Įrodysime, kad ir taškinio krūvio laukas yra potencialinis. Turime taškinį +q krūvį (2.12.3. pav.). Patalpinkime taške 1 kitą taškinį teigiamą krūvį q. Jis veikiamas Kulono jėgos slinks išilgai jėgų linijos. Elementarus darbas dA = qEdx. Taško 1 nuotolį nuo q0 pažymėkime R, o nuotolį taško 2

– R2. Taškinio krūvio lauko stipris yra 2RkqE = .

Darbas, perkeliant krūvį q iš taško 1 į tašką 2 yra

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=== ∫ ∫

2

0

1

02

1

R

R2

012 R

kqR

kqqdx

Rkq

qEdxqA2

1

.

Taigi, ir nevienalyčiame taškinio krūvio lauke darbas priklauso tik nuo pradinio ir galinio kelio taško padėties (R1 ir R2).

O 1+q

4

2 x

2.12.2. pav.

3

Er

2

1

q +q

x Tą patį rezultatą gausime ir keldami krūvį ne išilgai, o bet kokia trajektorija l (2.12.4. pav.). 2.12.3. pav.

.cosα⋅ld Rkq

qA2

120= ∫

Tačiau dl⋅cosα = dR.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

0

1

0

Rkq

Rkq

q= ∫R

R20 dR

Rkq

A2

1

.

Gauname tą patį rezultatą. Pasinaudoję superpozicijos principu elektriniams laukams, galime teigti, kad visi elektrostatiniai laukai yra potencialiniai besūkuriniai. Matematiškai potencialumą užrašome taip:

∫ = 0dE lrr

.

∫ Γ=lrr

dE vadinamas elektrinio vektoriaus cirkuliacija. Elektrinio vektoriaus

cirkuliacijos fizikinė prasmė – darbas perkeliant vieneto dydžio krūvį uždara trajektorija.

lr

d q0

q 1 2

R1

2.12.4. pav.

lR

dr α R2

Eqr

nrErot n

r

Galima gauti ir diferencialinę potencialo išraišką, remiantis vektoriaus Er 2.12.5. pav. rotatoriaus

sąvoka. Įsivaizduokime, kad mažiname trajektoriją (uždarą), kuria keliamas E stiprio


BENDROJI FIZIKA. ELEKTRA IR MAGNETIZMAS. PASKAITŲ KONSPEKTAS 16 lauke krūvis iki nykstamai mažo dydžio. Gausime nykstamai mažo spindulio apskritimą. Brėžiame vienetinį statmeną šiuo konturu ribojamai plokštumai vektorių nr . Vektoriaus rotoriumi (žymimas Erot

r) vadiname dydį

skaitine verte lygų to vektoriaus cirkuliacijai kontūru, kuris riboja nykstamai mažo vienetinio ploto paviršių.

S

dE E rot lim

0S ∆= ∫

→∆

lrr

r.

Pažymėję koordinačių vienetinius vektorius kir j ,irrr

, elektrinio vektoriaus rotorių užrašome:

ky

Ex

Ej

xE

zE

iz

Ey

E E rot xyzxyz

rrrr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

= .

Čia z

Ey

EErot yz

x ∂

∂−

∂∂

=r

. Indeksus x, y ir z nustatome taip: x y z

Taigi, elektrinio vektoriaus rotorius elekttrostatiniame lauke Erot

r= 0. Rotorius apibūdina vektoriaus

“sūkuriavimą”. Tai atsispindi pavadinime. Elektrostatinis laukas yra besūkurinis laukas. Jo jėgų linijos ne uždaros, o turi pradžią ir pabaigą. Elektrostatinis laukas yra šaltinio laukas. Maksvelo lygtys elektrostatiniam laukui: 1. ∫ ∫= qdVk 4 SdE π

rr- integralinė forma, kq 4Ediv π=

r - diferencialinė forma.

2. ∫ = 0dE lrr

. “ Erotr

= 0 “

2.12. Potencialų skirtumas. Potencialas Taškinio krūvio q0 lauke perkeliant q krūvį iš 1 taško į 2 tašką išilgai jėgų linijos (2.13.1. pav.) yra atliekamas darbas

+ q0 q

R2dRR 1

E E 1 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

0

1

012 R

kqR

kqqA .

