Ekuazioak2013/04/07  · Ekuazioak, berdintza aljebraikoaren bidez, oraingoz ezagutzen ez dugun...

16
96 Unitatearen aurkezpena Unitate honen helburua ekuazioak lantzea, aztertzea, ebaztea eta horien erabilerak zehaztea da. Aurreko ikasturtean dagoeneko lehenengo mailako ekuazioak ikusi bagenituen ere, aurreko unitatean bezala, esperientziak erakutsi digu komeni dela berriro ere hasieratik lantzea. Ekuazioak ebazteko beharrezkoak diren oinarrizko mekanismoak menderatu direnean, oinarrizkoa izango da mekanismo horiek behin eta berriro praktikara eramanez finkatzea. Ez da komeni izendatzaileak dituzten ekuazioak lantzea, izendatzai- lerik ez dutenen ebazpena trebe eta seguru egiten jakin arte. Problemak ekuazioen bidez ebaztea ez da lan erraz izaten maila honetako ikasleentzat. Hori dela eta, komeni da hasieran oso pro- blema errazak erabiltzea. Unitate honetako edukiak atal hauen arabera mailakatuta daude: – Ekuazioei dagozkien elementuak eta nomenklatura: Gaiak, atalak, maila, ezezagunak eta soluzioak. Ekuazio motak: lehen mailakoa eta bigarren mailakoa. – Lehen mailako ekuazioak: Lehen mailako ekuazioen ebazpena. Gaiak atalez aldatzeko oinarrizko teknikak. Izendatzaileak kentzea. Lehen mailako ekuazioak ebazteko prozesu orokorra. – Ekuazioak problemak ebazteko erabiltzea: Problema tipoen ebazpena. Beste problema batzuk. – Bigarren mailako ekuazioak: Forma orokorra. Bigarren mailako ekuazio osatugabeen ebazpena. Bigarren mailako ekuazioetarako formula orokorra. Gutxieneko ezagutzak Ekuazioa eta horren elementuak zein diren jakitea. Balio jakin bat ekuazio baten soluzioa den jakitea. Ekuazio baliokideen kontzeptua. Gaiak ekuazioaren atal batetik bestera igarotzeko oinarrizko pro- zedurak. Izendatzailerik eta parentesirik ez duten lehen mailako ekuazioak ebaztea. Unitatearen eskema EKUAZIOAK 7 Ekuazioak 96 ELEMENTUAK • Atalak • Gaiak • Ezezagunak • Maila SOLUZIOAK • Soluzio gabeko ekuazioak • Infinitu soluzio dituzten ekuazioak PROBLEMAK EBAZTEKO EKUAZIOAK ERABILI KONTZEPTUA ETA ERABILERA METODO EZ KONBENTZIONALEN BIDEZ EBATZI LEHEN MAILAKO EKUAZIOAK GAIAK IRAULI IZENDATZAILEAK KENDU EBAZPENERAKO PROZEDURA OROKORRA BIGARREN MAILAKO EKUAZIOAK EKUAZIO OSATUGABEAK ax 2 + c = 0 ax 2 + bx = 0 EKUAZIO OSATUAK ax 2 + bx + c = 0 • Formula

Transcript of Ekuazioak2013/04/07  · Ekuazioak, berdintza aljebraikoaren bidez, oraingoz ezagutzen ez dugun...

  • 96

    Unitatearen aurkezpena

    Unitate honen helburua ekuazioak lantzea, aztertzea, ebaztea eta horien erabilerak zehaztea da.

    Aurreko ikasturtean dagoeneko lehenengo mailako ekuazioak ikusi bagenituen ere, aurreko unitatean bezala, esperientziak erakutsi digu komeni dela berriro ere hasieratik lantzea.

    Ekuazioak ebazteko beharrezkoak diren oinarrizko mekanismoak menderatu direnean, oinarrizkoa izango da mekanismo horiek behin eta berriro praktikara eramanez finkatzea.

    Ez da komeni izendatzaileak dituzten ekuazioak lantzea, izendatzai-lerik ez dutenen ebazpena trebe eta seguru egiten jakin arte.

    Problemak ekuazioen bidez ebaztea ez da lan erraz izaten maila honetako ikasleentzat. Hori dela eta, komeni da hasieran oso pro-blema errazak erabiltzea.

    Unitate honetako edukiak atal hauen arabera mailakatuta daude:

    – Ekuazioei dagozkien elementuak eta nomenklatura:

    •Gaiak, atalak, maila, ezezagunak eta soluzioak.

    • Ekuazio motak: lehen mailakoa eta bigarren mailakoa.

    – Lehen mailako ekuazioak:

    • Lehen mailako ekuazioen ebazpena.

    • Gaiak atalez aldatzeko oinarrizko teknikak.

    • Izendatzaileak kentzea.

    • Lehen mailako ekuazioak ebazteko prozesu orokorra.

    – Ekuazioak problemak ebazteko erabiltzea:

    • Problema tipoen ebazpena. Beste problema batzuk.

    – Bigarren mailako ekuazioak:

    • Forma orokorra.

    • Bigarren mailako ekuazio osatugabeen ebazpena.

    • Bigarren mailako ekuazioetarako formula orokorra.

    Gutxieneko ezagutzak

    •Ekuazioa eta horren elementuak zein diren jakitea.

    • Balio jakin bat ekuazio baten soluzioa den jakitea.

    •Ekuazio baliokideen kontzeptua.

    • Gaiak ekuazioaren atal batetik bestera igarotzeko oinarrizko pro-zedurak.

    • Izendatzailerik eta parentesirik ez duten lehen mailako ekuazioak ebaztea.

    Unitatearen eskema

    EKUAZIOAK

    7 Ekuazioak

    96

    ELEMENTUAK

    •Atalak

    •Gaiak

    •Ezezagunak

    •Maila

    SOLUZIOAK

    •Soluziogabekoekuazioak

    •Infinitusoluziodituztenekuazioak

    PROBLEMAK EBAZTEKO EKUAZIOAK ERABILI

    KONTZEPTUA ETA ERABILERA

    METODO EZ KONBENTZIONALEN BIDEZ EBATZI

    LEHEN MAILAKO EKUAZIOAK

    GAIAK IRAULI

    IZENDATZAILEAK KENDU

    EBAZPENERAKO PROZEDURA OROKORRA

    BIGARREN MAILAKO EKUAZIOAK

    EKUAZIO OSATUGABEAK

    •ax2 + c = 0

    •ax2 + bx = 0

    EKUAZIO OSATUAK

    •ax2 + bx + c = 0

    •Formula

  • 97

    •ax 2 = c motako ekuazioak ebaztea.

    •Problema tipo erraz batzuk ebazteko erabilitako prozesua uler-tzea eta antzeko beste batzuk ebaztea.

    Osagarri garrantzitsuak

    •Ekuazioetan izendatzaileak kentzeko prozedurak.

    •Lehen mailako edozein ekuazio mota ebaztea.

    •Problema errazak ekuazioen laguntzaz ebaztea.

    •Bigarren mailako edozein ekuazio osatugaberen ebazpen arra-zoitua.

    Harago joan daitezkeen ikasleentzat, honako hauek proposatzen dira:

    •Bigarren mailako ekuazioak forma orokorrean ebazteko formula zein den jakitea eta erabiltzea.

    •Bigarren mailako ekuazioak problemak ebazteko erabiltzea.

    Lanak aurreratu

    •Enuntziatuak hizkuntza aljebraikora itzultzea.

    •Adierazpen aljebraikoak interpretatzea eta enuntziatuekin lotzea.

    •Formulak interpretatzea eta erabiltzea.

    •Adierazpen polinomikoek ezezagunaren balio jakin batzuetarako zenbakizko zer balio hartzen duten kalkulatzea.

    •Adierazpen aljebraikoekin eragiketak egitea.

    Curriculuma egokitu

    «Fotokopiatzeko baliabideak» atalean, ikaslearen liburuko 7. unita-te honen curriculum egokitua ageri da. Horretarako, hemen propo-satzen diren gutxieneko ezagutzak hartu ditugu kontuan.

    Hasierako irakurgaiak, batetik, ulertuz irakurtzeko gaitasuna indar-tzeko balio du; eta, bestetik, matematikaren ikasketa justifikatzen duten bi alderdiak lantzeko: praktikoa eta intelektuala.

    Edukiak eskatu beharreko gutxienetara egokituta badaude, edo ez dute aldaketarik izan, edo apur bat moldatu dira ikasleek duten maila kontuan hartuz. Gauza bera esan dezakegu proposatzen di-ren ariketa praktikoei buruz.

    Edukiren bat eskatu beharreko gutxienetatik kanpo badago, edo kendu egin da, edo eskatzen den mailara egokitu da.

    Azkenik, unitatearen amaieran ageri diren ariketa eta problemei dagokienez, gutxiago jarri dira eta moldatu edo erraztu egin dira, eskatu beharrekora egokitzeko. Gauza bera egin da autoebalua-zioarekin.

    LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA DIZIPLINARTEKOTASUNA

    135. or. P.D.-n iradokitako ariketa 138. eta 139. or. Tartekiak 137. or. 1.(*) ariketa 134. or. P.D.-n iradokitako ariketa

    139. or. 1.(*) ariketa 140. eta 141. or. Adibideak 138. or. 1.(*) ariketa 146. eta 147. or. Problema eba-tziak(*)

    140. eta 141. or. P.D.-n iradokitako ariketa 142. or. Tartekia(*) 150. or. 5.(*) ariketa

    142. eta 143. or. Ariketa guztiak 144., 145., 146. eta 147. or. Problema ebatziak

    154. or. 47. ariketa eta P.D.-n iradokitako ariketa

    144. eta 145. or. P.D.-n iradokitako ariketa 153. or. 27.(*) ariketa

    146. eta 147. or. P.D.-n iradokitako ariketa 154. or. 45.(*) ariketa

    IKTak EKIMENA PROBLEMAK EBATZI

    134. or. P.D.-n iradokitako ariketa(*) 137. or. 3.(*) ariketa I.L.-n proposatutako problema guztiak. Hemen aipagarriak diren batzuk adierazi-ko ditugu.

    156. or. «Irakurri eta jo informazio bila»(*) ariketa 155. or. 51.(*) ariketa 152., 153. eta 154. or. 13. ariketatik 45.era

    156. or. «Gauza zara»(*) ariketa 155. or. «Ikasi problemak ebazten»(*) eta «+ problema»(*) ariketak

    157. or. «Trebatu problemak ebatziz»(*) ariketa

    Ondorengo taula honetan, lankidetzan ikastea, pentsamendu ulerkorra, pentsamendu kritikoa, diziplinartekotasuna, eki-mena eta problemen ebazpena lantzeko eta horri guztiari arreta jartzeko ariketak bilduta ageri dira. Batzuk ikaslearen li-buruan (I.L.) proposatuta daude, eta, hemen, zer orrialdetan dauden eta zer ariketa diren adierazi da. Beste batzuk, argi zehazten den moduan, Proposamen Didaktikoan (P.D.) iradokita daude.

    Iradokizun hauetako batzuk ikur batekin markatuta daude ikaslearen liburuan; hemen, (*) ikurra erabiliz nabarmendu ditugu.

  • 98

    7 Ekuazioak Enuntziatu eta adierazpen aljebraikoakErreparatu enuntziatu bakoitzari eta horren hizkuntza grafiko eta sinbolikorako itzulpenari. Gero, ebatzi honako problema hauek:Batzuentzat, Diofanto «aljebraren aita» da, aljebraren terminologia hobe-tzeko haren ekarri nabarmenen ondorioz.

    al-jwarizmi (ix. mendea)

    Arabiar kulturako matematikaria. Jakinduriaren etxea. Bagdad.

    diofanto (iii. mendea)

    Alexandriako eskolako greziar matematikaria.

    Diofantok prozesu matematikoak adierazteko sinboloak erabiltzeko lehenengo pausoak eman zituen (aljebra sin-bolikoa) eta bertan behera utzi zuen hizkuntza arrunta (alje-bra erretorikoa). Diofantoren lana arabierara itzuli zen x. men-dean, eta latinera, xvi.ean, eta eragin handia izan zuen hainbat alditako matematikariengan.

    Hala ere, autorerik gehienek aljebraren aitatasuna Al-Jwarizmiri aitortzen diote, nahiz eta autore horrekin sinbologia aljebraikoak atzerapauso handia eman zuen, erre-torikara itzuli baitzen. Al-Jwarizmiren maila, gainera, Diofan-torena baino askoz apalagoa da.

    Hala ere, Al-Jwarizmik, Al-jabr (aljebra) liburuan, zuzenean erakusten du nola ebazten diren ekuazioak arrazoibide logiko, argi eta sistematikoaren bidez; haren denboran jarraitua eta ikasia eta geroagoko aldietan zabaldua izatea eragin zuen horrek.

    Upela fardela baino 15 kilo astu-nagoa da.

    Fardelak eta upelak 135 kiloko pisua egiten dute.

    Upelaren ordez fardela eta 15 kilo jarriz, honako hau ateratzen da: bi fardel gehi 15 kilo 135 kilo dira.

    Plater bakoitzetik 15 kilo kenduz gero, bi fardelek 120 kiloko pisua dutela aterako dugu.

    Fardel batek, beraz, 60 kilo ditu.

    Eta upelak 75 kilo.

    1 Bertak kamiseta eta buruzapia erosi ditu berrogeita hamar euroan. Kamisetak buruzapiak baino hamalau euro gehiago balio ditu. Zenbat balio du gauza bakoitzak?

    2 Gure oilategian, oiloak eta ahateak 155 dira. Oiloak ahateak baino 23 gehiago dira. Zenbat ahate eta zenbat oilo dira?

    x + (x + 15) = 135

    x = 60

    x + 15 = 60 + 15 = 75 kg

    2x + 15 = 135

    –15 –15

    2x = 120

    : 2 : 2

    x + 15

    2x

    2x

    135 kg

    135 kg

    120 kg

    60 kg

    15

    x

    x

    x x + 15

    x + 14

    + =

    x

    x

    + =

    x + 23 155

    Unitatearen hasiera• Irakurgaian, aljebraren bilakaerari buruzko zenbait datu historiko ematen di-

    ra. Horrez gain, matematika arloko jakintzaren eraikuntzaren inguruan ikas-leen jakin-mina pizteko balio dezake, baita matematikaren historiaren espa-rruarekin lotuta dagoen informazioa ikertzeko eta bilatzeko ere.

    •Bateratze-lana egitean, aurreko unitatean dagoeneko ikusi eta landu di-tugun «aljebra erretorikoa» eta «aljebra sinbolikoa» kontzeptuak berriro ikusi eta argituko ditugu.

