El azar y sus modelos

Rolando Rebolledo

Plan

1. Los nombres del azar.

2. La larga historia del azar.

3. La determinacion multiple de los fenomenos naturales.

4. Interdependencia e interaccion.

5. Las leyes del azar.

6. El papel de las probabilidades.

7. Del debate filosofico.

Los nombres del azar

• De su etimologıa en Espanol

zahr (flor) −→ az-zahr (juego de dados) −→ azar (juego de dados,Espana 1283)

Los nombres del azar

• De su etimologıa en Espanol

zahr (flor) −→ az-zahr (juego de dados) −→ azar (juego de dados,Espana 1283)

• Un sinonimo importante

alea −→ aleatorio (la suerte, tambien asociado con el juego de dados)

Los nombres del azar

• De su etimologıa en Espanol

zahr (flor) −→ az-zahr (juego de dados) −→ azar (juego de dados,Espana 1283)

• Un sinonimo importante

alea −→ aleatorio (la suerte, tambien asociado con el juego de dados)

• Otro sinonimo de importancia

stokhos (objetivo, blanco en el juego de los dardos) −→ stokhastikos(que apunta bien, habil para conjeturar) −→ estocastico (adjetivo puestoen uso en Matematicas en 1953)

La larga historia del azar

Algunos hitos:

• Carneades

La larga historia del azar

Algunos hitos:

• Carneades

Ya en la antiguedad griega hay antecedentes sobre la aparicion de unaescuela llamada “probabilista”. Se trata de un momento del desarrollode la Academia, dirigida en el siglo II A.C. por un sucesor de Platon, sudiscıpulo Carneades.

Carneades buscaba un criterio para decidir sobre opiniones inciertas. Esdecir, el distinguıa el valor objetivo de la opinion (todas las opinionesson inciertas), del valor subjetivo de la misma que mide la seguridad delsujeto acerca de su veracidad.

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como unamedida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varıaentre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1

1Lo probable parece menos seguro que lo probado, a pesar que las dos palabras tienen la mismaetimologıa.

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como unamedida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varıaentre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1

• Pascal y la nocion de sistema Pascal plantea el problema de laenumeracion y da nacimiento al calculo combinatorio, acunando paraello la nocion de sistema.

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como unamedida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varıaentre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1

• Pascal y la nocion de sistema Pascal plantea el problema de laenumeracion y da nacimiento al calculo combinatorio, acunando paraello la nocion de sistema.

• Leibniz, Newton y el calculo.

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como unamedida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varıaentre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1

• Pascal y la nocion de sistema Pascal plantea el problema de laenumeracion y da nacimiento al calculo combinatorio, acunando paraello la nocion de sistema.

• Leibniz, Newton y el calculo.

• Bernoulli, Poisson

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como unamedida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varıaentre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1

• Pascal y la nocion de sistema Pascal plantea el problema de laenumeracion y da nacimiento al calculo combinatorio, acunando paraello la nocion de sistema.

• Leibniz, Newton y el calculo.

• Bernoulli, Poisson

• Laplace y Gauss

Se trata de una de las primeras apariciones de la probabilidad como unamedida de la veracidad de opiniones o grado de credibilidad que varıaentre la ignorancia y el saber, sus valores extremos.1

• Pascal y la nocion de sistema Pascal plantea el problema de laenumeracion y da nacimiento al calculo combinatorio, acunando paraello la nocion de sistema.

• Leibniz, Newton y el calculo.

• Bernoulli, Poisson

• Laplace y Gauss

• Brown y la primera paradoja de la Mecanica Clasica

• Boltzmann y la Teorıa Cinetico-Molecular de la materia

• Boltzmann y la Teorıa Cinetico-Molecular de la materia

• Markov y la nocion de proceso

• Boltzmann y la Teorıa Cinetico-Molecular de la materia

• Markov y la nocion de proceso

• La Teorıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov

• Boltzmann y la Teorıa Cinetico-Molecular de la materia

• Markov y la nocion de proceso

• La Teorıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov

• Discusiones sobre los fundamentos de la Teorıa de Probabilidades: DeFinetti, von Mises, los modelos logicos.

• Boltzmann y la Teorıa Cinetico-Molecular de la materia

• Markov y la nocion de proceso

• La Teorıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov

• Discusiones sobre los fundamentos de la Teorıa de Probabilidades: DeFinetti, von Mises, los modelos logicos.

• Norbert Wiener, Paul Levy y la construccion de un modelo matematicopara el movimiento Browniano.

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• Markov y la nocion de proceso

• La Teorıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov

• Discusiones sobre los fundamentos de la Teorıa de Probabilidades: DeFinetti, von Mises, los modelos logicos.

• Norbert Wiener, Paul Levy y la construccion de un modelo matematicopara el movimiento Browniano.

