Ekonomistyrning - Studentlitteratur

EkonomistyrningBeslut och handling

Gör a n A n dersson ELIN K . FU NCK

Digitalt appendix till kapitel 8.Art.nr 36142-03 och 36143-03ISBN 978-91-44-13336-2 och 978-91-44-13337-9

1E KO N O M I S T Y R N I N G . B E S LU T O C H HA N D L I N G © G Ö R A N A N D E R S S O N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R D I G I TA LT A P P E N D I X

KA

PIT

EL

8

Linjär programmering

8.8 Flera trånga sektionerEtt problem med tre variabler kan illustreras i ett tredimensionellt diagram (se nedan). Grafiskt blir restriktionerna begränsningsplan. Skärningen mellan två restriktioner blir en linje. Med en tredje restriktion erhålls en hörnpunkt i detta rymddiagram. Det skuggade planet i figuren är mål funktion. Möjligt område är en månghörning som begränsas av axlarna samt fyra restriktioner (plan). Det iterativa sökandet efter optimum startar vid maximeringsproblem i S och slutar i O. Om det finns fler än tre variabler kan vi inte visualisera situationen grafiskt.

x

y

z

S

O

FIGUR 8.4 Illustration av ett problem med tre variabler x, y och z. (Källa: Nationalencyklopedin).

2 E KO N O M I S T Y R N I N G . B E S LU T O C H HA N D L I N G © G Ö R A N A N D E R S S O N O C H S T U D E N T L I T T E R AT U R D I G I TA LT A P P E N D I X

8 Linjär programmering

Med ekvationssystem går det att manuellt finna optimala lösningar till kom-plexa problem genom stegvisa beräkningar, iterationer. Det är ett tidsödande och komplicerat arbete och därför använder vi datorprogram för att genom-föra iterationerna. Det mest spridda programmet är Microsoft Excel som innehåller en tilläggsmodul, problemlösaren, där vi kan behandla frågeställ-ningar av detta slag. Tillvägagångssättet kallas linjär programmering, LP. Beteckningen linjär innebär att alla linjer är räta, dvs. förstagradsekvationer. Med LP kan vi lösa optimeringsproblem för ett mycket stort antal variabler och restriktioner, under förutsättning att alla samband är kända.

Det generella problemet är att optimera något under vissa restriktioner. Opti-meringen kan avse att maximera eller minimera ett utfall. Maximeringsfallet kallas simplex-metoden och minimeringsfallet för dual-formuleringen.

Det gäller att fastställa vad företaget vill uppnå, det önskvärda målet. Besluts-fattaren kan bestämma över variabler som påverkar målutfallet. I ett pro-duktvalsproblem handlar det om hur mycket som skall tillverkas av respek-tive produkt. När företag eftersträvar måluppfyllelse finns det restriktioner som hindrar eller sätter gränser.

En problemlösning med LP baseras på tre viktiga attribut: mål, variabler och restriktioner. Tänkandet i dessa tre dimensioner kan tillämpas i många situationer och har stor generalitet. LP är därmed ett exempel på ett logiskt angreppssätt för att lösa komplexa problem. Problemet struktureras genom att vi ställer tre frågor.

■ Vad strävar vi mot (mål) ■ Vad kan vi besluta om (variabler) ■ Vad är det som hindrar oss (restriktioner)

Resonemanget nedan bygger på ett tilläggsmakro i Microsoft Excel som heter problemlösaren. Den kan användas för att lösa LP-problem. Läsaren förut-sätts vara bekant med Excel. Nedan används version 12.0, Microsoft Office 2007. Andra versioner kan skilja något i terminologi. Om problemlösaren inte är installerad får du läsa i hjälpfunktionen eller i instruktionsboken för Excel om hur du installerar den.

Problemlösaren


Ställ tre frågor

Problemlösaren i Excel



EXEMPEL

AB Furumöbler kan nu förutom stolar och bord tillverka en egenutvecklad pall. Genom licensavtal har företaget dessutom fått möjlighet att tillverka maximalt 1 200 hyllor/månad. Antag att torkning av målade möbler har blivit en trång sektion. Det går bara att måla och torka ett visst antal stolar, bord, pallar och hyllor per månad. Övriga förutsättningar är oförändrade. Beräkna vilken produkt eller produktblandning som skall tillverkas.

Stol Bord Pall Hylla Tillgänglig kapacitet (tim/mån)TB (kr/st) 12 18 16 30Resursförbrukning Hyvling (min/st) 5 10 12 12 450 Slipning (min/st) 6 3 4 5 300Torkn. (st/mån) 5 000 4 000 5 000 2 000Licens (st/mån) – – – 1 200

LösningBörja med att identifiera mål, variabler och restriktioner med hjälp av de tre frågorna ovan. I detta fall strävar vi mot att generera maximalt TTB (mål). Det vi kan besluta om är vilken mängd vi skall tillverka av stolar, bord, pallar och hyllor (variabler). Det finns fyra förhållanden som hindrar oss i vår strä-van och det är kapaciteten för hyvling, slipning, torkning och licensavtalets regler (restriktioner).

Om vi ofta skall lösa LP-problem är det lämpligt att göra upp en Excel-mall där grunddata kan registreras. Nedan visas en LP-mall för fem variabler och sex restriktioner. Det går att lösa mångdubbelt större problem med problem-lösaren. Mallens struktur är mål, variabler och restriktioner. Grunddata inmatas i celler utan bakgrundsfärg. Celler med ljusgrå bakgrund beräknas av programmet.

Strukturera problemet

Excel-mall



Målet är att maximera TTB genom att tillverka stolar, bord, pallar och hyllor. Antal stolar betecknas med S, antal bord med B, antal pallar med P och antal hyllor med H. Målfunktionen Z blir då:

Maximera Z = 12 * S + 18 * B + 16 P + 30 H

Målkoefficienterna, i detta fall produkternas TB kr/st, matas in i cellerna B7, C7, D7 och E7. Variablerna, dvs. antal stolar, bord, pallar och hyllor beräknas av pro-grammet och kommer att anges i cellerna B6, C6, D6 och E6. Målfunktionen finns inmatad som en formel i cell C1, se formelfältet. 12 * S anges som B7 * B6, 18 * B anges som C7 * C6, 16 * P anges som D7 * D6 och 30 * H anges som E7 * E6. Formeln i cell C1 summerar målkoefficient * variabelvärde för samtliga variabler.