    •Bigarren orrialdean, problema baten eta horren ekuazioaren ebazpena ageri da, eta prozesuaren ahozko deskribapena (erretorikoa), aljebraikoa eta grafikoa konparatzen dira. Prozesu horrek eta ondorengo galderek helburu argia dute: ikasleek aldez aurretik dituzten zenbait ezagutza hautematea eta unitatean landuko diren unitateak zein diren iragartzea.

    Ikasleek zer dakiten argitzeko galderak•Adierazpen aljebraikoekin eragiketak egitea.

    • Enuntziatuak hizkuntza aljebraikoan kodetzea.

    •Adierazpen aljebraikoak interpretatzea.

    • Letrek balio jakin batzuk hartzen dituztenean, adierazpen aljebraikoek zenbakizko zer balio duten lortzea.

    •Berdintza aljebrako bat egia zer baliok egiten duten haztamuz jota lor-tzea eta egiaztatzea.

    IKTak Talde txikietan banatuta, irakurgaian ageri diren izenetako batzuei eta ho-rien garaiari buruzko informazioa bilatzea Interneten. Beste horrenbeste egitea x-ren eta ekuazioen historiari buruz.

    Gero, bateratze-lana egitea.

    Diziplinartekotasuna Ariketa hau egitea iradokitzen da:

    Orrialde honetan jakintza matematikoaren garapenari buruz ageri den in-formazioa sakontzea, eta une historiko bakoitzean kultura, gizarte, ekono-mia,... arloetan gertatu izan diren lorpenekin lotzea.

    Lankidetzan ikasi Orrialde honetan, eta eragiketen trebetasuna lantzea helburu duten orrial-de guztien kasuan, irakasleak egoki baderitzo, ikasleek talde txikietan lan egin dezakete. Talde bakoitzean, soluzioak bakarka bilatuko dituzte. Gero, bateratze-lana egin eta besteek emandako soluzioekin konparatuko dituz-te, lortutakoa justifikatuko dute, desadostasunak eztabaidatuko dituzte eta, azkenik, ondorio komunetara helduko dira.

    Ariketen soluzioak

    1 Buruzapiak 18 € balio du, eta kamisetak, 32 €.

    2 66 ahate eta 89 oilo daude.

    OHARRAK

  • 99

    Iradokizunak• Ekuazioaren kontzeptua eta ebazpenaren esanahia berrikusten dira.

    Horrez gain, ekuazioen kasu bereziei arreta jarriko diegu: soluzio gabeko ekuazioei eta infinitu soluzio dituztenei.

    •Bestalde, ekuazioak ebazteko teknikak zuzenean azaltzen hasi baino lehen, gero edozelan ezarri eta erabiltzeko, ikasleei ekuazio errazak haz-tamuka joz ebazteko proposatuko diegu. Helburua da ikasleek gogoeta egin dezatela prozesu horren esanahiari buruz, ekuazioak ebazteko pro-zesuak automatizatu baino lehen. Izan ere, automatizazioa behar baino bizkorrago egiten bada, zailagoa izango da kontzeptuak behar bezala barneratzea.

    • Komeni da ikasleei azaltzea zailtasun jakin batetik aurrerako ekuazioak ebazteko teknika algoritmikoak beharko ditugula. Dena dela, argi utziko diegu, intuizioa erabiliz eta haztamuka joz erraz ebatz daitezkeen ekua-zioen kasuetan, ez dugula algoritmoa erabiliko.

    •Orrialde honetan, garrantzitsuena ekuazioak ebazteko gaitasuna piztu eta martxan jartzea izango da; hau da, zenbakizko zenbait soluzio aurki-tzea eta, ezezagunaren lekuan jarrita, berdintzak betearaztea.

    Indartzeko eta SakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

    •MATEMATIKAKO ARIKETAK 3. koadernotik:

    Indartzeko: 21. orrialdeko 5. ariketa, a), b), c), d), e) eta f) atalak.

    Sakontzeko: 21. orrialdeko 5. ariketa, g), h), i), j), k) eta l) atalak.

    Pentsamendu kritikoa 1. ariketarako, honako hau proposatzen da:

    Ahoz edo idatziz egindako loturak justifikatzea.

    «Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

    1 a) x x3 4

    = + 20 b) x + x3

    = 20

    c) 2x + 2(x + 3) = 30 d) 3x + 2x = 30

    e) 15x = 5(x + 1) f) 15(x – 1) = 5x

    2 a) x = 7 b) x = 7

    c) x = 7 d) x = 7

    3 a) x = 5 b) x = 3

    c) x = 7 d) x = 5

    e) x = 27 f) x = 12

    g) x = 5 h) x = 2

    i ) x = 6 j ) x = 4

    k) x = 5; x = –5 l ) x = 8

    4 a) x = 1; x = –3 b) x = 2; x = 3

    c) x = 8; x = 4 d) x = 0; x = 1

    137136

    Ekuazioak, berdintza aljebraikoaren bidez, oraingoz ezagutzen ez dugun balioa duten kantitateen arteko erlazioa adierazten du.Kantitate horiek letren bidez adierazten dira.

    Adibideak•Kortan, adarrak eta hankak zenbatu eta 42 daudela aurkitu dut:

    888

    xxx

    24

    BehiakAdarrakHankak

    _

    `

    a

    bb

    b → Ekuazioa → 2x + 4x = 42

    •Daniel Rakel 26 urtekoa zela jaio zen eta, gaur egun, Rakel hiru bider zaharra-goa da:

    88

    xx 26

    Ra elen adina–

    kDanielen adina

    3 → Ekuazioa → x = 3 · (x – 26)

    •Erakusleihoko kristala metro bat gehiago da luzeran zabaleran baino, eta 3,75 m2-ko azalera du:

    88

    xx 1

    ZabaleraLuzera +

    3 → Ekuazioa → x · (x + 1) = 3,75

    •Zenbaki bat bi halako zenbakiaren herena gehi hogeita hamar unitate da:

    88

    8

    xx

    x2

    3

    ZenbakiaBi halakoZenbakiaren herena

    _

    `

    a

    bb

    bb

    → Ekuazioa → 2x = x3 + 30

    Ekuazioen bidez, erlazioak hizkuntza aljebraikoan kodetzen dira eta, hortik aurrera, era matematikoan erabil daitezke. Hori, geroago egiaztatuko duzunez, problemak ebazteko guztiz indar handiko tresna da.Baina, horren aurretik, ekuazioak ebazten ikasi behar duzu.

    Ekuazioa ebaztea zen den

    Ekuazioa ebaztea letrek hartu behar duten balioa edo balioak aurkitzea da, berdintza egiazkoa izan dadin.

    Adibidea

    Azken adibideko ekuazioan, 2x = x3 + 30, berdintza x = 18 baliorako bakarrik betetzen da.

    x x

    x

    2 3 30

    18

    = +

    =4 2 · 18 = 3

    18 + 30 36 36

    Orduan, ekuazioaren soluzioa x = 18 dela esango dugu.

    1 Ekuazioak: esanahia eta erabilgarritasuna

    2 · x x/3

    x x = + 30

    2 · 18 18/3

    18 18 = + 306

    Infinitu soluzioko eta soluziorik gabeko ekuazioak•0 · x = 0 ekuazioan, x-k balio bat zein beste hartu, berdintza betetzen da.

    0 · x = 0 → Infinitu soluzio ditu•0 · x = k ekuazioan, k ≠ 0 izanik, ez dago berdintza betetzen duen x-ren

    baliorik.0 · x = k → Ez du soluziorik

    «Dakizuna erabiliz», ebatzi ekuazioak Berariazko teknikarik ikasi baino lehen, hartu kontuan, dakizunarekin arrazoituz edo haztamuz, ekuazio asko ebatzi ahal izango dituzula.

    Adibideak•5x – 20 = 0 → Pentsatu lehenengo: Zer zenbakiri kendu behar zaio 20,

    emaitza 0 izan dadin? Eta, gero: Zenbat balio behar du x-k?

    • x4 35+ = 3 → Pentsatu lehenengo: 5ekin zatitutako zer zenbakik ematen

    du 3? Zenbat balio du 4x + 3k? Eta, gero: Zenbat balio behar du 4x-k? Zenbat balio behar

    du x-k?

    x behi

    2x

    4x

    1. Zer enuntziatu elkartzen diozu ekuazio bakoitzari?a) Zenbaki baten herena, berdin zenbaki horren laur-

    dena gehi 20 unitate. (Zenbakia → x)b) Anderren adina arrebarena hiru halako da eta bien

    adinen batura 20 urte da. (Anderrek → x urte)c) Laukizuzen bat 3 metro handiago da luzeran zaba-

    leran baino, eta 30 metroko perimetroa du. (Zaba-lera → x metro)

    d) 30 € ordaindu ditut marrazteko 3 koaderno eta kaxa bat akuarela. Kaxaren prezioa koaderno bate-na bi halako zen. (Koadernoa → x euro)

    e) Txirrindulari batek A-tik B-rako distantzia 15 km/h -ko abiaduran zeharkatu du eta oinezko batek, 5 km/h-koan, ordu bat gehiago behar izan du. (Txirrindulariak → x ordu)

    f ) Kilkerraren jauzi bakoitza matxinsaltoarena baino metro bat laburragoa da. Baina kilkerra, 15 jauzi-tan, matxinsaltoa 5 jauzitan bezain urrun iristen da. (Matxinsaltoa → x metro)

    x + x3 = 20 2x + 2(x + 3) = 30

    15(x – 1) = 5x

    x x3 4

    = + 20

    3x + 2x = 30

    15x = 5(x + 1)

    2.Ebatzi ageri diren ordenan.

    a) 3x = 21 b) 3x – 1 = 20

    c) x53 1– = 4 d) x5

    3 1– = 2

    3. Dakizuna erabiliz, ebatzi.

    a) 7x = 35 b) 4x – 12 = 0

    c) x + 3 = 10 d) 2x – 4 = 6

    e) x3 = 9 f ) x

    22– = 5

    g) x 31+ = 2 h) x2

    3 4– = 1

    i ) x 17+ = 1 j ) x2 3

    10– = 2

    k) x 2 + 1 = 26 l ) x3 1+ = 5

    4.Aurkitu soluzioren bat haztamuz.

    a) x 2 + 2x + 1 = 4 b) x 2 – 5x + 6 = 0

    c) x x48+ = 3 d) x 3 – x = 0

    Pentsatu eta egin

    OHARRAK

  • 100

    139138

    2 Ekuazioak: elementuak eta nomenklatura•Ekuazioaren atalak: berdintzaren ikurraren bi aldeetan ageri diren adierazpe-

    netako bakoitza dira.•Gaiak: atalak osatzen dituzten batugaiak dira.

    lehenengo atala bigarren atala

    3x + 1 = 9 – x

    gaiak

    •Ezezagunak: ekuazioan ageri diren letrak dira.Adibideak

    3x + 1 = 9 – x → Ezezagun bateko, x, ekuazioa.5x + 3y = y + 2 → Bi ezezaguneko, x eta y, ekuazioa.

    •Soluzioak: berdintza bete dadin, letrek hartu beharko dituzten balioak dira.Adibidea

    3x + 1 = 9 – x delakodelakox

    x21

    soluzioa da, 3 · 2 1 9 – 2 .ez da soluzioa, 3 · 1 1 ≠ 0 – 1 .

    = + == +

    *

    •Ekuazioaren maila: atalak osatzen dituzten monomioen mailarik handiena da, ekuazioa laburtu eta gero.Adibideak

    3x + 1 = 9 – x → Lehen mailako ekuazioa.x 2 – 3x + 1 = 2x – 5 → Bigarren mailako ekuazioa.

    •Ekuazio baliokideak: bi ekuazio baliokideak dira ezezagun berak eta soluzio berak baldin badituzte.Adibidea

    x xx

    3 1 94 8

    –+ ==

    3 Baliokideak dira. Biek dute x = 2 soluzioa.

    1. Egia ala gezurra?

    a) x 2 + 6x – x 2 = 7x – 1 ekuazioa bigarren mailakoa da.

    b) 2x + x · y = 6 ekuazioa bigarren mailakoa da.

    c) Ekuazioaren gaiak atalak osatzen dituzten batu-gaiak dira.

    d) Ekuazioak bi atal baino gehiago izan ditzake.

    e) Lehen mailako ekuazio guztiak baliokideak dira.

    f ) x + 1 = 5 ekuazioa eta x + 2 = 6 ekuazioa balioki-deak dira.

    2.Kopiatu koadernoan eta elkartu ekuazio bakoitza dagokion soluzioarekin:4x + 4 = 54x – 3 = x + 3x 2 – 3 = 2x3x = x + 1

    3

    2–1

    21

    14

    3.Taldekatu ekuazio baliokideak.a) 4x = 20 b) 3x – 1 = 8c) 5x – 4 = x d) 3x = 9e) 4x – 5 = 15 f ) 4x – 4 = 0

    Pentsatu eta egin

    3 Gaiak iraultzeaGaiak iraultzea oinarrizko teknika da; teknika horren bidez, ekuazioak balio bereko ekuazio sinpleago bihurtzen dira, atal bateko gaiak berdintzako bestera eramanez.

    Gaiak iraultzea honako printzipio honetan oinarritzen da:

    Ekuazioaren bi ataletan zenbaki bera batuz, kenduz, biderkatuz edo zatituz gero, beste ekuazio baliokide bat lortzen da.

    ■ lehenengo kasua: x + a = b

    Atal batean batzen ari dena kentzen pasatzen da beste atalera.

    xx

    3 44 3–

    + ==

    3 Bi ataletan 3 kendu dugu.

    ■ bigarren kasua: x – a = b

    Atal batean kentzen ari dena batzen pasatzen da beste atalera.

    xx

    2 33 2

    – == +

    3 Bi ataletan 2 batu dugu.

    ■ hirugarren kasua: a · x = b

    Atal batean biderkatzen ari dena zatitzen pasatzen da beste atalera.

    x

    x

    2 6

    26

    =

    = 4 Bi atalak 2rekin zatitu ditugu.

    ■ laugarren kasua: ax = b

    Atal batean zatitzen ari dena biderkatzen pasatzen da beste atalera.

    ·

    x

    x3 4

    4 3

    =

    =4 Bi atalak 3rekin biderkatu ditugu.

    Gaiak irauliz, ezezaguna bakan dezakegu; hau da, berdintzako atal batean soi-lik utz dezakegu ezezaguna, eta hori ekuazioa ebaztearen balio berekoa da.

