2ELVALORDELDINEROENELTIEMPOMeinauguraseldacontusbraz osQuemeacogen,mesalvan,meconsuelanD elempujedeltiempovelocsimoD ondesomoselmaryelnavegante.JorgeGuilln.MstiempoSehablamuchodedepositarconfianz a,peronadiedicequinterstepagan.Quino.Manolo,en...yyodigo2.1 ANLISIS DE RENTABILIDADEnes t e capt u lo s e es t u diar el problema qu e s e plan t ea el decis or alenfrent arse con flu jos de dinero qu e ocu rren en diferent es perodos. Paracu alqu ierper s on a esmu y clar o, in t u it ivamen t e, qu e el in dividu o t ien epreferen cia por con s u mir ah ora y n o pos pon er es e con s u mo; t ambinesmu y clar o par a cu alqu ierin dividu o qu e s e pr efier e t en eru n a s u ma dedin er oh oyyn ot en er qu ees per ar u n cier t ot iempopar apoder con t arconla mis ma can t idad de din ero ofrecida para h oy. Sobre es t a bas e, s edes a r r ollalo qu e s e con oce como matemticasfinancieras , qu e bienpo-dra llamars e aritmtica financiera. Par a el man ejo de es t a h er r amien t as lo esneces ario aplicar lasoperacionesbs icasde la arit mt ica, algo des en t ido com ny cier t a capacidad de an lis isde s it u acion es .Enel es t u dio de es t e t emas e pu edeniden t ifica rt r esn ivelesde com-pr en s in :1. Concept u al2. Oper a t ivo o in s t r u men t a l3. Sit u acion alEl primer nivel s e relaciona con el ent endimient o de losconcept osb-sicos de inters, tasa de inters, equ ivalencia y reglas de decisin de mto-dosbas adosen losant erioresconcept os . El s egu ndo nivel t iene qu e verconelu sodefrmu lasyfu ncionespreest ablecidas,lascu ales,porloDECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 31general, s e encu ent ran en lashojasde clcu lo elect rnicas , como Excel,Lotu s, Q-Pro1, et ct era. Por lt imo, est la comprensin sit u acional qu et iene qu e ver con la des cripcin de la realidad qu e s e des ea analizar; porejemplo, las clu su las de u n cont rat o o de u n pagar o la descripcin deu na sit u acin qu e se desea cambiar y para lo cu al se t ienen alt ernat ivasde s olu cin. La experiencia indica qu e mu choss e des animan ant e la difi-cu ltad del tercer nivel de comprensin y asocian esa dificu ltad con el temamismo, o sea los niveles de comprensin concept u al y operat iva. El t ercernivel se domina con la prctica y con el ejercicio de enfrentarse a m ltiplessit u aciones para analizarlas. Es cu est in de t iempo y de paciencia.2.2ELCONCEPTODEEQUIVALENCIAUn o de losfu n da men t osde laecon omaeslas icologa . El compor -t amien t o del in dividu o enr elacincons u sdecis ion es , compor t amien t ode con s u mo y a h or r o,esel elemen t o b s ico del es t u dio de lacien ciaecon mica . Porejemplo, losin dividu osobt ien ens a t is fa ccina l con s u -mirporcon s u mirlo m spr on t o pos ible, y pu ede ca mbia rcon s u moa ct u a l porcon s u mo fu t u r o, s iempr e qu e lau t ilida d o s a t is fa ccinqu eobt en gade es t e lt imo s eaa l men osequ iva len t e,n o n eces a r ia men t eigu a l aladel con s u mo a ct u a l. Es t e esu n o de lost ema sfu n da men t a lesde lamicr oecon oma .Lagen t e t ien e u n apr efer en cias u bjet ivaacon s u mirh oy; porlo t a n -t o,lapos t er ga cinde u ncon s u mo a ct u a l implicalaexigen ciade u n ama yor ca n t ida ddecon s u mofu t u r o,pa r a a lca n za r u n a s a t is fa ccinequ ivalen t e. Cu an do es t a n eces idad compu ls iva de con s u mirs e in h ibe,s e pr odu ce u n ain s a t is fa ccinqu e de a lgu n ama n er adebe compen s a r -s e; es acompen s a cinlar ecibe el in dividu o a l dis pon erde ma yorca pa -cida ddecon s u moen elfu t u r o. Con ellos ellega f cilmen t ea lacon clu s inqu e yan o s e pu edens u ma ru n ida desmon et a r ia sde dife-r en t esper odos ,por qu e n o s onigu a les .Cu a n do s e in t r odu ce el con cept o de invers in,o s eaqu e u nin divi-du o a h or r ao in vier t e $1 pa r aobt en erm sde $1 a l fin a l de u nper odo,s e en cu en t r aqu e in ver t ir h a s t acu a n do el exceden t e qu e le pa gu enpors udin er o, n o s eamen orqu e laqu e el in dividu o a s ign aa l s a cr ificiode con s u mo a ct u a l, o s ea , alat a s aalacu a l es t dis pu es t o aca mbia rcon s u mo a ct u a l porcon s u mo fu t u r o.Unmodelo ma t em t ico qu e r epr es en t aes t a sidea s ,con s is t e enlas igu ien t e ecu a cin :F= P + compens acin por aplaz ar cons umo (2.1)Don de:F = Su mafu t u r apos edaa l fin a l de n per odos .P = Su made ca pit a l coloca do enel in s t a n t e 0.1 Excel esu n ama r car egis t r a daporMicr os oft ; Lot u sy Q-Pr o s onma r ca sr egis -t r adas por IBM.IGNACIOVLEZPAREJA 32Es t e modelo y losp r r a fosa n t er ior esper mit enin t r odu ciru ncon -cept o de mu ch aimpor t a n cia : el de equivalencia. Se dice qu e doss u ma ss onequ iva len t es ,a u n qu e n o igu a les ,cu a n do alaper s on ale esin dife-r en t er ecibir u n a s u ma dedin er oh oy(P)yr ecibir ot r a difer en t e(F)ma yora l ca bo de u nper odo. Enmicr oecon omaes t as it u a cins e mideconlat a s ama r gin a l de s u s t it u cinenel con s u mo. Es t ar ela cineslaba s e de t odo lo qu e s e con oce como matemticasfinancieras .Es t a difer en cia en t r ePyFr es pon depor elvalorqu elea s ign a elin dividu o a l s a cr ificio de con s u mo a ct u a l y a l r ies go qu e per cibe y a s u -me a l pos pon erel in gr es o.El con cept o de equivalencia implicaqu e el va lordel din er o depen dedel momen t o enqu e s e con s ider e, es t o es , qu e u npes o h oy, esdifer en -t e au npes o den t r o de u nmeso den t r o de u na o.2.3INTERSYTASASDEINTERSAl h a bla rde equ iva len cias e h ain volu cr a do enfor maimplcit a u nmon t odein t er s qu es epu eder epr es en t a r comou n a fr a ccin delas u maenel per odo in icia l (h oy) o como u npor cen t a je i%,engen er a l,difer en t e de cer o. El con cept o de in t er s , s ins erin t u it ivo, es t pr ofu n -da men t ea r r a iga doen la men t a lida ddequ ien es viven en u n s is t emaca pit a lis t a . Esu ncon ocimien t o n ocion a l, pr odu ct o de las ocia liza cin ,pores o n o est ot a lmen t e intuitivo, esin t u icins ocia liza da .No s e n eces it afor ma cina ca dmicapa r aen t en derqu e cu a n do s er ecibe din er o enca lida d de pr s t a mo,esjus to pa ga ru n as u maa dicio-n a l a l devolver lo. Laa cept a cinde es t ar ea lida d econ micaescom nat odosloses t r a t oss ocioecon micos .Pa r amos t r a rlo popu la rdel con cept o, s e pu ede cit a ralaEnciclope-dia Salvat Diccionario2,qu e defin e intersa s :Provecho, ganancia, utilidad [...]. Lucro producido por el capital [...].El interspuede definirs e, en una primera aproximacin a s u con-cepto,comoelpreciopagadoendinero,porelus odeldinerodeotro.Eneconoma,elinters s eligaalos conceptos decapital,tiempo yries go; des de es ta ptica puede s er cons iderado como lacompens acin que el pos eedor del dinero recibe [...] por la ces in aotros [y ]porlautiliz acinduranteunperodo[...]deuncapitaldeterminado, empleo que en s mis mo, ess iempre arries gado.En ot r as palabr as ,elinters ,I,es lacompens acinquerecibenlosindividuos , firmaso pers onasnaturales , por el s acrificio en que incurrenalahorrarunas umaP.Elmer ca dolebr in da a lin dividu o(per s on a ofir ma ) lapos ibilida d de in ver t iro lade r ecibirenpr s t a mo; el h ech o dequ e exist an oport u nidades de inversin o de financiacin hace qu e exist ael in t er s .Es t e fen men o econ mico r ea l,s e mide con la tas a de inte-rs , i, la cual, a s u vez , s e repres enta por un porcentaje. Es t e por cen t a jes e ca lcu ladividien do el in t er sI r ecibido o pa ga do porper odo, en t r e elmon t o in icia l, P; de modo qu e lat a s ade in t er ss er :2EnciclopediaSalvatDiccionario,Sa lva t Edit or es ,Ba r celon a ,t omo7,1975,p.1817.DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 33PIi (2.2)Esdecir ,el in t er seslacompen s a cinqu e r ecibenlosin dividu os ,fir ma so per s on a sn a t u r a les , porel s a cr ificio enqu e in cu r r ena l a h o-r r a r .Ret oma n do el con cept o de equ iva len cia , el modelo qu e lo expr es as epu ede r edefin ira s :F= P + compen s a cinpora pla za rcon s u moF=P + Pi = P(1+i) (2.3)y s e pu ede gen er a liza rpa r acu a lqu iern mer o de per odos ,n, a s ,( )ni P F + 1(2.4)o t a mbin , ( )niFP+1(2.5)Es t aexpr es inesfu n da men t a l enel a n lis isde losmovimien t osdedin er o. A pa r t irde es t afr mu las e dedu cent oda sla sfr mu la sde in t e-r squ e s e u t iliza npa r ah a lla rlaequ iva len ciaen t r e s u ma sde din er o enelt iempo;en r ea lida d, n os en eces it a r a con ocer m s qu ees t o. La sfr mu la syamen cion a da ss onder iva cion esde laa n t er ior , y s uu s o ydedu ccins onn a dam squ e bu en osejer ciciosde a r it mt ica .Se dice,en t on ces , qu e P esel va lordes con t a do o va lorpr es en t e de u n as u mafu t u r aF.Lat a s ade in t er squ e es t a blece es t aequ iva len cias e lla matas a dedes cuento (dis count rate o hurdle rate ,enin gls ) o tas a de rentabilidadmnima aceptable; a lgu n osa u t or espr efier enu t iliza rel n ombr e de cos too tas a de oportunidad ; m sa dela n t e s e es t u diaes t e pu n t o condet a lle ys e defin e lafor made det er min a r la .Lat a s ade des cu en t o n o debe con fu n dir s e conel por cen t a je de des -cu en t o qu e pu ede r ecibirqu iencompr au npr odu ct o o qu iencompr au nt t u lo va lor(bon os ,porejemplo) ades cu en t o.Lat a s ade des cu en t os e det er min acon s ider a n do el cos t o del din er o pa r ael decis or ; es t o es ,lo qu e pa gaporr ecibirdin er o pr es t a do,o lo qu e dejade ga n a rporeldin er o qu e t ien e. A es t e lt imo cos t o s e le den omin acos t o de opor t u n i-da dya qu s eu t iliza r eln ombr edet a s a dedes cu en t o.Es t a t a s a dein t er seslaqu e s e u t ilizapa r ah a cerc lcu losqu e per mit eneva lu a rlabon da ddeu n a in ver s in .Es t et ema s et r a t a r con m s det a lleen elca pt u lo 5.EJ EMPLO1Algu ienen t r egah oy u n as u maP porvalorde $1.000 a u namigo y alca bo de u na o (n) s t e le devu elve u nva lorF de $1.300. Si es t aper s o-n an o in t en t a baga n a rdin er o conel a migo, per o t a mpoco per der , por -IGNACIOVLEZPAREJA 34qu e lat en adepos it a daenu n acu en t ade a h or r osqu e pr odu ca30%,conel a migo s e dice qu e esin difer en t e en t r e $1. 000 h oy y $1. 