Vid två trånga sektioner är restriktionerna ekvationer, dvs. likheter. Vid bland-ningspunkten förbrukas samtliga resurser. Vid flera trånga sektioner kan opti-mal lösning innebära, att det finns outnyttjad kapacitet i någon eller några trånga sektioner. Därför måste begränsningar uttryckas som olikheter i stället för likheter. Den utnyttjade kapaciteten är således mindre eller lika med den tillgängliga kapaciteten. Programmet omvandlar olikheterna till likheter genom att lägga till en slack variabel. Värdet på slackvariablerna anger ledig kapacitet vid optimal lösning. Restriktionen för hyvling är:

5 * S + 10 * B + 12 P + 12 * H ≤ 450 * 60

Olikheterna avbildas i LP-mallen. I cellerna för utnyttjad kapacitet finns formler som summerar användning av resurser, dvs. vänstra ledet i

Målkoefficienter

Variabler

Restriktioner

Olikheter

Slackvariabler



olikheten. I cellerna för tillgänglig kapacitet registreras högra ledet. För hyvling är den tillgängliga tiden 450 * 60 = 27 000 minuter.

Resursanspråk per variabel avser förbrukning av en viss resurs för att tillverka en bestämd produkt, i detta fall cellerna B12:E15. Det åtgår t.ex. 5 minuter hyvlingstid till en stol.

I AB Furumöbler har restriktionerna hyvling och slipning utökats med torkning och licens. Alla restriktioner avser samma period, kapacitet per månad. För torkning anges tillgänglig torkkapacitet till 5 000 stolar per månad. För att definiera torkkapacitet sätts resursanspråket för torkning av en stol till 1,00 torkenheter. Då uppgår torkkapaciteten till 5 000 tork-enheter per månad. Det går bara att torka 4 000 bord, vilket betyder att ett

bord kräver mer torkresurser än en stol. Resursanspråket är 5 0004 000

= 1,25

torkenheter per bord, dvs. 25 % mer än för torkning av en stol. Motsva-rande tal är för pallar 1,00 och för hyllor 2,50.

Det är bara hyllor som berörs av licensavtalet som totalt omfattar 1 200 hyllor. En hylla har ett resursanspråk på ett. I ett diagram, kan en restrik-tion som bara berör en variabel, illustreras med en lodrät eller vågrät linje.

Det är inte nödvändigt att ha en mall för grunddata, men informationen måste finnas på ett arbetsblad i Excel. En fördel med en mall är att den ger en enkel och lättöverskådlig struktur. När data registrerats i mallen är det lämpligt att spara dessa i en Excel-fil. Nu är det dags att starta problemlösa-ren som finns under verktygsmenyn och då visas nedanstående dialogruta.1

1 Här används Exel 12.0.



Det enklaste sättet att ange målcell är att markera cellen för målfunktion i LP-mallen. I cellen finns den funktion som skall optimeras, i detta fall maximeras. Alternativt går det att ställa in problemlösaren på att minimera en funktion.

Justerbara celler är de variabler, för vilka vi söker optimalt läge. I detta fall är det volymen för stolar, bord, pallar och hyllor. Volymen kommer att beräk-nas av programmet och anges i cellerna B6, C6, D6 och E6. I detta fall ger knappen gissa ett förslag på justerbara celler som vid behov kan korrigeras. Vi kan alternativt skriva in cellreferensen.

När mål och variabler har registrerats skall vi ange begränsningar, restriktio-ner. Detta sker genom att vi klickar i rutan lägg till. Då visas en ny dialogruta.

Det som begränsar möjligheten till måluppfyllelse är tillgången på resurser, i mallen uttryckt som tillgänglig kapacitet. Den mängd resurser vi använder beräknas i mallen i cellerna för utnyttjad kapacitet. För hyvling måste den utnyttjade kapaciteten i cell G12 vara mindre eller lika med (≤) den tillgäng-liga kapaciteten i cell H12. Lättast matas detta in genom att markera celler och använda tabulatorn.

Den första begränsningen registreras med kommandot lägg till och därefter kan nästa restriktion registreras. Ange logiken (≤, = eller ≥) för varje begräns-ning. Tryck OK när den sista begränsningen har markerats.

Mål, variabler och begränsningar, dvs. hela strukturen för problemet är nu synlig i dialogrutan. Det är lämpligt att kontrollera att allt är korrekt innan vi kör programmet. Kontrollera även inställningarna genom att klicka på alternativ. Då visas nedanstående dialogruta. Det är viktigt att markera att det handlar om en linjär modell och att variabler inte får anta negativa värden. Inställningarna i alternativ för problemlösaren beskrivs i hjälpfunktionen.2

2 I tidiga versioner av Excel gick det inte att markera, anta icke-negativa värden. Då fanns en risk för underliga lösningar som meddelade att företaget skulle tillverka en negativ volym, eller att de skulle ha ett negativt utnyttjande av en restriktion. För att hindra detta krävdes en kompletterande restriktion, att alla variabler skulle ≥ 0.

Inmatning i programmet



Tryck OK och därefter på lös i den ursprungliga dialogrutan. Programmet gör då upprepade, iterativa, beräkningar med de förutsättningar du definierat. Om det finns en lösning anges detta.

Vi kan välja att behålla problemlösningen och erhåller då ett arbetsblad där beräknade värden för mål, variabler och utnyttjad kapacitet visas i LP-mallen. Alternativt kan startvärden återställas, vilket ger ett arbetsblad som visar den ursprungliga LP-mallen. Mål samt optimal kombination av variabler och utnyttjad kapacitet visas också på olika sätt i resultatrapport, känslighetsrap-port och begränsningsrapport. Markera de rapporter du vill ha redovisade och tryck OK.