    Ez ahaztux + a = b → x = b – ax – a = b → x = b + a

    a · x = b → x = ab

    ax = b → x = b · a

    1. Bakandu ezezaguna eta kalkulatu soluzioa.

    a) x + 2 = 5 b) x + 3 = 2 c) x – 1 = 5

    d) x – 3 = 4 e) x – 1 = 1 f ) 3x = 6

    g) 5x = 15 h) x2 = 1 i ) x5 = 3

    2.Ebatzi elementuak irauliz.

    a) 3x = 12 b) x – 4 = 6 c) x3 = 2

    d) x + 4 = 3 e) 6 + x = 7 f ) 5 – x = 0

    g) 4 = x2 h) 18 = 3x i ) 4 = x + 2

    Pentsatu eta egin

    Praktikatu ekuazioak ebazteko oinarrizko teknikak erabiliz.

    En la web

    Praktikatu ekuazio bateko gaiak irauliz. Webgunean

    Iradokizunak•Orrialde honetan, oso modu errazean azaltzen da ekuazioen munduan

    elkar ulertzeko beharrezkoa den oinarrizko nomenklatura: atalak, gaiak, ezezagunak, soluzioak, ekuazioaren maila eta ekuazio baliokideak.

    • Ebazpen prozesua garatzeko, ezinbesteko izango da ekuazio balioki-deak lortzen jakitea. Izan ere, ikasleekin honako teknika hau garatu beharko dugu: nahikoa zaila den ekuazio bat errazagoak diren beste ekuazio baliokide batzuk bihurtzea, azkenean soluzioa emango digun berdintzara iritsi arte.

    Indartzeko eta SakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

    •MATEMATIKAKO ARIKETAK 3. koadernotik:

    Indartzeko: 20. orrialdeko 1. eta 2. ariketak.

    Sakontzeko: 20. orrialdeko 3. ariketa. 21. orrialdeko 4. ariketa.

    «Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

    1 a) Gezurra b) Egia

    c) Egia d) Gezurra

    e) Gezurra f) Egia

    2 4x + 4 = 5 → x = 41

    x 2 – 3 = 2x → x = 3; x = –1

    4x – 3 = x + 3 → x = 2

    3x = x + 1 → x = 21

    3 Baliokideak dira a) eta e) (soluzioa x = 5 da); b) eta d) (soluzioa x = 3 da), eta c) eta f) (soluzioa x = 1) da.

    Iradokizunak• Ekuazioak ebazteko prozedurak lantzen hasiko gara, eta, horretarako,

    lehenengo eta behin irauli zer den azalduko dugu: leku batetik beste batera pasatzea. Emandako ekuazio jakin baten ekuazio baliokide erra-zagoak lortzeko iraultzen dugu. Berdintzari eutsiz iraultzea (ikasleei ba-lantzaren eredua gogoratuko diegu) bi ataletan berdina jarrita edo ken-duta lortzen da.

    •Orrialde honetan honako metodo hau erabili dugu: ekuazioak eralda-tzen joatea, zenbaki egokiarekin batuta, kenduta, biderkatuta edo zati-tuta, azkenean soluzioa lortu arte.

    •Orrialdearen amaieran, gaia atal batetik bestera iraulita, azkenean gure helburua lortuko dugula azpimarratzen da: ezezaguna askatzea. Horrela, bada, atal batean ezezaguna eta beste atalean soluzioa (zenbaki bat) lortuko dugu.

    •Oso garrantzitsua izango da ikasleei ordenan jokatzen irakastea, ekua-zioak bata bestearen azpian idatziz eta urrats guztiak agertuz.Horrela, prozedura guztia begi aurrean edukita, egon daitezkeen aka-tsak errazago aurkituko dituzte eta huts egite asko ekidin ahal izango dituzte.

    «Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

    1 a) x = 3 b) x = –1

    c) x = 6 d) x = 7

    e) x = 2 f) x = 2

    g) x = 3 h) x = 2

    i) x = 15

    2 a) x = 4 b) x = 10 c) x = 6

    d) x = –1 e) x = 1 f) x = 5

    g) x = 8 h) x = 6 i ) x = 2

  • 101

    Iradokizunak• Ikasleek ekuazioak ebazteko azturak landu ditzaten eta prozesu hori

    erraz eta konfiantzaz egiten ikas dezaten, zailtasunaren arabera mailaka-tuta dauden hainbat ekuazio proposatu ditugu eta horien soluzioak orrialdearen amaieran idatzi ditugu. Horrela, ikasleek modu autono-moan balioetsi ahal izango dute egindako lana eta egindako aurrera pausoak egiaztatu ahal izango dituzte.

    Indartzeko eta SakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

    •MATEMATIKAKO ARIKETAK 3. koadernotik:

    Indartzeko: 22. orrialdeko 1. ariketak. 23. orrialdeko 2. ariketa. 24. orrial-deko 3. ariketa.

    Sakontzeko: 25. orrialdeko 4. ariketa.

    Lankidetzan ikasi Orrialde honetan, eta eragiketen trebetasuna lantzea helburu duten orrial-de guztien kasuan, irakasleak egoki baderitzo, ikasleek binaka edo talde txikietan lan egin dezakete. Ariketak bakarka egin ostean, lortu dituzten soluzioak ikaskideek lortutakoekin konparatuko dituzte. Soluzioak bat ez badatoz, akatsa non dagoen aurkitu eta eztabaidatu behar dute.

    141140

    4 Ekuazio sinpleak ebazteaEkuazioa ebazteko prozesua, ondoz ondoko pausoak emanez, beste ekuazio baliokide eta soilago bihurtzea da, ezezaguna bakandu arte.

    Ekuazioa baliokidea eta soilagoa izango den beste ekuazio bat bihurtzeko, bi baliabide erabiliko ditugu:•Atalak laburtzea.•Gaiak iraultzea.

    Aztertu honako adibide hauek eta ebatzi ondoren datozen ekuazioak. Bazterrean, egingo duzun lana ebaluatzeko soluzioak dituzu.

    1. adibidea2x – 5 = 32x = 3 + 5

    x = 4

    2x = 8 8x = — 2

    IRAULTZEA

    IRAULTZEA

    LABURTZEA

    LABURTZEA

    Bi ataletan 5 batu dugu.

    Bi atalak 2rekin zatitu ditugu.

    ■ praktikatu

    1 2x – 1 = 1 2 5x – 3 = 2 3 7x – 5 = 94 10 + 3x = 4 5 2x – 3 = –1 6 8 = 5x – 27 0 = 3x + 12 8 5 – x = 2 9 6 – 2x = 4

    10 4 – 5x = 9 11 3x – 1 = 1 12 4 = 3x + 513 5 = 4x + 7 14 0x + 2 = 2 15 0x + 1 = 4

    2. adibidea 3. adibidea

    l 5x + 1 – 3x = 7 l 4x – x + 3 = 7 – 5

    i 2x + 1 = 7 i 3x + 3 = 2

    l 2x = 7 – 1 l 3x = 2 – 3

    i 2x = 6

    i 3x = –1

    l x = 2

    6 x = 31–

    x = 3 x = – 31

    ■ praktikatu

    16 8x – 4 + x = 5 17 5x – 8 – x = 7 – 3 18 3x + 10 + x = 219 7x – 2x – 3 = 7 20 3x + 15 + 2x = –5 21 5 + 2x + 1 = 722 5 – x + 2 = 10 23 7x + 3 – 9x = 5 24 5 – 1 = x + 5 – 2x25 1 = x + 1 + 2x 26 4 = x + 5 – 6x 27 9 = 4x + 1 – 6x28 5 = 3x – 1 + 5x 29 7x + 2 – 7x = 3 – 1 30 5x + 3 – 5x = 7

    Gogoratu• 0 · x = 0 ekuazioak infinitu soluzio

    ditu.• 0 · x = k ekuazioak, k ≠ 0 izanik,

    ez du soluziorik.

    Soluzioak1 1 2 1 3 24 –2 5 1 6 27 – 4 8 3 9 1

    10 –1 11 2/3 12 –1/313 –1/2 14 I. S.(*) 15 S.G.(**)

    (*) → I. S. (infinitu soluzio).(**) → S. G. (soluziorik gabe).

    Soluzioak16 1 17 3 18 –219 2 20 – 4 21 1/222 –3 23 –1 24 125 0 26 1/5 27 – 428 3/4 29 I. S. 30 S. G.

    Soluzioak31 3 32 2 33 234 3 35 –1 36 2/537 1 38 3/5 39 –1/240 –5 41 I. S. 42 S. G.

    Soluzioak43 8 44 0 45 246 1/2 47 3/4 48 –149 2/3 50 1/6 51 –252 1 53 I. S. 54 S. G.

    Ekuazioak korapilatsu bihurtu ahala, ebazteko hainbat aukera irekitzen dira. Zuzen eraginez gero, denak dira baliagarriak.

    Ondoren, bi modutan ebatzi den adibidea ikus dezakezu:

    4. adibideaa aukera b aukera

    Ezezaguna, ezkerreko atalean. Ezezaguna, koefiziente positiboa hartuko duen atalean.

    l 2x – 1 – 5x = 2 + 3x + 1 l 2x – 1 – 5x = 2 + 3x + 1

    i –3x – 1 = 3 + 3x i –3x – 1 = 3 + 3x

    l –3x – 3x = 3 + 1 l –1 – 3 = 3x + 3x

    i – 6x = 4

    i – 4 = 6x

    l x =

    64

    l

    64– = x

    x = – 32 x = – 3

    2

    ■ praktikatu

    31 2x – 1 = x + 2 32 3x + 2 = x + 6

    33 2x + 1 = 5x – 5 34 1 – x = 4 – 2x

    35 x – 6 = 5x – 2 36 3 + 7x = 2x + 5

    37 6x – 2 + x = 2x + 3 38 8x + 3 – 5x = 7 – 2x – 1

    39 4x + 5 + x = 7 + 3x – 3 40 8 – x + 1 = 4x – 1 – 7x

    41 7x – 4 – 3x = 2 + 4x – 6 42 2 + 3x – 5 = 4x – 2 – x

    Ekuazioak parentesiak edukiz gero, horiek kenduz eta laburtuz hasiko gara.

    5. adibidea

    l 5x – 2(2x – 2) = 8 – (3 + 2x)

    l 5x – 4x + 4 = 8 – 3 – 2x

    i x + 4 = 5 – 2x

    l x + 2x = 5 – 4

    i 3x = 1

    x = 31

    ■ praktikatu

    43 x – 7 = 6 – (x – 3) 44 x – (1 – 3x) = 8x – 1

    45 1 – (3x – 9) = 5x – 4x + 2 46 13x – 15 – 6x = 1 – (7x + 9)

    47 7x – (4 + 2x) = 1 + (x – 2) 48 2(3x – 1) – 5x = 5 – (3x + 11)

    49 1 – 2(2x – 1) = 5x – (5 – 3x) 50 7 – (2x + 9) = 11x – 5(1 – x)

    51 4(5x – 3) – 7x = 3(6x – 4) + 10 52 4 – 7(2x – 3) = 3x – 4(3x – 5)

    53 16x – 7(x + 1) = 2 – 9(1 – x) 54 6 – (8x + 1) = 4x – 3(2 + 4x)

    Ekuazioen soluzioak sendotzeko ariketa gidatuak.

    Webgunean

    OHARRAK

    OHARRAK

  • 102

    143142

    5 Ekuazioak izendatzaileekinEkuazioaren ataletan izendatzaileak agertuz gero, halakorik ez duen eta balio-kidea izango den beste ekuazio bat bihurtuko dugu. Horretarako, ekuazioaren bi atalak izendatzaile guztien multiplo izango den zenbakiarekin biderkatuko ditugu. Multiplorik egokiena txikiena da; hau da, izendatzaileen multiplo komu-netako txikiena.

    Adibidea

    · ·

    x x

    x x

    65 1 3 4

    3

    1265 1 12 3 4

    3

    – –

    – –

    =

    =c cm m

    _

    `

    a

    bbb

    bb

    m.k.t. (6, 3, 4) = 12Bi atalak 12rekin biderkatuko ditugu.

    x x

    x x6

    60 12 312

    436

    10 12 4 9

    – –

    – –

    =

    =

    _

    `

    a

    bb

    b Parentesiak kenduz eta laburtuz, izenda-tzaileak desagertu egiten dira.

    8

    x xx

    x x

    10 4 9 126 3

    63

    21

    – –= +=

    = =

    _

    `

    a

    bb

    bb Hortik aurrera, dakigun eran jarraituko dugu.

    Ekuazioan izendatzaileak kentzeko, bi atalak izendatzaile guztien multiplo komunetako txikienarekin biderkatuko ditugu.

    1. Ebatzi honako ekuazio hauek:

    a) x5 51

    54+ = b) x3

    235

    31+ =

    c) 4 – x x32

    32= + d) 1 + x5

    251= – 2x

    e) x x41

    43– = – 1 f ) x2

    3 + 5 = 2x – 21

    2.Kasu bakoitzean, aurkitu x.

    a) 1 – x x4 2 2

    1–= b) x x23

    4– = 1

    c) x65 + 1 = x – 3

    1 d) x107 1 5

    2+ = + x

    e) x + x51

    32= f ) x x x20

    1143– = – 1

    soluzioak

    1. a) 3 b) –2 c) 2 d) –1/3 e) 5/7 f ) 112.a) 2 b) 4/5 c) 8 d) 2 e) –3/5 f ) 5/6

    3.Ebatzi.

    a) x x3 151

    52= + b) x x2

    13 3

    2 –+ =

    c) x x2 3+ = x – 1 d) x x

    43

    61

    65– = – 1

    e) x x97

    61

    3– = f ) 1 – x x3 5

    1107

    2–+ =

    4.Ebatzi honako ekuazio hauek:

    a) x x x43

    52

    10+ + = 1 b) x x

    23

    51

    53

    21– –=

    c) x x2 31

    3 41+ = + d) x x x2 6

    53 5

    – –= + 1

    e) x – x x x43

    101

    54

    2–+ =

    3.a) –1 b) 1/8 c) 6 d) 10 e) 3/8 f ) –34.a) 4/5 b) –1/3 c) –1/2 d) 5 e) 2

    Pentsatu eta egin

    6 Lehen mailako ekuazioak ebazteko prozedura orokorra

    Lehen mailako ekuazioak ebazteko, lana honako adibide honetan azaltzen diren pausoen arabera antolatzea komeni da.

