Modelos de Equilibrio General Computable con Excel

Agustina Colloca (agus_tina60@hotmail.com)

Ivan Conlon (ivanconlon@yahoo.com.ar)

Julio Eduardo Fabris (jfabris88@yahoo.com.ar)

María Sofía Molina Bulla (sofi_molina@hotmail.com)

1. Introducción

En las materias de la licenciatura de Economía referidas a la Microeconomía, muchas veces se hace referencia a los modelos de Equilibrio General, inspirados en las contribuciones pioneras de Leon Walras y en los desarrollos topológicos de Arrow y Debreu para las demostraciones de la existencia del equilibrio. Sin embargo, desde hace algunos años, estos abstractos desarrollos teóricos han devenido una herramienta práctica de evaluación de políticas, a partir del avance computacional.

Es así como se ha popularizado últimamente en la investigación económica la utilización de modelos de Equilibrio General Computable (EGC) para comparar el impacto de las políticas implementadas y de los choques (shocks) exógenos sobre los precios relativos, el producto, el empleo en los distintos sectores, el ingreso y el consumo de los hogares.

Estos modelos permiten tratar separadamente el impacto de políticas específicas y de shocks externos. Se construyen matrices de contabilidad social específicas a partir de los datos de las Cuentas Nacionales y se utilizan las mismas para elaborar modelos de equilibrio general que se procesan mediante programas de computación (GAMS, GEMPACK, etc.)

Una forma de llevar al aula estos avances es mediante la implementación de modelos simples que pueden ser resueltos con

el software Microsoft Excel, la popular planilla de cálculo de uso intensivo en el ámbito empresarial y académico.

En esta ponencia desarrollamos la metodología y los fundamentos teóricos necesarios para llevar los modelos de Equilibrio General Computable al aula, con un software difundido y amigable, y resolviendo numéricamente los cambios en el bienestar provocados por distintas políticas económicas (típicamente impositivas y redistributivas)

2. Un modelo de equilibrio general de intercambio

En esta parte presentaremos una introducción conceptual y gráfica al Equilibrio General. Analizaremos de qué forma las condiciones de demanda y de oferta de los diversos mercados determinan los precios de los distintos bienes.

Es usual considerar que el precio de un bien se verá afectado por la oferta y la demanda del mismo en su propio mercado. Lo que generalmente se deja de lado en los análisis de mercado aislado (también llamados de equilibrio parcial), es que a su vez la mencionada demanda del bien se alterará, en cierta medida, por los cambios en los precios de los otros bienes, ya sea porque son bienes complementarios o porque son bienes sustitutos del bien considerado. Por otra parte, los cambios en las cantidades efectivamente compradas de otros bienes influirán en la renta disponible para la compra del bien estudiado, alterando también las condiciones del equilibrio en el mercado.

En general, si se considera que estas influencias de segundo orden sobre el equilibrio en un mercado son pequeñas, es aceptable hacer caso omiso de ellas. Pero esto no es siempre así, por lo que muchas veces se impone realizar un análisis más completo que incluya a todos los bienes de la economía.

Dado que se trata de un problema complejo, para su abordaje adoptaremos una serie de supuestos simplificadores:

• Intercambio puro. En una primera instancia analizaremos un modelo sin producción, en el cual los individuos poseen cantidades fijas de bienes y las intercambian buscando aumentar su utilidad.

• Mercados competitivos. Solo se analizara la conducta en estos mercados. Una caracterización de los mismos para el caso del intercambio considera que ningún individuo tiene poder de mercado, debido a que su consumo es muy pequeño en relación al consumo total de la economía. Por lo tanto los consumidores considerarán a los precios como dados. • Consideraremos sólo dos bienes y dos consumidores. La exposición será así más sencilla. Haremos caso omiso de la contradicción entre estos dos últimos supuestos, suponiendo que los dos consumidores se comportan “como si ” el mercado fuera competitivo

2.1. La caja de Edgeworth

Para estudiar los distintos resultados posibles del proceso de intercambio entre 2 personas utilizaremos un instrumento gráfico denominado “Caja de Edgeworth” 1. En ella podremos representar las dotaciones y las preferencias de los individuos.

Sean los dos individuos A y B y los dos bienes 1 y 2 respectivamente. Cada uno tendrá su propia cesta de bienes inicial, con la que llega al mercado, a la que llamamos la “dotación” del individuo, compuesta por los únicos dos bienes existentes en la economía.

La dotación del individuo A será ( )1 2;A A AW w w= donde 1Aw y 2

Aw

representan las cantidades de bienes tipo 1 y 2 pertenecientes al consumidor A. Análogamente la dotación del individuo B será

1 La caja de Edgeworth debe su nombre a Francis Ysidro Edgeworth (1845-1926) economista inglés que utilizó por primera vez este instrumento analítico.

( )1 2;B B BW w w= . Llamaremos al par de cestas AW y BW la dotación

de la economía y la indicaremos con la letra W.

Por otra parte cada individuo, luego del intercambio, resultará con una cesta de consumo La del individuo A será y la del individuo B será . Llamaremos al par de cestas de consumo y asignación de la economía y la indicaremos con la letra X.