Presentation av lösningen



Optimal lösning är 1 133 stolar, 693 bord, 0 pallar och 1 200 hyllor vilket tillsammans ger 62 080 kr i TTB. Tillgänglig kapacitet utnyttjas i hyvling, torkning och licens. I slipningen finns outnyttjad kapacitet.

De rapporter som erhålls måste tolkas utifrån hur problemet är strukturerat. I detta fall är det ett produktvalsproblem för att maximera TTB. I andra fall kan det handla om att uppfylla vissa krav till lägsta möjliga kostnad. För att göra nedanstående rapporter lättlästa har kolumnbredder och antal decimaler justerats.

Lösningen behöver tolkas



Vi börjar med resultatrapporten som visar start- och slutvärde för mål och variabler (justerbara celler). Startvärde 0 anger att sökandet efter en lösning började i origo, dvs. noll volym för alla variabler och noll i TTB. Slutvärde anger att en optimal lösning har beräknats. Siffervärdena är desamma som presenterades i LP-mallen ovan.

I avsnittet begränsningar visar kolumnen cellvärde utnyttjad kapacitet. Formel anger begränsningens logik. Status klargör om restriktionen utnytt-jas fullt ut eller inte. Marginal markerar vilken ledig kapacitet som finns. I detta fall finns det 3 120 minuter outnyttjad tid i slipningen per månad. En begränsning som utnyttjas helt är bindande.

Det är viktigt att känna till hur stabil en lösning är och vad som händer om förutsättningarna ändras. För variabler och begränsningar visas detta i känslighetsrapporten. Den består av två delar. Den första delen har rubriken justerbara celler och där studeras känsligheten vid förändring av variablernas målkoefficienter. I denna analys är restriktionerna konstanta och därmed är det möjliga området oförändrat.

Den andra delen benämns begränsningar och där studeras känsligheten vid förändring av restriktioner, vilket betyder förändring av det möjliga områ-det. Här analyseras vad som sker om en restriktion blir mer eller mindre krävande. I denna analys är målkoefficienterna konstanta. Det är viktigt att hålla i sär dessa analyser när vi skall förstå känslighetsrapporten.

Först ser vi på känslighetsanalysen av justerbara celler, variablernas mål-koefficienter. Ny information om variabler är reducerad kostnad som är relaterad till målkoefficienterna. Termen ”Reducerad kostnad” passar ett problem med kostnadsminimering. Vid maximeringsproblem borde rub-riken vara ”Krav på ökat TB/st”. En möjlig generell beteckning på denna variabel är målkoefficientens känslighet.

I detta fall är målkoefficienten för en stol 12 kr/st i TB. Den reducerade kost-naden är noll, vilket beror på att stolar ingår i den optimala lösningen. Pallar ingår inte i optimal lösning, och de har en reducerad kostnad på 1,60. Om pal-larnas TB/st ökar med mer än 1,60, dvs. till mer än 17,60 kr/st, kommer pallar att ingå i optimal lösning. Detta är väsentligt att veta, t.ex. vid prissättning.

Resultatrapport

Optimallösning

Ledig kapacitet

Känslighets-rapport

Två delar

Justerbara celler

Begränsningar

Reducerad kostnad



Observera att kolumnerna reducerad kostnad och skuggapris presenteras utan decimal. Ett värde under 0,5 anges därför efter avrundning som 0, vilket betyder att det kan finnas ”dolda decimaler”. Här har detta korrigerats och två decimaler har synliggjorts.

Tillåten ökning och minskning anger inom vilka gränser som nuvarande lösning är stabil. Målkoefficienten för stolar kan öka till 12 + 0,15 = 12,15, utan att de optimala volymerna förändras. Om TB kr/st ökar mer, finns det ett nytt optimalt läge som innebär en större mängd stolar. Motsvarande gäller för tillåten minskning. Om TB för stolar minskar mer än 3 kr/st, till under 9 kr/st, finns det ett nytt optimalt läge som innebär en mindre mängd stolar. Beteckningen 1E + 30 är programmets uttryck för oändlighet (1 * 1030). Oavsett hur högt TB kr/st är för hyllor, är det inte möjligt att finna en lös-ning med fler än 1 200 hyllor, eftersom restriktionen inte tillåter det. Denna känslighetsanalys är central när vi vill veta beslutets säkerhet.

För begränsningar erhålls information om skuggapris samt tillåten ökning respektive minskning relaterat till skuggapris. Skuggapriset anger värdet av en mer eller mindre restriktiv begränsning. AB Furumöbler har 27 000 tillgängliga hyvlingsminuter. Skuggapriset för hyvling är 0,80 och det anger hur TTB påverkas av fler eller färre hyvlingsminuter. Om företaget har till-gång till 27 001 hyvlingsminuter ökar TTB till 62 080 + 0,80 = 62 080,80 kr. Vid 26 999 hyvlingsminuter minskar TTB till 62 080 – 0,80 = 62 079,20 kr.

Tillåten ökning och minskning anger inom vilket intervall skuggapriset är konstant. För hyvling är skuggapriset 0,80 från 24 400 (27 000 – 2 600) upp till 30 400 (27 000 + 3 400) minuter. Går vi utanför detta intervall ändras

Tillåten ökning/minskning

Skuggapris



skuggapriset. Skuggapriset för slipning är noll, eftersom det finns ledig kapa-citet. Ytterligare sliptid bidrar inte till högre TTB, utan ger bara högre ledig kapacitet.

En förändring av en restriktion ger en ny optimal lösning. En mindre stram begränsning innebär t.ex. att Furumöbler kan tillverka fler produkter och uppnå högre TTB.

Skuggapris ger viktig information när företaget överväger åtgärder för att påverka restriktioner. Skuggapriset visar hur mycket företaget kan betala för ökad kapacitet genom eget arbete eller legoarbete. Kapacitet i hyvling har skuggapriset 0,80 kr/minut. Antag att de anställda har 160 kr/timme i lön inklusive sociala avgifter. Lön är en särkostnad och ingår i produkternas TB/st. Om vi kan använda hyvlingsutrustningen mer genom att tillgripa övertid, eller hyra tillfällig personal, kan vi för den tillkommande tiden betala upp till 160 + 0,8 * 60 = 208 kr/timme och fortfarande visa oförändrat resultat. För torkning visar skuggapriset hur mycket företaget kan betala för ökad torkningskapacitet, t.ex. i form av lokalhyra. Skuggapris anger värdet på ökade eller minskade marginalresurser. Det ger därmed information om vilka resurser som skall utökas i första hand.

