Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga Cálculo I Primer Parcial · 2012-08-29 · Elaborado...

Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga Cálculo I Primer Parcial

1 E-mail: [email protected]

1. Resolver la inecuación: 1

13

x

x

Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absoluto x a a x a , tenemos lo siguiente:

11

1 1 31 1 1

13 31

3

x

x x x

xx x

x

Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos:

12 11 1 2 21 1 0 0 0

33 3 3 3

xxx x x

xx x x x

Entonces obtenemos el primer conjunto solución: 1 ] , 3[ [ 1, [Cs

1 1 4 4

1 1 0 0 0 33 3 3 3

x xx

x x x x

Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: 2 ] 3, [Cs

La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: 1 2 [ 1, [TCs Cs Cs

2. Resolver la siguiente inecuación: 2 3 2 2

2 2

x x x

x x

Solución: pasando a restar el término de la derecha de la inecuación y sacando MCD:

3 2 22 2 3 25 8 4 4 43 2 2 3 2 2 4 120 0 0

2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x xx x x x x x x x x

x x x x x x x x

Nuevamente factorizando y empleando el método de los puntos críticos para resolver la inecuación, obtenemos:

2 04 12

0 22 2

2

xx x x

xx x

x

El conjunto solución de la inecuación es: ] , 2[ [0,2[Cs

Nota: no tomamos en cuenta el factor 2 4 12x x en el análisis de puntos críticos ya que presente soluciones en los complejos.

3. Hallar el conjunto solución: 1

1 53x


45

1 4 4 31 5 5 5 5

43 3 35

3

x

x x x

xx x x

x


194 4 6 19

5 5 0 0 0 63 3 3

3

xx x x

x x xx

-3 -1VFV

-3VF

-2 0

V

2F FV

-19/6 -3VFV



Entonces obtenemos el primer conjunto solución: 1

19] , ] ] 3, [

6Cs

114 4 4 11 4 11

5 5 0 0 0 43 3 3 3

3

xx x x x

x x x xx

Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: 2

11] , 3[ [ , [

4Cs

La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: 1 2

19 11] , ] [ , [

6 4TCs Cs Cs

4. Resolver la siguiente inecuación: 5 1

2 1 2x x

Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absolutoaa

b b , y luego multiplicando y dividiendo en cruzado, tenemos:

5 1 2 15 15

2 1 2 2 1 2 2

x

x x x x x

Llevando los términos en valor absoluto a uno solo: 2 1 2 1 2 1

5 5 52 2 2

x x x

x x x

Empleando la siguiente propiedad de valor absoluto x a a x a , tenemos lo siguiente:

2 15

2 1 2 1 25 5 5

2 12 25

2

x

x x x

xx x

x


112 1 2 1 7 11

5 5 0 0 0 72 2 2

2

xx x x

x x xx


11] , ] ]2, [

7Cs

32 1 2 1 3 9 3 95 5 0 0 0

22 2 2 2

xx x x x

xx x x x

Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: 2 ] ,2[ [3, [Cs


11 1] , ] [3, [

7 2TCs Cs Cs

5. Resolver la inecuación: 2

1 3 1 0x x

Solución: pasando a restar uno de los términos y simplificando, tenemos lo siguiente: 2 2

1 3 1 0 1 3 1 1 3x x x x x

Al simplificar aparece la condición de 1x , empleando la siguiente propiedad de valor absoluto x a a x a

-3 -11/4VFV

11/7 2VFV

2 3VFV



1 31 3 3 1 3

1 3

xx x

x


1 3 2 0 2x x x

Entonces obtenemos el primer conjunto solución: 1 [ 2, [Cs

1 3 4 0 4x x x

Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: 2 ] ,4]Cs

La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: 1 2 [ 2,4] 1TCs Cs Cs

6. Hallar el conjunto solución de: 6 5 1

3 2

x

x


6 5 1

6 5 1 1 6 5 1 3 2

6 5 13 2 2 3 2

3 2

x

x x x

xx x

x


53 3 56 5 1 6 5 1 15 9

0 0 0 33 2 3 2 2 3 2 3

3

x xx x x

x x x xx


5] 3, ]

3Cs

96 5 1 6 5 1 9 11 11 9

0 0 0 113 2 3 2 3 3

3

xx x x x

x x x xx

Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: 2

9] ,3[ [ , [

11Cs


9 5[ , ]11 3

TCs Cs Cs

7. Dada la función 1

( )3

xf x

y la composición ( )f g f x x , hallar ( )g x .

