El modelo interactivo para el aprendizaje matemático...

Proyecto FONDEF: Aprender matemática creando soluciones Modelo interactivo para el aprendizaje matemático

Centro Comenius USACH 1

El modelo interactivo para el aprendizaje matemático

“Conjetura – trata – observa lo que sucede – aprende cómo seguir” (Robert Davis, 1969)1

Fidel Oteiza Morra Hernán Miranda Vera Santiago, Enero del 2002

Presentación En este documento se describe el modelo interactivo para el aprendizaje matemático, entendido como una formulación teórica (ideal) acerca de los elementos básicos que constituyen una situación apropiada de enseñanza y aprendizaje del conocimiento matemático y de la interrelación dinámica que existe entre dichos elementos. En su aplicación práctica, el modelo sirve como procedimiento para orientar las decisiones de quienes generan situaciones de enseñanza y aprendizaje de la matemática; de los docentes en su acción de facilitación de los aprendizajes y de quienes evalúen los aprendizajes alcanzados por los estudiantes. Consecuentemente, en su formulación se encontrará orientaciones y criterios para adoptar decisiones en relación con los diferentes momentos involucrados y, cuando corresponde, las orientaciones están referidas a los diferentes actores que participan en el proceso. La visión más sintética que podemos ofrecer de la forma de pensar y de actuar que aquí se presenta, se acerca mucho a la expresión citada del Madison Project: “conjetura – trata, pon la idea a prueba – observa lo que sucede y... aprende cómo seguir”. Esto señala la búsqueda consciente de un modelo que potencie el desarrollo de un alumno independiente, que en interacción con el conocimiento y el mundo que lo rodea aprende, organiza su saber matemático como parte de su construcción como ser individual a la vez que comprometido con su entorno. El propósito último del proyecto en el cual se enmarca este trabajo, es generar condiciones para lograr mejores resultados en el aprendizaje de la matemática en el nivel medio. En la búsqueda de esas condiciones, de cara a los resultados de la investigación y la experiencia, se propuso crear condiciones y mostrar formas de actuación en la situación de enseñanza, que difieren, significativamente, de las prácticas habitualmente observables en las salas de clases de un liceo de enseñanza media. En esta oportunidad, se busca caracterizar, tanto la forma en que se seleccionan y crean esas situaciones, como la forma en que se las puede poner en práctica y evaluar los resultados de aprendizaje de los estudiantes. De acuerdo con la propuesta original, el modelo deber ser un resultado del proyecto. Esto significa que la versión que aquí se presenta es nuestra mejor “conjetura” al momento actual. Es el molde desde el cual se espera generar las situaciones de aprendizaje que luego serán puestas a prueba con diversos estudiantes. De acuerdo con lo que observemos que sucede, esta versión del modelo debe ser o confirmada o mejorada a la luz de los resultados de la experiencia. ¿Por qué interactivo? El modelo en desarrollo pretende dar cuenta de un modo de pensar y de actuar en la facilitación del aprendizaje de la matemática en el nivel medio. El calificativo de interactivo, se hace cargo de un aspecto central en la filosofía que orienta a los autores: el aprendizaje lo realiza la persona que aprende en interacción con su medio. El foco, el centro está en una persona, en la persona que aprende. El resto, lo que hace el educador, lo que representan sus pares, lo que proveen los textos o los recursos para el aprendizaje, la comunidad a la que pertenece, su familia y en general, su entorno completo, será percibido y conceptualizado desde ese centro, desde ese foco. Lo que se puede lograr desde fuera de la persona que aprende, es la organización de las

1 “Guess – try – watch what happens – learn what to do next”, una versión sintética de la filosofía del Madison Project, dirigido por Robert Davis en las décadas del sesenta y setenta, desde la Universidad de Syracuse, en el estado de Nueva York, EE.UU.



experiencias que ésta puede tener en la interacción con ese entorno: esa es la responsabilidad central de quienes organizan y realizan el acto educativo. Al definir el modelo de aprendizaje se pone especial atención a la referida organización de las experiencias: ¿Cómo se organiza el medio para facilitar las interaccione adecuadas o efectivas entre el que aprende y lo que se espera que aprenda? Las interacciones entre el estudiante y sus pares, sus educadores, el conocimiento, los medios de los que dispone para aprender, la comunidad a la que pertenece, su entorno familiar y social, son los elementos en los que se juega el acto de facilitación de los aprendizajes. Es en este espacio de relaciones que se da el proceso educativo completo, la formación de valores, la interrelación entre la matemática y otras áreas del conocimiento, la educación afectiva y de las emociones, en general, el conjunto de aprendizajes que definen el desarrollo de la persona. Caben, entonces, las preguntas acerca del rol que desempeñan esas interacciones y – para nuestro caso central – la forma en que se propone que el modelo en desarrollo defina y oriente la organización de esas interacciones. Consecuentemente, aquí se caracterizan los roles y actuaciones de los agentes principales en el entorno del aprendizaje. A su vez, se busca también caracterizar el ambiente de trabajo y las condiciones que deben cumplir agentes y componentes para conformar ese espacio de aprendizaje apropiado.



Marco de referencia: los principios orientadores del modelo El modelo interactivo para el aprendizaje matemático que aquí se desarrolla, tiene como telón de fondo varios elementos que lo enmarcan y lo situan en el contexto específico de la educación secundaria chilena. En particular, se consideraron las siguientes áreas para delimitar el análisis previo que enmarca el modelo propuesto: el marco curricular existente; las condiciones dadas en liceos y salas de clases; una postura a partir de la concepción particular de lo que significa hacer investigación y desarrollo en el área que nos ocupa; un conjunto de principios orientadores que explicitan (a modo de axiomas) el pensamiento y la filosofía que orienta a los autores. Los planes y programas de estudio como un marco organizador Un postulado básico es que el modelo interactivo debe facilitar la puesta en práctica de la reforma curricular en matemáticas de la enseñanza media. Esto implica que, de una parte se asumirá como un insumo básico, las prescripciones curriculares como objetivos de aprendizaje, contenidos y modalidades de evaluación y, de otra, se buscará interpretar el sentido y espíritu de la reforma propuesta de modo de traducirlo en productos concretos que faciliten (hagan posible) la implementación de la reforma. A partir de este principio, se realizó un didáctico - matemático2 de los contenidos del programa de segundo medio a la luz del conjunto de la propuesta curricular del sector matemática de la enseñanza media y se establecieron las “líneas de desarrollo del pensamiento matemático” que organizan dicha propuesta. Simultáneamente, se analizaron los temas centrales del programa de segundo medio, con el objeto de adelantar propuestas de enseñanza. Los resultados de ese trabajo se pueden ver in extenso en el documento “Propuesta para el diseño curricular del segundo año medio” (Oteiza y Miranda, 2002). El análisis citado permitió detectar las directrices que sirven de hilo conductor y que le dan coherencia a la propuesta. Es así como la reforma en matemáticas de la enseñanza media supone el tránsito de un conjunto de condiciones y/o características de las actuales prácticas docentes en la enseñanza a nuevas concepciones o polaridades. En efecto, aplicar los predicamentos de la reforma supone: • Transitar de un currículo de marcado carácter formal (sintáctico / estático) a otro de carácter práctico

(semántico / dinámico). De este modo, el acento puesto durante mucho tiempo sobre los objetos y las reglas que deben satisfacer, se desplaza a comprender y manejar las variaciones de esos objetos en el espacio en que se dan.

• Pasar de un énfasis en la resolución de ejercicios al estudio de fenómenos. Estos fenómenos darán origen a

situaciones intra o extra matemáticas que servirán de marco, motivación y espacio de estudio de los modelos de que dispone la matemática para comprender o explicar esos fenómenos.

• Avanzar de la pericia en el manejo formal de los objetos matemáticos a la utilización de instrumentos

matemáticos en el estudio y resolución de situaciones problema. • Pasar del estudio de casos particulares a la búsqueda de modelos que describen situaciones generales. • Transitar desde el trabajo con incógnitas, al estudio de variables, poniendo el acento en el estudio de las

variaciones. Si lo esencial del currículum anterior eran las ecuaciones (expresiones algebraicas), ahora lo central son los modelos. Esto supone pasar del trabajo a partir de expresiones algebraicas a la explicación de fenómenos que son factibles de representar por medio de algún modelo matemático.

2 A partir de un estudio realizado por Lorena Espinoza.



Las condiciones de la sala de clases y del liceo Una condición necesaria para que el modelo interactivo sea una herramienta útil y adecuado a la labor que debe desarrollar el docente, es que debe ser operativo en las condiciones de sala de clase y de los establecimientos en los que se educa la mayor parte de la población escolar del país. Los primeros análisis muestran que es una condición difícil de cumplir. Tanto las condicionantes materiales, como las prácticas administrativas y las de los propios docentes de matemáticas, casi determinan los comportamientos, prácticas y resultados de aprendizaje observables en la actualidad. Lo anterior hace que las transformaciones en esas prácticas y en los espacios en que estudian los jóvenes, que recomienda la aplicación del conocimiento actual acerca de la didáctica de las matemáticas, sea una tarea muy compleja. Sin embargo, aún en las condiciones actuales –y precisamente debido a ellas- el modelo debe tomar en cuenta esta realidad y buscar de manera explícita las formas de romper las barreras que impiden el cambio y la innovación. En particular, el procedimiento que se sugiere para generar y validar las situaciones de enseñanza acordes con el modelo fue pensado precisamente para abordar este requerimiento. Un proceso de investigación y desarrollo La formulación y la aplicación del modelo interactivo se basan en resultados de la investigación en el campo de la educación matemática y la didáctica y en lo aprendido en el campo del desarrollo curricular. De este modo, las recomendaciones, los instrumentos de observación y de medición y, en general, todos los instrumentos que emerjan en este proceso, tienen un correlato en esos resultados. En particular, la conceptualización acerca del “desarrollo curricular” expresada en el trabajo “Desarrollo curricular: una mirada desde la innovación en la enseñanza de la matemática” (Oteiza y Miranda, en prensa), es parte importante de este marco de referencia. El modelo definitivo, entonces, será un resultado de un proceso completo de investigación y desarrollo, y cuya caracterización inicial se la hizo a partir de un conjunto de principios orientadores. La razón de ello radica en que, a la hora de decidir, de diseñar, poner a prueba y aprobar una estrategia o una solución educativa, la claridad de las opciones iniciales es importante. Por otra parte, los “materiales de enseñanza son una expresión sutil pero poderosa de los valores de quienes los crearon” (Glass, 1972). De modo que hacer explícitas las opciones al comenzar un proceso de producción, aumenta las posibilidades de que los resultados representen esas opciones y quienes interactúen con esos productos, contarán con más y mejores elementos de juicio la hora de decidir acerca de su uso y al adoptar las providencias para su aplicación. La validación merece una mención destacada: ¿cómo saber si el modelo es apropiado?; ¿cómo saber si el material de enseñanza es adecuado y produce los resultados prescritos en el modelo?; ¿cómo decidir si una situación de enseñanza está diseñada acorde al modelo? Los principios orientadores que aquí se enuncian son las condiciones de partida, las que serán luego sometidas a un proceso de operacionalización y puestas a prueba en situaciones experimentales de enseñanza. Los productos obtenidos en este proceso serán indicadores de avance y/o de éxito que permitirán orientar, de manera dinámica, todo el proceso de construcción del material de enseñanza. Principios orientadores3 Principio de la calidad y pertinencia del conocimiento. La calidad y pertinencia del conocimiento matemático y del conocimiento didáctico deben ser de la más alta calidad. El principio también se refiere a que la calidad del conocimiento matemático no se vea dañada por la necesaria transposición didáctica que éste experimenta al pasar a ser parte de una propuesta curricular. Principio de la inclusión (o de todos incluidos). Los resultados del proceso de creación curricular deben velar por entregar soluciones para todos los alumnos, independientemente de sus antecedentes escolares o socio 3 Estos principios han sido tomados y adaptados del trabajo “Desarrollo curricular: una mirada desde la innovación en la enseñanza de la matemática” (Oteiza y Miranda, en prensa).



