EL PAPEL DEL CONTEXTO EN LA IDENTIFICACIÓN DE...

Goizueta, M. y Planas, N. (2013). El papel del contexto en la identificacin de argumentaciones ma-temticas por un grupo de profesores. PNA, 7(4), 155-170.

EL PAPEL DEL CONTEXTO EN LA IDENTIFICACIN DE ARGUMENTACIONES MATEMTICAS POR UN

GRUPO DE PROFESORES

Manuel Goizueta y Nria Planas En este artculo presentamos datos de un estudio en torno a los discursos so-bre la argumentacin en clase de matemticas elaborados por un grupo de profesores de secundaria. En concreto, explicamos un resultado que pone de relieve el siguiente fenmeno: al identificar argumentaciones matemticas en episodios de clase, varios profesores buscaron evidencias del carcter argu-mentativo en el contexto del aula y de la tarea, relegando aspectos epistmi-cos ms generales. En sus distintas respuestas, estos profesores priorizaron dnde se produjo la argumentacin sobre cmo se produjo. Trminos clave: Clase de matemticas; Discurso; Prctica argumentativa; Profesorado; Teora fundamentada

The Role of Context in the Identification of Mathematical Argumentations by a Group of Teachers In this article, we present the data from a study on discourses about argumen-tation in the mathematics classroom by a group of secondary teachers. In particular, we explain a result that points to the following phenomenon: when teachers identify mathematical argumentations in lesson episodes, some of them search for evidences of the argumentative nature in the classroom con-text and the task, without emphasis on more general epistemic issues. In their different answers, these teachers give priority to where mathematical argu-mentation is produced over how it is produced. Keywords: Argumentative practices; Discourse; Grounded theory; Mathemat-ics classroom; Teachers

En este artculo presentamos un resultado derivado de Goizueta (2011), un estudio acerca de las interpretaciones sobre la argumentacin en clase de matemticas de un grupo de profesores de educacin secundaria. Los dos objetivos del trabajo fueron: (a) identificar interpretaciones de distintos profesores relativas a la argumentacin en cla-

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se de matemticas y (b) construir temas que sinteticen interpretaciones comunes. Para la consecucin del segundo objetivo, se elaboraron temas emergentes mediante la aplicacin de mtodos cualitativos de comparacin constante a datos de cuestionarios escritos. En el contexto de trabajos realizados dentro de nuestro equipo (Morera, 2010; Morera, Fortuny y Planas, 2012), vemos el anlisis de respuestas escritas como un primer paso hacia el anlisis de prcticas situadas en el aula de matemticas, en la interaccin directa del profesor con los estudiantes y con el sistema de actividad ma-temtica (Jaworski y Potari, 2009).

En Goizueta y Planas (2013) detallamos tres de los temas emergentes del anlisis de las respuestas del profesorado para el mismo conjunto de datos al que nos referi-mos en este artculo: (a) nfasis en el papel de las reformulaciones, (b) bsqueda de conectivos y marcas estructurales y (c) omisin de referencias al valor epistmico. Para este artculo, desarrollamos un cuarto tema, que reconstruye parte del anlisis que tuvo lugar durante la realizacin del trabajo de maestra de Goizueta (2011), y que supone un avance respecto a lo que se hizo entonces y respecto a otras producciones vinculadas a ese trabajo (Goizueta y Planas, 2012, 2013). En lo que sigue, primero situamos brevemente nuestro posicionamiento terico y damos cuenta del enfoque metodolgico, para luego justificar el cuarto tema: preeminencia de la prctica educa-tiva centrada en contenidos curriculares. Este tema se fundamenta en la idea de que varias identificaciones de argumentacin a cargo del profesorado participante se basan en explicaciones condicionadas por el contexto del aula y de la tarea en el cual se formula la argumentacin, y se articulan en torno a contenidos propios de la asignatu-ra. Como se ver, en distintas respuestas de distintos profesores, observamos que dan prioridad a dnde se produce la argumentacin, inscribindola usualmente en el desa-rrollo de nociones y contenidos matemticos, por delante de cmo se produce, ob-viando as aspectos ms generales de la argumentacin.

ARGUMENTACIN MATEMTICA Y PRCTICAS ARGUMENTATIVAS Para nosotros, la argumentacin matemtica en situaciones de enseanza y aprendiza-je es una prctica discursiva y situada, cuya comprensin requiere ubicarse a medio camino entre la prctica matemtica y la prctica educativa. Como Krummheuer (1995), sostenemos que cualquier argumentacin debe entenderse en el contexto don-de se produce. En general, no hay una lnea neta entre las prcticas argumentativas y las de otros tipos que permita distinguirlas, si solo se atiende a las caractersticas in-trnsecas de una proposicin. Pero s es posible establecer diferencias en funcin del contexto de la prctica. En este artculo aportamos un resultado donde se observa que varios profesores, a la hora de identificar argumentaciones en episodios ficticios de clase, se centran en aspectos semnticos de contenidos curriculares concretos y en su desarrollo en situaciones de enseanza y aprendizaje, alejndose de procedimientos asociables a la disciplina matemtica. En Goizueta y Planas (2013) resaltamos tanto resultados donde la proximidad a la matemtica es elevada, como resultados donde los

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profesores recurren a criterios de naturaleza curricular. Unos y otros resultados tienen en comn la variabilidad, porque un grupo de profesores o un mismo profesor de este grupo destacan unas veces caractersticas contextuales de la argumentacin en clase de matemticas y, otras veces, caractersticas matemticas en torno al valor lgico y epistmico de las proposiciones en juego.