Den tredje rapporten kallas begränsningsrapport och den ger relativt lite ny information. Målutfall och variabelvärden finns i tidigare rapporter. Nedre begränsning anger det lägsta värde en variabel kan anta och målresultat anger vilket TTB som erhålls vid detta läge, om övriga variabler är oförändrade. Om AB Furumöbler producerar noll stolar erhålls ett TTB om 48 480 kr. Detta kan jämföras med den optimala lösningen som ger 62 080 i TTB. Stolarnas bidrag till totalresultatet är 62 080 – 48 480 = 13 600 kr.

Skuggapris ger viktig besluts-information

Begränsnings-rapport



Vid kostnadsminimering kan nedre begränsning vara lika med slutvärdet och övre begränsning kan saknas. Denna rapport ger då ingen ny information.

Linjär programmering kan användas för att lösa både maximerings- och mini-meringsproblem. Nedan visas ett enkelt minimeringsproblem med två variabler, vilket gör det möjligt att grafiskt visualisera känslighetsanalysen grundprin-ciper. Diskussionen avser ett blandningsproblem där målet är lägsta möjliga särkostnad, men resonemanget kan även överföras till andra tillämpningar.

EXEMPEL

Arlo producerar flytande livsmedel i slutna system. Företaget rengör alla delar i systemet varje dag och vill att önskad rengöringseffekt skall uppnås till så låg kostnad som möjligt. Arlo tillverkar sitt rengöringsmedel genom att blanda de kemiska komponenterna X och Y. Blandningen måste uppfylla fastställda minimikrav på verksamma beståndsdelar. Priserna på X och Y fluktuerar. Beräkna optimal blandning för en ny sats rengöringsmedel, om kostnaden för X och Y f.n. är 25 respektive 20 kr/kg. En sats räcker i en månad.

LösningMålet är låg särkostnad. Variabler vi kan besluta om är mängden av X resp. Y. De restriktioner som finns är blandningens innehållskrav. Tabellen nedan är anpassad till ett minimeringsproblem.

Innehåll Minimikrav viktprocent blandning X Y (kg/sats)Särkostnad (kr/kg) 25 20 Fosfat 0,20 0,50 100Blekmedel 0,50 0,20 90Tensider 0,06 0,07 21Problemlösaren visar att optimal produktblandning är 91 kg X och 222 kg Y vilket ger en särkostnad på 6 717 kr. För blekmedel och tensider upp-fyller blandningen minimikravet 90 resp. 21 kg. Fosfat ingår med 129,1 kg vilket överskrider minimikravet. Det kan analogt med ledig kapacitet tolkas som att kravet på fosfat inte är trång sektion, dvs. ingen begrän-sande faktor.

Minimering

Blandnings- problem



Vid minimeringsproblem startar sökandet efter optimal lösning i oändlig-heten. Successivt söker programmet lösningar som ger allt lägre särkostnad. Det som hindrar särkostnaden från att bli noll är restriktionerna, i detta fall kraven på ingredienser i blandningen. Dessa fastställer det möjliga området, lösningsrummet. I nedanstående figur har det möjliga området skuggats. Det begränsas av axlar och restriktioner och har hörnpunkterna A, B, C, och D. I stället för TB-linje får vi tänka oss en särkostnadslinje. Optimal lösning finns inom det möjliga området. Optimal kombination av variabler finns där särkostnadslinjen tangerar lösningsrummet, i detta fall punkt B.

Möjligt område

Särkostnadslinje

450

300

200

180 350 500

Y

X

A

B

C

D

Blekmedel

Tensider

Optimal lösning

Fosfat

Särkostnadslinje

FIGUR 8.5 Minimeringsproblem med två variabler.



Känslighetsanalysen för variabler (justerbara celler) avser hur känslig lös-ningen är för förändring av målkoefficienter, i detta fall kostnad/kg. I denna del av känslighetsanalysen ändras inte det möjliga området. En förändring av en målkoefficient ger särkostnadslinjen en annan lutning och det kan betyda att en ny hörnpunkt blir optimal. Känslighetsrapportens första del om variabler har följande data.

Både X och Y ingår i lösningen och de har därför 0 i reducerad kostnad (se ovan). Produktblandningen är optimal om kostnaden för X ligger mellan 50 (25 + 25) och 17,14 (25 – 7,86) kr/kg. Ökad kostnad per kg ger dock högre total kostnad för blandningen och vice versa. Det som varieras är variab-lernas relativa värde, dvs. särkostnadslinjens lutning. Linjen svänger i detta fall kring punkten B tills den når de gränser som sätts av tillåten ökning eller minskning. Om vi går utanför dessa gränser ger en annan punkt en ny optimal produktblandning. Om kostnaden för X sjunker under 17,14 är det t.ex. attraktivt att använda en större andel X och punkt C blir då optimal.

Känslighets-analysen för variabler

Särkostnads-linjens lutning varieras

450

300

200

180 350 500

Y

X

A

B

C

D

Blekmedel

Tensider

Optimal lösning

Fosfat

Särkostnadslinje 1

Särkostnadslinje 2

FIGUR 8.6 Grafisk illustration av känslighetsanalys för variabler.



Den andra delen av känslighetsrapporten visar vad som sker om en res-triktion blir mer eller mindre krävande. I den grafiska modellen illustreras detta genom att en begränsningslinje parallellförflyttas utåt eller inåt. När vi ändrar restriktioner, ändras det möjliga området och därmed ändras vad som är optimal lösning. En mer krävande restriktion innebär i ett maxi-meringsfall mindre tillgång av en resurs och en begränsningslinje som går närmare origo.

