El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta...
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0
0
( )
E E
F qE f E
![Page 3: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/3.jpg)
( )
0 0( )
1´ ´S V
E
S V V
QE dS r dV
El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε0
![Page 4: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/4.jpg)
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•Aislantes•Conductores•Semiconductores•Superconductores
![Page 6: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/6.jpg)
•Son aquellos materiales o sustancias en las cuales
“no” fluye la corriente eléctrica
•Los electrones no se pueden mover libremente
•La resistividad es mayor a 108 Ohm-m
•Algunos alcanzan resistividades hasta 1016 Ohm-m
•La teoría del estado sólido (la teoría de bandas)
explica su comportamiento
•Vidrio, porcelana, plásticos
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•Son “perfectos” conductores de la corriente electrica
•Tiene un “infinito” de cargas libres
•En realidad tiene muchos electrones libres
•La teoría del estado sólido (la teoría de bandas) explica su comportamiento
•Las resistividades pueden ser tan bajas como 10-8 Ohm-m
•Casi todos los metales son buenos conductores
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•Entre los aislantes y los conductores en lo que a
resistividad se refiere
•Son aislantes a bajas temperaturas
•Son buenos conductores a temperatura ambiente
•La teoría del estado sólido (la teoría de bandas)
explica su comportamiento
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•A muy bajas temperaturas prácticamente
tiene resistividad cero
•Expulsan el campo magnético
•Es un efecto completamente cuántico
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El campo eléctrico dentro de un conductor es siempre cero
0E
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El campo eléctrico dentro de un conductor es siempre cero
Sino las cargas eléctricas (que en un
conductor perfecto consideramos
que hay una cantidad infinita) se
seguirán moviendo hasta que lo
hagan cero
![Page 13: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/13.jpg)
No existe carga libre dentro de un conductor
0
![Page 14: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/14.jpg)
No existe carga libre dentro de un conductor
Aplicando la ley de Gauss a la superficie roja (una que este justo debajo de la superficie del conductor, tenemos
( )
0
S V
E dS
Ya que el campo eléctrico dentro del conductor es estrictamente cero.
Así que, por la ley de Gauss, la carga neta encerrada dentro de la superficie roja debe ser cero.
Por tanto, la carga neta dentro del conductor es cero
![Page 15: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/15.jpg)
En un conductor, toda la carga libre reside en la superficie
![Page 16: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/16.jpg)
Un conductor es una equipotencial. Todo él, superficie y volumen
constante
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El campo eléctrico inmediatamente afuera del conductor siempre es perpendicular a su superficie y de magnitud
0
E
0
0 0E
S
AE
Q A
E
![Page 18: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/18.jpg)
•El campo electrostático dentro de un conductor siempre es cero
•No existen cargas libres dentro de un conductor
•En un conductor toda la carga libre reside en la superficie
•Un conductor es una equipotencial. Todo su volumen y su superficie están al mismo potencial
•El campo eléctrico inmediatamente afuera del conductor siempre es perpendicular a su superficie y de magnitud σ/ε0
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•Integración directa
•Solución de la ecuación de Laplace
•Método de imágenes
•Desarrollo del potencial en armónicos esféricos
•Solución mediante la función de Green
•Solución por inversión
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20
Conocida "podemos" hacer cualquiera
de estas integrales
1 ( )
4
r
r r rE r dV
r rr r
0
1 ( )
4
rr dV
r r
![Page 22: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/22.jpg)
0
0E E
![Page 23: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/23.jpg)
0
0
0
E E
E E
![Page 24: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/24.jpg)
0
2
0
0
0
E E
E E
E
![Page 25: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/25.jpg)
0
2
0
2
0
0
0
E E
E E
E
La ecuación de Poisson:
![Page 26: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/26.jpg)
2
0
0,
2 0
r
Si estamos en una región donde
tenemos la ecuación
de Laplace:
![Page 27: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/27.jpg)
2 2 22
2 2 2
22 2
2 2 2 2 2
22
2
0
1 1 1sin 0
sin sin
1 1
2 0
En coordenadas cartesianas:
En coordenadas esféricas:
En coordenadas cilíndricas:
x y z
rr r r r r
rr r r r
2
2 20
z
![Page 28: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/28.jpg)
1 q
2 q
3 q
iq
Nq
1 2
3j
M
2 0
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•Sobre los conductores el potencial es constante e
igual al de la superficie
•En los conductores NO SE CONOCE la distribución
de carga
•Sobre las cargas
•En todo el resto del espacio
2
0
ii
qr r r
2 0r
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Es decir, lo que hay que resolver es la
ecuación de Laplace
con las condiciones a la frontera ade-
cuadas. Por ejemplo,
sobre el conductor
2 0
ii
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-Linealidad: Cualquier combinación lineal de soluciones
es una solución.