Es condición para que una asignación sea viable que la cantidad total utilizada sea igual a la cantidad total disponible.

La “Caja de Edgeworth” es un gráfico cuyas dimensiones se eligen de manera que la base de la caja representa la cantidad total del bien 1 existente en la economía y la altura de la misma la cantidad total del bien 2. Las decisiones de consumo del individuo A se miden a partir de la esquina inferior izquierda (en horizontal el bien 1 y en vertical el bien 2), mientras que las decisiones del individuo B a partir de la esquina superior derecha (los mismos sentidos pero en dirección opuesta).

Cada punto de la caja de Edgeworth, dada la elección de sus medidas, indica las cantidades que pueden tener tanto A como B en tanto se mantengan las igualdades indicadas más arriba. Observando el eje de abscisas y tomando como origen la esquina inferior izquierda veremos que la distancia horizontal hasta el punto indicado como W, representa la cantidad que posee inicialmente A del bien 1.

Si tomamos como origen la esquina superior derecha veremos que la distancia horizontal hasta el mismo punto W, representa la cantidad que posee B del bien 1. En forma similar, las distancias a lo largo del eje de ordenadas representan las cantidades que poseen A y B del bien 2. Por lo tanto los puntos de la caja de

Edgeworth representarán todas las asignaciones viables dentro de la economía.

Figura 1 - Caja de Edgeworth 2

Las curvas de indiferencia de la persona A se trazan de manera habitual. Para trazar las curvas de indiferencia de la persona B el procedimiento es algo distinto. Primero se trazan tradicionalmente las curvas y luego se “dan vuelta”, de manera que el origen sea el extremo superior derecho de la caja y se superponen a las de A.

Para el caso del consumidor A, como es habitual, a medida que nos alejemos hacia la derecha arriba del vértice A, alcanzaremos asignaciones de utilidad creciente para A. De manera similar, para el consumidor B, a medida que nos desplacemos en sentido descendente y hacia la izquierda del vértice B alcanzaremos asignaciones de utildad creciente para B. Como resultado de este análisis la caja de Edgeworth nos proporciona todas las asignaciones viables de la economía y las preferencias de los consumidores.

2 Gráfico tomado de Varian : 1999

Para saber qué tipo de intercambios pueden ocurrir en esta economía debemos analizar cuáles son las cestas que le proporcionan mayor bienestar a cada uno de los individuos a partir de la dotación inicial con la que cuentan. En la figura 1 la dotación inicial está representada por el punto W, que se encuentra sobre una curva de indiferencia del agente A y sobre una curva de indiferencia del agente B, que en este caso se cortan. Al individuo A le proporcionaran un mayor bienestar todas las cestas que se encuentren por encima de la curva de indiferencia que pasa por la dotación inicial. Al individuo B le sucede lo mismo, (pero desde su punto de vista). Nuestro objetivo es identificar la zona de mutuo beneficio, es decir donde tanto el bienestar de A como el bienestar de B mejoren. En la figura 1 esta área está representada por la zona sombreada con forma de lente. Con el correr de las negociaciones A y B encontraran un intercambio mutuamente ventajoso que los desplazara a algún punto dentro del área sombreada. Por ejemplo podría ser el punto M.

Para desplazarse hacia M el individuo A renuncia a unidades del bien 1 y recibe a cambio del bien 2. Por lo

tanto el individuo B recibe unidades del bien 1 y renuncia a unidades del bien 2 3.

Si resulta ser que en este punto M las curvas de indiferencia de A y B se cortan, existirá nuevamente un área en forma de lente donde puedan encontrarse asignaciones mutuamente ventajosas y así el intercambio volvería a producirse. Si repitiéramos este mismo procedimiento una y otra vez el comercio continuaría hasta ya no exista ningún intercambio mutuamente ventajoso.

Dicho punto esta representado en la figura 2 por el punto M. En dicho punto, como puede observarse, ya no hay corte de curvas de indiferencia (lo que indicaría la existencia de una nueva área de mutuo beneficio) sino tangencia de las mismas. El conjunto de

3 Verificar que = y que =

puntos situados por encima y a la derecha de la curva de indiferencia en la que se encuentra A no tiene puntos en común con el conjunto de puntos situados por debajo y a la izquierda de la curva de indiferencia en la que se encuentra B. Por lo tanto no hay ningún movimiento posible dentro de la caja que mejore el bienestar de alguno de los 2 individuos sin empeorar el del otro. Es decir si nos moviéramos del punto M no sería un intercambio mutuamente ventajoso.

2.2. La eficiencia en el sentido de Pareto

Al tipo de asignación como la que representa el punto M se denomina asignación eficiente en el sentido de Pareto. Cada una de las personas se encuentra en su curva de indiferencia más alta posible, dada la curva de indiferencia de la otra persona. La línea que conecta esos puntos en toda la caja se denomina “conjunto de Pareto” o “curva de contrato”.