300 des -pu sde u na o. O s eaqu e es t a sdoss u ma sde din er o s onequ iva len t es ,por qu e a l a o s e h a nr ecibido 1.000 + i x 1.000 esdecir$1.300, da doqu e lat a s ade in t er si% alacu a l pr es t , fu e del 30%.2.3.1COMPONENTESDELATASADEINTERSSe pu ede con s ider a rqu e lama gn it u d de lat a s ade in t er scor r ien t e,os ea la qu es een cu en t r a en elmer ca do(la qu eu s a n los ba n cos ocu a lqu ierot r aen t ida d fin a n cier a ) t ien e t r escompon en t eso ca u s a s : lain fla cin , elr ies goyla t a s a r ea ldein t er s . Es t a des compos icin esmu y t ilpa r a en t en der los ca pt u los 5,6y7.En elca pt u lo5,pa r aen t en derel elemen t o r ies go enla sdifer en t est a s a squ e a ll s e es t u dia n ;enel ca pt u lo 6,pa r aen t en derla spr oyeccion esde loses t a dosfin a n -cier os ,y enel ca pt u lo 7,el a n lis isde pr oyect osenin fla cin .2.3.1.1 LAINFLACINEl efect o de lainflacin, m spr ecis a men t e la sexpect a t iva sde in fla -cin , s onu nefect o pr opio de laecon oma , don de s e pr es en t ael pr oble-ma de decidir ent re alt ernat ivasde invers in. La inflacin esu na medidadel a u men t o del n ivel gen er a l de pr ecios , medido at r a vsde laca n a s t afa milia r ;s u efect os en ot a en la pr dida delpoder a dqu is it ivodelamon eda .Es t os ign ifica qu ecu a n doh a yin fla cin ca da vezs epu edecompr a r men os con la mis ma ca n t ida ddedin er o.Ama yor in fla cin ,ma yort a s ade in t er s . Pa r acor r obor a rlar ela cinen t r e in fla ciny t a s ade in t er scor r ien t e s e pu ede cit a raBolt en(1976,369-371),qu iena la n a liza rlar ela cinen t r e a lgu n osin dica dor esecon micosy la st a s a sde in t er sy enpa r t icu la rconlain fla cin , dice, r efir in dos e alosEs t a -dosUn idos :Larelacinentrelainflaciny latas adeinters pareces ermscons is tentementeconfiablequeladelos otros factores delade-mandaes tudiados has taaqu,aunquelas otras relaciones hans ido tilespara cons truir todo el perfil del mercado. Entre media-dosde 1965 yfinesde 1966 lascrecientestas asde inflacin [...][es tuvieron acompaadas ] por tas asde interscrecientes[...] Cuan-do lastas asde inflacin des cendieron a finesde 1970, lastas asde intersdis minuy eron de nuevo. El res urgimiento de la rpidainflacin de principiosa mediadosde 1971 yel s ubs ecuente amor-tiguamiento a finesde es e ao s e puede localiz ar en lastas asdeinters , que tambin s ubieron yluego bajaron de manera notable.En1973y 1974lahis tricamenteelevadainflacindiolugaralrpido aumento de lastas asde inters .DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 35La relacin entre losfactoresde oferta ydemanda ylastas asdeinters , as como la confiabilidad de lasrelacioneses peradasdu-rante el decenio 1965-1974, s e res umen a continuacin.Factor 1965 - 1974 Relacin esperada ConfiabilidadPerspectivas de inflacin Al aumentar el factoraumenta la tasa de intersExacta el 75%de las vecesgeneralmentecon retrasoOt r aeviden cia :La Fed pondera medio punto. La amenaz a de inflacin empuja lastas asde inters .Lasltimasinformacioness obre inflacin en Es tadosUnidosau-mentan laspos ibilidades , s i bien no la certez a, de que la Res ervaFederalelevenuevamentelas tas as deinters enmediopuntoporcentual cuando s usautoridadess e renan.[...]Dis tintosinformesdadosa conocer ay er por el gobierno mos traronfuertesalz asdurante el primer trimes tre, en uno de losndicesdeprecios ms importantes paralos economis tas y enlos cos tos la-borales3.EnColombia , el efect o de lain fla cincomo compon en t e de la st a s a sdein t er s , s er econ ocecon la cor r eccin mon et a r ia dela UnidaddePoder Adquis itivo Cons tante, UPAC, has ta 1999. A partir del 2000 es to s ereconoceconlaUnidaddeValorRealUVR.Sin emba r go,pa r a 1998,lafor made ca lcu la rlacor r eccinmon et a r iau npor cen t a je de laDTF (DTFesla t as a pr omedio de capt acina 90 dasde losban cos , cor por acion esfin a n cier a s , cor por a cion es dea h or r oyvivien da ycompa a s defin a n cia mien t o comer cia l, divu lga da ss ema n a lmen t e porel Ba n co de laRep blica ) r es u lt avecesenu n acifr aa bs u r da , pu es t o qu e lacom-pon en t ein fla cion a r ia t er min s ien doma yor qu ela mis ma in fla cin .Es t a fu eu n a dela s ca u s a s dela cr is is dels is t ema UPAC.Un a r pidaexplor a cin a los va lor es dela s t a s a s dein t er s libr es der ies godelmer ca do de a lgu n ospa s es , enlat a bla2.1, mu es t r alain flu en ciade lain fla cins obr e lat a s ade in t er s .3 Schlesinger, J acob M. enThe Wall Street J ournal. La Fed pondera medio punto, TheWall Street J ournal Americas. El Tiempo, 26 deabrilde2000, p 12A.IGNACIOVLEZPAREJA 36TABLA 2.1 Ta s a sde in fla cine in t er sde a lgu n ospa s es1997Pas Tasa deinflacinanual %Tasa de intersanual %Pas Tasa deinflacinanual %Tasa deintersanual %Alemania 1,6 5,41 Hungra* 18,7 20,11Argentina* 0,9 7,00 India* 9,2 6,83Australia 1,6 6,48 Indonesia* 5,0 12,63Austria 2,0 5,58 Israel* 8,4 10,49Blgica 1,8 5,51 Italia 2,0 6,42Brasil* 5,9 21,00 Japn 1,2 2,25Canad 1,8 5,80 Malasia* 2,2 8,12Chile* 5,3 10,69 Mxico* 20,4 17,70China* 2,8 9,90 Polonia* 15,3 25,33Colombia* 18,7 22,55 Portugal* 1,8 5,60Corea del Sur* 4,0 12,05 Rep. Checa* 6,8 15,37Dinamarca 2,2 5,89 Rusia* 14,5 36,00Espaa 2,1 6,01 Singapur* 1,6 4,34Estados Unidos 2,6 6,05 Suecia 0,8 6,29Filipinas* 4,8 12,00 Suiza 0,8 3,41Francia 1,4 5,28 Surfrica* 8,8 15,03Gran Bretaa 2,7 6,96 Tailandia* 4,4 18,00Grecia* 5,5 11,70 Taiwan* 1,8 6,80Holanda 2,3 5,39 Turqua* 78,0 80,00Hong Kong* 5,4 7,24 Venezuela* 43,5 20,93Fu en t e: The Economis t, 2 de a gos t o de 1997, p. 80-82.*Pa s escla s ifica doscomo emer gen t es ; t a s ade in t er s : de cor t o pla zo.Pa r alosdem spa s es ,r en dimien t osde losbon osdel gobier n o.La relacin qu e se present a en la t abla 2.1 se aprecia en la grfica 2.1.GRFICA 2.1 Ta s ade in t er sfr en t e at a s ade in fla cinTa s ade in t er san u al fr en t e a in flaciny = 0,8457 x + 5,7254R2 = 0,80690204060801000 20 40 60 80 100Tas a de inflacin %Debe distingu irse entre inflacin, devalu acin y depreciacin, trminosqu e mu chas personas u tilizan indistintamente. La inflacin, como se dijo,tiene que ver con el cambio en el nivel general de precios de los artculos quecomponen u na canasta de consu mo (canasta familiar); la devalu acin serefierealpreciodeu nadivisaextranjera(enColombiaeseldlardelosEstados Unidos), y la depreciacin es u n concepto contable, qu e trata demedir, entre otras cosas, el desgaste de u n bien debido a suu so.Ten erencu en t alain fla cinesmu y impor t a n t e cu a n do s e t r a t adedet er min a r los n iveles dela s t a s a s dein t er s fu t u r a s (ca pt u lo6)yeva lu a rin ver s ion esenin fla cin(ca pt u lo 7).Tasa de inters %DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 372.3.1.2ELRIESGOEl efect o del ries go esint rns eco al negocio o invers in donde s e colocaeldineroocapit al;amayorriesgo,mayort asadeint ers.Elriesgoesprodu cido por diversos fact ores: la inflacin fu t u ra, la inest abilidad eco-nmica y poltica, la proliferacin de normas qu e hacen inestable la situ a-cindelos invers ionis t as ,ladevalu acin,et c.Elelement ories goenlat as a de int ersesmu y import ant e en el reconocimient o de last as asdeint ersqu e es peran obt ener losinvers ionis t as(capt u lo 5), en la proyec-cin de last as asde int erscu ando s e es t ru ct u ra u n proyect o o invers infu t u ra (capt u lo 6) y cu ando se t rat a de evalu ar el riesgo de u na inversin.2.3.1.3TASADEINTERSREALEl intersrealo lapr odu ct ivida d ens uu s o esu nefect o in t r n s ecodel ca pit a l, in depen dien t e de laexis t en ciade in fla cino r ies go. Reflejat a mbin la a bu n da n cia oes ca s ezdedin er oen elmer ca do(gr a dodeliqu idez del mer ca do) y lapr efer en ciaqu e t en ga nlosa h or r a dor esporlaliqu idez,o s ea ,ladis pon ibilida d de din er o enefect ivo pa r acon s u mo.La r elacinde es t oscompon en t espar a det er min arla t as a de in t er scor r ien t e, n o esa dit iva , s in o mu lt iplica t iva , o s eaqu e lat a s ade in t er scor r ien t e,s e pu ede expr es a ra s :ic = (1+ir)(1+if)(1+ip)-1 (2.6)Don de:ic = Ta s ade in t er scor r ien t eir = Ta s ade in t er sr ea lif = Ta s ade in fla cinip = Compon en t e de r ies goHa y qu ien espr opon en , a l a n a liza rla scon s ecu en cia sde lau t iliza -cindel ca pit a l ent r min osde din er o, qu e s e debendefla ct a ro r edu cirla scon s ecu en cia sau n ida desmon et a r ia scon s t a n t es . Al h a ceres t o yu t iliza r , a dem s , u n at a s an o defla ct a dade in t er ss e es t a r t en ien doencu en t adosvecesel efect o de lain fla cin .Es t o s e es t u diaendet a lleenot r o ca pt u lo. Obvia men t e, como s e s u gier e enel p r r a fo a n t er ior ,enu n aecon omain fla cion a r iadebe t en er s e encu en t ael pr ecio a ct u a lde losa ct ivoso ca pit a l compr omet ido.Se debe ser mu y cu idadoso al establecer tasas de inters corriente, pu esno se deben confu ndir con tasas de inters con su bsidio, ni lo contrario,tasas de inters de u su ra o agio. Ejemplos de las primeras son los crditosde fomento; ejemplo de las segundas, las tasas de inters que muchas vecestienen qu e pagar las clases menos favorecidas y au n las pequ eas empre-sas y microempresas, el 5% a l 7% mensu al. Es posible encontrar situ acio-nes coyu ntu rales en las qu e la tasa de inters real es negativa, o sea qu e latasa de inters corriente es menor qu e la inflacin (vase la tabla 2.2).Es t an ocinde compon en t esesper t in en t e pa r ades componer, msqu e pa r acompon erlat a s ade in t er scomer cia l, ic. Es t o es , qu e apa r t irde u n adet er min a dat a s ade in t er scomer cia l ic,con ocien do u n ao doscompon en t es , s e pu ede det er min arla t er cer a. Porejemplo, s i s e con ocelain fla cin , if, y s e t ien e u n at a s ade in t er slibr e de r ies go,s e pu edeIGNACIOVLEZPAREJA 38det er min a rel in t er sr ea l, ir; s i s e con oce lacompon en t e in fla cion a r ia ,if y lat a s ade in t er sr ea l, ir,s e pu ede ca lcu la rlama gn it u d del r ies go,per cibido porqu ienfij lat a s ade in t er scomer cia l.Sinembar go, cu an do s e h acenpr oyeccion espar a evalu aralt er n at i-vasde invers in, esrecomendable proyect ar lascomponent es(inflacin,t as a real y ries go) para calcu lar el valor fu t u ro de u na t as a de int ers . Uncas o de compos icinde la t as a de in t er s , esel de lascor por acion esdeah or r o y vivien da enColombia, qu e cobr any es t ipu lanpors epar ado lacorreccin monet aria (inflacin if) y el int ers real, ir ; s e pu ede cons iderarqu e debido a t odoslosmecan is mosde prot eccincodeu dores , s egu ros ,h ipot ecas es t ast as asdeberans er libresde ries go, ip. Por ejemplo, s i s eu t ilizan losdat osde la t abla 2.1, s e pu ede calcu lar el mont o de la t as a dein t er sr ea l enes ospa s es , u t iliza n do las igu ien t e expr es in , qu e s e de-du ce de la r elacinen t r e loscompon en t es , r ecor dan do qu e ip=0,( ) 1 ) 1 ( 1 + + f r ci i i (2.7)En t on ces ,( )( )111++fcriii(2.8)TABLA 2.2 Ta s a sde in fla cine in t er scor r ien t e y r ea l de a lgu n ospa s esPas Tasa deinflacinanual %Tasa deintersanual %Tasa deintersreal %**Pas Tasa deinflacinanual %Tasa de intersanual %Tasa deintersreal %**Alemania 1,6 5,41 3,75 Hungra* 18,7 20,11 1,19Argentina* 0,9 7,00 6,05 India* 9,2 6,83 -2,17Australia 1,6 6,48 4,80 Indonesia* 5,0 12,63 7,27Austria 2,0 5,58 3,51 Israel* 8,4 10,49 1,93Blgica 1,8 5,51 3,64 Italia 2,0 6,42 4,33Brasil* 5,9 21,00 14,26 Japn 1,2 2,25 1,04Canad 1,8 5,80 3,93 Malasia* 2,2 8,12 5,79Chile* 5,3 10,69 5,12 Mxico* 20,4 17,70 -2,24China* 2,8 9,90 6,91 Polonia* 15,3 25,33 8,70Colombia* 18,7 22,55 3,24 Portugal* 1,8 5,60 3,73Corea del Sur* 4,0 12,05 7,74 RepblicaCheca*6,8 15,37 8,02Dinamarca 2,2 5,89 3,61 Rusia* 14,5 36,00 18,78Espaa 2,1 6,01 3,83 Singapur* 1,6 4,34 2,70Estados Unidos 2,6 6,05 3,36 Suecia 0,8 6,29 5,45Filipinas* 4,8 12,00 6,87 Suiza 0,8 3,41 2,59Francia 1,4 5,28 3,83 Sudfrica* 8,8 15,03 5,73Gran Bretaa 2,7 6,96 4,15 Tailandia* 4,4 18,00 13,03Grecia* 5,5 11,70 5,88 Taiwan* 1,8 6,80 4,91Holanda 2,3 5,39 3,02 Turqua* 78,0 80,00 1,12Hong Kong* 5,4 7,24 1,75 Venezuela* 43,5 20,93 -15,73Fu en t e:TheEconomis t,2dea gos t ode1997,p.80-82.