HØGSKOLEN I B ERG ENAvdeling for ingeniørutdanning

EKSAMEN I FOA 193 Differensialligninger og databehandling

KLASSA R

DATO

: 06HETK, 06HMAM, 06HMMT, 06HMPR

: 3. desember 2007

TAL pA OPPGAVE RTAL pA SIDERVEDLEGG

HJELPEMIDDEL

TID

MALFORM:

FAGLÆRARAR

: 5: 4 (inkludert denne sida): Formelliste og tabellar

: Enkel kalkulator

: 09.00-13 .00

NYNORSK

: Hans Birger Drange: Aasmund Kvamme

Høgskolen i Bergen, Postboks 7030, 5020 BERGEN Tlf. 55 58 75 00 Fax 55 58 77 90

FOA193 3. d esember 2007 06HETKIMAMlMMTIM PR

Oppgåve 1

Gitt f: RJ _ R ved at f (x, y, z} ~ x2+1 _ Z2+ (j) xX. Vieri førstedelavoppgåvainteresscrti ei flate p som inncheld punktet (1, 1, 3) og som er ei nivåfla te til f .

a) Rekn ut 1(1. 1, 3) og sel opp likn inga for flata p.

b) Rekn så ut grad! (V'f) og bru k den til å finne cin einingsnormalvektor til flata p i punkte t(l, l , 3). Vel de n vek toren som ha r positiv a-komponent.

No er vi in teressert i å finne ut om f ha r eks trema lverd ia r,

c) Sel opp likningane du treng for å finne stasjonære punkt. Løys disse. I dette tilfellet har fberre eitt stasjonæ rt punkt.

d) Finn l-lesse-matrisa til f og undersøk om f har ckstremalverdi.

O p pgåve 2

Funksjonen f er periodisk med periode 4. Vida re ve it vi om f at

f( I) ~ 4 - 12 når t E 1-2, 21

a) Rekn ut f (5) og f(7). Finn så ein formel for f( l ) når I E [2, 61·b) Teikn grafen til f for intervallet [- 6, 6]. Forklar så kvifor vi kan vite a t fourier-re kkja til f

ikke inneheld nokon sinusledd.

c) Still opp eit enklast mogleg int egral som gjev fou rier-kocffisientane til f (for n = 1, 2, 3, . ..).

Ved hjelp av Ma thcad fekk vi dette uttrykket for koeffisientanc all:

32 .sin(1Tn) - 32 1T.ncos(1T n)

3 32·TT -n

Skriv uttrykket all' ti = l , 2, 3, . . . så enke lt som råd , og rekn sjølv ut 0 0.

d) Vi ser her på den lineære inhomogene differensiall ikn inga

x" + 5x' + 6x ~ f ( t ) (1)

der f er den periodiske funksjonen ovanfor. Då veit vi at (1) har ei periodisk løysing somvi kaller h, Finn d ei to første ledda i fourier-rekkja til å . Du kan her om du vil bruke at:

XI =0,048 · cos (qt) + 0, 106 · sin (~ t) er ei loys ing av

X" + 5x' + 6x = cos (i t)

2

(2)

FOA193 3. desember 2007 06HETKIMAMIMMTlMPR

Oppg åve 3

Følgjande ikkjc-lincære d ifferensiallikning beskrive r eit ikkje- lineært svingesystem der x (t ) erut slaget (frå likevekt x = O) ved tida t.

a) Set Y= x' og overfør liknin g (3) til ei t d ifferensiallikningssystem for x og y på forma

x' = f (x . y)y' = g( x. y)

(3)

(4)

b) Figuren viser faseplankurvene for løysingene x(t ), y(t ) med elt punkt merka av på eiav dei lukka ku rvene. Det er også teikna inn piler som viser i kva retning kurvene vertgjennomløpt av x (t ). y (t ).

Forklar ut frå differens iallikn ingane (4) kvifor pil retninga er riktig akku rat for det tids­punktet når løysinga passerer det avmerka punktet.

Vi oppgir at likningane for faseplankurvene er

l ( X' )Zy' +2x' 1 - 8 = c. c = konstant (5)

(6)

c) Vi studerer nå den fasekurva der p unktet er merka av. Det er ei lukka kurve, og d iforsva rer den til ei periodisk svinging.