I Arlo utgörs begränsningarna av kraven på den färdiga blandningen. Om ett krav höjs i denna minimeringsuppgift parallellförflyttas en begränsningslinje utåt. Känslighetsrapportens andra del om variabler har följande data.

Eftersom fosfat inte är någon trång sektion är skugga priset noll. Om kravet på fosfat ökar med 10 kilo ökar inte kostnaden för blandningen, eftersom vi redan har 29 kilo över minimikravet. För blekmedel är skuggapriset 23,91 vilket betyder att blandningens totala kostnad minskar med 23,91 kr, om kravet på blekmedel minskas till 89 kg. Motsatsen gäller vid ökning. Ökningen eller minskningen med 23,91 kr/kg blekmedel är konstant mellan 60 (90 – 30) och 131,88 (90 + 41,88) kg blekmedel. Går vi utanför detta inter-vall gäller ett annat skuggapris, dvs. en annan kostnad för ökad eller minskad mängd blekmedel.

En förändring av en restriktion ger således ett nytt möjligt område och därmed en ny optimal lösning. Särkostnadslinjen behåller sin lutning, men parallellförflyttas så att den fortfarande tangerar det möjliga området. Detta illustreras i figuren.

Känslighets-analysen för restriktioner

Särkostnads-linjens lutning är konstant



Om kravet på tensider höjs från 21 kg till 23 kg ger det en ny begränsningslinje som ligger längre från origo. Det mörkare prickade området visar minsk-ningen av det möjliga området. Ny optimal lösning finns fortfarande i hörn-punkt B, men lösningen innebär nu dels en mindre mängd av X 74 (90) kg och större mängd Y 265 (222) kg, dels en högre total kostnad 7 152 (6 717) kr.

Begränsningsrapporten ger ingen information vid minimeringsproblem. Nedre begränsning är lika med slutvärdet och övre begränsning saknas.

450

300

200

180 350 500

Y

X

A

B

C

D

Blekmedel

Tensider 23

Optimal lösning

FosfatSärkostnadslinje ny

Tensider 21

FIGUR 8.7 Grafisk illustration av känslighetsanalys för restriktioner.



8.9 Förutsättningar, förenklingar och tillämpningar av LPLinjär programmering är en lösningsteknik som kan användas när model-lens grundvillkor är uppfyllda. Mål, variabler och restriktioner skall vara kända, kvantifierbara och samtliga samband skall vara linjära. Varje variabel måste vara helt entydig. Vi måste t.ex. använda flera variabelbeteckningar på samma produkt, om den kan produceras på flera olika sätt. I generell matematisk form skall problemet kunna uttryckas på följande sätt:

Målfunktion: Sök max eller min Ci *XiZ

i=1

n

∑=

aij * xi bj≤

i=1

n

∑Restriktioner

Ci *XiZ

i=1

n

∑=

aij * xi bj≤

i=1

n

∑ för j = 1, 2 …m

Ci = Målkoefficient, t.ex. TB för variabel iXi = Antal av variabel in = Antal variableraij = Förbrukning för variabel i av resurs jbj = Kapacitetstillgång av resurs jm = Antal restriktioner

Lösningsmodellen för linjär programmering baseras på förenklingar. Detta gäller för övrigt alla modeller. I linjär programmering antas följande förhål-landen gälla:

■ Målet är kvantitativt och endimensionellt. ■ Alla koefficienter, variabler och begränsningar är kända. ■ Alla samband är kända och linjära. ■ Det finns inga omställningskostnader vid lösningar som innehåller flera

variabler, t.ex. produktblandning. ■ Det finns inga intäktssamband (produkterna är varken substitut eller

komplement). ■ Det är en kortsiktig bedömning där trånga sektioner förutsätts vara

opåverkbara.

Vid beslutsfattande bör företag beakta de förenklingar som sker i analysen. I en långsiktig lösning måste de även ta hänsyn till samkostnader. Det finns dessutom faktorer som inte ingår i modellen som marknadsbedömningar, service, risker, följdverkningar osv. I ett komplett beslutsunderlag bör före-tag även inkludera icke-finansiella och kvalitativa konsekvenser. Allt kan

Förutsättningar

Förenklingar

Komplett beslutsunderlag



dock inte vägas in i ett beslut. Beslutsfattande är alltid en balansgång mellan kausalitetsprincipens krav på exakthet och väsentlighetsprincipens och han-terbarhetsprincipens krav på enkelhet.

Linjär programmering är tillämpbar när ett problem kan struktureras enligt de ovan angivna förutsättningarna. Nedan ges några exempel på situationer där det går att bygga modeller som har denna struktur.

■ Produktionsproblem, t.ex. produktval och val av produktionsmetod vid resursrestriktioner.

■ Kostnadsminimering vid givna förutsättningar, t.ex. bemanning enligt ett arbetsschema.

■ Blandningsproblem med fasta regler som recept eller liknande, t.ex. raffinaderier, livsmedel, kemisk industri.

■ Billigaste transportväg vid många produktionsenheter eller lager och många kunder.

■ Finansiell planering för bästa avkastning på arbetande kapital, med säkrad tillgång på likvida medel.

■ Värdepappersförvaltning för maximal avkastning med fastställd risk.

Med tillgång till en vanlig persondator kan företag lösa komplexa problem av denna typ. Datorn gör snabbt och bekymmersfritt alla beräkningar och dessa utgör därmed inget hinder. Svårigheten består i att strukturera problemet entydigt och korrekt, samt att tolka det erhållna resultatet.

Trång sektion innebär att det finns restriktioner av något slag. Detta är normalt i alla konkurrensutsatta företag. Sällan eller aldrig torde det finns obegränsat med resurser, i vart fall inte på lång sikt. Företagsekonomins grundproblem är just hushållning med begränsade resurser, dvs. hur före-tag skall utnyttja trånga sektioner. Problemlösning vid trånga sektioner är således en central uppgift i företag.

Tillämpningar



Diskussions- och arbetsuppgifter1 Ange de förenklingar som lösningsmodellen för linjär programmering

bygger på.