    Adibidea•Lehenengo pausoa:

    Parentesia kentzea. ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

    x x

    x x x

    x2 3 1 4

    2 3 43

    8 2

    8 2– –

    – –

    + =

    =b lZ

    [

    \

    ]]

    ]]•Bigarren pausoa:

    Izendatzaileak kentzea.

    (Horretarako, bi atalak 8rekin biderkatuko ditugu).

    ⎯⎯⎯⎯⎯→ x x x

    x x x28 24

    424

    88 16

    4 24 6 16

    – –

    – –

    + =

    + =

    Z

    [

    \

    ]]

    ]

    •Hirugarren pausoa:

    Ezezaguna bakantzea, gaiak laburtuz eta irauliz. ⎯⎯⎯⎯⎯→

    8

    x xx x

    x x

    10 24 1610 24 16

    9 8 98

    – –– –

    ==

    = =

    Z

    [

    \

    ]]

    ]]

    1. Ebatzi honako ekuazio hauek:

    a) 23 (1 – x) + 2 = 3x

    b) 1 – x72 = x – 2 x 3

    1–c m

    c) x x x2 3 61

    23– –= c m + x

    d) x x32

    21

    31

    37– –= c m

    2.Ebatzi honako ekuazio hauek:

    a) x x x21

    2 1 32

    61

    21– –+ =b cl m

    b) 21 (2x – 3) + 1 = 3

    1 (x – 5) – x

    c) 2 x x x94

    67

    32 1 3

    2– –+ =c m

    d) 5 x2 61

    31–+c m = x – 2 x1 3–

    b l

    soluzioak

    1. a) 7/9 b) –7/15 c) 1/4 d) –5/62.a) 1 b) –7/10 c) 3/2 d) –3

    3.Kalkulatu zer balio duen x-k kasu bakoitzean.

    a) 2 x x2 31 3 3

    221–+ =c cm m + 1

    b) 5x – x x x32

    2 31 9 2

    1–+ =c cm m

    c) 5 – 2 x x x5 1 10 3 2 1–+ = +b bl l

    d) 3 x10 41–c m + x = 5 x

    4 101–c m

    4.Ebatzi honako ekuazio hauek:

    a) 2 x x x x3 5 103 3 3

    152–+ = +b cl m – 1

    b) x41 2 5 2

    1– –c m = x + 3 x52

    2–c m

    c) x x x31

    21

    21

    61

    4 31– – – = +c bm l

    d) x – 3 x5 31

    101+ =c m (4x – 6)

    3.a) 7/6 b) –1/5 c) 3 d) 54.a) 0 b) –1/2 c) I. S. d) S. G.

    Pentsatu eta egin

    Antzeko estrategia• Izendatzaile komunera laburtzea:

    x x65

    11

    3 43– –=

    Izendatzaile komuna → 12x x

    1210

    1212

    124

    129– –=

    • Izendatzaileak kentzea:10x – 12 = 4x – 9

    Izendatzaileak dituzten ekuazioak ebazteko laguntza.

    Webgunean

    Praktikatu lehen mailako ekuazioak ebatziz.

    Webgunean

    Praktikatu lehen mailako ekuazioak ebatziz.Webgunean

    Iradokizunak•Orrialde honetan beste urrats bat emango dugu ekuazioen ebazpe-

    nean, eta izendatzaileak sartuko ditugu ekuazioaren ataletako batean edo bietan.

    • Ikasleek beharrezko «ikusi» behar duten lehenengo eragiketa izan behar da izendatzaileak dituzten ekuazioak izendatzailerik ez duten beste ekuazio baliokide batzuk bihurtzea. Horretarako, helburu hori dagoene-ko ezagun dituzten edukiekin lotuko dute:

    – Zatikiak izendatzaile komunera laburtzea.

    – Ekuazio baliokideak lortzea, bi atalak zenbaki berarekin biderkatuz.

    •Bi eduki horiek lotuta, aurkezten den prozedura justifikatzen da; hau da, ekuazioaren bi atalak izendatzaile guztien multiplo komun batekin bi-derkatzea. Horrez gain, multiplo horien guztien artean onena sinpleena izango dela azpimarratuko dugu; hau da, multiplo komunetako txikiena.

    •Orrialdearen amaieran ageri diren ariketek ikasketa mailakatzeko mo-dua ematen dute: izendatzaile errazak dituzten ekuazioetatik hasiko ga-ra eta, azkenerako, kasu orokorragoak landuko ditugu.

    Indartzeko eta SakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

    •MATEMATIKAKO ARIKETAK 3. koadernotik:

    Indartzeko: 26. orrialdeko 1. ariketa. 27. orrialdeko 2. ariketa.

    Sakontzeko: 28. orrialdeko 3. ariketa.

    Iradokizunak•Komenigarri iruditu zaigu ikasleen eskura jartzea baliabide guztiak bil-

    duko dituen metodo orokor bat, edozein ekuazio urratsez urrats ebaz-teko. Esperientziak erakutsi digunez, jokamolde honek segurtasuna ematen die neska-mutilei eta, aldi berean, ekuazioen ebazpena erraza-go iruditzen zaie, ekuazioa nahiko zaila izanda ere. Adibidean argi era-kusten da nola jokatu behar den gero eta ekuazio baliokide errazagoak lortzeko: parentesiak kendu, izendatzaileak ezabatu, antzekoak diren gaiak ataletako batean bildu eta, azkenik, laburtu.

    •Orrialdearen amaieran proposatzen diren lehenengo ariketen bidez, ira-kasleak ikusiko du neska-mutilek azaldutako metodo orokorrari urratsez urrats jarraitzen dioten. Hasieran apur bat kostatuko bazaie ere, ordenaz jokatu eta metodoari jarraitzen badiote, ekuazioak ebazteko lana asko erraztuko zaie.

    Indartzeko eta SakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

    •MATEMATIKAKO ARIKETAK 3. koadernotik:

    Indartzeko: 29. orrialdeko 4. ariketa. 30. orrialdeko 5. ariketa. 31. orrial-deko 6. ariketa.

    OHARRAK

    OHARRAK

  • 103

    145144

    7 Problemak ekuazioen bidez ebazteaEnuntziatuak dakarren informazioan, elementu ezagunak (datuak) eta elementu ezezagunak (ezezagunak) aurkituko ditugu.Elementu horiek guztiak era aljebraikoan kodetzea eta berdintza baten bidez erla-zioan jartzea lortuz gero, ekuazioa eraikita izango dugu.Ekuazioa ebatziz eta soluzioak enuntziatuaren testuinguruan interpretatuz gero, problema ebatzita geratuko da.Orrialde honetan eta hurrengoetan, bete behar den prozesuaren hainbat adibide aurkituko dituzu.

    1.Hipermerkatu batean, garbigailuen eskaintza dago gaur; erdiak goi-zean saldu dira, eta herenak, arratsaldean. Guztira 20 unitate saldu baldin badira, zenbat garbigailu eskaini dira?

    a) Identifikatu problemaren elementuak, ezezagunak era aljebraikoan adie-raziz.•Eskaini diren garbigailuak ⎯⎯⎯⎯→ x

    •Goizean saldu direnak ⎯→ x2

    •Arratsaldean saldu direnak ⎯⎯⎯→ x3b) Jarri erlazioan, berdintza baten bidez, elementu ezagunak eta ezezagunak.

    goizean saldutakoak +

    arratsaldean saldutakoak = 20

    x x2 3+ = 20

    c) Ebatzi ekuazioa.

    x x2 3+ = 20 → 3x + 2x = 120 → 5x = 120 → x = 5

    120 → x = 24

    d) Interpretatu ekuazioa enuntziatuaren barruan eta begiratu zuzena den.Soluzioa: Salgai jarri diren garbigailuak 24 izan dira.Egiaztatzea:

    224

    324+ = 12 + 8 = 20

    Problema ebatzia

    1. Zenbaki bat hiru halakori 8 kenduz gero, 25 lortzen da.

    Zer zenbaki da?

    2.Zenbaki baten erdiari 13 batuz eta zenbaki hori bi halakori 11 kenduz, emaitza bera lortu dugu.

    Zer zenbaki da?

    3.Herenegun, kontzertu baterako sarrerak jarri ziren salgai, eta, egun berorretan, sarreren heren bat saldu zen; atzo, sarreren laurden bat eta, gaur, gainerako 200 sarrerak. Zenbat sarrera jarri zituzten salgai?

    herenegun saldutakoak +

    atzo sal-dutakoak +

    gaur sal-dutakoak = guztira

    Pentsatu eta egin

    2.Ane eta ama kalea zebrabidetik zeharkatzen ari dira. Anek 35 pauso eman behar ditu eta amak, 25 bakarrik. Amaren pauso bakoitza Anere-na baino 20 cm luzeago izanez gero, zer luzera du bakoitzaren pausoak?

    a) Datuak:•Aneren pausoa (cm) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x•Amaren pausoa (cm) ⎯⎯⎯⎯→ x + 20

    b) Ekuazioa:kalearen zabalera aneren 35 pauso =

    kelearen zabalera amaren 25 pauso

    35x = 25(x + 20)c) Ebatzi ekuazioa:

    35x = 25(x + 20) → 35x = 25x + 500 → 35x – 25x = 500 →

    → 10x = 500 → x = 10500 → x = 50

    d) Soluzioa:Aneren pausoa → 50 cmAmaren pausoa → 50 + 20 = 70 cmEgiaztatzea:

    Aneren 35 pauso Amaren 25 pauso 35 · 50 ⇔ 25 · 70 1 750 = 1 750

    Problema ebatzia

    4.Kilo bat sagarren prezioa kilo bat laranjarena baino 0,50 € gehiago da. Martak 5,30 € ordaindu ditu hiru kilo laranja eta kilo bat sagar. Zer prezio dute laranjek? Eta sagarrek?

    ,88

    xx 0 5

    LARANJAK

    SAGARRAK +3

    3 kg laranja-ren kostua +

    1 kg saga-rren kostua = 5,30 €

    5.Errose aita (Jon) baino 25 urte gazteagoa eta semea, Alberto, baino 26 urte zaharragoa da. Hiruren urteen batura 98 da. Zenbat urte ditu bakoitzak?

    88

    8

    xx

    x25

    26–

    ERROSE

    JON

    ALBERTO

    +

    _

    `

    a

    bb

    b

    erroseren adina +

    jonen adina +

    albertoren adina = 98 urte

    6.Lagunak askaltzeko bildu dira. Ogitartekoak sandwi-chak baino euro bat gehiago balio du. Hiru sandwich eta bi ogitarteko 11 euro ordaindu dituzte. Zenbat balio du sandwich batek? Eta ogitarteko batek?

    kostua +

    kostua = 11 €

    7.Fruta-saltzaileak 26 kaxa zamatu ditu furgonetan: 12 kiloko kiwi-kaxak eta 10 kiloko banana-kaxak. Guztira, 290 kilo dira. Fruta bakoitzeko zenbat kaxa izan dira?

    Kiwi-kaxak → x Banana-kaxak → 26 – x

    8.50 galderako testean, bi puntu ateratzen dira erantzun zu-zen bakoitzeko, eta bi puntu galtzen dira erantzun oker edo erantzun gabe uzten den galdera bakoitzeko. Zenbat erantzun zuzen behar dira proba gainditzeko, horretarako 75 puntu atera behar baldin badira?

    Pentsatu eta egin

    x x + 20

    Iradokizunak• Atal honetan, kasuistika zabala hartzen duten problema ebatzien eredu

    eta adibideak ageri dira, maila honetarako eskatzen den zailtasunaren ba-rrukoak guztiak ere. Ebazpen prozesuak urratsez urrats azalduta ematen dira, ikasleek argi ikus dezaten erraztu egiten dutela lanaren deskribape-na.

    •Adibide edo eredu bakoitzaren ondoren, antzeko problemak ematen di-ra, ikasitakoa lantzeko.

    Lankidetzan ikasi Ariketa hauek eta, orokorrean, ekuazioen bidez ebaztekoak diren proble-ma mota guztiak, talde txikian egin daitezke, berdinen arteko ikasketa bul-tzatuz. Talde bakoitzaren barruan, soluzioak bakarka bilatuko dituzte. Gero, bateratze-lanean, batzuek eta besteek lortutakoak konparatuko di-tuzte, lortutakoa justifikatuko dute, desadostasunak eztabaidatuko dituzte eta, azkenik, ondorio komunetara iritsiko dira.

    «Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

    1 11 zenbakia da.

    2 16 zenbakia da.

    3 480 sarrera jarri zituzten salgai.

    4 Laranja kiloak 1,20 € balio du.

    Sagar kiloak 1,70 € balio du.

    5 Errosek 33 urte ditu, Jonek 58 urte ditu eta Albertok 7 urte ditu.

    6 Sandwichak 1,80 € balio du, eta ogitartekoak, 2,80 €.

    7 15 kiwi-kaxa eta 11 banana-kaxa izan dira.

    8 44 erantzun zuzen behar dira gutxienez.

    OHARRAK

  • 104

    147146

    9.Handizkari batek bi motatako kafeak ditu:

    mota prezioa

    Goi-kalitatekoa 12,70 €/kgBehe-kalitatekoa 7,80 €/kg

    Behe-kalitateko 100 kg kaferekin goi-kalitateko zenbat kilo kafe nahasi behar ditu tarteko kalitateko 9,90 €/kg-koa lortzeko?

    10.Martinak pintura gorria eta horia nahasi ditu laranja -koloreko 40 litro lortzeko.

    Gorria → x litro Horia → (40 – x) litro

    Litro bat pintura gorriren prezioa 3,40 € da eta litro bat pintura horirena, 2,60 €. Mota bakoitzeko zenbat litro beharko dira laranja-koloreko litro bat pintura 2,95 €-an atera dadin?