económicos. Simultáneamente, se busca que los productos y procedimientos puedan ser utilizados con provecho, por todos los profesores que manifiesten interés, independientemente de su formación o experiencia. Un corolario de este principio guarda relación con los costos y otro con la “usabilidad”. En efecto, se busca que los resultados o sean de bajo costo o demuestren tener una razón costos/resultados, que los justifique. La usabilidad, dice relación con la facilidad de uso y practicidad en el ambiente en que se espera actúen: el liceo. Principio de la concepción del aprendizaje. La investigación en neurociencia actual ha arrojado muchas luces acerca de cómo se produce realmente el aprendizaje en los individuos, a pesar que aún queda mucho camino por recorrer para poder explicar en forma satisfactoria estos complejos procesos. Una propuesta de desarrollo curricular que plantea una determinada forma de lograr aprendizajes no puede ser ajena e inconsistente con estos hallazgos. Del trabajo realizado por Roberto Araya4 (2000), en su libro “Inteligencia Matemática” se infieren orientaciones que un enfoque basado en los avances del conocimiento acerca de cómo opera el cerebro en los procesos de aprendizaje debería sustentar. Por ejemplo: aprovechar oportunísticamente las capacidades naturales del cerebro producidas a través de cientos de millones de años de evolución; enseñar a manejar siempre múltiples representaciones, y de naturaleza distintas (motoras, cinestéticas, visuales, auditivas, verbales, simbólicas, etc.) y enseñar a conectarlas entre sí (estrategia similar a la de buscar “varios puntos de entrada”, que recomienda el psicólogo de la educación Howard Gardner); diseñar secuencias de acciones y de estímulos que permitan aumentar la frecuencia de selección de estrategias eficientes y la creación de nuevas, sin olvidar que las antiguas estarán siempre disponibles; comenzar por representaciones motora-cinestéticas y visuales, y luego, poco a poco, introducir representaciones más abstractas. En la actualidad, el CERI (Center for Educational Research and Innovation), organismo dependiente de la Organización Europea para el Desarrollo Económico y la Cooperación (OECD), tiene entre sus prioridades para el período 2002 – 2006, estudiar el potencial de la investigación acerca del cerebro y las ciencias del aprendizaje, para la generación de políticas educacionales. Principio de la claridad de los contratos. Tanto en su gestación, prueba e implementación, los recursos curriculares son el fruto de la actuación de muchas personas, pertenecientes a instituciones y especialidades diferentes. Es indispensable que los actores tengan plena conciencia y claridad de los procesos, resultados y responsabilidades en esos procesos. También los procedimientos deben generar contratos claros y precisos a la hora de su aplicación. Profesores, directivos docentes, alumnos, apoderados y otros miembros de las comunidades docentes, deben conocer los términos generales de los acuerdos y saber qué esperar de la aplicación de los productos del proyecto. Principio de construcción y reconstrucción. Debido a la naturaleza de la empresa, pero también por opción de los autores, la noción y la acción de construcción es un eje central del proceso. De partida aceptamos que el conocimiento es una construcción humana; que para su aprendizaje, los actores – en un sentido muy real – lo “reconstruyen”. Un material de enseñanza, una situación de enseñanza diseñada, es una base para la reconstrucción que de esa situación hará el profesor o la profesora. Y, en un tercer nivel, el programa y los instrumentos para su aplicación, deben ser una construcción conjunta entre docentes de aula y especialistas. Luego, los productos deben facilitar la construcción del conocimiento por parte de los estudiantes; en su aplicación, acompañar a los docentes en el proceso de apropiación y recreación de la innovación y en su gestión, seguir los pasos y procedimientos propios de un enfoque sistémico aplicado a la generación de material de enseñanza. Principio de la mediación e interactividad. Los productos resultantes de este proceso buscan enriquecer la mediación del aprendizaje. El docente tiene, en este sentido, el rol de generar un espacio en el que sus alumnos puedan aprender a partir de un proceso de construcción. Si, siguiendo a Paulo Freire, se acepta que “nadie educa a nadie, ni nadie se educa a sí mismo sino que todos nos educamos, mediados por el mundo”, el objetivo es la creación de un espacio enriquecido en que se aliente la interacción entre el estudiante y los objetos de estudio, los estudiantes entre sí, los estudiantes y su profesor, pero también, la interacción entre todos esos personajes y la realidad en la que viven. La operacionalización de este principio, se espera, sea una marca distintiva de los ambientes en que el programa sea utilizado. 4 Director alterno del proyecto que motivó este trabajo.



Principio de enfoques múltiples. La experiencia ha entregado abundante evidencia acerca del valor y la efectividad de ofrecer, a los estudiantes, múltiples enfoques para los aprendizajes deseados. La generalización, proceso básico en la matemática, se fundamenta en la extracción de lo común en la multiplicidad. Los trabajos de Howard Gardner muestran que, además, se posibilitan caminos a quienes muchas veces han estado fuera de la comprensión de las vías preferentes de entrega de conocimiento: la forma eminentemente verbal – formal de presentar la matemática. También tiene que ver con la idea de darle a cada uno su oportunidad: ¡Dejar que las águilas vuelen! Que cada estudiante pueda, efectivamente, hacer usos de sus particulares talentos para apropiarse del conocimiento. Esto implica, según Araya (2000) hacer el esfuerzo por buscar, nuevamente, múltiples representaciones del conocimiento (cinestéticas, motoras, visuales, verbales, etc.) que ayuden a la comprensión profunda de las ideas matemáticas principales. Principio de modelaje. Es reconocido el potencial que tiene la acción de modelar en el aprendizaje de la matemática. Una de las mayores contribuciones que la disciplina ha hecho en el campo del conocimiento, proviene de la capacidad de los modelos matemáticos para formalizar procesos y sistemas en los más diversos campos de la acción humana. Modelar, desde un punto de vista matemático, es poner en correspondencia a determinados rasgos de un sistema con un formalismo matemático. Al menos, eso es lo que ocurre en los modelos de primer orden. La visión que Galileo tuvo de la Física se originó en la fuerza de la matemática como modelo para describir fenómenos y sistemas. El proceso de generar y validar modelos ofrece un amplio espacio para la construcción de conocimiento por parte de quién aprende: “modelar - dice la introducción del Proyecto Mathematics: Modeling Our World- es aprender a aprender” (Solomon y Garfunkel, 2000). De otra parte, los modelos matemáticos son instrumentos poderosos para describir y comprender el comportamiento de sistemas y situaciones complejas, tales como: la variación del clima; la energía liberada en un choque de partículas; la trayectoria de un proyectil; el riesgo de dar un crédito o de tener SIDA dado que ha salido positivo el test. Principio de cierre y/o formalización. Los modelos y la contextualización del conocimiento matemático son palancas poderosas para el aprendizaje. La necesidad de llegar al conocimiento abstracto, recontextualizado en la matemática también es crucial. Se busca que la actividad desplegada por el estudiante, la búsqueda de respuestas a problemas abiertos, la creación de soluciones, culmine con el cierre, la comprensión de los procesos y resultados a la luz del análisis crítico. Simultáneamente, se buscará que el estudiante, una vez terminado el proceso de aprendizaje de un concepto o modelo, lo pueda reconocer en diversos contextos, incluido el contexto de la matemática. Llegar hasta el ¡Ahá!, el “Clic”, el cierre que refiere la escuela sicológica de la Gestalt. Es el carácter abstracto lo que le da a la matemática su capacidad para ser aplicada en diferentes contextos y situaciones. Principio de evaluación. La tensión entre la selección y el cultivo de los talentos, cruza los esfuerzos por innovar en la enseñanza. Los sistemas educativos tienden a comprometerse con el primer polo. Las pruebas nacionales y la forma de evaluar en aula, tiende a “dejar atrás” a los que no alcanzan ciertos niveles. El fracaso escolar es casi sinónimo del fracaso en matemática y este fracaso estigmatiza, condicionando el futuro del estudiante. Si se desea que la educación signifique desarrollo para todas las personas, es indispensable repensar y remodelar la relación entre enseñanza y evaluación, entre selección de los mejores y el cultivo de todos los talentos. Simultáneamente, y no independiente de la opción por el cultivo de talentos, son los materiales y procedimientos por los cuales se facilita el aprendizaje los que deben ser objeto preferente de la evaluación. Si no enseñan, si no facilitan aprendizajes de calidad y para todos, los materiales, procedimientos y prácticas deben ser revisados y mejorados, de modo que cumplan con su objetivo. Principio de las aproximaciones sucesivas y redes de apoyo. Este principio apunta al corazón del proceso de creación curricular. Detectar la situación problemática, analizar las variables que intervienen, diseñar una solución o varias, poner a prueba, observar los resultados y corregir y/o optimizar, es el núcleo del proceso. “Equivóquese pronto y empiece a corregir”, es una verdad pragmática bien conocida en desarrollo curricular. En el sistema educativo, la posibilidad real e interesante de poner en práctica ese ciclo, pasa por la creación de redes de confianza sostenidas en el tiempo. Los procesos de producción – validación, son oportunidades potentes de aprendizaje, donde todos los que participan en esos procesos aprenden algo nuevo. Una red de personas basada en la confianza, en la creación de una visión común y en el beneficio de todos, es el ambiente natural para el nacimiento y el perfeccionamiento de una solución curricular apropiada.



