EL LÍMIT DE ROCHE
description
Transcript of EL LÍMIT DE ROCHE
![Page 1: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/1.jpg)
EL LÍMIT DE ROCHE
![Page 2: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/2.jpg)
Edouard Albert Roche (1820-
1883)Astrònom, matemàtic i
geofísic francès, nascut a
Montpeller.
![Page 3: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/3.jpg)
Vegem dues fotos dels anells de Saturn. Per a l’estudi del seu origen, Roche va fer els seus estudis matemàtics sobre els efectes de la gravitació.
![Page 4: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/4.jpg)
La gravetat del planeta situat a l’esquerra actua amb més força sobre la part del satèl·lit més pròxima que
no pas sobre la part del satel·lit més allunyada.
![Page 5: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/5.jpg)
Aquesta diferència d’atracció entre les dues cares del satèl·lit equival a una força de separació entre
elles que és el que s’anomena força de marea.
![Page 6: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/6.jpg)
Aquesta figura il·lustra el fet que dues partícules tenen una diferent atracció del planeta però que també s’atreuen gravitacionalment entre elles.
![Page 7: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/7.jpg)
Més lluny del límit de Roche predomina l’atracció entre les partícules i és possible la formació de satèl·lits, mentre que més endins d’aquest límit
predominen les diferències d’atracció per part del planeta i les partícules es dispersen en forma d’anells.
![Page 8: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/8.jpg)
Considerem un cos fluid que manté la seva estructura per la seva gravetat interna i que orbita al voltant d’un objecte major. Lluny del límit de
Roche el fluid té una forma esfèrica.
![Page 9: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/9.jpg)
Més a prop del límit de Roche el cos fluid és deformat per l’acció de les forces de marea.
![Page 10: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/10.jpg)
Dins del límit de Roche la gravetat del cos fluid no és suficient per mantenir la seva forma i el cos
es disgrega per l’acció de les forces de marea.
![Page 11: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/11.jpg)
Les fletxes vermelles representen la velocitat orbital de les restes disgregades del satèl·lit. Les partícules internes orbiten més de pressa que les
exteriors.
![Page 12: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/12.jpg)
Finalment el satèl·lit disgregat dóna origen a un anell format per partícules més petites.
![Page 13: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/13.jpg)
Aquesta figura repeteix el que es deia a la figura anterior però afegeix que el límit de Roche està situat a una distància aproximada de 2,5 vegades el radi del
planeta. Ja veurem que això no sempre és veritat.
![Page 14: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/14.jpg)
Si el planeta i el cos exterior, cometa o satèl·lit, tenen la mateixa densitat, el límit de Roche és de
2,446 (*) vegades el radi del planeta. (*) Diferents fonts consultades donen altres valors d'aquest
coeficient, p. ex. 2,423 - 2,44 - 2,446 - 2,45 - 2,4554 - 2,456, etc.
En el cas que les densitats del planeta i del satèl·lit siguin diferents, el límit de Roche ve donat per
l'expressió:
2,44*R*3(p/ s) (arrel cúbica de p/ s)
![Page 15: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/15.jpg)
En aquesta figura ja es parla que el límit de Roche depèn de la relació de densitats entre el planeta i el satèl·lit. Partint de la densitat de la Terra de 5.500 kg/m3, es veu la situació del límit de Roche segons
diferents valors de la densitat del satèl·lit.
![Page 16: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/16.jpg)
Aquestes dues figures representen el mateix moviment circular uniforme. En la de l’esquerra hi figuren les velocitats lineal i angular i l’acceleració centrípeta. La de la dreta representa el moviment d’un satèl·lit amb òrbita circular al voltant d’un
planeta i hi figuren les mateixes velocitats però a més a més les masses respectives i la força centrípeta.
![Page 17: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/17.jpg)
En un moviment circular uniforme tenim:v = *da centrípeta ac = v2/d = 2*d
Unitats:v = velocitat lineal en m/s = velocitat angular en radiants/sac = acceleració centrípeta en m/s2
![Page 18: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/18.jpg)
Càlcul de la distància d'un satèl·lit al seu planeta:F centrípeta Fc = m*ac = m*v2/d = m*2*d
Però en el cas d'un satèl·lit, Fc també és l'atracció
gravitatòria donada per la Llei de NewtonFc = G*M*m/d2
Igualant les dues expresions tenim: G*M*m/d2= m*2*d
d'on resulta:d = [(G*M)/2]1/3 (arrel cúbica)o bé = [(G*M)/d3]1/2 (arrel quadrada)
Fixem-nos que en aquestes expressions no hi figura la massa del satèl·lit.