    Pentsatu eta egin

    11. 150 metro alanbre-hesi behar izan dira luzera zabalera bi halako duen lursaila inguratzeko. Zer dimentsio ditu lursail horrek?

    x

    2x

    12. Triangelu eskaleno jakin batean, tarteko aldea alde txikia baino 7 cm luzeagoa eta alde nagusia baino 5 cm laburragoa da. Perimetroa 52 cm da. Zenbat da alde bakoitzaren luzera?

    x

    x + 5

    x – 7

    13. Lursail angeluzuzen batetik, kaleak egiteko, 10 me-tro luzeran eta beste 10 metro zabaleran kendu dira. Ondorioz, lursaila 480 m2 txikiagoa da.Ondoriozko laukizuzena 30 metro luze izanez gero, zer zabalera du?

    x

    30 10

    10

    jatorrizko azalera → 40 · (x + 10)ondoriozko azalera → 30 · x

    galdu den azalera 40 · (x + 10) – 30 · x480 m2

    Pentsatu eta egin

    x + 80x

    3.Upategian, garnatxa motako litro bat ardo 3 euroan saltzen dute eta tempranillo motakoa, 2,20 euroan. Lehenengo motako zer kantitate nahasi behar da 5 000 litro tempranillorekin, litro bat nahasteren prezioa 2,50 € izan dadin?a) Datuak:

    kantitatea (l ) prezioa (€/l ) kostua (€)

    garnatxa x 3,00 3xtempranillo 5 000 2,20 2,20 · 5 000

    nahastea x + 5 000 2,50 2,50(x + 5 000)

    b) Ekuazioa:

    garnatxa ardoaren kostua +

    tempranillo ardoaren kostua =

    nahastearen kostua

    3x + 2,2 · 5 000 = 2,5(x + 5 000)c) Ekuazioa ebaztea:

    3x + 2,2 · 5 000 = 2,5(x + 5 000)3x + 2,2 · 5 000 = 2,5x + (2,5 · 5 000)

    3x + 11 000 = 2,5x + 12 5003x – 2,5x = 12 500 – 11 000

    0,5x = 1 500

    x = ,0 51500 → x = 3 000

    d) Soluzioa: Garnatxa barietateko 3 000 litro ardo nahasi behar dira 5 000 litro ardo tempranillorekin, nahasteko litro baten kostua 2,50 € izan dadin.

    Egiaztatzea:Garnatxa ardoaren kostua → 3 000 · 3,00 = 9 000 €Tempranillo ardoaren kostua → 5 000 · 2,20 = + 11 000 €Nahastearen kostua (8 000 l ) → 8 000 · 2,50 = 20 000 €

    Problema ebatzia4.Lursail angeluzuzenak zer dimentsio dituen kalkulatzea, jakinik luze-

    ran zabaleran baino 80 metro gehiago dituela eta lursaila inguratzen duen hesia 560 metro luze dela.

    a) Datuak:

    Alde txikia (zabalera) → x Alde nagusia (luzera) → x + 80 Hesiaren luzera → 560 m

    x + 80

    xx

    x + 80b) Ekuazioa:

    2x + 2 · (x + 80) = 560c) Ekuazioa ebaztea:

    2x + 2 · (x + 80) = 560 2x + 2x + 160 = 560 4x = 560 – 160 → 4x = 400 → x = 100

    d) Soluzioa: Alde txikia → 100 m Alde nagusia → 100 + 80 = 180 m Lursaila 180 m luze eta 100 m zabal

    da.

    100

    100 + 80

    Egiaztatzea:Hesiaren luzera: 2 · 100 + 2 · 180 = 200 + 360 = 560 metro

    Problema ebatzia

    Ebatzi problemak lehen mailako ekuazioekin.Webgunean

    Iradokizunak• Atal honetan, kasuistika zabala hartzen duten problema ebatzien eredu

    eta adibideak ageri dira, maila honetarako eskatzen den zailtasunaren ba-rrukoak guztiak ere. Ebazpen prozesuak urratsez urrats azalduta ematen dira, ikasleek argi ikus dezaten erraztu egiten dutela lanaren deskribape-na.

    •Adibide edo eredu bakoitzaren ondoren, antzeko problemak ematen di-ra, ikasitakoa lantzeko.

    Lankidetzan ikasi Ariketa hauek eta, orokorrean, ekuazioen bidez ebaztekoak diren proble-ma mota guztiak, talde txikian egin daitezke, berdinen arteko ikasketa bul-tzatuz. Talde bakoitzaren barruan, soluzioak bakarka bilatuko dituzte. Gero, bateratze-lanean, batzuek eta besteek lortutakoak konparatuko di-tuzte, lortutakoa justifikatuko dute, desadostasunak eztabaidatuko dituzte eta, azkenik, ondorio komunetara iritsiko dira.

    Diziplinartekotasuma Talde handian honako ariketa hau egitea iradokitzen da:

    Problema motak kontuan hartuz, gogoeta egin dezakegu ekuazioek beste adar batzuetan duten erabilgarritasunari buruz: ekonomian, fisikan, etab.

    «Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

    9 Goi-kalitateko 75 kilo nahasi behar ditu.

    10 Martinak pintura gorriko 17,5 litro eta pintura horiko 22,5 litro behar ditu.

    11 Lursail horrek zabaleran 25 m eta luzeran 50 m ditu.

    12 Triangeluaren aldeek 11 m, 18 m eta 23 m dituzte.

    13 Laukizuzenak 8 m-ko zabalera du.

    OHARRAK

  • 105

    149148

    8 Bigarren mailako ekuazioakEkuazioa bigarren mailakoa da, baldin eta, laburtu ondoren, honako baldintza hauek betetzen baditu:•Gaietako bat bigarren mailako monomioa izatea.•Bitik gorako mailako gairik ez izatea.Adibidez, honako ekuazio hau bigarren mailakoa da:

    2x + 5x 2 – 1 = 3 + 4x 2 + 5x

    bigarren mailako monomioakAurreko ekuazioa honela labur daiteke:

    2x + 5x 2 – 1 – 3 – 4x 2 – 5x = 0 → x 2 – 3x – 4 = 0

    ekuazioaren forma orokorra

    Ezezagun bateko bigarren mailako edozein ekuazio adieraz daiteke honako forma orokor honetan:

    ax 2 + bx + c = 0 non a ≠ 0, b eta c koefiziente ezagunak baitira.

    Adibidez:

    ekuazioa →forma orokorra →koefizienteak →

    5x 2 = 455x 2 + 0x – 45 = 0

    a = 5, b = 0, c = – 45

    (x – 3) · (x – 2) = 0x 2 – 5x + 6 = 0

    a = 1, b = –5, c = 6

    Bigarren mailako ekuazioaren soluzioakOrokorrean, bigarren mailako ekuazioak bi soluzio desberdin ditu, nahiz eta soluzio bikoitza duten edo soluziorik ez duten batzuk aurkituko dituzun.

    Adibidea

    x 2 – 3x – 4 = 0 ekuazioak bi soluzio ditu: xx

    41–

    ==

    )

    x = 4 denean → 42 – 3 · 4 – 4 = 16 – 12 – 4 = 0x = –1 denean → (–1)2 – 3 · (–1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 0

    Gogoratu(x – 3) · (x – 2)

    x – 3× x – 2– 2x + 6

    x 2 – 3xx 2 – 5x + 6

    Hartu kontuanBigarren mailako ekuazioaren soluzioei erro ere esaten zaie.

    x 2 – 3x – 4 = 0 xx

    41–

    ==

    )«Ekuazioaren erroak x = 4 eta x = –1 dira».

    1. Adierazi honako ekuazio hauetako zein diren bigarren mailakoak eta adieraz itzazu forma orokorrean:a) x 2 = 5 b) x 2 + 3 = x 2 + xc) 2x(x – 1) = 4 d) x(x – 3) = x 2 – 1e) 7x 2 – 4x = x 2 + 2 f ) 5x + 6 – x 2 = 7x 3 + 4g) 3x 2 + 9 – 3x 2 = x h) x 3 + 2x = x(x + 3)

    2.Elkartu ekuazio bakoitza dagokion soluzio bikotearekin:

    a) x 2 = 25 b) x 2 = 9

    c) x 2 + x – 6 = 0 d) x 2 – 7x + 10 = 0

    e) x 2 + 3x – 10 = 0 f ) x 2 – 5x + 6 = 0

    3 –5 2 5 –3

    Pentsatu eta egin

    9 Bigarren mailako ekuazioak ebazteaX  2 = k ekuazioax 2 = k ekuazioa ebazteko, karratua k duten zenbakien bila joko dugu. Hau da, k-ren erro karratuaren bila.

    x 2 = k → x = ± kk zenbaki positiboa izanez gero, elkarren aurkako bi soluzio daude; k negatiboa izanez gero, ez dago soluziorik.

    Adibideak

    •x 2 = 36 → x = ± 36 → x = 66–

    +)

    •x 2 + 25 = 0 → x 2 = –25 → x = ± 25–Ez du soluziorik, ez dagoelako –25en erro karraturik.

    ax  2 + c = 0 ekuazioaAurrekoaren antzeko kasua da:

    ax 2 + c = 0 → ax 2 = –c → x 2 = ac– → x = ± a

    c–

    Errokizuna positiboa izanez gero, bi soluzio daude; negatiboa izanez gero, ekua-zioak ez du soluziorik.

    Adibideak

    •2x 2 – 18 = 0 → x 2 = 218 → x = ± 9 → x =

    66–

    +)

    •5x 2 + 20 = 0 → x 2 = 520– → x = ± 4– . Ez dago soluziorik.

    ax  2 + bx = 0 ekuazioaKasu honetan, faktore komuna aterako dugu lehenengo atalean:

    ax 2 + bx = 0 → x · (ax + b) = 0Biderkaduraren bat zero izanez gero, faktoreetako batek zero izan behar du nahi-taez; horrek bi aukera aurkezten dizkigu:

    x · (ax + b) = 0 8

    x

    ax b x ab

    0–

    LEHENENGO SOLUZIOA

    BIGARREN SOLUZIOA

    =

    + = =*

    Adibideak

    •x 2 – 5x = 0 → x · (x – 5) = 0 8xx x

    05 0 5–

    == =

    )

    •5x 2 – 2x = 0 → x · (5x – 2) = 0 8

    x

    x x

    0

    5 2 0 52–

    =

    = =*

    Hartu kontuanAskotan, soluzioak gutxi gorabehera eman beharko dituzu.Adibidez:

    3x 2 – 15 = 0 → x 2 = 315

    → x = ± 5

    5 → {“…“«\\|£}

    x = ≈ ,≈ ,

    2 242 24–

    *

    Bigarren mailako ekuazio osatugabeak ebazteko laguntza.

    Webgunean

    Iradokizunak• Ekuazio baten aurrean, neska-mutilek ohitura hartu behar dute atalak la-

    burtu, gaiak atal batetik bestera irauli eta, azkenik, zerorekin berdinduta-ko adierazpen polinomiko bat lortzeko. Horrela, argi ikusiko dute adie-razpenaren maila zein den.

    •Bigarren mailako ekuazioek honako forma orokor hau dutela jakin behar dute:

    ax2 + bx + c = 0

    •Atal honetan, ikasleei maila desberdinetako ekuazioen zerrenda bat proposatu diezaiekegu, orain lantzen ari garenak bereiz ditzaten.

    •Orrialde honen bigarren helburua hau da: hainbat adibide erabiliz, nes-ka-mutilek argi ikus dezatela bigarren mailako ekuazioek bi soluzio di-tuztela.

    «Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

    1 a) x 2 + 0x – 5 = 0

    c) 2x 2 – 2x – 4 = 0

    e) 6x 2 – 4x – 2 = 0

    2 a) 5 eta –5 b) 3 eta –3

    c) 2 eta –3 d) 2 eta 5

    e) 2 eta –5 f) 2 eta 3

    Iradokizunak• Bigarren mailako ekuazio osatugabearen lehenengo kasua errazena da:

    karratu baten azalera zein den jakinda, aldeak zer neurri duen kalkulatzea. Azalera lortzeko, aldea karratura jaso behar da; bada, kasu honetan alde-rantzizko eragiketa egin behar da: erro karratua kalkulatu behar da.

    Adibide ebatzietan, adierazpideari erreparatuta beste era batekoak di-rela ematen badu ere, funtsean ekuazio mota bertsuak direla ikusarazi behar diegu ikasleei.

    Bigarren adibidean (x 2 + 25 = 0), soluziorik ez dagoela azalduko diegu. Izen ere, ez dago karratura jaso eta zenbaki negatibo bat emango duen zenbakirik.

    • ax2 + c = 0 eta ax2 + bx = 0 motako ekuazio osatugabeen kasuan, lehe-nengo kasuan ageri den moduko ariketa ebatziak jarri ditugu, hiru solu-zio mota posible landuz: osoa, zatikizkoa eta soluziorik gabekoa.

    Indartzeko eta SakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

    •MATEMATIKAKO ARIKETAK 3. koadernotik:

    Indartzeko: 32. orrialdeko 1., 2., 3. eta 4. ariketak. 33. orrialdeko 1. arike-ta, a), b), c), d), e) eta f) atalak. 34. orrialdeko 1. ariketa, a), b), c), d), e) eta f) atalak.

    Sakontzeko: 3. orrialdeko 1. ariketa, g), h), i) eta j) atalak. 34. orrialdeko 1. ariketa, g), h), i) eta j) atalak.

    OHARRAK OHARRAK

  • 106

    151

    Ariketak eta problemak

    150

    Ekuazio errazak

    1. Ebatzi buruz.a) x + 4 = 5 b) x – 3 = 6 c) 7 + x = 10d) 7 – x = 5 e) 9 = 15 – x f ) 2 – x = 9

    2. Ebatzi.a) 2x – 5 + 3x + 1 = 3x – 2b) x + 7 = 12x – 3 – 8x + 1c) 6x – 1 + x = 4 – 5x + 3d) x + 2x + 3x – 5 = 4x – 9e) 5x + 4 – 6x = 7 – x – 3f ) 4x + 2 + 7x = 10x + 3 + x

    3. Kendu parentesiak eta ebatzi.a) 6(x + 1) – 4x = 5x – 9b) 18x – 13 = 8 – 4(3x – 1)c) 3x + 5(2x – 1) = 8 – 3(4 – 5x)d) 5 – (4x + 6) = 3x + (7 – 4x)e) x – 7(2x + 1) = 2(6 – 5x) – 13f ) 11 – 5(3x + 2) + 7x = 1 – 8xg) 13x – 5(x + 2) = 4(2x – 1) + 7

    Lehen mailako ekuazioak izendatzaileekin

    4. Kendu izendatzaileak eta ebatzi.

    a) x35 + 1 =

    65 + x

    b) x x x53

    41

    107

    51– – –=

    c) x x x3 154

    61

    107– –+ =

    d) x x x x47 1 8 8

    5 1– – = + +

    e) x x x2 61

    3 65

    6 32– –+ = +

    5. Kendu parentesiak eta izendatzaileak eta ebatzi.

    a) 2x – 25

    21= (x – 3) b) ( )x x x

    65 2 1

    6– – =

    c) x x5 1 2 54– –= c m d) x – 3

    161= (2x – 5)

    6. Kendu izendatzaileak eta ebatzi.

    a) 1 – x x31 2 3

    1–+ = b) 1 – x x31

    21– = +

    c) x23 1– – 1 = 2x – 2 d) x + x x5

    2 32

    – = + 1

    e) 2x + x x23

    43– –= f ) x x x5

    3 1 21– –= +

    g) x x53

    76– –+ = 1 h) x x x3

    112

    14

    3 1– – – –=

    7. Ebatzi honako ekuazio hauek:

    a) x x x4

    3 15

    2 120

    7 13– – –+ =

    b) 2 + ( )x x x52 1 5

    2 3–+ = +

    c) ( ) ( )x x32 1 3

    43 1

    125– –+ = (1 – x)

    d) x x x53

    31 1

    43

    32– –+ + =c cm m

    8. Ariketa ebatzia

    Honako ekuazio hau ebaztea: 1 + x x2

    31

    32+ =

    3x · ·x x x12

    31 3 3

    2+ + =c m

    3x + 6 + x = 2 → 4x = 2 – 6

    4x = – 4 → x = 44– → x = –1

    9. Ebatzi aurreko ariketan bezala.

    a) x x2

    21

    35+ = + 1 b) x x2

    151

    51

    21+ = +

    c) x x x21

    92 1 3

    1– = + d) ( )x x1

    123

    2 13

    – –+ =

    Biderkatu 6x, 10x, 18x eta 2(x – 1)-ekin, hurrenez hurren.

