CURVE FITTING

CURVE FITTING (PENCOCOKAN KURVA)

Data seringkali diberikan untuk nilai-nilai diskrit sepanjang suatu rangkaian kesatuan atau Data dijumpai dalam bentuk yang berupa angka dalam tabel.

Dari data-data tersebut Kita dapat :

Mencari nilai / menaksir data pada titik-titik diantara (intermediate values) dari nilai-nilai yang diketahui. Menghitung nilai-nilai fungsi pada sejumlah nilai diskrit

sepanjang rentang yang diamati Membuat fungsi untuk analisis gejala baik melalui

interpolasi maupun ekstrapolasi

Metode ini dikenal sebagai Curve Fitting (pencocokan Kurva)

Metode Prakomputer untuk pencocokan kurva :

Mem-plot titik-titik data dan kemudian membuat sketsa garis yang secara visual bersesuaian terhadap data.

Regresi kuadrat terkecil (least square method) : Apabila data yang diolah masih mungkin mengandung kesalahan.

Dua metode pendekatan yang didasarkan pada jumlah kesalahan yang terjadi pada data.

Interpolasi : Untuk data yang boleh diyakini tidak mengandung kesalahan

ANALISIS REGRESI

Contoh :

Dalam percobaan mendorong sebuah benda uji untuk

mendapatkan hubungan antara besaran gaya dorong

dan jarak perpindahan, diperoleh data sebagai berikut.

Proses penentuan suatu fungsi dekatan

menggambarkan kecenderungan data dengan

simpangan minimum antara nilai fungsi dengan data,

disebut regresi.

Jika absis (x) menyatakan perpindahan dan ordinal (y) sebagai besaran gaya dorong, maka persamaan y = f(x) merupakan fungsi kurva untuk menyatakan hubungan x dan y. Konstanta fungsi dapat ditentukan sehingga analisis kurva dapat diuji ketelitiannya sebagai rumusan pendekatan hubungan antara gaya dan perpindahannya.

Pengamatan

Gaya dorong [ton] Jarak pindah [m]

7.7

10.0

18.5

23.9

28.5

2.4

3.4

7.0

11.1

19.6

Metode ini berasumsi bahwa kurva terbaik yang

dihasilkan adalah kurva yang mempunyai jumlah total

kuadrat kesalahan minimum (least square error) dari

data. Misal data :(x1,y1), (x2,y2) , ..., (xn,yn), adalah

variable bebas dan variable terikat. pencocokan Kurva

mempunyai deviasi (error) e dari setiap titik data e1=y1-

f(x1), e2=y2-f(x2), ..., en=yn-f(xn).

REGRESI KUADRAT TERKECIL

∏ = (e1)2+(e2)

2+…………+(en)2 =

minimum

dimana f(x) merupakan suatu polinomial pendekatan :

Y= a0 + a1.X +a2.X2 + ... + an.X

n

dimana n : derajat dari polinomial yang dipergunakan

f(x)= a0 + a1.X bentuk linier

f(x)= a0 + a1.X + a2.X2 bentuk kurva derajat dua

f(x)= a0 + a1.X + a2.X2 + a3.X

3 bentuk kurva derajat tiga

Menurut metode ini, kurva terbaik mempunyai karakteristik:

Untuk mengetahui derajat kesesuaian dari persamaan

yang didapat, dihitung nilai koefisien korelasi yang

berbentuk:

KOEFISIEN KORELASI

Dimana r : koefisien korelasi

Koefisien korelasi ini juga dapat

digunakan untuk memilih suatu

persamaan dari beberapa

alternatif yang ada, terutama di

dalam regresi garis tidak lurus.

Untuk perkiraan yang sempurna

nilai r = 1. Apabila r = 0 perkiraan

suatu fungsi sangat jelek.

Metode ini memakai Suatu garis lurus f(X) = a + b.X

REGRESI LINIER

Untuk menentukan harga pendekatan terhadap

sekumpulan data: (x1,y1), (x2,y2) , ...., (xn,yn) dengan n

Yi = a + b . Xi + ξi untuk i = 1 sampai n

ξi = Yi – a – b . Xi untuk i = 1 sampai n

Minimumkan kuadrat kesalahan :

∏=

N

i

i

1

2 min).(

1

2

N

i

ii XbaY

N

i

ii XfY1

2)}({

dimana a dan b adalah koefisien yang tidak diketahui.

Untuk memperoleh kesalahan kuadrat terkecil maka

koefisien a dan b harus menghasilkan turunan pertama

NOL.