*Pa s es cla s ifica dos comoemer gen t es ;t a s a dein t er s :decor t opla zo.Pa r alos dem s pa s es ,r en dimien t os delos bon os delgobier n o.**C lcu los dela u t or .DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 39Seg nlat a bla2.2, la st a s a sr ea less e en cu en t r a n , enmu ch osca -s os , alr ededordel 5%-7%; la sva r ia cion espu edenr es pon deras it u a cio-n es dea bu n da n cia oes ca s ezdedin er o, oa medida s decon t r ola dmin is t r a t ivo, porpa r t e del gobier n o.Enu n aexplor a cinala st a s a sde in t er slibr esde r ies go (t t u losdet es or er a delgobier n ocolombia n o, TES)en t r ea br ilde1995yju liode1999s een cu en t r a qu ela t a s a dein t er s r ea ln oes con s t a n t e. Un ain t er pr et a cinqu e s e le pu ede da raes t e h ech o esqu e a u nenla st a s a sdebon os libr es der ies goexis t ea lg n gr a dodes t e, pr oba blemen t ea s ocia do alain fla cin . Es t o s e pu ede a pr ecia renlas igu ien t e t a bla .TABLA 2.3 Compor t a mien t o de lat a s ar ea l de in t er senColombiaA 6 meses A 1 ao A 2 aos A 3 aosMximo 31,13% 26,30% 17,27% 12,97%Mnimo -5,26% 2,33% 7,29% 8,79%Promedio 10,39% 10,91% 9,79% 10,33%Desviacin estndar 8,75% 6,80% 1,91% 1,40%Coeficiente de variacin1,191,615,127,39Gr fica men t e, el compor t a mien t o de la st a s a s , s eg nlosper odosde ma du r a cinde losbon osTES, s e a pr eciaenlagr fica2.2GRFICA 2.2 Compor t amien t o de la t as a r eal 1995-1999Porot r o la do,t a mbins e en con t r qu e exis t e u n aa lt acor r ela cinen t r e lat a s ar ea l y lat a s ade in fla cin . Es t o r a t ificalaideade qu e la st a s a sr ea les , pors ua lt ava r ia cin(va s e gr fica2.2) con t ien ena lg ngr a doder ies goa s ocia doa la in fla cin .La t a s a dein fla cin qu es eu t ilizen es t ea n lis is fu ela cor r es pon dien t ea ln dicedePr ecios a lCon s u midor , IPC,conu na o de a n t icipa cin ,ba jo el s u pu es t o de qu eenlast as asde in t er sla in flacinqu e qu eda in volu cr ada esla expect a-t ivade in fla cin .IGNACIOVLEZPAREJA 402.3.2CMOOPERALARELACINENTRELOSCOMPONENTESLa in t er a ccin delos compon en t es dela t a s a dein t er s s epu edea s imila r a loqu eocu r r econ la deva lu a cin yla s t a s a s dein t er s enpa s escondeva lu a cin .Su pn ga s e qu e s e cu en t aconu nmillnde pes os ,qu e el pr ecio deldla resh oy de $1.000, qu e s e pr ev u n adeva lu a cinde 20% a n u a l.Sis epu edecon ver t ir u n milln depes os en dla r es ein ver t ir loa l10%a n u a l enlosEs t a dosUn idos , a l r egr es a rlosdla r esu na o des pu s ,qu por cen t a je s e h a br obt en ido enlat r a n s a ccin ?H oyHoy + un ao$1.000.000 lo cual resulta en $1.320.000 Se cambian a dlares al preciode suma en dlares que se cambia a pesos al $1.000/ US$lo cual resulta en idev = 20% precio de $1.200/ US$US$1.000que invertidos a idura= 10% se convierten enUS$1.100In t er sobt en ido porel in ver s ion is t a : 32%. Es t e ejemplo ilu s t r a , pora n a loga ,laideaa n t er ior ,yaqu e lar ela cinen t r e in t er senmon edablanda, iblan da, (t a s ade in t er senColombia ), t a s ade in t er senmon edadu ra, idu r a, y deva lu a cin , idev,es t da daporlas igu ien t e expr es in :( ) 1 1 ) 1 ( + + dev dura blandai i i (2.9)De es t a expr es ins e pu ede dedu cirla t as a enmon eda du r a, cu an doel pr oces o esin ver s o; cu a n do enel ejemplo s e t ien endla r esy s e in -vier t e enpes os .Es t a sexpr es ion ess e con ocencomo el efect o Fis h er .Enes t e ca s o,ibla n da = 1,1x1,2 1 = 1,32 1= 32%2.4 DIAGRAMADE FLUJ ODE CAJ AEl dia gr a made flu jo de ca jalibr e con s is t e enu nmodelo gr fico qu es e u t ilizapa r ar epr es en t a rlosin gr es osy des embols osde din er o at r a -vsdel t iempo.Lo pr imer o qu e s e debe h a ceresr epr es en t a rel eje delt iempo.DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 41EJ EMPLO201 23 nAqu ca dan mer o in dicael fin a l del per odo cor r es pon dien t e. As , eln mer o cer o in dicael momen t o pr es en t e,o s eacu a n do el decis ors een cu en t r a t oma n dou n a decis in ;eln mer ou n oin dica elfin a ldelper odo u n o,et ct er a .Enes t e eje de t iempo,el per odo pu ede s eru nda , u nmes , u na o o cu a lqu ierot r au n ida d de t iempo.Losdes embols oso egr es os , con ven cion almen t e s e expr es anconu n aflech ah a ciaa ba jo; losin gr es os , conu n aflech ah a ciaa r r iba ; a l es cr ibiru n des embols ooegr es o, en u n a h oja dec lcu lo, deber es pet a r s eels ign o,o s ea ,s e debe es cr ibircons ign o men os .Enla pr ct ica s e u t iliza el n ombr e flujo de caja, para nombrar al flu joo pr on s t ico de efect ivo o de fon dos ; es t e in for me mide el n ivel de liqu i-dez, o s ea, la dis pon ibilidad de din er o al fin al de cada per odo. Sinem-bargo, aqu s e u t ilizar el n ombre flujo de caja libre para den omin ar losin gr es osy egr es osn et osde u npr oyect o de in ver s iny a l in s t r u men t oqu e per mit e medirla liqu idez, s e le den omin ar flujo de tes orera.Losdes embols oso egr es oscon ven cion a lmen t e s e expr es a nconu n aflech ah a ciaa ba jo.EJ EMPLO31.0001.500500012 3456O s eaqu e s e efect a ndes embols osa l fin a l del in s t a n t e cer o (h oy)por $1.000,a lfin a ldelper ododos ,por $1.500ya lfin a ldelper odos eispor$500.Losin gr es os ,con ven cion a lmen t e,s e r epr es en t a nporflech a sh a ciaar r iba.1.0001.500012 345600Enes t e ca s o s e in dicaqu e enel in s t a n t e 0 (fin a l del per odo, h oy) s er eciben$1.000, enel t r es , $1.500, y enel cin co, $600. De es t ama n er aIGNACIOVLEZPAREJA 42s e pu ede expr es arenfor ma gr fica y s en cilla u n a in ver s inde r ecu r s osenu n afech adet er min a day losin gr es oso ben eficiosqu e pr odu zcaenot r o per odo.EJ EMPLO4 1.5001.00012345Es t o in dicaqu e u n aper s on adepos it a$1.000 y des pu sde 5 mes esr ecibe $1.500.Un a for ma decompa r a r s u ma s dedin er oen difer en t es in s t a n t escon s is t e enr edu cir la sas u ma sequ iva len t es . Pa r aes t e fins e h a ndes a -r r olla do fr mu la s , la scu a less e pr es en t a nacon t in u a cin .2.5INTERSSIMPLEEINTERSCOMPUESTOLat a s ade in t er spu ede con s ider a r s e s imple o compu es t a .El in t e-r s s impleocu r r ecu a n dos t es egen er a n ica men t es obr ela s u main icia l,adifer en ciadel in t er scompu es t o,qu e gen er ain t er es ess obr elas u main icia l y s obr e a qu ellosin t er es esn o pa ga dosqu e in gr es a no s es u ma na l ca pit a l in icia l.EJ EMPLO51. 000 pes osde h oy (P) pr es t a dosa l in t er ss imple del 2% men s u a l(i%),du r a n t e dosmes es(n) pr odu cen1. 000 x 0,02 m s1.000 x 0,02 os ea $40a lfin a ldedos mes es (F=1. 040);en ca mbio, es os mis mos$1.000 (P) pr es t a dosain t er scompu es t o (i%) pr odu cir n1.000 x 0,02en elpr imer mes os ea , $20ya lfin a ldels egu n domes , pr odu cir n1. 020 x 0, 02 o s ea ,$40, 40 (F=1. 040, 40).Lat a bla2.4, qu e ilu s t r ael va lora cu mu la do de u n as u made din er oin ver t idaain t er ss imple y ain t er scompu es t o, per mit e a cla r a res t a sideas .TABLA 2.4 Valoracu mu lado de u n a s u ma de din er oMes Capital$Tasa de interssimple 2% ($)Total$Tasa de inters compuesto 2% ($) Total$11.000 201.020201.02021.000 20+ 201.040 20+ (1.020x0,02)1.040,4031.000 20+ 20+ 201.060 40,40+ (1.040,40x0,02)1.061,2141.000 20+ 20+ 20+ 201.080 61,208+ (1.061,208x0,02)1.082,43DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 43A partir de la tabla 2.3 y recordando la aritmtica bsica, se puede gene-ralizar el comportamiento del inters compuesto, y en particular de la sumatotal, as: (1+i)n. El valor final de 1.082,43 que aparece en la esquina inferiorderecha en la tabla anterior, es igual a 1.000 x (1,02)4. Cuando se estudi elconcepto de equivalencia, se dijo que F=P(1+i), y que esto se puede generali-zar, segn lo que se concluye de este ejemplo, como F=P(1+i)n.Enot r a spa la br a s , el mon t o del in t er ss imple a cu mu la do s e ca lcu -la comoPxixn , yelmon t odelin t er s compu es t oa cu mu la dos eca lcu lacomo P(1+i)n-P.Como s e ver m sa dela n t e, laexpr es in(1+i)n es t a blece lar ela cinen t r e doss u ma sde din er o: P enel in s t a n t e 0,y F enel per odo n.Al t r a ba ja rconExcel,s e h a cenes t a ss u ger en cia s t iles : dibu ja reldia gr a made flu jo de ca jalibr e y es cribir en celdaslosdatosqu e en t r a nenlafu n cinde Excel; y a l u t iliza rel bot nPegar funcin de Excel 97(As is tente de funcionesenver s ion esa n t er ior es ),introducir lasceldasyn o losva lor es .2. 