Nuestro enfoque discursivo nos lleva a hablar de argumentacin matemtica en relacin con el sistema de prcticas argumentativas aceptadas como vlidas en el aula de matemticas, entendida sta como comunidad con un discurso especializado pro-pio. En general, la argumentacin es el acto de formar razones, hacer inducciones, sacar conclusiones y aplicarlas al caso en discusin. As se designa tanto el proceso de producir un discurso lgicamente conectado (no necesariamente deductivo) como el producto de este proceso, reconocindose la acepcin adecuada segn el contexto de uso. Por otro lado, bajo la influencia de la prctica educativa, la argumentacin mate-mtica aparece asociada tanto a nociones relativas al conocimiento matemtico, como a un conjunto extenso de significados extra-matemticos. Aunque estos significados extra-matemticos sean de muy diversa ndole y no se piensen como un cuerpo insti-tucionalizado, son un autntico corpus de referencia (Douek, 2007) y parte crucial de la actividad matemtica en el aula. Una referencia no es objeto de duda; su veraci-dad y su operatividad son fcticas y estn social e histricamente determinadas.

Para la identificacin de prcticas argumentativas en clase de matemticas, Inglis, Meja-Ramos y Simpson (2007) toman el trabajo de Toulmin (1958), quien concreta aspectos estructurales de la argumentacin en matemticas: datos, garantas, respal-dos, calificadores modales, conclusiones, etc. El consenso en torno a Toulmin convive con la controversia sobre cundo tiene lugar una prctica argumentativa en el aula de matemticas (Camargo, 2010). Esta discusin se acostumbra a centrar en el contraste entre explicar, argumentar y demostrar (Gutirrez, 2005). Bajo una perspectiva estruc-tural y epistmica, argumentar requiere considerar criterios de pertinencia y fuerza. Por un lado, la pertinencia de una argumentacin se basa en los contenidos de sus par-tes. Para que una argumentacin sea pertinente, los datos y garantas esgrimidos tie-nen que compartir campo semntico con la tesis que pretenden apoyar. Por otro lado, la fuerza depende de que la argumentacin acepte o no una rplica y de que su valor epistmico sea negativo o positivo. Las razones esgrimidas pretenden comunicar su fuerza a la tesis, modificar su valor epistmico y tornarlo positivo. La argumentacin que resiste objeciones y tiene un valor epistmico positivo es fuerte y suele implicar la adhesin a la tesis (Duval, 1999).

Para Duval (2007), la argumentacin funciona a travs de proposiciones con un valor en s mismas y un estatus operacional en la relacin entre ellas. El valor epist-mico se asocia a cmo se entiende una proposicin, lo que depende de los conoci-mientos previos que condicionan la comprensin del contenido. Cuando se argumenta, se pretende modificar el valor epistmico de la tesis para establecer un valor positivo. En cambio, la clave de la demostracin dentro de la matemtica profesional est en la relacin del valor epistmico necesario y el valor lgico verdadero. Tanto la proposi-cin a validar, como las premisas ciertas dentro de la teora, se hacen sistemticamen-


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te explcitas. Las proposiciones se organizan en una cadena deductiva que remarca los trminos intermedios: cada conclusin parcial es condicin de aplicacin de la si-guiente inferencia. As, la proposicin a validar se deduce de las premisas, cuya vali-dez se comunica a la conclusin. Esto hace que la demostracin parezca una cadena de clculos, mientras que la argumentacin funciona por refuerzo u oposicin de ar-gumentos.

PARTICIPANTES Y MTODOS Para la recogida de datos diseamos un cuestionario basado en dos episodios ficticios de aula, E1 y E2. El cuestionario fue administrado a 10 profesores de matemticas, por separado (los notamos con una P y un nmero del 1 al 10, de P1 a P10). Contac-tamos con profesores de enseanza secundaria con ms de cinco aos de experiencia docente y en activo durante el curso 2010-2011, perodo en el que tuvo lugar la inves-tigacin. Al ser profesorado colaborador en proyectos anteriores del equipo, podemos considerar que fue una seleccin de profesionales expertos con inters por la mejora de su enseanza. Cada episodio se enmarc en la resolucin de una tarea matemtica, con representatividad de dos bloques curriculares distintos. Tarea 1. Para comprar en un supermercado de descuento es necesario hacerse socio pagando una cuota inicial de 2 . Una persona, que necesita 4 kg de manzanas, quiere comprar por primera vez en el supermercado. Un kg de manzanas cuesta 1,75 . Qu tipo de relacin hay entre el peso de las manzanas y su precio? Tarea 2. Joan va a jugar a ftbol con sus amigos y quiere llevar la mayor cantidad de agua posible. Tiene dos botellas cilndricas, una de radio 6 y altura 10 y la otra de ra-dio 4 y altura 20. Cul le conviene llevar? Para la primera tarea se present el siguiente episodio, acompaado de la figura 1. Turno 1 A: Es una variacin directamente proporcional. Porque 1 kg de manzanas cuesta

1,75, 2 kg 3,50, 4 kg 7 y as. Cada vez que esta variable aumenta 1 esta otra aumenta 1,75. Es la definicin de directamente proporcional. Por lo tan-to es una relacin directamente proporcional.