Solución: llevando la composición a la siguiente notación, ( ) ( ( ))f g f x f g f x x entonces haciendo algunas

modificaciones para llegar a la segunda composición, se tiene.

3 1 1

( ( )) 1 1 1 1 33 3 3

xf g f x x x x

Notemos que 1

( )3

xf x

, reemplazando en la anterior ecuación, se tiene:

1( ( )) 3 ( )

3f g f x f x

-2VF

4V

-3 5/3FVF

-3VF

9/11V



Componiendo la anterior ecuación en x en lugar de ( )f x , se tiene: 1

( ) 3 3 1...3

f g x x x A

Ahora componiendo la función ( )f x en ( )g x , como se ve: 1 ( ) 1

( ) ( ( )) ( ) ...3 3

x g xf x f g x f g x B

Igualando A y B, se tiene: ( ) 1

3 1 ( ) 9 43

g xx g x x

8. Si 2 1

( )4

xf x

x

y

2 1( )

4

xf g f x

x

, hallar ( )g x

Solución: llevando la composición de funciones a su otra notación: 2 1

( ) ( ( ))4

xf g f x f g f x

x

Pero notemos que 2 1

( )4

xf x

x

, entonces reemplazando en la anterior ecuación: ( ( )) ( )f g f x f x

Componiendo la última función (x en lugar de ( )f x ), se tiene: ( ) ...f g x x A

Ahora componiendo la función 2 1

( )4

xf x

x

en ( )g x , se tiene:

2 ( ) 1( ( )) ( ) ...

( ) 4

g xf g x f g x B

g x

Igualando ecuaciones A y B, se tiene: 2 ( ) 1 4 1

2 ( ) 1 ( ) 4 ( )( ) 4 2

g x xx g x xg x x g x

g x x

9. Si 1

( )2

x xf

x

y ( )

1

xg x

x

, hallar 1 1x

f gx

Solución: componiendo f en x, se tiene:

1 1 12 12 2 2 2( ) ( ) ( )

2 2

2 2

x xx

x xf f x f x

x x x x

Componiendo la última función en 1( )g x

, se tiene: 1

1 1

1

2 ( ) 1( ( )) ...

2 ( )

g xf g x f g x A

g x

Hallamos la función inversa, para ello despejamos x de la siguiente ecuación, ( )1

xg x y

x

1( ) ...1 1 1

x yx y xy xy y x x y g x B

y xx y x

Reemplazando ecuación B en A, se tiene: 1 1

2 13 11

22

1

x

xxf g x f g x

x x

x

Hallando 1 1xf g

x

en la anterior función:

1 1

13 1

1 1 2 3

1 2 12

x

x x xxf g f g

xx x x

x



10. Si sin

( )1 cos

xf g x

x

,

1( )

secg x

x hallar ( )f x .

Solución: si 1

( ) cossec

g x xx

realizando un cambio de variable y aplicando identidades trigonométricas:

sin arccoscos arccos ( )

1 cos arccos

tx t x t f g t

t

De acuerdo con el cambio de variable, tenemos el siguiente triangulo rectángulo:

2

2

2

1sin sin arccos sin arccos 11 ( )

1 cos arccoscos cos arccos

1

1( )

tx x t t

f g tt tt

x x

tf g t

t

11. Si ( ) 2 3f x x m , determinar el valor de m de tal manera que 1 2(1 ) 3 ( )f m f m

Solución: hallando (1 )f m , se tiene:

( ) 2 3 (1 ) 2 1 3 (1 ) 2 ...f x x m f m m m f m m A

Hallando la función inversa de ( )f x , se tiene:

13 3( ) 2 3 2 3 ( )

2 2

y xy m x mf x x m y x m x y f x

x y

Componiendo la última función en 2m , se tiene:

21 1 23 3( ) ( ) ...