6FRMULAS DEINTERSOFACTORES DECONVERSINEl des a r r ollo met dico de es t a sfr mu la ss e con oce enlalit er a t u r aconel n ombr e de matemticasfinancieras . Aqu s e t r a t ade en con t r a ru n a va r ia bleen t r ecin co, da da s t r es deella s , dela s cu a les u n a es eln mer o de per odos(n) o lat a s ade in t er s(i).Lacon dicinesqu e s ema n t en gav lidalaequ iva len ciaen t r e flu josde ca ja.La sva r ia bless on :n = N mer o de per odosqu e s e a n a liza n(a o, mes , da , t r imes t r e, s e-ma n a , et ct er a ). Escla r o qu e s e t r a t ade per odosigu a les . Nombr ecomo pa r met r o enlafu n cinde Excel nper.i= Tas a de int ers , expres ada en porcent aje por u nidad de t iempo (ao,mes , da , t r imes t r e, s ema n a , et ct er a ). Es t e in t er sdebe s eres t i-pu la dopor u n ida ddet iempoigu a la lper odoin dica doen n.Ses u pon e in t er scompu es t o. Nombr e como pa r met r o enlafu n cinde Excel, tas a.P = Su ma pr es en t e,s it u a da a lfin a ldelin s t a n t ecer o.Nombr ecomopa r met r o enlafu n cinde Excel VA.F = Su mafu t u r a , s it u a daa l fin a l del per odo n. Enot r ost ext osu s a nlalet r aS. Nombr e como pa r met r o enlafu n cinde Excel VF.C= Cu ot ao pa go u n ifor me, s it u a daa l fin a l de t odoslosper odosen t r eel 1 y el n. Enot r ost ext oss e lla maA, de an u alidad; aqu s e pr efier en ombr a r la comocu ot a C,por qu ees m s gen er a l.Nombr ecomopa r met r o enlafu n cinde Excel pago.Al es cr ibires t a sfu n cion esenel t ext o,s e r empla za r el n ombr e delpa r met r odela fu n cin en Excel,por los n ombr es qu ea qu s eh a nin dicado.En t r ees t a s va r ia bles s epu eden es t a blecer r ela cion es cu a n dos ecu mplencier t ospa t r on es ; de ma n er agr ficay r es u midas ona s :IGNACIOVLEZPAREJA 441. Se pu ede t r a n s for ma ru n as u made din er o pr es en t e P en el in s t a n t e0, enu n as u made din er o ma yorF enel per odo n y vicever s a . PF0 n 0 n2. Se pu ede t r a n s for ma ru n as u made din er o pr es en t e P enel in s t a n t e0, enu n as er ie de cu ot a su n ifor mesC, qu e comien za nenel per odo1 y t er min a nenel per odo n y vicever s a.0 n0 1n CCCCC P3. Se pu ede t r a n s for ma ru n as u made din er o fu t u r aF enel per odo n,enu n as er ie de cu ot a su n ifor mesC, qu e comien za nenel per odo 1y t er min a nenel per odo n y vicever s a.0n 0 1nCCCCC FToda ses t a st r a n s for ma cion ess e pu edenh a cerapa r t irde lar ela -cinyacon ocidaF=P(1+i)n y s ur ecpr ocaP=F/ (1+i)n.Lasfr mu laspar a cada cas o s e des cr iben , conejemplos , enel Apn -dice de matemticasfinancieras , a l fin a l del ca pt u lo.2.7RESUMENDEFUNCIONESDEEXCEL=VF (i ; n ; ; P)Con vie r t e u n a s u ma p r e s e n t e Pa lcomie n z od e lp e -rod o1, os ea fin a ld elin s t a n t e0 , en u n a s u ma fu t u r a Fa lf in a ld e lp er od on .=VA(i ; n ; ; F)Con vier t eu n a s u ma fu t u r a Fa lf in a ld elperod on e nu n a s u ma p r es en t ePa lcomien z od elperod o1 , os ea f in a ld elins t ant e0 .=VA(i ; n ; C)Con vier t eu n a s er ieu n ifor med eva lor C, qu e s e in iciaa lf in a ld e lp e rod o1 y t e rmin a a lf in a ld e lp e rod onen u n as u ma p r es en t ePa lcomien z od elperod o1 , os ea f in a ld elin s -t ant e0 .DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 45=P AGO(i ; n ; P )Con vi e r t e u n a s u m a p r e s e n t e Pa l com i e n z od e lp e rod o1 , os e a fin a ld e lin s t a n t e 0 , e n u n a s e r ie u n ifor me d eva lor C,ques einiciaalfinald elperod o1yterminaalfinald elperod on .=VF (i ; n ; C)Con vier t eu n a s er ieu n ifor med eva lor C, qu e s e in iciaa lf in a ld e lp e rod o1 yt e rmin a a lf in a ld e lpe rod on , en u n as u ma fu t u r a F, a lf in a ld elperod on .=P AGO(i ; n ; ; F )Con vier t eu n a s u ma fu t u r a d eva lor F, s it u a d a e ne lf in a ld e lpe rod on , en u n a s er ieu n ifor med eva lor C,ques einiciaenelfinald elperod o1yterminaalfinald elperod on.=T AS A(n p e r ; p a go ; v a ; v f ; t i p o ; i s e m i l l a )=TI R(r a n go ; is e m i l l a )Ca l-c u l a l a t a s a d e i n t e r s qu e h a c e e qu i va l e n t e s u n os fl u j os n e ga -t i vos a u n os p os i t i vos . Re s p on d e a l a p r e gu n t a a qu t a s a d ei n t e r s s e i n vi r t i u n d i n e r oq u e p r od u j od e t e r m i n a d ofl u j od eb en eficios ? Pa r a la fu n cin TAS As eled eb ein d ica r los p a r met r osC, F, P, e i s e m i l l a . Pa r a l a fu n c i n TI Rs e l e d e b e i n d i c a r a lp r ogr a m a u n a t a s a d e i n t e r s i n i c i a l (i s e m i l l a ), c on l a c u a li n i c i a l os c l c u l os ye l r a n god on d e a p a r e c e n t od os l os fl u j osq u e s e d e s e a n a n a l i za r .=VNA(i ; r a n go )Ca lcu la elva lor p r es en t ed eu n flu jod eca ja lib r ea l a t a s a d e i n t e r s i n d i c a d a yl oe xp r e s a e n u n i d a d e s mon e t a -r i a s d e l p e r od oi n me d i a t a me n t e a n t e r i or a l qu e i n i c i a e l r a n goqu e s e i n d i c e n l a fr mu l a .=n p e r (t a s a ; p a go ; v a ; v f ; t i p o ; i s e m i l l a )En c u e n t r a e l n me r od ep er od os qu es er equ ier en p a r a qu eu n a in ver s in s econ vier t a enu n d et er min a d omon t oa lfin a ld ees os p er od os , oeln mer od ecu ot a s qu es er equ ier en p a r a p a ga r u n p r s t a mocon u n a cu ot ad e t e r min a d a oe ln me r od e d e p s it os igu a le s n e c e s a r ios p a r aobt en er u n a cier t a s u ma dedin er oa lfin a ldelos per odos ca lcu la -d os . En t od os los ca s os s ed eb ees t ip u la r u n a t a s a d ein t er s .Enfor ma abr eviada:Operacin Patrn tpico (a partir deP, F, C, nper y/ o i%)Patrn no tpico(irregular)A suma presente VA VNAA suma futura VF No hayA cuota uniforme PAGO No hayTasa de inters TASA TIRNmero de perodos NPER No hayEs t os fa ct or es s een cu en t r a n en ca lcu la dor a s fin a n cier a s yot r a sh oja select r n ica s ,de ma n er aqu e pu edenobt en er s e congr a npr eci-s iny r a pidez. Ta mbins e pu edenu t iliza rt a bla sde fa ct or esde in t er squ e s e en cu en t r a nenloslibr osviejosde ma t em t ica sfin a n cier a s .IGNACIOVLEZPAREJA 46EJ ERCICIOSRes olverloss igu ien t esejemplosu t iliza n do loss igu ien t esva lor esdeP,F,C,ne ipa r a h a lla r loqu es epideen ca da n u mer a l.La s olu cines t en ela r ch ivoMATFIN.XLSa n u n cia doen la pr es en t a cin yqu eespa r t e in t egr a l de es t e t ext o.P= $2.000.000n = 12C= $200.000i= 3,00%F = $5.000.0001. Ca lcu la r eln mer odeper odos , qu es edemor a u n a in ver s in Ppa r acon ver t ir s e enu nva lordet er min a do F, au n at a s ade in t er si.2. Ca lcu le el va lorfu t u r o F, de u n acu ot au n ifor me C, au n at a s adein t er si%, a l fin a l de n per odos .3. Calcu le la cu ot a u n ifor me C, equ ivalen t e a u n a s u ma pr es en t e P, enn per odosa l i%.4. Ca lcu le el va lorpr es en t e de u n acu ot au n ifor me du r a n t e nper o-dos , alat a s ade i%.5. Ca lcu lela t a s a dein t er s i, qu eh a cequ eu n a in ver s in h oyPs econ vier t aendet er min a do va lorF,a l fin a l de n per odos .6. Ca lcu le el n mer o de cu ot a sC,qu e s e r equ ier enpa r aobt en eru n as u madet er min a daF, au n at a s ade in t er si%.7. Ca lcu le lat a s ade in t er si% qu e h a ce equ iva len t eslosflu jospos it i-vosy losn ega t ivos .A o 0 1 2 3 4Fl u j o$ - 1 0 2 5 6 78. Ca lcu le el va lorpr es en t e del flu jo de ca jalibr e en t r e el a o 1 y el 4au n at a s ade in t er si%,s eg nlosda t osa n t er ior es .2.8 TABLASDE AMORTIZACINUnat abladeamort izacinmu est racmou npagodeu nadeu dasedivide ent re int ers y abono o amort izacin de la deu da; o, si as fu era,cmo u n det erminado esqu ema de abonos o amort izaciones condu ce, alsu marle los int ereses, a u na ciert a cu ot a o pago. Con u na t abla de amor-t izacin s e pu ede t ambin det erminar el s aldo pendient e al final de cadaperodo.Algosimilarpu edehacerseconu nat abladecapit alizacin;ladiferencia radica en qu e en lu gar de amort izar (disminu ir u na deu da), secapit alizan losahorrosy losint eres esqu e ellosprodu cen y, por ende, s epu ede calcu lar el saldo acu mu lado del capital ahorrado con su s intereses.DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 47Se pu eden constru ir tablas de amortizacin con todos los esqu emas depago posibles. Tradicionalmente y con la au sencia de medios eficientes declcu lo, se han redu cido las tablas de amortizacin a u nos cu antos esqu e-mas: cu ot as u niformes o abonos u niformes como los mencionados en elejercicio3y,siacaso,aesqu emasconperodosdegracia(cu andosepagan s lo losint eres esy no s e hace la amort izacin de la deu da). Con laayu da de las hojas de clcu lo se pu eden hacer esqu emas tan variados qu eel lmit e lo impone la imaginacin del u s u ario.Algu n osejemploss onla scu ot a ses ca lon a da squ e s e pr omocion a npa r ael pa go de deu da sde vivien da . El s ecr et o pa r at r a ba ja res t oses -qu ema sesh a cerdepen dert oda sla scu ot a sfu t u r a sde lapr imer acu o-t ay con s t r u irel modelo enfu n cinde es apr imer acu ot a ; h ech o es t o,h a y qu e en con t r a rel va lorde lapr imer acu ot aqu e h a gacer o el s a ldofin a l.Es t o s e pu ede logr a rconu n aopcinde Excel qu e es t enHerra-mientasdel men y s e lla maBus car objetivo.Es cogidaes t aopcin ,a pa r ece el s igu ien t e cu a dr o de di logo:Enlaca s illaDefinir la celda s e in dicalaceldaqu e n osin t er es aqu et ome cier t o va lor , porejemplo, el s a ldo fin a l. Enlaca s illacon el valor,s ein dica elva lor qu es edes ea qu et omela ca s illa a n t er ior yen laca s illapara cambiar la celda, s e in dicalaceldaqu e debe s erca mbia dah a s t acu a n do s e obt en gael va lordes ea do.Ela n lis is dela s t a bla s dea mor t iza cin s eba s a en la s igu ien t er ela cinqu e s iempr e debe cu mplir s e:Cu ot ao pa go = a mor t iza cino a bon o + in t er es esIGNACIOVLEZPAREJA 48En r ea lida dh a ydos cla s es det a bla s dea mor t iza cin :a )pa r a la squ e s e defin e el pago o cu ot a y b) par a lasqu e s e defin e la amor t izacin .En elpr imer ca s o,la a mor t iza cin s eca lcu la comoelpa goocu ot amen oslosin t er es es ; enel s egu n do,lacu ot as e defin e como laa mor t i-za cin m s los in t er es es .Lom s impor t a n t ea lcon s t r u ir la t a bla dea mor t iza ciness ues t r u ct u r ab s ica , a s pa r aca s osconpa go de in t e-r sven cido:CASO1. CUANDO SE FIJ ALA CUOTAO PAGOSaldo inicial Inters Abono Pago Saldo finalSaldo final delperodoanteriorSaldo inicial portasa de intersPago menosintersDefinido avoluntadSaldo inicial menosabonoEJ EMPLO6Unpr s t a mo de $1.000 a l 3% men s u a l pa ga der o en12 mes esconcu ot a squ e s e du plica nca dadosmes es . Lapr imer aa pr oxima cinpo-dr as er :Mes Saldo inicial$Inters $Abono$Pago$Saldo final $01.000,0011.000,0030,00 - 25,005,001.025,0021.025,0030,75 - 25,755,001.050,7531.050,7531,52 - 21,5210,001.072,2741.072,2732,17 - 22,1710,001.094,4451.094,4432,83 - 12,8320,001.107,2761.107,2733,22 - 13,2220,001.120,4971.120,4933,616,3940,001.114,1181.114,1133,426,5840,001.107,5391.107,5333,2346,7780,001.060,76101.060,7631,8248,1880,001.012,58111.012,5830,38129,62160,00882,9612882,9626,49133,51160,00749,44Enlah ojade c lcu lo h a y qu e con s t r u irla sfr mu la sde lacolu mn aPago de ma n er aqu e in diqu enqu e las egu n dacu ot aesigu a l alapr ime-r a , lat er cer aesel doble de las egu n da , lacu a r t aigu a l alat er cer ay a s s u ces ivamen t e.DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 49Al h a cerqu e el s a ldo s eacer o conBus car objetivo, el r es u lt a do obt e-n ido s er :Mes Saldo inicial$Inters$Abono$Pago$Saldo final$0 