EL PLANO EN EL SISTEMA DIEDRICO. PUNTO. Y RECTA DEL PLANO. TRAZAS. Thamara Girón UNIVERSIDAD...
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EL PLANO EN EL SISTEMA DIEDRICO.PUNTO. Y RECTA DEL PLANO. TRAZAS.
Thamara Girón
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZDEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
SECCIÓN DE MATEMÁTICASCÁTEDRA DE DIBUJO I
CONTENIDO
EL PLANO EN EL SISTEMA DIEDRICO POSICIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO
POSICIÓN DE LAS RECTAS PARTICULARES DEL PLANO
TRAZAS DEL PLANO
EL PLANO EN EL SISTEMA DIEDRICO
Una superficie plana es aquella en donde si se unen dos puntos cualesquiera de la misma, determinan una recta, quedando esta recta siempre y toda ella dentro de esa superficie plana
¿Cómo se puede generar un Plano?
a) Supongamos que una recta ideal, sea AB
A
B
Se traslada paralelamente sobre si misma y en una dirección dada, ella genera un Plano en el cual se pueden efectuar dos mediciones: una a lo largo de la recta y otra en la dirección en la cual la recta se ha desplazado.
1 Dimensión
1 Dimensión
b) Cuando se hace girar una recta sobre uno de sus puntos
A
BLa recta AB gira alrededor del punto A generando una superficie circular plana.B
B B
B
Representación del plano
La posición de un plano en el espacio queda determinado: Tres puntos no alineados Dos rectas que se cortan Dos rectas paralelas Una recta y un punto exterior de ella
Hay que tener presente que: En un plano hay infinidades de rectas Su figura descriptiva, se basará en las proyecciones de los
elementos que componen el plano. Una recta pertenece a un plano, si pasa por dos puntos
pertenecientes a este plano.
avbv
ahbh
rv
rh
Av
Ah
Posición de un Punto en el PlanoPara que un punto pertenezca a un plano basta que este punto pertenezca a una recta del plano.
Sea el plano ABC dado por 3 puntos no colineales (A, B, C)
En la figura, las proyecciones del plano ABC parten de la primicia de que:
m є plano ABC y D є m
Algoritmo o procedimiento
1. Por Dv se pasa por la proyección vertical de la recta m que corta al segmento AvBv en 1v y AvCv en 2v
2. Se determina 1h en el segmento AhBh y 2h en AhCh.
AH
AV
BH
BV
CH
CVmV
mH
1v 2vDv
Dh
1h
2h3. Uniendo 1h con 2h define mh
Dv
Dh
mh
mv
4. Definida mh, conociendo que Dh deberá pertenecer a ella, donde la línea de referencia de Dv corta a mh se encontrará la proyección horizontal de D (Dh)
Defina la proyección faltante del punto A que pertenece al plano dado.
av
ah
bv
bh
Av
mv
1v
2v
1h
2h
mh
Ah
av
bv
ah
bh Ah
mh
1h
2h
1v
2vmv
Posiciones de las Rectas Particulares del Plano
Las rectas particulares: Son aquellas rectas que son paralelas a uno de los planos de proyección. La recta horizontal es paralela al plano horizontal y la recta frontal es paralela al plano vertical. Ellas mantienen dentro del plano todas sus propiedades.
1. La proyección hv (Paralela a L.T.). Ella corta a las proyecciones av y bv en 1v y 2v, respectivamente
2. Se define 1h que є bh y 2h є ah.
3. Uniendo 1h y 2h se obtiene la proyección horizontal de la recta “h” (h)
La recta horizontal del Plano
La recta horizontal mantiene su característica de tener su proyección vertical paralela a la L.T y su proyección horizontal dependerá de la posición del plano, donde es contenida.
avbv
ah
bh
hv1v 2v
1h
2h
hh
hv // L.T
hh = VT
Posiciones de las Rectas Particulares del Plano
Las rectas particulares: Son aquellas rectas que son paralelas a uno de los planos de proyección. La recta horizontal es paralela al plano horizontal y la recta frontal es paralela al plano vertical. Ellas mantienen dentro del plano todas sus propiedades.
La proyección fh (Paralela a L.T.) que corta a las proyecciones ah y bh en 1h y 2h, respectivamente, y definida la proyección vertical de la frontal
La recta frontal del Plano
La recta frontal del plano tendrá su proyección horizontal paralela a la L.T y la vertical será de acuerdo a la posición del plano que la contiene, determinando así su ángulo α que forma con el P.H.
avbv
ahbh
fh
1h 2h
1v2v
fv
fh // L.T
fv = VT
Se define traza de la recta, a la intersección de esta en uno de los planos de proyección, Pv y Ph sea la Traza Horizontal y la Traza Vertical de la recta. En este caso la Traza es un punto.