Turno 2 B: S, pero hay que pagar la cuota, as que 1 kg cuesta 3,75 y 2 kg 5,50 Turno 3 A: Y eso qu? Lo que importa para que sea directamente proporcional es que

cada vez que una aumenta la otra tambin y siempre igual.

Turno 4 C: S, es como una escalera y todos los peldaos son iguales. As que es una relacin directamente proporcional.

Turno 5 B: Espera, hagamos tabla y grfica. [ver figura 1] Turno 6 C: Ves? Es una lnea recta, y los escalones son todos iguales. Turno 7 A: S y por eso es directamente proporcional Turno 8 B: Ya No s


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Turno 9 P: Qu pasara si no compraran ninguna manzana? Turno 10 C: Pues no gastaramos nada! Turno 11 B: Bueno, slo los 2 de la cuota Turno 12 C: Si no quiero comprar y entrar en el supermercado cuesta 2, mejor no entro! Turno 13 B: Ves, si ponemos el (0,0) ni siquiera es una lnea recta, as que no puede ser

una relacin directamente proporcional.

Turno 14 C: Pero si ponemos el (0,2), s que es una recta Turno 15 B: No, pero en clase vimos que para que sea directamente proporcional ha de

pasar por el (0,0). Los escalones deben ser todos iguales y debe pasar por el cero. Eso era directamente proporcional.

1 3,75 2 5,5 3 7,25 4 9 5 10,75 6 12,5 7 14,25 8 16 9 17,75

Figura 1. Tabla y representacin grfica del episodio 1 Para la segunda tarea presentamos el siguiente episodio acompaado de la figura 2. El profesor entrega un dibujo con proporciones intencionalmente errneas para generar ma-yor discusin (ver figura 2).

Turno 1 D: Le conviene llevar la X porque es ms grande y entonces le cabe ms. Turno 2 P: Ests seguro de que es ms grande? Turno 3 D: Se ve claramente. Turno 4 E: Pero la otra es ms ancha. Podra ser que tuviera ms volumen. Habra que

sacar el volumen. Pi por dos erre Cmo era?

Turno 5 D: Ummm Pues a m me parece claro.

Turno 6 P: Quin recuerda la frmula para obtener el volumen de un cilindro? Los alumnos acuerdan que el volumen de un cilindro se obtiene mediante la ecuacin V = Pi r h. Calculan los volmenes: Vx = 320Pi y Vy = 360Pi.

Turno 7 P: Entonces le conviene llevar el Y. Estis de acuerdo?


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Turno 8 D: S, pero entonces el dibujo no est bien hecho. No? Turno 9 P: Tienes razn. De hecho lo hice a propsito.

Figura 2. Figura presentada en el episodio 2

En la redaccin de las intervenciones hipotticas de alumnos y profesores, aseguramos la presencia de varios elementos, entre ellos: argumentaciones completas e incomple-tas, calificadores modales distinguibles, conectivos organizativos explcitos, datos, garantas y conclusiones con distintos valores, registros de representacin distintos y adecuados al nivel educativo, contenidos matemticos y extra-matemticos, entre otros. Antes de construir el cuestionario, preparamos un documento de control para decidir sobre la riqueza de los episodios segn sus prcticas argumentativas. A modo de ejemplo, presentamos a continuacin apartes del documento de control para dos turnos de E2 en los que especificamos los elementos datos, garanta y conclusin en Goizueta y Planas (2013) puede leerse otra parte del documento para los primeros tur-nos de E1.

Para el turno 1, del alumno D, estos elementos se caracterizaron de la siguiente manera. Datos 1: X es ms grande. Datos sin sentido matemtico pues ms grande no es un concepto matemtico bien determinado en este caso ni funciona como una analo-ga/metfora aceptable matemticamente. Obviando esta cuestin, se puede otorgar a la proposicin un estatus operacional vlido. Garanta: Implcita [si un cuerpo es ms grande entonces tiene mayor volumen]. La garanta propuesta carece de sentido si consideramos que grande no es un con-cepto matemtico bien determinado en este caso ni funciona como una analo-ga/metfora aceptable matemticamente. Obviando esta cuestin y asumiendo que