Desde un punto de vista gráfico, se puede decir que la curva del contrato es el lugar geométrico de los puntos para los cuales las curvas de indiferencia de A y B son tangentes entre sí. Si se cortaran existirá un área de mutuo beneficio y ese punto no será eficiente en el sentido de Pareto.

Es interesante destacar la diferencia entre los conceptos de equidad y eficiencia, entendida ésta en el sentido de Pareto. Si la asignación en una economía está representada por un vértice, por ejemplo el vértice A, en esta situación B tiene todo, sin embargo es una situación eficiente dado que la única manera de mejorar el bienestar de A es quitándole algo a B.

Figura 2 - Asignacion eficiente en el sentido de Pareto

El conjunto de Pareto es en sí mismo independiente de la dotación inicial, solo se ve condicionado a ella en la medida que esta determina las cantidades existentes de ambos bienes y en consecuencia las dimensiones de la caja de Edgeworth.

2.3. El intercambio de mercado

Analizaremos el proceso de intercambio en un mercado competitivo. Para ello debemos incluir un personaje más a nuestro análisis, el subastador 4. El subastador elegirá un precio para el bien 1 y otro precio para el bien 2. Los agentes teniendo en cuenta esos precios podrán determinar el valor de su dotación y así elegir las cantidades que van a intercambiar.

4 Walras introdujo la figura del subastador como una forma de explicar el proceso de tanteo (tatonement) por el que se llega al equilibrio en los mercados

Habrá dos tipos de demanda a considerar, la demanda bruta y la demanda neta. La demanda Bruta es la cantidad total demandada de un bien a los precios vigentes. Son las cantidades que desea consumir la persona. La demanda neta es la diferencia entre la dotación inicial y la demanda bruta. Son las cantidades que desea comprar. También se la suele denominar como exceso de demanda

Figura 3 El proceso de “tanteo” para llegar al equilibrio

Algebraicamente :

exceso de demanda del bien 1 del agente A

demanda bruta del bien 1 del agente A

dotación inicial

El problema surge al no haber garantía alguna de que a los precios arbitrarios sugeridos por el subastador la oferta sea igual a la

demanda. Es decir que las cantidades que quiere comprar (vender) A no tienen por qué ser iguales a las cantidades que quiere vender (comprar) B.

Para equilibrar estas situaciones de desequilibrio el subastador se propone la siguiente estrategia :

• Si hay exceso de demanda de un bien : sube su precio • Si hay exceso de oferta de un bien : baja su precio

Figura 4 - El equilibrio en la caja de Edgeworth

Como la recta presupuestaria queda definida con la relación de precios, lo que importa es la relación entre 1p y 2p , o sea 1p / 2p , también referido como el precio relativo. Si se sigue este proceso de ajuste hasta que la oferta sea igual a la demanda, es decir hasta que la cantidad que quiera vender el individuo A sea igual a la cantidad que quiera comprar el individuo B y viceversa , se llega así a una situación de equilibrio, caracterizada por ser una asignación viable y a la vez eficiente en el sentido de Pareto considerando la dotación inicial de bienes.

A este equilibrio se lo denomina equilibrio walrasiano y su significado es quedado un conjunto de precios cada consumidor elige la cesta que prefiere de las que le son asequibles. Las decisiones de todos los consumidores son compatibles y por lo tanto la oferta iguala a la demanda

3. El cómputo del Equlibrio en el Intercambio

Una vez presentado el marco teórico del equilibrio general, surge el problema operativo de encontrar dicho punto de equilibrio. Este problema se ha resuelto en forma reciente. El primer modelo de equilibrio general computable fue el desarrollado por Johansen en 1960 5, quien adoptó una técnica de linealización de las ecuaciones no lineales del modelo. Sin embargo, el avance realmente decisivo fue el algoritmo de resolución de Scarf formulado primeramente en 1969 6, el cual es usualmente reconocido como el aporte que transformó el modelo de equilibrio general de una construcción puramente teórica a una útil herramienta del análisis de políticas económicas, permitiendo a los analistas salir de las estrechas fronteras de los sistemas de ecuaciones lineales.

Uno de los precursores en el desarrollo de los algoritmos que culminaron con el aporte de Scarf fue un economista matemático argentino : Rolf Mantel. Este último había sido alumno de Scarf en Yale (Scarf y Koopmans codirigieron su tesis doctoral) y sus trabajos en el tema 7 , si bien no llegaron a una solución definitiva del problema, claramente allanaron el camino para los posteriores aportes.

Luego, desde comienzos de los años 80, las mejoras en el software y en la capacidad de procesamiento de las computadoras personales han hecho de los modelos de Equilibrio General

5 Johansen : 1960 6 Scarf : 1969 7 Mantel : 1966

Computable una herramienta accesible a un amplio círculo de académicos y analistas económicos.

Los programas de cómputo que se utilizan en la profesión son bastante especializados 8 y para su utilización se requiere de conocimientos de programación estructurada. Algunos economistas sin embargo proponen para la resolución de pequeños modelos la utilización de programas más accesibles y sencillos, en particular la popular planilla de cálculo Excel 9. En esta parte desarrollaremos la resolución de un modelo de equilibrio general para el intercambio mediante el solver 10 de Excel.

