Electromagnetismo Torpedo

7/28/2019 Electromagnetismo Torpedo

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Formulario Electromagnetismo

Elementos de Calculo III

Coordenadas cartesianas

x y = zy z = xz x = y

A = Ax x + Ay y + Az z

r = x x + y y + z z

dr = dx x + dy y + dz z

V = Vx

x +V

yy +

V

zz

A =

x y z

x

y

z

Ax Ay Az

A = Ax

x+

Ayy

+Azz

2V = 2V

x2+

2V

y2+

2V

y2

Coordenadas cilndricas

x = cos

y = sin

z = z

= cos x + sin y

= sin x + cos y = z z = z

= A = A + A + Az z

r = + z z

dr = d + d + dz z

V = V

+1

V

+

V

zz

A = 1

z

z

A A Az

A = 1

(A) +

1

A

+Azz

2V =

1

V

+

1

2

2V

2

+2V

z2


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Coordenadas esfericas

x = r sin cos

y = r sin sin

z = r cos

r = = r r =

A = Ar r + A + A

r = r r

dr = dr r + r d + r sin d

r = sin cos x + sin sin y + cos z

= cos cos x + cos sin y sin z =

sin x + cos y

V = Vr

r +1r

V

+1

r sin V

A = 1r2 sin

r r r sin

r

Ar rA r sin A

A = 1

r2

r

r2Ar

+

1

r sin

(sin A) +

1

r sin

A

2V = 1r2

r

r2

V

r

+

1

r2 sin

sin

V

+

1

r2 sin2

2V

2


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Elementos infinitesimales de Superficie, Volumen y Camino

crculo cilndro esferadS = d d dS = dz d dS = r2 sin dd

d = d dV = d d dz dV = r2 dr sin ddStotal = a

2 Smanto total = 2aL Stotal = 4a2

Vtotal = 2a2L Vtotal = 4/3a

3

dS

(a) Disco

dS

dV

(b) Cil ndro

dS

dV

(c) Esfera

Identidades vectoriales

A B = B AA B = B AA A = 0

A

B C

=

A B

CA

B C

=

A C

B

A B

C

Si A es paralelo a B entonces A B = 0Si A es perpendicular a B entonces A B = 0

() = + ( F) = F + F ( F) = () F + F

( A B) =

B

A

A

B + B

A

A

B

( A B) = B A

A

B

2 ( F) = ( F) 2 F


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() = 0 ( A) = 0


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Teoremas

Diferencial exacta

d = dr

BA

B

A

= BA

d = BA

dr

d = ddu (u) dr Si = (u) en que u = u(r) es un campo escalar

= ddu (u) Si = (u) en que u = u(r) es un campo escalar

Teorema de Stokes: Considera un camino ce-rrado que delimita una superficie orientada (segunregla de la mano derecha al recorrer el camino).

camino

A dr =

superficie

A

n dS

Teorema de la Divergencia: Considera unasuperficie cerrada que contiene un volumen

superficie

A n dS =

volumen

A dv

superficieA

dr

dr

A

dS

(d) Teorema de Stokes

dSA

A

(e) Teorema de la Divergencia

Fuerza Electrica y Campo Electrico

Fuerza Electrica

Fq1,q2 =Kq1 q2(r1r2)||r1r2||3

Ley de Coulomb: Fuerza sobre q1 debida a q2

K =1

40 9 109 [Nm2

/C2] Constante de fuerza0 =

14K = 8,85 1012 [C2/N/m2] permitividad dielectrica del vacio

e = 1,6 1019 [C] Quanto de CargaFq2,q1 = Fq2,q1 Principio de accion y reaccion

Fq0 = Fq0 ,q1 + Fq0,q2 + . . . + Fq0 ,qN Fuerza electrica total sobre q0


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Campo Electrico

E(r) = Fq0 (r)/q0 Campo electrico que siente carga de prueba q0F(r) = qE(r) Fuerza electrica que experimenta carga q en posicion rE(r) =