TRAZAS DE UN PLANO
Las Trazas de un Plano se define la intersección de un plano en los Planos de Proyección (PH, PV). Estas Trazas son Rectas.
π
πh
πv
Traza Horizontal del Plano (πh)Es una recta que define la intersección de un plano con el Plano Horizontal de proyección. Esta recta es una recta Horizontal contenida en el plano horizontal, por lo tanto, su proyección vertical estará en la L.T. porque su cota es igual a 0 y hh es la intersección de los planos (Traza
Horizontal πh)
Traza Vertical del Plano (πv)Es una recta frontal contenida en el P.V. que define la intersección de un plano con el Plano Vertical de proyección, por lo tanto, su proyección Horizontal estará en la L.T. (fh= vuelo 0 y la intersección del plano con el P.V. es la proyección Vertical de la frontal (fv). (Traza
Vertical πv)
Construcción de las Trazas de un Plano
a) Traza Horizontal del Plano
2. Uniendo los puntos de Trazas THa y THb, se determinará hh
Dado el Plano π. Dado por dos rectas paralelas
avbv
ah
bh
THb
THa
hh La traza horizontal de un plano contiene todas las trazas horizontales de todas las rectas que pertenecen a él.
Algoritmo o procedimiento 1. Se definen las trazas horizontales de las rectas a y b THa y THb respectivamente
3. Puntos de cota 0, formarán hv en la L.T.
4. La proyección de la recta horizontal definirá la intersección del Plano π con el plano Horizontal de π (πh)
hv
πh
Construcción de las Trazas de un Plano
b) Traza Vertical del Plano
2. Uniendo los puntos de Trazas TVa y Tvb, se determinará fv
Dado el Plano π. Dado por dos rectas paralelas
av
bv
ah
bh
TVb
TVa
fv
La traza Vertical de un plano contiene todas las trazas verticales de todas las rectas que pertenecen a él.
Algoritmo o procedimiento 1. Se definen las trazas verticales de las rectas a y b TVa y TVb respectivamente
3. Puntos de vuelo 0, formarán fh en la L.T.
4. La proyección de la recta frontal definirá la intersección del Plano π con el plano Vertical de π (πv)
fh
πh
Construcción de las Trazas de un Plano
2. Se unen las Trazas Horizontales de las rectas TH y se formará la Traza Horizontal del Plano πh
Dado el Plano π, por dos rectas paralelas o 3 puntos no colineales, o por la intersección de rectas o por 1 recta y un punto
av
bv
ah
bh
THbTHa
hh
La traza del plano se cortan en la L.T o son // L.T
Algoritmo o procedimiento 1. Se determinan las trazas de las rectas que conforman el plano respectivamente
3. Se unen las Trazas Verticales de las rectas Tv y se formará la Traza Vertical del Plano πv
4. Las trazas de los planos πh y πv convergen en un punto en común en la L.T (eje x). O son //L.T
hv
πh
TVa
fv
fh
πh
TVb
EJERCICIOS Determinar las trazas de las rectas1. a A (40, 30, 70) b C (80, 10, 60) B (70, 60, 20)
2. π A (30, 30, 40) B (80, -40, 25) C (95, -25, 60)
3. π A (5, 35, 10) M (100, __, 25) B (15, 27, 35) C (45, 40, 60)
POSICIONES PARTICULARES DE LOS PLANOS CON RESPECTO A LOS PLANOS DE
PROYECCIÓN Los planos pueden tener diferentes
posiciones con respecto a los planos de proyección (PH, PV, PL)
Las posiciones del plano se pueden agrupar en 3 relaciones, cuando:
El plano no es perpendicular a los planos PH, PV.
El plano es perpendicular a uno de los planos de proyección
El plano es perpendicular a dos de los planos de proyección.
El plano es perpendicular a uno de los planos de proyección
a) Plano Vertical: (πv ┴ L.T; πh depende del ángulo β)
Es perpendicular al plano horizontal. Las
proyecciones horizontales de todos los puntos contenidos en el plano, estarán contenidos en la Traza Horizontal del Plano (πh). Esta traza puede tener cualquier dirección, dependiendo del ángulo que el plano forma con el Plano Vertical (β). La traza vertical (πv) será perpendicular a la línea tierra y es una recta de pie.
FIGURA ESPACIAL FIGURA DESCRIPTIVA
FIGURA ESPACIAL
β
π┴PhRectas Є plano:
•De pie
•Horizontal
•Oblicua
'
4. Proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de una CUÑA que pertenece a un PLANO VERTICAL (λ). Sus diagonales miden 6 cm. AC= frontal, BD= HORIZONTAL. λ X (1, 0, 0) O (5,_ , 3.5) β=45º. O es el centro de la base.