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ser ms grande y tener mayor volumen no son equivalentes, se puede otorgar a la proposicin sugerida un estatus operacional vlido. Conclusin: Le conviene llevar X [que es equivalente a le cabe ms si considera-mos el texto de la Tarea 2]. Si se toma solo la sintaxis y los estatus operacionales asignados, la conclusin se deduce por necesidad. Si se ve ser ms grande equiva-lente a tener mayor volumen, resulta una tautologa. Desde el punto de vista mate-mtico la frase carece de sentido. Para el turno 8 del alumno B, la caracterizacin de los elementos fue la siguiente. Datos 1: Implcitos [asume lo dicho en el turno 3 (se ve claramente), es decir, que de acuerdo al registro visual se puede asegurar que el volumen de X es mayor que el de Y]. El alumno nota correctamente que el registro visual aporta evidencias de que X tiene mayor volumen que Y. Datos 2: Implcitos [se ha establecido que el volumen de Y es mayor que el de X]. Una vez aceptado el clculo del volumen, a partir de los datos numricos, este hecho constituye un dato. Garanta: Implcita [modus tollendo tollens]. Regla de inferencia que negando nie-ga; La asuncin de los datos 2 invalida la asuncin de los datos 1. Conclusin: El dibujo no est bien hecho. Para que no haya contradiccin, se deduce el sinsentido de los datos 1 y que estos no representan la situacin matemtica enun-ciada por la tarea. Siempre fuimos conscientes del impacto que la seleccin de episodios tiene en la ob-tencin de resultados. La proporcionalidad aritmtica en E1 y la geometra espacial en E2 son temticas con sus peculiaridades dentro del dominio de las matemticas que influyen en las respuestas del profesorado. Sin embargo, no pretendimos realizar un anlisis dependiente del objeto matemtico ni conseguir resultados generalizables. An as, resultados ligados a dos episodios y 10 profesores pueden orientar sobre has-ta qu punto la gestin y la evaluacin de las prcticas argumentativas en el aula de matemticas es una tarea de gran complejidad discursiva que traspasa el conocimiento de la disciplina.

Junto con los dos episodios, E1 y E2, el cuestionario contiene tres bloques de pre-guntas, uno por episodio, ms otro de carcter general. Las preguntas que acompaan a E1 (bloque 1) y E2 (bloque 2) piden explicaciones al profesor, quien debe informar sobre sus interpretaciones sin necesariamente explicitarlas. Las cuestiones del bloque 1 en el mismo orden que las presentamos son las siguientes.

En las intervenciones de A, identifica argumentaciones, subryalas y explica por qu lo son.

Haz lo mismo con B. Identifica argumentaciones, subryalas y explica por qu lo son.

Haz lo mismo con C. Identifica argumentaciones, subryalas y explica por qu lo son.


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Por su parte, las cuestiones que acompaan a E2 son las siguientes. En las intervenciones de D, identifica argumentaciones, subryalas y explica

por qu lo son. Ahora fjate en E. Respecto a lo que ha dicho D, qu echa en falta? Hay argumentacin en lo que dice E? Si la hay, explica por qu lo es.

Las preguntas de la ltima parte del cuestionario (bloque 3), sin un episodio directa-mente vinculado, atienden al propsito de identificar interpretaciones del profesorado mediante el anlisis de un discurso global sobre prcticas situadas de aprendizaje y enseanza de las matemticas. Las presentamos a continuacin.

Explica si has tenido dificultades al identificar argumentaciones. Cules? Son distintas las argumentaciones identificadas a lo largo del cuestionario?

En qu? Qu es para t argumentar en clase de matemticas? Si deseas aadir algo ms, por favor hazlo en este espacio.

PROCEDIMIENTOS DE ANLISIS Los mtodos de anlisis de datos de los cuestionarios fueron inductivos e interpretati-vos. Aplicamos mtodos de comparacin constante en el marco de la teora fundamen-tada siguiendo orientaciones de Glaser y Strauss (1967), para lo cual la triangulacin de perspectivas con miembros del equipo fue bsica. Procedimos inductivamente, tra-tando de elucidar aspectos clave, por lo general no inmediatos, inferidos de los cues-tionarios. Puesto que no es posible reproducir todos los pasos del anlisis, damos cuenta de las fases organizadas en torno al software que sirvi de instrumento media-dor en la construccin de resultados. En un entorno informtico, creamos y definimos cdigos a priori, basados en nociones del marco conceptual, con condiciones de apli-cabilidad reconfigurables durante el anlisis y varios sistemas de codificacin. Dado que los cdigos son sintticos y no inteligibles per se, se requirieron descriptores. A continuacin, describimos dos de los cdigos obtenidos en fases avanzadas del anli-sis. Se trata de los cdigos que facilitan la comprensin del resultado que se resume ms adelante consltese Goizueta y Planas (2013) para el detalle de ocho cdigos ms. Contenidos curriculares. El profesor alude a caractersticas del episodio y de la tarea que se propone resolver en l, con referencias al uso de contenidos matemticos invo-lucrados. Coherencia semntica. El profesor da sentido y conecta aquella informacin que con-sidera relevante para la consecucin de avances en la resolucin de la tarea matemti-ca. Inicialmente, realizamos una codificacin abierta (Strauss y Corbin, 1998). Compa-ramos resultados obtenidos en la asignacin de cdigos y establecimos parmetros de


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aplicabilidad y certeza. Llevamos a cabo este procedimiento en distintas ocasiones para examinar una y otra vez cdigos revisados (Glaser, 2005). Cuando algn cdigo result de particular inters, elaboramos una codificacin axial, codificando solo para ese cdigo, ya fuera para los datos de un nico cuestionario (anlisis longitudinal) o bien atendiendo a los datos del conjunto de cuestionarios (anlisis transversal). Para las distintas codificaciones axiales, buscamos evidencias negativas, contrarias o com-plementarias, y redactamos textos breves (memos) que resumieron anlisis parciales. La combinacin e iteracin cclica, no siempre secuencial, de estos tres procedimien-tos (codificacin abierta, codificacin axial y redaccin de memos) facilit la creacin inductiva de nuevos grupos de cdigos, que se volvieron a integrar en el proceso de codificacin y en la redaccin de memos. A modo de ejemplo, mostramos el memo elaborado para el turno 1 de E2.