-Unicidad: Si una función satisface la ecuación de Laplace
y las condiciones de frontera, entonces es única.
- Las soluciones de la ecuación de Laplace no tienen
extremos locales; es decir, no tiene ni máximos ni
mínimos más que en las fronteras.
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Fijas las condiciones a la frontera, la solución
a la ecuación de Laplace
Así que si tenemos las solución a un problema
podemos adecuar otros
es única
problemas a sa
.
e
2 0
solu-
ción.
![Page 33: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/33.jpg)
2
2 2 22
2 2 2
0
0x y z
x
La ecuación de Laplace se escribe
en coordenadas cartesianas como
Así que si por simetría el problema sólo depende
de una variable, que escogeremos como , la
ecuación de L
2
20
d x
dx
aplace queda como
![Page 34: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/34.jpg)
22
20 se reduce a 0
d xr
dx
La solución es
donde y son constantes que se eligen
para satisfacer las condiciones de frontera
x ax b
a b
![Page 35: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/35.jpg)
0
es la solución para un plano infinito
ˆ ˆ
por tanto 2
x ax b
dE x x i ax b ai
dx
a
![Page 36: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/36.jpg)
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
r
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es
que en el caso de problemas con simetría esférica
depende únicamente de la variable y
22
10
d rdr
r dr dr
se reduce a una
sola dimensión
![Page 37: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/37.jpg)
22
10
d rdr
r dr dr
La ecuación de Laplace para problemas con
simetría esféricas es
Una ecuación diferencial ordinaria de segundo
orden.
![Page 38: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/38.jpg)
es la solución para todos los problemas
con simetría esférica.
Nota: Es la ecuación de Laplace,
entonces fuera de las distribuciones
de carga
ax b
r
![Page 39: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/39.jpg)
Fijadas las condiciones a la frontera, la solución
a la ecuación de Laplace
es única.
Así que si tenemos las solución a un problema
podemos adecuar otros problemas a e
2 0
sa solu-
ción.