2 2

x m m mf x f m B

Reemplazando A y B en la condición:

211 2 2

2

13

3(1 ) 3 ( ) 2 3 3 11 4 02

4

mm mf m f m m m m

m

12. Calcular la función inversa de

3 3

3 3

2 1 1( )

1 1

x xf x

x x

Solución: para resolver el problema lo conveniente es hacer un cambio de variable, como se ve:

3 33 3

3 3 3

3 3 3 3 3 3

3

2 1 1 1 12 1 2 1

2 1 1 1 1 1( ) ( )

1 1 1 1 1 11 1

1 11

x x x x

x x x x xf x f x y

x x x x x x

x xx

De la última expresión despejando x para hallar la función inversa, se tiene:

x

t

1

21 t



3

3 3 3 3

3

12 1

1 1 1 1 112 1 2 1

1 1 1 1 211

1

x

x x x x yxy y y y y

x x x x yx

x

Elevando al cubo ambos lados de la ecuación y por ultimo despejando x, se tiene:

3

3 3 3 3 3 3 3

33 33 3

1

3 33 3

3

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1

1 2 1 2 2 2 2 2

11

2 1 2 1 2( )

1 1 2 1 21

2

x y x y y y y yx x x

x y x y y y y y

y

x yy y y x xx y f x

y xy y y x x

y

13. Calcular el siguiente límite: 3 3

0limh

a h aL

h

Solución: si evaluamos el límite obtenemos una indeterminación del tipo 0

0, para levantar la indeterminación, debemos “racionalizar ”

el numerador, para ello recurrimos al siguiente artifició matemático.

2 2 3 33 3 3 3 3 3

3 3

2 2 2 20 03 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2 20 03 3 3 3 3 3 3 3

2 20 3 3 3 3

lim lim

lim lim

1lim

h h

h h

h

a h a h a a a h aa h aL

h a h a h a a h a h a h a a

a h a hL

h a h a h a a h a h a h a a

L

a h a h a a

De la última expresión, evaluando el límite:

2 2 2

3 3 3 3 3

1 1

3

L L

a a a a a

14. Calcular el siguiente límite:

2 2

2 20lim : , 0x

p x pL p q

q x q


0, para levantar la indeterminación, debemos “racionalizar”

el numerador:

22 2 2 22 2 2 2

2 2 2 20 0 02 2 2 2 2 2 2 2lim lim limx x x

p x p xp x p p x pL

q x q p x p q x q p x p q x q p x p



De la última expresión ordenando y luego racionalizando el denominador:

2 2 2 22 2

20 02 2 2 2 2 2 2 22 2 2

2 2 2 22

20 02 2 2 2

1lim lim

lim lim

x x

x x

q x q q x qx xL

p x p q x q q x q p x p q x q

q x q q x qxL

xp x p p x p

Por ultimo evaluando el límite, tenemos:

2

0 2limx

q q qL L

pp p

15. Calcular el siguiente límite: 8

3

8lim

2

x

xL

xx


0, para levantar la indeterminación, debemos “racionalizar”

el denominador dos veces:

22

22 3 3

3 3

2 38 8 82 33 3

3 3 3

22

3 3

38

82 22 28 8

lim lim lim

2 2 2 2 2

82 2

lim

2

x x x

x

x xx x x x xx xx x

Lx x x x xx x x x x

x xx x x

Lx

x

Ordenando la última expresión y volviendo a racionalizar, se tiene:, se tiene:

3

22

3 3

3 38

3

2 22 2

3 3 3 3

28 83

2

21lim 8

2 2

2 2

2 2lim 8 lim 8

2 2 2 2

2

x

x x

xx

x xL x x x

x xx x

x xx x

x x x xL x x x x x x

xx

3

32

8

xx

Factorizando2x en el denominador y sacando MCD, se tiene:



3

2 2 32 2

3 3 3 3

28 82

2 8lim 8 lim

82 2 2 2 2

8

x x

xx

x x x x xL x x x x x x

x xx

Evaluando el límite, obtenemos el resultado: 8

8lim 4 4 4 8 8 24

64xL L

16. Hallar la constantes a y b de la condición: 2 1

lim 01x

xax b

x

Solución: dividiendo los polinomios y por propiedades de límites repartimos el límite de la siguiente manera:

2 1 1 1

lim 0 lim 0 lim lim 1 01 1 1x x x x

x x xax b x ax b x a b

x x x

De la última expresión despejando el segundo límite:

11

1lim 1 lim lim lim 1 1

111

x x x x

x xx a b x a bx

x

De la última igualdad, este se si el coeficiente de x es cero: lim 1 1 1 0 1x

x a b a a

Si a=1, entonces el límite será: lim 1 1x

b b

17. Hallar las constantes k y b de la ecuación:

3

2

1lim 0

1x

xkx b

x

Solución: dividiendo los polinomios y repartiendo los límites, se tiene:

3 2

2 2

2

1 1

1 1lim 0 lim 0 lim 1 lim 0

11 11

x x x x

x x x xkx b kx b x x k bx x

x

De la última igualdad el segundo límite se hace cero, entonces se tiene: lim 1 0x

x k b

Para que el límite exista, el coeficiente de x debe ser cero: lim 1 0 1 0 1x

x k b k k

Si k=-1, entonces el anterior límite será: lim 0 0 1x

b b k

18. Calcular el límite: 2

limx a

x a x a

x a

Solución: racionalizando el numerador, pero antes debemos agrupar en dos términos, como se ve:

2 2

2 2lim limx a x a

x a x a x a x a x a x a

x a x ax a x a x a x a



De la última expresión sumando y restando términos semejantes, y volviendo a racionalizar:

2 2

2

2 2

22lim lim

2 2lim lim

x a x a

x a x a

a xax xa a x a a xa

a xax a x a x a x a x a x a

a xa a a x

x a x a x a a xa x a x a x a a xa

Simplificando aún más la última expresión para levantar la indeterminación, se tiene:

2 2

2

2 2lim lim

2 2lim lim

2 2lim lim

x a x a

x a x a

x a x a

a x a a x a

x a x a x a a xa x a a x a a x a a x x a a xa

a x a a x a

x a a a x a x a a xa x a x a a x a x a a xa

a x a a

x a a x a x a x a a xa x a a x a a xa

Por último evaluando el límite se tiene:

2 2 1

lim2 2x a

a a

a a a aa a a a a a aa

2

1lim

2x a

x a x a

ax a

19. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas y Simetrías, construir la gráfica de la ecuación: 2 2 9 0xy x y

Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja y de la ecuación (no existe raíz

cuadrada de un número negativo):

2 2 299 9 9

( , ) 9 0 1 9 0 0 ]1,9]11 1 1

xx x xF x y xy x y y x x y Df

xx x x

El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja x de la ecuación., (no

presenta ninguna restricción):

2

2 2 2 2

2

99 0 1 9

1

yxy x y x y y x If y

y

Intersecciones, con el eje x ( ( ,0)F x ): 2 2( , ) 9 0 9F x y xy x y x

Intersecciones, con el eje y ( (0, )F y ): 2 2 2( , ) 9 0 9 0F x y xy x y y no tiene intersecciones en los reales.

Asíntotas verticales: 9

1

xy

x

solo presenta una asíntota vertical y es: 1 0 1x x

Asíntotas horizontales:

2

2

9

1

yx

y

no presenta ninguna asíntota.

1 9FVF



Simetrías con el eje x ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 2 22 2 9 9xy x y x y x y si existe simetría

Simetrías con el eje y ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 2 2 2 29 9xy x y x y x y no existe simetría.

En conclusión no existe simetría con el origen.

20. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas y Simetrías, construir la gráfica de la ecuación:

( )1

xy f x

x

Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja y de la ecuación (no existe raíz

cuadrada de un número negativo):

( , ) 01

0( ) 0 0 [0,1[

11 1 11

xF x y y

x

xx x x xy f x y Df

xx x xx

El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja x de la ecuación., (no

presenta ninguna restricción):

22 2 2

21 1 1

x x yy y y xy x x If x

x x y

Intersecciones, con el eje x ( ( ,0)F x ): ( , ) 0 01

xF x y y x

x

Intersecciones, con el eje y ( (0, )F y ): ( , ) 0 01

xF x y y y

x


xy

x

solo presenta una asíntota y es: 1 0 1x x

Asíntotas horizontales:

2

2 1

yx

y

no presenta ninguna asíntota.