Si consideramos equivalentes ser ms grande y tener mayor volumen, se trata de una tautologa cuyo valor de verdad depende del valor de verdad que otorguemos a los datos del registro visual. As, no resulta una argumenta-cin, pues la frase se reduce a le conviene llevar X pues evidentemente tiene mayor volumen. Si en cambio, vemos ser ms grande como condicin dis-tinta a tener mayor volumen y suficiente para concluir la segunda, enton-ces la frase resulta una argumentacin correcta desde el punto de vista lgi-co (modus ponendo ponens), aunque no tenga sentido desde el punto de vista matemtico pues ser ms grande no est bien determinado. La conclusin deriva necesariamente y, una vez ms, el valor de verdad depende del valor de verdad que otorguemos a los datos del registro visual. Para ambos casos, parece inadecuada como argumentacin en la clase de matemticas. Es in-teresante notar que la estructura de la frase es comn en argumentaciones y est articulada por conectivos habituales en estas.

El proceso cclico continu hasta disponer de una elaboracin exhaustiva de cdigos, para lo cual se tuvo que decidir el punto de saturacin terica. Luego, exploramos re-laciones entre memos, cdigos y descriptores, como antesala del diseo de temas que englobaran aspectos inferidos de respuestas en ms de un cuestionario. Los anlisis longitudinales y transversales, con la iteracin en la construccin de memos, cdigos y descriptores, llevaron a identificar aspectos relevantes en los cuestionarios. Este fue el primer paso hacia el diseo de perfiles discursivos individuales y, ms tarde, hacia el diseo de temas que englobaran aspectos recurrentes en varios perfiles. En la sec-cin que sigue presentamos uno de los temas: preeminencia de la prctica educativa centrada en contenidos curriculares, inspirado en la revisin de los cdigos Conteni-dos curriculares y Coherencia semntica.

EJEMPLIFICACIN DE UN RESULTADO Nuestros resultados tienen que ver con las interpretaciones del profesorado sobre la argumentacin en clase de matemticas. De acuerdo con el enfoque metodolgico


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adoptado, planteamos el proceso de obtencin de resultados como un proceso de cons-truccin de temas narrativos, que pretenden sintetizar evidencias en datos proporcio-nados por ms de un profesor. Si bien la aparicin de estos temas est condicionada por el diseo de la investigacin (la seleccin de profesores, la creacin de episodios, los supuestos tericos,) y por la existencia en las respuestas de los profesores de abundante informacin implcita, se trata de temas que influyen en la enseanza y que merecen ser objeto, cada uno de ellos, de estudios futuros con unos u otros matices, segn los objetos matemticos en torno a los cuales se realicen las prcticas argumen-tativas, del profesorado con el que se colabore, etc.

Si atendemos al conjunto de todos los temas construidos ver Goizueta y Planas (2013) para la consulta de algunos de ellos, en la mayora de respuestas de los pro-fesores se pone de relieve que estos no recurren explcita y deliberadamente a aspectos lgicos y epistmicos de la argumentacin matemtica para proceder a su identifica-cin. A pesar de que algunos profesores en algunas respuestas dan cuenta de estos aspectos, esto no es lo habitual. Hay una importante preeminencia de lo semntico al buscar evidencias del carcter argumentativo en lo que se considera que est ocurrien-do desde la perspectiva del contexto del aula y de la tarea. En su interpretacin de los episodios, los profesores se centraron en contenidos curriculares, al indicar momentos de la enseanza y del aprendizaje como catalizadores de la presencia de argumenta-cin. Esto ocurre hasta tal punto que la argumentacin se define en algunas ocasiones por referencia a avances en la resolucin de la tarea matemtica. En realidad, no es de extraar que la lgica con la que los profesores identifican argumentaciones matem-ticas est ms vinculada a los contenidos curriculares que a la disciplina matemtica y a aspectos ms generales de la argumentacin. Lo que de algn modo resulta extrao es que estos profesores no parezcan estar advirtiendo las diferencias entre los aspectos involucrados en una y otra lgica. Del mismo modo que en la identificacin de argu-mentaciones no basta con la identificacin de cuestiones lgicas y formales, tampoco basta con la bsqueda de coherencia semntica en el mbito de la prctica educativa situada que corresponda.

En general y salvo para P10, los profesores explicaron su identificacin de argu-mentaciones apelando a aspectos particulares relativos al desarrollo de los episodios, que no siempre tienen que ver con la disciplina matemtica o con cuestiones generales de la argumentacin. En estos casos, las explicaciones acostumbraron a ser extensas y llegaron a centrarse en contenidos curriculares de la prctica educativa en el aula de matemticas. La no identificacin del turno 8 de E2 como argumentacin es una muestra clara del foco en contenidos curriculares. En este turno, establecimos una te-sis aparentemente desvinculada de la tarea que, sin embargo, fue sumamente pertinen-te y estuvo en lnea con el objetivo de generar discusin a partir del registro visual (figura 3). Por otro lado, la identificacin positiva de los turnos 14 y 15 de E1, donde se esgrimen nociones vinculadas a la tarea, refuerza esta idea. En sntesis, la influen-cia de los episodios y la evocacin que estos crean en los participantes desempean un papel decisivo en las interpretaciones de los profesores. Esto provoc que algunas ex-plicaciones se volvieran biogrficas, ya que el profesor tendi a centrarse en su expe-


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riencia profesional como docente antes que en su conocimiento lgico y matemtico. Por otra parte, este comportamiento contrasta con el que se le supone al matemtico profesional, quien respondera a la tarea en trminos de premisas verdaderas, cadenas deductivas correctas, etc. Veamos las siguientes explicaciones, recordando que res-ponden a la tarea de identificar argumentaciones y explicar por qu se las considera como tales. P4: [Sobre E1 (turno 1) y refirindose al fragmento Porque 1 kg de manzanas cuesta 1,75

, 2 kg 3,50, 4 kg 7 y as] Para argumentar la afirmacin inicial de que se trata de una variacin directamente proporcional.