Principio de la replicabilidad o consistencia de resultados. Por último, se trata de buscar soluciones que produzcan su efecto en forma consistente e independiente de sus autores. El principio habla del necesario “destete” de los productos y de su capacidad de comunicación. Se usó al comienzo de este artículo la comparación con la música. Se debe generar “partituras” (materiales) que leídas e interpretadas por un docente generen la “melodía” (situaciones de aprendizaje y resultados) que sus autores crearon. Es un criterio muy exigente, pero de ser logrado da su verdadero valor a un esfuerzo de innovación como el que nos ocupa. Los elementos centrales del modelo Los elementos básicos, las piezas o ladrillos que componen el modelo son: el conocimiento matemático, el estudiante, el profesor, el espacio de aprendizaje (la sala de clases), el material de aprendizaje (libros, juegos, guías, material manipulativo, etc.). A continuación, se describe una postura acerca de la concepción del conocimiento matemático que sustenta el modelo, donde se consideran los fundamentos en que se basa su enseñanza en la actualidad y la importancia que tiene en el contexto social y cultural. Además, se entrega una conceptualización acerca acerca del rol del estudiante en el proceso de aprendizaje (aprendizaje activo, búsqueda de respuestas abiertas, variables afectivas, metacognición); el rol del profesor (mediación del aprendizaje, acciones efectivas de mediación, observación de los procesos de aprendizaje); la definición y organización del espacio del aprendizaje (sala de clases) y el uso de otros espacios alternativos que rompan el aislamiento en que se trabaja normalmente; la definición y uso de material de apoyo; y la evaluación del aprendizaje matemático (noción de representaciones múltiples, comunicación de ideas, cómo ir más allá de las pruebas escritas). El conocimiento matemático El conocimiento matemático es una construcción humana, en constante desarrollo, cuyas componentes han sido respuestas a problemas, desafíos y necesidades de explicación de fenómenos, hechos o situaciones conflictivas. Conocimiento que ha tenido diferentes formulaciones, correcciones y niveles de abstracción a lo largo de la historia. Cuando enseñamos, cuando mediamos en el aprendizaje de otro, trasmitimos una forma particular de comprender lo que es conocer, la forma particular en que nosotros pensamos los procesos por medio de cuales llegamos a conocer y comunicamos, también, nuestros conceptos acerca de lo que es conocimiento. Esto es, transmitimos nuestra propia epistemología. Gregory Bateson (1977) afirma que es imposible que alguien carezca de una epistemología. Lo que es poco frecuente, es que el que enseña haya hecho consciente su concepción epistemológica. La forma en que se enseña usualmente la matemática, tiende a formar en el estudiante una profunda confianza en el conocimiento matemático. Esto es, una concepción epistemológica acrítica que le impide comprender que, en torno al conocimiento matemático, a lo que es matemática y lo que es hacer matemática, existe una controversia permanente, tal como lo expresan Davis y Hersh (1981) -en su clásico “The Mathematical Expierence”- y otros autores como Arthur L. Steen (1990). Más aún, las ciencias en general, nos recuerdan Chretien y Gaud (1996), son un proceso humano, lleno de dudas, progresivo, relativo, cuya finalidad es la de intentar construir una representación más o menos satisfactoria que de cuenta de los fenómenos del mundo en que vivimos. Los errores de ayer – sostienen estos mismos autores – nos muestran que las verdades de hoy no son más que los errores aplazados en el tiempo y los debates que hoy dividen a la comunidad científica, nos recuerdan que aún quedan muchos problemas abiertos que andan en busca de su solución.



Parte importante del desarrollo de la disciplina se debe a la capacidad crítica de matemáticos perspicaces. El cálculo fue profundamente modificado a comienzos del siglo pasado, la lógica ha recibido aportes epistemológicos notables desde Boole a Goedel. En relación a este permanente cambio en el conocimiento matemático a través de la historia, Jean-Pierre Le Goff (1996) en un planteamiento pedagógico que refuerza la importancia de mirar el desarrollo histórico de los problemas matemáticos y refiriéndose a las ecuaciones de tercer grado, sostiene que: “como vemos, las cuestiones de existencia y unidad no son quizás de una actualidad demasiado antigua: basta con leer de nuevo a Euclides, Descartes y muchos otros para convencerse rápidamente; conviene recordar cuando enseñamos que muchas ideas que parecen actualmente evidentes para quienes las han asimilado, no fueron impuestas en un día”. Nadie dudaría de la solidez del edificio construido por Whitehead y Russell en su "Principia Mathematica". Sin embargo Keeney (1987), relata el alivio que Russell le manifestara a Spencer-Brown, cuando este último le mostró que su "teoría de los tipos lógicos"5, no es necesaria, más aún, que las paradojas pueden llegar a ser un criterio de autorreferencia, esto es, ser elementos válidos en un sistema formal. Russell admitió que él y Whitehed no habían sabido cómo emplear formalmente la paradoja y, por lo tanto, la "barrieron bajo la alfombra del filósofo" (Keeney, 1987, p.45). La anécdota está fechada en 1967, y muestra que las bases mismas del conocimiento matemático está en discusión y que se producen cambios en algo aparentemente tan sólido como las referidas en "Principia Mathematica". El conocimiento es tan seguro, firme y permanente como el suelo que pisamos. Sentimos que nuestros pasos los damos sobre terreno sólido y seguro hasta que sabemos que gira, que oscila como un trompo, que se traslada en torno al sol, que vibra, que se desplaza a gran velocidad siguiendo al sol, y que éste se dirige hacia algunas estrellas que se alejan, en una galaxia que también se mueve, en un espacio cuyos límites no conocemos. Nuestro sistema cognoscitivo y el conocimiento también lo sentimos seguro hasta que comenzamos a indagar - con el mismo sistema acerca del cual indagamos - sobre su naturaleza. La epistemología es más básica que cualquier otra teoría particular, y se ocupa de las reglas que gobiernan el funcionamiento de la cognición humana. Por definición la epistemología procura establecer "de qué manera los organismos o agregados de organismos particulares conocen, piensan y deciden" (Bateson, 1979, p. 228, citado por Keeney, 1987, p.21). En definitiva, todos los seres humanos desarrollamos una concepción específica, acerca de cómo conocemos, pensamos y decidimos, la cual puede estar explícita y disponible para nosotros u operar de un modo no consciente. Esta concepción juega un rol y una influencia fundamental en las acciones y procesos desarrollados por el sujeto que media el aprendizaje de otro. De otra parte, es importante considerar los modos de representación. El modelo reconoce que el conocimiento matemático puede ser representado en diferentes modos, en particular, de modo concreto (mediante objetos físicos), de modo gráfico y de modo simbólico (abstracto). La consecuencia de esto es que para su aprendizaje, cada uno de esos modos tienen el potencial de llegar y de ser accesible a diferentes estudiantes en los diferentes momentos y estadios de su educación matemática. También es necesario detenerse y poner atención en los “formatos” en que se presenta el conocimiento. La investigación reciente en el campo de la Sicología evolucionaria, ha mostrado que existen formatos de presentación de conceptos y situaciones matemáticas por medio de los cuales la comprensión se facilita o se dificulta, dado los circuitos especializados de razonamiento que han sido desarrollados por medio del mecanismo de selección natural a través de millones de años de evolución del cerebro humano (Cosmides y Tooby, 1997). En particular, el formato 5 Esta teoría se transformó en una regla, a partir de 1910. De acuerdo con ella, para evitar las paradojas, es necesario indicar la tipificación lógica de los enunciados. De este modo no se confunden niveles lógicos diferentes. El autor recuerda la paradoja del cretense: "todos los cretenses mienten", una paradoja autoreferencial (Keeney, 1987, pp.44-45).



porcentual o como razón de las probabilidades, ha demostrado ser mucho más difícil que su tratamiento a partir de cantidades enteras. Razonar o argumentar acerca de las propiedades de una ecuación, en tanto igualdad, se facilita presentando las ecuaciones como balanzas y las incógnitas como contenedores de algo desconocido (Araya, 2000). Finalmente, otro punto a tener en cuenta es el lenguaje matemático que se usa en la interacción entre el profesor y el alumno en una situación de aprendizaje específica. Aquí, consideramos las recomendaciones de Robert Davis al respecto: “use un lenguaje matemático tan depurado y preciso como su audiencia le permita, no espere lo mismo de sus estudiantes”. La idea es que los estudiantes formulen los conceptos, procedimientos y argumentos usando sus propias palabras, en una primera instancia, para luego transitar a un lenguaje matemático más formal, general, elegante y depurado. En síntesis, al seleccionar conocimiento matemático o al aplicarlo a una situación, se deben considerar los siguientes criterios. Conocimiento de calidad Los resultados del aprendizaje matemático no puede ser de mejor calidad que la calidad del conocimiento empleado por el mediador del aprendizaje. Sea un docente, el texto o un medio, el primer criterio para realizar la transposición didáctica de un conocimiento matemático es la calidad del conocimiento de origen. La formación de los docentes debe garantizar este criterio. De una parte obliga a la amplitud del conocimiento, que debe exceder con largueza el conocimiento que será enseñado y la profundidad del mismo. Una consecuencia de este principio se refiere al valor de conformar equipos intredisciplinarios en la creación de programas de matemática. En efecto, la presencia conjunta y colaborativa de matemáticos profesionales, especialistas en educación matemática y docentes de aula, debiera contribuir en la dirección de la calidad recién apuntada. Conocimiento puesto en contexto Dado un contenido, un concepto, un procedimiento y, en general, un conocimiento matemático que se desee enseñar, el docente debe tener la capacidad para poner ese conocimiento en un contexto que tenga sentido para los estudiantes. Es deseable que ese contexto sea motivador, de modo que junto con dar un sentido al objeto de estudio, sirva para despertar el interés de los alumnos. Es importante que lo nuevo se de en un ambiente familiar al que aprende y que sirva para dar los primeros pasos con el conocimiento nuevo. Con el fin de lograr la necesaria generalidad y abstracción de los conocimientos, se puede recurrir a mostrarlos en más de un contexto. Una ganancia adicional de la estrategia se refiere a las aplicaciones del concepto. En efecto, conocer los modelos matemáticos en varios contextos, aumenta las probabilidades que el estudiante reconozca situaciones en las que lo puede aplicar. Una vez que el conocimiento ha sido comprendido, deseablemente presentado en más de un contexto conocido por el estudiante, el docente deberá “descontextualizar” el conocimiento. Esta es una operación importante, el poder de los modelos matemáticos radica en su generalidad y abstracción. La sugerencia supone las dos etapas, la contextualización, que apunta al sentido, la comprensión y el interés y la descontextualización, o lo que es equivalente, la ubicación del modelo en el contexto de la disciplina matemática, que apunta a la generalidad y abstracción, en el mismo sentido que lo propone Brusseau (1986). Nuevamente el criterio pone una tensión importante en la formación de los docentes. En efecto, si se examinan materiales de matemática aplicada como los de CORD o los que ha desarrollado el Mineduc (Riera y otros, 1997 y 1998), se observará que las aplicaciones remiten a muy diferentes campos del conocimiento o de las acciones humanas. Una aplicación a la Física, la Química, la Biología, la Sociología o a otro campo de conocimientos, supone un cierto dominio de parte del docente. En caso contrario, el efecto de la contextualización se desvirtúa.