Ni=1

Kqi(rri)||rri||3

Campo en r por un sistema de cargas puntuales

Distribuciones continuas de carga

Densidades de Carga Elemento de carga asociado

Volumetrica: q(r) = lmv0

qv . dq

= q(r)dv

Lineal: (r) = lml0ql

. dq = (r)dl

Superficial: (r) = lms0qs . dq

= (r)ds

Campo Electrico generado por una distribucion contnua de carga

E(r) =

K dq(r r)||r r||3

Algunos casos particulares

Carga puntual q centrada en el origen. Campo en todo el espacio:

E =Kq

r2r (esfericas)

Carga puntual q centrada en posicion r0. Campo en todo el espacio:

E =Kq(r r0)||r r0||3

Cable recto a lo largo del eje z con densidad de carga lineal uniforme 0. Campo en todo elespacio:

E =2K0

Disco plano de radio a con eje azial coincidente con eje z y con densidad superficial uniforme0. Campo sobre su eje axial:

E(x = 0, y = 0, z) =

20 z|z|

z

z2 + a2

z

Plano infinito con densidad superficial uniforme 0 contenido en plano XY. Campo en todo elespacio:

E(x,y,z) =

20

z

|z| z


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Energia potencial y Potencial electrico

Fuerza electrica es conservativa (es decir satisface F = 0) luego existe campo scalar U tal que F = U.Por el teorema de Stokes

F dr = 0. La funcion U se denomina energia potencial electrica.

El Potencial Electrico V se define como

V = lmq0

U

q

en que q0 es la carga de prueba que experimenta la fuerza.

Se satisface

U = qV Energa Potencial ElectrostaticaU = qV

WBA =B

AF dr = BAU = qBAV

BAV =1q BAU = 1q WBA = 1q

BA

F dr = BA E drV(r) = V(r0)

r

r0E

dr por algun camino de r0 a r

V(r) =

Ni=1

Kqi||rri||

distribucion de cargas puntuales

V(r) =

K dq

||rr|| distribucion continua de cargas


Carga puntual q centrada en el origen. Potencial en todo el espacio:

V =Kq

r(esfericas)

Carga puntual q centrada en posicion r0. Potencial en todo el espacio:

V =Kq

||r r0||

Cable recto a lo largo del eje z con densidad de carga lineal uniforme 0. Potencial en todo elespacio:

V = V0 2K0 ln

0

donde V0 = V(0) es potencial de referencia

Disco plano de radio a con eje azial coincidente con eje z y con densidad superficial uniforme0. Potencial sobre su eje axial:

V(x = 0, y = 0, z) =

20|z| z2 + a2

Plano infinito con densidad superficial uniforme 0 contenido en plano XY. Potencial en todoel espacio:

V(x,y,z) = V0 20

|z|


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Expansion en serie de Taylor

f(x) = f(x0) +1

1! f(x)|x=x0 (x x0) +1

2! f(x)|x=x0 (x x0)2 +1

3! f(x)|x=x0 (x x0)3 + . . .

Algunas expansiones utiles para x 1

(1 + x)n = 1 + nx + 12n(n 1)x2 + . . .1 + x = (1 + x)1/2 = 1 + x/2 x2/8 + . . .

1/

1 + x = (1 + x)1/2 = 1 x/2 + 3x2/8 + . . .1/(

1 + x)3 = (1 + x)3/2 = 1 3x/2 + 15x2/8 + . . .

1/(1 x) = (1 x)1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .1/(1 + x) = (1 + x)1 = 1 x + x2 x3 + x4 + . . .