    Bigarren mailako ekuazioak10. Erreparatu, arrazoitu eta ebatzi.

    a) 5x 2 = 45 b) 12x 2 = 3c) x(x – 3) = 0 d) (x + 5)x = 0e) x(3x – 1) = 0 f ) 3x(5x + 2) = 0g ) x 2 – 7x = 0 h) x 2 + 4x = 0i) 3x 2 = 2x j ) 5x 2 = x 2 – 2x

    ax  2 + bx + c = 0 ekuazioaBigarren mailako ekuazio osotua ebazteko prozesua luzea eta korapilatsua da; ondorioz, ezezaguna bakanduta eskaintzen duen formula erabiltzen dugu. Formula horrek soluzioetara azkar eta eroso iristen utziko dizu.

    formula:

    ax 2 + bx + c = 0 → x = ± ab b ac

    24– –2

    Formula hori goragoko mailetan justifikatuko da. Oraingoz, buruz ikastea eta honako adibide hauetan erakusten den eran erabiltzen trebatzea komeni zaizu.

    Adibideak•5x 2 – 7x + 2 = 0 → a = 5; b = –7; c = 2

    x = ·( ) ± ( ) · · ±

    2 57 7 4 5 2

    107 9– – – –2 = = 10

    7 3 1

    107 3

    52–

    + =

    =

    •5x 2 + 6x + 2 = 0 → a = 5; b = 6; c = 2

    x = ·± · · ±

    2 56 6 4 5 2

    106 4– – – –2 =

    Ekuazioak ez du soluziorik, – 4k ez duelako erro karraturik.

    Soluzio bikoitza(x – 5)2 = 0

    x 2 – 10x + 25 = 0 abc

    110

    25–

    ===

    *

    x = ·

    ( )± ( ) · ·2 1

    10 10 4 1 25– – – –2 =

    = ·±

    2 110 0 = 2

    10 0 5

    210 0 5–

    + =

    =

    1. Ebatzi honako ekuazio hauek:a) x 2 = 81 b) x 2 = 25c) x 2 = 7 d) 5x 2 = 20e) 4x 2 = 1 f ) x 2 – 9 = 0g) x 2 + 6 = 10 h) 3x 2 – 7 = x 2 + 9

    i ) x85

    522 = j ) x9

    2501–

    2 = 0

    k) x254

    251 0–

    2= l ) x21 21 0–

    2=

    2.Laburtu, atera faktore komuna eta ebatzi.a) x 2 – 4x = 0 b) x 2 + 2x = 0c) x 2 – x = 0 d) x 2 + x = 0e) 3x 2 – 2x = 0 f ) 5x 2 + x = 0g) 5x 2 = 4x h) 2x 2 = –xi ) 2x + x 2 = 7x j ) 3x 2 – 2x = 2x 2 – 4x

    k) x x2 32

    = l ) x x x3 4 652+ =

    3.Formula aplikatuz, ebatzi.a) x 2 – 6x + 8 = 0 b) x 2 – 6x + 5 = 0c) x 2 + x – 12 = 0 d) x 2 + 7x + 10 = 0e) 2x 2 – 7x + 6 = 0 f ) x 2 – 2x + 1 = 0g) x 2 + 6x + 9 = 0 h) x 2 – 3x + 3 = 0

    4.Laburtu eta ebatzi.a) x 2 – 3x – 5 = 2x + 9b) 6x 2 – 5(x – 1) = x(x + 1) + 4

    c) 2x 2 + x4

    = x 2 + x54

    51+

    d) x(x + 1) – x21

    64–=

    e) x x x x32 2

    5 103 7–2+ + = +

    5. Ebatzi honako ekuazio hauek, erreparatu antze-kotasunei eta desberdintasunei eta konparatu soluzioak:

    x 2 – 6x + 5 = 0 x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x + 10 = 0

    Pentsatu eta egin

    Praktikatu bigarren mailako ekuazioen formula aplikatuz.

    Webgunean

    Praktikatu bigarren mailako ekuazioak ebatziz.

    Webgunean

    Ebatzi problemak bigarren mailako ekuazioekin.Webgunean OHARRAK

    Iradokizunak•Maila honetan, nahikoa izango da neska-mutilek bigarren mailako ekua-

    zioak ebazteko formula zein den jakitea eta erabiltzea. Formula horren justifikazioa oso prozesu zaila da.

    •Adibideetan, ikasleek bigarren mailako ekuazio osatuek izan ditzaketen soluzio motak bereizten ikasiko dute.

    Indartzeko eta SakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

    •MATEMATIKAKO ARIKETAK 3. koadernotik:

    Indartzeko: 35. orrialdeko 1. ariketa. 36. orrialdeko 2. eta 4. ariketak.

    Sakontzeko: 37. orrialdeko 5. ariketa. 52. eta 53. orrialdeko ariketa guz-tiak.

    «Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

    1 a) x = ±9 b) x = ±5 c) x = ± 7

    d) x = ±2 e) x = ±21 f) x = ±3

    g) x = ±2 h) x = 2 2± i ) x = ±54

    j ) x = ±103 k) x = ±

    21 l ) x = ±21

    2 a) x(x – 4) = 0 b) x(x + 2) = 0 c) x(x – 1) = 0

    x = 0; x = 4 x = 0; x = –2 x = 0; x = 1

    d) x(x + 1) = 0 e) x(3x – 2) = 0 f) x(5x + 1) = 0

    x = 0; x = –1 x = 0; x = 32 x = 0; x = –

    51

    g) x(5x – 4) = 0 h) x(2x + 1) = 0 i ) x(x – 5) = 0

    x = 0; x = 54 x = 0; x = –

    21 x = 0; x = 5

    j ) x(x + 2) = 0 k) x(3x – 2) = 0 l ) x(x + 2) = 0

    x = 0; x = –2 x = 0; x = 32 x = 0; x = 2

    3 a) x = 4; x = 2 b) x = 5; x = 1

    c) x = 3; x = – 4 d) x = –2; x = –5

    e) x = 2; x = 23 f) x = 1; x = 1

    g) x = –3; x = –3 h) Ez du soluziorik.

    4 a) x = 7; x = –2 b) x = 1; x = 51

    c) x = 54 ; x = –

    41 d) x = –

    21 ; x = –

    31

    e) x = –1; x = 61

    5 x 2 – 6x + 5 = 0 → x = 5; x = 1

    x 2 – 6x + 9 = 0 → x = 3; x = 3

    x 2 – 6x + 10 = 0 → Ez du soluziorik.

    Lehenengoak bi soluzio desberdin ditu; bigarrenak bi soluzio berdin ditu, eta hirugarrenak ez du soluziorik. Formulan errokizuna ( b 2 – 4ac) zero baino handiagoa, zero edo zero baino txikiagoa den arabera, ba-ta edo bestea izango da.

  • 107

    151

    Ariketak eta problemak

    150

    Ekuazio errazak

    1. Ebatzi buruz.a) x + 4 = 5 b) x – 3 = 6 c) 7 + x = 10d) 7 – x = 5 e) 9 = 15 – x f ) 2 – x = 9

    2. Ebatzi.a) 2x – 5 + 3x + 1 = 3x – 2b) x + 7 = 12x – 3 – 8x + 1c) 6x – 1 + x = 4 – 5x + 3d) x + 2x + 3x – 5 = 4x – 9e) 5x + 4 – 6x = 7 – x – 3f ) 4x + 2 + 7x = 10x + 3 + x

    3. Kendu parentesiak eta ebatzi.a) 6(x + 1) – 4x = 5x – 9b) 18x – 13 = 8 – 4(3x – 1)c) 3x + 5(2x – 1) = 8 – 3(4 – 5x)d) 5 – (4x + 6) = 3x + (7 – 4x)e) x – 7(2x + 1) = 2(6 – 5x) – 13f ) 11 – 5(3x + 2) + 7x = 1 – 8xg) 13x – 5(x + 2) = 4(2x – 1) + 7

    Lehen mailako ekuazioak izendatzaileekin

    4. Kendu izendatzaileak eta ebatzi.

    a) x35 + 1 =

    65 + x

    b) x x x53

    41

    107

    51– – –=

    c) x x x3 154

    61

    107– –+ =

    d) x x x x47 1 8 8

    5 1– – = + +

    e) x x x2 61

    3 65

    6 32– –+ = +

    5. Kendu parentesiak eta izendatzaileak eta ebatzi.

    a) 2x – 25

    21= (x – 3) b) ( )x x x

    65 2 1

    6– – =

    c) x x5 1 2 54– –= c m d) x – 3

    161= (2x – 5)

    6. Kendu izendatzaileak eta ebatzi.

    a) 1 – x x31 2 3

    1–+ = b) 1 – x x31

    21– = +

    c) x23 1– – 1 = 2x – 2 d) x + x x5

    2 32

    – = + 1

    e) 2x + x x23

    43– –= f ) x x x5

    3 1 21– –= +

    g) x x53

    76– –+ = 1 h) x x x3

    112

    14

    3 1– – – –=

    7. Ebatzi honako ekuazio hauek:

    a) x x x4

    3 15

    2 120

    7 13– – –+ =

    b) 2 + ( )x x x52 1 5

    2 3–+ = +

    c) ( ) ( )x x32 1 3

    43 1

    125– –+ = (1 – x)

    d) x x x53

    31 1

    43

    32– –+ + =c cm m

    8. Ariketa ebatzia

    Honako ekuazio hau ebaztea: 1 + x x2

    31

    32+ =

    3x · ·x x x12

    31 3 3

    2+ + =c m

    3x + 6 + x = 2 → 4x = 2 – 6

    4x = – 4 → x = 44– → x = –1

    9. Ebatzi aurreko ariketan bezala.

    a) x x2

    21

    35+ = + 1 b) x x2

    151

    51

    21+ = +

    c) x x x21

    92 1 3

    1– = + d) ( )x x1

    123

    2 13

    – –+ =

    Biderkatu 6x, 10x, 18x eta 2(x – 1)-ekin, hurrenez hurren.

    Bigarren mailako ekuazioak10. Erreparatu, arrazoitu eta ebatzi.

    a) 5x 2 = 45 b) 12x 2 = 3c) x(x – 3) = 0 d) (x + 5)x = 0e) x(3x – 1) = 0 f ) 3x(5x + 2) = 0g ) x 2 – 7x = 0 h) x 2 + 4x = 0i) 3x 2 = 2x j ) 5x 2 = x 2 – 2x

    ax  2 + bx + c = 0 ekuazioaBigarren mailako ekuazio osotua ebazteko prozesua luzea eta korapilatsua da; ondorioz, ezezaguna bakanduta eskaintzen duen formula erabiltzen dugu. Formula horrek soluzioetara azkar eta eroso iristen utziko dizu.

    formula:

    ax 2 + bx + c = 0 → x = ± ab b ac

    24– –2

    Formula hori goragoko mailetan justifikatuko da. Oraingoz, buruz ikastea eta honako adibide hauetan erakusten den eran erabiltzen trebatzea komeni zaizu.

    Adibideak•5x 2 – 7x + 2 = 0 → a = 5; b = –7; c = 2

    x = ·( ) ± ( ) · · ±

    2 57 7 4 5 2

    107 9– – – –2 = = 10

    7 3 1

    107 3

    52–

    + =

    =

    •5x 2 + 6x + 2 = 0 → a = 5; b = 6; c = 2

    x = ·± · · ±

    2 56 6 4 5 2

    106 4– – – –2 =

    Ekuazioak ez du soluziorik, – 4k ez duelako erro karraturik.

    Soluzio bikoitza(x – 5)2 = 0

    x 2 – 10x + 25 = 0 abc

    110

    25–

    ===

    *

    x = ·

    ( )± ( ) · ·2 1

    10 10 4 1 25– – – –2 =

    = ·±

    2 110 0 = 2

    10 0 5

    210 0 5–

    + =

    =

    1. Ebatzi honako ekuazio hauek:a) x 2 = 81 b) x 2 = 25c) x 2 = 7 d) 5x 2 = 20e) 4x 2 = 1 f ) x 2 – 9 = 0g) x 2 + 6 = 10 h) 3x 2 – 7 = x 2 + 9

    i ) x85

    522 = j ) x9

    2501–

    2 = 0

    k) x254

    251 0–

    2= l ) x21 21 0–

    2=

    2.Laburtu, atera faktore komuna eta ebatzi.a) x 2 – 4x = 0 b) x 2 + 2x = 0c) x 2 – x = 0 d) x 2 + x = 0e) 3x 2 – 2x = 0 f ) 5x 2 + x = 0g) 5x 2 = 4x h) 2x 2 = –xi ) 2x + x 2 = 7x j ) 3x 2 – 2x = 2x 2 – 4x

    k) x x2 32

    = l ) x x x3 4 652+ =

    3.Formula aplikatuz, ebatzi.a) x 2 – 6x + 8 = 0 b) x 2 – 6x + 5 = 0c) x 2 + x – 12 = 0 d) x 2 + 7x + 10 = 0e) 2x 2 – 7x + 6 = 0 f ) x 2 – 2x + 1 = 0g) x 2 + 6x + 9 = 0 h) x 2 – 3x + 3 = 0

    4.Laburtu eta ebatzi.a) x 2 – 3x – 5 = 2x + 9b) 6x 2 – 5(x – 1) = x(x + 1) + 4

    c) 2x 2 + x4

    = x 2 + x54

    51+

    d) x(x + 1) – x21

    64–=

    e) x x x x32 2

    5 103 7–2+ + = +

    5. Ebatzi honako ekuazio hauek, erreparatu antze-kotasunei eta desberdintasunei eta konparatu soluzioak:

    x 2 – 6x + 5 = 0 x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x + 10 = 0

    Pentsatu eta egin

    Praktikatu bigarren mailako ekuazioen formula aplikatuz.