![Page 19: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/19.jpg)
Vegem ara dos exemples d'aplicació d'aquestes fórmules:
1/ Calcular el període de la ISS, sabent que l'alçada mitjana de la seva òrbita és de 354 km.
Prenent els valors de MTerra= 6*1024kg
G= 6,67*10-11 N*m2/kg2
d = 354.000 + 6.378.100 (radi Terra) = 6.732.100 m
aplicant la fórmula resulta un període de 5.486 seg = 1h 31m 26 seg 15,75 voltes cada dia.
![Page 20: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/20.jpg)
2/ Calcular l'alçada d'un satèl·lit geoestacionari.
Té un període igual al de rotació de la Terra = 3h 56m 4s = 86.164 s per girar 2 radiants.
d'on = 2/86.164 rad/s.
aplicant la fórmula resulta un valor d = 42.220.465 m = 42.220,645 km.
i restant-hi el radi de la Terra resulta una alçada sobre el sòl de 35.488,365 km.
![Page 21: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/21.jpg)
Estudi de la força de marea que exerceix un planeta sobre una massa puntual situada sobre el punt més allunyat del satèl·lit. Veurem que en aquest cas, i
tenint en compte únicament l’atracció gravitatòria del planeta, el límit de Roche assoleix un valor meitat del
que diuen els llibres i que hem vist al principi.
![Page 22: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/22.jpg)
La gravetat del planeta al centre i al punt més allunyat del satèl·lit és respectivament,a = G*M/d2 i a' = G*M/(d+r)2
a - a' = G*M*[(1/d2)-(1/(d+r)2)]
El segon terme de dintre els claudàtors el podem aproximar a partir dels dos primers termes del desenvolupament en sèrie de la funcióf(r) = 1/(d+r)2
per la fórmula de Taylor f(r) = f(0) + f '(0)*rTenim f(0) = 1/d2
f '(r) = -2/(d+r)3 d'on f '(0) = -2/d3
aleshores,f(r) 1/d2 - 2r/d3
i per tant,a - a' = G*M*[(1/d2) - (1/d2) + (2r/d3)] = 2G*M*r/d3
![Page 23: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/23.jpg)
En el límit de Roche aquesta diferència de gravitació deguda al planeta s'iguala amb la gravitació del propi satèl·lit que val,G*m/r2
Per tant,G*m/r2 = 2G*M*r/d3
Posant les masses M i m en funció dels radis R i r del planeta i del satèl·lit i de les seves densitats p i s
tenim,M = (4/3)*R3*p i m = (4/3)*r3*s
Substituint i simplificant resulta,(d/R)3 = 2p/s
![Page 24: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/24.jpg)
Aquest és un cas particular de l'expressió general de Roche,(d/R)3 = k*p/s
on el coeficient k pren diferents valors segons les hipòtesis considerades. En el cas que hem vist, de només tenir en compte la força de marea en el pla equatorial del satèl·lit tangent a la seva òrbita, tenim k = 2, i el valor del límit de Roche serà,
d = 1,259921R*(p/s)1/3 (arrel cúbica)
![Page 25: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/25.jpg)
En el cas que la massa puntual estigui posada en el punt del satèl·lit més pròxim al planeta, el resultat és el mateix que en el cas anterior perquè les relacions(d-r)/d o d/(d+r) són pràcticament iguals quan r <<
d.
![Page 26: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/26.jpg)
Estudi del cas d’un satèl·lit format per dues petites esferes tangents en un punt situat a
una distància d del planeta.
![Page 27: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/27.jpg)
Tenim, atracció entre els dos satèl·lits,G*m2/(2r)2 = G*m2/4r2
atracció entre el planeta i un satèl·lit situat a la distància d,G*M*m/d2
i derivant respecte a d tenim,-2G*M*m/d3
Multiplicant per la diferència en posició 2r resulta -4G*M*m*r/d3
![Page 28: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/28.jpg)
Aquesta és la força de marea que s'ha d'equilibrar amb l'atracció entre els dos satèl·lits, de manera que tenim,4G*M*m*r/d3 = G*m2/4r2
d'on simplificant resulta,(d/R)3 = 16p/s
id = 2,519842(p/s)
1/3 (arrel cúbica)
Aquest valor és doble del que hem calculat abans i ja s’assembla més amb el que diuen els llibres.
![Page 29: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/29.jpg)
Si es té el compte la deformació del satèl·lit per acció de la gravetat del planeta s'arriba a un valor de k = 14,22526, o sigui a les expressions,(d/R)3 = 14,22526p/s
id = 2,423(p/s)
1/3 (arrel cúbica)
Una millor aproximació encara ve donada per l'expressió,
on c/R és un factor que expressa el grau de deformació del planeta = radi polar/radi equatorial.