Ov
Oh
Bh
Dh
DVBV
AV
CV
Ah-Ch
β
λv
λh
X
El plano es perpendicular a uno de los planos de proyección
b) Plano de Canto: (πh┴ L.T; πv depende del ángulo α)
Es perpendicular al plano vertical. Las proyecciones verticales de todos los puntos contenidos en el plano, estarán contenidos en la Traza Vertical del Plano (πv). Esta traza puede tener cualquier dirección, dependiendo del ángulo que el plano forma con el Plano Horizontal (α). La traza horizontal (πh) será perpendicular a la línea de tierra y se comporta como una recta de punta contenida en el P.H.
FIGURA ESPACIAL
FIGURA ESPACIAL
FIGURA ESPACIAL FIGURA DESCRIPTIVA
π┴PV
α
''
Rectas Є plano:
•De punta
•Frontal
•Oblicua
3. Realizar las proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de un CUBO la cual pertenece a un PLANO DE CANTO (δ). La diagonal AC= frontal, BD= horizontal y mide 6 cm. O (50, 22, _) es el centro de la base.
Oh
fv
fh
Ov
δv
δh
Av
Cv
Ah Ch
Bh
Dh
Bv-Dv
El plano es perpendicular a uno de los planos de proyección
c) Plano // L.T: (πh ^ πv // L.T)
FIGURA ESPACIALFIGURA ESPACIAL
π┴PL
FIGURA ESPACIAL FIGURA DESCRIPTIVA
7. Proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de un PRISMA RECTANGULAR, que pertenece a un PLANO // L.T (Ω). La diagonal. AC= horizontal que mide 6 cm, BD está contenido en la recta 1-
2 1 (3, 0,6) Ω 2 (8.2, 5, 0) O (5.5, _, _) O es el centro de la base
1h
1v
2v
2h
Ov
Ov
//L.T V
//L.T h
O
Bh
Dh
Bv
Dv
Ah Ch
Av
Cv
Ωv
Ωh
Dc
Dc
El plano no es perpendicular a ninguno de los planos PH, PV
a) Plano que pasa por la L.T.
Ambas trazas están contenidas en la L.T. Para determinarlo se requiere de una condición condicional (un punto del plano no contenido en la L.T.). Pueden pasar infinitos planos por la L.T. y un caso particular son los planos bisectores.
FIGURA ESPACIAL FIGURA DESCRIPTIVA
Rectas Є plano:
•De perfil
•// L.T
•Oblicua
El plano no es perpendicular a ninguno de los planos PH, PV
b) Plano Cualquiera:
Puede tomar cualquier posición en el espacio, formando ángulo con los planos de proyección que son diferentes de 90ª.
FIGURA ESPACIAL FIGURA DESCRIPTIVA
Rectas Є plano:
•De perfil
•Horizontal
•Frontal
•Oblicua
RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE
a) Plano que pasa por la L.T.
FIGURA DESCRIPTIVA
RMPRMPv
RMPh
b) Plano de Canto: (πh┴ L.T; πv depende del ángulo α)
RMP
RMPv
RMPh
c) Plano Vertical: (πv ┴ L.T; πh depende del ángulo β)
FIGURA DESCRIPTIVAFIGURA ESPACIAL
β
RMPRMPv
RMPh
RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO
Para trazar por un punto dado una recta perpendicular a un plano: por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza homónima del plano
PERPENDICULARIDAD
•El ángulo NO goza de la capacidad proyectiva•El ángulo NO se proyecta como tal a menos que uno de los lados sea // al plano de proyección•Para poder observar el ángulo en su capacidad proyectiva las rectas tendrán que ser horizontales o frontales•Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria que la recta sea perpendicular a dos rectas del plano, una horizontal y una frontal
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO
FIGURA ESPACIAL
f
h
r
r┴π r┴h rh ┴ PH
r┴f rv ┴ PV
Av
Ah
rv
rh
a) Dada la recta “r” construir un plano π perpendicular a ella.A pertenece al plano π
Fv
FhTh
πh
πv
b) Dado el plano “π” por trazas A punto exterior al plano πTrazar desde el punto exterior una perpendicular al plano.