• von Neumann y la Mecanica Cuantica.

• Boltzmann y la Teorıa Cinetico-Molecular de la materia

• Markov y la nocion de proceso

• La Teorıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov

• Discusiones sobre los fundamentos de la Teorıa de Probabilidades: DeFinetti, von Mises, los modelos logicos.

• Norbert Wiener, Paul Levy y la construccion de un modelo matematicopara el movimiento Browniano.

• von Neumann y la Mecanica Cuantica.

• Kiyosi Ito y las ecuaciones diferenciales estocasticas

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• Markov y la nocion de proceso

• La Teorıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov

• Discusiones sobre los fundamentos de la Teorıa de Probabilidades: DeFinetti, von Mises, los modelos logicos.

• Norbert Wiener, Paul Levy y la construccion de un modelo matematicopara el movimiento Browniano.

• von Neumann y la Mecanica Cuantica.

• Kiyosi Ito y las ecuaciones diferenciales estocasticas

• La Teorıa de Capacidades.

• Boltzmann y la Teorıa Cinetico-Molecular de la materia

• Markov y la nocion de proceso

• La Teorıa de la Medida y los aportes de Kolmogorov

• Discusiones sobre los fundamentos de la Teorıa de Probabilidades: DeFinetti, von Mises, los modelos logicos.

• Norbert Wiener, Paul Levy y la construccion de un modelo matematicopara el movimiento Browniano.

• von Neumann y la Mecanica Cuantica.

• Kiyosi Ito y las ecuaciones diferenciales estocasticas

• La Teorıa de Capacidades.

• El desarrollo de la Teorıa de Procesos Estocasticos (Escuela deStrasbourg).

• La Teorıa de Capacidades.

• El desarrollo de la Teorıa de Procesos Estocasticos (Escuela deStrasbourg).

• Nacimiento del Analisis Estocastico

• La Teorıa de Capacidades.

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• Nacimiento del Analisis Estocastico

• Las teorıas no conmutativas (Probabilidades Cuanticas).

• La Teorıa de Capacidades.

• El desarrollo de la Teorıa de Procesos Estocasticos (Escuela deStrasbourg).

• Nacimiento del Analisis Estocastico

• Las teorıas no conmutativas (Probabilidades Cuanticas).

• Los sistemas cuanticos abiertos. Semigrupos Markovianos Cuanticos.

La multiple determinacion de los fenomenos naturales

La multiple determinacion de los fenomenos naturales

El uso mas familiar del termino azar se refiere a la ocurrencia de un sucesoinesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobrelas condiciones determinantes de su ocurrencia.

La multiple determinacion de los fenomenos naturales

El uso mas familiar del termino azar se refiere a la ocurrencia de un sucesoinesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobrelas condiciones determinantes de su ocurrencia.

De manera un poco mas flexible, se puede tambien aplicar la denominaciona un hecho que aparece en la interseccion de dos cadenas causalesindependientes.

La multiple determinacion de los fenomenos naturales

El uso mas familiar del termino azar se refiere a la ocurrencia de un sucesoinesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobrelas condiciones determinantes de su ocurrencia.

De manera un poco mas flexible, se puede tambien aplicar la denominaciona un hecho que aparece en la interseccion de dos cadenas causalesindependientes.

Ası, podemos relativizar el concepto: un suceso es un hecho de azar ocontingente relativamente a un contexto dado de investigacion, si elenunciado que afirma su aparicion no deriva de ningun otro.

La multiple determinacion de los fenomenos naturales

El uso mas familiar del termino azar se refiere a la ocurrencia de un sucesoinesperado, es decir, sin plan deliberado o si hay ignorancia absoluta sobrelas condiciones determinantes de su ocurrencia.

De manera un poco mas flexible, se puede tambien aplicar la denominaciona un hecho que aparece en la interseccion de dos cadenas causalesindependientes.

Ası, podemos relativizar el concepto: un suceso es un hecho de azar ocontingente relativamente a un contexto dado de investigacion, si elenunciado que afirma su aparicion no deriva de ningun otro.

Todas estas acepciones ya estaban presentes a principios del siglo XXcuando Poincare expresaba en Ciencia y Metodo la idea de una causalidad

probabilitaria. Segun el, la nocion de azar no es tanto debida a nuestraignorancia, sino que mas bien a una falta de apoyo empırico o experimentalque permita abarcar una multiplicidad de causas y efectos posibles.

probabilitaria. Segun el, la nocion de azar no es tanto debida a nuestraignorancia, sino que mas bien a una falta de apoyo empırico o experimentalque permita abarcar una multiplicidad de causas y efectos posibles.

Es decir, los fenomenos naturales gozan de una determinacion multiple queextiende la relacion causa-efecto expresada, por ejemplo, en la MecanicaNewtoniana.

