ELASTOSTATIKA

U N I V E R Z I T E T S K A K N J I G A

ELASTOSTATIKA

I IZDANJE

Tehniki fakultet, Biha, 2003.

UNIVERZITET U BIHAU TEHNIKI FAKULTET BIHA

Autori : Prof. dr. Vlatko Doleek, dipl. ing. mainstva Prof. dr. Isak Karabegovi, dipl .ing. mainstva Prof. dr. Dunja Martinovi, dipl. ing. mainstva Prof. dr. Drago Blagojevi, dipl. ing. mainstva Prof. dr. Bogdan imun, dipl. ing. strojarstva Prof. dr. Duan Vukojevi, dipl. ing. mainstva Prof. dr. Dafer Kudumovi, dipl. ing. mainstva

Prof. dr. Nermina Uzunovi-Zaimovi, dipl. ing. mainstva Doc. dr. Izet Bijelonja, dipl. ing. mainstva

Recezenti: Prof. dr. Stjepan Jeci Prof. dr. Duan Mievi

Prof. dr. Muhamed Zlatar Urednik: Prof. dr. Vlatko Doleek, Prof. dr. Isak Karabegovi Lektor: dr. Rizo Dafi Korektor: Urednik Izdava: Tehniki fakultet Biha Tehnika obrada: Samir Voji, dipl.ing. Tira: 1000 primjeraka tampa: Grafiar Biha

Objavljivanje ovog univerzitetskog udbenika odobrilo je Nauno-nastavno vijee Tehnikog fakulteta Univerziteta u Bihau, broj 01-342 od 13.06.2003. i Nauno-nastavno vijee Univerziteta u Bihau, broj06-483/2003 od 25.06.2003 .

CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo

531.2 (075.8)

ELASTOSTATIKA / [Vlatko Doleek ... [et al.]. - Biha : Tehniki fakultet, 2003. 322 str. : Graf. Prikazi ; 23 cm

ISBN 9958 624 15 X 1. Doleek, Vlatko COBISS. BH ID 12190726

Na osnovu miljenja Federalnog ministarstva obrazovanja, nauke, kulture i sporta br. 04-15-2644/03 od 15.07.2003. godine ovo izdanje je u kategoriji proizvoda koji su osloboeni poreza na promet (Zakon o porezu na promet proizvoda i usluga, lan 18. taka 10 Slubene novine Federacije Bosne i Hercegovine, broj 49/02).

Pretampavanje i umnoavanje nije dozvoljeno

PREDGOVOR

Ideja za tampanje ovog relativno malog udbenika sa velikim brojem autora potekla je od profesora Isaka Karabegovia. Kasnije su je svi autori prihvatili i tako je nastao ovaj udbenik, kao zajedniki rad nastavnika koji su predavali ili predaju predmet koji se uobiajeno naziva Otpornost materijala ili Nauka o vrstoi. Opredjelili smo se za naziv Elastostatika iz razloga to se na mainskim fakultetima predaju predmeti: Statika, Kinematika, Dinamika i Mehanizmi koji predstavljaju grupu predmeta u kojima se izuava mehanika krutog tijela. Drugu grupu predmeta, koji se takoe izuavaju u okviru Katedre za mehaniku, ine predmeti u kojima se izuava mehanika elastinog tijela. To su predmeti: Otpornost materijala (vrstoa), Vibracije (oscilacije) i zbog toga nam se ini logino da se ovaj udbenik nazove Elastostatika u kojem se izuavaju problemi statikih uslova ravnotee elastinog tijela, za razliku od Elastodinamike, predmeta u kome se izuava dinamika elastinog tijela.

Da bi knjiga koju pie veliki broj autora imala karakter udbenika u kome svi njegovi dijelovi predstavljaju loginu cjelinu pobrinula se profesorica Dunja Martinovi. Ona je detaljno pregledala itavu knjigu i maksimalno usaglasila sva poglavlja koja su pisali razliiti autori. Dogovoreno je da svaki autor pie na jeziku na kome inae predaje na svom Fakultetu.

Zajedniki rad na ovom udbeniku treba da doprinese veoj mobilnosti studenata na bosansko-hercegovakim univerzitetima i istovremeno boljem povezivanju naunih radnika koji se bave istom ili slinom problematikom u svom profesionalnom radu. To treba da bude i osnova za budue savremenije zajednike projekte.

Materija udbenika Elastostatika I izloena je u devet poglavlja u kojima su obraena osnovna i sloena naprezanja vrstih, deformabilnih tijela, data je analiza napona i deformacija i uslovi dimenzionisanja. U svakom poglavlju uraeno je po nekoliko ilustrativnih primjera primjene izloene materije (ukupno 37) i dato je vie zadataka za samostalni rad (ukupno 77).

U prvom poglavlju (Uvod) date su definicije osnovnih veliina kojima se opisuje ponaanje napregnutog materijala, napona i deformacije, navedene su vrste naprezanja, tipovi nosaa i osnovne hipoteze vrstoe materijala.

U drugom poglavlju (Prostorno stanje napona), uz detaljno objanjenje pojmova napon i deformacija, izvedene su Navieove (Navier), Koijeve (Cauchy) i DiamelNojmanove (Duhamel-Neumann) jednaine.

U treem poglavlju (Ravno stanje napona) uz analizu napona i deformacija data je geometrijska interpretacija ravnog stanja napona pomou Morovog (Mohr) kruga.

U etvrtom i petom poglavlju (Aksijalno naprezanje i isto smicanje) obraeni su specijalni sluajevi ravnog stanja napona. Objanjeno je dimenzionisanje aksijalno optereenih tapova i veza optereenih na smicanje. Iz aksijalnog naprezanja obraeni su i statiki odreeni i statiki neodreeni problemi, a objanjen je i Sen-Venanov (Saint-Venant) princip.

esto poglavlje (Uvijanje) sadri uvijanje tapova krunoga poprenog presjeka, kao i tapova nekrunih poprenih presjeka. Obradjeni su statiki odreeni i statiki neodreeni problemi i dimenzioniranje tapova.

Sedmo poglavlje (Savijanje) obrauje isto savijanje i savijanje silama. Ovdje su obraeni samo statiki odreeni problemi i objanjeno je dimenzionisanje greda izloenih savijanju. Dat je i proraun veza kod ojaanja nosaa lamelama.

U osmom i devetom poglavlju obraeni su sluajevi sloenog naprezanja, tj. koso savijanje i ekscentrino zatezanje i pritisak. Objanjeno je dimenzioniranje nosaa i dobijanje jezgra presjeka kod ekscentrinog pritiska.

U svakom od ovih poglavlja izvedeni su izrazi za odreivanje deformacionog rada.

Ova knjiga ima Dodatak koji se sastoji iz dva dijela. U prvom dijelu, Geometrijske karakteristike ravnih povrina, obraeni su momenti inercije i dato je pet zadataka. U drugom dijelu, Eksperimentalno odreivanje zavisnosti napon-dilatacija, objanjen je dijagram , i uticaj vremena i vrste optereenja na izdrljivost materijala, i dati su stepeni sigurnosti.

Knjige Elastostatika I i Elastostatika II, ova druga e uskoro biti tampana, trebalo bi da omogue ovladavanje elementarnim pojmovima o naponima i deformacijama i metodama prorauna i dimenzionisanja elemenata konstrukcija.

Korisnicima udbenika Elastostatika I preoporuujemo Tablice iz nauke o vrstoi sa izvodima iz teorije, autora V.Raspodi i .Bogdan, Sveuilite Mostar, 2000. godina.

Pri savremenoj edukaciji inenjera sve vie se primjenjuje mehatroniki pristup, koji podrazumijeva da savremeno obrazovan mainski inenjer mora da posjeduje znanja iz mainstva, elektronike i kompjuterskih nauka. Imajui ovo u vidu kao i injenicu da se tehnoloki inovacioni ciklus smanjio na 3 do 5 godina, a da se fundamentalna znanja, a u koja spadaju i znanja koja su sadrana u ovom udbeniku, inoviraju u znatno duem vremenskom periodu, lako moemo zakljuiti od kolikog je znaaja za edukaciju inenjera, posebno mainskih, da uspjeno savladaju fundamentalne discipline ije e principe koristiti u toku cijelog svog radnog vijeka. Zato je za svakog inenjera od posebnog znaaja da ovlada pojmovima i metodama fundamentalnih disciplina. Autori ovog udbenika nadaju se da e im u tome i ovaj udbenik pomoi.

Dugujemo posebnu zahvalnost svim onim koji su svojim sugestijama i prijedlozima doprinijeli da ovaj udbenik ugleda svijetlo dana. ini nam prijatnu dunost da se zahvalimo profesorima dr.sci. Stjepanu Jeciu, Sveuilite u Zagrebu; dr.sci. Duanu Mieviu, Univerzitet u Beogradu i dr.sci. Muhamedu Zlataru, Univerzitet u Sarajevu za trud uloen pri recenziranju ove knjige. Zahvalni smo i asistentu Samiru Vojiu na kompjuterskoj obradi teksta.

Sarajevo, 1. maj 2003. g.

Vlatko DOLEEK

1 UVOD (V. Doleek, D. Martinovi) ........................................................ 1 1.1. Vrste optereenja ........................................................................................ 2 1.2. Napon/naprezanje ....................................................................................... 3 1.3. Deformacija ................................................................................................ 5 1.4. Fizikalne osobine materijala ...................................................................... 6 1.5. Definicija presjenih sila ............................................................................ 7 1.5.1. Konvencija o predznaku presjenih sila ..................................................... 8 1.5.2. Veza izmeu presjenih sila i vanjskog optereenja .................................. 10 1.6. Veza izmeu napona i deformacije ............................................................ 11 1.7. Osnovne vrste naprezanja .......................................................................... 11 1.8. Tipovi noseih elemenata ........................................................................... 12 1.9. Osnovne pretpostavke (hipoteze) ............................................................... 14

2

PROSTORNO STANJE NAPONA (D. Martinovi) ............................

15 2.1. Analiza napona ........................................................................................... 15 2.2. Navieove (Navier) jednaine ravnotee ..................................................... 18 2.3. Koijeve (Cauchy) naponske jednaine ..................................................... 21 2.4. Glavni naponi ............................................................................................. 23 2.5. Geometrijska interpretacija prostornog naponskog stanja ......................... 27 2.6. Analiza deformacije ................................................................................... 29 2.7. Glavne dilatacije ........................................................................................ 33 2.8. Veza izmeu napona i deformacije ............................................................ 34 2.9. Specijalni sluajevi prostornog stanja napona ........................................... 39 2.10. Diamel-Nojmanove (Duhamel-Neumann) jednaine ................................ 40 2.11. Deformacioni rad ....................................................................................... 42 2.12. Primjeri i zadaci ......................................................................................... 46

3

RAVNO STANJE NAPONA (V. Doleek) ............................................