    Webgunean

    Praktikatu bigarren mailako ekuazioak ebatziz.

    Webgunean

    Ebatzi problemak bigarren mailako ekuazioekin.Webgunean

    «Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

    1 a) x = 1 b) x = 9 c) x = 3

    d) x = 2 e) x = 6 f) x = –7

    2 a) x = 1 b) x = 3

    c) x = 32 d) x = –2

    e) Identitatea da. Infinitu soluzio ditu.

    f) Bateraezina da. Ez du soluziorik.

    3 a) x = 5 b) x = 65 c) x = –

    21

    d) x = –38 e) x = –2

    f) Identitatea da. Infinitu soluzio ditu.

    g) Bateraezina da. Ez du soluziorik.

    4 a) x = –41 b) x =

    61

    c) x = –3 d) Ez du soluziorik.

    e) Identitatea da. Infinitu soluzio ditu.

    5 a) x = 32 b) x =

    35

    c) x = 31 d) x = –

    43

    6 a) x = 73 b) x =

    41

    c) x = 1 d) x = – 6

    e) x = 31 f) x = 5

    g) x = –8 h) x = 74

    OHARRAK

    7 a) Bateraezina da. Ez du soluziorik.

    b) x = 15 c) x = 53– d) x = –2

    8 Ariketa hau ikaslearen liburuan ebatzita dago.

    9 a) x = 32 b) x = 1

    c) x = –181 d) x =

    34

    10 a) x = ±3 b) x = ±21

    c) x = 0; x = 3 d) x = 0; x = –5

    e) x = 0; x = 31 f) x = 0; x = –

    52

    g) x = 0; x = 7 h) x = 0; x = – 4

    i ) x = 0; x = 32 j ) x = 0; x = –

    21

  • 108

    152 153

    Ariketak eta problemak11. Ebatzi formula aplikatuz.

    a) x 2 – 10x + 21 = 0 b) x 2 + 2x – 3 = 0c) x 2 + 9x + 40 = 0 d) 5x 2 + 14x – 3 = 0e) 15x 2 – 16x + 4 = 0 f ) 14x 2 + 5x – 1 = 0g) x 2 – 10x + 25 = 0 h) 9x 2 + 6x + 1 = 0i ) 6x 2 – 5x + 2 = 0 j ) 6x 2 – x – 5 = 0

    12. Laburtu forma orokorrera eta aplikatu formula.

    a) x 2 – x41

    51

    41–= b l

    b) x x x x2 301

    3 52+ = +c cm m

    c) x x x x3 201

    2 151 2 2

    1– – –2

    =c cm m

    d) x x x2 32 5–2 2+ = – 1

    Ebatzi problemak lehen mailako ekuazioekin

    13. Lehenengo, kalkulatu buruz eta, gero, ekuazio baten laguntzaz.a) Zenbaki jakin bati 12 batuz gero, 25 lortzen da.

    Zer zenbaki da hori?b) Zenbaki jakin bati 10 kenduz gero, 20 lortzen da.

    Zer zenbaki da hori?c) Zenbaki bat, x, eta horren hurrengoa batuz gero,

    batura 13 da. Zer zenbaki dira horiek?d) Gure ikasgelan, 29 gara guztira, baina mutilak

    neskak baino hiru gehiago dira. Zenbat mutil eta zenbat neska daude gure ikasgelan?

    14. Bilatu honako zenbaki hau: zenbaki hori bi halako, berdin zenbaki bera hiru halako ken bost unitate.

    15. Zenbaki jakin bat bostekin biderkatuz zein zenba-ki horri 12 gehituz, kantitate bera ateratzen da.Zer zenbaki da hori?

    16. Bi zenbakiren batura 167 da eta horien kendura, 19.Zer zenbaki dira horiek?

    17. Zenbaki arrunt bati hurrengoa batuz, 157 atera-tzen da. Zer zenbaki da hori?zenbakia → x horren hurrengoa → x + 1

    18. Ondoz ondoko hiru zenbakiren batura 135 da. Zer zenbaki dira horiek?

    19. Teresa Andoni baino 7 urte zaharragoa eta Zuriñe baino bi urte gazteagoa da. Kalkulatu zer adin duen bakoitzak, jakinik hiruren adinen batura 34 ur-te dela.andoni → x – 7; teresa → x ; zuriñe → x + 2

    20. Ensaimada croissanta baino 10 zentimo gares-tiagoa da. Hiru croissant eta lau ensaimada 6 euro ordaindu ditugu. Zenbat balio du pieza bakoitzak?

    21. Nikolasek bi praka eta hiru kamiseta erosi ditu merkealdian 161 euroan. Zenbat balio du jantzi bakoitzak, praka baten prezioa kamisetarena bi ha-lako baldin bada?

    22. Banatu 280 € hiru pertsonaren artean lehenen-goak bigarrenak hiru halako eta bigarrenak hirugarre-nak bi halako jasotzeko moduan.1. pertsona → 6x ; 2. → 2x ; 3. → x

    23. Hiru nekazarik 100 000 euroko kalte-ordaina jaso dute autobidea egiteko desjabetu dizkioten lurrengatik. Nola banatu behar da dirua, lehenen-goak bigarrenaren lurra bi halako eta bigarrenak hirugarrenarenak hiru halako galdu dutela jakinda?

    24. Supermerkatu bateko kutxan, 1 140 euro daude 5, 10, 20 eta 50 euroko billetetan banatuta.Honako hau jakinik:— 5 euroko billeteak 10 eurokoak bi halako dira.— 10 euroko eta 20 euroko billete kopuru bera dago.— 20 eurokoak 50 eurokoak baino sei gehiago dira.Mota bakoitzeko zenbat billete daude kutxan?

    25. 500 litro gasolio bi upeletan banatu dira zati ber-dinak eginez. Zenbat litro pasatu behar dira batetik bestera, bigarrenak lehenengoak hiru halako izan dezan?

    26. Ortuzain batek ortuaren erdian meloiak sartu ditu; herenean, tomateak eta gainerako espazioan (200 m2), patatak. Zer azalera du ortuak?

    ortuaren azalera → x meloiak → x/2tomateak → x/3 patatak → 200 m2

    27. Ariketa ebatzia Jokinek 14 urte ditu; arrebak, 16, eta amak, 42. Zenbat urte igaroko dira bi seme-alaben adinen ba-tura amak izango dituen urteak bestekoa izan arte?

    gaurko adina x urte barruko adina

    jokin 14 14 + xarreba 16 16 + x

    ama 42 42 + x

    x urte barru, honako hau gertatuko da:

    jokinen adina +

    arrebaren adina =

    amaren adina

    (14 + x) + (16 + x) = 42 + x2x + 30 = 42 + x → x = 12

    Soluzioa: 12 urte igaroko dira.

    28. Aita 38 urtekoa da, eta semea, 11koa. Zenbat urte igaroko dira aitaren adina semearena bi halako bakarrik izan dadin?

    29. Adela Jon biloba baino 6 bider zaharragoa da; baina, 8 urte barru, lau bider zaharragoa izango da. Zenbat urte ditu bakoitzak?

    30. Txirrindulariak 15 km/h-ko abiaduran igo du mendatea eta, gero, bide beretik, 35 km/h-an jaitsi da. Ibilaldiak 30 minutu iraun du. Zenbat denbora behar izan du igoeran?

    igotzeko denbora → x (ordu)jaisteko denbora → 1/2 – x (ordu)igotzen egindako distantzia → 15x

    jaisten egindako distantzia → 35 x21 –c m

    31. Bi txirrindulari aldi berean atera dira; bat, A-tik B-rantz, 24 km/h-ko abiaduran, eta bestea, B-tik A-rantz, 16 km/h-koan. A eta B-ren arteko distantzia 30 km-koa da. Zenbat denbora barru elkartuko dira?elkartu arteko denbora → x (orduak)lehenengoak egindako distantzia → 24xbigarrenak egindako distantzia → 16x

    32. Bi tren elkarren arteko 132 km-ko distantzian dauden bi hiritako geltokietan daude, hurrenez hurren. Biak, bide paraleloetan zehar, aurkako hiri-rantz atera dira. Lehenengoa 170 km/h-ko abiaduran doa, eta bigarrena, 95 km/h-koan. Zenbat denbora barru gurutzatuko dira?

    33. Txirrindularia herri jakin batetik atera da 22 km/h-ko abiaduran. Ordubete eta erdi geroago, horren atzetik atera da motorduna 55 km/h-an. Zenbat denbora barru harrapatuko du txirrindularia?

    34. % 12 merkeago egon den jantzia 66 € ordaindu da. Zenbat balio zuen jantziak merkatu baino lehen?

    jatorrizko prezioa → x deskontua → x10012

    ekuazioa → x – x10012 = 66

    35. Loreak gona eta blusa 66 euroan erosi ditu. Biek zuten prezio bera, baina gonan % 25eko deskontua egin diote eta blusan, % 15ekoa bakarrik. Zenbat balio zuen jantzi bakoitzak?

    36. Forma angeluzuzena eta luzera zabalera bi halako duen zona mugatzeko, 84 m zinta behar izan da. Zer dimentsio ditu mugatu den tokiak?

    37. Triangelu bateko angeluetako baten zabalera beste bi angeluena baino 13 gradu handiagoa eta 18 gradu txikiagoa da, hurrenez hurren. Kalkulatu zer neurri duen angeluetako bakoitzak.

    x

    x + 18

    x – 13

    38. Gaztagile batek litroak 0,50 €/l balio duen behi-esnearen kantitate bat litroak 0,80 € balio duen ardi-esnearen beste kantitate batekin nahasi du. Horrela, litroak 0,70 € balio duen 300 litro esne lortu ditu. Mota bakoitzeko zenbat litro esne erabili ditu?

    kantitatea (l ) prezioa (€/l ) kostua (€)

    behia x 0,50 0,5xardia 300 – x 0,80 0,8(300 – x)

    nahastea 300 0,70 0,7 · 300

    behi-esnea-ren kostua +

    ardi-esnea-ren kostua =

    nahastea-ren kostua

    «Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

    11 a) x = 7; x = 3 b) x = 1; x = –3

    c) Ez du soluziorik. d) x = 51 ; x = –3

    e) x = 32 ; x =

    52 f) x =

    71 ; x = –

    21

    g) x = 5; x = 5 h) x = –31 ; x = –

    31

    i) Ez du soluziorik. j) x = 6; x = –5

    12 a) x = 41 ; x = –

    51 b) x = 0; x =

    107

    c) Ez du soluziorik. d) x = 8; x = –2

    13 a) Zenbaki hori 13 da. b) Zenbaki hori 30 da.

    c) Zenbaki horiek 6 eta 7 dira. d) 13 neska eta 16 mutil daude.

    14 Zenbaki hori 8 da.

    15 Zenbaki hori 3 da.

    16 Zenbaki horiek 74 eta 93 dira.

    17 Zenbaki hori 78 da.

    18 Zenbaki horiek 44, 45 eta 46 dira.

    19 Andonik 6 urte ditu; Teresak, 13 urte, eta Zuriñek, 15 urte.

    20 Croissantak 80 zentimo balio du, eta ensaimadak, 90 zentimo.

    21 Kamisetak 23 € balio du, eta prakak, 46 €.

    22 Hirugarrenak 31,11 € jasoko ditu. Bigarrenak, 62,22 €. Lehenengoak, 186,67 €.

    23 Lehenengo nekazariari, 8 60 000 €

    Bigarren nekazariari, 8 30 000 €

    Hirugarren nekazariari, 8 10 000 €

    24 Kutxan 50 €-ko 10 billete, 20 €-ko 16 billete, 10 €-ko 16 billete eta 5 €-ko 32 billete daude.

    25 Lehenengo upelean 125 l egon behar dira, eta bigarrenean, 375 l.

    26 Ortuak 1 200 m2-ko azalera du.

    27 Ariketa hau ikaslearen liburuan ebatzita dago.

    28 16 urte igaroko dira.

    29 Jonek 12 urte ditu, eta Adelak, 72 urte.

    30 Igoeran 21 minutu behar izan ditu.

    31 Hiru ordu laurden barru elkartuko dira.

    32 48 minutu barru gurutzatuko dira.

    33 Ordubete barru harrapatuko du txirrindularia.

    34 75 € balio zuen merkatu aurretik.

    35 Jantzi bakoitzak 40 € balio zuen.

    36 Mugatu den tokiak 14 m × 28 m ditu.

    37 Angeluak hauek dira: x = 3

    175 = 58° 20’

    x + 18 = 76° 20’

    x – 13 = 45° 20’

    38 100 litro behi esne eta 200 litro ardi esne erabili ditu.

  • 109

    154 155

    Ariketak eta problemak39. Enpresa batek depositu bat zuku kontzentratu

    erosi du 0,35 €/l-ko prezioan. Zuku horri 35 litro ur bota dizkio. Horrela, litroa 7 zentimo merkeago ate-ratzen da. Zenbat zuku zegoen deposituan ura bota baino lehen?

    40. Txirrindularia 18 km/h-ko abiaduran doa errepi-dean zehar 20 minutuz. Zer abiadura eraman beharko luke hurrengo 10 minutuetan, hogeita hamar minutu horietako batez bestekoa 20 km/h-koa izan dadin?