P1: [Sobre E1 (turno 13)] Afirma que no lo es porque no es una lnea recta. P7: [Sobre E1 (turno 14)] C se da cuenta de que partiendo del punto (0,2) se mantiene la

forma de lnea recta.

P2: [Sobre E2 (turno 1)] Aqu, es y se ve se refieren a las proporciones del dibujo en el que se aprecia ms alto uno que otro y casi igual de radio.

P4: [Sobre E2 (turno 1)] Establece una relacin entre capacidad y el aspecto grande de un objeto.

P5: [Sobre E2 (turno 1)] Porque, aunque errneas, responden a la pregunta, aunque no sea una argumentacin correcta y aunque sea basndose en la percepcin.

Las explicaciones anteriores son ejemplos que resultan desconcertantes si esperamos respuestas del tipo es una argumentacin porque presenta estas y aquellas caracters-ticas. Para discernir estas caractersticas, es tambin difcil tratar de proceder anali-zando las acciones a las que los profesores se refieren en sus explicaciones. Sera un simplismo sugerir que para P1, argumentar consiste en afirmar cosas, para P2 con-siste en referirse a cuestiones particulares, o para P5 consiste en responder a una pregunta. Por s mismas, estas respuestas ofrecen pocas opciones de vislumbrar as-pectos generales sobre la argumentacin. Para interpretar estas respuestas, deben en-tenderse segn lo que sucede en los episodios. As, en E2 (turno 1) se trata, efectiva-mente, de establecer la funcin de garanta que nota P2. En E1 (turno 13), P1 observa que la definicin de directamente proporcional es crucial en el argumento. Por otra parte, la explicacin de P5 resulta relevante al poner el acento en los registros impli-cados, aunque este profesor prioriza el inters por la resolucin de la tarea del episo-dio y con ello se vuelven a destacar caractersticas del episodio relativas a contenidos curriculares por delante de caractersticas de la argumentacin. A continuacin mos-tramos algunas respuestas. P1: [Sobre E1 (turno 1)] Afirma que es una relacin directamente proporcional, aporta

unos clculos y una referencia a la definicin que respaldan su afirmacin.

P8: [Sobre E1 (turno 1)] Es una argumentacin porque reconoce una relacin entre varia-bles, la identifica con un concepto que conoce y de ello hace una deduccin aunque sea incorrecta.

P6: [Sobre E1 (turnos 1 y 3)] Es una argumentacin porque infiere una conclusin: que


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las dos variables son directamente proporcionales a partir del hecho (premisa) de que al aumentar 1 en una de ellas, la otra aumenta 1.75.

P4: [Sobre E1 (turno 15)] Estas dos observaciones le permiten afirmar que no es una rela-cin directamente proporcional.

Al contrario de lo que ocurre con el anterior grupo de respuestas, las de este segundo grupo sealan elementos generalizables relativos a la identificacin de argumentacio-nes y su interpretacin. De este modo, podemos sugerir que segn P1, argumentar consiste en establecer una tesis y aportar datos y garantas para respaldarla. Segn P4, consiste en proporcionar datos que permitan refutar la tesis sostenida. Segn P6, con-siste en elaborar razonamientos deductivos. Pero incluso en estos casos, las explica-ciones de los profesores continan centradas en los contenidos de los episodios, en lo que sucede en ellos para intentar resolver la tarea desde el punto de vista del uso de contenidos matemticos, sin atencin explcita y deliberada a las cualidades de la ar-gumentacin. Sobre la participacin del alumno A en E1, P9 escribe lo que sigue. P9: A responde a la pregunta del enunciado: es una relacin de proporcionalidad direc-

ta. Y hace una argumentacin basada en una concepcin errnea de la funcin de proporcionalidad directa (funcin lineal). Primero, no considerando la cuota inicial para calcular el precio en funcin del peso, y, despus en 3, evidenciando esa confu-sin cuando dice: para que sea directamente proporcional es que (sic) cada vez que una aumenta la otra tambin y siempre igual. Este argumento pone de manifiesto sus deficiencias a la hora de diferenciar las funciones lineales y afines. Tambin en la intervencin 7 ahonda en esas deficiencias asociando nicamente la lnea recta con la funcin lineal. Por tanto, lo que hace A es argumentar. Y en sus argumentos hay un cierto progreso, ya que en cada intervencin aporta algn elemento nuevo: en la 1, argumento numrico; en la 3, evidencia el aumento de las dos variables y en la 7, re-laciona la funcin lineal con una recta. Pero es una argumentacin falaz porque se basa en conceptos y apreciaciones matemticas errneas. Tambin sus aportaciones son de poca relevancia porque, an recordndoselo B en la intervencin 2, ignora la cuota inicial.