A modo de orientación se puede considerar que en la formación de un profesor de matemática en los años 50 y 60 en una universidad chilena, se incluía: formación en Física, en una proporción igual o superior a la de formación en Matemática, cursos de astronomía, trigonometría esférica y electrónica. En la formación general se incluía historia de la matemática, historia de la física y epistemología. Indudablemente, que se preparaba, en el docente, los conocimientos para presentar la matemática en varios contextos. El criterio no queda completo si no se incluye el contexto de la propia Matemática. ¿Cómo se ubica el conocimiento aprendido en la Matemática?, ¿cómo participa este conocimiento e la construcción del edificio de la Matemática? Está bien conocer los conceptos y algoritmos en un ambiente situado, pero es igualmente importante posicionar ese conocimiento en el ámbito de la disciplina misma. Este aspecto es especialmente importante para ese porcentaje de estudiantes que tiene las motivaciones y las condiciones para aprender matemática en un nivel superior al promedio. Por último, la puesta en práctica del criterio de contextualización, supone docentes en posesión de una formación teórica, a la vez, profunda y amplia de la disciplina. Conocimiento conectado Este criterio apunta a la necesidad de proponer estructuras para organizar el conocimiento que se aprende y comprende varias dimensiones del problema. Una primera dimensión se refiere a la conexión entre lo nuevo y lo que el estudiante ya conoce. La literatura contemporánea, influida por el constructivismo, ofrece abundante material es este sentido, al buscar “construir el nuevo conocimiento, sobre la base del existente”. Una segunda dimensión se refiere a las conexiones con lo que el estudiante aprenderá o necesitará aprender, más adelante. ¿Cómo participa este conocimiento en la formación de un médico, de un ingeniero, de un técnico?, ¿de qué otras formas y en qué otros ropajes puede encontrarse el conocimiento en cursos más avanzados o en áreas de aplicación que pueden estar en el horizonte de estudio o de trabajo de los estudiantes? También ser refiere a conexiones incluidas aquí en otros de los criterios enunciados. En efecto, son también conexiones las aplicaciones de la idea matemática en otras áreas del conocimiento o en la tecnología o en la vida cotidiana. En el modelo de planificación se usa la expresión: “conexiones verticales (en relación con conocimiento previo o posterior) y horizontales (para las conexiones de igual nivel, como las aplicaciones a otras áreas o situaciones)”. Conocimiento en la vida Este criterio se refiere a conocimiento que el estudiante pueda relacionar con elementos de su experiencia, hogar, deportes, noticias, cine, TV, entorno en el que vive, entorno natural, etc. También apunta a la motivación, por lo que se buscará relaciones que le resulten interesantes y significativas. Los modelos matemáticos tienen un amplio expectro de aplicaciones. El criterio se relaciona con el de contexto, el de conectividad y el aún no enunciado de sentido, pero enfatiza una dimensión específica de esos contextos o conexiones: aquellos que se refieren a la experiencia directa del estudiante. Es especialmente significativo que al aprender conceptos abstractos el joven los pueda reconocer en el momento que observa una estrella fugaz, o al hacer los cambios en su bicicleta, al leer el periódico, al escuchar las noticias, al observar una obra arquitectónica y, en general, en su propia vida. Conocimiento con historia Este criterio se refiere a concebir y presentar el conocimiento matemático inserto en la historia del pensamiento de la humanidad. Pitágoras, Galileo, Newton, Galois… los creadores; ¿en qué momento histórico?, ¿cuáles fueron las motivaciones?, ¿quién o quiénes lo crearon?, ¿cómo ha evolucionado el lenguaje matemático con que se lo



expresa? Que el estudiante comprenda la construcción y la humanidad que existe tras el conocimiento que aprende. Que pueda apreciar el rol que han tenido las ideas en la sociedad en que vive. Se relaciona con el criterio siguiente, el de “construcción”, al mostrar que el conocimiento matemático fue construido por personas específicas, muchas veces, con propósitos también específicos. Conocimiento en construcción Las matemáticas son una creación cultural humana y sigue siendo construida. La inclusión en el currículo de matemática del teorema de Fermat, demostrado recientemente en 1993 después de más de trescientos años de desafiar a miles de matemáticos, apunta en la dirección deseada, introduce resultados actuales. La mayor parte de los que aprende un niño o un joven en la educación básica, media e incluso en los programas generales de pregrado, es matemática que tiene 400 o más años. ¿Cómo mostrarles que ellos pueden, también, generar conocimiento matemático?, ¿cómo mostrarles que la matemática está en construcción? En el citado libro “The Mathemathical Experience” (Davis y Hersh, 1981), los autores incluyen el “dilema de Ulam”, que se refiere a la imposibilidad de abarcar el conocimiento actual. Esto lo ejemplifican con una anécdota que incluye algunos cálculos para estimar el “número de teoremas nuevos que se publican en un año” y llegan a la sorprendente conclusión de que son aproximadamente 200.000: ¡Indudablemente que se encuentra en construcción! Evaristo Galois, creador de la teoría de grupos, vivió sólo 21 años y generó un cambio radical en la matemática. Su trabajo fue escrito en 1830. George Cantor, creador de la teoría de conjuntos, es más reciente, murió en 1918, K. Göedel, que revolucionó la lógica, dejó de existir en 1978. La lista puede seguir, la señal es que “se mueve”, que jóvenes como Galois – en 1830 tenía 20 años - pueden cambiar la matemática, que hay resultados muy importantes recientes y que se siguen produciendo miles de relaciones matemáticas nuevas cada año. Conocimiento con consecuencias La psicología cognitiva muestra que los “mapas” o “árboles” de conceptos que construye un sujeto están relacionados con la percepción que el sujeto tiene de la utilidad del concepto aprendido. La matemática tiene, en la literatura, una estructura. Si se observan las relaciones que los alumnos establecen acerca de los conceptos, se observa que la estructura del árbol en memoria no obedece a la estructura de la disciplina, sino que obedece a las percepciones, juicios, prejuicios y necesidades propias del sujeto. Desde este punto de vista y, en general desde el punto de vista de las motivaciones para aprender, las eventuales consecuencias de un conocimiento son determinantes. Así, un sujeto que relaciona un concepto o idea matemática con “la necesidad de responder la prueba”, ordenará, en memoria, ese conocimiento según esa necesidad. Luego, se explica naturalmente el hecho que pasada la prueba, se borre el conocimiento supuestamente aprendido y ya no esté disponible cuando al año siguiente se lo use para construir otra noción o concepto matemático. La situación de facilitación debe mostrarle a los estudiantes las consecuencias del conocimiento que se le propone. A más y más importantes consecuencias, mayor complejidad cognitiva – mayor número de conexiones de memoria - quedará asociada al aprendizaje nuevo y mayores serán las probabilidades que ese conocimiento sea recordado en el momento que se lo requiera. Conocimiento con sentido Este es un criterio que es consecuencia y a la vez sintetiza los anteriores, se refiere al sentido percibido por el que aprende acerca del conocimiento no al sentido percibido por el que lo enseña. ¿Cómo se relaciona lo que estoy aprendiendo con mi propio camino, con mis intereses, con lo que deseo hacer o ser? La pregunta frecuente del estudiante cuando se enfrenta al desafío de aprender matemática “¿y esto para qué me sirve?”, debe ser anticipada por el docente o la situación de aprendizaje.



Para terminar, la visión se completa con las condiciones en que la creatividad se ve favorecida. De acuerdo con Seltzer y Bently (1999, p.10) la creatividad es la aplicación del conocimiento y las habilidades en forma nueva, de modo de obtener un resultado valorado. Para lograr esto, los estudiantes deben poseer cuatro cualidades claves: • La habilidad para identificar problemas nuevos, en vez de depender de otros para que se los definan. • La habilidad para transferir conocimiento de un contexto a otro para resolver un problema. • La concepción del aprendizaje como un proceso incremental en el que intentos repetidos eventualmente llevan a

la solución, y • La capacidad para enfocar la atención en la consecución de un objetivo o de un conjunto de objetivos. Desde este punto de vista, el resolver problemas en matemática cobra vitalidad, sentido y valor, por cuanto presenta un espacio privilegiado para el desarrollo de la creatividad, una capacidad cada vez más relevante en la sociedad actual. Para finalizar el análisis de la concepción del conocimiento matemático que sustenta el modelo, se propone una síntesis con los cambios de énfasis (o corrimientos) que se sugieren.

Cambios de énfasis acerca del conocimiento matemático

De un conocimiento, que en la práctica aparece como aislado, a un conocimiento contextualizado,

así como temporal y espacialmente ubicado. De un conocimiento construido (acabado), a un conocimiento por hacer o en construcción. De un conocimiento que se entrega o se "deposita" en el estudiante, a un conocimiento que es

buscado por el que aprende. De un conocimiento formal o formalmente expresado, a un conocimiento expresado en las

palabras del estudiante. De un conocimiento estable en el tiempo, a un conocimiento que cambia. De un conocimiento ajeno para el que aprende, a uno conocimiento apropiable y con significado

para el estudiante. De un conocimiento contenido en los textos, a un conocimiento contenido en la vida, la cultura y...

también en los textos. De un conocimiento eminentemente intelectual, o que sólo apela a la razón, a uno que se expresa

en cuatro componentes: valoraciones, comprensiones, sentimientos y acciones. De un conocimiento en el que existe una respuesta correcta, a un conocimiento abierto, que

admite alternativas y que permite evaluar la calidad de una solución. De un conocimiento centrado en una disciplina, a uno que acepta tensiones desde campos

diferentes.