Dipolo electrico

Dos cargas con signos opuestos separadas por distanciaa pequena.

q

q

a

V(r, ) = Kqa cos r2 Potencial del dipolo en origen orientado segun kp = q a Momento dipolar

V = Kprr2 Campo de dipolo en origen, orientacio arbitraria

E = Kqar3

2cos r + sin

Campo de dipolo en origen orientado segun k

E = K3(pr)rpr3 Campo de dipolo en origen, orientacion arbitrariaF = 0 Fuerza sobre el dipolo por campo externo

= p E Torque sobre el dipolo por campo externo

Ley de Gauss o de la Divergencia del campo electrico

Flujo E del campo electrico sobre una superficie cerrada y orientada exteriormente es igual aQ0

(donde Qes la carga encerrada por el volumen definido por dicha superficie).

E E dS definicion de flujoQ dq= (r)dv = (r)dl = (r)dS carga encerrada

E dS = Q0 Ley de Gauss en forma integral E(r) = (r)0 Ley de Gauss en forma diferencial

(r) = 0 E Si conozco E puedo calcular densidad de carga


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Ecuacion de Poisson y Laplace

De la Ley de Gauss en forma diferencial y substituyendo E = V se obtiene la Ecuacion de Poisson parael potencial

2V = 0

(notar que si conozco el potencial puedo calcular la densidad de carga en cada punto r. Es decir (r) =02V(r)).En las regiones de densidad de carga nula se satisface la Ecuacion de Laplace:

2V = 0

que tiene solucion unica si se especifca el valor del potencial en el contorno o borde de la region donde estaecuacion tiene validez.

Materiales Conductores

En general metales. Cargas se mueven libremente. Fuerzas superficiales impiden que cargas escapen.

E = 0superf.

n

V = cte.

V = cte.

r( r )

E = 0conductor

F = 0 en conductor (equilibrio), luego E = 0 en conductorE = V = 0 en conductor, luego V = cte en conductor

Conductores son cuerpos equipotencialesE || n justo en exterior de la superficie E es a superficie conductora

Esup =0

n justo afuera de superficie conductora

= 0Esup n densidad en superficie conductora

TIERRA: material conductor a potencial cero.


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Condensadores

Sistema de dos conductores cargados con carga igual y contraria. Capacidad se define como

C QV

Condensador de placas planas. Area A separacion d entre placas:

A

d

C =A0

d

Condensador cilndrico. Radios interior a y exterior b y largo :

a

b

l

C =20

| ln(b/a)|

Condensador esferico de capas concentricas. Radios interior a y b:

a

b

C =40ba

|b a|


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Metodo de Imagenes

Se resuelve 2V = 0 via introducir cargas ficticias fuera de la region donde vale 2V = 0, con tal que lascargas ficticias reproduzcan el valor del potencial en la region donde se quiere conocer V.

Imagenes para casos particulares

Carga q a distancia d de plano conductor conectada a tierra:

+ + + + + + + + ++ + ++ +++ + ++ ++ ++

d

d

q

q

carga imagen

Carga q frente a esfera conductora de radio a conectada a tierra:

q q

d

d

aq = ad qd = a

2

d

Cable conductor delgado frente a tierra:

d

d

cable imagen

plano conductor


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Corriente Electrica

Densidades de corriente

Si las cargas se mueven con velocidad v:

densidad volumetrica de corriente J = qv.

densidad superficial de corriente K = v.

densidad lineal de corriente I = v.

Relacion entre corriente total I y densidad de corriente:

densidad volumetrica de corriente I =

J n dS.densidad superficial de corriente I =

K n d.

en ambos casos n se refiere a un vector unitario perpendicular a la superficie dS o al segmento de longitudd.

Ley de Ohm

Esta dada por: J = E. En que es la conductividad del medio. Establece que las corrientes se mueven enla direccion del campo.

Resistencia Electrica

Es una consecuencia de la ley de Ohm. Establece que a lo largo de un camino la caida de potencial esproporcional a la corriente que circula: V = R I. La resistencia R es la constante de proporcionalidad.

R = VI

= E drJ dS

Algunos ejemplos particulares

1. Resistencia de un cable recto de longitud y area A. Vale: R = A , en que =1 es la resistividad por

unidad de largo.

