El modelo AK de crecimiento económico

Motivación

I Para generar crecimiento sostenido debemos abandonaralguno de los supuestos del modelo neoclásico:

1. Función de producción neoclásica:

I Rendimientos decrecientes en capital y en trabajo,I Rendimientos constantes a escala,I Condiciones Inada.

2. Competencia perfecta.

I La manera más sencilla de generar crecimiento sostenido estomar una función de producción lineal en capital:Tecnología con rendimientos NO decrecientes en capital.

Tecnología AK

Yt = F (Kt ) = AKt .

I Propiedades:

1. Rendimientos constantes a escala.

2. Rendimientos constantes en capital:

FK = A y FkK = 0.

3. No cumple condiciones Inada:

limKt�>0

FK = A < ∞ y limKt�>∞

FK = A > 0.

I Justi�caciónUsamos un concepto amplio de capital. (Volveremos sobreeste punto)

Modelo AK

I Rebelo, S. (1991), "Long-run policy analysis and long-rungrowth," Journal of Political Economy 99 (3), pp. 500-521.

I Hipótesis:I La ausencia de rendimientos decrecientes permite que la rentaper cápita crezca de forma sostenida y, además, la tasa decrecimiento a largo plazo depende de los fundamentos delmodelo (incluida la política económica).Es decir, el crecimiento es endógeno.

I Las diferencias en tasas de crecimiento entre países se explicanpor diferencias en los fundamentos.

Supuestos básicos del modelo

I Mantenemos los supuestos del modelo básico de Solow,excepto la tecnología

I Ingredientes básicos

1. Función de producción per cápita:

yt =YtLt=AKtLt

= Akt .

2. Ley de acumulación de capital:

�kt = syt � (n+ δ)kt .

Dinámica de equilibrio

I Dado un stock inicial de capital K0 y un nivel inicial de lapoblación L0, el equilibrio competitivo viene dado por la sendatemporal del stock de capital per cápita fktg que satisface lossiguiente ecuación dinámica fundamental:

�kt = sAkt � (n+ δ)kt .

I Las curvas de inversión bruta y depreciación efectiva sonambas lineales. Por lo tanto:

I Si sA > n+ δ, entonces�kt > 0 permanentemente.

I Si sA < n+ δ, entonces�kt < 0 hasta que kt = 0.

I Si sA = n+ δ, entonces�kt = 0 permanentemente.

I Asumamos que sA > n+ δ

Tasa de crecimiento

g � =

�ktkt= sA� (n+ δ) > 0.

I Conclusiones:

1. La economía está permanentemente en una senda decrecimiento sostenido, i.e., la tasa de crecimiento esconstante en el tiempo.

2. Crecimiento endógeno sin necesidad de tener que introducirninguna variable que crezca continua y exógenamente.

3. La clave del resultado es que el producto marginal del capitalno disminuye a medida que aumenta el stock de capital.

tk 0k

t

t

kk

n δ+

sA

Determinantes del crecimiento a largo plazoLa tasa de crecimiento de la renta per cápita:

g � = sA� (n+ δ).

I Cambios permanentes en los fundamentos tienen efectospermanentes sobre el nivel y la tasa de crecimiento de la rentaper cápita:

1. La tasa de crecimiento g� es creciente en la tasa de ahorro s yen el nivel de la tecnología A.

2. La tasa de crecimiento g�es decreciente en la tasa decrecimiento de la población n y en la tasa de depreciación.

I Los gobiernos pueden estimular el crecimiento con políticaseconómicas que alteren los fundamentos: aumenten la tasa deinversión o reduzcan el crecimiento de la población.

Valoración del modelo AK

I Predice crecimiento sostenido y endógeno.

I Carece de transición hacia la senda de crecimiento equilibrado.

I No predice convergencia ni absoluta ni condicional entrepaíses.