El estudiante y su rol protagónico en el aprendizaje Uno de los problemas que evidencia la forma usual en que se desarrolla el aprendizaje en una sala de clases, es el rol pasivo que asumen los estudiantes. Esto tiene efectos importantes tanto en los resultados como en la posibilidad de mantener un ambiente razonable y apropiado que capture la atención de la mayoría de los estudiantes. En este sentido, uno de los cambios profundos que el modelo propone es acerca de la concepción pasiva del estudiante respecto de su aprendizaje. En este sentido, se concibe un alumno que vaya más allá de simplemente escuchar y entender la lección, de copiar de la pizarra, de escuchar órdenes, de hacer las tareas, para después contestar una prueba. Al contrario, el modelo supone un estudiante que elabora conocimiento, que busca y selecciona información, que elige planifica y se hace



responsable de su trabajo, que informa acerca de sus dificultades y sus logros, que se formula preguntas y busca procedimientos para responderlas. El modelo alienta a que el estudiante desarrolle y potencie sus capacidades para explorar, con independencia, situaciones modelables a través de la matemática, en las que deba utilizar en forma creativa las herramientas aprendidas. En otras palabras, se concibe al estudiante como un investigador de situaciones variadas y diversas, a través de las cuales extrae conclusiones y va construyendo su propio camino hacia el conocimiento. En el recuadro siguiente, se propone un resumen de los cambios de énfasis acerca de la concepción del estudiante y su rol en el aprendizaje.

Los cambios de énfasis acerca del estudiante y su rol

De un alumno que entiende la lección, a un alumno que produce. De un joven que copia de la pizarra, a uno que elabora conocimiento. De un alumno que escucha o atiende, a uno que escucha, atiende y busca información. De un alumno que llega a la sala de clases o al liceo a esperar ordenes, a un joven que planifica su

trabajo. De un alumno que hace tareas para un profesor, a uno que trabaja en lo propio. De un alumno que entrega tareas o da pruebas, a uno que informa acerca de avances, logros, dificultades

y resultados. De un alumno que debe ser moldeado según patrones preestablecidos, a uno que crece de acuerdo con

su naturaleza, en diálogo con otros, incluidos los adultos de la institución escolar y en conocimiento de patrones deseables.

De un alumno del que se esperan respuestas, a uno que formula preguntas y procedimientos para responderlas.

De un alumno que en las evaluaciones repite lo que le enseñaron, a uno que informa acerca de sus logro. De un alumno que aprende de los libros, a uno que interroga a la naturaleza, la cultura (los libros, por

ejemplo) y a la vida misma. De un alumno que aprende contenidos, a uno que aprende procesos, control de procesos, expresión de

procesos y... también contenidos. De un alumno que posiblemente confía en su profesor, a uno que construye confianza en sí mismo, sobre

una base objetiva de esfuerzo, resultados y exposición de su trabajo.

El profesor (o profesora) como agente mediador del aprendizaje Si bien el aprendizaje es un proceso interno que ocurre en el estudiante, el responsable último de organizar la situación de modo de maximizar las posibilidades de que dicho proceso ocurra, sin lugar a dudas es el profesor. Las metáforas con las que se busca caracterizar la forma de actuar del docente sustentada por el modelo, son: un jefe de proyectos, un entrenador y un facilitador de los aprendizajes. La visión del profesor como un jefe de proyectos, apela a su capacidad para estimular, abrir ventanas y caminos, para reconocer y alentar la originalidad, los talentos múltiples y la búsqueda personal. También supone la capacidad de diseño, de selección entre diversas alternativas y la capacidad para seleccionar medios facilitadores del aprendizaje acordes a sus estudiantes. En definitiva, él mismo es un aprendiz que muestra el camino, porque él está caminando. Asimismo, la metáfora del entrenador también tiene lecciones importantes para orientar la actuación de un docente. Es particularmente interesante al desplazar el centro de gravedad de la atención del docente desde sí mismo, como



expositor de una materia, hacia la actuación del estudiante. En efecto, en la competencia, cuando el atleta actúa, el entrenador está en el banquillo, en el borde de la cancha, observando atentamente qué ocurre. En una publicación anterior (Oteiza y Miranda, 1996, p. 113), los autores propusieron a los profesores de matemática analizar las actuaciones de un entrenador y determinar qué les enseñaba acerca de su propia actuación como mediadores del aprendizaje. Los resultados de ese análisis concluyen que:

“El entrenador sabe de la especialidad (posiblemente fue un deportista destacado); sabe de estilos, técnicas, aciertos y defectos en la actuación; sabe la forma de reconocer diferencias individuales y sabe sacar partido de ellas; conoce de la alimentación, estado físico… de las condiciones que hacen a un buen deportista y sabe evaluar los progresos. Se espera que un entrenador: modele, pueda hacer lo que enseña; tenga conciencia de cada movimiento de cada actuación y de sus consecuencias (“si haces..., entonces…”); genere programas específicos de entrenamiento para cada deportista; conozca a cada uno de sus discípulos; motive; aliente; ayude a otros a reconocer su potencial y fijarse metas. En sus actitudes y motivaciones, el entrenador: demuestra una actitud atenta y observadora; se centra en el propósito de que cada uno haga lo mejor posible lo que se propuso; aclare los implícitos (“¿qué pasó?, ¿cómo lo hiciste?); mantenga la motivación y el espíritu del equipo y sea un evaluador permanente que saque de cada uno lo mejor de sí mismo”.

La metáfora es también un llamado a la metacognición y a las estrategias de orden superior. En efecto, al actuar como entrenador, el educador debe desarrollar sensibilidad y conocimientos para comprender las actuaciones, para pensar acerca del pensar y para lograr actuaciones de orden superior. Adicionalmente, tal como se lo señaló, pone la atención en la actuación del estudiante: es él quien debe mostrar sus realizaciones y construir sus soluciones. De otra parte, siguiendo a Boethel y Dimock (2000), al analizar la actuación del docente como un facilitador de aprendizajes, en un ambiente orientado a la construcción del conocimiento por parte de sus alumnos, las siguientes afirmaciones deberían caracterizar su accionar: • Ponen a prueba las comprensiones actuales de los estudiantes, estructurando actividades que saquen esas

comprensiones a la luz. Para esto, dan amplias oportunidades para que los estudiantes expresen sus comprensiones; escuchan las explicaciones de sus estudiantes, sus razones y sus estrategias para resolver problemas.

• Buscan una comprensión profunda de las motivaciones e intereses de sus alumnos, para así crear actividades

que capturen el interés y movilicen a sus alumnos a partir de sus intereses actuales. • Suscriben y actúan a partir de la noción de que el conocimiento – como comprensión funcional – ha sido el

resultado de la experiencia, experimentación y negociación, entre diversos puntos de vista. El proceder científico se alienta como estrategia para lograr comprensiones más útiles y generales.

• Se concentran, en profundidad, en algunas “ideas importantes”, más que cubrir, en forma superficial, gran

cantidad de información, desconectada de sus contextos. • Organizan la enseñanza, en torno a algunos problemas de aprendizaje que despiertan el interés de sus

alumnos, que desafían sus comprensiones actuales, que ubican sus objetivos curriculares en contextos significativos y permiten que los estudiantes exploren ideas, propongan interpretaciones o hipótesis, pongan a prueba ideas, las apliquen a otros contextos y reflexionen acerca de sus aprendizajes.

• Ayudan a sus estudiantes mientras éstos avanzan en el trabajo de aprendizaje, haciendo preguntas, orientando

a los alumnos a que examinen sus propias ideas y procesos de razonamiento, enfocando aspectos centrales y dando acceso a nueva información o nuevos recursos.



• Alientan el diálogo como una herramienta eficaz en el aprendizaje, organizando las situaciones de modo que se

aliente el diálogo alumno – alumno y alumno – profesor. En un clima en el que no se teme el estigma de “bien” o “mal”, de “correcto” o “incorrecto” y que asegura el compromiso significativo de todos los estudiantes en el diálogo.

Si se ha logrado una situación no amenazante, estimulante, con abundantes oportunidades para "poner las manos en la tarea", con el tiempo necesario para que cada uno domine lo que debe saber y saber hacer, entonces el educador estará en condiciones para realizar las siguientes acciones de facilitación del aprendizaje: • Señalar claves. ¿Cuándo es aplicable esta técnica? ¿en qué debes fijarte para saber si la puedes usar? y, ¿si

cambia el grosor, el material, ¿qué sucede...". • Ayudar a verbalizar. ¿Cómo se lo explicarías a otra persona?, ¿cómo lo dirías con tus propias palabras?

¿podrías enunciar una regla al respecto?. Cada vez que verbalizamos o redactamos estamos abstrayendo y - frecuentemente - generalizando, esto es, preparando condiciones para la transferencia.

• Contextualizar. "Discutamos lo que hicimos", "lo que estamos haciendo es...", "en los casos que...", "por el

contrario si..., entonces...". Relacionar con situaciones de la vida diaria, con los medios de comunicación y con el trabajo en general.

• Organizar el conocimiento. "Resumiendo...", "expresa lo mismo mediante un dibujo o una gráfica". Lo más

general, lo particular, lo diferente, lo análogo, lo conocido, lo por conocer. Aprender de modo que el conocimiento esté conectado y posea estructura.

A modo de síntesis respecto de la conceptualización del rol que el modelo supone para el profesor que media el aprendizaje, a continuación se resumen los cambios de énfasis que se proponen en su actuación.

El rol del adulto que media en el aprendizaje del estudiante

De un docente que es un modelo de conocimiento, a uno que es un modelo de complejidad cognitiva y

desarrollo personal. De un docente que hace clases a un jefe de proyectos. De un docente que es una autoridad, a un estudiante que va más adelante. De un docente que dice qué hacer, a uno que formula preguntas. De un docente que explica, a uno que observa con interés el trabajo de sus alumnos. De un docente que pide respuestas, a uno que da apoyo y es recurso para sus estudiantes. De un docente que dicta, a uno que propone alternativas. De un docente que premia o castiga, a uno que reconoce logros, apoya en las dificultades, alienta la

originalidad y estimula la capacidad crítica. De un profesor que responde correcto o incorrecto, a uno que estimula la metacognición, la comprensión

de procesos de pensamiento, la aceptación de sentimientos y apoya la capacidad para expresarse en esas áreas.

