El Cálculo en la MúsicaPor: Gustavo Martínez

Andrés Niño

Frecuencias de las notas musicales

Ver Tabla 1 y Gráficos 1 y 2 en anexo de Excel.

Se ve que las dos gráficas, la de frecuencia y la de la diferencia entre cada frecuencia y la anterior son similares, y además se deduce que ambas son ecuaciones de segundo grado. Se plantea la hipótesis de que en cada punto del eje X de ambas gráficas, la pendiente (derivada) será la misma.

F ( X )=a x2+bx+c

F ´ (X )=2ax+b

Donde 2a es la pendiente (m) en

F ( X )=mx+b

que tocará calcular aproximadamente usando las dos frecuencias adyacentes a la que se esté trabajando.

Y para simplificar la tarea de encontrar b:

y− y1=m(x−x1)

F (X )=mx−m x1+ y1

Donde x1es el número correspondiente a la columna A de la Tabla 1,

y1es el valor respectivo de x1 en las columnas C o D respectivamente,

y m es el cociente entre la resta del valor inmediatamente mayor y el inmediatamente menor (en las columnas C o D, respectivamente) y 2.

b= y1−m x1

Tabla 2: Lo anterior en referencia a las frecuencias. F(X) sólo se muestra en los Do’s y los La’s para evitar la fatiga copiando las ecuaciones. Se integra en los mismos valores calculando entre 88 y 1, para luego comparar con el área bajo la curva del gráfico 1 que buscaremos encontrar a continuación.

A=f 1+ f 2+ f 3……+ f 88

De acuerdo a Excel, A=74120,32, por lo cual la integral que más se acerca a la real es la de G#5.

Deducimos que la ecuación que describe las frecuencias de las notas musicales de acuerdo a su posición en el teclado (entre 1 y 88) es

f=24.0025 x2−2049.69 x+c

Donde c es desconocido .

Se concluye que hubo un error, debido a que la afirmación inicial de que debía ser una ecuación de segunda potencia no es verdadera.

Volviendo a empezar, nos damos cuenta que desde la nota habitual de referencia (A4), las octavas se dan por la multiplicación de las distintas potencias de 2 así:

f An=440∗2n−4

Donde f Anes la frecuencia en un La determinado y n es la octava de ese La.

No encontramos qué hacer, y por tanto, investigando encontramos que:

f (n ,o )=440∗2(o−3 )+n−10

12

Donde n es la nota (Do es 1, Do# es 2, etc.) y o la octava donde se encuentra.