2.13.1. pav.

Šį darbą atlieka elektrinės jėgos. Skliaustuose esanti išraiška priklauso tik nuo lauko šaltinio q0 ir nuo taškų 1 ir 2 padėties q0 atžvilgiu, todėl ji ir gali apibūdinti lauką.

Pažymėkime 212

0

1

0 R

kqR

kqϕϕ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− . Šis skirtumas yra vadinamas dviejų taškų potencialų skirtumu arba

įtampa tarp taškų 1 ir 2. Kokia ϕ1 - ϕ2 = U12 fizikinė prasmė? Dviejų taškų potencialų skirtumu vadiname fizikinį dydį, skaitine verte lygų darbui, perkeliant vienetinį teigiamą krūvį iš vieno taško į kitą

qA 12

21 =−ϕϕ .

Šis darbas atliekamas krūvio potencinės energijos sąskaita. Todėl potencialų skirtumą galima apibrėžti ir taip: dviejų taškų potencialų skirtumas yra fizikinis dydis, skaitine verte lygus vieneto dydžio teigiamo krūvio potencinių energijų skirtumui pereinant krūviui iš vieno taško į kitą. Jeigu darbą atlieka lauko elektrinės jėgos, tai :

ϕ1 - ϕ2 = Wp1 – Wp2 = - (Wp2 – Wp1) = ∆Wp. Jeigu darbą atlieka išorinės jėgos prieš elektrines jėgas, ϕ1 - ϕ2 = Wp2 – Wp1 = ∆Wp. Krūvio potencinė energija didėja.

Potencialų skirtumo matavimo vienetas [ ] ( )voltas V1C1J1

21 ==−ϕϕ .


BENDROJI FIZIKA. ELEKTRA IR MAGNETIZMAS. PASKAITŲ KONSPEKTAS 17 Tiriant elektriniame lauke mikrodalelių judėjimą, jų atkiekamas darbas arba su jomis atliekamas darbas (energija) matuojamas elektronvoltais (eV). 1eV darbas lygus darbui, kurį atlieka elektrono krūvio dydžio krūvis prabėgdamas 1 V potencialų skirtumą. 1 eV = 1,6⋅10-19 C⋅ 1V = 1,6⋅10-19 C. Jeigu kalbame apie 2 – jų taškų potencialų skirtumą, galime kalbėti ir apie taško potencialą.

q0 taškinio krūvio lauke R

kqR

kq

2

0

1

021 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−ϕϕ . Tačiau vieno taško potencialas nusakomas tik

konstantos tikslumu. const Rkq

1

01 +=ϕ ir const

Rkq

2

02 +=ϕ . Potencialų skirtumo išraiškoje konstantos

susiprastina. Taigi, taško potencialas nėra apibrežtas dydis. Jis apibrėžiamas tik konstantos tikslumu (iki pridėtinės konstantos). Taško potencialas yra nevienareikšmis. Jo išmatuoti negalime. Todėl yra beprasmiška klausti: “Koks yra taško potencialas”. Bet kuriame iš anksto pasirinktame taške galime potencialui priskirti bet kokią išanksto pasirinktą vertę. Tada visuose kituose taškuose potencialo vertė bus visiškai apibrėžta – vienareikšmė. Toks potencialo vertės apibrėžimo, priskiriant jam iš anksto pasirinktą vertę būdas vadinamas potencialo normavimu. Tyrinėjant elektrinius laukus arti Žemės paviršiaus, Žemės potencialas prilyginamas nuliui. Eksperimentiškai matuojamas potencialas Žemės potencialo atžvilgiu, t.y. matuojamas duoto kūno ir žemės potencialų skirtumas. Teoriškai nagrinėjant bendrus klausimus, kai krūviai yra baigtinėje erdvėje, paranku nuliniu laikyti nuo krūvio be galo nutolusių taškų potencialą. Tuomet taško potencialas ϕ1

∫∞

∞ ==1

1 dEq

Alsr

ϕ .