3.1. Especificación del modelo

El análisis se lleva a cabo sobre una economía de intercambio constituida por dos consumidores y dos productos. Cada consumidor cuenta al inicio con su respectiva dotación de bienes. Adoptaremos para la utilidad de los individuos funciones de tipo Cobb-Douglas. Así, tenemos funciones de utilidad de los agentes de la forma:

Los valores de α y β definen el grado de preferencia del consumidor por el bien correspondiente. Las dotaciones de los agentes las supondremos opuestas, en el sentido de que el agente A tiene todo lo que existe del bien 1 y el agente B tiene todo lo que existe del bien 2. De esta forma aseguramos de manera extrema la existencia de necesidad de intercambio entre los agentes, ya que debido a la forma de las curvas de preferencias resultantes de su función de

8 Los más utilizado son GAMS y GEMPACK 9 Devarajan et al : 1997 10 El solver es una rutina incluida en el programa que resuelve problemas numéricos mediante métodos iterativos.

1 2 1 2( , ) · ·U x x x xα β=

utilidad sabemos que los agentes prefieren consumir un poco de ambos bienes a mucho de uno solo.

Los consumidores maximizan su función de utilidad dados los precios y la valuación de sus respectivas dotaciones a esos precios, la que establece una especie de “ingreso posible” que indica su restricción presupuestaria.

Para cada consumidor i = 1 , 2 las funciones de demanda son :

1 1 21

( ; ; ) iii

mx p p m

pβ

= 2 1 22

( ; ; ) iii

mx p p m

pβ

= con

1 1 2 2i i

im p w p w= +

Para resolver el modelo, y de acuerdo a la ley de Walras, lo que necesitamos es hallar el precio al que la demanda total iguala la oferta total.

En condiciones de equilibrio, hablamos de precios relativos, y para simplificar el análisis acá tomaremos P1=1, o sea como numerario.

Para utilizar el programa Excel para resolver el problema, lo primero que debemos hacer es acomodar los datos de forma que nos permitan utilizar el Solver, y hacer una lectura rápida y clara. En la figura 5, podemos observar un ejemplo :

A B C D E F

1 Datos Ingresos23 alfa1 0,5 p_1 = 1 I_1 =+p_1*W_11+p_2*W_124 beta1 0,5 p_2 = 2,546875031I_2 =+p_1*W_21+p_2*W_225 W_11 1006 W_12 34 Demandas7 U_10 =+W_11^alfa1*W_12^beta1 X_11 =+(alfa1/(alfa1+beta1))*I_1/p_18 U_1 =+X_11^alfa1*X_12^beta1 X_12 =+(beta1/(alfa1+beta1))*I_1/p_291011 alfa2 0,312 beta2 0,7 X_21 =+(alfa2/(alfa2+beta2))*I_2/p_113 W_21 45 X_22 =+(beta2/(alfa2+beta2))*I_2/p_214 W_22 5015 U_20 =+W_21^alfa2*W_22^beta2 X_1T =+X_11+X_2116 U_2 =+X_21^alfa2*X_22^beta2 X_2T =+X_12+X_22171819 W_1T =+W_11+W_2120 W_2T =+W_12+W_22

Consumidor 1

Consumidor 2

Ofertas Totales

Resolucion

Figura 5 - Datos y fórmulas del problema de intercambio puro en una hoja de Excel

Cabe señalar que a los efectos de facilitar la comprensión de los cálculos se han “bautizado” las celdas con nombres apropiados. Por ejemplo la celda B3 donde figura el valor del parámetro alfa para el consumidor 1 se ha “bautizado” alfa1. Esto se implementa en el programa mediante la sucesión de comandos

INSERTAR/NOMBRE/DEFINIR

En este caso al haber escrito el nombre en la celda A3, inmediatamente a la izquierda, el programa sugiere darle a la celda B3 dicha denominación. Así, en las fórmulas que se implementan luego, la celda B3 puede invocarse alternativamente como “B3” o como “alfa1”.

Otra particularidad mostrada en la figura 5 es que en esta etapa del desarrollo del proyecto se prefiere visualizar en las celdas que contienen fórmulas, la estructura de las mismas, en vez de los resultados . Esto se logra con :

HERRAMIENTAS/OPCIONES/VER y en el menú que aparece, se tilda en OPCIONES DE VENTANA la casilla FORMULAS

Como puede verse en la figura, hemos dispuesto los datos de los dos consumidores en las columnas A y B. La resolución del problema de maximización se hallan en el otro extremo, representada por las funciones de demanda respondiendo a los diferentes ingresos que son el resultado de multiplicar las dotaciones por el precio del bien (columnas E y F).

Una vez preparada la planilla invocamos el Solver mediante los comandos

HERRAMIENTAS/SOLVER

Aparece entonces una ventana – menú en el que debemos plantear el problema a resolver. Este puede ser de minimización o maximización del valor de una celda de la hoja de cálculo denominada “celda objetivo”, sujeta a restricciones que deben respetarse. El resultado se consigue variando las celdas que se indiquen como variables.