Interdependencia e interaccion

Pero ademas, de la propia unidad de la Naturaleza, se desprende que cadaparte depende del todo y las partes interactuan entre sı. Lainterdependencia y la conexion universal dan su base natural al azar.

Interdependencia e interaccion

Pero ademas, de la propia unidad de la Naturaleza, se desprende que cadaparte depende del todo y las partes interactuan entre sı. Lainterdependencia y la conexion universal dan su base natural al azar.

Este aparece entonces como una construccion cultural continua queevoluciona junto con el conocimiento que el hombre desarrolla de laNaturaleza, y en relacion con ella. En esta construccion, las Matematicas yel conjunto de las ciencias juegan un rol preponderante. El azar expresa lainterdependencia y la interaccion de los fenomenos naturales entre sı ycomo tal involucra los objetos de estudio de las diferentes ciencias.

Las leyes del azar

Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes:

Las leyes del azar

Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes:

1. La Ley de los Grandes Numeros

• Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un lımite (laprobabilidad de un determinado suceso).

• Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matematica.• Lımite hidrodinamico.• Lımite ergodico.

Las leyes del azar

Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes:

1. La Ley de los Grandes Numeros

• Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un lımite (laprobabilidad de un determinado suceso).

• Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matematica.• Lımite hidrodinamico.• Lımite ergodico.

2. Las leyes sobre las fluctuaciones

Las leyes del azar

Hasta ahora la humanidad ha descubierto las siguientes:

1. La Ley de los Grandes Numeros

• Convergencia de sucesiones de frecuencias hacia un lımite (laprobabilidad de un determinado suceso).

• Convergencia de promedios hacia la media o esperanza matematica.• Lımite hidrodinamico.• Lımite ergodico.

2. Las leyes sobre las fluctuaciones

(a) Comportamiento de las pequenas fluctuaciones (Teorema del LımiteCentral).

• De Moivre-Laplace.• Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal.• Convergencia hacia el Movimiento Browniano.• Convergencia hacia la ley del semicırculo (ley de Wigner)

• De Moivre-Laplace.• Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal.• Convergencia hacia el Movimiento Browniano.• Convergencia hacia la ley del semicırculo (ley de Wigner)

(b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los GrandesDesvıos).• Chernof.• Informacion (Entropıa).

• De Moivre-Laplace.• Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal.• Convergencia hacia el Movimiento Browniano.• Convergencia hacia la ley del semicırculo (ley de Wigner)

(b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los GrandesDesvıos).• Chernof.• Informacion (Entropıa).

3. Ley del aumento de la complejidad en el curso de una evolucion

• Entropıa. Convergencia hacia el equilibrio.• Propagacion del caos (Boltzmann y los modelos cineticos).

• De Moivre-Laplace.• Convergencia de fluctuaciones hacia la ley normal.• Convergencia hacia el Movimiento Browniano.• Convergencia hacia la ley del semicırculo (ley de Wigner)

(b) Comportamiento de las grandes fluctuaciones (Teorema de los GrandesDesvıos).• Chernof.• Informacion (Entropıa).

3. Ley del aumento de la complejidad en el curso de una evolucion

• Entropıa. Convergencia hacia el equilibrio.• Propagacion del caos (Boltzmann y los modelos cineticos).

4. El Principio de Incertidumbre.

El papel de las probabilidades

¿Tiene vigencia el debate filosofico entre las escuelas frecuentistas ysubjetivistas hoy en dıa?

El papel de las probabilidades

¿Tiene vigencia el debate filosofico entre las escuelas frecuentistas ysubjetivistas hoy en dıa?

Si la Teorıa de Probabilidades se interpreta como la modelacionmatematica del azar, ella esta en evolucion constante y toda nueva versiondebe dar cuenta del conocimiento acumulado por la humanidad sobre losfenomenos del azar en su epoca.

La nocion de probabilidad esta subordinada a una determinadaaproximacion a los fenomenos del azar.

El papel de las probabilidades

¿Tiene vigencia el debate filosofico entre las escuelas frecuentistas ysubjetivistas hoy en dıa?

Si la Teorıa de Probabilidades se interpreta como la modelacionmatematica del azar, ella esta en evolucion constante y toda nueva versiondebe dar cuenta del conocimiento acumulado por la humanidad sobre losfenomenos del azar en su epoca.

La nocion de probabilidad esta subordinada a una determinadaaproximacion a los fenomenos del azar.

Durante el siglo XX se comenzo por elaborar una primera teorıa basada enel concepto matematico de medida. La contribucion fundacional deKolmogorov a este respecto permitio dar expresion matematica al menos a

las tres primeras leyes del azar en diferentes contextos. Pero esta teorıa serevelo insuficiente para dar cuenta del principio de incertidumbre y trataradecuadamente la Fısica Cuantica. En la actualidad existen diversasextensiones no conmutativas del modelo de Kolmogorov que permiten darcuenta de la totalidad de las leyes del azar discutidas anteriormente.