N

i

i

N

i

i

N

i

i

XX

XN

1

2

1

1

N

i

ii

N

i

i

YX

Y

1

1

a

b

Selanjutnya a dan b dapat ditentukan dengan

menggunakan persamaan :

Nilai a dapat juga dihitung dari persamaan

n . a + ∑xi . b = ∑yi

a = 1/n (∑yi - ∑xi . b)

sehingga

Sebuah studi yang dilakukan untuk menentukan lebar

jalur yang aman untuk pengendara sepeda serta

jaraknya dari lalu-lintas kendaraan umum. Data yang

dikumpulkan dari sepuluh jalan adalah :

Lebar jalur sepeda x(ft) Jarak dari lalu-lintas

5 4

10 8

7 5

7.5 8

7 6

6 6

10 10

9 10

5.54 5

15 7

Contoh :

Gambarkan kurva dari data dan dari hasil persamaan

regresi linear dalam satu grafik. Jika jarak minimum jalur

sepeda dari lalu-lintas umum adalah 6 ft, berapakah

lebar jalur sepeda yang aman.

NO X Y X.Y X2

1 5 4 20 25

2 10 8 80 100

3 7 5 35 49

4 7.5 8 60 56.25

5 7 6 42 49

6 6 6 36 36

7 10 10 100 100

8 9 10 90 81

9 5.54 5 27.7 30.6916

10 15 7 105 225

jumlah 82.04 69 595.7 751.9416

Pertanyaan:

b = 296.24 / 788.8544 = 0.3755

a = 6.9 - 0.3755 x 8.204 = 3.819398

persamaan garis:

Y = 3.819398 + 0.3755 X

untuk Y = 6 ft , maka

X = 5.807195739

Dt2 = 38,9 dan D2 = 27,775278

r = 0,5222

Algoritma Regresi Linier

Inisialisasi JumX=0, JumY=0, JumXY=0, JumX2=0 Untuk I = 1 , N JumX = JumX + X[I] JumY = JumY + Y[I] JumXY= JumXY + X[I].Y[I] JumX2= JumX2 + X[I].X[I] XRata = JumX / N YRata = JumY / N b=(N.JumXY – JumX.JumY)/(N.JumX2 – JumX.JumX) a= Yrata – b . XRata Selesai

LINIERISASI KURVA TIDAK LINIER

Data tidak cocok untuk linier Garis Lengkung lebih cocok

Tiga (3) bentuk non-linier yang dapat dibuatkan

pendekatan linier, agar dapat diselesaikan melalui

regressi linier.

Diberikan dalam bentuk: Y = a. e bx dimana a dan b adalah konstanta, Persamaan tersebut

menjadi ln Y = ln a + ln e . b. X ;

karena ln e = 1, maka : ln Y = ln a + b.x

FUNGSI EKSPONENSIAL

22 )().(

)ln.()ln..(

XXN

YXYXNb

XbYa .lnln

N

YY

lnln N

XX

aea ln

Algoritma Fungsi Eksponensial

Inisialisasi JumX=0, JumlnY=0, JumXlnY=0, JumX2=0 Untuk I = 1 , N JumX = JumX + X[I] JumlnY = JumlnY + ln Y[I] JumXlnY = JumXlnY + X[I].ln Y[I] JumX2 = JumX2 + X[I].X[I] XRata = JumX / N lnYRata = JumlnY / N b=(N.JumXlnY – JumX.JumlnY)/(N.JumX2 – JumX.JumX) lna= lnYrata – b . Xrata a = e**lna Selesai

Diberikan dalam bentuk Y = a . X b Dimana a dan b adalah konstanta Persamaan tersebut

menjadi log Y = log a + b. log X

FUNGSI PANGKAT (Power Model)

22 )log())(log.(

)log.log()log.log.(

XXN

YXYXNb

XbYa log.loglog

N

YY

loglog

N

XX

loglog

aa log10

Buat persamaan dengan pola eksponensial

dan pangkat

Pengamatan gaya aksial

[ton]

Pengamatan perpanjangan

[mm]

7.7

10.0

18.5

23.9

28.5

2.4

3.4

7.0

11.1

19.6

contoh :

Dengan Pola Eksponensial :

NO X Y Q=X P=Ln Y Q2 Q.P

1 7.7 2.4 7.7 0.875469 59.29 6.7411113

2 10 3.4 10 1.223775 100 12.23775

3 18.5 7 18.5 1.94591 342.25 35.999335

4 23.9 11.1 23.9 2.406945 571.21 57.5259855

5 28.5 19.6 28.5 2.97553 812.25 84.802605

jumlah 88.6 9.427629 1885 197.306787

rerata 17.72 1.8855258

b =

= (986.533934 - 835.2879294) / (9425 - 7849.96) =

= 151.2460046 / 1575.04 = 0.09602677

ln a =

Persamaan yang dicari adalah b = B = 0.09602677

karena: a = eln a maka a = 1.20193

sehingga persamaan:

Y = a . e bx Y = 1.20193. e 0.09602677.X

x Y data Y hitungan

0.0 1.201934

7.7 2.4 2.517681

10.0 3.4 3.139928

18.5 7.0 7.102364

23.9 11.1 11.929000

28.5 19.6 18.554190

Data dan fungsi eksponensial pada skala linear

Dengan Pola Pangkat :