61 3.1. Naponi u kosom presjeku ........................................................................... 63 3.2. Glavni naponi ............................................................................................. 64 3.3. Morov (Mohr) krug napona ....................................................................... 66 3.4. Specijalni sluajevi ravnog stanja napona ................................................. 70 3.4.1. Element izloen dejstvu napona samo u pravcu jedne ose ........................ 70 3.4.2. Element izloen dejstvu samo smiuih napona ........................................ 70 3.4.3. Element izloen dvoosnom naprezanju, ali nema dejstva smiuih

napona ........................................................................................................

71 3.5. Veza izmeu napona i deformacije ............................................................ 72 3.6. Deformacioni rad ....................................................................................... 74 3.7. Primjeri i zadaci ........................................................................................ 74

4

AKSIJALNO NAPREZANJE (I. Karabegovi) ...................................

89 4.1. Naponi i deformacije aksijalno napregnutog tapa .................................... 90

Sadraj

4.2. Veza izmeu napona i deformacije ............................................................ 92 4.2.1. Statiki odreeni problemi ......................................................................... 93 4.2.2. Statiki neodreeni problemi ..................................................................... 95 4.2.2.1 tapovi serijski vezani ............................................................................... 95 4.2.2.2 Zglobno vezani tapovi .............................................................................. 96 4.2.2.3 Sistem od deformabilnih tapova i krute grede .......................................... 98 4.2.3. Dimenzionisanje aksijalno optereenih tapova ........................................ 99 4.3. Utjecaj temperature na pojavu deformacija ............................................... 100 4.4. Naponi i deformacije tapa optereenog sopstvenom teinom .................. 102 4.5. tapovi idealnog oblika .............................................................................. 104 4.6. tapovi stepenasto promjenljivog poprenog presjeka .............................. 106 4.7. Naponi u kosom presjeku tapa ................................................................. 108 4.8. Morov (Mohr) krug napona ....................................................................... 110 4.9. Raspored napona i deformacija pod djelovanjem aksijalnog optereenja i

Sen-Venanov (Saint-Venant) princip .........................................................

111 4.10. Deformacioni rad ...................................................................................... 114 4.11. Primjeri i zadaci ......................................................................................... 116

5

ISTO SMICANJE (D. Vukojevi) .......................................................

129 5.1. Veza izmeu napona i deformacija ............................................................ 129 5.1.1. Naponi u kosom presjeku i glavni naponi .................................................. 130 5.1.2. Morov krug napona .................................................................................... 132 5.2. Veza izmeu modula elastinosti i modula klizanja .................................. 133 5.3. Deformacioni rad ...................................................................................... 136 5.4. Primjena teorije istog smicanja u tehnikoj praksi ................................... 137 5.4.1. Zakovane veze ............................................................................................ 138 5.4.2. Zavarene veze ............................................................................................ 139 5.5. Primjeri i zadaci ......................................................................................... 140

6

UVIJANJE (TORZIJA) (. Bogdan, D. Martinovi) ...........................

153 6.1. Popreni presjeci nosaa. Vrste uvijanja ................................................... 154 6.2. Uvijanje tapa krunoga poprenog presjeka ............................................. 154 6.2.1. Naprezanja i deformacije ........................................................................... 155 6.2.2. Statiki neodreeni problemi ..................................................................... 159 6.2.2.1. tap obostrano ukljeten i optereen momentom uvijanja ......................... 159 6.2.2.2. tap sastavljen od cijevi i osovine od razliitih materijala optereen

momentom uvijanja ...................................................................................

160 6.2.3. Glavna naprezanja ..................................................................................... 161 6.2.4. Dimenzioniranje ......................................................................................... 162 6.2.5. Laka transmisiona vratila ........................................................................... 164 6.2.6. Torzione opruge ......................................................................................... 165 6.2.7. Deformacioni rad ....................................................................................... 167 6.3. Uvijanje tapova nekrunih poprenih presjeka ........................................ 168 6.3.1. Uvijanje prizmatinih tapova punog poprenog presjeka ........................ 168 6.3.2. Uvijanje tankostijenih tapova ................................................................... 169 6.3.2.1. Uvijanje tankostijenih tapova otvorenog presjeka ................................... 170 6.3.2.2. Uvijanje tankostijenih tapova zatvorenog presjeka ................................. 172 6.4. Primjeri i zadaci ......................................................................................... 175

7

SAVIJANJE (D. Blagojevi) ..................................................................

189 7.1. isto savijanje ............................................................................................ 190 7.2. Savijanje silama ......................................................................................... 194 7.2.1. Normalni napon pri savijanju silama ......................................................... 197 7.2.2. Smiui naponi kod savijanja silama ......................................................... 199 7.2.2.1. Napon smicanja za gredu pravougaonog poprenog presjeka ................... 202 7.2.2.2. Napon smicanja za gredu krunog poprenog presjeka ............................ 203 7.2.3. Smiui naponi kod greda tankozidnih poprenih presjeka ....................... 204 7.3. Glavni naponi pri savijanju grede .............................................................. 208 7.4. Dimenzionisanje nosaa optereenih na savijanje ..................................... 210 7.5. Izbor oblika poprenog presjeka nosaa .................................................... 211 7.6. Nosai idealnog oblika ............................................................................... 212 7.7. Ojaanje nosaa lamelama ......................................................................... 216 7.7.1. Veza izmeu lamela i osnovnog nosaa pomou zakivaka ....................... 217 7.7.2. Veza izmeu lamela i osnovnog nosaa izvedena zavarivanjem ............... 218 7.7.3. Proraun modanika sloene grede ............................................................ 219 7.8. Deformacioni rad ....................................................................................... 221 7.9. Primjeri i zadaci ......................................................................................... 223

8

KOSO SAVIJANJE (D. Kudumovi) ...................................................

241 8.1. Normalno naprezanje kod kosog savijanja ................................................ 242 8.2. Savijanje grede silama koje ne lee u istoj ravnini .................................... 247 8.3. Dimenzioniranje nosaa na osnovi dozvoljenog naprezanja .................... 248 8.4. Deformacioni rad kod istog kosog savijanja ............................................ 250 8.5. Primjeri i zadaci ......................................................................................... 250

9

EKSCENTRINO ZATEZANJE I PRITISAK (I. Bijelonja) ...........

261 9.1. Naponi u sluaju ekscentrinog zatezanja i pritiska .................................. 262 9.2. Jezgro presjeka ........................................................................................... 274 9.3. Zadaci ......................................................................................................... 281

DODATAK DI (N. Zaimovi-Uzunovi, I. Bijelonja) ...........................

285 D1.1 Statiki moment povrine .......................................................................... 286 D1.2 Momenti inercije ........................................................................................ 290 D1.3 Promjena momenata inercije povrine s translacijom koordinatnog

sistema (tajnerova (Steiner) teorema) ......................................................

295 D1.4 Promjena momenata inercije povrine s rotacijom koordinatnog sistema . 299 D1.5 Glavni momenti inercije povrine .............................................................. 301 D1.6 Poluprenici inercije .................................................................................. 306 D1.7 Zadaci ......................................................................................................... 307

DODATAK DII (N. Zaimovi-Uzunovi) ..............................................

311 D2.1 Dijagram napon dilatacija ....................................................................... 311 D2.2 Uticaj vremena na ponaanje tijela pod optereenjem ............................... 316 D2.3 Uticaj vrste optereenja na izdrljivost materijala ..................................... 319 D2.4 Stepen sigurnosti ........................................................................................ 320 Literatura Simboli

1

Vlatko Doleek, Mainski fakultet Sarajevo Dunja Martinovi, Mainski fakultet Sarajevo

Pri izvoenju neke konstrukcije ili njenih dijelova, i to u fazi projektovanja, moraju se odrediti dimenzije te konstrukcije, odnosno njenih dijelova. Dimenzije moraju biti takve da konstrukcija, odnosno svaki njen dio moe izdrati predvieno optereenje, a da pri tome ne doe do promjene oblika i dimenzija preko odreene granice, kada bi ti dijelovi, odnosno konstrukcija u cjelini postala neupotrebljiva. Ovo treba biti zadovoljeno, ali ne na raun enormnog poveanja dimenzija konstrukcije, ve pronalaenjem povoljnog oblika i takvih dimenzija konstrukcije da utroak materijala bude to manji. Da bi se ovi zahtjevi mogli ispuniti treba znati ta se deava u materijalu pod dejstvom vanjskog mehanikog optereenja i/ili toplote.

Pod dejstvom vanjskog optereenja tijelo mijenja svoj oblik i zapreminu. Da bi se opisale promjene oblika i zapremine kao i promjena meumolekularnih sila unutar tijela uvode se pojmovi deformacija i napon.

Deformacija moe biti linijska i ugaona. Linijska deformacija (dilatacija ) je relativna

promjena duine koja karakterie promjenu zapremine, a ugaona deformacija (klizanje) karakterie promjenu oblika tijela.

Napon predstavlja unutranju silu podijeljenu povrinom na kojoj djeluje.

Ova veoma kompleksna problematika, da konstruktivni elementi treba da budu izvedeni tako da zadovolje unaprijed postavljene kriterije, a to su osiguranje vrstoe, krutosti, funkcionalnosti, sigurnosti u eksploataciji i drugo se izuava u Mehanici deformabilnog tijela.

Uvod

2

Mehanika deformabilnog tijela je grana Matematike fizike. U njoj se uspostavljaju odnosi izmeu vanjskog optereenja, unutarnjih sila, napona, deformacija, oblika, dimenzija i mehanikih osobina vrstog tijela. Ona je veoma iroka nauna oblast i moe se podijeliti na vie podoblasti uvoenjem odreenih pretpostavki, prvenstveno o ponaanju materijala pod dejstvom vanjskog optereenja.

U ovoj knjizi, koja predstavlja uvod u mehaniku deformabilnog tijela, uvedene predpostavke omoguuju da se doe do izraza pogodnih za praktinu, inenjersku primjenu. Te pretpostavke se odnose na karakteristike materijala, njegovo ponaanje pod dejstvom vanjskog optereenja, na deformisanje tijela i raspodjelu napona po presjeku vrstog tijela. to su uvedene pretpostavke, pri rjeavanju problema, blie stvarnosti to su rjeenja obraivanog problema blia tanom rjeenju.

Moe se rei da je cilj uvodnog dijela Mehanike deformabilnog tijela, Elastostatike, da prui relativno jednostavne izraze za praktinu primjenu kod odreivanja:

- dimenzija konstruktivnog elementa, koji treba sigurno da izdri predvieno optereenje;

- napona, koji pri zadatom optereenju i poprenom presjeku moraju biti manji od unaprijed propisanog napona;

- deformacija, koje moraju biti u dozvoljenim granicama;

- stabilnosti, tj. element treba da zadri prvobitni oblik elastine ravnotee.

Iz naprijed navedenog je jasno da se u Mehanici deformabilnog tijela obrauju metode za proraun vrstoe, krutosti i elastine stabilnosti dijelova konstrukcije. Ovdje su date definicije pomenutih pojmova: vrstoe, krutosti, elastine stabilnosti konstrukcije.

vrstoa konstrukcije je sposobnost prenoenja odreenog optereenja bez loma, trajnih

plastinih deformacija ili oteenja (pukotina).

Krutost konstrukcije je otpornost konstrukcije prema deformisanju.