Simetrías con el eje x ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 1 1

x xy y

x x

no existe simetría

Simetrías con el eje y ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 1 1

x xy y

x x

no existe simetría.

0 1FVF





1( ) log

1

xf x

x

Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja y de la ecuación (no existe

logaritmo de un número negativo, ni del cero):

1 1( ) log ( , ) log 0

1 1

11 1 1( ) log log 0 ] , 1[ ]1, [

11 1 1

x xf x y F x y y

x x

xx x xf x y y Df

xx x x

El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja x de la ecuación., (no existe

división entre cero):

1 1 1

log 1 0 01 1 1

yy y y

y

x x ey e x xe e x y If y

x x e

Intersecciones, con el eje x ( ( ,0)F x ):1 1

( , ) log 0 log 01 1

x xF x y y

x x

no existe intersecciones.

Intersecciones, con el eje y ( (0, )F y ): 1

( , ) log 0 log 1 01

xF x y y y

x

no existe intersecciones.


log1

xy

x

presenta dos asíntotas en: 1 0 1 1 0 1x x x x

Asíntotas horizontales: 1

1

y

y

ex

e

solo presenta una asíntota horizontal en 0y

Simetrías con el eje x ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 1 1

log log1 1

x xy y

x x

no existe simetría

Simetrías con el eje y ( ( , ) ( , )F x y F x y ):

1 1log log

1 1

x xy y

x x


-1 1VFV





2( ) log 9 1f x x


logaritmo de un número negativo, ni del cero):

2 2

2 2 2

( , ) log 9 1 ( , ) log 9 1 0

3( , ) log 9 1 log 9 1 9 0 3 3 0

3

] , 3[ ]3, [

f x y y x F x y y x

xf x y y x y x x x x

x

Df

El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja x de la ecuación., (no existe

restricción):

2 2 2 1 1log 9 1 log 9 1 9 10 10 9y yy x x y x x If y

Intersecciones, con el eje x ( ( ,0)F x ): 2 2 2( , ) log 9 1 0 log 9 1 9 10 18F x y y x x x x

Intersecciones, con el eje y ( (0, )F y ): 2( , ) log 9 1 0 log 9 1 0F x y y x y no existe

intersecciones.

Asíntotas verticales: 2log 9 1y x presenta dos asíntotas en: 2 9 0 3x x

Asíntotas horizontales: 110 9yx no presenta asíntotas.

Simetrías con el eje x ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 2 2log 9 1 log 9 1y x y x no existe simetría

Simetrías con el eje y ( ( , ) ( , )F x y F x y ): 22log 9 1 log 9 1y x y x si existe simetría.


-3 3VFV



23. Analizar la continuidad de la función

Solución: analizando la continuidad por la izquierda y por la derecha para los puntos 2, 2x x .

Para 2x

2

33

2

( 2) ( 2) 2 0

lim 2 ( 2) 2 0

( ) es discontinua en 22

lim 42 2

x

x

f

x

f x xx

Para 2x

3

33

2

2

2(2) 4

2

2lim 4

( ) es discontinua en 22 2

lim 12 4 12 4 2 4

x

x

f

x

f x x

x

.

24. Determinar el valor de A y B para que la función sea continua:

2 1, 1

( ) 2 , 1 2

1, 2

Ax Bx x

f x Ax B x

x x

Solución: analizando la continuidad de los puntos por izquierda y derecha en los puntos 1, 2x x , se tiene:

Para

2

1

1

lim 1 11 (1)

lim 2 2

x

x

Ax Bx A Bx f

Ax B A B

Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. 1 2 2 1...A B A B A B

Para

2

2

2

lim 1 4 2 12 (2)

lim 2 4

x

x

Ax Bx A Bx f

Ax B A B

Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. 4 2 1 4 3 1 0...A B A B B



Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 2 1 1 1

,3 1 0 3 3

A BA B

B

25. Determinar para que valores de x la función es discontinua y construir su gráfica:

1 ; 2

( ) 2 ; 2 3

2 7; 3

x si x

f x x si x

x si x

Solución: analizando la continuidad por la izquierda y por la derecha para los puntos 2, 3x x .