Taško potencialu vadiname fizikinį dydį skaitine verte lygų darbui, kurį atlieka elektrinės jėgos perkeldamos vienetinį teigiamą krūvį iš duoto taško į begalybę (už lauko ribų) arba vieneto dydžio teigiamo krūvio potencinei energijai tame taške

qW

p=ϕ .

Taškinio krūvio lauko potencialas:

Rkq Rd

Rkq

R2 == ∫

∞ rϕ .

Taškinių krūvių sistemos potencialas yra 1 ∑= 2i

i

Rq

k ϕ .

2.13. Potencialų skirtumo matavimas Potencialų skirtumas matuojamas ne voltmetru, o elektrometru, kurį sudaro metalinė dėžutė, kurios viduje yra stiebelis su rodykle. Taip schematiškai žymimas elektrometras (2.14.1a pav.). Kai matuojame potencialų skirtumą tarp įelektrintų kūnų, vieną kūną prijungiame prie elektrometro korpuso, o kitą prie jo stiebelio (2.14.1b pav.). ϕ1 ϕ2

a) c) b) 2.14.1 pav. Jei matuojame kūno potencialą Žemės atžvilgiu, tai korpusą įžeminame.


BENDROJI FIZIKA. ELEKTRA IR MAGNETIZMAS. PASKAITŲ KONSPEKTAS 18 Dujose potencialą Žemės atžvilgiu matuojame zondu, kurį sudaro vielutė ir liepsna, kuri pašalina indukuotus vielutėje krūvius (2.14.1c pav.). Liepsna sukuria neigiamus ir teigiamus krūvius (jonus), kurie kompensuoja indukuotus vielutėje krūvius, iškreipiančius matuojamą lauką. Elektrometro rodyklės atsilenkimas proporcingas elektrometro stiebelio ir korpuso potenciąlų skirtumui.

2.14. Ekvipotencialiniai paviršiai

Tai vienodo potencialo paviršiai. Taškinio krūvio ekvipotencialiniai paviršiai – koncentrinės sferos, kurių centre yra tas krūvis. Susitarta ekvipotencialinius paviršius braižyti taip, kad potencialų skirtumas tarp gretimų ekvipotencialinių paviršių būtų pastovus (2.15.1 pav.).

ϕ3ϕ2 ϕ1

ϕ1 - ϕ2 = ϕ2 -ϕ3 = ϕ3 -ϕ4 = const. Kur laukas stipresnis, ten potencialinių paviršių tankis didesnis. 2.15.1 pav.

Pavyzdžiui, nubraižykime kas 10 V ekvipotencialinius paviršius lauko, kurį sukuria krūvis q = 6,7⋅10-9 C (2.15.2. pav.).

+q

10 V

6

20 V 30 V

40 V50 V

1 2 3 4 5

R60

R107,6109

Rkq U

99

≈⋅⋅⋅

==−

R

Matome: kuo toliau nuo lauko šaltinio q, tuo ekvipotencialiniai paviršiai retėja labiau, nors tarp gretimų ekvipotencialinių paviršių išlieka pastovus potencialų skirtumas ∆ϕ = 10 V. 2.15.2. pav.

2.15. Jėgų linijų ir ekvipotencialinių paviršių tarpusavio orientacija Ekvipotencialiniame paviršiuje elektrinių jėgų darbas perkeliant krūvį q atstumu dl (2.16.1. pav.).

dA = q lrr

dE = q ∆ϕ. Čia ∆ϕ potencialų pokytis. Ekvipotencialiniame paviršiuje ∆ϕ = 0. Er

q Vadinasi q l

rrdE = 0; q≠ 0, todėl l

rrdE = 0.

α lr

Skaliarinė vektorių ir dEr

lr

sandauga lrr

dE = 0 d

nes lrr

dE =E dl cos α. E ≠ 0; dl ≠ 0, todėl cos α = 0; α =2π .

2.16.1. pav.

+q Elektrinis vektorius, taip pat ir jėgų linijos visada statmenos į ekvipotencialinius paviršius. Tai akivaizdu taškinio krūvio lauke(2.16.2. pav.). Ekvipotencialiniai paviršiai – sferos, o jėgų linijos tų sferų spinduliai.