2 Vilka tillämpningsområden finns det för linjär programmering?

3 Skissera huvudstegen för att formulera (strukturera) ett problem, så att det kan lösas med linjär programmering.

Övningsuppgifter i linjär programmering


KA

PIT

EL

8


I ett möbelföretag tillverkas produkterna Dalarö och Långö. Företaget har trånga sektioner för hyvling, slipning och målning. Täckningsbidraget för Dalarö är 200 kr/st och för Långö 250 kr/st.

Resursanspråk (min/st) Tillgänglig kapacitet (tim/mån)Produkt Dalarö Långö

Hyvling 30 40 2 000Slipning 25 15 1 200Målning 10 8 800

a) Beräkna optimalt täckningsbidrag vid en kortsiktig lösning.b) Formulera en lösningsansats (målformulering och restriktioner)

i linjärprogrammeringstermer för samma problem.

Ett företag har fyra trånga sektioner A, B, C och D och de kan f.n. tillverka tre alternativa produkter Conny, Ronny och Sonny. Allt som tillverkas kan säljas. Täckningsbidragen kr/st uppgår till Conny 20, Ronny 15 och Sonny 20. Det finns inga omställningskostnader vid byte av produkt. Följande information finns registrerad.

Kapacitetsamspråk min/st i respektive avdelning

Tillgänglig kapacitet

tim/månadProdukt Conny Ronny SonnyAvdelning

ABCD

2020 6 2

1036 6 8

8 0 410

4 0006 0002 0002 000

8.21

8.22



a) Företaget har ett fast kontrakt med en kund om leverans av 1 000 st av produkt Sonny varje månad. Kontraktet måste uppfylllas. Om de bryter kontraktet har kunden rätt till ett stort skadestånd. Vad bör företaget tillverka? Formulera problemet i linjär programmeringstermer och ange målfunktion och restriktioner för att beräkna optimal lösning.

b) Förutsätt att produkt Sonny ej kan tillverkas under en månad pga. brist på råvara. Detta täcks av en force majeureklausul i kontraktet och företaget behöver därmed inte betala skadestånd. Beräkna den mest lönsamma produktionen för denna månad.

En bonde eftersträvar att ge sina djur en så billig kraftfoderblandning som möjligt med fastställda minimikrav på näringsvärde. Han blandar sitt kraftfoder av de tre foderråvarorna Alfa, Beta och Gamma som kostar 6, 12 respektive 4 kr/kg.

Viktprocent av näringsämneFoder Alfa Beta GammaKolhydratProteinFettMineralämnen

5010 2

0,8

7020 2

0,1

30 5 8 0

För hans besättning är det totala näringsbehovet av kolhydrat, protein, fett och mineralämnen 200 kg, 80 kg, 30 kg respektive 0,40 kg per dag. Mineralämnen får inte heller överstiga 1,60 kg/dag på grund av risken för negativa biverkningar.

Vilken foderblandning skall han välja? Formulera uppgiften med hjälp av linjär programmering. Ställ upp målfunktion samt begränsningar.

AB Magic tillverkar de tre produkterna Hokus, Pokus och Filijokus. Produkterna skall alla passera var och en av de tre maskinerna A, B och C. Vid tillverkning av enbart Hokus kan företaget på en timme i maskin A, B och C producera respektive 6, 10 och 7,5 st. För Pokus är motsvarande produktionstal 30, 7,5 och 10 st, samt för Filijokus 15, 20 och 20 st. För samtliga maskiner finns lika många maskintimmar att tillgå per år.

De tre produkterna ger täckningsbidrag som uppgår till: Hokus 60 kr/st, Pokus 40 kr/st och Filijokus 25 kr/st. Vilken produktblandning är optimal? Ingen tid anses åtgå för produktbyten i maskiner. Formulera uppgiften med hjälp av linjär programmering.

8.23

8.24



AB Mums tillverkar en speciell typ av livsmedel. Vid tillverkningen använder de dels socker, dels en kombination av inköpta halvfabrikat (Hf). Ingredienserna blandas och upphettas så att de ger en homogen massa. Denna pressas till smakbitar med valfri form. Livsmedlet är efter avkylning klart för packning och distribution. Total tillverkningskapacitet är f.n. 50 000 kg färdiga produkter per månad.

Företaget skall nu introducera en ny produkt, TuggBugg. AB Mums kan maximalt använda 15 procent av kapaciteten för produktion av TuggBugg. I nedanstående tabell anges vad de olika halvfabrikaten innehåller i procent av några olika ämnen, samt de krav i procent som finns på innehållet i slutprodukten TuggBugg. Det finns ingen restriktion för mängden socker som får ingå i TuggBugg.

Innehåll i % av respektive ämneSocker H Af Hf B Hf C Hf D Krav

KonsistensgivareStärkelsesirapFärgämnenGelatinAromämnen

00000

30302020 0

5020101010

702010 0 0

4040 0 020

≥ 10≥ 4≤ 3= 2≥ 1

Socker kostar 6 kr/kg och Halvfabrikat AD: 25 kr/kg, 20 kr/kg, 14 kr/kg och 40 kr/kg.

Avsättningsmöjligheterna för TuggBugg anses vara mycket goda speciellt med tanke på den reklamsatsning på 100 000 kr som företaget just skall genomföra. Det finns även goda exportmöjligheter, men priserna på de tänkbara exportmarknaderna anses ligga 10 procent under de svenska priserna. Under den närmaste tiden avser de att enbart sälja i Sverige och beräknar då att efterfrågan kommer att vara minst 15 000 kg/månad.

Vilka ingredienser skall företaget använda i en optimal blandning för TuggBugg och vilken kostnad ger detta per kg? Problemet kan lösas med hjälp av linjär programmering (LP). Din uppgift är att ta fram en målformulering och erforderliga restriktioner för en LPlösning.

8.25



Trädetaljer AB tillverkar trädgårdsmöbler i sin anläggning i Eneryda. Serien Furubo har blivit så populär att maskinparken utnyttjas till 100 procent. Företaget vill inte tillgripa tvåskift av långsiktiga personalskäl. De kan inte ta ut mer övertid än de gör och företaget kan inte heller investera mer på kort sikt, eftersom det är lång leveranstid på erforderliga maskiner. Din uppgift är att utreda hur företaget bör handla i denna situation.