En nuestro caso no tenemos un problema de maximización ni minimización, por lo cual dejaremos en blanco la celda objetivo pero si indicaremos que debe cambiarse el precio que nos falta calcular, en este caso P2, en la sección “cambiando las celdas”11. A la vez pedimos que se cumpla la condición de vaciado de mercado en la sección “sujetas a las siguientes restricciones”, es decir que debemos igualar oferta y demanda. A continuación presionamos “Resolver” y obtenemos el precio de equilibrio que estábamos buscando junto con los valores que deben tomar el resto de las variables.

11 Para poder comenzar el proceso de cálculo debe haber un valor en la celda. Se recomienda poner algún valor que se suponga que aproxima a la incógnita a resolver.

A B C D E F

1 Datos Ingresos23 alfa1 0,5 p_1 = 1,000 I_1 186,5944 beta1 0,5 p_2 = 2,546875 I_2 172,3445 W_11 1006 W_12 34 Demandas7 U_10 58,309519 X_11 93,2978 U_1 58,460602 X_12 36,6329

1011 alfa2 0,312 beta2 0,7 X_21 51,70313 W_21 45 X_22 47,36814 W_22 5015 U_20 48,444308 X_1T 145,00016 U_2 48,628985 X_2T 84,000171819 W_1T 14520 W_2T 84

Consumidor 1

Consumidor 2

Ofertas Totales

Resolucion

Figura 6 - Solución del problema de intercambio puro con el Solver de Excel

Como puede verse en la figura 6, el Solver ha encontrado una solución que cumple con las restricciones apuntadas

El valor obtenido para p2 es 2,5468 y se verifica la igualdad entre las ofertas y las demandas de cada bien.

Esta hoja de cálculo puede servir para cualquier problema de intercambio entre dos consumidores con 2 bienes. Pueden alterarse las dotaciones iniciales y los parámetros de las funciones de utilidad de los consumidores y de esa forma obtener soluciones alternativas en escenarios diversos.

De todas maneras, el equilibrio en el intercambio es un problema incompleto en el sentido de que no considera la posibilidad de incrementar los bienes a repartir por medio de la producción. Por eso en la sección siguiente abordamos el problema del intercambio con producción.

4. Intercambio con Producción

En esta sección continuaremos el desarrollo de nuestro modelo de equilibrio general incluyendo, además de los 2 consumidores y los dos bienes la participación en la economía de dos empresas. Así, nuestros consumidores tendrán en este caso dotaciones de una índole diferente, ya que están formadas por dotaciones de capital “K” y trabajo “L”, y ya no más de bienes. Por lo tanto, ahora no buscamos más los precios de equilibrio de los bienes, sino aquellos precios de los factores (salarios “w” y retornos de capital “r”) que vacían el mercado.

Cabe destacar que los ingresos de los agentes surgen ahora de la remuneración por el uso de sus dotaciones de capital o trabajo dado los respectivos precios de estos factorespor lo que tenemos que:

. .i i im r K w L= +

Nuestra condición de equilibrio será que los precios encontrados para el capital (r, la tasa de interés) y para el trabajo (w, el salario) vacíen los mercados de factores (K y L respectivamente). Igualamos entonces las demandas totales de capital y trabajo a las dotaciones iniciales de estos factores en los agentes que conforman la oferta. Aún así, al igual que en el caso anterior trabajamos con

precios relativos por lo que tomamos el precio de uno de los factores ( w, el salario) como numerario, es decir igual a la unidad.

Ambas firmas presentan funciones de producción tipo Cobb-Douglas los parámetros α y β nos señalan los rendimientos de escala.

. .y A K Lδ γ=

Así, los mismos serán constantes si suman la unidad, crecientes si suman más de uno y decrecientes si suman por debajo de la unidad. Para poder trabajar debemos hacer el supuesto de que los rendimientos son o bien constantes, o bien decrecientes. Para simplificar el análisis, los supondremos constantes. Por su parte, “A” representa los requerimiento tecnológicos que, por no ser tratados particularmente en este trabajo, pueden obviarse si se busca simplificar los cálculos.

Por otro lado, en este caso supondremos que un consumidor es el capitalista (o sea posee todo el capital) y otro el obrero (o poseedor de toda la fuerza de trabajo), a la vez que una de las firmas es capital intensiva mientras la otra es trabajo intensiva. El problema a solucionar en este caso es la minimización de costos sujeta a la función de producción dada. Así, tenemos:

min . . sujeta a . .w L r K y A K Lδ γ+ =

Las demandas de factores la industria se obtienen de la minimización de costos mencionada y se expresan en términos unitarios 12, es decir la cantidad de cada factor que se requiere para producir una unidad de producto. Realizando los cálculos correspondientes hallamos que:

. 1..

L rlY w A

δγδ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

. 1..