I Un shock en el stock de capital tiene efectos permanentes enla renta per cápita al no alterarse transitoriamente la tasa decrecimiento.

tiempo 0t =

Modelo AK y convergencia entre países tk

País A

País B

0Ak

0Bk

tiempo 0t =

Shocks de capital en el Modelo AK tk

A

B

t T=

tiempo 0t =

Shocks de capital en el modelo neoclásico tk

t T=

Crecimiento endógeno con rendimientos decrecientes encapital

I La tecnología AK viola dos supuestos neoclásicos

1. Rendimientos decrecientes en capital,

2. Condiciones Inada.

I ¿Cuál de los dos supuestos es el que permite generarcrecimiento endógeno?El no cumplimiento de las condiciones Inada.

Tecnología Sobelow

Yt = F (Kt , Lt ) = AKt + BK αt L

1�αt .

I Propiedades:

1. Rendimientos constantes a escala.

2. Rendimientos decrecientes en capital y en trabajo.

3. No cumple condiciones Inada:

limKt�>0

FK = ∞,

limKt�>∞

FK = A > 0.

Supuestos básicos del modelo

I Mantenemos los supuestos del modelo AK, excepto latecnología

I Ingredientes básicos

1. Función de producción per cápita:

yt =YtLt= Akt + Bkα

t .

2. Ley de acumulación de capital:

�kt = syt � (n+ δ)kt .

Dinámica de equilibrio (I)

I Dado un stock inicial de capital K0 y un nivel inicial de lapoblación L0, el equilibrio competitivo viene dado por la sendatemporal del stock de capital per cápita fktg que satisface lossiguiente ecuación dinámica fundamental:

�kt = s (Akt + Bkα

t )� (n+ δ)kt .

I Por lo tanto:

I Si sA > n+ δ, entonces la economía converge asintóticamentea una senda con crecimiento sostenido del capital per cápita.

I Si sA � n+ δ, entonces la economía converge a un estadoestacionario sin crecimiento sostenido del capital per cápita.

0k tk

( ) tn kδ+

( )t ts Ak Bkα+

( ) tn kδ+

Crecimiento económico del modeloI La tasa de crecimiento de la renta per cápita es

gt =�y tyt=

�k tkt= s

�A+ Bkα�1

t

�� (n+ δ).

I Dado quelim

kt�>∞

�A+ Bkα�1

t

�= A.

I Entonces:

I Si sA > n+ δ, la tasa de crecimiento gt convergeasintóticamente a g� = sA� (n+ δ) > 0.

I Si sA � n+ δ, a tasa de crecimiento gt converge a g� = 0,que se corresponde con estado estacionario dado por

k� =�

sBn+ δ� sA

� 11�α

.

(Estado estacionario de Solow cuando A = 0).

0k tk

( ) tn kδ+

( )t ts Ak Bkα+

Caso SA n δ> +

sA

n δ+

tk

1tsA Bkα−+

tg*g

Tasa de crecimiento a corto plazo (transición)

Tasa de crecimiento a largo plazo (senda de crecimiento equilibrado)

tk

0k tk

( ) tn kδ+

( )t ts Ak Bkα+

Caso SA n δ< +

*k

n δ+

Tasa de crecimiento a corto plazo (transición)

sA

tk

1tsA Bkα−+

tg

Estado estacionario con crecimiento nulo

*k tk

Conclusiones

I Podemos tener crecimiento sostenido y endógeno conrendimientos decrecientes en capital(Con transición y papel relevante del factor trabajo)

I El factor determinante para que exista crecimiento endógenono es que la tecnología exhiba rendimientos no decrecientes encapital sino que no se cumpla la condición Inada. Es decir,que el producto marginal del capital esté acotadoinferiormente por un nivel lo su�cientemente alto por más quese aumente el stock de capital.

Apéndice: La tecnología CES

Yt = An

α (bKt )ψ + (1� α) [(1� β) Lt ]

ψo 1

ψ,

con α 2 (0, 1) , b 2 (0, 1) y ψ 2 (�∞, 1)

I En términos per cápita, tenemos que

yt = Ahα (bkt )

ψ + (1� α) (1� β)ψi 1

ψ,

ytkt= A

hαbψ + (1� α) (1� β)ψ k�ψ

t

i 1ψ.

I Observemos que si ψ 2 (0, 1), entonces

limkt�>∞

ytkt= Abα

1ψ .

I Por lo tanto, existirá crecimiento sostenido y endógeno si

Abα1ψ > n+ δ.

(En este caso también habrá dinámica de transición)