Furubo består av fyra delar som säljs separat; Stol, Bänk, Soffa och Bord. Allt virke bearbetas i kapningsavdelningen där det får sin slutliga dimension. Därefter hyvlas råämnena i hyvlingsavdelningen. Eftersom möblerna skruvas ihop förborras varje bit i borravdelningen. Lackering sker slutligen i en måleri avdelning. Packningen är ingen trång sektion, eftersom företaget anställt några arbetslösa ungdomar att hjälpa till med detta. Följande information gäller för den närmaste månaden.

Kapacitetsanspråk Tillgänglig (min/produkt) kapacitet (tim) Stol Bänk Soffa BordKapning 4 3 6 6 400Hyvling 3 3 5 3 250Borrning 6 4 7 3 350Lackering 4 5 6 5 400

Täckningsbidragen har beräknats till: Stol 18 kr/st, Bänk 12 kr/st, Soffa 24 kr/st och Bord 20 kr/st.

a) Din första uppgift är att formulera problemet i linjär programmeringstermer (målformulering och restriktioner).

b) Trädetaljer lyckas teckna ett acceptabelt underleverantörsavtal om tillverkning av stolar och bänkar. Tillverkningen av soffor och bord behåller företaget själv. De bedömer att marknaden är så stor att det går att sälja alla soffor och bord de kan tillverka. Illustrera produktionssituationen i ett diagram. Rita in en täckningsbidragslinje och markera optimal lösning.

c) Beräkna optimalt produktionsprogram vid en kortsiktig lösning enligt förutsättningarna i b). Ange det optimala täckningsbidraget.

8.26



Knixhults Mekaniska är underleverantör åt flera stora verkstadsföretag. Företaget har hittills främst ägnat sig åt enklare arbeten som borrning, bockning och stansning. Priserna har ofta varit låga och företagsledaren/ägaren Ernst Johansson har länge tänkt lansera en egen produkt, t.ex. ett trädgårdsredskap. Han har bl.a. gjort enkla ritningar av en hacka.

Ernst har nyligen fått kontakt med Karl Knepig som presenterat en prototyp till en utomhuslampa. Karl Knepig har föreslagit ett avtal enligt vilket Knixhults Mekaniska antingen får betala en engångssumma på 20 000 kr för rätten att tillverka lampan, eller betala en löpande royalty om 2 kr per såld lampa under det första året plus en engångssumma på 5 000 kr.

Knixhults Mekaniska utnyttjar f.n. sin kapacitet till 100 procent och har inte resurser att öka kapaciteten genom investeringar på grund av den låga lönsamheten. Många av de order som nu produceras skall slutlevereras om en månad och då är det möjligt att börja tillverka lampan. Detta betyder samtidigt att någon inarbetad kundrelation måste avbrytas eller läggas på is.

Om lampan skall introduceras, måste företaget minska tillverkningen av någon av de nuvarande produkterna Fäste, Stag, Hållare eller Stöd. Dessa produkter ger täckningsbidrag på 0,40, 0,65, 0,40 respektive 0,80 kr/st. Lampan beräknas ge ett täckningsbidrag om 2,50 kr/st. Marknadsutsikterna för lampan känner Ernst Johansson inte närmare. Han har dock frågat den lokale lampförsäljaren som sagt att alla nyheter är intressanta och att han mycket väl kan tänka sig en ny produkt i sitt sortiment.

Den eller de produkter som eventuellt skall ersättas av lampan passerar alla de fyra funktionerna stansning, borrning, bockning och lackering, vilket även lampan kommer att göra, om den tas upp i produktion. Följande data gäller för dessa avdelningar:

Tillgänglig Kapacitetsanspråk (min/produkt) kapacitet Fäste Stag Hållare Stöd Lampa (tim/mån)Stansning 2 3 1 3 5 500Borrning 3 4 2 2 6 600Bockning 1 5 1 3 8 450Lackning 2 1 2 1 3 250

a) Din första uppgift är att försöka strukturera Ernst Johanssons beslutssituation. Vilka alternativ står till buds? Finns det behov av ytterligare beslutsunderlag? Vilket? Hur skall det anskaffas? Illustrera gärna med en figur av något slag.

8.27



b) Formulera i linjärprogrammeringstermer (målformulering och restriktioner) en lösningsansats som kan ge svar på frågan om vilken eller vilka produkter som eventuellt bör utgå till förmån för lampan.

c) Samtliga köpare av Fäste och Stag meddelar brevledes att de inte kommer att göra några ytterligare beställningar. Några skriver dock att de hoppas på andra framtida givande affärsrelationer. Ernst Johansson blir bestört, men lyckas snabbt utverka ett preliminärt löfte från några gamla kunder om ökade leveranser av Hållare och Stöd. Illustrera produktionssituationen i ett diagram med förutsättningen att enbart Hållare och Stöd kommer att tillverkas. Rita in en täckningsbidragslinje och markera optimal lösning. Priserna antas bli desamma som nu och all tillgänglig kapacitet förutsätts bli utnyttjad.

d) Beräkna optimalt produktionsprogram vid en kortsiktig lösning enligt förutsättningarna i c). Ange det optimala täckningsbidraget.

e) Antag att Ernst Johansson beslutar sig för att börja tillverka lampan, eftersom de ökade leveranserna av Hållare och Stöd visar sig ge mycket dåliga priser. Hur många lampor måste han minst sälja under det första året, för att det skall vara mest fördelaktigt med enbart en engångsersättning till Karl Knepig?

AB Snurr tillverkar och säljer de två produkterna Kullerbytta och Volt. Kuller bytta består av komponenterna Kuller och Bytta som båda kan tillverkas i maskinerna A och B. Maskin C är konstruerad enbart för produktion av Bytta och har en maximal kapacitet på 10 000 st Bytta per år. Kapaciteten i maskin A och B är 4 000 respektive 2 000 timmar per år.