K wkY r A

γδγ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

12 Esto es posible debido a la homogeneidad de la función de producción o sea al supuesto de rendimientos constantes de escala

Bajo el supuesto de competencia perfecta (beneficio nulo), esta posibilidad de calcular los requerimientos unitarios de factores nos permite calcular los precios de los bienes simplemente calculando el costo de estos insumos unitarios (sumando las demandas unitarias de insumos multiplicadas por su precio). Además, el análisis se ve simplificado en cuanto a las condiciones de equilibrio, ya que sólo basta con equilibrar el mercado de factores. El mercado de bienes queda equilibrado por defecto, ya que cuando se calculan las demandas de factores se multiplican las demandas unitarias por la respectiva demanda a satisfacer.

A continuación proponemos una forma de acomodar los datos para facilitar la resolución mediante la utilización del Solver del Excel. Como antes es posible leer las fórmulas utilizadas en los diferentes casilleros.

A B C E F H123 Consumidores4 alfa1 2 w 1 I_1 =+w*L_1+r*K_15 beta1 3 r 2,46031746825397 I_2 =+w*L_2+r*K_26 L_1 500 7 K_1 08 alfa2 3 X_11 =+(alfa1/(alfa1+beta1))*I_1/p_19 beta2 2 X_12 =+(beta1/(alfa1+beta1))*I_1/p_210 L_2 0 L_1Du =+((1/A_1)*(r*gama1/(w*delta1))^delta1) X_1T =+I9+I1411 K_2 300 L_2Du =+((1/A_2)*(r*gama2/(w*delta2))^delta2)12 Firmas13 A_1 2 K_1Du =+((1/A_1)*(w*delta1/(r*gama1))^gama1) X_21 =+(alfa2/(alfa2+beta2))*I_2/p_114 gama1 0,5 K_2Du =+((1/A_2)*(w*delta2/(r*gama2))^gama2) X_22 =+(beta2/(alfa2+beta2))*I_2/p_215 delta1 0,5 X_2T =+I10+I1516 A_2 317 gama2 0,318 delta2 0,719 Demanda Oferta20 p_1 =+L_1Du*w+K_1Du*r =+L_1Du*X_1T+L_2Du*X_2T =+L_1+L_221 p_2 =+L_2Du*w+K_2Du*r =+K_1Du*X_1T+K_2Du*X_2T =+K_1+K_2

DOS SECTORES, DOS CONSUMIDORES, RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA

Resolucion

Precios de los productos por condicion cero beneficio

Condiciones de equilibrioDemanda y oferta de factores

Demandas de Factorespor unidad de producto

Ingreso de los consumidores

Demanda de bienes

Figura 7 - El problema del intercambio con producción en Excel

Dado que hemos normalizado el salario a la unidad, la celda a estimar es la correspondiente a la retribución al capital, o sea E5. A su vez le pedimos al Solver respetar las restricciones de vaciado de

mercado, es decir igualar oferta y demanda (celda F20=H20 y F21=H21), además de agregar la restricción de que el precio buscado debe ser no negativo.

A B C E F H I

123 Consumidores Resolucion Ingreso de los consumidores4 alfa1 2 w 1,0000 I_1 500,0005 beta1 3 r 2,4603 I_2 738,0956 L_1 500 7 K_1 0 Demandas de Factores Demanda de bienes8 alfa2 3 por unidad de producto X_11 127,5079 beta2 2 X_12 260,168

10 L_2 0 L_1Du 0,784 X_1T 409,84411 K_2 300 L_2Du 0,34612 Firmas13 A_1 2 K_1Du 0,319 X_21 282,33714 gama1 0,5 K_2Du 0,328 X_22 256,03815 delta1 0,5 X_2T 516,20616 A_2 317 gama2 0,3 Precios de los productos Condiciones de equilibrio18 delta2 0,7 por condicion cero beneficio Demanda y oferta de factores19 D O20 p_1 1,57 500,00 500,0021 p_2 1,15 299,9999996 300,000

DOS SECTORES, DOS CONSUMIDORES, RETORNOS CONSTANTES DE ESCALA

Figura 8 - Resolución del problema de intercambio con producción

Así, le damos clic en Resolver y al igual que en el caso anterior obtenemos el precio que estábamos buscando junto con el valor

correspondiente a las demás variables del modelo. En este caso resulta ser r = 2,460

5. Análisis de políticas impositiva en una economía con Producción

A los resultados hasta aquí obtenidos deseamos agregarle nuevas variables que permitan el manejo de la política impositiva. Esto significa, que debemos recalcular las fórmulas incluyendo dichas nuevas variables. Ellas son :

• t 1 que representa el impuesto al consumo del bien 1

• t 2 que representa el impuesto al consumo del bien 2

• t K que representa el impuesto al capital

• t L que representa el impuesto al trabajo

• t que representa el impuesto a la producción total

• t K 1 que representa el impuesto al consumo del factor capital por la firma 1 (capital intensiva)

• t K 2 que representa el impuesto al consumo del factor capital por la firma 2 (trabajo intensiva)

Además, supondremos que todo lo recaudado por el gobierno es distribuido entre las familias, dicha recaudación total por impuestos la representamos con la variable T y su distribución depende del parámetro θ.