Elastina stabilnost konstrukcije je sposobnost konstrukcije da zadri poetni ravnoteni

oblik pri dejstvu vanjskog optereenja.

1.1. Vrste optereenja

Vanjske sile, koje djeluju na tijelo i uzrokuju njegovu deformaciju, mogu biti zapreminske i povrinske.

Zapreminske sile djeluju na sve take tijela i proporcionalne su masi tijela. U ove sile

spadaju, naprimjer teina tijela i sila inercije.

3

Povrinske sile djeluju samo na vanjske (povrinske) take tijela i ne zavise o masi tijela.

Takve sile su, naprimjer pritisak gasa u rezervoaru, pritisak vjetra i meusobni pritisak tijela pri dodiru.

Povrinsko optereenje moe biti ravnomjerno ili neravnomjerno podijeljeno optereenje i koncentrisano optereenje. Pod koncentrisanim optereenjem se podrazumijeva koncentrisana sila i koncentrisani moment. Iako je naziv koncentrisano optereenje, ono ne djeluje u taki, ve na povrini veoma malih dimenzija.

U povrinske sile spadaju i reakcije veza, kojima se daje utjecaj susjednih elemenata, koji su vezani za obraivani konstruktivni element.

Unutarnje sile su sile veza estica iz kojih se sastoji materijal. Ako na materijal ne djeluju

vanjske sile, javlja se neutralno naponsko stanje i pretpostavlja se da nema unutarnjih sila. Kada djeluju vanjske sile, u tijelu se javljaju unutarnje sile i ono se deformie, mijenjaju mu se zapremina i/ili oblik dok se ne uravnotee vanjske i unutarnje sile. Takvo stanje tijela zove se napregnuto stanje tijela.

1.2. Napon/naprezanje

Pretpotavlja se da je neko tijelo optereeno sistemom vanjskih sila, koje se nalaze u stanju ravnotee (slika 1.1a).

F1

F2

F3

F4

F5F6

F1Fn

F1 F2

FiAi

F2

Slika 1.1. Optereeno tijelo u stanju ravnotee

Ako se ovo tijelo presijee s ravni , na presjenoj povrini e se javiti unutarnje sile, koje su vanjske sile za odsjeeni dio i one predstavljaju utjecaj uklonjenog dijela na posmatrani dio (slika 1.1b). Poto se tijelo nalazilo u stanju ravnotee pod dejstvom vanjskih sila, bie i svaki njegov dio u ravnotei pod dejstvom vanjskih i unutarnjih sila, koje djeluju na mjestu presjeka. Dakle, na presjenoj povrini rezultanta unutarnjih sila jednaka je po intenzitetu, pravcu i smjeru rezultanti vanjskih sila koje napadaju odsjeeni dio tijela.

a) b)

4

Presjena povrina napregnutog tijela se moe podijeliti na elementarne povrine Ai, a na svakoj elementarnoj povrini djeluje elementarna unutarnja sila iF

. Kolinik iF

/Ai

predstavlja srednje naprezanje. Granina vrijednost ovog izraza je vektor ukupnog napona, tj.:

pdAFd

AF

i

iAi

==

0lim . (1.1)

Sila Fd

i vektor napona p u nekoj taki T, u optem sluaju, nisu okomiti na popreni presjek, ve s vanjskom normalom n na tom presjeku ine ugao (slika 1.2.).

Vektor napona se uobiajeno pie np

, jer se razlikuje od take do take poprenog presjeka, a indeks n pokazuje da u jednoj odreenoj taki zavisi od orijentacije ravni, odreene vektorom n

, koja je postavljena kroz tu taku.

Stanje napona

u nekoj taki odreeno je skupom svih vektora napona za sve ravni koje

prolaze kroz tu taku. Meutim, za potpuno poznavanje naponskog stanja u odreenoj taki tijela dovoljno je znati komponente napona za tri meusobno normalne ravni. Za napon se moe rei da predstavlja mjeru napregnutog stanja tijela. Uobiajeno je da se vektor napona razloi na dvije komponente, jednu u pravcu normale na ravan presjeka normalni napon n i drugu u presjenoj (tangencijalnoj) ravni smiui ili tangencijalni napon n, tj.:

nnnp

+= . (1.2)

Slika 1.2. Razlaganje vektora napona na normalni i smiui

Normalnim naponom tijelo se opire meusobnom pribliavanju ili udaljavanju svojih estica, a smiuim naponom tijelo se opire klizanju jednog sloja estica po drugom.

5

Normalni napon moe biti napon zatezanja ili pritiska. Pod dejstvom zateueg napona estice tijela se udaljavaju (slika 1.3.a), a pod dejstvom pritiskujueg napona estice tijela se pribliavaju (slika 1.3.b).

a) b)

Slika 1.3. Dejstvo normalnog napona a) zateueg, b) pritiskujueg

Smjer djelovanja smiueg napona nema fizikalno znaenje kod izotropnih materijala, tj. materijala koji imaju iste fizikalne osobine u svim pravcima.

Prema definiciji napona on se moe dimenzijski izraziti kao [F/L2], gdje je [F] dimenzija za silu, a [L] dimenzija za duinu. Poto su u SI sistemu jedinica za silu 1N, a za duinu 1m, to je osnovna jedinica za napon Paskal (Pascal-Pa), tj.:

211 mNPa = .

1.3. Deformacija

Deformacija tijela nastaje kao posljedica dejstva mehanikog i/ili toplotnog optereenja. Moe se rei da je deformacija mjera deformisanosti tijela. Tijelo mijenja oblik i/ili dimenzije (slika 1.4.a.).

Deformacija se izraava veliinama koje daju neposredan uvid u deformaciju tijela u okolini neke take, a to su duinska deformacija dilatacija i ugaona deformacija klizanje.

Da bi se odredila dilatacija, unutar tijela zapremine V, uoe se dvije take A i B prije dejstva optereenja. Njihovo rastojanje je l. Nakon dejstva optereenja ove take prelaze u nove poloaje A i B, a rastojanje je l + l (slika 1.4b), gdje je l izduenje.

F

F

F

F

6

nedeformisano tijelo

deformisano tijelo

l

l+ lA

A'

B'

Bpi/2

pi /2-

AA'O

O'B

B'

Slika 1.4. a) Deformacija tijela; b) Duinska deformacija; c) Ugaona deformacija

Dilatacija ili duinska deformacija se dobija iz:

ll

l

=

0lim . (1.3)

Dilataciju uzrokuju normalni naponi. Ona karakterizira promjenu zapremine, odnosno duine.

Da bi se odredilo klizanje, unutar tijela se uoe tri take A, O, B, tako da je AOB pravi ugao prije dejstva optereenja. Nakon dejstva optereenja dolazi do pomjeranja taaka i njihov novi poloaj je A 0 B, a ugao se mijenja za veliinu , koja predstavlja klizanje (slika 1.4.c). Ugaona deformacija ili klizanje jednako je:

( )''0'0lim00

21

BABAll

=

. (1.4)

Klizanje uzrokuju smiui naponi. Ono karakterizira promjenu oblika tijela.

Poto se kroz bilo koju taku tijela moe postaviti beskonano mnogo pravaca i ravni, taj skup svih vrijednosti dilatacija i klizanja zove se stanje deformacije u taki. Meutim, za potpuno poznavanje stanja deformacije u odreenoj taki tijela dovoljno je znati dilatacije i klizanja za tri meusobno normalna pravca i tri meusobno normalne ravni.

Deformacija tijela, openito, zavisi od fizikalnih karakteristika materijala, vrste optereenja i geometrijskih karakteristika tijela. O vrstama optereenja je ve bilo govora, o geometrijskim karakteristikama tijela bie rijei kasnije, u dodatku ove knjige, a ovdje e biti rijei o fizikalnim osobinama materijala.

1.4. Fizikalne osobine materijala

Deformacije materijala mogu biti elastine ili neelastine. Ako su deformacije takve da, po prestanku dejstva vanjskog optereenja unutarnje sile vraaju tijelo u prvobitne dimenzije i prvobitni oblik, radi se o elastinim deformacijama.

a) b) c)

l1

l2

1F

2F 3F

nF

iF

7

Ako nije tako, to su neelastine deformacije. Na osnovu toga moe se definisati elastino tijelo.

Elastino tijelo je tijelo koje se pod optereenjem deformie, a nakon rastereenja se

ponovo vraa u prvobitno stanje. Materijali imaju osobinu elastinosti do odreene granice koja je razliita za razliite materijale.

Materijal je homogen ako ima jednoliku strukturu u svim takama zapremine koju tijelo obuhvata, u protivnom je nehomogen.

Materijal je izotropan ako ima iste fizikalne osobine u svim pravcima. Ako nije tako, ako su fizikalne osobine materijala razliite u razliitim pravcima, materijal je anizotropan. Naprimjer, elik spada u izotropne materijale, ako se u razmatranje uzimaju dijelovi vei od samih kristala, a drvo spada u anizotropne materijale, jer ima razliite fizikalne osobine u tri meusobno okomita pravca.

1.5. Definicija presjenih sila

U proizvoljnom poprenom presjeku napregnutog tijela, koji je normalan na podunu osu (slika 1.5a), redukcijom svih unutarnjih sila na teite presjeka dobija se jedna rezultujua sila i jedan rezultujui moment. To je glavni vektor svih sila, R

, i glavni moment svih

sila, M

. Oni predstavljaju utjecaj uklonjenog dijela na posmatrani dio i zajedno sa vanjskim silama, koje djeluju na taj dio i reakcijama veza ine sistem koji je u stanju ravnotee.

a) b) Slika 1.5. Presjene sile u poprenom presjeku optereenog nosaa

Glavni vektor i glavni moment mogu se razloiti na komponente u pravcu x, y, z osa Dekartovog (Descartes) pravouglog koordinatnog sistema (slika 1.5.b). Usvojeno je da z osa bude poduna osa nosaa:

.

,

kMjMiMMkFjFiFR

zyx

zyx

++=

++= (1.5)

1F

1F

2F

3F

4F

2F

3F

4FM

xM

yM

zMxF

yF

zF

R

8

U izrazima (1.5.) kji

,, su ort vektori u pravcu osa x, y, z. Sile Fx i Fy su transverzalne ili poprene sile, a Fz je aksijalna ili poduna sila.

Momenti Mx i My su momenti savijanja, a Mz je moment uvijanja.

Svaka od gore navedenih presjenih sila jednaka je zbiru svih sila, odnosno momenata vanjskih sila, ukljuujui i reakcije veza s lijeve ili s desne strane od uoenog poprenog presjeka.

Za stanje ravnotee vrstih tijela vrijede opti uslovi ravnotee iz Statike krutih tijela. To znai da glavni vektor i glavni moment za bilo koju taku moraju biti jednaki nuli, tj:

0,0 == oMR

. (1.6)

Iz dvije vektorske jednaine ravnotee (1.6.) slijedi est skalarnih jednaina ako je problem prostorni. One se mogu pisati u odnosu na prvobitni nedeformisani oblik, jer se razmatraju samo sluajevi malih deformacija. Te jednaine su:

,0,0,0

,0,0,0

===

===

zii

yii

xii

zii

yii

xii

MMM

FFF (1.7)

odnosno, suma svih sila u pravcu x, y, z ose jednaka je nuli i suma momenata za x, y, z ose jednaka je nuli.