Para 2x

2

2

( 2) 1 2 1

lim 1 1 2 1

( ) es discontinua en 2lim 2 2 2 4

x

x

f

x

f x xx

Para 3x

3

3

(3) 2 3 1

lim 2 2 3 1

( ) es discontinua en 3lim 2 7 2 3 7 1

x

x

f

x

f x xx

26. Determinar el valor de C y K para que la función sea continua en todos su dominio:

2 , 2

( ) 3 , -2 1

3 2 , 1

x C x

f x Cx K x

x K x

Solución: analizando la continuidad de los puntos por izquierda y derecha en los puntos 2, 1x x , se tiene:

Para

2

2

lim 2 2 2

2 ( 2)lim 3 6

x

x

x C C

x fCx K C K

Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. 2 2 6 8 2...C C K C K

Para

1

1

lim 3 3

1 (1)lim 3 2 3 2

x

x

Cx K C K

x fx K K

Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. 3 3 2 3 3 3 1...C K K C K C K

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 8 2 1 2

,1 0 3 3

C KC B

C K



27. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 3 5 7x


3 23 5 7 7 3 5 7 2 3 13

3 13

xx x x

x

Resolviendo cada una de las inecuaciones:

Primero para 3 2x :

1

3 2 3 2 3 2 1 5x x x x x

Cs x

Segundo para 3 13x ;

2

3 13 13 3 13 10 16

[ 10,16]

x x x

Cs

La solución total de la inecuación está dada por la intersección de: 1 2 [ 10,16]TCs Cs Cs

28. Si ( ) 3 2f x x a , determinar los valores de a de modo que: 2 1( ) ( 2)f a f a

Solución: Determinando cada una de las funciones evaluadas tenemos:

Para: 2( )f a

2 2( ) 3 2 ( ) 3 2f x x a f a a a

Para: 1( 2)f a primero determinamos la función inversa y luego la evaluamos.

12 2( ) 3 2 ( )

3 3

x yy a x af x y x a x f x

y x

Evaluando: 1 1

2 2 2( 2) ( 2)

3 3

a a af a f a

Igualando funciones y determinado los valores de a:

2 1 2 2

22

( ) ( 2) 3 2 9 7 2 0 93

1

aaf a f a a a a a

a

29. Calcular: 4

1 5lim

2x

xL

x x x

Solución: se puede observar que es un límite algebraico, por lo tanto racionalicemos el numerador y el denominador.

2

4 4 4

224 4 2

2 2 24 4

41 5 1 5 1 5lim lim lim

2 1 5 1 5 2 1 5 2

2 4 24lim lim

1 5 2 2 1 5 2

4 2 4 2lim lim

1 5 4 4 1 5 5

x x x

x x

x x

xx x xL

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x xxL

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x xL

x x x x x x x x

4

4 2lim

4 1 5 4 1x

x x x x

x x x x x

1VV

5V

-10VF

16F



Se puede observar el factor que causaba la indeterminación, simplificando y evaluando el límite tenemos:

4

2 8 1lim

2 4 3 31 5 1x

x x xL L

x x x


2 2( )

3 3

x xf x

x x


división entre cero):

2 2 2 2( ) ( , ) 0

3 3 3 3

x x x xf x y F x y y

x x x x

32 2( ) 3 3 0 3

33 3

xx xf x x x Df x

xx x

El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función

cuando se despeja x de la ecuación, (no existe raíz cuadrada de un número negativo):

22 2 2

2

2 2 49 4 1 9 4

3 3 9

49

9 4 9 4 490 0 ] , ] ]1, [

1 1 1 9

x x xy y x y y x x y y

x x x

yy y

x Ify y y

Intersecciones, con el eje x ( ( ,0)F x ):