Éste parámetro de distribución puede tomar valores entre 0 y 1, siendo θ = 0 una distribución que favorece totalmente a los capitalistas (entendida como regresiva) y θ = 1 la que favorece totalmente a los trabajadores (entendida como progresiva).

( ) ( ). . 1 . . 1 .L k Lm K r t L w t Tθ= − − +

Las fórmulas para esta sección se explicitan a continuación :

Los cálculos son exactamente los mismos que antes, sólo que ahora tenemos en consideración las nuevas variables. El ingreso neto de los capitalistas viene dado por :

( ) ( ) ( ). . 1 . . 1 1 .k k Lm K r t L w t Tθ= − − + −

El ingreso neto de los obreros es :

( ) ( ). . 1 . . 1 .L k Lm K r t L w t Tθ= − − +

Las familias ahora maximizan la utilidad (cuya función no cambia) sujeta a la nueva restricción de ingresos iguales a los gastos que viene dada por :

( ) ( )1 1 1 2 2 2. . 1 . . 1 iX P t X P t m+ + + = con i = L,K

Como resultado de la optimización, obtenemos las siguientes funciones de demanda de bienes :

( )11 11 .

ii mX

t Pα.

=+

( )2

2 21 .

ii mX

t Pβ.

=+

Por el lado de las firmas, tenemos la minimización de costos de la cual obtenemos las demandas de factores. Así a partir de

( )1min . 1 . . s.a. Y=A.K .kr t K w L Lδ γ+ +

obtenemos:

( ). 1 .1 ..k j

j

r tL lY A w

δγ

δ

⎛ ⎞+⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

1 ... 1 .j

k j

K wkY A r t

γδ

γ

⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟+⎝ ⎠

donde j = 1,2

Dada la condición de beneficio cero por el supuesto de competencia perfecta tenemos que los precios son :

( )( )

. . 1 .

1j k j j

j

k r t l wP

t

+ +=

−

Finalmente, la recaudación del gobierno por el lado del consumo viene dada por:

( )1,2 ,

. . . . . .c j j j k i l ij i L K

T t X P t K r t L w= =

= + +∑ ∑

Mientras que la recaudación del gobierno por el lado de la producción es:

( )1,2

. . . .p j j kj j jj

T t P X t k X=

= +∑

5.1 _ Un modelo para el análisis de política impositiva para una economía

Con todas estas fórmulas cargadas en un archivo de Excel se ha confeccionado una aplicación que permite la evaluación de políticas impositivas y redistributivas en una economía con producción.

Como antes, habrá dos familias representativas (familia pobre y familia rica ó alternativamente trabajadores y capitalistas) con diferentes dotaciones y funciones de utilidad. También podrán diferir sus preferencias respecto de los dos bienes producidos y consumidos en esta economía (bien industrial y bien artesanal) .

Por otra parte se considerará la existencia de dos firmas, cada una produciendo uno de los bienes. Estas firmas tienen tecnología de rendimientos constantes a escala y ganancia cero (mercado competitivo), es decir que sus ingresos lo dedican a la remuneración de los factores trabajo y capital, poseídos por las familias de la economía.

Finalmente el gobierno implementará una política impositiva a elección y el monto recaudado lo distribuirá entre las familias (esta redistribución simula la provisión de bienes públicos por parte del gobierno) de acuerdo con un patrón dado por un parámetro redistributivo.

Dada la mayor cantidad de datos y la complejidad de las fórmulas, se diseñaron tres pantallas. En la primera se fijan los parámetros del modelo. En la pantalla que se muestra mas abajo (denominada PARAMETROS) vemos los parámetros cargados para un ejemplo de funcionamiento.

Pantalla PARAMETROS del programa definitivo

Las columnas CASO 1 y CASO 2 tienen el sentido de permitir evaluar en dos casos alternativos las consecuencias de algún cambio en los parámetros. En nuestro ejemplo los mantenemos iguales porque lo que queremos evaluar es un cambio en los impuestos.

Las comparaciones entre diferentes políticas desde la óptica del bienestar se hace en base a las variaciones compensatoria y equivalente que se presentan en la pantalla VARIABLES Y RESULTADOS en la sección “Análisis del bienestar”. Al cargar diferentes parámetros en ambas situaciones, podremos contar con datos sufrientes para realizar tal cálculo.

Las fórmulas de las variaciones se presentan a continuación, donde “a” significa “antes” o sea la situación 1 y “d” significa “después”, o sea situación 2.

.d aa

a

U UVE mU−

= .d ad

d

U UVC mU−

=

Una vez fijados los valores deseados a todos los parámetros hacemos clic en el botón DISPLAY y eso nos lleva a la mencionada pantalla VARIABLES Y RESULTADOS, en la cual tenemos la opción de fijar los impuestos y luego resolver el caso con el botón RESOLVER. Dicho botón activo nos lleva a las pantallas de resolución CASO 1 y CASO 2 en los cuales se resuelve apelando al SOLVER del programa.