1.5.1. Konvencija o predznaku presjenih sila

Predznak presjenih sila, prema usvojenoj konvenciji o predznaku presjenih sila, odreuje se na sljedei nain. Presjene sile na povrini poprenog presjeka ija se normala poklapa s pozitivnim smjerom z ose su pozitivne ako djeluju u smjeru koordinatnih osa (slika 1.6a), a znak momenta se odreuje po pravilu desnog vijka ili momenti savijanja su pozitivni ako djeluju tako da isteu donja vlakna, odnosno isteu vlakna na zadnjoj povrini nosaa, a moment uvijanja je pozitivan ako njegov vektor zatee presjenu povrinu (slika 1.6.c):

Ako je vanjska normala na povrinu poprenog presjeka u smjeru negativne z ose, tada su presjene sile pozitivne ako djeluju u negativnom smjeru koordinatnih osa. Na slici 1.6b i 1.6d prikazane su negativne komponente presjenih sila.

9

Slika 1.6. Odreivanje znaka presjenih (unutarnjih) sila

Kod ravanskih problema, kod kojih sve vanjske i unutarnje sile lee u y z ravni, javljaju se tri presjene sile. Te presjene sile sa svojim znakom, za lijevi i za desni dio nosaa, prikazane su na slici 1.7. Prema usvojenoj konvenciji o znaku presjene sile aksijalna sila na slici 1.7. je negativna, a transverzalna sila i moment savijanja su pozitivni. Presjene sile se odreuju iz statikih uslova ravnotee koji se primjenjuju na jedan od dva odsjeena dijela. Za crtanje dijagrama presjenih sila, presjene sile treba nai u veem broju presjeka, a prvenstveno u onim u kojima dolazi do nagle promjene odreene presjene sile.

Slika 1.7. Presjene sile za lijevi i desni dio nosaa

a) b)

d) c)

xF

xF

xF

xF

yF

yF

yF

yF

zF

zF

zF

zF

zM

zM

zM

zM

xM

xM

xM

xM

yM

yM

yM

yM

10

1.5.2. Veza izmeu presjenih sila i vanjskog optereenja

Presjene sile se mogu odrediti i iz zavisnosti koja postoji izmeu presjene sile i vanjskog optereenja. Da bi se ta zavisnost dobila posmatra se nosa koji je kontinualno optereen i isjee se dio duine dz (slika 1.8.) Posmatra se ravnotea isjeenog dijela, kod koga su popreni presjeci na maloj udaljenosti. Poto se presjene sile mijenjaju od presjeka do presjeka, javlja se prirataj presjenih sila u desnom presjeku, te one iznose Ft(z+dz) = Ft + dFt i M(z+dz) = M+dM.

Slika 1.8. Ravnotea elementa nosaa optereenog u ravni yz

Statiki uslovi ravnotee daju sljedee zavisnosti:

),(

,0)(,0

zqdzdF

dFFdzzqFF

t

ttti

zi

=

=+++= (1.8)

,

,02

)(,0

t

ti

iA

Fdz

dM

dMMdzdzzqdzFMM

=

=+++= (1.9)

jer se veliina drugog reda 2

)(2dz

zq moe zanemariti.

Diferencijalna veza izmeu presjenih sila i vanjskog optereenja je:

)(22

zqdzdF

dzMd t

== . (1.10)

11

1.6. Veza izmeu napona i deformacije

Vezu izmeu napona i deformacije za idealno elastine materijale prvi je postavio i eksperimentalno potvrdio Robert Huk (Robert Hooke). On je normirane ipke (epruvete) opteretio aksijalnom silom i mjerio je promjenu njihove duine, apsolutnu deformaciju l, s promjenom aksijalne sile F (opirnije u dodatku Eksperimentalno odreivanje zavisnosti napon dilatacija). Iz ovih podataka dobijena je promjena napona

AF

= (A je povrina

poprenog presjeka ipke) s promjenom relativne deformacije, dilatacije ll

= (l je

poetna duina ipke). Koritenjem dobijenih, eksperimentalnih, podataka za odreeni materijal nacrtan je dijagram , (napon dilatacija), koji je prikazan na slici 1.9. Taka E je granica elastinosti i izmeu O i E materijal ima elastine osobine. Taka P je granica proporcionalnosti

i izmeu O i P postoji proporcionalnost izmeu napona i dilatacije, tj.:

E= , (1.11)

gdje je E modul elastinosti, Jangov (Young) modul. Na slici 1.9. se vidi da je E = tg = const. u podruju linearne elastinosti. Modul elastinosti je fizikalna karakteristika materijala, a mjerna jedinica je Pa.

0

EP

Slika 1.9. Dijagram napon dilatacija za odreeni materijal

1.7. Osnovne vrste naprezanja

Osnovne vrste naprezanja nastaju kada se u poprenom presjeku javlja samo jedna presjena sila (slika 1.10.):

12

a)

b)

c)

d)

e)

aksijalnooptere enje

uvijanje

izvijanje

FF

smicanje

savijanjeM

M

M

FF

M F

F

Slika 1.10. Osnovne vrste naprezanja

Ta naprezanja su:

- aksijalno naprezanje javlja se samo aksijalna sila;

- smicanje javlja se samo poprena, transverzalna sila;

- isto savijanje javlja se samo moment savijanja;

- uvijanje javlja se samo moment uvijanja;

- izvijanje pod dejstvom aksijalne sile dolazi do poremeaja elastine stabilnosti.

1.8. Tipovi noseih elemenata

Pri rjeavanju praktinih problema mogue je uvoenjem odreenih pretpostavki prostorni problem rijeiti kao ravanski ili linijski. Do pretpostavki, koje se koriste, dolazi se iskustvom, eksperimentom ili na osnovu tanih rjeenja Teorije elastinosti.

13

Koriste se sljedee vrste noseih elemenata: - linijski nosei element, - povrinski nosei element.

U linijske nosee elemente spadaju tap i greda. Kod njih je dimenzija tijela u jednom pravcu znatno vea nego u druga dva ortogonalna pravca (slika 1.11a).

a)

b)

Slika 1.11. Tipovi noseih elemenata: a) linijski nosei elementi; b) povrinski nosei elementi

tap je linijski element optereen samo u pravcu podune ose. To moe biti aksijalna sila

ili moment uvijanja.

Greda je linijski element optereen upravno na podunu osu. To moe biti transverzalna

sila i/ili moment savijanja.

Linijski nosai mogu biti pravi ili krivi, to ovisi o tome da li je njihova osa prava ili kriva

linija.

U povrinske nosee elemente spadaju ploe i ljuske. Kod ovih elemenata je jedna dimenzija mnogo manja od druge dvije i to je debljina noseeg elementa (slika 1.11b).

Ploa je povrinski nosei element, kod koga je srednja povrina ravna.

Ljuska je povrinski nosei element kod koga je srednja povrina kriva.

14

1.9. Osnovne pretpostavke (hipoteze)

U uvodnom dijelu Mehanike deformabilnog tijela, u Elastostatici, pri analizi napona i deformacija, da bi se ta analiza uinila jednostavnom i brzom, uvode se odreene pretpostavke pomou kojih se realno tijelo zamjenjuje idealiziranim. Uvedene pretpostavke su provjerene eksperimentima i tanim rjeenjima Teorije elastinosti. Naime, Teorija elastinosti koristi dosta sloen matematiki aparat, koji omoguuje u jednostavnim sluajevima dobijanje analitikih rjeenja, a u sloenim uz primjenu numerikih metoda i raunara mogue je dobiti rjeenja, koja pokazuju kako se stvarno ponaa neka konstrukcija pod optereenjem.

Pretpostavke koje se koriste u ovoj knjizi pri analizi naponskog stanja su: 1. Materijal tijela ima osobine neprekidne sredine.

Ova pretpostavka omoguuje primjenu matematske analize i rjeenja se dobijaju u formi neprekidnih funkcija.

2. Materijal tijela je homogen. Pretpostavlja se jednolika struktura u svim takama zapremine koju tijelo obuhvata.

3. Materijal tijela je izotropan. Pretpostavlja se da su fizikalne karakteristike materijala iste u svim pravcima.

4. Materijal tijela je idealno elastian. Na osnovu ove pretpostavke slijedi da su naponi proporcionalni deformacijama.

5. Optereenja su statika. Statiko optereenje se postie kada sila na poetku svoga dejstva raste veoma sporo od nule do pune vrijednosti koju zadrava.

6. Deformacije tijela su male. Ova pretpostavka da su deformacije male (infinitezimalne) vrijedi u teoriji linearne elastinosti. Na osnovu nje deformacije se mogu dati kao linearne funkcije pomjeranja taaka tijela.

7. Vrijedi princip superpozicije optereenja. Na osnovu ove pretpostavke konani, zbirni, rezultat jednak je sumi pojedinanih utjecaja i on ne zavisi od redosljeda nanoenja optereenja.

8. Sen Venanov (Saint-Venant) princip ekvivalentnosti optereenja. Ako se povrinske sile zamijene ekvivalentnim statikim sistemom, onda on izaziva promjenu napona samo u okolini dejstva sile, a naponi u takama dovoljno udaljenim od sile e ostati nepromijenjeni. Ova pretpostavka znai da unutarnje sile u tijelu malo zavise od naina prenoenja optereenja na tijelo. Tako, na primjer podijeljeno optereenje sa sloenim zakonom raspodjele moe se zamijeniti s jednom ili vie koncentrisanih sila. Greka koja se ovim unosi u proraun je mala i odnosi se samo na dio tijela u neposrednoj blizini djelovanja optereenja.

Naprijed navedene pretpostavke zadovoljavaju potrebu inenjerskog posmatranja problema. Moe se rei da su sa stanovita inenjerske prakse dovoljno tane.

15

Dunja Martinovi, Mainski fakultet Sarajevo

2.1. Analiza napona

Tijelo se sastoji od molekula izmeu kojih djeluje uravnoteen sistem meumolekularnih, unutarnjih sila, koje nemaju nikakav utjecaj na okolinu. Ukoliko se tijelo izloi dejstvu vanjskog optereenja, ono e se deformisati. Deformacija tijela zavisi od osobina materijala tijela i od naina optereenja. Pod dejstvom odreenog optereenja moe se javiti promjena i oblika i zapremine ili samo promjena oblika, odnosno promjena zapremine.