1.000,0011.000,0030,00-19,4610,541.019,4621.019,4630,58-20,0410,541.039,5031.039,5031,19-10,1021,081.049,6141.049,6131,49-10,4121,081.060,0151.060,0131,8010,3642,161.049,6561.049,6531,4910,6742,161.038,9871.038,9831,1753,1684,33985,828985,8229,5754,7584,33931,079931,0727,93140,72168,65790,3510790,3523,71144,94168,65645,4111645,4119,36317,94337,30327,4812327,489,82327,48337,300,00El mis mo pr s t a mo, per o conu ns olo pa go a l fin a l s e podr as olu cio-n a rde las igu ien t e for ma :Mes Saldo inicial$Inters$Abono$Pago$Saldo final$0 1.000,001 1.000,00 30,00 - 30,00 - 1.030,002 1.030,00 30,90 - 30,90 - 1.060,903 1.060,90 31,83 - 31,83 - 1.092,734 1.092,73 32,78 - 32,78 - 1.125,515 1.125,51 33,77 - 33,77 - 1.159,276 1.159,27 34,78 - 34,78 - 1.194,057 1.194,05 35,82 - 35,82 - 1.229,878 1.229,87 36,90 - 36,90 - 1.266,779 1.266,77 38,00 - 38,00 - 1.304,7710 1.304,77 39,14 - 39,14 - 1.343,9211 1.343,92 40,32 - 40,32 - 1.384,2312 1.384,23 41,53 - 39,53 2,00 1.423,76Al h a cerqu e el s a ldo s eacer o conBus car objetivo, el r es u lt a do obt e-n ido s er :IGNACIOVLEZPAREJA 50Mes Saldo inicial$Inters$Abono$Pago$Saldo final$0 1.000,001 1.000,00 30,00 -30,00 0 1.030,002 1.030,00 30,90 -30,90 0 1.060,903 1.060,90 31,83 -31,83 0 1.092,734 1.092,73 32,78 -32,78 0 1.125,515 1.125,51 33,77 -33,77 0 1.159,276 1.159,27 34,78 -34,78 0 1.194,057 1.194,05 35,82 -35,82 0 1.229,878 1.229,87 36,90 -36,90 0 1.266,779 1.266,77 38,00 -38,00 0 1.304,7710 1.304,77 39,14 -39,14 0 1.343,9211 1.343,92 40,32 -40,32 0 1.384,2312 1.384,23 41,53 1.384,23 1.425,76 0Unejemplo de cu ot ao pa go es ca lon a do esel de pa ga ru npr s t a mode $1.000 a la t as a del 3% men s u a l y pa ga r lo encu ot a squ e cr ecen$10ca dames . El pr imeres qu emas er a :Perodo SaldoInicial $Inters$Abono$Pago$SaldoFinal $0 1.000,0011.000,00 30,00-29,001,00 1.029,0021.029,00 30,87 -19,8711,00 1.048,8731.048,87 31,47-10,4721,00 1.059,3441.059,34 31,78 -0,7831,00 1.060,1251.060,12 31,809,2041,00 1.050,9261.050,92 31,5319,4751,00 1.031,4571.031,45 30,9430,0661,00 1.001,3981.001,39 30,0440,9671,00960,439960,43 28,8152,1981,00908,2510908,25 27,2563,7591,00844,4911844,49 25,3375,67 101,00768,8312768,83 23,0687,94 111,00680,89En la h oja dec lcu lo,la s egu n da cu ot a es igu a la la pr imer a m s$10,y a s s u ces iva men t e.Para losdosejemplos , l a pr imer a cu ot a pu ede t en ercu alqu iervalor ;loimpor t a n t ees qu ela s dem s cu ot a s dela s egu n da en a dela n t edepen da nde lapr imer a ; a s , cu a n do s e ca mbie lapr imer a , la sdem scu ot a sy el r es t o de lat a blaca mbia r nt a mbin . Es acu ot ade lacu a ldepen denla sdem sdeber s eru nn mer o,n o u n afr mu la ,y el r es t odebees t a r en ca den a doa es t a pr imer a celda por mediodefr mu la s .Ha br qu e ca mbia rel va lorde lapr imer acu ot ah a s t acu a n do el s a ldofin a l s eacer o. Es t o s e pu ede h a cerama n o, per o el compu t a dorlo h a cem sr pido. ConlaopcinBus car objetivo yamen cion a da ,s e defin e laDECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 51celdadon de es t el s a ldo fin a l de lt imo per odo conel va lorcer o,y s ele pide qu e ca mbie laceldadon de es t lapr imer acu ot a .Hech o es t o,s e obt ien e el s igu ien t e r es u lt a do:Perodo SaldoInicial $Inters$Abono$Pago$Saldo final$0 1.000,001 1.000,00 30,00 18,98 48,98 981,022 981,02 29,43 29,55 58,98 951,483 951,48 28,54 40,43 68,98 911,044 911,04 27,33 51,65 78,98 859,405 859,40 25,78 63,20 88,98 796,206 796,20 23,89 75,09 98,98 721,117 721,11 21,63 87,34 108,98 633,778 633,77 19,01 99,96 118,98 533,809 533,80 16,01 112,96 128,98 420,8410 420,84 12,63 126,35 138,98 294,4911 294,49 8,83 140,14 148,98 154,3512 154,35 4,63 154,35 158,98 0,00Es t e ejemplo in dicaqu e s e pu edencon s t r u irt a bla sde a mor t iza cinconcu a lqu ieres qu emade pa go y s iempr e s er pos ible en con t r a rs a ldofin a l igu a l acer o.El es qu emade pa go pu ede s ert a l qu e lacu ot as eamen orqu e losin t er es esqu e debenpa ga r s e; enes t e ca s o, el s a ldo fin a la u men t a r ,en lu ga r dedis min u ir .Es t oes loqu eocu r r een a lgu n ospla n es depa godevivien da t a n t oen UPACcomoen pes os , locu a lde-mu es t r aqu e losma lesqu e s e le a t r ibu yena l UPAC n o obedecens in o a les qu emade pa go de cu ot a squ e s e a dopt e. Si la spr imer a scu ot a ss onmen or esqu e losin t er es es ,condeu daenUPAC o enpes os ,el pr oblemaesigu a l.CASO2. CUANDO SEFIJ A ELABONO OAMORTIZACINSaldo inicial Inters Abono Pago Saldo finalSaldo final delperodo anteriorSaldo inicial portasa de intersDefinida avoluntadAbono msintersSaldo inicial menosAbonoEJ EMPLO7Enes t e ca s o s e debe ga r a n t iza rqu e las u made la sa mor t iza cion ess eaigu a l aladeu da .El mis mo pr s t a mo del ejemplo a n t er ior :IGNACIOVLEZPAREJA 52Mes Saldo inicial$Inters $Abono $Pago$Saldo final $01.000,0011.000,0030,0083,333113,33916,672916,6727,5083,333110,83833,333833,3325,0083,333108,33750,004750,0022,5083,333105,83666,675666,6720,0083,333103,33583,336583,3317,5083,333100,83500,007500,0015,0083,33398,33416,678416,6712,5083,33395,83333,339333,3310,0083,33393,33250,0010250,007,5083,33390,83166,6711166,675,0083,33388,3383,331283,332,5083,33385,83 0,001000,00EJ EMPLO8Sedes ea ca lcu la r elpla n depa godeu n pr s t a mode$1.000.000pa r apa ga r lo en12 mes es . Se qu ier e es t u dia rt r esfor ma sde pa go condifer en t ess u pu es t os : Cu ot au n ifor me cont a s a sde in t er smen s u a lesdifer en t es . Cu ota creciente en 1% mensu al con tasas de inters mensu ales igu ales. Cu ot acr ecien t e en1% men s u a l cont a s a sde in t er smen s u a lesdife-r en t es .Pa r at odoslosca s oss e debe con s t r u irlaes t r u ct u r ade lafor madepa go y de lar es pect ivat a blade a mor t iza cin . Como s e des eaen con t r a ru n afor made pa go de ladeu da ,en t on cess e debe cu mplirlacon dicinde t en eru ns a ldo igu a l acer o a l fin a l del lt imo mes .Pa r alacu ot au n ifor me cont a s a sde in t er smen s u a lesdifer en t ess econ s t r u ye laes t r u ct u r ade u n acu ot au n ifor me, den t r o de lat a bladea mor t iza cin(cas o a, don de s e fijalacu ot ao pa go).DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 53Mes SaldoinicialInters Abono CuotauniformeSaldofinalTasa Aumento0 1,000.0011.000,00 29,96 -24,96 5,00 1.025 2,996% 0%2 1.024,96 29,36 -24,36 5,00 1.049 2,865% 0%3 1.049,32 32,26 -27,26 5,00 1.077 3,074% 0%4 1.076,58 29,09 -24,09 5,00 1.101 2,702% 0%5 1.100,66 29,75 -24,75 5,00 1.125 2,703% 0%6 1.125,42 31,48 -26,48 5,00 1.152 2,797% 0%7 1.151,90 33,35 -28,35 5,00 1.180 2,895% 0%8 1.180,26 40,02 -35,02 5,00 1.215 3,391% 0%9 1.215,27 38,03 -33,03 5,00 1.248 3,129% 0%10 1.248,31 36,84 -31,84 5,00 1.280 2,951% 0%11 1.280,15 40,88 -35,88 5,00 1.316 3,193% 0%12 1.316,03 37,24 -32,24 5,00 1.348 2,830% 0%Comos eobs er va ,t oda s la s cu ot a s (yla s dem s celda s )deber ndepen derde lapr imer acu ot a . Porlo t a n t o, s i es t acifr as e ca mbia , t odolo dem sca mbia r . Es t o s e podr ah a cerma n u a lmen t e h a s t acu a n doel s a ldo s eacer o, per o laopcinBus car objetivo, yamen cion a da , pu edeh a cerel t r a ba jo.Al a plica res t aopcin :Mes SaldoinicialInters Abono CuotauniformeSaldofinalTasa Aumento0 1.000,001 1,000,00 29,96 70,08 100,04 930 2,996% 0%2 929,92 26,64 73,40 100,04 857 2,865% 0%3 856,52 26,33 73,71 100,04 783 3,074% 0%4 782,81 21,15 78,89 100,04 704 2,702% 0%5 703,92 19,03 81,01 100,04 623 2,703% 0%6 622,91 17,43 82,61 100,04 540 2,797% 0%7 540,30 15,64 84,39 100,04 456 2,895% 0%8 455,91 15,46 84,58 100,04 371 3,391% 0%9 371,33 11,62 88,42 100,04 283 3,129% 0%10 282,91 8,35 91,69 100,04 191 2,951% 0%11 191,22 6,11 93,93 100,04 97 3,193% 0%12 97,29 2,75 97,29 100,04 0 2,830% 0%Enes t e ejemplo, lacu ot au n ifor me esde $100,04. Obs r ves e qu e yan o espos ible u s a rlafu n cinde Excel pago, port en erva r ia st a s a sdein t er s .Para lacu ot acr ecien t e en1% men s u a l cont a s a sde in t er smen -s u a lesigu a les , s e con s t r u ye laes t r u ct u r ade u n acu ot au n ifor me, den -t r o de lat a blade a mor t iza cin(t a mbinca s o aenqu e s e fijalacu ot aopa go). Lacon s t r u ccinde laes t r u ct u r aesigu a l alaa n t er ior . Aqu ladifer en ciar a dicaenlosda t os ; el cr ecimien t o n o es0%, s in o 1%,y lat a s amen s u a l escon s t a n t e es2,5%.IGNACIOVLEZPAREJA 54Mes SaldoinicialInters Abono CuotauniformeSaldofinalTasa Aumento0 1.000,001 1.000,00 25,00 -20,00 5,00 1.020 2,50% 1%2 1.020,00 25,50 -20,45 5,05 1.040 2,50% 1%3 1.040,45 26,01 -20,91 5,10 1.061 2,50% 1%4 1.061,36 26,53 -21,38 5,15 1.083 2,50% 1%5 1.082,74 27,07 -21,87 5,20 1.105 2,50% 1%6 1.104,61 27,62 -22,36 5,26 1.127 2,50% 1%7 1.126,97 28,17 -22,87 5,31 1.150 2,50% 1%8 1.149,84 28,75 -23,39 5,36 1.173 2,50% 1%9 1.173,22 29,33 -23,92 5,41 1.197 2,50% 1%10 1.197,14 29,93 -24,46 5,47 1.222 2,50% 1%11 1.221,60 30,54 -25,02 5,52 1.247 2,50% 1%12 1.246,61 31,17 -25,59 5,58 1.272 2,50% 1%Igu a l qu e enel ca s o a n t er ior , t oda sla scu ot a s(y la sdem scelda s )depen den dela pr imer a cu ot a .Por lot a n t o,s ies t a cu ot a s eca mbia ,t odo lo dems cambiar. Est o se podra hacer manu alment e hast a cu an-doels a ldos ea cer o, per ola opcin Bus carobjetivo,ya men cion a da ,pu ede h a cerel t r a ba jo. Al a plica res t aopcin :Mes SaldoInicialInters Abono Cuota SaldofinalTasa Aumento0 1,000.001 1.000,00 25,00 67,51 92,51 932 2,50% 1%2 932,49 23,31 70,12 93,44 862 2,50% 1%3 862,36 21,56 72,81 94,37 790 2,50% 1%4 789,55 19,74 75,58 95,31 714 2,50% 1%5 713,98 17,85 78,42 96,27 636 2,50% 1%6 635,56 15,89 81,34 97,23 554 2,50% 1%7 554,22 13,86 84,35 98,20 470 2,50% 1%8 469,87 11,75 87,44 99,18 382 2,50% 1%9 382,43 9,56 90,62 100,18 292 2,50% 1%10 291,82 7,30 93,88 101,18 198 2,50% 1%11 197,94 4,95 97,24 102,19 101 2,50% 1%12 100,69 2,52 100,69 103,21 0 2,50% 1%Enes t e ejemplo, lapr imer acu ot aesde 92,51 y cr ece 1% ca dames .Obs r ves e qu e yan o espos ible u s a rlafu n cinde Excel pago, porn os eru n acu ot au n ifor me.Para lacu ot acr ecien t e en1% men s u a l cont a s a sde in t er smen -s u a lesdifer en t es ,s e con s t r u ye laes t r u ct u r ade u n acu ot au n ifor me,den t r odela t a bla dea mor t iza cin (t a mbin cas oa, don des efija lacu ot ao pa go). Lacon s t r u ccinde laes t r u ct u r aesigu a l alapr imer a .Aqu ladifer en ciaconel a n t er iorr a dicaenlosda t os ; el cr ecimien t o es1%,per o la st a s a ss ondifer en t es .DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 55Mes SaldoinicialInters Abono Cuota SaldofinalTasa Aumento0 1.000,001 1.000,00 30,00 (25,00) 5,00 1.025,00 3,00% 1%2 1.024,96 29,36 (24,36) 5,05 1.049,00 2,86% 1%3 1.049,32 32,26 (27,26) 5,10 1.077,00 3,07% 1%4 1.076,58 29,09 (24,09) 5,15 1.101,00 2,70% 1%5 1.100,66 29,75 (24,75) 5,20 1.125,00 2,70% 1%6 1.125,42 31,48 (26,48) 5,26 1.152,00 2,80% 1%7 1.151,90 33,35 (28,35) 5,31 1.180,00 2,90% 1%8 1.180,26 40,02 (35,02) 5,36 1.215,00 3,39% 1%9 1.215,27 38,03 (33,03) 5,41 1.248,00 3,13% 1%10 1.248,31 36,84 (31,84) 5,47 1.280,00 2,95% 1%11 1.280,15 40,88 (35,88) 5,52 1.316,00 3,19% 1%12 1.316,03 37,24 (32,24) 5,58 1.348,00 2,83% 1%Igu a l qu e enel ca s o a n t er ior , t oda sla scu ot a s(y la sdem scelda s )depen den dela pr imer a cu ot a .Por lot a n t o,s ies t a cu ot a s eca mbia ,t odo lo dems cambiar. Est o se podra hacer manu alment e hast a cu an-doels a ldos ea cer o,per ola opcin Bu s ca r objet ivo,ya men cion a da ,pu ede h a cerel t r a ba jo. Al a plica res t aopcin :Mes SaldoinicialInters Abono Cuota SaldofinalTasa Aumento0 1.000,001 1.000,00 30,00 64,98 94,98 935,02 3,00% 1%2 935,02 26,74 69,19 95,93 865,83 2,86% 1%3 865,83 26,58 70,31 96,89 795,53 3,07% 1%4 795,53 21,48 76,38 97,86 719,15 2,70% 1%5 719,15 19,42 79,42 98,84 639,73 2,70% 1%6 639,73 17,91 81,91 99,82 557,82 2,80% 1%7 557,82 16,18 84,65 100,82 473,17 2,90% 1%8 473,17 16,04 85,79 101,83 387,38 3,39% 1%9 387,38 12,13 90,72 102,85 296,66 3,13% 1%10 296,66 8,75 95,13 103,88 201,54 2,95% 1%11 201,54 6,43 98,49 104,92 103,05 3,19% 1%12 103,05 2,92 103,05 105,96 0,00 2,83% 1%Ha y qu e obs er va rqu e cu a n do la st a s a sde in t er sn o s oncon s t a n t esla s fu n cion es ya con ocida s deExceln os epu eden u t iliza r . Ha yqu edis e a rlaes t r u ct u r ade lospa gosy u t iliza rlaopcinBus car objetivo.2.9TASASDEINTERSEQUIVALENTESEnmu ch osca s osesn eces a r io h a cert r a n s for ma cion esala st a s a sde in t er ses t ipu la da s , pa r apoder la scompa r a r . Enpa r t icu la r , es t o s er efier e alosca s osdon de losin t er es ess e pa ga nenfor maa n t icipa dayen qu elos in t er es es s ees t ipu la n pa r a u n det er min a doper odo, per oqu e s e liqu ida n(s e h a cenpa gos , porejemplo) enper odosmen or esqu eel es t ipu la do in icia lmen t e; es t e ca s o s e r efier e alat a s ade in t er sn o-min a l y t a s ade in t er sefect iva .IGNACIOVLEZPAREJA 562.9.1INTERSANTICIPADOEINTERSVENCIDOIn t er sa n t icipa do, como s un ombr e lo in dica , esel qu e s e liqu idaa lcomien zo del per odo, don de s e r ecibe o en t r egau ndin er o. In t er sven -cido, porel con t r a r io, s e liqu idaa l fin a l del per odo, don de s e r ecibe oen t r egau ndin er o.Mu ch a sn egocia cion ess e es t ipu la nent r min osde in t er sa n t icipa -doyes des ea blecon ocer cu les elequ iva len t een t a s a s dein t er sven cido. Unejemplo cor r ien t e lo con s t it u yenlospr s t amosban car iosyloscer t ifica dosde deps it o at r min o.Cu a n do s e es t ipu lau npa go de in t er sa n t icipa do (ia),en r ea lida dello s ign ificaqu e enel ca s o de u npr s t a mo s e r ecibe u nmon t o me-n ora l s olicit a do.Ama n er a deejemplo, con s idr es eu n pr s t a moPpa ga der oa u na o,cont a s ade in t er sde i%Gr fica men t e s e t ien e pa r ael ca s o de in t er sven cido:PP+Pi 10El in t er spa ga do yas e es t u di, esel exceden t e qu e s e en t r egas obr elo r ecibido enes t e ejemplo, r ecibido enpr s t a mo; porlo t an t o, la t as ade in t er ss er : iPPi(2.10)Es t eca s os edijoqu eer a pa r a elin t er s ven cido. En elca s odein t er sa n t icipa do, s er a :P Pia P 1 0DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 57Esdecirqu e enel in s t a n t e cer o s e r ecibe a h or aP-Pia y a l fin a l dela o s e debe pa ga rP. Nu eva men t e, las u maa dicion a l qu e s e pa gaesPia,per o las u mar ecibidaesP-Pia.Es t o qu ier e decirqu e lat a s ade in t er sven cida ,s e pu ede ca lcu la ra s :aaaaviiPi PPii1(2.11)Don de:iv = Ta s ade in t er sven cidaia = Ta s ade in t er sa n t icipa daCon es t a fu n cin s epu ede, en t on ces , con ver t ir cu a lqu ier t a s a dein t er sa n t icipa daenu n at a s ade in t er sven cida . Es t afr mu las e u t i-liza s lopa r a t a s a s per idica s ,es t oes ,la s t a s a s qu es ea plica n endet er min a doper odopa r a elc lcu lodelin t er s . Un a t a s a dein t er sa n t icipa dadel 8% t r imes t r a l, equ iva le a8,6957% t r imes t r a l ven cida ,qu e s e ca lcu laa plica n do lafr mu laa n t er ior . Pa r au t iliza res t acon ver -s ins e debe t r a ba ja rconlat a s acor r es pon dien t e au nper odo de a pli-ca cinde es at a s a . Porejemplo, u n at a s ade in t er sde 8% a n t icipa daqu e s e a plicaau nt r imes t r e.Pa r acompr en dermejores t a sidea ss e s u gier e qu e el lect orpien s een u n a s it u a cin comola s igu ien t e:a lgu ien leofr eceen pr s t a mo$10. 000 qu e debe pa ga rdes pu sde u na o,per o le cobr ain t er es esde30% a n t icipa do. Si el lect orn eces it alat ot a lida d de los$10.000, le pideen t on cesaqu ienle pr es t aqu e le cobr e ven cido,pu ess i esa n t icipa dos lo r ecibir a$7. 000.Se es per a r aqu e a l n egocia rin t er es esven cidos ,let oca r a pa ga r por in t er es es m s de$3.000?,men os de$3.000?,losmis mos($3.000)?Ut iliza n do laexpr es ina n t er ior , s e pu ede t r a n s for ma ru n at a s adein t er sn omin a l, liqu ida daenfor maa n t icipa da , enu n at a s ade in t er sefect ivaven cida . Lat a s ade in t er sn omin a l a n t icipa daporper odo, s econ vier t e ent a s ade in t er sven ciday,des pu s ,s t as e t r a n s for maenu n at a s ade in t er sefect iva .Es t o s e es t u dia r enlas igu ien t e s eccin .EJ EMPLO9Si lat a s ade in t er sa n u a l s e es t ipu lacomo 32% y s e liqu idat r imes -t r a lmen t epor a n t icipa do,es decir ,qu es ecobr a la cu a r t a pa r t eca dat r imes t r e acu n t o equ iva le es e in t er st r imes t r a l ven cido?Ta s ade in t er st r imes t r a l a n t icipa da=0,32/ 4 =0,08 =8%Ta s ade in t er st r imes t r a l ven cida=0,08/ (1-0,08) =0,087 =8,7%Con u n a n lis is s imila r , s epu edecon clu ir qu ela t a s a dein t er sa n t icipa do s e pu ede ca lcu la rapa r t irde lat a s ade in t er sven cido a s :viviai+1(2.12)IGNACIOVLEZPAREJA 58Pa r au t iliza res t acon ver s ins e debe t r a ba ja rconlat a s acor r es pon -dien t ea u n per ododea plica cin dees a t a s a .Es t os ign ifica qu es eu t ilizas lo pa r at a s a sper idica s , es t o es , la st a s a squ e s e a plica nendet er min a do per odo pa r ael c lcu lo del in t er s .Porejemplo,u n at a s ade in t er sde 8% ven cidaqu e s e a plicaau nt r imes t r e.EJ EMPLO10Si u nba n co dice qu e cobr au n at a s ade in t er sde 36% a n u a l, liqu i-da do ca dames , ven cido, aqu t a s ade in t er smesa n t icipa do cor r es -pon de es e in t er s ?El in t er smen s u a l ven cido es : 0,36/ 12=0,03=3%El in t er smen s u a l a n t icipa do esia = 0,03/ (1+0,03) = 0,02910,029130,03 10,03ai +En s egu idas e es t u dia r qu e e l inters nominal anu al mes anticipadoes 34,96%, o sea, 2,913% x 12.2.9.2TASADEINTERSNOMINALYTASADEINTERSEFECTIVAEnla soper a cion esde bols as e ven denpa pelesqu e s e h a nma n t en i-do port iemposdifer en t escada u n o (u n a accins e ven de des pu sde 23da sde compr a da ,y ot r ost t u loss e ven dendes pu sde h a ber losma n -t en ido port iemposdifer en t es : 42 da s ,u na o y medio,234 da s ,et c-t er a ).Cu a n does t oocu r r eys eca lcu la n la s t a s a s dein t er s ga n a da ss obr e es a soper a cion es , ella sn o s oncompa r a blesen t r e s , debido pr e-cis amen t e a la dis par idad de losplazos : n o esadecu ado h ablarde 2,5%de in t er sen23 da sy de in t er s4,2% en42 da so de 37% en440 da sy t r a t a rde compa r a res t osr en dimien t os .Lomis mos u cedecu a n dou n pr s t a mos ees t ipu la a u n a t a s a dein t er sde 35% a n u a l liqu ida do ca dat r imes t r e ven cido y s e des eacom-parar conot ro prs t amo a 32% an u al, per o liqu idado mesan t icipado. As imple vis t a , n o espos ible det er min a rcu l de es t a sexpr es ion esde la st a s a sde in t er seslaqu e in dicama yorr en t a bilida d o eslam son er o-s aenel ca s o de lospr s t a mos . Pa r aello, s e debencon ver t irau n aba s ecom n; prim ero se debe determ inar lo que se conoce com o tas adeintersnominal y apa r t irde ellas e debe det er min a rlat a s ade in t er sefect iva.2.9.2.1TASADEINTERSNOMINALTa s ade in t er sn omin a l esu n at a s ade in t er squ e s e es t ipu lapa r au ndet er min a do per odo porejemplo,u na o y qu e esliqu ida ble enfor ma fr a ccion a da ,en la ps os igu a les oin fer ior es a lin dica doin icia l-men t e;es t a liqu ida cin s er ea liza con la t a s a det er min a da pa r a es eDECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 59per odo men or , y s e lla matas a de intersperidica. Enel pr imerca s ola ps os igu a les ,la t a s a n omin a lr igepa r a la oper a cin yelmon t odel in t er sr ecibido esu n afr a ccindel mon t o in icia l, igu a l alat a s adein t er sn omin a l es t ipu la da ; enel s egu n do la ps osin fer ior esa l es t ipu -la do, lat a s an omin a l s e con vier t e enu n at a s ade in t er sma yorqu es e den omin atas a de intersefectiva.Sepu ededet er min a r u n a t a s a dein t er s n omin a la pa r t ir deu n at a s ade in t er sper idica , s implemen t e mu lt iplica n do lat a s ade in t er sper idicaporel n mer o de per odosqu e h a yaenel per odo m sgr a n dequ e s e h aes t ipu la do pa r alat a s an omin a l. Porejemplo, s i lat a s aper i-dicaesde 2% men s u a l,lat a s an omin a l a n u a l mesven cido s er 24%(2% x 12). Al con t r a r io, lat a s ade in t er sper idicas e pu ede ca lcu la rapa r t irde lat a s an omin a l dividin dolaen t r e el n mer o de per odos . Porejemplo, u n at a s an omin a l a n u a l de 36% liqu ida dat r imes t r e a n t icipa -do daor igenau n at a s at r imes t r a l de 9% (36%/ 4) liqu ida daa n t icipa daenel t r imes t r e.2.9.2.2TASADEINTERSEFECTIVATa s ade in t er sefect ivaeslat a s ade in t er squ e r es u lt acu a n do s eliqu idau n at a s ade in t er sn omin a l enper odosmen or esa l es t ipu la doin icia lmen t e pa r aella . Esu n at a s ade in t er sequ iva len t e alan omin a lliqu ida daenper odosin fer ior es(m scor t os ) a l es t ipu la do pa r alat a s anominal; en ot ras palabras, si los int ereses de la t asa nominal se acu mu -la r a nenu n acu en t adu r a n t e t odoses osper odos , el in t er sr ecibido a lfin a l del per odo ma yor , es t a r amedido porlat a s ade in t er sefect iva .Dich at a s apu ede ca lcu la r s e envir t u d de qu e el in t er squ e efect iva -men t e ocu r r e,escompu es t o,yaqu e la sliqu ida cion esde s t e s e h a na cu mu la do.As imis mo,lat a s ade in t er sefect iva ,t a mbinpu ede s erca lcu la da cu a n dos er ea liza n pa gos dein t er s con a n t er ior ida da lost iemposes t ipu la dosenlat a s an omin a l.Au ns i lospa gosde in t er sn o s e a cu mu la n ,s e pu ede con