El material de enseñanza como soporte para la acción educativa La forma, que propone el modelo, para hacer posible la actuación del docente acorde con los principios y recomendaciones dadas hasta ahora, es a través del material de enseñanza especialmente diseñado y probado. En este contexto, entenderemos por material de enseñanza a las ayudas y soportes externos a la explicación del profesor, que permiten a los estudiantes una mejor aproximación a la apropiación de una noción matemática



abstracta. Por ejemplo: guías de enseñanza, posters, representaciones gráficas, material manipulativo, manipulativos virtuales, software. A continuación se caracteriza el tipo de material de enseñanza que el modelo sugiere y se analizan criterios para su construcción y puesta en práctica. El material debe estar diseñado de modo que permita que los estudiantes trabajen solos y en grupo. Además, relaciona el conocimiento y los conceptos matemáticos involucrados con situaciones problemáticas en las que pueden ser aplicadas, apelando a la imaginación de los estudiantes. También es importante que haga uso extensivo de representaciones gráficas con propósitos diversos. Por ejemplo, se usa la gráfica para motivar, para sostener una idea, cálculo o concepto o ilustrar una situación problemática y dar pistas para su solución. Otra noción importante es que se preste para que el profesor complemente el soporte gráfico con materiales manipulativos. La experiencia y la investigación en neurociencia muestra que también "las manos piensan"6. Al mover, doblar, equilibrar, ajustar, en general, cuando estamos actuando, usamos modelos abstractos inconscientemente. Lo interesante es sacar provecho a estas situaciones y usarlas de modo de transformarlas en aprendizajes significativos. Acorde con la idea de un estudiante que explora situaciones, el material debe provocar discusión entre los estudiantes, planteando situaciones abiertas (abiertas en el sentido de admitir más de una respuesta o más de una interpretación). Además, debe proponer actividades en las que los estudiantes puedan inventar sus propias preguntas y problemas y alentar discusiones en torno a ellos. Explícitamente busca, también, provocar discusiones en las que los niños tomen conciencia acerca de las estrategias que usan al abordar y resolver problemas: ¿cómo lo hice?, ¿cómo lo hicieron los demás?, ¿existe más de una forma correcta para resolver un mismo problema?... ¿cómo lo pensé? Otro criterio a tener en cuenta, es el que el material debe permitir relacionar lo que están aprendiendo los estudiantes con actividades cotidianas que ellos realizan en su hogar o comunidad (por ejemplo, usar el periódico u otras fuentes de información, encuestar a sus padres o familiares, aplicar el conocimiento en la solución de algún problema puntual que afecte a la comunidad). Desde el punto de vista de la expresión del aprendizaje, es crucial que el material relacione la resolución de problemas con estrategias de lectura, de escritura y de expresión gráfica, en suma, de comunicación de resultados. Vinculado con esto, debe contemplar situaciones con información redundante y con información insuficiente, preparando al estudiante en la selección y búsqueda de información relevante, condición necesaria para lograr el desarrollo de capacidades para el aprendizaje independiente. Por último, un valor agregado que ofrece un material bien diseñado al profesor, es ampliar las oportunidades para observar el comportamiento de sus alumnos mientras aprenden, cosa que es difícil de realizar cuando es el profesor quien tiene toda la responsabilidad de “pasar la materia” y lograr que sus estudiantes aprendan.

6 Un resultado de la investigación en neurociencia que apoya esta idea, son los interesantes experimentos llevados a cabo por Rizzolatti y Gallese (citados por Araya, 2000) quienes investigaron y descubrieron un mecanismo cerebral que llamaron “neuronas espejo” que consiste en un sistema de aparejamiento entre observación y ejecución de acciones motoras, lo que estaría en la base del aprendizaje de movimientos por imitación.



La situación de enseñanza: la atmósfera de trabajo deseada El joven confía en su colegio, porque su colegio confía en él. (Roberto Polain, 1977)

La mediación se da en un ambiente psicológico. Este puede ser el resultado inconsciente de las acciones del educador y de las interacciones interpersonales que se den en la situación de mediación, o puede ser motivo de las decisiones conscientes que el educador adopte. Así, la matemática, el aprendizaje de la matemática, se produce en un ambiente, en un clima organizacional. Cada docente tiene responsabilidades explícitas en ese clima, y el resultado es el efecto de una actuación de la comunidad educativa completa. Influidos por la experiencia de Polain (1977), que logró un establecimiento educativo en el que importantes valores y “objetivos transversales” fueron parte integral de la vida cotidiana, seleccionamos lo que ese autor considera la base de un clima adecuado para el aprendizaje, la confianza, la existencia de un clima de confianza. La confianza, y también la mediación adulta hecha en un clima de confianza, son a la vez, un estado interno, un ambiente y ciertas acciones preferentes. La confianza supone un cierto lenguaje verbal, corporal y de interacciones. El estado interno resulta de una acción del sujeto, de cada sujeto, y como tal es producto del querer, de la voluntad; también, se ve facilitado por el uso de un determinado lenguaje y la ejecución de determinadas actuaciones. Hay, naturalmente, dos campos de acción posibles, sí mismo y el ambiente en torno de sí. El estado interno necesario para crear y para participar en un clima de confianza se asemeja a la tranquilidad y a la aceptación en relación con los marcos referenciales propios y los ajenos. Supone la aceptación del supuesto de que las actuaciones de los demás tienen sus propias motivaciones y que éstas - como primera explicación - no son ni antagónicas con nuestros intereses ni dirigidas en contra nuestra. Algo así como "lo que yo hago es mi responsabilidad, lo que tu haces es tú responsabilidad", "yo me hago cargo de la mía, y tu de la tuya". "Tus acciones me afectan, las mías te afectan, pero ni nos condicionamos el uno al otro ni tratamos de pillarnos". "Yo actúo en mi marco referencial y éste es respetable, tu actúas en el tuyo y también lo es". La confianza mutua o el ambiente de confianza se pone a prueba en las situaciones en que se transgrede - o alguno piensa que otro transgredió - alguna de las reglas del juego. El estado interno facilitador de un clima de confianza sería, en estos casos, algo así como "no comprendo, trato de comprender tu actuación, explícate". El beneficio de la duda, frente a lo raro, a lo que no es comprensible, a la conducta no esperada o inexplicable, o frente a aquello contrario a mis expectativas, doy la oportunidad para que el otro se explique: "si lo hiciste tu, tiene una explicación". Tener confianza supone no ofenderse por la actuación del otro, tampoco imponer, más bien apelar al acuerdo; la confianza se da entre "iguales". Realizar ciertas acciones, hacer ciertas afirmaciones y establecer ciertas reglas del juego, facilita los estados internos de confianza. Esta es la parte operacional, se puede usar tanto para definir un ambiente, como para crearlo o para evaluar el clima de confianza existente. Si vivimos en un clima de confianza las actuaciones - lenguaje se caracterizan porque: • Se hacen más preguntas que declaraciones. • La actitud de escuchar es frecuente. • Se tiende a "deshacer" los nudos de interacciones complejas, incomprensibles o agresivas. • Se tiende a descansar en - de hacerse cargo de - reglas de juego acordadas más que a imponer la voluntad

propia.



• Suele haber discusión acerca de las reglas de juego. • Se busca la coherencia interna, a la actuación en consecuencia con las reglas de juego pactadas. Para terminar, algunas imágenes complementarias. Transgredir una regla de juego acordada no es lo mismo que desobedecer. En el primer caso actuamos en contra de un acuerdo y la reparación debe ser hecha en el nivel de los acuerdos; en el segundo atentamos contra la autoridad y la reparación la determina el que ostenta la autoridad. En un ambiente regido por la confianza se busca la armonía; en uno regido por la autoridad, se busca el orden. La armonía se negocia, la autoridad se impone y se obedece. Un ambiente de confianza tiene ciertos valores concomitantes: hacerse cargo, lealtad, veracidad, responsabilidad y respeto. Se trata de una ambiente muy exigente; la imposición de la autoridad es más simple y supone mucho menos desarrollo de parte de todos los participantes. Puede, incluso, ser demasiado exigencia para muchos.

Caracterización de la situación de enseñanza

De una situación de enseñanza, a una de investigación. De una clase expositiva, a la realización de proyectos. De una situación que busca como resultado notas, a una situación que facilita la generación de productos de

naturaleza variada. De un ambiente de sala de clases, a uno de taller o laboratorio. De una situación en la que los recursos son el cuaderno, la pizarra y, ocasionalmente, el texto, a una en la que

existe abundante recursos de aprendizaje, material de enseñanza, libros, computadores, en fin, aquello que facilita el contacto directo del estudiante con el conocimiento.

De un grupo curso, a equipos de investigación. De un tiempo medido en horas de clases, a un tiempo negociado según intereses, planificación y avances. De una situación que prepara exámenes, a una que permite preparar exposiciones u otras formas de exponer

los resultados y productos del trabajo de los jóvenes.



La evaluación del aprendizaje matemático7

Los efectos de la evaluación sobre el currículo son proporcionales a los efectos que el estudiante y el profesor perciben que esa evaluación tendrá.