Poto se tokom optereenja mijenja meusobna udaljenost molekula, dolazi do pojave dodatnih unutarnjih sila u tijelu, koje se jednostavno zovu unutarnjim silama. Tijelo se deformie dok se ne uspostavi ravnotea izmeu vanjskog optereenja i tih unutarnjih sila. Kada se takvo tijelo, u kome je uspostavljeno ravnoteno stanje izmeu vanjskih i unutarnjih sila, presijee na dva dijela (slika 2.1.a), i ako se ukloni drugi dio, promatrani prvi dio e biti u ravnotei (slika 2.1.b). Naime, na presjenoj povrini djeluju unutarnje sile, koje su ekvivalentne utjecaju odstranjenog dijela, a rezultanta unutarnjih sila po intenzitetu, pravcu i smjeru jednaka je rezultanti vanjskog optereenja drugog dijela. Ili, moe se rei da je ta rezultanta unutarnjih sila jednaka rezultanti vanjskog optereenja prvog dijela, ali suprotnog smjera. U presjenoj ravni, na elementarnoj povrini A unutar koje je taka O, redukcijom unutarnjih sila koje pripadaju toj povrini u taku O dobijaju se glavni vektor F

i glavni moment M

. Moe se nai granina vrijednost kolinika glavnog vektora i elementarne povrine, odnosno glavnog momenta i elementarne povrine pri smanjenju povrine A u kojoj se nalazi taka O. Ta granina vrijednost jednaka je:

Prostorno stanje napona

16

0lim,lim0

=

=

= A

MdAFd

AFp

AoAn

. (2.1)

np

je vektor ukupnog napona u taki O za ravan koja je definisana normalom n i on, u optem sluaju, nije kolinearan s normalom. Da bi napon u odreenoj taki tijela bio poznat treba znati njegovu veliinu, pravac, smjer i orijentaciju ravni kroz taku u kojoj se napon rauna.

MF

Fn Fn

F1

F2

F3

F4 F4

A 0t

pn

n

n

n

I I

II

a) b)

Slika 2.1. a) Optereeno tijelo u ravnotei b) Dio tijela u ravnotei pod dejstvom vanjskih i unutranjih sila, vektor napona i njegove komponente

Na slici 2.1.b se vidi da se vektor napona moe rastaviti na dvije komponente. Prva je u pravcu normale na ravan presjeka, n, i to je normalni napon, a druga je u ravni presjeka, n, i to je smiui, tangencijalni, napon. Moe se pisati:

tnp nnn

+= , (2.2)

222nnnp += , (2.3)

gdje su

n i

t ort vektori.

Poto je naponsko stanje u nekoj taki napregnutog tijela odreeno kada su poznati vektori ukupnog napona za sve presjene ravni kroz tu taku, a takvih ravni ima beskonano mnogo, to se umjesto proizvoljnih presjenih ravni uzimaju ravni yz, zx i xy koje su meusobno okomite (slika 2.2.).

17

y y y y

z z z z

x x x x

k k

j j i i

px py

pZ

0 0 0 0

a) b) c)

z

y

x

yz

yx

xy

xz

zx

zy

Slika 2.2. Komponente vektora napona za tri meusobno okomite ravni

Sada se naponsko stanje u taki moe dati preko vektora napona xp (slika 2.2a), yp

(slika

2.2b) i zp

(slika 2.2c). Svaka od ovih komponenti moe se rastaviti na tri komponente:

,

,

,

kjipkjipkjip

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

++=

++=

++=

(2.4)

gdje su kji

,, ort vektori u pravcu x, y, z ose, x, y, z su normalni naponi u pravcu x, y, z ose, a xy, xz, itd. su smiui ili tangencijalni naponi. Smiui napon ima dva indeksa. Prvi indeks oznaava povrinu na kojoj napon djeluje, a drugi pokazuje njegov pravac. Iz izraza (2.4) se vidi da je vektor ukupnog napona u nekoj taki tijela definisan s devet veliina (komponenti), to znai da je napon po svojoj matematikoj prirodi tenzor. Od ranije je poznato da je skalar (na primjer duina) odreen s jednom komponentom, vektor (na primjer sila) s tri komponente i oni se jo nazivaju tenzorom nultog (30 = 1), odnosno prvog reda (31 = 3). Prema tome, moe se rei da je napon tenzor drugog reda (32 = 9), jer je odreen s devet komponenti ukoliko se radi o prostornom stanju napona. Tenzor napona se moe napisati u obliku matrice (2.5):

[ ]

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

(2.5)

Usvojena je sljedea konvencija o znaku normalnog i smiueg napona: - Normalne komponente tenzora napona su pozitivne ako su zateue. - Znak smiueg napona se odreuje na osnovu znaka povrine napregnutog elementa u

okolini neke take. Povrina je pozitivna ako je njena vanjska normala u smjeru pozitivne ose (slika 2.3.), a to su prednja, desna i gornja povrina. Smiui napon koji djeluje na pozitivnoj povrini elementa je pozitivan ako je usmjeren u pozitivnom

18

smjeru odgovarajue koordinatne ose, a smiui napon koji djeluje na negativnoj povrini napregnutog elementa je pozitivan ako djeluje u negativnom smjeru koordinatne ose.

y

z

x

k

j i0

pozitivnepovrinegornja

prednjadesna

Slika 2.3. Odreivanje znaka povrine napregnutog elementa

2.2. Navieove (Navier) jednaine ravnotee

U okolini take O napregnutog tijela izdvojen je elementarni paralelopiped (slika 2.4.). Na njegovim vanjskim povrinama djeluju unutarnje sile, koje su za ovaj element vanjske sile.

z

y

x

dyyp

p yy

+

dyy

yy

+

dyyyz

yz

+

dyyyx

yx

+

dx

dy

dz

dxx

xx

+

dxx

xzxz

+

dxx

xyxy

+

dzz

zz

+

dzzyz

zy

+

dzzzx

zx

+

dzz

pp zz

+

dxx

pp xx

+FV

pz

pxpy

A B

C

DE

F G

Slika 2.4. Element u okolini take tijela za troosno naprezanje

O

19

Na slici 2.4. se vidi da u tri meusobno normalne ravni kroz jednu taku napregnutog tijela djeluje devet komponenti napona.

Poto se napon mijenja unutar elementarnog paralelopipeda, to je, na primjer normalni napon u ravni x = 0 jednak x, a u prednjoj ravni, pomjerenoj za dx bie

dxx

xx

+

(doputena aproksimacija u teoriji linearne elastinosti pri razvoju u Tejlorov (Taylor) red. Ovaj prirataj napona je posljedica dejstva zapreminskih sila u elementarnom paralelopipedu. Isto vrijedi i za ostale komponente.

Dakle, pored unutarnjih sila, koje djeluju na izdvojeni elementarni paralelopiped u okolini take tijela kao vanjske sile, u tijelu, pa i u svakom njegovom elementu, djeluju zapreminske sile, kao to je teina. Komponente zapreminskih sila po jedinici zapremine u pravcu x, y, z ose oznaene su sa fx, fy, fz. Da bi se ustanovila veza izmeu zapreminskih sila i napona u nekoj taki napregnutog tijela, analizira se ravnotea elementarnog paralelopipeda prikazanog na slici 2.4. Naponi, odnosno unutranje sile i zapreminske sile koje djeluju na elementarni paralelopiped moraju zadovoljiti statike uslove ravnotee:

,0,0,0

,0,0,0

===

===

izi

iyi

ixi

izi

iyi

ixi

MMM

FFF (2.6)

tj. suma svih sila u pravcu x, y, z ose i suma momenata za x, y, z osu jednaka je nuli.

Iz prvog uslova statike ravnotee 0= xii

F , tj.:

0=+

++

+

++

+

dxdydzfdxdydzz

dxdzdyy

dydzdxx

xzxzx

zx

yxyx

yxxx

x

dobija se:

0=+

+

+

x

zxyxx fzyx

.

Iz druga dva uslova statike ravnotee, 0,0 == zii

yii

FF , mogu se dobiti druge

dvije jednaine, koje su analogne prvoj.

20

Diferencijalne jednaine koje daju vezu izmeu naponskih komponenti i zapreminskih sila glase:

.0

,0

,0

=+

+

+

=+

+

+

=+

+

+

zzyzxz

yzyyxy

x

zxyxx

fzyx

fzyx

fzyx

(2.7)

Jednaine (2.7) su poznate kao Navieove (Navier) jednaine ravnotee napregnutog tijela.

Ukoliko nije rije o statikoj ravnotei, koristi se drugi Njutnov (Newton) zakon, tj.:

=i

iFam

, (2.8)

ili

ii

fa

= , (2.8a)

gdje je m masa tijela, je gustoa, a je vektor ubrzanja, ije su komponente u , v , w , if

su sile po jedinici zapremine. U tom sluaju Navieove jednaine ravnotee napregnutog tijela glase:

.

,

,

2

2

2

2

2

2

zzyzxz

yzyyxy

x

zxyxx

fzyxt

w

fzyxt

v

fzyxt

u

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

(2.9)

U jednainama (2.9) t je vrijeme, a u, v, w su pomjeranja materijalne take.

Da bi se iskoristio etvrti uslov statike ravnotee 0= xii

M , pretpostavlja se da je

centar koordinatnog sistema u centru mase paralelopipeda. Tada se u jednaini ravnotee javljaju samo komponente smiuih napona koje nisu paralelne s osom x, tj.:

21

,022

22

=

+

+

+

dzdydxdzdydxdzz

dydzdxdydzdxdyy

zyzy

zy

yzyz

yz

te se nakon zanemarivanja malih veliina dobija: zyyz = .

Na osnovu ovoga uslova i druga dva uslova statike ravnotee 0= yii

M i

0= zii

M , dobija se:

.,, xzzxzyyzyxxy === (2.10)

Jednakosti (2.10) predstavljaju zakon o konjugovanosti smiuih napona koji glasi:

U dvije meusobno normalne ravni kroz neku taku napregnutog tijela smiui naponi su istih veliina, a usmjereni su ka presjenoj liniji te dvije ravni ili od nje.

U jednainama (2.7) uz koritenje (2.10) javlja se est nepoznatih, odnosno est meusobno razliitih naponskih komponenti, a u jednainama (2.9) tu su jo tri nepoznate, pomjeranja taaka. Iz ovoga je jasno da je svaki problem teorije elastinosti neodreen. Zato treba uvesti dopunske jednaine koje sadre svojstva materijala razmatranog tijela i dobiti zatvoren sistem jednaina.

2.3. Koijeve (Cauchy) naponske jednaine

Da bi se odredili naponi za proizvoljnu ravan kroz promatranu taku napregnutog tijela, odnosno da bi se ustanovila veza izmeu napona i povrinskih sila, posmatra se elementarni tetraedar u okolini neke take, ije su tri strane okomite na koordinatne ose, a etvrtu ini povrina dA, ija je normala n (slika 2.5.). Ovdje se radi o infinitezimalnom tetraedru, jer udaljenost povrine dA od koordinatnog poetka tei nuli. Na toj povrini djeluje vanjsko optereenje pn, odnosno djeluju njegove komponente pnx, pny, pnz. Ako se pretpostavi da nema dejstva zapreminskih sila, tada, uz vanjsko optereenje pn, na ostale tri povrine elementarnog tetraedra djeluju unutarnje sile kao vanjske, te uslov ravnotee sila za x osu glasi: ,0coscoscos = dAdAdAdAp zxyxxnx gdje su , , uglovi koje ini normala na ravan s koordinatnim osama x, y, z.