A la vez que remarcable, el anlisis de P9 pone de manifiesto que el inters de los pro-fesores est, sobre todo, en la tarea matemtica y en la identificacin de avances en su resolucin a lo largo de las distintas intervenciones. Esto es as hasta tal punto que es necesario compartir parte del repertorio comn entre la comunidad de profesores de matemticas, un corpus de referencia, para que varias de las respuestas del cuestiona-rio adquieran sentido. Bajo una mirada estrictamente matemtica, es difcil percibir el fuerte carcter pragmtico de muchas respuestas de los profesores, cuyo nfasis se centra en cmo los distintos turnos se suceden en relacin con la enseanza y el aprendizaje de las matemticas. Hay, por tanto, un contrato que se establece en la comunicacin entre los participantes y el equipo de investigacin, en especial con el primer autor, que es quien se responsabiliza de la recogida de datos y quien interacta con los profesores desde el supuesto de que lo que estos escriben es coherente en el


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conjunto de unas prcticas de referencia imaginables. Este contrato tcito permite rea-lizar una lectura con sentido de los datos y organizar su posterior anlisis sistemtico.

CONSIDERACIONES FINALES Tanto en los programas de estudio de formacin del profesorado como en los de los distintos niveles de la educacin obligatoria, el desarrollo de las denominadas compe-tencias argumentativas es un tema transversal de amplia presencia. En relacin con la formacin matemtica del profesorado, Boero (2011) se refiere a la necesidad de cul-tivar y transmitir una cultura de la argumentacin, con conocimientos meta-matemticos acerca de la naturaleza de las referencias aceptables en la validacin de una proposicin, el papel de los contraejemplos y los requisitos lgicos y textuales de una proposicin, entre otros. El desarrollo de competencias argumentativas dentro de la Educacin Matemtica incluye la construccin progresiva de una conciencia sobre las reglas que rigen la argumentacin matemtica y la argumentacin en general. Des-de esta perspectiva y como parte del quehacer cotidiano, urge que el profesorado logre transmitir esta conciencia meta-matemtica aprovechando las ocasiones que el trabajo en el marco del currculo pueda brindar. A su vez, resulta indispensable que el profe-sorado sea capaz de identificar, considerar y evaluar las producciones argumentativas del alumnado, yendo ms all incluso del desarrollo de conceptos estrictamente ma-temticos.

Cuando solicitamos a los profesores que centren su atencin en la argumentacin, hemos observado el papel privilegiado que otorgan al desarrollo de la tarea matemti-ca y a los aspectos semnticos implicados, en detrimento de cuestiones ms generales de la argumentacin. Adems de rastrear las interpretaciones sobre la argumentacin matemtica de un grupo de profesores de esta materia en aulas de secundaria, tambin y, sobre todo, hemos analizado algunas de las razones que hay detrs de las interpreta-ciones ms frecuentes. Para ello, hemos examinado los discursos escritos generados a partir de las respuestas a un cuestionario en torno a episodios ficticios de clase. La opcin de disear el cuestionario con base en datos de clase ha contribuido, sin duda, a que prevalezca la perspectiva basada en contenidos curriculares por delante de la perspectiva basada en aspectos generales de la argumentacin en la mayora de las respuestas. Un cuestionario con proposiciones formales ajenas al contexto del aula, por ejemplo, hubiera debilitado la fuerza con la que se ha impuesto el papel de los contenidos. Sin embargo, lo que consideramos revelador es el hecho de que el papel del profesor, reducido a mediador entre alumno y contenidos curriculares, aparezca en oposicin al papel del experto en la disciplina matemtica atento a las normas y pro-cesos de validacin, an ms a sabiendas de la slida formacin en matemticas de los profesores participantes en la investigacin. Puede estar ocurriendo que, encontrando difcil explicar por qu una emisin es una argumentacin, los profesores se hayan centrado en aquello que les resulta ms sugestivo: el desarrollo de contenidos curricu-lares.


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Hemos aducido en otras publicaciones (Goizueta y Planas, 2012, 2013) que las in-terpretaciones de los profesores no se apoyan en la estructura lgica de la argumenta-cin matemtica ni en su valor epistmico, sino ms bien en cuestiones semnticas y comunicativas propias del discurso en la clase de matemticas de secundaria. Esta aproximacin a la argumentacin matemtica por parte de los profesores lleva consigo numerosas implicaciones relativas a la enseanza. A pesar de que no se puede estable-cer una conexin directa ni inmediata entre prctica educativa real y discursos escritos sobre esta prctica, consideramos problemtica la omisin de aspectos lgicos y epis-tmicos. Desde nuestro posicionamiento terico, abogamos por la necesidad de articu-lar una visin sincrnica de la argumentacin como prctica matemtica formal y co-mo prctica educativa situada, que permita abordar, de un modo global, los retos de la enseanza de las matemticas, entre los cuales destaca el de ensear a argumentar. Al respecto, aprender a argumentar requiere dos niveles principales de comprensin: por un lado, reconocer las reglas que fundamentan la argumentacin en matemticas y, por otro, aplicar contenidos concretos en el uso combinado de dichas reglas (Planas y Morera, 2012). Si el profesor de matemticas desatiende uno de estos niveles en el trabajo del aula, se corre el riesgo de que no se avance hacia la construccin de razo-namientos matemticamente complejos.