2. Resistencia de un cable coaxial de radio interior a, y radio exterior b, y largo total , en que la superficieexterior (conductora de radio b) esta a potencial V1 y la superficie interior (conductora de radio a)esta a potencial V2. Esta dada por: R =

2 ln

ba

Magnetostatica

Fuerza magnetica sobre una carga puntual q que se mueve con velocidad v

F = qv B


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Movimiento de una carga puntual en un campo B = B0z uniforme

Frecuencia de Larmor: w = qB0m

Radio de giro: R = vw =mvqB0

Fuerza magnetica sobre distribucion de corriente: F=d J B

Densidad lineal de corriente: d J = dq v = v d = I d, luego: F =

I B d, con I = v.Muchas veces conviene usar la combinacion: I d = Idr. Luego: F = I

dr B.

Densidad superficial de corriente: d J = dq v = v dS = K dS, luego: F =

K B dS, con K = v.

Densidad volumetrica de corriente: d J = dq v = qv dV = J dV, luego: F =

J B dV, con J = qv.

Torque magnetico sobre una distribucion de corriente: =r dF

Densidad lineal de corriente. Se tiene: dF =

I

B d luego: =

r (

I

B) d.

Muchas veces conviene usar la combinacion: I d = Idr. Luego: = I

r (dr B).

Densidad superficial de corriente. Se tiene: d F = K B dS luego: = r ( K B) dS.Densidad volumetrica de corriente. Se tiene: d F = J B dV luego: = r ( J B) dV.

Momento magnetico dipolar m

Espira cerrada de forma cualquiera: m = I12

r dr

Espira plana de area orientada A = A n. Se tiene: m = I A n.

Fuerza y Torque sobre espira cerrada en campo uniforme B0

Fuerza magnetica: F = 0

Torque magnetico: = m B0

Campo de induccion magnetica B(r) estatico

Permeabilidad magnetica del vaco: 0 = 4 107 [S.I.]Ley de Biot-Savart: B = 04

d J(rr )||rr ||3

Distribucion lineal de corriente d J = I d . Se tiene: B = 04I(rr ) d

||rr ||3

Distribucion superficial de corriente d J = K dS. Se tiene: B = 04 K(rr )dS

||rr ||3

Distribucion volumetrica de corriente d J = J dV . Se tiene: B = 04J(rr ) dV

||rr ||3


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1. Campo en todo el espacio de un cable recto infinito con corriente I = Iz.Esta dado por: B = 0I2 (cilndricas).

2. Campo sobre su eje axial, de un cable circular de radio a con corriente I = I.

Esta dado por:Beje =

0Ia2

2(z2+a2)2/3 (cilndricas).

3. Campo en torno a una distribucion superficial plana de corriente K.Esta dado por: B = 02

K n.El vector n corresponde a la normal exterior a la superficie en cada cara de la distribucion de corriente.

4. Campo de un solenoide orientado segun z y que lleva corriente superficial K = K. Esta dado por:

B =

0Kz en el interior del solenoide

0 afuera del solenoide

Ecuaciones de maxwell para los campos estaticos

E = q0

B = 0 E = 0 B = 0 J

Consecuencias: Potencial Electrico y Magnetico

De E = 0 sigue que existe V tal que E = V.De B = 0 sigue que existe A tal que B = A.

V(r) =1

40

dq

||r r ||A(r) =

04

d J

||r r ||

Ecuacion de Poisson para potencial magnetico vector A

2 A = 0 J

Vector potencial magnetico A y campo B asociado a una espira pequena, de momento magneti-

co m y que esta ubicada en el origen del sistema de coordenadas .

A =04

m rr3

B =04

(3m r)

r5r m

r3


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1. Medios materiales dielectricos y magneticos

1.1. Medios dielectricos

1.1.1. Dipolo (dos cargas q y q separadas en desplazamiento r)

1. Momento dipolar electrico: p = qr

2. Potencial electrico de dipolo en origen con orientacion arbitraria: Vdipolo =Kpr

r3

1.1.2. Polarizacion P

1. P dpdv (Polarizacion o momento dipolar electrico por unidad de volumen).2. pol. = P (Densidad volumetrica de carga de polarizacion).3. pol. = P n (Densidad superficial de carga de polarizacion).