2.16.2. pav. 2.16. Elektrinio lauko stiprio ir potencialo gradiento ryšys

Apskaičiuokime darbą, perkeliant krūvį q išilgai jėgų linijos nuo vieno ekvipotencialinio paviršiaus, tarp kurių yra ϕ1 - ϕ2 potencialų skirtumas, prie kito (2.17.1. pav.). Tegu atstumas tarp jų yra dl

dA = q E dl = q(ϕ1 - ϕ2) = q⋅(ϕ2 - ϕ1) = - q(ϕ2 - ϕ1).

lr

d Er

2

1

ϕ2

ϕ1

q

ϕ2 - ϕ1 yra potencialo pokytis d ϕ. qE dl = -q dϕ.

ldd- E ϕ

= .

lddϕ

vadinamas potencialo gradientu grad ϕ. 2.17.1. pav.


BENDROJI FIZIKA. ELEKTRA IR MAGNETIZMAS. PASKAITŲ KONSPEKTAS 19 Potencialo gradientu vadiname fizikinį dydį skaitine verte lygų potencialo kitimo greičiui erdvėje jo sparčiausio didėjimo kryptimi. Potencialas sparčiausiai kinta išilgai jėgų linijos. Jeigu jėgų linija nesutampa nei su viena koordinačių ašimi, tai gradientas išreiškiamas taip

grad ϕ kz

jy

ix

rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

=ϕϕϕ

.

Tuomet

( )kz

jy

ix

Errrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=ϕϕϕ

.

Galutinai: Er

= - grad ϕ = -∇ϕ

∇ - operatorius yra zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

.

grad ϕ - potencialo gradientas yra vektorius statmenas ekvipotencialiniam paviršiui (2.17.2. pav.). Ašis z statmena ekvipotencialiniam paviršiui, o xy plokštuma sutampa su ekvipotencialinio paviršiaus liestine plokštuma. Vektorius . n k

rr= z

0 yx=

∂∂

=∂∂ ϕϕ

nr

O y

n n

grad r

∂∂

=ϕϕ .

x 2.17.2. pav.

2.17.Laplaso ir Puasono lygtys Geriausias būdas lauko stipriui apskaičiuoti yra potencialo diferencialinės lygties sprendimas, nes potencialas yra skaliaras ir nesunkiai išmatuojamas.

Į lygtį 0

Edivερ

=r

įrašysime E = -gradϕ. Tada div grad ϕ 0

ερ

−= .

div grad ϕ = ϕϕϕϕ 22

2

2

2

2

2

zyx∇=

∂∂

+∂∂

+∂∂

.

∇2 – Laplaso operatorius yra antrųjų išvestinių Dekarto koordinačių atžvilgiu suma.

Taigi, ∇2 ϕ0

ερ

−= Puasono lygtis.

Tose erdvės srityse, kuriose nėra krūvių, jos išraiška yra ∇2 ϕ0

ερ

−= . Tai Laplaso lygtis.

Išsprendę Puasono lygtį, randame potencialą ϕ, o tada pagal formulę Er

= -gradϕ, apskaičiuojame lauko stiprį. Elektrinio lauko stiprio skaičiavimas naudojant potencialą yra lengvesnis už jo skaičiavimą pagal krūvių pasiskirstymą, nes potencialą lengviau rasti, negu E pagal krūvių išsidėstymą. Pavyzdžiui, raskime elektrinio lauko stiprį dipolio ašyje, naudojant potencialą.

- q + q

R -

R+

R 2l

2.18.1. pav.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=−=

−+

+

−+ RRRR

kq Rkq

Rkq -ϕ , A

22 Rpk

Rkq ==lϕ ,

3R2pk

R- E =∂∂

=ϕ

.

Pagal krūvių pasiskirstymą sprendimas buvo sudėtingesnis.


ELEKTROMAGNETINĖS SĄVEIKOS REIKŠMĖ -...

Documents

Transcript of ELEKTROMAGNETINĖS SĄVEIKOS REIKŠMĖ -...