AGRADECIMIENTOS Nuestro equipo forma parte del Proyecto EDU2012-31464, Anlisis de entornos co-laborativos de aula desde la perspectiva de su mediacin en la construccin discursiva de conocimiento matemtico, financiado por el Ministerio de Economa y Competiti-vidad de Espaa, que da continuidad al Proyecto EDU2009-07113, Estudio sobre el desarrollo de competencias discursivas en el aula de matemticas, financiado por la misma entidad.

REFERENCIAS Boero, P. (2011). Argumentation and proof: Discussing a successful classroom dis-

cussion. En M. Pytlak, T. Rowland y E. Swoboda (Eds.), Proceedings of the 7th Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 120-130). Rzeszw, Polonia: ERME.

Camargo, L. (2010). Descripcin y anlisis de un caso de enseanza y aprendizaje de la demostracin en una comunidad de prctica de futuros profesores de matemti-cas de educacin secundaria. Tesis doctoral no publicada, Universidad de Valen-cia, Espaa.

Douek, N. (2007). Some remarks about argumentation and proof. En P. Boero (Ed.), Theorems in school: from history, epistemology and cognition to classroom prac-tice (pp. 163-181). Rotterdam, Holanda: Sense Publisher.


PNA 7

Duval, R. (1999). Argumentar, demostrar, explicar: continuidad o ruptura cogniti-va? Mxico DF, Mxico: Iberoamrica.

Duval, R. (2007). Cognitive functioning and the understanding of mathematical pro-cesses of proof. En P. Boero (Ed.), Theorems in school: from history, epistemology and cognition to classroom practice (pp. 137-162). Rotterdam, Holanda: Sense.

Glaser, B. (2005). The grounded theory perspective III: theoretical coding. Mill Val-ley, CA: Sociology Press-Grounded Theory Institute.

Glaser, B y Struss, A. (1967). El desarrollo de la teora fundamentada. Chicago, Illi-nois: Aldine.

Goizueta, M. (2011). Interpretaciones sobre la argumentacin en el aula de matem-ticas de secundaria por parte de un grupo de profesores. Trabajo fin de mster no publicado, Universitat Autnoma de Barcelona, Espaa.

Goizueta, M. y Planas, N. (2012). Anlisis de interpretaciones escritas del profesorado sobre la argumentacin en clase de matemticas. En A. Estepa, A. Contreras, J. Deulofeu, M. C. Penalva, F. J. Garca y L. Ordez (Eds.), Investigacin en Edu-cacin Matemtica XVI (pp. 295-302). Jan, Espaa: SEIEM.

Goizueta, M. y Planas, N. (2013). Temas emergentes del anlisis de interpretaciones del profesorado sobre la argumentacin en clase de matemticas. Enseanza de las Ciencias, 31(1), 59-76.

Gutirrez, A. (2005). Aspectos metodolgicos de la investigacin sobre aprendizaje de la demostracin mediante exploraciones con software de geometra dinmica. En A. Maz, B. Gmez y M. Torralbo (Eds.), Actas del IX Simposio de la Sociedad Es-paola de Investigacin en Educacin Matemtica (pp. 33-50). Crdoba, Espaa: SEIEM.

Krummheuer, G. (1995). The ethnography of argumentation. En P. Cobb y H. Bauers-feld (Eds.), The emergence of mathematical meaning: interaction in classroom cultures (pp. 229-269). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

Inglis, M., Meja-Ramos, J. P. y Simpson, A. (2007). Modelling mathematical argu-mentation: the importance of qualification. Educational Studies in Mathematics, 66(1), 3-21.

Jaworski, B. y Potari, D. (2009). Bridging the macro- and micro-divide: Using an ac-tivity theory model to capture sociocultural complexity in mathematics teaching and its development. Educational Studies in Mathematics, 72(2), 219-236.

Morera, L. (2010). Momentos clave en el aprendizaje matemtico en un contexto de trabajo de las isometras usando un entorno tecnolgico. Trabajo fin de mster no publicado, Universitat Autnoma de Barcelona, Espaa.

Morera, L., Fortuny, J. M. y Planas, N. (2012). Momentos clave en el aprendizaje de isometras en un entorno de clase colaborativo y tecnolgico. Enseanza de las Ciencias, 30(1), 143-154.

Planas, N. y Morera, L. (2012). La argumentacin en la matemtica escolar: dos ejemplos para la formacin del profesorado. En E. Badillo, L. Garca, A. Marb y M. Briceo (Eds.), El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y ma-


PNA 7

170

temticas (pp. 275-300). Mrida, Colombia: Fondo Editorial Mario Briceo Irago-rry.

Strauss, A. L. y Corbin, J. (1998). Basics of qualitative research techniques and pro-cedures for developing grounded theory. Londres, Reino Unido: SAGE.

Toulmin, S. (2007). Los usos de la argumentacin. Barcelona, Espaa: Pennsula.

Manuel GoizuetaUniversitat Autnoma de Barcelona

[email protected]

Nria PlanasUniversitat Autnoma de Barcelona

[email protected]

Recibido: septiembre de 2012. Aceptado: noviembre de 2012 Handle: http://hdl.handle.net/10481/24792

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