22 2 2 2( , ) 0 0,

23 3 3 3

xx x x xF x y y

xx x x x

Intersecciones, con el eje y ( (0, )F y ):

0 2 0 2 4( , ) 0

0 3 0 3 9F x y y y

Asíntotas verticales:

2 2( )

3 3

x xf x y

x x

presenta dos asíntotas en: 3 3 0 3, 3x x x x

Asíntotas horizontales: 9 4

1

yx

y

presenta una asíntota en: 1y

Simetrías con el eje x ( ( , ) ( , )F x y F x y ):

2 2 2 2

3 3 3 3

x x x xy y

x x x x


Simetrías con el eje y ( ( , ) ( , )F x y F x y ):

2 2 2 2

3 3 3 3

x x x xy y

x x x x

si existe simetría


4/9 1VFV



31. Dada 1

( )2

x xf x a a , demostrar que ( ) ( ) 2 ( ) ( )f x y f x y f x f y

Solución: hallando la función para cada una de las funciones compuestas:

Para ( )f x y : 1 1( ) ( )

2 2

x y x yx xf x a a f x y a a

Para ( )f x y : 1 1( ) ( )

2 2

x y x yx xf x a a f x y a a

Sumando las funciones compuestas, y luego utilizando propiedades de exponentes:

1 1 1

( ) ( )2 2 2

x y x y x y x y x y x y x y x yf x y f x y a a a a a a a a a a a a

Factorizando términos semejantes:

1 1

( ) ( )2 2

x y y x y y x x y yf x y f x y a a a a a a a a a a

Ordenando de manera conveniente:

( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

2 2

x x y ya a a af x y f x y f x y f x y f x f y

FORMULARIO

PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO:

Definición: 0

0

a aa

a a

Propiedades más útiles: 2

a a a b a b a b Si 0b , x b b x b

Si 0b , x b b x b x b x b x b x b x b x b

LIMITES CONOCIDOS:

1

0lim 1 x

xx e

1

lim 1

x

xe

x

0

1lim ln

x

x

aa

x

0

sinlim 1x

x

x

0

1 coslim 0x

x

x



PRACTICA:

1. Hallar el conjunto solución de: 2

2

3 21

6 9

x x

x x

Sol.:

7] , ]

3Cs


2 3 0x x Sol.: ] , 1] [1, [Cs


1 53x

Sol.:

19 11] , ] [ , [

6 4Cs

4. Hallar el conjunto solución de: 3 1

25

x

x

Sol:

11] , 9] [ , [ 5

5Cs

5. Construir la gráfica de la función 3( ) log 2f x x , realizando un análisis completo.

6. Construir la gráfica de la función 2

2( )

4

xf x

x

, realizando un análisis completo.

7. Construir la gráfica de la función 2

2

2

40

9

xy

x

, realizando un análisis completo.

8. Si sin

( )1 cos

xf g x

x

y

1( )

secg x

x , hallar ( )f x Sol.:

21( )

1

xf x

x

9. Si 12

( 2) , ( )1 1

x xf x g x

x x

, hallar: 1 ( )f g f x

10. Hallar la constante “a”, si (1 ) ( )f g a g f a , donde ( ) 1, ( ) 2 1f x x g x x

Sol.: 3

4a

11. Calcular el límite: 3

3

30 3lim

7 2x

xL

x

Sol.:

4

27L

12. Calcular: 2

3

9lim

13 2 1x

xL

x x

Sol.: 16L

13. Calcular el límite:

3 4

11

1 1 1 ... 1lim

1

n

nx

x x x xL

x

Sol.: 1

!L

n

14. Determinar las constantes a y b para que ( )f x sea continua, y luego graficar:

2

2 ; 2

( ) ; 2 1

; 1

x si x

f x ax b si x

x si x

Sol: 1, 0a b

15. Determinar las constantes A y B para que ( )f x sea continua en todo su dominio.

23 ; 0

( ) ; 0 2

2 5; 2

x A si x

f x Ax B si x

x si x

Sol: 1

3A B

Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga Cálculo I Primer Parcial · 2012-08-29 · Elaborado...

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