El modo en que se evalúa incide, de un modo decisivo, en el sentido que el conocimiento adquiere para el niño y para el joven, así como en las percepciones que ellos desarrollan acerca de sí mismos y acerca de su potencial de aprendizaje matemático. Las actitudes hacia la matemática, la escuela y el aprendizaje, también se ven afectadas por la forma en que se realiza la evaluación. Además, la evaluación tiende a determinar el currículo real: "es importante lo que se evalúa, lo que 'entra' para la prueba". En muchos casos, la evaluación reemplaza la motivación intrínseca. En efecto, es frecuente que se estudie por motivaciones externas, principalmente por las calificaciones o por los efectos de esas calificaciones. De un modo complejo, difícil de rastrear en sus causas, sostenido en el tiempo y muy generalizado, la práctica escolar ha dado en reducir la evaluación a la calificación de los resultados del aprendizaje, según son determinados por medio de pruebas e interrogaciones construidas por el profesor. Esto lo saben todos los que enseñan. Sobre la base de la experiencia personal, de un modo más o menos espontáneo - en el sentido de no recurrir necesariamente al conocimiento especializado en evaluación que los docentes conocen en las etapas de formación y/o de actualización - se generan algunas preguntas que se proponen a los estudiantes. Luego, también en un proceso algo estereotipado por la repetición y alejado del conocimiento técnico, se "corrigen" las respuestas y se "pone nota". Se sabe mucho más que eso acerca de cómo evaluar, qué evaluar y con qué recursos hacerlo, pero una práctica escolar generalizada influyen para que la evaluación no sea lo que se espera (Lange, 1992; Verhage y Lange, 1996). En efecto, una forma de aplicar los reglamentos y, a su vez, formas algo rutinarias de hacer educación, también las malas condiciones en que trabajan la mayoría de los profesores, las mismas pruebas nacionales que acentúan cierto tipo de aprendizajes, en fin, la rutina escolar - que más se relaciona con formas de administrar el proceso educativo que con el conocimiento aportado por la pedagogía o la psicología del aprendizaje- influyen para que la evaluación se reduzca a la "colocación de notas". Vale la pena, entonces, preguntarnos: ¿cómo evaluamos?, ¿qué papel juega la evaluación en el proceso educativo hoy?, ¿es ese el papel que deseamos?, ¿existen otras formas de evaluar? Sabemos que en el proceso están involucradas tres acciones: la medición, la evaluación y la calificación. Sabemos, también, que en la práctica el rito predominante es el de "poner notas". Medir se puede realizar de muchos modos y con diferentes niveles de estructuración. Puede ser un proceso de clasificación, o de generación de categorías a partir de la observación o la comparación de comportamientos observables con categorías o escalas conocidas. Evaluar, supone la existencia de estándares o criterios para la población a la que pertenecen los estudiantes, con respecto a los cuales comparar los resultados de la medición y emitir un juicio acerca de la relación entre lo demostrado por el estudiante y el estándar o criterio seleccionado. Calificar, es expresar mediante un código (por ejemplo, una nota en una escala de 1 a 7) el resultado de ese juicio. Diferentes momentos del aprendizaje apelan a diferentes modalidades de evaluación. Diferentes propósitos de la evaluación, hacen referencia a distintos procedimientos y técnicas. En general la evaluación responde a una pregunta: ¿qué saben mis alumnos acerca de...?, ¿cuánto han aprendido de...?, ¿qué sentido tiene para ellos este concepto, procedimiento, algoritmo...?, ¿aprendieron lo esperado?, ¿pueden aplicarlo a una situación diferente a la tratada en clase? Cada una de esas preguntas apela a modalidades de medición y de evaluación diferentes. Existen instrumentos para la evaluación acerca de los conocimientos que esperamos los estudiantes traigan a una tarea de aprendizaje dada, otros para tomarle el pulso al proceso y otras para evaluar los resultados. 7 Tomado y adaptado del trabajo realizado por Fidel Oteiza y Hernán Miranda “La evaluación del aprendizaje matemático: aplicaciones a la resolución de problemas presentados verbalmente” y publicado en el libro La matemática en el aula: Contexto y Evaluación. MINEDUC: Santiago-Chile. 1996.



Si retomamos la idea que el aprendizaje es un proceso interno que se da de forma única y particular en cada estudiante, entonces un elemento clave en la medición son los indicadores del aprendizaje. Esos indicadores son los que obtenemos cuando el que aprende expresa sus procesos internos. En el momento que el estudiante responde o interviene en la clase, explica a un compañero, realiza o explica una tarea, hace una aplicación o responde una pregunta en una prueba, nos provee con algunos indicadores de sus procesos internos. Esos indicadores permiten comprender parcialmente lo que sabe, lo que ha comprendido y lo que le falta. Desde un punto de vista más profundo, se pueden inferir las concepciones acerca del objeto de estudio, también, las falsas concepciones. Estas “muestras de la vida interior” son nuestras únicas pistas para comprender el complejo proceso del aprendizaje y poder así cumplir el papel de orientadores y guías. También en forma parcial, esas señales observables emitidas por los alumnos, son las que nos muestran cómo se están configurando sus intereses, motivaciones, actitudes y otras manifestaciones emocionales que serán cruciales en la forma que los aprendizajes se incorporen a su modo de pensar, actuar y sentir. Desde esta perspectiva, la actuación de los jóvenes es un material de inmenso valor para el profesional de la enseñanza. Tener la capacidad para observar, analizar indicadores, relacionar esos indicadores con categorías y decidir su actuación posterior de acuerdo con la información que ese proceso está entregando, es una capacidad profesional de orden superior. Así, una respuesta, un error, un comentario, un gesto, o el registro escrito del pensamiento, constituyen la sustancia a partir de la cuál se puede reorientar o enriquecer el proceso educativo. Acorde con esto, los "mapas conceptuales", las “pautas de observación”, las “pautas para evaluar exposiciones y proyectos” y los “portafolios”, son formas concretas de evaluación que hacen referencia a esos indicadores, a los procesos para obtenerlos y a los patrones con qué contrastar el comportamiento observado. Estas formas de hacer evaluación son resultados de esfuerzos relativamente recientes en la investigación y el desarrollo en Educación Matemática y permiten ampliar el espectro de posibilidades que tiene un profesor en su situación cotidiana de trabajo. La propuesta de estándares curriculars y de evaluación en matemáticas, realizada por el NCTM en Estados Unidos en 1988 –revisada, ampliada y actualizada durante el 2000-, resaltan diferencias importantes con la práctica común en materia de evaluación del aprendizaje. Entre las recomendaciones que sugiere el NCTM, destacan: evaluación integrada a la docencia; el uso de distintos procedimientos de evaluación; la búsqueda de situaciones de evaluación que permitan determinar todos los aspectos del conocimiento y sus conexiones; la inclusión de la docencia y el currículo a la hora de enjuiciar la calidad de un programa; la organización de “situaciones” de evaluación que impliquen sesiones, días y semanas, lo que sugiere el uso intensivo de los proyectos como una modalidad de evaluación; la proposición de usar “situaciones” en vez de ítemes aislados; también transforma la evaluación en un medio para el mejor conocimiento entre el estudiante y su profesor; y, por último, la evaluación concebida para modificar la práctica pedagógica y no sólo para calificar a los estudiantes. Más que determinar una nota, la propuesta del NCTM busca determinar: • El potencial de aprendizaje (¿cuánto es capaz de aprender un alumno?) • La capacidad para resolver problemas. • La capacidad para comunicar lo aprendido (es en la expresión de nuestro pensamiento cuando la formalización

se produce y se apela a la memoria profunda). • El razonamiento (¿cómo lo pensó?, ¿qué aspectos correctos tiene esa forma de pensar?). • Los conceptos y procedimientos utilizados. • La actitud hacia la matemática.



A nuestro entender, estas recomendaciones resumen bien el tipo de situaciones y el papel asignado a la evaluación del aprendizaje matemático en el modelo.

Cambios de énfasis acerca de la evaluación de los aprendizajes (basado en la propuesta del NCTM)

Poner más atención a:

Comprobar qué saben los alumnos y cómo razonan acerca de los temas en estudio. Considerar la evaluación como parte integrante de la docencia. Centrarse en una gama amplia de tareas y adoptar una visión global del objeto de estudio. Utilizar técnicas y fuentes múltiples de evaluación, incluyendo informes escritos y orales, exposiciones,

archivadores y la demostración de las capacidades aprendidas (desempeño). Utilizar en la evaluación diversos materiales, según la especialidad, incluidos calculadoras y computadores. Determinar el valor de un programa recolectando información sobre resultados, currículo, materiales,

relación pedagógica y docencia. Facilitar que el alumno reconozca sus fortalezas. Desarrollar un lenguaje que permita expresar formas de razonar y sentimientos.

Poner menos atención a:

Comprobar lo que los alumnos no saben. Considerar la evaluación simplemente como un recuento de respuestas acertadas de un examen con el

único propósito de poner una nota. Centrarse en un gran número de destrezas específicas y aisladas organizadas como contenido / actuación. Utilizar ejercicios o enunciados que sólo requieren de pocas destrezas. Utilizar exclusivamente pruebas escritas. Utilizar ejercicios o preguntas que muestren los contenidos descontextualizados. Excluir de la evaluación materiales, situaciones, calculadoras y computadores. Valorar el programa basándose exclusivamente en la puntuación de exámenes. Utilizar sólo pruebas normalizadas.



El modelo interactivo en acción La idea principal que subyace detrás del modelo, es que sirva de referente orientador de la práctica educativa y acompañe al que genera situaciones de aprendizaje, al docente y a quiénes estén involucrados en facilitar los aprendizajes de la matemática en el nivel secundario. Estamos conscientes de que esa capacidad sólo podrá ser alcanzada a partir de múltiples aplicaciones y luego de una serie de iteraciones entre el pensamiento, el diseño, la práctica y la evaluación de los resultados. En esta sección se hace un esfuerzo por anticipar situaciones en las que el modelo podría ser aplicado y se describe lo que, en el estado actual del proyecto, se espera de su aplicación. Algunas de las situaciones en las que se espera el modelo pueda ser un referente para la acción y apoyar las decisiones, son las siguientes: • Un equipo que prepara situaciones de aprendizaje (material de enseñanza). • Un profesor o profesora que planifica una clase o un conjunto de clases. • El profesor o la profesora que prepara las condiciones para iniciar una actividad o un conjunto de actividades

diseñadas y desarrolladas conforme al modelo. • El profesor o la profesora que propone una actividad en clase. • El profesor o la profesora que explora los conocimientos que los jóvenes tienen acerca de una tema (apresto). • El profesor o la profesora que pone en práctica una actividad diseñada y desarrollada conforme al modelo. • El profesor o la profesora que apoya la actuación de sus alumnos durante una actividad diseñada y desarrollada

conforme al modelo. • El profesor o la profesora que recibe los resultados de un trabajo donde grupos o alumnos diferentes han

estudiado un problema, recogido información y elaborado respuestas propias. • El profesor o la profesora que evalúa el progreso de sus estudiantes o los resultados de una actividad o unidad. En las situaciones de planificación de la enseñanza, se espera que el modelo permita al diseñador o al docente generar situaciones de aprendizaje acordes con los criterios especificados, particularmente aquellos referidos al rol del estudiante, a la concepción del conocimiento matemático y al rol del profesor como agente mediador del aprendizaje. Adicionalmente, en la fase de operacionalización del modelo, se generará material de enseñanza y recursos acordes con los principios enunciados hasta ahora, que consideran los elementos y recursos que se describen a continuación. Justificación didáctico matemática del contenido ¿Por qué este contenido? El sentido, las razones para aprenderlo y su ubicación en el conjunto de los aprendizajes que se esperan del estudiante. En particular, su ubicación en un “mapa” de los contenidos del nivel que hace explícitas las relaciones entre las partes. Antecedentes que muestran al contenido o las ideas matemáticas en situaciones de su uso, en otros niveles de estudio, sea escolares o superiores o de los usos que diversas profesiones u otras áreas del conocimiento hacen de esas ideas.