![Page 40: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/40.jpg)
22 2 22
2 2 2 2
Sea
, ,
donde y son constantes
Es obvio que
0
x y z ax b
a b
d ax b
x y z dx
![Page 41: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/41.jpg)
22
2
Sea , , donde y son constantes
0
Además,
, ,
implica
constante
(planos paralelos al plano )
x y z ax b a b
d ax b
dx
x y z c
x
YZ
![Page 42: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/42.jpg)
Sea , , donde y son constantesx y z ax b a b
Las equipotenciales son planos paralelos al plano YZ
![Page 43: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/43.jpg)
0x x l
1 2
Dos placas conductoras infinitas a potenciales fijos separadas una distancia l
![Page 44: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/44.jpg)
Dos placas conductoras infinitas a potenciales fijos separadas una distancia l
1 1
2 2
2 11
( , , )
0, ,
, ,
( , , )
x y z ax b
x y z b
x l y z al b
x y z xl
![Page 45: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/45.jpg)
![Page 46: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/46.jpg)
2 2 2
2 2 20
x y z
, ,x y z X x Y y Z z
2 2 2
2 2 20
d X x d Y y d Z zY y Z z X x Z x X x Y y
dx dy dz
2 2 2
2 2 2
1 1 10
d X x d Y y d Z z
X x dx Y y dy Z z dz
![Page 47: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/47.jpg)
22
2
22
2
22
2
1
1
1
d X x
X x dx
d Y y
Y y dy
d Z z
Z z dz
2 2 2 0
![Page 48: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/48.jpg)
, , i x i x i y i y z zx y z Ae Be Ce De Ee Fe
2 2 2
2 2 20
x y z
Las constantes , ,
y los coeficientes , , , , ,
se determinan dependiendo de las
condiciones a la frontera
A B C D E F
![Page 49: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/49.jpg)
Caja rectangular
a
b
c
,V x y
0 0
Sobre todas las caras,
excepto la de arriba el
potencial es cero
![Page 50: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/50.jpg)
, ,
0 0
0, , 0
, ,
, , 2 sin
i x i x i y i y z z
i y i y z z
i x i x i y i y z z
i y
x y z Ae Be Ce De Ee Fe
x
y z A B Ce De Ee Fe
B A
x y z A e e Ce De Ee Fe
x y z A i x Ce De
i y z zEe Fe
![Page 51: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/51.jpg)
, , 2 sin
0 0
, , 2 sin 0
, , 4 sin sin
i y i y z z
z z
z z
x y z iA x Ce De Ee Fe
y
x y z iA x C D Ee Fe
D C
x y z AC x y Ee Fe
![Page 52: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/52.jpg)
, , 4 sin sin
0 0
, ,0 4 sin sin 0
, , 4 sin sin
z z
z z
x y z AC x y Ee Fe
z
x y AC x y E F
F E
x y z ACE x y e e
![Page 53: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/53.jpg)
, , 4 sin sin
0
, , 4 sin sin 0
donde es un entero
, , 4 sin sin
z z
z z
z z
x y z ACE x y e e
x a
x a y z ACE a y e e
a n n
n
an
x y z ACE x y e ea
![Page 54: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/54.jpg)
, , 4 sin sin
0
, , 4 sin sin 0
donde es un entero
, , 4 sin sin
z z
z z
z z
nx y z ACE x y e e
a
y b
nx y b z ACE x b e e
a
b m m
m
bn m
x y z ACE x y e ea b
![Page 55: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/55.jpg)
2 2 2
2 2 2 22 2
2 2
, , 4 sin sin z zn mx y z ACE x y e e
a b
n m n m
a b a b
![Page 56: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/56.jpg)
, , 4 sin sin z zn mx y z ACE x y e e
a b
![Page 57: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/57.jpg)
Caja rectangular
0 0, 0, 0x y z
2 2
sin
sin
sinh
X x
Y y
Z z
![Page 58: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/58.jpg)
Caja rectangular0 , x a y b
2 2
2 2
n
m
mn
n
am
b
n m
a b
![Page 59: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/59.jpg)
sin sin sinhnm n m nmx y z
Caja rectangular
, 1
, , sin sin sinhnm n m nmn m
x y z A x y z
![Page 60: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/60.jpg)
Caja rectangular
, 1
sin sin sinh ,nm n m nmn m
A x y c V x y
,z c V x y
0 0
4, sin sin
sinh
a b