    Ebatzi problemak bigarren mailako ekuazioekin41. Kalkulatu, lehenengo buruz eta gero ekuazio ba-

    ten bidez.a) Hurrengoarekin biderkatutako zer zenbakiren

    batura da 12? x · (x + 1) = 12b) Ondoz ondoko bi zenbakiren karratuen batura

    5 da. Zer zenbaki dira? x 2 + (x + 1)2 = 5

    42. Zenbaki bat gehi hiru unitate bider zenbaki hori ken beste hiru unitate, 55 da. Zer zenbaki da hori?

    (x + 3) · (x – 3) = 55

    43. Zenbaki bat bi halako bider zenbaki berori ken 5 unitate, berdin 12 da. Zer zenbaki da hori?

    44. Taldeko kideek 80 euroko oparia egingo diogu entrenatzaileari.Garesti samar ateratzen zaigu, baina, beste bi izanez gero, bakoitzak bi euro gutxiago ordaindu beharko luke. Zenbat gara taldean?taldeko kideen kopurua → x

    bakoitzak ordaindu beharrekoa → x80

    bi gehiago izanez gero, bakoitzak ordainduko

    luke → x 280+

    bakoitzak ordainduko

    lukeena

    – 2 = bi gehiago izanez gero ba-koitzak ordainduko duena

    45. Ariketa ebatziaLaukizuzen baten dimentsioak zenbat diren kalkulatzea, jakinik luzeran 7 cm gehiago dituela zabaleran baino, eta 120 cm 2-ko azalera duela.

    x · (x + 7) = 120 x 2 + 7x – 120 = 0

    x

    x + 7

    120 cm2

    x = ·± · · ( ) ±

    2 17 7 4 1 120

    27 23– – – –2 = 8

    15–

    46. Laukizuzen baten perimetroa 100 m da eta azale-ra, 600 m2. Kalkulatu laukizuzenaren dimentsioak.

    x

    50 – x

    600 m2

    Aztertu eta adierazi47. Aztertu problemaren enuntziatuaren osteko so-

    luzioak eta azaldu nola eraiki den ekuazioa kasu bakoitzean.Kalkulatu zenbat den honako lursail honen perimetroa, jakinik 930 metro karratuko azalera duela.

    x

    24 m

    15 mx—3

    A ebazpena

    24 · x x3–b l + 15 · x = 930

    24 · x32 + 15 · x = 930 → 16x + 15x = 930

    31x = 930 → x = 31930 → x = 30 m

    Perimetroa = 30 + 15 + 10 + 24 + 20 + 39 = 138 m

    B ebazpena

    (24 + 15) · x – 24 · x3 = 930

    39x – 8x = 930 → 31x = 930

    x = 31930 → x = 30 m

    Perimetroa = 24 + 10 + 15 + 30 + 39 + 20 = 138 m

    «+» problemak 48. Iturri batek bi txorrota ditu. Lehenengoa baka-

    rrik irekiz gero, 8 orduan beteko da, eta biak irekiz gero, 3 orduan. Zenbat denbora barru beteko da bigarren txorrota bakarrik irekitzen baldin bada?

    49. Ortu bat ureztatzeko aska 3 orduan betetzen da, putzutik ura ateratzen duen ponparen bidez. Atzo, aska beterik zegoela, Evak ponpa konektatu zuen eta, horrela, 6 orduan ureztatu zuen ortua, harik eta aska hutsik geratu zen arte. Zenbat denbora barru hus-tuko litzateke aska, ponpa konektatu gabe?

    50. Automobila A-tik B-rantz irten da kamioia B-tik A-rantz atera den aldi berean, eta 2 ordu barru elkar-tu dira bitarteko puntu batean. Zenbat denbora be-har izan du automobilak bide osoa egiteko, kamioiak 5 orduan egin duela jota?

    51. Honako hau dakigu bi zifrako zenbaki bati buruz:

    a) 5en multiplo da, baina ez 10ena.

    b) Zifren ordena alderantzikatuz gero, 27 unitate txikiago bihurtzen da. Zer zenbaki da?

    Ikasi problemak ebazten

    Zenbat txorrota daude? Zenbat denbora behar du lehenengoak urmaela betetzeko? Eta biak irekiz gero? Zer galdetu dizute?

    Idatzi datuak, kokatu ezeza-guna eta emaiozu izena.Ba al dakizu elementu horiek erlazioan jartzen?

    Adierazi esan duzuna ekuazio baten bidez.

    Ederto. Ebatzi eta amaitu ekua-zioa.

    Zergatik ez duzu pentsatzen txorrota bakoitzak ordube-tean urmaelaren zer zati betetzen duen?

    Jar al ditzakezu zati horiek erla-zioan?

    — A eta B-ren denborak ez dira batzen, batera denbora gutxiago behar dute eta... Ez dakit. a b a + b

    denbora 3 h x h 2 h

    — Horrela → x31 1

    21+ =

    — Izendatzaileak kentzeko, bi atalak 6x-rekin biderkatuko ditut.

    6x · x31 1+c m = 6x · 2

    1 → 2x + 6 = 3x → x = 6

    Soluzioa: B txorrota bakarrik irekiz gero, 6 orduan beteko da urmaela.

    — Ederto, horixe egingo dut.a b a + b

    ordubetean betetzen du:

    urmaelaren

    31

    urmaelaren

    x1

    urmaelaren 12

    — Orain, bai. A-k ordubetean betetzen duen zatia gehi B-k betetzen duena, berdin biek batera betetzen dutena.

    A eta B txorrotek urmael batera daramate ura. A bakarrik irekiz gero, urmaela 3 orduan betetzen da. Bi txorrotak irekiz gero, 2 orduan betetzen da. Zenbat denbora barru beteko da B txorrota bakarrik irekitzen baldin bada?

    Egiaztatu enuntziatua ulertu duzula.

    Pentsatu zer bide hartuko duzun problema ebazteko. Zer jakin behar duzu?

    OHARRAK

    Pentsamendu kritikoa 47. ariketan honako hau iradokitzen da:

    Lehenengo, ikasleek problema beraien baliabideak erabiliz ebatz dezake-te, eta, gero, bakoitzak erabilitako prozesuak orrialdean ematen direnekin konparatu. Beste bideren bat saiatzeko ere eska diezaiekegu.

    «Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

    39 140 litro zeuden deposituan.

    40 24 km/h-ko abiadura eraman beharko luke.

    41 a) Zenbaki horiek 3 eta 4 edo –4 eta –3 dira.

    b) Zenbaki horiek 1 eta 2 edo –2 eta –1 dira.

    42 Zenbaki hori 8 edo –8 da.

    43 Zenbaki hori 6 edo –1 da.

    44 Taldean 8 gara.

    45 Ariketa hau ikaslearen liburuan ebatzita dago.

    46 Laukizuzenak 30 m ditu luzeran, eta 20 m zabaleran.

    47 A ebazpena

    Bi laukizuzen bertikalen azaleren arteko batura kalkulatu da eta eman-dako azalerarekin berdindu da, x kalkulatzeko.

    B ebazpena

    Irudiaren azalera kalkulatzeko, laukizuzen handiari goiko ezkerraldeko laukizuzen txikia kendu zaio eta, horrela, perimetroa kalkulatzeko beharrezkoa den x ezezaguna lortu da.

    Ikasi problemak ebazten Atal honetan, adibide baten jarraipena eginez, ikasleei problemak ebazte-ko ereduak, estrategiak eta jarraibideak eskura jarriko dizkiegu.

    • Enuntziatua behin eta berriz irakurri, ondo ulertu arte.

    • Prozesuari buruzko gogoeta egin. Soluziora heltzeko datuak eta tarteko urratsak erabaki.

    • Prozesua deskribatu. Eragiketa bakoitzaren eta hortik lortzen den datu bakoitzaren esanahia azaldu.

    • Soluzioa adierazi.

    Atal honetako helburuak ahalik gehien ustiatzeko, ikasleei problema be-raiek bakarrik ebazteko eska diezaiekegu hasieran, bakoitzak bere bidea bilatuz. Gero, talde handian, jarraitutako prozesuak, emandako azalpenak, etab. konparatuko ditugu. Azkenik, orrialdean ageri den garapena aztertu-ko dugu.

    «Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

    48 4 h eta 48 minutu barru beteko da.

    49 Aska 2 h barru hustuko litzateke, ponpa konektatu gabe.

    50 3 h eta 20 min behar izan ditu bide osoa egiteko.

    51 Zenbaki hori 85 da.

  • 110

    156 157

    Irakurri eta jo informazio bila x-ren historia Ekuazioen aipamenak xv. mendearen aurreko arabiar matematikarien izkri-buetan ageri dira: Gauzaren tratatua delako lanean. Lan horretan, gauza hitzak zenbat balio duen ez dakiguna esan nahi du; hau da, ezezaguna.

    «Zenbat balio du gauzak, baldin eta bost han-diago eginda gauza bi halako ken zazpi bada?»

    Eta, arabieraz, gauza hitza xay ahoskatzen denez, hori da itzultzaileek erabili zuten hitza. Geroago, hasierako letra bakarrik erabiltzen hasi ziren.

    Ekuazioak: maila eta zailtasunaMatematikariek ez zuten zailtasun handirik izan lehenengo eta bigarren mailako ekuazioak ebazteko formulak lortzeko. Arazo horiek Erdi Aroan konpondu ziren.

    Baina ez zen gauza bera gertatu bitik gorako mailak zituzten ekuazioekin. Izatez, Errena-zimentuan zehar, xvi. mendeko italiar matematikariek, aurreratuenak aldi hartan, gogor egin zuten lan zeregin horretan.xvii. mendearen amaieran ere, ez zuten lautik gorako mailako ekuazioak ebazteko for-mularik aurkitu, eta arazoak horrela jarraitu zuen harik eta Niels Henrik Abel norvegiar matematikari bikainak (1802-1829), xix. mendean, era horretako formularik, orokorrean, ez dagoela frogatu zuen arte.

    1. Adierazi honako balio hauetako zein den ekuazioaren soluzio:

    x x51 1– –

    2=

    x = 1 x = 2 x = 4 x = 9 x = 21–

    2.Ebatzi.

    a) 7x – 3 – 2x = 6 + 3x + 1

    b) 1 – 4x – 6 = x – 3(2x – 1)

    3.Ebatzi.

    a) 43 (2x + 4) = x + 19 b) x – x x5

    12

    3+ = + – 2

    c) x – x21

    85

    43–= d) x x3

    2 4 5 61

    152– – =c m

    4.Ebatzi.

    a) 3a 2 – 5 = 70 b) 6x 2 – 3x = x

    c) x 2 – 2x – 3 = 0 d) 8x 2 – 6x + 1 = 0

    5.Pasatu forma orokorrera eta kalkulatu ekuazioaren soluzioak:

    xx2

    3 8– = x – 3

    6.Erramunek hiru kilo madari eta bi kilo sagar erosi eta 7,80 € ordaindu du guztia. Kalkulatu zer prezio duen fruta bakoitzaren kiloak, jakinik kilo bat mada-rik kilo bat sagarrek bider 1,5 balio duela.

    7. Ortuzainak ortuaren 1/3-ean zerbak sartu ditu, eta 3/10ean, azenarioak. 110 m2 ditu libre oraindik. Zenbat da ortuaren azalera guztira?

    8.Kalkulatu zenbat den honako lursail honen perime-troa, jakinik 180 dekametro karratuko azalera duela.

    x

    x

    9 damx—3

    Autoebaluazioa

    Trebatu problemak ebatziz Marraztu eskema, egin kontuak, jo haztamuz•Aizkolariak ordu laurden bat behar du enborra hiru zati egiteko. Zenbat den-

    bora beharko du lodiera bereko enborra sei zati egiteko?•Baserritar batek handizkari bati saldu dizkio tomateak. Handizkariak bitarteko

    bati saldu eta % 20 irabazi du. Bitartekoak biltegi bati saldu dizkio eta % 20 irabazi du. Biltegiak xehekari bati saldu dizkio eta horrek jende arruntari eta bakoitzak % 20 irabazi du.Nekazariak jaso duena baino ehuneko zenbat gehiago da prezioa, tomateak azken eroslearengana iritsi arte?

    •Ipini 1etik 9ra arteko zenbakiak, zirkulu bakoitzean bat, triangeluaren alde bakoitzeko batura 23 izan dadin.Bi soluzio daude.

    Gauza zaraHala ere, zu gauza zara hiru mailako edo goragoko ekuazioak ebazteko.Adibidez, erreparatu honako ekuazio hauei:

    x 3 – 2x 2 – 5x + 6 = 0 (x – 1) · (x + 2) · (x – 3) = 0Lehenengoa ebazteko, orain arte ikasi duzuna erabiliz, haztamuz bakarrik jo dezakezu, eta hori ez da hain segurua.Hala ere, bigarrenaren soluzioak honako hauek direla ikus dezakezu: x = 1, x = –2 eta x = 3.Eta horiek lehenengoaren soluzio ere badira. Egiazta ezazu eta hartu kontuan, paren-tesiak biderkatuz, ekuazio bera dela.•Ausartzen al zara orain honako hiru hauek ebazten?

    (x + 1) · (x + 3) · (2x – 1) = 0 x 3 – 9x = 0 x 3 – 9x 2 = 0•Eraikiko al zenuke honako soluzio hauek dituen ekuazioa?: x = 5, x = 1/5 eta x = –2

    Matematika-lantegia

    eta ikasiizan ekimena

    Ariketa hauen ebazpenak.Webgunean

    Gauza zara Soluzioak

    • Lehenengo ekuazioaren soluzioak: x = –1; x = –3; x = 21

    Bigarren ekuazioaren soluzioak: x = 0; x = –3; x = 3

    Hirugarren ekuazioaren soluzioak: x = 0; x = 0; x = 9

    • x 3 – x5

    165

    47–2 x + 2 = 0

    Trebatu problemak ebatziz Atal honetan, formulazio teorikoetatik eta edukien programatik kanpo dauden zenbait problema eta erronka ematen dira. Helburua da logika matematikoari buruzko problemak ebazteko nork bere estrategiak landu eta garatzea. Beraz, ikasleek matematika arloan ikasitako ezagutzak erabi-liko dituzte, baina baita saiakuntza, haztamuka jotzea, saio-errore bidezko aurkikuntza edo soluzioa lortzen lagunduko dieten beste edozein bide ere. Horrez gain, programatik kanpoko esparru honetan, ariketa eta egoe-ra arin eta jostagarri hauen bidez, arrazoitzeaz gozatzeko modua eta erronkak gainditu eta gogobetetzeko aukera eman nahi zaie.

    Soluzioak

    • 37 min 30 s beharko ditu.

    •% 107,3 gehiago da.

    •Bi soluzio daude:

    8 1 5 9

    32

    6 4

    7

    8 2 4 9

    13

    5 6

    7

    Autoebaluazioaren soluzioak

    1 x = 4 balioa.

    2 a) x = 5 b) x = 8

    3 a) x = 32 b) x = –1

    c) x = –32 d) x = 4

    4 a) a = ±5 b) x = 0; x = 32

    c) x = 3; x = –1 d) x = 21 ; x =

    41

    5 x = 2; x = –8

    6 Sagar kiloak 1,20 € balio du, eta udare kiloak, 1,80 €.

    7 Ortuaren azalera 300 m2-koa da guztira.

    8 Lursailaren perimetroa 60 dam-koa da.

    OHARRAK

  • 111

    OHARRAK