![Page 30: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/30.jpg)
CosDensitat (kg/m3)
Radi (km)
Sol 1.400 695.000
Júpiter 1.330 71.500
Terra 5.515 6.376,5
Lluna 3.340 1.737,4
(taula dels valors considerats per al càlcul del límit de Roche)
Dels casos d’una massa solta posada a la perifèria del satèl·lit o bé de les dues meitats del satèl·lit definides pel pla equatorial
tangent a la seva òrbita, una de les fonts consultades en diu respectivament límit de Roche per als cossos rígids i límit de
Roche per als cossos no rígids. Dóna les següents taules per al Sistema Solar i explica que el veritable límit de Roche estarà
en algun punt intermedi entre els dos límits expressats.
![Page 31: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/31.jpg)
L. de Roche (rígid)
L. de Roche (no rígid)
Cos Satèl·litDistància
(km)Radis
Distància (km)
Radis
Terra Lluna 9.495,7 1,49 18.261,5 2,86
Terra Cometa 17.883,4 2,80 34.392,3 5,39
Sol Terra 554.441,4 0,80 1.066.266 1,53
Sol Cometa 1.234.187 1,78 2.373.509 3,42
En les dues primeres files els radis són terrestres i en les dues últimes són radis solars.
![Page 32: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/32.jpg)
Radi orbital / Límit de Roche
Cos central Satèl·lit (rígid) (no rígid)
Sol Mercuri 104:1 54:1
Terra Lluna 41:1 21:1
MartFobos 171 % 89 %
Deimos 456 % 237 %
Júpiter
Metis 191 % 99 %
Adrastea 192 % 100 %
Amaltea 178 % 93 %
Tebe 331 % 172 %
![Page 33: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/33.jpg)
Radi orbital / Límit de Roche
Cos central Satèl·lit (rígid) (no rígid)
Saturn
Pan 177 % 92 %
Atlas 182 % 95 %
Prometeu 185 % 96 %
Pandora 188 % 98 %
Epimeteu 198 % 103 %
Urà
Cordèlia 155 % 81 %
Ofèlia 168 % 87 %
Bianca 184 % 96 %
Cressida 193 % 100 %
![Page 34: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/34.jpg)
Radi orbital / Límit de Roche
Cos central Satèl·lit (rígid) (no rígid)
Neptú
Nàiade 144 % 75 %
Zàlassa 149 % 78 %
Despina 157 % 82 %
Galatea 184 % 96 %
Làrissa 219 % 114 %
Plutó Caront 13:1 6,8:1
![Page 35: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/35.jpg)
En el cas que s'ha estudiat de les forces de marea que actuen en el pla equatorial tangent a l'òrbita del satèl·lit, a l'acceleració de marea s'hi ha d'afegir la difèrència entre l'acceleració centrípeta que hi ha al centre del satèl·lit (a una distància d del planeta) i la que hi ha al punt del satèl·lit més allunyat (a una distància d+r).
La velocitat angular del satèl·lit al voltant del planeta s'ha vist que era de,
= [(G*M)/d3]1/2
o sigui que:2 = (G*M)/d3
i l'acceleració centrípeta en els dos punts expressats val:b = 2*d i b' = 2*(d+r)
d'onb' - b = 2*(d+r-d) = 2*r = (G*M*r)/d3
![Page 36: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/36.jpg)
Aquesta acceleració és la que cal sumar a l'acceleració de marea s'ha vist abans,
2G*M*r/d3
i la seva suma és la que s'ha d'igualar a la gravitació del propi satèl·lit,
G*m/r2
Per tant resulta:[(G*M*r)/d3] + [2G*M*r/d3] = 3G*M*r/d3 = G*m/r2
Posant també les masses M i m en funció dels radis R i r i de les densitats p i s i simplificant, resulta aquesta vegada l'expressió,
(d/R)3 = 3p/s i d = 1,44225R*(p/s)1/3 (arrel cúbica)
O sigui en aquest cas resulta la mateixa expressió general de Roche però amb un valor de k = 3.
![Page 37: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/37.jpg)
El sistema Terra-Lluna és un bon exemple de satèl·lit amb rotació capturada degut a
l’atracció del seu planeta.
![Page 38: EL LÍMIT DE ROCHE](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/56813dbd550346895da785f8/html5/thumbnails/38.jpg)
I acabem amb l’espaguetifició d’un malaventurat astronauta que es volia ficar allà on no el demanaven.
Gràcies per la vostra atenció i fins a un altre dia.