Forkla r ut frå kurva kvi for y = Onår utsla get x for systemet ha r sin største verdi. Rekn såu t denne maksimalverd ien når d u få r oppgitt at C = 2, 666 .

d) Vi se r så på d et sa me systemet, men no med eit demp mgsledd. Likninga ser no slik ut:

x" +3x' + .Jx (1- :2) = OForklar kort korleis faseplanku rva for ei løysing av (6) går se tt i forhold ti l fasep lankur­vene for det o ppr innelige udempa systemet. Vi gå r då ut frå at den løysinga av (6) som vistuderer, passerer punkte t avmerka på figuren ved ei t v isst tidspunkt.

3

FOA193

Oppgåve 4

3. desember 2007 06HETKIMAMlMMTlMPR

Eit van lig omgrep innen signalteori er «kvit støy» - små unøyakti gheter som kjem på toppenav eit ellers regu lært signaL Vi skal i de nne oppg åva late som om den kvite støyen er eit til­feld ig, uni formt fordel t tal mellom - Q og Q. Vi kan dermed bruke funksj onen rnd(x ) i Ma th ead:«rnd( x) retu ms a uniformly d istributed random number bctween Oand .r .»

a) lag ei n funksjon i Ma thead som genererer ei t tilfeldig tal mell om - Q og Q. Inndat a tilfunksjonen skal vere a, u tda ta skal vere det tilfeld ige talet .

bl Du skal så lage eit p rogram som genererer n tilfeld ige tal mellom -Q og Q . Du treng ikkjesa mle tala i ei lis te, men programmet skal (inne gjennomsnittet av d ei n tala . Innd ata tilp rogrammet ska l vere n og a, og utdata skal vere gjennomsnittet.

c) Du skal så lage el t nytt p rogram, som også lager ti tilfeldige tal mellom -Q og a. Detteprogra mmet skal finne det største ei absolu ttverd i) tilfeldige ta let blant dci ti. Dvs. detta let som har størs t absolu ttverd i (ligg lengst vekk frå O) .

Oppgåve 5

Set opp kommandoa ne d u treng for å løyse d isse likningane i Mathead .

a) x2 +i' - 2xy ~ Oog x + y ~ 1.

b) x' = O, 25x - x · y og y' = 0,3x· y + 0,4y med initialverd iane x(O) = 100, y (O) ~ 50.

4

Funksjoner

I.

a)

b)

c)

d)

Elem entære regneregler og fun ksjon er:

a ;l. .a·1' = a }1;+Y (ab )Z= O·T -b" a-x=_l_ ("-)'< = aS 00 = I (ax)Y = a J"Y, ' a A ' b r : ,

x b lnba = ee x e log b= ­

a ln ax x lnb IIn j-e x ec y e e a = b c:>x=log h = - a X= ex na

a ln aA

In(AB)= ln A +lnB, In B ~ ln A - ln B InA' =ulnA

o) - 2 'sm x + cos- x = 1sinx

tan x = - ­cosx

lcotx = - ­

tan x

f) sin(x ±y) = sinx cosy ± cos x siny, cos(x ± y) = cos x cos y z sinx siny

g)

h)

sin2x = 2si nxcosx

( )lan x ± lany

tan x ±y ==I x tan x · tany

2 2 _ 2 2 ' l 1 1- 'COS X=COS x -sm X = cost x -. = - _sln - x

i)

j)

Icos li cosv == - (coS( u + V) + cos(u - vj}

2

_ l ( _ _SlO li COS V = - sm(u+v)+sm(u -v»

2

_ _ lsmusm v = - (co s(u - v) - COS(u + v »

2

k) definisjon: e' - e"sinh(x) = , cosh" x - s inh2 x == 1

2

2. Der-iva sjon og integra sjo n , gener elle r egler:

a) (ku)'=ku ', (uv) '=u '-v+ u-v', (u / v )' =(u'-v -u- v' ) / v2

b) :fx [(g(x» =['(gm)' g'(x) ='fu -: ' u =g(x) (kjemeregel)

c) l der y= [ -'(x)ri» (derivert av invers fun ksjon)

d)

c)

d X

dx J[ (t )dt = [(x )a

t) fkg(x)d< =k fg( ., )dx (k er en konstant)

g) f f (g (x » .g '( x )dx = Jf (u)du deretter u=g(x)

h) fl/(x )v' (x )dx = u(x)v(x ) - f v(x )u'(x )dx

• c •

i) Jf ( x )dx = Jf (x )dx + Jf ( x )dx. . ,

3. Derivasjon og integrasjon, spesie lle regler:

/ (x ) /'( x),.,

x rx

[n lxl[-.,

e' e'

a ' aln a

cosh(x ) sinh(x)

sinh(x) cosh{x)

sm x cosx

COSJ: - sinx

l ,tanx --, - ==' I + tan x

cos x

l lcot x = - -

- sin} xran x

lA rcran x

l + X l

A res io xl

'/1- x'l

A rcccsx- ,/1- x'