cebirlat a s ade in t er sefect ivacomo el por cen t a je qu e r es u lt a r as i s e h u bier aacu mu lado; es t a for ma de ver lo es t il cu an do s e des ea compar art as asnominales especificadas con perodos de liqu idacin diferent es, o cu andos e t ien enr en dimien t osenfr a ccion esde t iempo difer en t es .Porello,esin cor r ect o lo qu e mu ch a sper s on a scon s ider a n : qu e esequ iva len t e h a -bla rde u n at a s ade in t er sdel 2% men s u a l y u n adel 24% a n u a l. Ladifer en ciaen t r e ella sr a dicaenlalon git u d del per odo de liqu ida cin .Enr es u men ,lat a s ade in t er sefect ivaa n u a l s e pu ede con s ider a rcomo u n aficcinma t em t ica , qu e s ir ve pa r ah a cercompa r a blest a s a sde in t er ses t ipu la da spa r au ndet er min a do per odo porlo gen er a l u na o conliqu ida cion esenper odosin fer ior esaes e per odo in icia l. M sa n ,esu n aficcinenel s en t ido de qu e,porejemplo,u n aper s on as epu ede en fr en t a rapa ga ru npr s t a mo enfor maa n t icipa da , enper odosin fer ior esau na o, porejemplo t r imes t r es , o pa ga rel mis mo pr s t a moconlamis mat a s ade in t er sa n u a l, per o liqu ida daafin a l del a o. Enes t e ca s o s e ver m sa dela n t e esm scos t os o pa ga rport r imes t r esqu e pa ga ra l fin a l; s inemba r go, s i laper s on amen cion a da , gu a r das udin er o enu n aca jafu er t e, enr ea lida d le dalo mis mo pa ga ra l fin a l delIGNACIOVLEZPAREJA 60a oopa ga r en for ma a n t icipa da ,a u n qu elos c lcu los dela t a s a dein t er sefect ivaa n u a l mu es t r enlo con t r a r io.A difer en ciade la st a s a sn omin a les , la st a s a sefect iva sn o s e fr a c-cion a n(n o s e dividenporel n mer o de per odos ) n i s e pu edenobt en erpormu lt iplica cinde lat a s aper idicaporel n mer o de per odos . Lat a s ade in t er sefect ivaesel r es u lt a do de obt en erlaa cu mu la cinr ea l ovir t u a l de in t er es esper idicos .EJ EMPLO11Sis econ s ider a u n a in ver s in de$1. 000du r a n t eelmes 0a l2%men s u a l (liqu ida dosmen s u a lmen t e), a l fin a liza rlosdoce mes ess e t en -dr: =VF(2%;12;;-1000) =$1.268,24.Es t o qu ier e deciru n at a s ade in t er sa n u a l efect ivadel 26,82%. As mis mo, s i s e dice qu e u n ain ver s inr in de 27,33% a n u a l efect ivo,pu e-des ign ifica r qu es eh a liqu ida domen s u a lmen t ea la t a s a de2,03%(en cu n t r es e es t e va lorcomo ejer cicio). Debe t en er s e mu y cla r aladife-r en cia en t r ela t a s a dein t er s efect iva 26, 82%y27,33%a n u a lylosr es pect ivos va lor es de2%y2,03%men s u a lqu eequ iva len a l24%y24,36% a n u a l n omin a l, r es pect iva men t e.EJ EMPLO12Su pon gaqu e u nba n co A le pr es t aa l 36% a o ven cido, y ot r o B, lepr es t aa l 36% t r imes t r e ven cido. Losflu josde ca jaenca daca s o s on :Trimestre 0 1 2 3 4Banco A $ 1.000 -1.360Banco B $ 1.000 -90 -90 -90 -1.090Cu l esm scos t os o? Lar es pu es t aesel B.Un afor made en t en derpor qu cu es t a m s elB,es pen s a r qu es ielba n coBn ocobr a r a losin t er es est r imes t r a less in o a n u a les , es t a ss u ma ss e podr a nin ver t ir ,porejemplo,enu n acu en t ade a h or r osqu e pa gu e el 6% t r imes t r a l y,en t on ces ,a l fin a l del t r imes t r e 4,s e t en dr alo s igu ien t e:Trimestre 0 1 2 3 4Suma disponible para ahorrar al2% mensual $90 90 90 90Valor al final del trimestre 4 $ = VF(6%;4;-90)= 393,72Es t o s ign ificaqu e s i n o s e t u vier aqu e pa ga rel in t er sca dat r imes -t r e, s in o a l fin a l del a o, es e din er o podr aa h or r a r s e y a l fin a l del a os et en dr a los u ficien t epa r a pa ga r los $360dein t er es es ys obr a r a n$33,72. Porlo t an t o, como al pagarcada t r imes t r e n o s e cu en t a cones edin er o,n o s e obt ien enlos$33, 72 a dicion a lesy s e con clu ye qu e pa ga rt r imes t r e ven cido, esm scos t os o qu e pa ga ra o ven cido. Al pr es en t a rlafr mu lade lat a s ade in t er sefect iva ,ver ifiqu e es t acon clu s in .Repit aes t e ejemplo con9% t r imes t r a l. Cu n t o a cu mu laa l fin a l?Gu a r de es t acifr a ,le s er vir m sa dela n t e enel a pn dice.DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 61Enmu ch a soca s ion es , lacon dicinde a cu mu la cinde in t er es esn os eda en la pr ct ica y,s in emba r go,s eca lcu la u n a t a s a dein t er sefect iva(porejemplo, cu a n do s e h a ce u n ain ver s inporu ncor t o per o-do:u n mes , 3mes es , 20da s , et ct er a );elr a ciocin ioes qu eh a yqu epen s a renu n aliqu ida cinde in t er es esdia r iosqu e n o s e r et ir a n .Si s e r ecu er dael ejemplo 4 de es t e ca pt u lo,a ll s e con clu y qu e elva lor a cu mu la dodeu n a s u ma pr es en t e,pa r a cu a lqu ier n mer odeper odos , con u n a t a s a dein t er si,er a P(1+i)n. Sien es eejemplos econ s ider a n12 mes es ,s e t ien e en t on ceslo s igu ien t e:P(1+i)n = 1.000(1+0,02)12 =1.268,24Os ea ,qu eelin t er s ga n a dos obr e$1.000es 268,24.Es t a s u mas obr e lain icia l, pr odu ce u npor cen t a je de 26,82%.El 2% men s u a l del ejemplo s e pu ede ver t a mbincomo 24% a n u a l,per o liqu ida do men s u a lmen t e, ven cido. Si 24% eslat a s an omin a l,en -t on ces :P(1+i)n = 1.000(1+0,02)12 =1.000(1+0,24/ 12)12Elin t er s qu es eobt ien ea lfin a ldela o, pr odu ct odeliqu ida r losin t er es esde 2% men s u a l y ca lcu la do como t a s ade in t er ses26, 82%a n u a l. Ys eca lcu lba s a doen elin t er s a cu mu la doyga n a doen 12mes es ,o s ea :% 82 , 26 11224 , 01000 . 1000 . 11224 , 01 000 . 11212

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.|+

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.|+Engen er a l,s e pu ede decir ,en t on ces ,qu e esigu a l a :1 1 ]]]

+nninomV(2.13)Por lot a n t o,da dos u n a t a s a dein t er s n omin a lyeln mer odevecesporper odo qu e s e liqu ida ,a l cu mplimien t o (ven cido) s e t ien e:1 1 ]]]

+ nniinomVefEFECTIVO INTERS(2.14)Don de:ie f= Ta s ade in t er sefect iva(enlapr ct icalo m su s u a l esca lcu la r -lapa r au na o, a u n qu e s e pu ede ca lcu la rpa r aper odosdifer en -t es ).n= N mer o de vecesqu e s e liqu idadu r a n t e el per odo.inom= Ta s ade in t er sn omin a l porper odo, liqu ida daporper odoven cido.IGNACIOVLEZPAREJA 62EnExcel 97 s e u t iliza la fu n cinINT.EFECTIVO; s i n o apar ece enel bot nPegar funcin o As is tente de funciones ,deber in s t alarla. Para ello, vayaal men y elija Herramientas , a ll s eleccion e Complementos(Macrosauto-mticas en ver s ion es an t er ior es aExcel97).Hagacliccon elr a t n enHerramientaspara anlis ish as t a qu e aparezca a ct iva day des pu sopr i-ma el bot npara acept ar. Cones t a operacinh a qu edado in s t alada, enPegar funcin o As is tente de funciones, u na coleccin de fu nciones , ent reellasla t as a de in t er sefect iva y la t as a de in t er sn omin al.=INT.EFECTIVO (in t -n omin a l; n m. per odos )Cu a n do n esmu y gr a n de s e dice qu e t ien de ain fin it o,y enes e ca s oes t aexpr es inqu edar edu cidaa :1 nomefie i (2.15)Don de:e= ba s e de loga r it mosn a t u r a les , igu a l a2,71828...inom = in t er sn omin a l a n u a lEs t a lt imaexpr es ins e lla ma tas adeinters continua.En Excel,s e u t ilizaPegar funcin o As is tente de funcionesy enma t em t ica s , s een cu en t r alafu n cin=exp(). En t on ceslat a s ade in t er sefect ivacon t i-n u a ,esdecir ,conliqu ida cinin s t a n t n eaes :1 ) exp( nom efi i(2.16)Para calcular la tasa nominal liquidada en forma instantnea, a partir deuna de tasa efectiva, se despeja inom de la expresin anterior, as:) 1 ln(ef nomi i + (2.17)Es t afor made liqu ida rel in t er ss e u t ilizapa r ael c lcu lo del va lorde opcion esy fu t u r os(va s e Hu ll,1996)Cu a n doelinters nominals eliquidaanticipado,la fr mu la delat a s ade in t er sefect ivas e con vier t e en1 1 ]]]]

nnnomAiefi EFECTIVO INTERS(2.18)Au n qu e enExcel n o h a y u n afr mu laqu e ca lcu le lat a s ade in t er sefect ivaa n u a l, apa r t irde u n at a s an omin a l liqu ida daenfor maa n t ici-pa da , s e pu ede u t iliza rlafu n cinVF de las igu ien t e ma n er a ,enlu ga rde laexpr es ina n t er ior :DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 63TASADEINTERSEFECTIVA= VF (-t a s aper idica ;-n mer o de per odos ;-1) - 1La sfu n cion esde Excel (VA, VF. PAGO y NPER) qu e n o es t ndis e a da spa r at r a ba ja rcont a s a sde in t er sa n t icipa da s , pu edenr ecibir la ss i s ein t r odu cen los va lor es det a s a s yper odos con s ign on ega t ivo. En elca s odeNPER,s loh a yqu ein t r odu cir la t a s a n ega t iva yelr es u lt a doa pa r ece cons ign o n ega t ivo, porlo t a n t o h a y qu e ca mbia r le el s ign o; enel ca s o de PAGO,el s ign o del r es u lt a do esel con t r a r io4.El in t er sn omin a l apa r t irde lat a s ade in t er sefect ivaa n u a l es :

,`

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.|+ 111nefi nnomVi ANUAL NOMINAL INTERS(2.19)Don de:ief = Ta s ade in t er sefect ivaa n u a l.n = N mer o de vecesqu e s e liqu idadu r a n t e el per odo.inomV = Tasa de inters nominal por perodo, liquidada por perodo vencido.EnExcel,=TASA.NOMINAL (t a s ade in t er sefect iva ; n m.per odos )t a s ade in t er sefect iva= t a s ade in t er sefect ivaa n u a ln m. per odos= n mer o de vecesqu e s e liqu idadu r a n t e el a o.Debe obs er va r s e qu e el mon t o de lat a s ade in t er sn omin a l det er -min ael mon t o de lat a s ade in t er sefect iva .Tasa de inters peridicamensual %Tasa de inters anualnominal %Tasa de inters anualefectiva %1 12 12,681,5 18 19,562 24 26,822,5 30 34,493 36 42,58Debe obs er va r s e t a mbinqu e lafr ecu en ciaconqu e s e liqu idau n at a s a n omin a l,in flu yeen la t a s a efect iva .Obs r ves et a mbin la r ela -cin ,yamen cion a da ,en t r e t a s ade in t er sn omin a l y t a s ade in t er sper idica . Pa r au n at a s aa n u a l n omin a l 24%,es t o pu ede ver s e enu n at abla:4Es t a s u ger en cia la r ecibdelpr ofes or Rica r doDu e a s , delPolit cn icoGr a n colombia n o.IGNACIOVLEZPAREJA 64Perodo Tasa por perodo%Perodos deliquidacinTasa anual efectiva%Anual 24,00 1 24,00Semestral 12,00 2 25,44Cuatrimestral 8,00 3 25,97Trimestral 6,00 4 26,25Bimestral 4,00 6 26,53Mensual 2,00 12 26,82Diario 0,0658 365 27,11Pa r aes t osejemplos ,esimpor t a n t e r eit er a rqu e u n at a s ade in t er sefect ivaimplica :1. Liqu ida cinde in t er es esenper odosmen or esa l es t ipu la do pa r alat a s ade in t er sn omin a l.2. Acu mu la cinde losin t er es esgen er a dosdu r a n t e el per odo in dica -do.3. In t er scompu es t o.Ot r a sfr mu la sy ejemplospa r acon ver t irt a s a sde in t er sn omin a l aefect iva s yvicever s a , s een cu en t r a n en elApn dice, a lfin a ldees t