NO X Y Q=logX P=Log Y Q2 Q.P

1 7.7 2.4 0.8865 0.3802 0.7859 0.33705

2 10 3.4 1 0.5315 1 0.53150

3 18.5 7 1.2672 0.8451 1.6058 1.07091

4 23.9 11.1 1.3784 1.0453 1.9000 1.44084

5 28.5 19.6 1.4548 1.2923 2.1164 1.88004

jumlah 5.9869 4.0944 7.4081 5.26034

rerata 1.1974 0.8189

b = 1.78893664 / 1.19752839 = 1.493857

log a = 0.8189 – 1.493857 . 1.1974 = - 0.969844

Persamaan yang dicari adalah b = 1.493857

karena: a = 10log a maka a = 0.10719

sehingga persamaan:

Y = a . X b Y = 0.10719. X 1.493857

2)9869,5()4081,7).(5(

)0944,4).(9869,5()26034,5).(5(

b

x Y data Y hitungan

0.0 0

7.7 2.4 2.26175

10.0 3.4 3.34204

18.5 7.0 8.37775

23.9 11.1 12.28241

28.5 19.6 15.97660

0

0

0

0

0

0

Algoritma Fungsi Pangkat

Inisialisasi JumlogX=0, JumlogY=0, JumlogXlogY=0, JumlogX2=0 Untuk I = 1 , N JumlogX = JumlogX + log X[I] JumlogY = JumlogY + log Y[I] JumlogXlogY = JumlogXlogY + log X[I].log Y[I] JumlogX2 = JumlogX2 + log X[I].log X[I] logXRata = JumlogX / N logYRata = JumlogY / N b=(N.JumlogXlogY – JumlogX.JumlogY)/(N.JumlogX2 – JumlogX.JumlogX) loga= logYrata – b . logXrata a = 10**loga Selesai

Diberikan dalam bentuk

Dimana a dan b adalah konstanta Persamaan tersebut

menjadi

PERSAMAAN LAJU PERTUMBUHAN JENUH

(Saturation growth-rate)

Xb

XaY

Xa

b

aYX

Xb

aY

1.

11.

11

22 )

1())

1(.(

)1

.1

()1

.1

.(

XXN

YXYXN

a

b

Xa

b

Ya

111

N

Y

Y

11

N

X

X

11

a

a1

1

Tabel Pola Pertumbuhan Jenuh :

NO X Y 1/X 1/Y (1/X)2 1/X.1/Y

jumlah

rerata

Algoritma Fungsi Laju Pertumbuhan Jenuh

Inisialisasi Jum1PX=0, Jum1PY=0, Jum1PX1PY=0, Jum1PX2=0 Untuk I = 1 , N Jum1PX = Jum1PX + 1 / X[I] Jum1PY = Jum1PY + 1 / Y[I] Jum1PX1PY = Jum1PX1PY + 1 / X[I] . 1 / Y[I] Jum1PX2 = Jum1PX2 + 1 / X[I] . 1 / X[I] PXRata = Jum1PX / N PYRata = Jum1PY / N b/a=(N.Jum1PX1PY – Jum1PX.Jum1PY)/(N.Jum1PX2 – Jum1PX.Jum1PX) 1/a= PYrata – b/a . PXrata a = 1 / (1/a) Selesai

Latihan Penggunaan Model Eksponensial

Menurunnya tingkat pencurian pengguna kelistrikan di PLN Cabang Kubu-Raya akibat operasi OPAL, dapat dinyatakan melalui tabel berikut :

Lama Operasi (bulan)

1

2

2,5

4

6

Jumlah Pencurian Kelistrikan

78

61

54

37

22

Berapa jumlah pencurian pada bulan ke-5 dan bulan keberapa dari operasikah dapat menekan jumlah pencurian kelistrikan tinggal 50 ?

Latihan Penggunaan Model Pangkat

Kenaikan tegangan pada suatu instalasi tergantung pengaturan tegangan melalui posisi tapping trafonya yang dinyatakan melalui tabel berikut :

Posisi Tapping

1

2

3

4

5

Tegangan (Volt)

176

195

203

207

209

Berapa Tegangan yang dihasilkan pada posisi tapping 2,5 dan pada posisi tapping ke-berapakah tegangan mencapai 210 Volt ?

Latihan Penggunaan Model Jenuh

Efek lama promosi untuk produk Nokia terbaru serie-007 terhadap penjualannya dinyatakan melalui tabel berikut :

Lama Promosi (minggu)

2

2,5

4

7

10

Jumlah Penjualan

(unit)

15

17

23

32

40

Berapa Jumlah unit yang terjual bila promosi dilakukan dalam 3 minggu, dan membutuhkan berapa minggu promosikah agar jumlah unit yang terjual jumlahnya 30 ?