Dificultades para el aprendizaje (barreras epistemológicas) ¿Cuáles son las principales dificultades para aprenderlo? A partir de datos de la investigación o de la experiencia, se proveerá de información acerca de obstáculos, dificultades y errores frecuentes en el aprendizaje del contenido de la lección o del conjunto de lecciones. Los obstáculos epistemológicos estudiados en el contexto de la didáctica, son una fuente de información valiosa, también lo es la historia del pensamiento matemático. Situaciones y problemas para iniciar el estudio Un conjunto de situaciones problema en cuyo contexto puede ser interesante aprender el conocimiento matemático que corresponda. Es importante que sean situaciones que motiven a los estudiantes. Estas situaciones pueden ser de carácter matemático o extramatemático, deseablemente interesantes para los jóvenes para los que están destinadas. Se buscará que sean situaciones en que se presenten con naturalidad los modelos a aprender y que refieran o a situaciones significativas de otras áreas del conocimiento, de la vida cotidiana, del país o región a las que pertenezcan los estudiantes y, de pertenecer al contexto matemático, se relacione con los problemas o situaciones que le dieron origen. En la práctica, se espera que sea el docente quién selecciona o adapta estas situaciones a los intereses, experiencia y conocimientos de sus estudiantes. Explicitación de los modelos matemáticos en estudio Una explicitación de los modelos matemáticos involucrados en el aprendizaje. ¿Cuáles son los modelos que permiten resolver, explicar o describir la situación planteada? Se propiciará el enfoque de la matemática como modelo de situaciones o fenómenos. Se pondrá un énfasis especial en las variables, sus valores posibles, las relaciones funcionales y sus alcances. ¿Bajo qué condiciones operan los modelos?, ¿Se puede generalizar?, ¿Cuáles son las posibles aplicaciones en otros problemas y en otros contextos?, ¿Se pueden formalizar? Conocimiento matemático contextualizado El conocimiento matemático, los conceptos claves, las relaciones con otros conocimientos, los modelos formales involucrados. La organización que el conocimiento sugiere para la enseñanza. Elementos de la historia de la matemática que permitan contextualizar ese conocimiento. Si se han desarrollados modelos, es importante explicitar las condiciones bajo las cuales es válida la aplicación del modelo. Material de enseñanza apropiado Experimentos, juegos, encuestas, material concreto, software, sitios web, en general, material para facilitar la exploración, la investigación, la búsqueda de regularidades y la formulación de conjeturas generalizables. En lo posible, en una diversidad que atienda a las múltiples formas que los conceptos pueden ser aprendidos. De nuevo, la idea de las representaciones múltiples. Sugerencias metodológicas para organizar el aprendizaje Formas sugeridas para poner a prueba las ideas o conjeturas de los estudiantes. Guías, propuestas de proyectos, discusiones guiadas, trabajo individual, trabajo en pequeños grupos, trabajo con el grupo curso completo, debates, etc. que le permitan, efectivamente, a un profesor o profesora de un liceo, dinamizar el ambiente de aprendizaje y lograr un clima apropiado donde los patrones de conducta que prescribe el modelo ocurran. Actividades para la sistematización del conocimiento matemático Actividades de cierre destinadas a ordenar los aprendizajes, a ponerlos en el contexto de la matemática, de analizar los alcances y limitaciones de los modelos, así como su generalización y sistematización. Es también el momento de graficar relaciones entre lo aprendido y otros aspectos de la matemática. También, de precisar las preguntas que quedan abiertas para nuevas visitas a los conceptos o modelos. Si se han encontrado diferentes soluciones o diferentes procedimientos de solución, caben las preguntas: ¿Son correctos?, ¿Son igualmente



eficaces?, ¿Cómo se relacionan entre sí? También, apoyados en la comprensión de los hechos básicos, el profesor puede extremar condiciones y generar preguntas del tipo ¿Qué sucede si...? Formato para la organización de actividades8 Un formato para la puesta en práctica de un segmento del programa. Cuando el docente pone en práctica una situación de aprendizaje diseñada acorde con el modelo, sea porque seleccionó parte de lo propuesto, lo adaptó a sus condiciones particulares o, simplemente, desea aplicarlo tal como fue diseñado, el modelo propone el siguiente formato para abordar el trabajo en la sala de clases.

Etapa del proceso Descripción Rol del docente El docente actúa como:

Lanzamiento El docente propone las situaciones problemáticas a analizar, motiva, entrega información, muestra implicancias, relaciona...

Motivador Expositor Proveedor de información y referencias

Exploración y generación de conjeturas Los alumnos, sea individual o grupalmente, exploran las situaciones, buscan información, usan las referencias, consultan fuentes, buscan datos, miden, encuestan, en general se informan y hacen conjeturas... elaboran.

Facilitador Entrenador Generador de nuevas preguntas

Puesta en práctica, comprobación de las ideas

Los alumnos, sea individualmente o en pequeños grupos, aplican lo aprendido para poner a prueba sus ideas, amplían las aplicaciones de sus modelos, extreman situaciones, usan instancias concretas para verificar la veracidad de sus supuestos y/o conjeturas.

Facilitador Recurso Especialista en contenidos

Puesta en común Los alumnos expresan sus resultados en forma sintética, sea usando papel y plumón, Power Point u otros modos de expresión. En conjunto comparan resultados, evalúan las similitudes y las diferencias, discuten acerca de las bondades y de las debilidades de los diferentes caminos o modelos desarrollados, sacan algunas conclusiones. Formulan nuevas preguntas.

Moderador Especialista en contenidos

Cierre En una sesión orientada por el docente, se concluye, se “pasa en limpio”, se relaciona lo encontrado y las preguntas con los contenidos matemáticos. Se generaliza, se sistematiza y se prepara la continuación de los estudios.

Especialista en educación matemática Evaluador Generador de síntesis, alternativas y nuevas conexiones

8 Tomado y adaptado del Core-Plus Mathematics Project desarrollado por Christian R. Hirsch, Arthur Coxford, James T. Fey, Harold L. Schoen y otros.



Apresto / preparación / conocimientos previos ¿Cuáles son los conocimientos sobre los cuáles se construye el conocimiento nuevo?, ¿Cómo se relaciona con el resto de los conocimientos que el alumno requiere? En esta fase lo esencial es hacer presente, tanto para el alumno como pare el docente, lo que los estudiantes conocen; la forma en que lo conocen; las virtudes y las falencias de ese conocimiento, así como dejar establecidos los puentes, los nexos que dan sentido a lo que se inicia a la luz de lo conocido. El profesor, la profesora, debe, en esta etapa, hacer preguntas, tal vez muchas preguntas, y la acción de escuchar será la que le proveerá de las claves para lograr el necesario nexo entre lo conocido y lo nuevo. Se trata de una construcción y la base ya existe. Cada alumno tiene su propia representación de lo que nosotros entendemos como conocimiento y también de ese conocimiento específico que servirá de soporte a lo que viene. Lo importante es hacerlo explícito. Gran parte del sentido que un aprendizaje tiene para cada uno se juega en ese momento. En el momento de relacionar lo nuevo con la construcción ya existente en la mente. Preguntar, escuchar con atención, respetar las expresiones de los jóvenes para que expresen su conocimiento en sus propias palabras, repetir las ideas para asegurarse la comprensión. La corrección prematura, peor aún, el sarcasmo o la crítica, son enemigos de la expresión libre y de la construcción conjunta. Los errores o concepciones erróneas es mejor que se expresen, que sean aceptadas, son importantes. Con cuidado, a partir de un análisis, a partir de ellas mismas, se puede obtener una buena base para comenzar a aprender lo nuevo y – si se hace en el respeto – puede preparar la base afectiva necesaria para el aprendizaje. Consecuentemente, se proveerá al docente de preguntas, errores frecuentes, recomendaciones y un cierto entrenamiento en “escuchar”, como una técnica didáctica9. La evaluación de los aprendizajes En la evaluación se juega parte importante del aprendizaje matemático y, más áun, parte importante de las actitudes (¿temores?) que los estudiantes desarrollan respecto de la matemática. La evaluación de los aprendizajes debe ser parte integral del proceso de enseñanza. Las prácticas de apresto descritas, son también parte del proceso de evaluación. También lo son las prácticas de observación y/o de registro que se pueden aplicar durante los procesos que lleven a un determinado aprendizaje. En la visión sugerida por el modelo, es importante ampliar el tipo de instrumentos y, por lo tanto, el tipo de registros que se usan para evaluar los aprendizajes de los estudiantes. Consecuentemente, se proveerá de instrumentos y de modos de usar esos instrumentos, que permitan: evaluar presentaciones orales formales; evaluar productos o resultados de un proyecto desarrollado por los estudiantes; evaluar actitudes u otras manifestaciones de carácter afectivo; construir ítemes y pruebas que amplíen las posibilidades de observación por parte de los docentes. Para finalizar, vale la pena volver sobre la idea fuerza que ha orientado la búsqueda y el desarrollo de este modelo: el permitir a los estudiantes buscar, explorar, conjeturar por si mismos, hacerse preguntas importantes para ellos y motivarse por encontrar las respuestas. En cierto modo, reconstituir la búsqueda (y el placer) que han hecho todos aquellos que han aportado al ensanchamiento de las fronteras del conocimiento matemático a lo largo de la historia. En la medida que los estudiantes puedan percibir los sentidos profundos del conocimiento y puedan hacer algo con él, en la medida que puedan establecer “diálogos” usando este “lenguaje para describir fenómenos de este mundo” -como dice Araya- y que exista verdadera comunicación, se van a ver acrecentadas las posibilidades concretas de que muchas más personas logren ver en la matemática algo real, tangible, útil, entretenido y bello. Que muchos puedan gozar con el ejercicio de develar estas relaciones y estructuras abstractas, ocultas y crípticas que se esconden tras los símbolos, de modo similar a cuando se goza viendo una pintura, escuchando una obra musical o viendo una buena película en el cine. 9 Tal vez, una forma más adecuada de trasmitir las prácticas asociadas con la fase de trabajo con los conocimientos previos, sea un video que sirva para tener una discusión con los docentes que apliquen el modelo.



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