ecapt u lo.Es com n en con t r a r en t r elos es t u dia n t es pr egu n t a s como:s is edice qu e u n at a s ade in t er sesde 3% men s u a l, esn omin a l o efect iva ?Sin os ees t ipu la n a da m s s edebecon s ider a r qu ees a es la t a s a dein t er sde es e per odo. Cu n do s e es per aqu e a lgu ienpien s e enn omi-n a l o efect ivo? Porejemplo, s i s e dice qu e u n at a s ade in t er sefect ivaesde24,5%a n u a l, en t on ces en for ma in media t a s epu edeys edebepen s a renqu e es at a s ade in t er sefect ivas e pr odu jo por qu e h a y u n at a s ade in t er sn omin a l y u nper odo de liqu ida cinmen oro igu a l au na o. Si h a blade u n at a s ade 36% a n u a l n omin a l, s e debe es per a rqu es e s u min is t r e m sin for ma cins obr e laper iodicida d de laliqu ida ciny, porlo t a n t o, s e es per a r au n at a s ade in t er sefect ivama yoro igu a la l va lores t ipu la do porlat a s an omin a l. Ta mbincon vien e a cla r a rqu eu n at a s ade in t er sefect ivan u n cas e divide en t r e el n mer o de per o-dos ; lat a s an omin a l, expr es a daporper odo y liqu ida daenper odosdemen ordu r a cin , s e divide, pa r as a berqu t a s aporper odo (men orqu eel in icia l) s e debe liqu ida r .Lat a s ade in t er sefect ivaescomo el pu n t o de u n inen t r e difer en -t est a s a sn omin a lesqu e pr odu cenlamis mat a s aefect iva . Porejemplo,da dau n at a s ade in t er sefect iva , s e pu edenca lcu la rmu ch a st a s a sdein t er sn omin a l equ iva len t es ; el va lorde es t a st a s a sn omin a lesva r a ,lo mis mo qu e el n mer o y lon git u d de losper odosenqu e s e liqu ida n .Lacon dicinqu e debencu mpliresqu e t oda spr odu zca nlamis ma t as ade in t er sefect iva .As ,s e pu ede en con t r a rqu t a s a sn omin a lesmesven cido,mesa n t icipa do,s emes t r e ven cido,s emes t r e a n t icipa do o t r i-mes t r e an t icipado pu edens erequ ivalen t esa u n a t as a n omin al liqu ida-dat r imes t r e ven cido.Se s u gier e a l lect orqu e t r a ba je es t e ejemplo conu n at a s ade in t er sn omin a l de 36% an u al, t r imes t r e ven cido, par a qu eh a lle la smen cion a da st a s a s .DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 652.9.3RELACINENTRETASAPERIDICAYTASANOMINALCon vien e h a ceru nr es u menqu e fa cilit e laoper a cinde con ver s inen t r et a s a s equ iva len t es :t a s a dein t er s per idica es igu a la t a s a dein t er sn omin a l divididaen t r e el n mer o de per odos :ip = inom/ n (2.20)y vicever s ainom =n x ip(2.21)Enla st r a n s for ma cion esen t r e t a s a sde in t er sn omin a lesdebe dis -t in gu ir s e en t r e t r a n s for ma cion esconper odosde liqu ida cinigu a lesyconper odosde liqu ida cindes igu a les .Pa r ael ca s o de per odosde liqu ida cinigu a les :Tasa nominalClculo de la tasa de intersperidicaEquivalencia Nueva tasade inters nominalAnticipada ia =inom/ niv =ia/ (1-ia) n ivVencidaiv =inom/ n ia =iv/ (1+ iv) n iaPa r ael ca s o de per odosde liqu ida cindifer en t es ; Conlat a s an omi-n a l ven cidaconper odo de liqu ida cinn1 s e ca lcu lalat a s aefect iva , ycones t a lt imas e ca lcu lalan u evat a s an omin a l conper odo de liqu i-da cinn2. Pa r allega ralat a s an omin a l ven cidas i s e t ien e u n aa n t ici-pada, s e u t iliza pr imer o el pr ocedimien t o par a con ver t irt as a an t icipadaent a s aven cidaconigu a l per odo.A con t in u a cins e in dicapa s o apa s o (in clu yen do con ver s indea n t icipa do aven cido y vicever s a ) laequ iva len ciaen t r e u n at a s an o-min a la n t icipa da con n1per odos yot r a n omin a la n t icipa da con n2per odosde liqu ida cin .Es t o s e pu ede vis u a liza rcomo u n apa r bolaou n a Uqu ecomien za en t a s a n omin a la n t icipa da n1, pa s a por elpu n t o m sba jo don de es t lat a s ade in t er sefect ivay s u be ot r avezh a s t alat a s ade in t er sn omin a l conn2 per odos .Enes t e es qu ema ,el lect orpu ede iden t ifica rdon de es t y a dn de qu ier e llega r ,de modoqu ela s t r a n s for ma cion es en t r edifer en t es t a s a s s eh a cemu yf cil.Debe obs er va r s e qu e el pu n t o cr u cia l eslat a s ade in t er sefect iva ,qu e s ir ve pa r aes t a blecerlaequ iva len ciaen t r e difer en t est a s a sn o-min a les .De t odo lo a n t er iors e pu ede dedu cirqu e la st a s a sn omin a lesliqu i-da da sde u n amis mafor may enel mis mo per odo,porejemplo,u n at a s an omin a l de 16% a n u a l TV y u n at a s an omin a l de 8% TV,s e pu edens u ma ry s e obt ien e u n at a s ade 24% TV. As imis mo,s e pu edens u ma rla st a s a sper idica sliqu ida da senlamis mamoda lida d (a n t icipa daoven cida ) y pa r ael mis mo per odo,porejemplo,2% M y 1% M,r es u lt aen3% MV.IGNACIOVLEZPAREJA 66Porel con t r a r io, la st a s a sefect iva sn o s e s u ma n . Se compor t a ndema n er as imila rala scompon en t esde lat a s ade in t er syaes t u dia da s .Si s e t ien endost a s a sefect iva sr efer ida sa l mis mo per odo,en t on cesh a y qu e a plica ru n ar ela cinmu lt iplica t iva :( ) ( ) 1 1 12 1 12 + + ef ef efi i i (2.22)Por ejemplo,u n a t a s a efect iva a n u a lde15%yu n a t a s a efect ivaa n u a l de 10%, combin a da sn o r es u lt aen25%, s in o en1,10 x 1,15-1,es t o es26,5%.Tasa nominal anticipadainomA n1 perodos Se convierte a tasa deinters nominalanticipada n2 perodosinomA =iA n2Tasa de inters peridicaanticipadaiA = inomA/ n1 Se convierte a tasa deinters peridicaanticipadaiA = iv/ (1+ iv)Se convierte a tasa deinters peridica vencidaiv = iA/ (1-iA) Se convierte a tasa deinters peridica vencidan2iv = inomv/ n2Se convierte a nominalvencida inomv =iv x n Se convierte ahora a tasade inters efectiva con lafrmula o con la funcinde Excel ief Se convierte a tasanominal vencida n2 conla frmula o con lafuncin de Excel inom v n2 perodosDECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 67EJ EMPLO13Con ver t iru n at a s ade in t er sde 24% a n u a l TA enu n at a s an omin a lSA. Es t e esel ca s o m sdifcil y la r go. Cu a lqu ierot r as it u a cinh a y qu emir a r laenlas ecu en ciapa r aiden t ifica rdn de s e es t y a dn de s e de-s eallega r .Tasa nominal anticipada de24% anual trimestre anticipado4 perodos Se convierte a tasa de intersnominal anticipada n2 perodosinomA =11,64%x2= 23,28%Tasa de inters peridicaanticipadaiA =24%/ 4= 6% Se convierte a tasa de intersperidica anticipada iA =13,17%/ (1+ 13,17%)= 11,64%Se convierte a tasa de intersperidica vencidaiv =6%/ (1-6%)= 6,38% Se convierte a tasa de intersperidica vencida 2 perodosiv = 26,35% /2=13,17%Se convierte a nominal vencidainom v =6,38%x4= 25,53% Se convierte ahora atasa de inters efectivacon la frmula o con lafuncin de Excelief= 28,08% Se convierte a tasa nominalvencida con la frmula o con lafuncin de Excel con 2perodos26,35% semestre vencidoEs t a U es t il par a en t en derlasr elacion esde equ ivalen cia en t r e last as as . Sinembar go, t oda es t a s ecu en cia de pas ospu ede obviar s e s i s eu t ilizanlasfr mu lasqu e s e en cu en t r anenel Apn dice(A2) al fin al dees t e capt u lo.2.10 PARARECORDARAlgu n a sidea scla ve: Un a s u ma dedin er oh oyva lem s qu ees a mis ma s u ma dedin er oma a n a .Es oper mit ees t a blecer r ela cion es deequ iva len cia en t r es u ma sde din er o endifer en t esper odos .Es t ar ela cins e es t a bleceporlat a s ade equ iva len cia ,qu e eslat a s ade in t er s . La t asa de int ers t iene t res component es: inflacin, riesgo y u na t asareal. La sequ iva len cia sen t r e t a s a sde in t er ss e da nencu a n t o as ufor made liqu ida cin : a n t icipa day ven cida . Es t ar ela cinen t r e la sdosmo-da lida dess e es t a blece pa r at a s a sper idica s . Lar ela cinen t r e t a s a sper idica sy n omin a less e es t a blece at r a vsde losper odosde liqu ida cin .La st a s a sefect iva sn o s e obt ien endeoper a cion esa r it mt ica s(mu lt iplica cino divis in ) conla st a s a sn o-min a leso la st a s a sper idica s .IGNACIOVLEZPAREJA 68 La t asa nominal, al liqu idarse en perodos inferiores al est ipu lado paralan omin al,pr odu celat as adein t er s efect iva.Lat as aefect iva,engen er al,es mayor qu elan omin al,dedon depr ocede.Laexcepcinocu rre cu ando el perodo de liqu idacin coincide con el perodo para elcu al s e h a defin ido la t as a n omin al. Enes t e cas o, la t as a n omin al esigu al a la efect iva. Las t asas nominales o peridicas de u n mismo perodo y modalidad, sepu eden su mar. Las tasas efectivas no.2. 11RESUMENEn est e capt u lo se ha est u diado el concept o de equivalencia, qu e esta-blece la relacin ent re su mas de dinero en diferent es perodos. A part ir deall s e es t u di el concept o de inters(I) y la tasa de inters (i%). Se analiza-r onloscompon en t esde u n at a s ade in t er s : in fla cin ,r ies go y t a s adeinters real.Bas n dos e enloscon cept osan t eriores , s e t rabajaronlasfu n cion esyfrmu las qu e permiten hacer las transformaciones entre su mas presentes,fu t u r asy cu ot asu n ifor mes ; s e es t u di t ambinla for ma de h allarel n -mero de perodos qu e establecen la equ ivalencia, las tasas de inters tantopara flu jos con cu otas u niformes y para flu jos con cu otas no u niformes; sees t u di lafor made ca lcu la rel va lorpr es en t e de u n as er ie de flu josn ou niformes. Asimismo, se ilu st r la manera de const ru ir t ablas de amort i-zacin.Adem s ,s ees t u dia r on la s t a s a s dein t er s equ iva len t es :t a s a dein t er sa n t icipa day t a s ade in t er sven cida , t a s ade in t er sn omin a l yt a s ade in t er sefect iva .Cones t ash er r amien t as , el lect ores t ar capacit ado par a h acercu al-qu iert ipo de a n lis isqu e t en gaqu e vercont a s a sde in t er s .Adem s ,es t o eslaba s e pa r acon s t r u irin dica dor esqu e per mit eneva lu a rlacon -ven ien ciao in con ven ien ciade u n aa lt er n a t ivade in ver s in .Losmt o-dosde eva lu a cinde a lt er n a t iva ss e es t u dia r nm sa dela n t e.2.12 REFERENCIAS BIBLIOGRFICASBACA CURREA, Gu iller mo, Aplicacionesde la calculadora financiera ydelExcel a la matemtica financiera, Ser ie docu men t os , Polit cn icoGr an colombian o, Bogot . 1998a.________, Excel yla calculadora financiera aplicadosa la ingeniera eco-nmica, Fon do Edu ca t ivo Pa n a mer ica n o, Bogot . 1998b.________, MatemticasFinancieras , Polit cn ico Gr a n colombia n o, Bogo-t , 1999.GRANT,E.L.yIRESON,W.G.,Principles ofEngineeringEconomy ,4ed.,Th e Ron a ld Pr es s , Nu evaYor k, 1960.DECISIONES DE INVERSIN. ENFOCADO A LA VALORACIN DE EMPRESAS 69HULL, J OHN C., Introduccin a losmercadosde futurosyopciones , 2 ed.,Prentice Hall, Herfordshire, 1996.SALVAT,EnciclopediaSalvatDiccionario,Tomo7,Ba r celon a ,1975.THEECONOMIST, 2 de agos t o de 1997, p. 80-82.