πh
πv
c) El plano “π” No es dado por sus trazas A punto exterior al plano πEs necesario definir previamente las rectas horizontales y frontales del plano, para poder trazar la perpendicular al plano.
mv
sv
Rv
mh
Rh=Sh
Tv
πh
πv
10. Proyecciones y visibilidad de la base (ABCD) de un PRISMA CUADRANGULAR, que pertenece a un PLANO OBLÍCUO (σ). La diagonal AC es una recta de máxima pendiente (r.m.p) X (0, 0, 0) σ σh= 30ª σ v=45ª A (_, _, 0) O (6.5, _, 2) O es el centro de la base
Ov
45ª
30ªX
σv
σh
hv
hh
Oh
Dh
Bh
BvDv
Rmpv
Rmph
Ah
Av
Dv
Dv
90ªº
VT Rm
pCv
Ch
Realizar las proyecciones y visibilidad de un CUBO la cual pertenece a un PLANO DE CANTO (δ) de 45º. La diagonal AC= frontal, BD= horizontal y mide 6 cm. A´(20, 40, 80) de la base superior del cubo.
Oh
fv
fh
δv
δh
Cv
Av
Ah Ch
Bh
Dh
Bv-Dv
A´v
A´h
90º
90ºOv
45º
Realizar las proyecciones y visibilidad de un CUBO CON UN TETRAEDRO la cual sus bases pertenecen a un PLANO DE CANTO (δ) de 45º. CUBO: La diagonal AC= frontal, BD= horizontal y mide 6 cm. A´(20, 40, 80) de la base superior del cubo. TETRAEDRO se encuentra ubicado al lado derecho del cubo, C del cubo coincide con la mitad de la arista AB del tetraedro, la altura de cara (OC) es una frontal. Aristas 5 cm
Oh
fv
fh
δv
δh
Cv
Av
Ah Ch
Bh
Dh
Bv-Dv
A´v
A´h
90º
90ºOv
45º
Av=Bv
Ah
Bh
Cv
Ch
Ov
Oh
Ht
Hc
Dv
Dh
9. Proyecciones y visibilidad de un OCTAEDRO, cuya Sección Cuadrada (ABCD) pertenece a un PLANO QUE PASA POR LA L.T (δ). AC= horizontal y mide 6 cm, O (4, 2, 4) es el centro de la sección
Ov
Oh
CVAV
DV
BV
δ
//L.T
//L.T Ah Ch
OL
DL
BL
Dh
Bh
VL
V´LV´v
V´h
Vv
Vh
5. Proyecciones y visibilidad de una CUÑA cuya base (ABCD) pertenece a un PLANO VERTICAL (λ). Sus diagonales miden 6 cm. AC= frontal, BD= HORIZONTAL. λ X (1, 0, 0) O (5,_ , 3.5) β=45º. O es el centro de la base.
Ov
Oh
Bh
Dh
DVBV
AV
CV
Ah-Ch
β
λv
λh
X
Eh
Fh
Ev
Fv
8.Proyecciones y visibilidad de un PRISMA RECTANGULAR, la base (ABCD) pertenece a un
PLANO // L.T (Ω). La diagonal. AC= horizontal que mide 6 cm, BD está contenido en la recta 1-2 1 (3, 0,6) Ω 2 (8.2, 5, 0) O (5.5, _, _) O es el centro de la base La altura del prisma es 6 cm
1h
1v
2v
2h
Ov
Ov
//L.T V
//L.T h
O
Bh
Dh
Bv
Dv
Ah Ch
Av
Cv
Ωv
Ωh
Dc
Dc
ΩL
OL
O´L
O´v
O´h C´h
D´h
B´h
A´h
C´v
D´v
B´v
A´v
8.Proyecciones y visibilidad de un PRISMA RECTANGULAR, CON UN PRISMA HEXAGONAL la bases pertenecen a un PLANO // L.T (Ω). 1 (3, 0,6) Ω 2 (8.2, 5, 0) La altura de los prismas es 6 cm
Prima Rectangular: La diagonal. AC= horizontal que mide 6 cm, BD está contenido en la recta 1-2 O (5.5, _, _) O es el centro de la base
Al lado derecho se encuentra ubicado un PRISMA HEXAGONAL AD= horizontal (6 cm), A del Prisma Hexagonal coincide con C del Prima Rectangular
1h
1v
2v
2h
Ov
Ov
//L.T V
//L.T h
O
Bh
Dh
Bv
Dv
Ah Ch
Av
Cv
Ωv
Ωh
Dc
Dc
ΩL
OL
O´L
O´v
O´h C´h
D´h
B´h
A´h
C´v
D´v
B´v
A´v
Av Dv
AhDhOh
Ov
EL=FL
BL=CLBv Cv
EvFv
Fh Eh
ChBh
O´v
O´h
E´v
D´v
C´vB´vA´v
F´v
C´h
D´h
E´h F´h
B´h
A´h