22

n

pn

z

Slika 2.5. Elementarni tetraedar izdvojen oko take iz napregnutog tijela

Kada se iskoriste i druga dva statika uslova ravnotee dobijaju se Koijeve (Cauchy) jednaine:

,

,

,

rmlprmlprmlp

zzyzxnz

yzyyxny

xzxyxnx

++=

++=

++=

(2.11)

gdje su: .cos,cos,cos === rml (2.12) Jednaine (2.11) se zovu i konturni uslovi napregnutog tijela u ravnotei.

Jasno je da je tenzor napona odreen s devet komponentalnih napona za tri meusobno okomite ravni kroz odreenu taku, od kojih su est meusobno nezavisni.

Ukupni napon na proizvoljnoj ravni kroz odreenu taku je:

( ) 2/1222 nznynxn pppp ++= . (2.13)

Normalni napon na toj proizvoljnoj ravni je projekcija ukupnog napona na pravac normale n

i jednak je:

rpmplp nznynxn ++= . (2.14)

Kada se u izraz (2.14) uvrste izrazi (2.11) uz koritenje zakona o konjugovanosti smiuih napona (2.10) dobija se:

( )rlrmml2rml zxyzxy2z2y2xn +++++= . (2.15)

23

Smiui napon u promatranoj ravni je:

2/122 )( nnn p = . (2.16)

2.4. Glavni naponi

Ukupni vektor napona np

u optem sluaju nije kolinearan s normalom n na ravan kroz izabranu taku napregnutog tijela. Kroz tu taku moe se postaviti beskonano mnogo ravni i postoji jedna za koju je ukupni vektor napona, oznaen sa )(inp

, kolinearan s

normalom in

. U toj ravni smiui napon jednak je nuli, a normalni je jednak ukupnom naponu, tj.: iiniin pp === )()( . (2.17)

Uglovi koje ta normala ini s osama x, y, z su i, i, i, odnosno cos i = li, cos i = mi, cos i = ri.

Komponente ukupnog napona su:

.coscos

,coscos

,coscos

iiiiiinz

iiiiiiny

iiiiiinx

rpp

mpplpp

===

===

===

(2.18)

Sada jednaine (2.11) uz (2.18) glase:

,

,

,

izizyizxii

iyziyiyxii

ixzixyixii

rmlrrmlm

rmll

++=

++=

++=

ili

.0)(,0)(,0)(

=++

=++

=++

iizizyizx

iyziiyixy

ixzixyiix

rmlrmlrml

(2.19)

Jednaine (2.19) su homogene, linearne jednaine i da bi se dobilo netrivijalno rjeenje mora biti determinanta ovoga sistema jednaka nuli, tj.:

24

0=

izzyzx

yziyyx

xzxyix

, (2.20)

ili

0322

13

=+ III iii . (2.21) I1, I2, I3 su invarijante tenzora napona. One su nezavisne od izbora koordinatnog sistema, a raunaju se prema:

.2

,

,

2223

2222

1

xyzzxyyzxzxyzxyzyx

zxyzxyxzzyyx

zyx

I

I

I

+=

++=

++=

(2.22)

Jednaina (2.21) ima tri realna i razliita rjeenja, a to su glavni naponi 1, 2, 3. Napon 1 je maksimalan, 3 je minimalan, a 2 se naziva srednjim naponom, te se moe pisati 1 > 2 > 3.

Pravci dejstva ovih napona su glavni pravci, a ravni za koje su ti pravci normale su glavne ravni. U glavnim ravnima smiui naponi jednaki su nuli.

Ako se trai rjeenje sistema jednaina (2.19) po kosinusima smjera dobija se:

zyzx

iyyx

i

zxiz

yxyz

i

izzy

yziy

i rml

=

=

. (2.23)

Iz omjera (2.23) za svaki i i uslova:

1222 =++ iii rml (2.24) dobijaju se li, mi i ri za i = 1, 2, 3.

U sistemu glavnih osa naponsko stanje u taki je dato sa:

[ ]

=

3

2

1

000000

ij . (2.25)

Invarijante tenzora napona izraene pomou glavnih napona su:

25

.

,

,

3213

1332212

3211

=

++=

++=

III

(2.26)

Tenzor napona se moe rastaviti na dva dijela i to sferni i devijatorski dio:

[ ]

+

=

=

ozzyzx

yzoyyx

xzxyox

o

o

o

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

0000

00,

(2.27) ili

[ ]

+

=

=

o

o

o

o

o

o

ij

3

2

1

3

2

1

000000

0000

00

0000

00,

(2.28) ili

[ ] [ ] [ ]devijoijij += . (2.29) U izrazima (2.27) (2.29) o je srednji normalni napon:

33321

++=

++=

zyxo . (2.30)

Sferni dio tenzora napona oij uzrokuje istu promjenu zapremine, a devijatorski dio devij promjenu oblika elementa. Vidi se da je suma dijagonalnih lanova u devij jednaka nuli. Naponsko stanje u okolini take moe se predstaviti slikom 2.6.

1

2

3

0

0

0

1 0

2 0

3 0

= +

Slika 2.6. Naponsko stanje u okolini take

26

Na osnovu izraza (2.14) i (2.22) moe se ukupni napon dati u funkciji glavnih napona, tj.:

23

22

21

2 )()()( rmlpn ++= . (2.31) Iz (2.14.) slijedi da je normalni napon:

23

22

21 rmln ++= , (2.32)

a smiui napon je na osnovu (2.16.) jednak:

223

22

21

23

22

21

2 )()()()( rmlrmln ++++= . (2.33) Koritenjem uslova (2.34), uslova ekstrema funkcije n date izrazom (2.33), tj. uslova:

0,0 =

=

mlnn

(2.34)

i uslova da je 1 2 3 dobijaju se tri ravni u kojima smiui naponi imaju ekstremne vrijednosti. Te ravni su simetralne ravni glavnih ravni. Tako je prva glavna ravan smiuih napona paralelna prvom glavnom naponu 1 i gradi ugao 450 s glavnim ravnima (2) i (3). Glavne ravni smiuih napona prikazane su na slici 2.7. Ekstremne vrijednosti smiuih napona i njihova suma su:

( )( )( )

.0

,

21

,

21

,

21

321

213

132

321

=++

=

=

=

(2.35)

Iz izraza (2.35) vidi se da je suma ekstremnih vrijednosti smiuih napona jednaka nuli, a da je najvei napon 2.

1

3

2A

B

C

I II III

1 1 II 2 2 II 3 3 II

Slika 2.7. Glavne ravni smiuih napona pri troosnom naprezanju

27

U ravnima ekstremnih vrijednosti smiuih napona normalni naponi se dobijaju iz izraza (2.32) za uglove , , od 450 i oni su jednaki:

.

2,

2,

2213132

+=

+=

+= IIIIII (2.36)

2.5. Geometrijska interpretacija prostornog naponskog stanja

Prostorno stanje naprezanja u izabranoj taki moe se prikazati elipsoidom napona, koji je poznat kao Lameov (Lam) elipsoid napona. Takvo predstavljanje naponskog stanja je jedna od moguih geometrijskih interpretacija naponskog stanja.

Na osnovu izraza (2.11) i (2.24) za glavne ose 1, 2, 3, dobija se:

123

23

22

22

21

21

=++

nnn ppp, (2.37)

to predstavlja jednainu elipsoida, kod koga glavni naponi predstavljaju glavne poluose elipsoida (slika 2.8.).

3

2

1

pn

3

21

Slika 2.8. Elipsoid napona

Mnogo ee, naponsko stanje u nekoj taki se predstavlja grafiki pomou Morovog (Mohr) kruga napona.

Formira se sistem jednaina od jednaina (2.24), (2.32) i jednaine koja se dobija koritenjem jednaina (2.3) i (2.31). Taj sistem jednaina glasi:

.

,

,1

223

222

221

22

23

22

21

222

rmlrml

rml

nn

n

++=+

++=

=++

(2.38)

Iz sistema jednaina (2.38) dobija se:

28

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( ) .

,

,

2313

212

2

1232

132

2

3121

322

2

+=

+=

+=

nnn

nnn

nnn

r

m

l

(2.39)

Poto je 1 > 2 > 3, a l2, m2, r2 je pozitivno, mora biti:

( )( )

( )( )

( )( ) .0

,0

,0

212

132

322

+

+

+

nnn

nnn

nnn

(2.40)

Sistem jednaina (2.40) odreuje oblast ogranienu s tri Morova kruga. Naime, transformacijom ovih jednaina dobijaju se jednaine Morovih krugova (2.41):

232

2322

22

++

nn ,

213

2312

22

++

nn , (2.41)

221

2212

22

++

nn .

Jednaine (2.41) su jednaine Morovih krugova za tri ravna naponska stanja, za presjeke okomite na glavne ose.

Jednaine (2.41) su simultano zadovoljene za sve take koje se nalaze izvan prvog i treeg, a unutar drugog kruga. Na slici 2.9. prikazani su Morovi krugovi.

29

C1 C2 C3

3

3

2

C1 C2 C3

32

1

n

n

0

1

1

n

n

n

n

0

M

Slika 2.9. Morovi (Mohr) krugovi za troosno naprezanje

Radijusi ovih krugova su: 2

321

=R ,

231

2

=R , 2

213

=R , a

koordinate njihovih centara su:

+ 0,2

321

C ,

+ 0,2

312

C ,

+ 0,2

213

C ,

to se vidi iz jednaina (2.41). Moe se crtati samo gornja polovica ovih krugova zbog simetrije.

Pomou Morovih krugova mogu se odrediti komponentni naponi n i n za bilo koju ravan kroz posmatranu taku ili izraunati iz izraza (2.32) i (2.33). Takoe se mogu odrediti ekstremne vrijednosti smiuih napona i to iz prvog kruga 1, iz drugog 2, a iz treeg 3, a ravni njihovog dejstva su prikazane na slici 2.7.

2.6. Analiza deformacije

Ranotene jednaine (2.7), izvedene u poglavlju 2.2., su statike prirode i neovisne su o pomjeranjima. Meutim, pod dejstvom vanjskih sila vrsto tijelo se pomijera i mijenja svoju veliinu i/ili oblik. Promjena veliine i oblika predstavlja deformaciju tijela. Ako se izdvoji jedna taka unutar napregnutog tijela, njeno pomjeranje je posljedica pomjeranja tijela kao cjeline i deformacije tijela. U Mehanici deformabilnog tijela bitno je samo pomjeranje koje je posljedica deformacije. Dakle, za odreivanje naponskog stanja napregnutog tijela, u optem sluaju, nisu dovoljni samo uslovi ravnotee, ve treba uzeti u obzir deformacije tijela, koje nastaju djelovanjem vanjskih sila i/ili toplote. Ukupna deformacija se moe opisati linijskom deformacijom dilatacijom i ugaonom deformacijom klizanjem.