Modelos algebraicos de probabilidades

Sea A un algebra (espacio vectorial sobre el cuerpo de los numeroscomplejos, dotado de un producto) provista de una operacion involutiva ∗

y una unidad 1.

Un estado ϕ sobre A es una aplicacion lineal ϕ : A → C tal queϕ(a∗a) ≥ 0 para todo a ∈ A y ϕ(1) = 1.

El par (A, ϕ) constituye un espacio de probabilidad algebraico que incluyea la vez las estructuras basicas de la teorıa clasica de probabilidades y de laMecanica Cuantica, como se ve en los ejemplos elementales que siguen.

Modelos algebraicos de probabilidades

Sea A un algebra (espacio vectorial sobre el cuerpo de los numeroscomplejos, dotado de un producto) provista de una operacion involutiva ∗

y una unidad 1.

Un estado ϕ sobre A es una aplicacion lineal ϕ : A → C tal queϕ(a∗a) ≥ 0 para todo a ∈ A y ϕ(1) = 1.

El par (A, ϕ) constituye un espacio de probabilidad algebraico que incluyea la vez las estructuras basicas de la teorıa clasica de probabilidades y de laMecanica Cuantica, como se ve en los ejemplos elementales que siguen.

1. Considerese un espacio de probabilidad clasico (Ω,F ,P). El algebraA apropiada es en este caso la de las funciones con valores complejos,

medibles, esencialmente acotadas. La operacion ∗ corresponde a laconjugacion y

ϕ(X) =∫

Ω

XdP,

para todo elemento X ∈ A.

medibles, esencialmente acotadas. La operacion ∗ corresponde a laconjugacion y

ϕ(X) =∫

Ω

XdP,

para todo elemento X ∈ A.

2. Dado un espacio de Hilbert h, consideramos el algebra A de todos losoperadores lineales acotados, la operacion ∗ corresponde a la adjunciony dado un operador ρ que tenga traza unitaria

ϕ(A) = tr(ρA),

para todo A ∈ A, donde tr(·) representa la traza de operadores.Un casoparticular corresponde a un operador ρ que sea la proyeccion |ψ〉〈ψ| sobreel espacio generado por un vector unitario ψ ∈ h (funcion de onda).

En este contexto se puede analizar la evolucion de sistemas dinamicoscuanticos que incluyen los llamados sistemas abiertos.

Del debate filosofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelacion con el observador.

Del debate filosofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelacion con el observador.

? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes basicos estanen nuestras celulas.

Del debate filosofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelacion con el observador.

? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes basicos estanen nuestras celulas.

? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentraun determinado valor” en vez de “el observable esta en el estado talen un determinado instante”.

Del debate filosofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelacion con el observador.

? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes basicos estanen nuestras celulas.

? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentraun determinado valor” en vez de “el observable esta en el estado talen un determinado instante”.

? La causalidad es una forma primaria de interrelacion: establece, porejemplo, una relacion entre lo que hemos denominado fuerza y lo quellamamos aceleracion. Las leyes del azar extienden la causalidad alconsiderar relaciones de interdependencia multiples.

Del debate filosofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelacion con el observador.

? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes basicos estanen nuestras celulas.

? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentraun determinado valor” en vez de “el observable esta en el estado talen un determinado instante”.

? La causalidad es una forma primaria de interrelacion: establece, porejemplo, una relacion entre lo que hemos denominado fuerza y lo quellamamos aceleracion. Las leyes del azar extienden la causalidad alconsiderar relaciones de interdependencia multiples.

• Los lımites de validez de los diferentes modelos matematicos del azar.

Del debate filosofico

• La realidad de los objetos observados y su interrelacion con el observador.

? Somos polvo de las estrellas. Los mismos constituyentes basicos estanen nuestras celulas.

? “Si se mide un observable en un determinado momento se encuentraun determinado valor” en vez de “el observable esta en el estado talen un determinado instante”.

? La causalidad es una forma primaria de interrelacion: establece, porejemplo, una relacion entre lo que hemos denominado fuerza y lo quellamamos aceleracion. Las leyes del azar extienden la causalidad alconsiderar relaciones de interdependencia multiples.

• Los lımites de validez de los diferentes modelos matematicos del azar.

? ¿Es posible disenar un procedimiento de seleccion para el uso de unadeterminada teorıa de probabilidades?

• De la relacion entre diferentes ciencias a la luz de los fenomenos del azar.

El progreso de las diferentes ciencias aumenta nuestro conocimiento delas leyes del azar y determina nuevas relaciones entre ellas. Se abrennuevos campos para la investigacion multidisciplinaria.