/(x ) f/ (x)dr..,x~ nar n$-1 _x_ + C

a + ll

In lx l+C-x

e'I!' +C

a'a'

- + C

cosh(x)lnasinh(x) + C

sinh(x) CQsh(x) + C

cos J: stn x e C

sm x -cosx +C

ltan x e C

cos! xl

-c cot x e C = _ _ I _+ Csin) x tan x

lA rctan x + C

l + X l

IA rcsln x e C

,/1- x'

sin! x x l. 2 C-- - sm x .2 4

cos! x '::'+ 1.sin2 x + C2 4

tan1 x tanx- x + C

4. Funksjo ner diverse:

a) Taylorpolynomet av grad n til en funksjon f i punktet a er defin ert slik:

" ''' '(a)L j . (x- a )'1'=0 k!

b) Middelverdien til / over intervallet [a.b) er defi nert slik: b~ a .c [ (x)"x

c) I'Hopitals regel : dersoml ) funk sjonene f og g har grenseverdi O i a, og

2) lim j'(x ) = L , så bl ir lim f (x ) = L.x """," a g'(x) X--H' g(x )

Her kan vi også ha a = co eller a = - co . Ellers gjelder regelen også hvis g --7 co dierg --7 --ex:> .

k! (n -k )!

5.

a)

b)

c)

Diverse forml er:

For en kurve på formen, (X(l),y(t», kan stigningstallet skrives y'{t)x '(I)

R · deri alaf( . al af ·etnmgs cn vert: (fu' ay)· cosa, sinzz) = axcosa+ aysma

(a +b)" =~(;)a'b"-' med ( ;) d:f n(n - I )(n - ~! (n- k + l) n!

d) Volum av rotasjonslegeme ved dreining om x-aksen:

rlf j 2( x )<1x (flate A mellom x-aske og graf roteres 360 grade r om x-aksen)

c) Areal mellom kurver kan regnes slik: .ch(x )dx. hvor h (x) = avsta nden mellom

kurvene.

t) cosinussetningen:

sinusproporsjonen:sin(A) s;n(8) sin(C)- a- =- b- =- c-

g) cos forskjøvet n / 2 til høyre gir sin: cos(x- JT / 2) = sin(x)

h) liten tabell for sinus og cosinus:

x sm x cos xO" O O l

30"rr I ~ J3- -6 2 2

45"rt ~ .fi ~ .fi-4 2 2

60"rt 1J3 I I- - , -3 2 2

90"n

O- I2

1800 rt O - I

6. Numeriske metoder

a) Rektangel- (mi d tpu nkt-} form el: steg lengde h., hJf (x)dx ~ h ·( y, + y, +...+ y. ), y, ~ f (a +(2k- l) i )o

b) T 'rapesforme len: steglengde h., I If!(x )dx ~ h ·(i Y. +i y. + y , + y, +... + y._, ), y, = fr a +kh)•

c) Simpso ns formel:, hJf (x )dx se T (yo+4 y, +2y, + .. .+4y._, + y.), y , = f( a+kh)•

d) Newtons metode:

Velg x, slik at f(xo) "" O La n = 1, 2•...

Hvis Iimx ; = Cl så cr f( a) = O"_00

c) Eulers metode for løsning av differensiall igninge n ::: = [ (x ,y):

xo = a, yo =b og x.. = Xn-I +h, y.. =Y" _I +[(x.._1, Y.._I) ·h, n = I,2....

7. Komplekse tall

a) Normal-form: Z = x wiy, Her erx = Re(z) (realdelen) og y = Im(z) (imaginærdelen)

b) z = x - iy {konjugert), Izl =Jx2 +l ( modu l)c) Av standen fra fraar til Z2: IZ2 - zdd) Polar I Eksponensiel l form: z =re i O der r =I zl og B = arg re) Eulers formel: e iO

= cos B + isin Bl) De Moivres formel : (cosO + i sin fl) n = cos nB+ is innO

Differensialligninger.