Da bi se odredila dilatacija posmatraju se dvije take M

i N unutar nekog tijela, a sa l je oznaeno rastojanje izmeu njih. Nakon dejstva optereenja na to tijelo, take zauzimaju novi poloaj M1 i N1, a rastojanje izmeu njih je l + l (slika 2.10.).

pn

30

l

l+ l

M

M1 N1

N

Slika 2.10. Linijska deformacija - dilatacija

Dilatacija se rauna kao:

ll

sr

= , (2.42)

odnosno

ll

l

=

0lim . (2.43)

Da bi se odredilo klizanje, prije dejstva optereenja posmatraju se tri take A, O i B unutar tijela, a ugao koji ine pravci kroz ove take, tj. A0B, je prav ugao. Nakon dejstva optereenja dolazi do pomjeranja taaka i mijenja se pravi ugao za veliinu . Ova veliina predstavlja klizanje (slika 2.11.).

pi/2

pi /2-

AA1O

O1BB1

Slika 2.11. Ugaona deformacija - klizanje

Klizanje se rauna kao:

( )11100

lim BOAAOBBA

=

(2.44)

Na slici 2.10. i 2.11. vidi se da je dilatacija vezana za taku i pravac kroz tu taku, a klizanje je vezano za taku i ravan kroz tu taku. Kroz jednu taku moe se postaviti beskonano mnogo pravaca i ravni, te se dobija skup linijskih i ugaonih deformacija. Taj skup predstavlja stanje deformacije u taki napregnutog tijela. Dakle, stanje deformacije u odreenoj taki tijela je skup svih linijskih i ugaonih deformacija u toj taki i vezan je za poloaj te take u tijelu.

31

Ako se sa u, v, w oznae pomjeranja taaka u pravcu x, y, z ose, tada se deformacija elementarnog paralelopipeda izdvojenog u okolini neke take moe dati u funkciji pomjeranja taaka. Pomjeranja taaka su neprekidne funkcije koordinata, tj. u = u(x, y, z), v = v(x, y, z) i w = w(x, y, z). Pretpostavlja se da su veoma mala u odnosu na dimenzije tijela. Deformacije su linearne funkcije pomjeranja taaka tijela, te se radi o malim deformacijama. Ova injenica omoguuje primjenu principa superpozicije pri rjeavanju mnogih problema Mehanike deformabilnog tijela.

Za poznavanje stanja deformacije u nekoj taki tijela nije potrebno poznavati deformacije za sve pravce i ravni kroz tu taku, ve je dovoljno znati deformacije za tri meusobno okomita pravca x, y, z i tri meusobno okomite ravni yz, zx i xy. Da bi se te deformacije dobile uraena je sljedea analiza.

Na slici 2.12. prikazana je deformacija osnove elementarnog paralelopipeda izdvojenog iz napregnutog tijela.

x

y

z

A

B C

Ddz

dxdy

dxx

u

dxx

v

dyyv

dyyu

y

v

dyxy''

xy'

xypi

2

Slika 2.12. Linijska i ugaona deformcija osnove elementarnog paralelopipeda

Nedeformisana osnova elementarnog paralelopipeda je ABCD, a nakon deformacije ona mijenja i dimenzije i oblik i data je povrinom ABCD. Pomjeranja take A su u i v, a take B su dx

x

uu

+ i dxx

vv

+ .

Dilatacija u pravcu x ose je:

x

u

dx

dxdxx

udx

ABABBA

x

=

+

=

"'

.

Analogno ovome dobijaju se dilatacije u pravcu y i z ose. Dakle, dilatacije su:

.,,

z

w

yv

x

uzyx

=

=

= (2.45)

0

0 a) b)

32

Pored promjene duine stranica nastaje i promjena uglova izmeu pravaca tih stranica. Pravi ugao izmeu stranica AB i AD (slika 2.12.b)mijenja se za veliinu xy, tj.: '"'"'"'" DADBABxy += .

Za male uglove je '"'"'"'" BABBABtg , odnosno '"'"'"'" DADDADtg , te je:

yxxy

yu

x

v

dyyvdy

dyyu

dxx

udx

dxx

v

+

++

=

+

+

+

=

11,

a poto je x

33

xyxyx

v

yu

21

21

=

+

= ,

yzyz yw

z

v 21

21

=

+

= , (2.48)

zxzxx

w

z

u 21

21

=

+

= .

xy, yz i zx su smiue komponente tenzora deformacije.

Napomena: Ugaone deformacije su date izrazima (2.46). Meutim, da bi matrica

deformacije bila tenzor koriste se smiue komponente tenzora deformacije date izrazima (2.48). Kada bi se koristili izrazi (2.46), matrica deformacije ne bi imala tenzorski karakter pri transformaciji koordinata.

2.7. Glavne dilatacije

Izmeu stanja naprezanja u taki i stanja deformacije u taki tijela postoji analogija. Prema tome, analogno glavnim naponima postoje glavne deformacije (dilatacije). U svakoj taki tijela postoje tri meusobno okomita pravca, koji i nakon deformacije ostaju okomiti, jer izmeu njih nema klizanja. To su glavni pravci dilatacija i na njima lee glavne dilatacije.

Glavne dilatacije, kao i glavni naponi, odreuju se iz kubne jednaine koja, analogno jednaini (2.21), ima oblik:

0322

13

=+ eee iii . (2.49)

Invarijante tenzora deformacije su e1, e2, e3 i iznose: zyxe ++=1 ,

( )2222 41

zxyzxyxzzyyxe ++++= , (2.50)

( )2223 41

41

xyzzxyyzxzxyzxyzyxe +++= .

Jednaina (2.49) ima tri realna i razliita rjeenja, a to su glavne dilatacije 1, 2, 3.

Matrica tenzora malih deformacija, napisana pomou glavnih dilatacija, je analogna izrazu (2.25) i jednaka je:

34

[ ]

=

3

2

1

000000

ij , (2.51)

a invarijante tenzora deformacije, izraene pomou glavnih dilatacija, su analogne izrazima (2.26) i jednake su: 3211 ++=e ,

1332212 ++=e , (2.52)

3213 =e .

Dakle, za glavne pravce stanja deformacija su glavne dilatacije 1, 2, 3, pri emu je 1 > 2 > 3, a klizanja su jednaka nuli.

2.8. Veza izmeu napona i deformacije

Vezu izmeu napona i odgovarajue deformacije kod elastinih tijela postavio je Huk (Hooke) 1678. godine. On je ustanovio da postoji linearan odnos izmeu vanjske sile (optereenja) i apsolutne deformacije (izduenja), odnosno napona i relativne deformacije (dilatacije). (Vidjeti sliku 1.9.). Moe se pisati da je pri aksijalnom optereenju: lcF = 1 , (2.53) odnosno

Eilic == 2 . (2.54)

U izrazima (2.53) i (2.54) c1 i c2 su konstante proporcionalnosti. Konstanta proporcionalnosti c2 je nazvana modul elastinosti ili Jangov (Young) modul, E. Modul elastinosti je fizikalna karakteristika materijala, a izraava se u naponskoj jedinici, Pa.

Pri jednoosnom naprezanju tapa, npr. krunog poprenog presjeka ako dolazi do njegovog izduenja, istovremeno dolazi do smanjenja njegovog poprenog presjeka. Poetna duina tapa l se poveava za l, a prenik se smanjuje za d (slika 2.13.). Prema tome, uzduna deformacija je

ll

= , a poprena je dd

pop

= Za izotropne materijale, koji se

pokoravaju Hukovom (Hooke) zakonu, eksperimentalno je utrvreno da postoji proporcionalnost izmeu podune i poprene dilatacije, tj.: =pop , (2.55)

35

gdje je Poasonov (Poisson) koeficijent. Minus u izrazu (2.55) znai da ako je u jednom pravcu izduenje u drugom e biti skraenje. Za izotropne materijale je izmeu 0 i 0,5 i predstavlja fizikalnu karakteristiku materijala.

Ako se radi o troosnom naprezanju, tada se moe primijeniti princip superpozicije da bi se izraunala dilatacija u pravcu pojedinih osa. Naprimjer, dilataciju u pravcu x ose uzrokuju naponi x, y i z. Napon x uzrokuje podunu dilataciju E

xx

=' , to se dobija iz (2.54.),

a naponi y i z uzrokuju poprene dilatacije Ey

x

=" i

Ez

x

='" dobijene

koritenjem izraza (2.55) i (2.54). Ukupna dilatacija jednaka je sumi pojedinanih, tj. ( )[ ]zyxx E +=

1. Istim postupkom se dobijaju dilatacije u pravcu y i z ose.

d d- d

l+ l

l

Slika 2.13. Prikaz uzdune i poprene dilatacije (puna linija-tap prije opterenja, crtkana linija-tap nakon optereenja)

U Tabeli 2.1. su date komponente odreene dilatacije uzrokovane naponima x, y i z.

Tabela 2.1. Dilatacije u pravcu x, y, z ose uzrokovane naponima x, y, z

x y z 0x 0y 0z

x/E - y/E - z/E - x/E y/E - z/E - x/E - y/E z/E

Izrazi za dilatacije x, y, z su:

( )[ ]( )[ ]( )[ ].1

,

1

,

1

yxzz

xzyy

zyxx

E

E

E

+=

+=

+=

(2.56)

36

Iz izraza (2.56) mogu se dobiti izrazi za napone x, y, z i oni glase:

( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ]

( )( ) ( ) ( )[ ].1211

,1211

,1211

yxzz

xzyy

zyxx

E

E

E

+++

=

+++

=

+++

=

(2.57)

Dilatacije u pravcu glavnih osa (1), (2) i (3) su glavne dilatacije, iji se pravci poklapaju s pravcima glavnih napona i date su izrazima:

( )[ ]( )[ ]( )[ ].1

,

1

,

1

2133

1322

3211

+=

+=

+=

E

E

E

(2.58)

Pored dilatacije u pravcu pojedinih osa, moe se raunati i zapreminska dilatacija. Da bi se dolo do izraza za zapreminsku dilataciju, posmatra se elementarni paralelopiped stranica dx, dy, dz. Pri njegovoj deformaciji stranice se mijenjaju za veliine du, dv i dw. Promjena pravih uglova je mala i moe se zanemariti. Prema tome, zapreminska dilatacija je:

VVV

VV

v

=

=

1 ,

gdje je V = dx dy dz, a V1 = (dx+du) (dy+dv) (dz+dw), to se vidi na slici (2.14.).

dy

dz

du

dv

dw

x

z

y0

Slika 2.14. Zapreminska dilatacija elementarnog paralelopipeda

37

( )( )( )dzdydx

dzdydxdwdzdvdydudxv

+++= ,

zyxxzzyyxzyxV ++++++= .

Umnoci dilatacija kao veoma male veliine se mogu zanemariti, te se dobija zapreminska dilatacija: zyxV ++= . (2.59)

Zapreminska dilatacija se moe napisati i za glavne ose i jednaka je: 321 ++=V . (2.60) Ako se u izraz (2.59) uvrste izrazi (2.56), odnosno u izraz (2.60) izrazi (2.58) dobija se zapreminska dilatacija u funkciji napona:

( ) ( )3212121 ++=++= EE zyxV . (2.61) Sada se izrazi za napone (2.57) mogu pisati kao:

,2,2,2

Vzz

Vyy

Vxx

GGG

+=

+=

+=

(2.62)

gdje su G i Lameove (Lam) konstante elastinosti:

( ) ( )( ).211,12

+=

+=

EEG (2.63)

Smiui naponi su, prema Hukovom zakonu, proporcionalni ugaonoj deformaciji (klizanju), a konstanta proporcionalnosti je modul klizanja G, dat izrazom (2.63). Moe se pisati:

G= . (2.64) Prema tome, u ravnima yz, zx i xy smiui naponi su dati izrazima:

.2,2,2

zxzxzx

yzyzyzxyxyxy

GGGGGG

==

====

(2.65)

Pri pisanju izraza (2.65.) koriteni su izrazi (2.48.).