nm n mnm
A dx dyV x y x yab c
![Page 61: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/61.jpg)
Caja rectangular
0 0
4, sin sin
sinh
a b
nm n mnm
A dx dyV x y x yab c
, 1
, , sin sin sinhnm n m nmn m
x y z A x y z
2 2
2 2 n m mn
n m n m
a b a b
![Page 62: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/62.jpg)
![Page 63: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/63.jpg)
, ,r R r
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es
22
2 2 2 2 2sin 0
sin sin
d dR R d R dr
r dr dr r d r d
![Page 64: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/64.jpg)
22
2 2 2 2 2sin 0
sin sin
d dR R d R dr
r dr dr r d r d
22
2 2
1 1 1 1 1sin 0
sin sin
d dR d dr
R dr dr d d
2
2
2 2
11
1 1 1 1sin 1
sin sin
d dRr l l
R dr dr
d dl l
d d
![Page 65: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/65.jpg)
2
2 2
1 1 1 1sin 1
sin sin
d dl l
d d
2
2 2
1 1 1 1sin 1 0
sin sin
d dl l
d d
2
22
sin 1sin 1 sin 0
d dl l
d d
![Page 66: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/66.jpg)
2
22
sin 1sin 1 sin 0
d dl l
d d
2 2
22
2
sinsin 1 sin
1
dl l m
d
dm
d
![Page 67: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/67.jpg)
22
2
1 dm
d
ime
2Q n Q
m
implica que
debe ser un entero
![Page 68: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/68.jpg)
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
2 2sinsin 1 sin
dl l m
d
![Page 69: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/69.jpg)
2 2 2
2
cos
sin
sin sin 1 cos 1
sin sin sin 1
x
d d dx d
d dx d dxd d d d
xd dx dx dx
d d d d dx d dx
d d dx d d dx dx
Haciendo el cambio de variable
tenemos
2
2
1 1sin 1 0
sin sin
d d ml l
d d
![Page 70: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/70.jpg)
2
2
2 22
2 2
sin sin sin 1
1 1sin 1
sin
1 1sin 1
sin sin 1
d d d d dx d dx
d d dx d d dx dx
d d d dx
d d dx dx
d d m d d mx
d d dx dx x
![Page 71: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/71.jpg)
22
2
22
2
11 1
1
1 1 01
d d mx l l
dx dx x
d d mx l l
dx dx x
La ecuación queda ahora
ó bien
![Page 72: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/72.jpg)
2
22
1 1 01
d dP mx l l P
dx dx x
La ecuación es la generalizada de Legendre
y sus soluciones se llaman funciones asociadas
de Legendre.
Estas son "funciones especiales" que han sido
extensamente estudiadas y que sus propiedades
pueden ser cincultadas.
* La solución se encuentra mediante series.
![Page 73: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/73.jpg)
22
2
/ 22 2
1 1 01
11 1
2 !
m l mm lm
l l l m
d dP mx l l P
dx dx x
dP x x x
l dx
La ecuación es la generalizada de Legendre
Sus soluciones se llaman funciones asociadas
de Legendre
![Page 74: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/74.jpg)
!
, 2 1 cos!
m m iml l
l mY l P e
l m
La solución a la parte ángular queda
![Page 75: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/75.jpg)
211
d dRr l l
R dr dr
2 1 0d dR
r l l Rdr dr
2
22
2 1 0d R dR
r r l l Rdr dr
![Page 76: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/76.jpg)
22
22 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
1 2 1 0
nn
n n nn n n
nn
d R dRr r l l Rdr dr
a r
n n a r na r l l a r
n n n l l a r
n n n l l
![Page 77: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/77.jpg)
22
2
2
22
1 2
1
2 1 0
1 0
1 1 4 1 1 2 11 4 4 1
2 2 21 2 1
21
nn
ll
d R dRr r l l Rdr dr
a r
n n l l
l l ll ln
ln
n l n l
BAr
r
![Page 78: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/78.jpg)
22 2
2 2 2 2 2
10
1 1 1sin 0
sin sin
, , ,l
l lmlm lml
l m l
rr r r r r
Br A r Y
r
![Page 79: El flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga total neta encerrada en la superficie entre ε 0.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081414/54b2658c4979590d128b52fa/html5/thumbnails/79.jpg)
Problema 3 del capítulo 3 del libro de Murphy