I. Li neære homogene differensiallikninger av 2. orden

Differensiallikningen ay" + by' + cy ::: O. der a,b og c er (reelle) konstanter og a t O,har den generelle løsningen

a)

b)

hvis GA? + b.:i + c = O har to ulike ree lle røtt er r i og r2

hvis ai!.2 + b). + c = O har dobbelroten r

c) y = eux(Acospx + Bsinpx) hvis a}? + bl +c = O har kom plekse røtter a ± ip

2. L ineære inhomogene differen siallikninger.

ay" + hy ' + 'J' ~ g( x)

Løsning: y (x) = hex) + y p(x ) der yp(x) er en fritt valgt løsn ing av likn ingen mens

Yh(x) cr en passende løsning av den tilhørende homog ene likningen.

Lineær algebra

I. Vektorregninga) Skalurprodukt mellom to vektorer: a.b =lallblcos8 dere er vinkelen me llom

vektorene, (0 .$ e.$ n)

Når a = o]i+ a 2j + a)k og b=b1i +b1j+b;; k , får vi a · b= a,b1 + a2~ +a3 b:J

b) Vekto rproduk t mellom ve kto rene a = a1i + Q2j + Q3k og b=~ i + b2j + h3k

j k

a x b = a l (12 (13 med lengde

b, h, '"

la x bH a[blsinO

c) No rma lprojcksjonen av vektor a = ali + a1j +03k inn på linj e definert ved

b = ~i + b:lj + b3k

e r gitt ved proj ba= ( a . b )bb · b

2. Linj e r og p la n i rommetKoord ina te r til et punkt P(x ,y . z) på en rett linje gj ennom Po( xo.yo,zo) med

- , -retningsvektor u er gin ved OP = OPo +/ U.

Et punkt P(x,y,z) ligger i planet som går gjennom po(xo. yo,z, ) og som har->

normal vektor N = Ai+ Bj+Ck dersom PoP·N= O og bare da.

Planet s likn ing er a ltså A(x - xo} + B(y - Y o) + C(z - zo) = O

3. Matrisemultiplikasjon

A = [a ij ] m x p - matrise og B=lbijJ p x n • matrise.p

AB= C = [cijJ der Clj= I Gikbkj • i = 1.2, " ,m, j = 1,2 , . .. ,nk =!

4. Regneregler for matriser

Å og 8 er matr iser , k ogp er reelle (eller komplekse) kon stanter

2

Skrives kA B

Skrives ABC

a)

b)

c)

d)

e)

I)

g)

h)

i)

j)

k)

(kA)B = k(AB) = A(kB )

A(BC) = (AB)C

(A + B)C = AC + BC

C(A + Il) = C A + CIl

k(A + Il) = kA + kil

(k+p)A~ kA + p A

AA - I = A- 'A = I

Merk at for mat risemu itip!ikasjon gjelder ikke den kom muta tive lov.a ltså AB = 8 A gjelder normalt sen ikke.(Allf ' = Il- IA- I

(AIl{ = Il TA T

(A T)- I = ( A- 1{

5. Invers matrise (kofaktorfonn)Anta A er en ikke -singulær n x n -matrise.

CI I C2 J

Da er A - I = l e12 C22

det A

6. Egenve rd ier , egenvektorer

der ei k er kofaktoren ti l aj k A.

Anta at A er en vilkårlig n x n - matrise.Dersom en vektor x ~ Otilfredsst iller likningen Ax = AX. er ). en egenver-di ti l Aog x en tilhørende egenvektor, Egenverdier finne s av likningen det(A - AI) = O

3

7. Diagon ali sering

Når A har n lineært uavhengige egenvektorer finnes en ikke - singulær matrise X slik at

X- IAX = D er en diagonalmatrise med egenverdiene på diagonalen.