38

U elastine konstante, pored modula elastinosti i modula klizanja, ubraja se i modul kompresije. Izraz za modul kompresije se moe dobiti ako se pretpostavi da je elementarni paralelopiped izloen samo dejstvu glavnih napona pritiska iste veliine (slika 2.15.), tj. hidrostatikom pritisku 1 = 2 = 3 = -p. Koritenjem izraza (2.61) dobije se zapreminska dilatacija:

kpp

EV=

=)21(3

, (2.66)

gdje je:

( )( )

( )GEk

21312

213 +

=

= (2.67)

modul kompresije ili zapreminski modul elastinosti materijala.

Iz izraza (2.67) se vidi da mora biti: 021 >

odnosno21

39

2.9. Specijalni sluajevi prostornog stanja napona

Pri rjeavanju odreenih problema iz Mehanike deformabilnog tijela, nije neophodno rjeavati ih uvijek kao trodimenzionalne. Mogue je uvoenje odreenih pretpostavki do kojih se dolazi iskustvom, eksperimentom ili na bazi tanih rjeenja Teorije elastinosti, te se mogu izvesti odreena uproenja koja ne utjeu bitno na tanost dobijenih rezultata, a omoguuju da se problem svede na dvodimenzionalan ili ak jednodimenzionalan.

Ukoliko se problem svodi na dvodimenzionalan, razlikuje se ravno naponsko stanje i ravno deformaciono stanje. Kod ravnog naponskog stanja naponske komponente za jednu osu, na primjer z, su jednake nuli, a dilatacija z je funkcija napona x i y, tj.:

( ),,0,0,0

yxz

yzxzz

E

+=

===

(2.68)

to se dobija iz izraza (2.56) za z = 0.

Izrazi (2.68) vrijede kod povrinskih noseih elemenata, kod kojih je jedna dimenzija mnogo manja od preostale dvije, a to je debljina povrinskog noseeg elementa, a vanjske sile djeluju u ravni ploe (slika 2.16a).

x

yz

a) b)

x

yz

Slika 2.16. Dvodimenzionalna aproksimacija problema a) Ravno naponsko stanje b) Ravno deformaciono stanje

Kod ravnog deformacionog stanja su pomjeranja u pravcu jedne ose, na primjer z, jednaka nuli, a druga dva pomjeranja ne zavise od te koordinate, pa su deformacione komponente za tu osu, ovdje je to z osa, jednake nuli, a napon z i dilatacije x i y su funkcije napona x i y, tj.:

( )

.

11

,

11

,

,0,0,0

2

2

=

=

+=

===

xyy

yxx

yxz

yzxzz

E

E

(2.69)

40

Pretpostavka ravnog deformacionog stanja moe se primijeniti, na primjer kod tijela uklijetenih izmeu dva glatka nepopustljiva zida (slika 2.16.b). Za ravno naponsko i ravno deformaciono stanje u Tabeli 2.2. date su naponske i deformacione komponente koje su jednake nuli i one koje imaju nenultu vrijednost.

Tabela 2.2. Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje, naponske i deformacione komponente

Ravno naponsko stanje

z

x

yy

xxy

0

Ravno deformaciono stanje

z

x

yy

xyx

0

Naponi 0=z , 0=xz , 0=yz

yx , i xy mogu imati nenultu vrijednost.

0=xz , 0=yz

zyx ,, i xy mogu imati nenultu vrijednost.

Deformacije 0=xz , 0=yz zyx ,, i xy mogu imati

nenultu vrijednost.

0=z , 0=xz , 0=yz yx , i xy mogu imati nenultu

vrijednost.

2.10. Diamel-Nojmanove (Duhamel-Neumann) jednaine

Pored deformacije tijela nastale zbog naprezanja, moe se javiti i deformacija nastala zbog promjene temperature. Tada se ukupna deformacija rauna primjenom principa superpozicije i pie se:

Tijijij

+= . (2.70) ij je deformacija tijela nastala zbog naprezanja, a Tij je deformacija nastala usljed

promjene temperature, koja se rauna prema:

( ) ijoijTij TTT == . (2.71) U izrazu (2.71) je koeficijent toplotnog irenja, T je temperatura tijela, To je referentna temperatura, odnosno temperatura tijela nedeformisanog oblika, a ij je Kronekerov (Kronecker) delta i ij = 1 za i = j, a ij = 0 za i j.

41

Iz izraza (2.71) se vidi da promjena temperature utjee samo na dilatacije. Ako se u generalizirani Hukov zakon (2.56) ukljui izraz (2.71) dobijaju se Diamel-Nojmanove (Duhamel-Neumann) jednaine:

( )[ ] TE zyxx

++= 1 ,

( )[ ] TE xzyy

++= 1 , (2.72)

( )[ ] TE yxzz

++= 1 .

Izrazi za napone dati sa (2.62) dobijaju dodatni lan i glase:

TEG Vxx

+=

21

2 ,

TEG Vyy

+=

21

2 , (2.73)

TEG Vzz

+=

21

2 .

Ako je deformacija tijela slobodna i ako tijelo, u svim svojim takama, ima istu povienu temperaturu, tada nema pojave termikih napona.

U izrazima (2.72), odnosno (2.73) nalaze se elastine konstante E, G, i koeficijent toplotnog irenja . Njihove vrijednosti za neke materijale date su u Tabeli 2.3.

Izrazi (2.72) i (2.73) vrijede u podruju linearne elastinosti, tj. do granice proporcionalnosti. Vrijednosti napona, zateueg, pritiskujueg i smiueg, na granici proporcionalnosti za neke materijale date su u Tabeli 2.4. U istoj tabeli nalaze se i vrijednosti vrstoe materijala na lom.

42

Tabela 2.3. Elastine konstante i koeficijent toplotnog irenja [1] E G

MATERIJAL GPa GPa - 10-6 /K Ugljini elik Legirani elik Lijevano eljezo Bakar Bronca Mesing Aluminij i legure Magnezij i legure Olovo Staklo Beton Guma Pluto

200 210 210 220 115 160 84 130 105 115 90 120 70 71

45 17 56

15 40 0,01 0,006

80 81 80 81

45 40 49 40 42 35 37 26 27

17 7 22 -

-

-

0,24 0,28 0,25 0,30 0,25 0,27 0,31 0,34 0,32 0,35 0,32 0,42 0,32 0,36

-

0,42 0,25

0,08 0,18 0,47 0,00

12,5 10 13

10,4 16

17,5 18 24 26 29 8

0,11 -

-

Tabela 2.4. Mehanike osobine materijala u MPa [1] Granica proporcionalnosti vrstoa MATERIJAL

zateua pritiskujua smiua zateua pritiskujua smiua Ugljini elik vrue valjan 0,2% C 0,6% C 1,0% C elini liv odaren, 0,2% C Sivi liv Kovki liv Bakar odaren tvrdo vuen Mesing lijevani (60% Cu; 40% Zn) Bronca lijevana (90% Cu; 10% Sn) Aluminij odaren tvrdo valjan Duraluminij (96% Al; 2,9% Cu; 1% Mg) aren temperiran

210 410 550 210 42

140 22

260

140

140

50 130

240 410 550 210 170 140 22

260

-

-

-

-

-

-

145 250 330 125

-

70 13

160

-

-

-

-

-

-

410 690 930 410 140 345 220 380

350

280 70

130

170 350

620 -

-

-

550 -

-

-

-

-

-

-

-

-

310 550 790 310

-

275 -

-

-

-

-

-

-

-

2.11. Deformacioni rad

Pod djelovanjem vanjskog optereenja vrsto tijelo se deformie. Zbog toga se mijenja poloaj napadnih taaka vanjskih sila, te one obavljaju odredjeni rad. Prema zakonu o odranju energije, radu vanjskih sila odgovara promjena potencijalne, kinetike i toplotne energije tijela.

43

Ako se za vrijeme deformacije ne mijenja koliina toplote u tijelu, ako je ubrzanje svih djelia tijela zanemarivo malo, te nema promjene kinetike energije, to se postie pri statikom optereenju, tada dolazi samo do promjene potencijalne energije tijela, koja se zove i potencijalna energija deformacije.

Statiko optereenje u elastinom tijelu se postie kada sila, na poetku svoga dejstva, postepeno raste od nule do konane vrijednosti.

Iz naprijed navedenog je jasno da je rad vanjskih sila (potencijal vanjskog optereenja) jednak radu unutarnjih sila (deformacionom radu).

Da bi se nala potencijalna energija deformacije tijela, prvo treba nai rad vanjskih sila. Koristi se Klapejronov (Clapeyron) stav koji glasi:

Pri statikom optereenju rad vanjskih sila jednak je polovini vrijednosti koju bi imao da je sila od poetka djelovala u punom iznosu.

Moe se pisati:

oo lFW = 21

. (2.74)

U izrazu (2.74) W je rad vanjske sile, Fo je konana vrijednost vanjske sile, a lo je konano izduenje tapa. Zavisnost izmeu vanjske sile i izduenja do granice proporcionalnosti za odreeni materijal prikazana je na slici 2.17. Vidi se da je rad vanjske sile ekvivalentan rafiranoj povrini u dijagramu, odnosno moe se izraunati koritenjem izraza (2.74).

lo

lo+lo

Fo Fo

F

ll0

FoW

Slika 2.17. Rad vanjske sile u F, l dijagramu

Poto je rad vanjskih sila jednak radu unutarnjih sila, odnosno deformacionom radu, moe se pisati:

dWW = . (2.75)

P

44

Unutarnje sile se mogu dati preko komponentalnih napona i za sluaj aksijalnog naprezanja prikazanog na slici 2.17. bie:

VVlAlFWWo

ood 2

121

=

== . (2.76)

U sluaju troosnog naprezanja na povrinama elementarnog paralelopipeda (slika 2.18.) javlja se est razliitih komponenata napona pod dejstvom kojih se taj paralelopiped nalazi u ravnotei. Rad tih sila jednak je prirataju deformacionog rada, koji se rauna prema izrazu:

( ) .21 dVdW zxzxyzyzxyxyzzyyxxd +++++= (2.77)

y

z

x

yz

zy

zx

yx

xy

xz

Slika 2.18. Element u okolini take tijela u kome nema dejstva zapreminskih sila

Specifini deformacioni rad, odnosno deformacioni rad po jedinici zapremine jednak je:

( )zxzxyzyzxyxyzzyyxxdW +++++= 21

'

. (2.78)

Ovaj rad se moe dati u funkciji glavnih napona i iznosi:

( )332211' 21

++=dW . (2.79)

Ra