1.1.3. Vector desplazamiento D

1. D = 0 E P2. D = libre (equivale a Ley de Gauss:

D dS = Qencerrada

libre).

1.1.4. Medio lineal, isotropo y homogeneo

1. P = E0 E (E es la susceptibilidad dielectrica del material)

2. = k = 1 + E (constante dielectrica del material)

3. D = E = r0 E (la constante se conoce como la permitividad dielectrical del material, r /0 laconstante relativa. A veces se anota k = ).

4. Condiciones de borde o frontera entre dos dielectricos de distinta constante:D2 n = D1 n + libre (componentes normales discontinuas)E2 t = E1 t (componentes tangenciales continuas)

1.2. Medios magneticos

1.3. Dipolo magnetico (loop de corriente con area A =r dr y corriente I)

1. Momento dipolar magnetico: m = I A

2. Vector potencial de dipolo magnetico en origen con orientacion arbitraria: Adipolo =04

mrr3

1.4. Magnetizacion M(r)

1. M d mdv (Magnetizacion o momento dipolar magnetico por unidad de volumen).2. Jmag. = M (Densidad volumetrica de corriente de magnetizacion).3. Kmag. = M n (Densidad superficial de corriente de magnetizacion).


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1.5. Vector campo magnetico H

1. H = 10B M

2. H = Jlibre (equivale a Ley circuital de Ampere:

H dr = Icruzalibre

).

1.6. Medio lineal, isotropo y homogeneo

1. M = M1

0B (M es la susceptibilidad magnetica del material)

2. 1r = 1 M3. H = 1

B = 1r0B (la constante es la permeabilidad magnetica del material, r /0 la constante

relativa.)

4. Condiciones de borde o frontera entre dos medios magneticos de distinta constante:

B2 n = B1 n (componentes normales continuas)H2 t = E1 t + Klibre (componentes tangenciales discontinuas)

2. Campos variables en el tiempo

2.1. Ley de Faraday-Lenz

Si hay flujo variable en el tiempo en una cierta superficie, se induce a lo largo del camino que delimita dichasuperficie una f.e.m. o caida de potencial = V que se relaciona con las variaciones del flujo magneticosobre la superficie que delimita dicho circuito (o camino). Se tiene:

= dBdt

donde B

(t)

B

dS y

E

dr. Las variaciones pueden ocurrir porque la superficie vara, el campovara o la orientacion de la superficie vara o cualquier emzcla de estas. la forma diferencial de esta ley es:

E = B

t

Circuito que se traslada. Una manera alternativa de calcular cuando el cable o circuito se traslada convelocidad v en cada punto, es:

= dBdt

=

(v B) dr

B

t dS

2.2. Corriente de desplazamiento

Para respetar la conservacion de carga en las ecuaciones de Maxwell se introduce un termino D

t (llamadocorriente de desplazamiento) en la expresion de la ley de Maxwell que corresponde a la ley circuital deAmpere:

B = 0( Jlibre + Dt

)

En medios no dielectricos se tiene JD Dt = 0 E

t .


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2.3. Resumen Ecuaciones de Maxwell en el vacio.

E = 10

q

E = B

t

B = 0 B = 0( J + 0

E

t)

mas la ecuacion de continuidad o conservacion de carga:

J = qt

3. Resumen Ecuaciones de Maxwell en medios materiales (linea-

les, isotropos y homogeneos).

Forma diferencial Forma integral

D = libreD dS = Qencerrada

libre

E = B

t

E dr = ddtB dS

B = 0

S1B dS =

S2B dS

H = Jlibre +Dt

H dr = Icruzalibre

en que:D = 0 E+ P = E

y

H=1

0B M=

1

B

mas la ecuacion de continuidad o conservacion de carga:

Jlibre = libre

t

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