8. Regneregler for determinanter

A og B n x n - matriser

b) Determinanten skifter fortegn hvis to rekker ( kolonner ) bytter plass .

c) Dersom rekkene (kolonnene) er lineært avhengig e er determinan ten = O

d) En fel les faktor i en rekke eller kolonne kan settes utenfor.

e) En determinant kan utvikles etter en vilkårlig rekke eller kolonne.

f) En determinant cr additiv i hver av sine rekker og kolonner. Altså dersom enrekke eller kolonne er en sum med to ledd, kan determi nanten spaltes opp,

f.eks ~ : : ~ ~ ~ :1+ I~ ~

g) Ti l en rekke (kolonne) kan adderes en konstant multiplisert med enannen rekke (kolonne) uten at determinanten fora ndrer verdi.

h) Determinanten til en triangulær matrise er lik produktet av elementene påhoveddiagonalen.

i) del (A B) ~ det A , del B - I ldetf A )~-­det A

k) det A ':F- O ee- A ikke-s ingulær

Fourierrekker

1. Periodiske funksjonerLa f(1) være en period isk funksjon med periode T.Fourier-rekken til/ cr en rekke på formen

•0 0 + L (a" cos(nø r)+b" sin(nWl»

n :cl

2nca = T og koeffi sientene er gitt ved

l Tuo =~ fJ (t ) dl

l o

?Tu, = i- f J (t )cos(nOJl}dl , n= I,2,. ..

o

T

b; =i fJ(, )sin(nOJ' ) dl , n =1,2,. ..o

Koeffisientene tas også ved å integrere over ethvert annet intervall av lengde T, dvs enperiode.

2. Funksjoner definert på [O, Ll•

kosinusrekken til f er da: 0 0 + L a,. cos(nør )n=1

rthvor (J) = - ogL

I l .

«o = - f J (t ) dlL o

L2 f nnu" = - J( I)eos(- 1 )dl,L o L

n = l .::! ...

og sinusrekken er: i: ansin(nlUt), hvor ca = ~ og,.,? I.

a, = -=- f J (I)sin(n"" )dl n = 1,2,3...L o

3. Konvergens av Fourier-rekke

fourier-rekken til f( t) konvergerer mot

J /(1) i punkter derf er kontinuerlig

l~(f(t+ ) + / (1 - » i punkter derf har sprangdiskontinuitct.

-I. Spesielle ubes temte integraler

Jx cosaxdxcos ax x sinal'

, +u- a

f · dx sinax xcosaxxsm ax =--,--

a- a

5

. , .

f 2 d _ 2 smax ? xcosax x - smaxx cosax x - - - ---+ - 2 +

a~ a a

x 2 cos arf 2 · dx _? coscr 2 x sina.xx sm ax - - - -- - + 2

a~ a a

f 3 dx 6 cosax 6 x sin ax ..,x2cosax x3sinaxx cosax = - - -4 - - .. +.) 2 +

a aJ a a· 2· 3

f 3 · i: _ _ 6 sm ax 6xcosax .., x smax x cos axx smaxl :t' - 4 + ~ +.) 2

a a J a a

Funksjoner av flere va r ia ble

I. 2.derivcrt-tcst

Klassifise ring av stasjonære punkter for funksjonen f(x,y)

For et stasjonært punkt (a,b) med

fff fff fff ,,1 = - , (a ,b), B = -- (a,b ), C= -c-'f(a,b), l1=AC-S-

eå " d:iY Whar vi følgende:

f har iso lert ekstremalpunkt i (a,b) når .a.>Of har sadelpunkt i (a ,b) når 6 < O

2. Hesse-matrisen

a) for ftx.y) er definert slik:

[

f n r; /'0]b) for I (x,y,z) er definert slik: l Y' I yy ly.

I~ f -y 1=

Max/mi n-kriterium for stasjonære punkter for funk sjonen/ved hj e lp a v

Hesse-matrisen.

Et stasjonært punkt er

l ) et isolert ekstremalpunkt dersom alle egenverdiene har samme forteg n

2) ikke et ekstremalpunkt dersom ingen egenverdier er Oog det fins egenverdiermed begge fortegn .

3) hvis det fins en egenverdi som er 0, så kan ikke egenfverdiene alene avgjøreom punktet er ekstremalpunkt.

6

Kommandoar i Mathead

Likningar

Sys tem av likningar:

G iven

sk riv likn inga{ne) her

løys ing :« Find ( l )

Differensiallikningar

Given

skriv likninga her

løys ing := Odcsol vere)

Syste m av differensiallikningar:

løysi ng := rkfixed(startverdia r , start . slutt , t idssteg ,l ikningsystcm)

Programmering

handling if logi sk utsagn

for rcljevariabcl E intervall

handling

while logisk utsagn

handl ing

rcturn variabel

handlin g o n crror log isk utsagn

brcak

contin uc