Pantalla VARIABLES Y RESULTADOS del programa

definitivo

Es importante aclarar que no debe modificarse nada en estas hojas de cálculo CASO 1 y CASO 2, ya que debido a la necesidad de utilizar el Solver la misma no puede protegerse. Una vez resuelto el caso, apretamos la celda que dice “regresar a Display”, y ahí podemos analizar los resultados. A continuación se presenta una imagen de la página de resolución con las fórmulas.

Pantalla CASO 2 del programa definitivo

En la hoja de resolución, una vez ejecutado el SOLVER, el cual ya se encuentra predeterminado, se presiona el botón VOLVER, lo que nos lleva de vuelta a la pantalla VARIABLES Y RESULTADOS, donde aparecen los resultados buscados.

Como puede apreciarse en dicha pantalla, en el ejemplo considerado, en el que se ha aplicado un impuesto del 20 % sobre la dotación de capital (poseído por la familia rica), el bienestar de las familias pobres ha aumentado, mientras que ha disminuido el bienestar de las familias ricas, a pesar de que el parámetro de redistribución se había fijado en el 50 %, es decir sin favorecer ni perjudicar a ningun sector. Por otra parte el bienestar general entendido como la suma de las variaciones del bienestar de ambas familias, no ha variado, ya que el impuesto sobre el capital es no distorsivo. Por lo tanto se ha producido una redistribución eficiente del ingreso.

5 . 2 _ Propuestas de extensión en el aula

Este modelo se ha desarrollado con un objetivo pedagógico y por lo tanto queremos agregar algunas sugerencias para su utilización en el aula. Específicamente proponemos tres alternativas :

• Utilización del modelo en su forma actual para el análisis de políticas

• Modificación del modelo para el análisis de casos no contemplados

• Reemplazo de las funciones de utilidad y producción Cobb-Douglas por funciones más elaboradas (por ejemplo funciones CES)

El primer caso está de alguna manera contemplado en la ejemplificación del parágrafo anterior. La superioridad en términos de bienestar del gasto pro pobre, la menor pérdida de eficiencia de los impuestos sobre los ingresos respecto de los impuestos sobre los factores, etc. Se trata del uso menos exigente en cuanto a trabajo de los alumnos.

El segundo caso se refiere a evaluaciones de política para las cuales el modelo no está específicamente diseñado pero que, con pequeños cambios, podría enfocar. Un ejemplo es el caso de evaluar, para un determinado monto de impuestos que no serán redistribuidos, cuál es la forma más eficiente (en el sentido del bienestar) de recaudar. Si los alumnos han comprendido la lógica de construcción del modelo seguramente serán capaces de realizar los cambios necesarios.

El tercer caso se refiere a reemplazar las simples fórmulas de Cobb-Douglas utilizadas en las funciones de producción y utilidad del modelo por las más flexibles funciones CES (funciones de elasticidad de sustitución constante), que son una generalización de las anteriores y que son las que generalmente se utilizan en los modelos más elaborados. En la actualidad incluso se han comenzado a usar funciones LES (sistema lineal de gasto ó Stone-Geary) para modelizar la utilidad de los consumidores debido a su

característica de no homoteticidad, que se verifica en los datos del consumo, tal como prevé la ley de Engel.

En el apéndice indicamos los desarrollos necesarios para llegar a las fórmulas pertinentes en el caso de las funciones CES.

5. Conclusiones

En esta ponencia hemos mostrado como una herramienta sencilla y extensamente difundida como la planilla de cálculo Excel puede utilizarse para instrumentar modelos que hasta no hace mucho eran exclusivos de los equipos de analistas económicos del gobierno o de las instituciones especializadas.

Entendemos que el acceso a esta tecnología será de suma utilidad pedagógica para los profesores a la hora de abordar en el aula el tema del equilibrio general walrasiano y seguramente les dará a los futuros economistas una herramienta sencilla de análisis que les permitirá abordar la solución de modelos sencillos.

6. Bibliografía

Scarf, H. (1967) "On the Computation of Equilibrium Prices," en Ten economic studies in the tradition of Irving Fisher. Ed.: W. J. FELLNER, Wiley, Nueva York

Johansen, L. (1960) “A multi-sectoral study of economic growth, North Holland, Amsterdam

Mantel R. (1978), "Un algoritmo acelerado para la determinación de una solución de equilibrio económico", Serie de Estudios Técnicos, No.33, Centro de Estudios Monetarios y Bancarios, Banco Central de la República Argentina; Junio.

Mantel, R. (1966) “Towards a Constructive Proof of the Existence of Equilibrium in a Competitive Economy", Tesis doctoral, Yale Economic Essays

Varian, Hal (1999) “Microeconomía Intermedia” , Quinta Edición, Antoni Bosch Editor, Barcelona.

Devarajan, S.; Go, D. S.; Lewis, J. D.; Robinson, S. and Sinko, P. (1997). “Simple General Equilibrium Modeling” en Francois, J. F. and Reinert, K. A. (eds.). Applied Methods for Trade Policy Analysis: A Handbook. Cambridge University Press.

Peng, A. (2007) “Introducing CGE Models to the Classroom Using Excel”, Working Paper, Ryerson University, Faculty of Arts - Department of Economics