Volt är en ny produkt som kan tillverkas i maskinerna A och B, men även i den automatiska maskinen D. Denna används bara för produktion av Volt och kapaciteten uppgår till 20 000 st Volt/år. Maximal produktion av Kuller, Bytta och Volt i maskinerna A och B framgår av nedanstående tabell. Siffran i tabellen anger hur stort antal som kan tillverkas per timme, om företaget endast tillverkar en produkt i taget. Ingen tid anses åtgå för produktbyten.

Maskin A Maskin BKuller 10 5Bytta 7,5 7,5Volt 6 7,5

8.28



Kullerbytta monteras och packas i monteringsavdelningen. Volt måste också passera denna avdelning men kräver förhållandevis lite tid, eftersom den inte fordrar någon montering utan bara besiktning och packning. Resurs anspråken i monteringsavdelningen är 10 min/st för en Kullerbytta och 3 min/st för en Volt. Totalt finns det en kapacitet på 10 000 timmar/år i denna avdelning.

AB Snurr har f.n. kontrakt på leverans av 12 000 st Kullerbytta/år, men de bedömer att efterfrågan tveklöst överstiger företagets totala tillverkningskapacitet. Efterfrågan på Volt anses dock uppgå till max. 25 000 st/år. Täckningsbidraget för Kullerbytta är 10 kr/st och för Volt 8 kr/st.

a) Vilken produktblandning skall företaget välja och hur skall de olika maskinernas resurser disponeras? Formulera målfunktion samt begränsningar för det linjära programmeringsproblemet.

b) Det i uppgift a) strukturerade LPproblemet har lösts med hjälp av problemlösaren i Excel. Nedan visas den utskrivna lösningen. Svara i vardagliga ordalag på följande frågor:1. Vilket täckningsbidrag och vilken lösning har erhållits? Hur mycket

skall företaget producera av Kullerbytta och Volt och i vilka maskiner?2. Vad betyder Cellvärde, t.ex. värdet 360 714?3. Vad betyder Bindande/Ej bindande och Marginal, t.ex. värdet 16 571?4. Vad betyder Reducerad Kostnad, t.ex. värdet –1,429?5. Vad betyder Tillåten Ökning, t.ex. värdet 4,29?6. Vad betyder Tillåten Minskning, t.ex. värdet 1E+30?7. Vad betyder Skugga Pris, t.ex. värdet 0,714 i avd. B, Begränsningar?8. Vad betyder Tillåten Ökning, t.ex. värdet 335 000, Begränsningar?9. Vad betyder Tillåten Minskning, t.ex. värdet 5 000, Begränsningar?

Lösningsförslag


KA

PIT

EL

8


a)

Avdelning Kapacitet (tim/mån)

Resursanspråk (min/prod)

Max. tillverkning (prod/mån)

Dalarö Långö Dalarö LångöHyvling 2 000 30 40 4 000 3 000Slipning 1 200 25 15 2 880 4 800Målning 800 10 8 4 800 6 000

D = Dalarö; L = Långö

30 * D + 40 * L = 2 000 * 60 25 * D + 15 * L = 1 200 * 60 ( * –1,2)

30 * D + 40 * L = 2 000 * 60 –30 * D – 18 * L = – 1 440 * 60

22 * L = 560 * 60

L = 1 527

30 * D + 40 * 1 527 = 2 000 * 60 D = 1 964

TTBD: 2 880 * 200 = 576 000 TTBL: 3 000 * 250 = 750 000 TTBD+L: 1 964 * 200 + 1 527 * 250 = 774 550

b) Målfunktion: Maximera Z = 200 * D + 250 * L Restriktioner: 30 * D + 40 * L ≤ 2 000 * 60 25 * D + 15 * L ≤ 1 200 * 60 10 * D + 8 * L ≤ 800 * 60

8.21


Lösningsförslag

a) Beteckna antalet Conny med C, Ronny med R och Sonny med S. Målfunktion: Maximera Z = 20 * C + 15 * R + 20 * S Restriktioner: 20 * C + 10 * R + 8 * S ≤ 4 000 * 60 20 * C + 36 * R ≤ 6 000 * 60 6 * C + 6 * R + 4 * S ≤ 2 000 * 60 2 * C + 8 * R + 10 * S ≤ 2 000 * 60 1 * S ≥ 1 000b)

Avdelning Kapacitet (tim/mån)

Resursanspråk (min/prod)

Max. tillverkning (prod/mån)

Conny Ronny Conny RonnyA 4 000 20 10 12 000 24 000B 6 000 20 36 18 000 10 000C 2 000 6 6 20 000 20 000D 2 000 2 8 60 000 15 000

1) TTB enbart Conny: 12 000 * 20 = 240 000 kr. 2) TTB enbart Ronny: 10 000 * 15 = 150 000 kr.

20 * C + 10 * R = 4 000 * 60 (1) 20 * C + 36 * R = 6 000 * 60 (2)

– 20 * C – 10 * R = – 4 000 * 60 (1) 20 * C + 36 * R = 6 000 * 60 (2)

26 * R = 2 000 * 60 R ≈ 4 615 (4 615,38)

Sätt in detta värde i ekvation (1). Det ger 20 * C + 10 * 4 615 = 240 000 C ≈ 9 693 (9 692,5)

3) TTB Conny + Ronny: 9 693 * 20 + 4 615 * 15 = 263 085 kr.

Svar: En produktblandning med 9 693 Conny och 4 615 Ronny ger optimalt täckningsbidrag på kort sikt 263 085 kr/mån.

8.22



Beteckna antalet kg foder Alfa med X1, Beta med X2 och Gamma med X3.

Målfunktion: Minimera Z = 6 * X1 + 12 * X2 + 4 * X3

Restriktioner: 0,50 * X1 + 0,70 * X2 + 0,30 * X3 ≥ 200 0,10 * X1 + 0,20 * X2 + 0,05 * X3 ≥ 80 0,02 * X1 + 0,02 * X2 + 0,08 * X3 ≥ 30 0,008 * X1 + 0,001 * X2 ≥ 0,40 0,008 * X1 + 0,001 * X2 ≤ 1,60

Resursåtgång min/produktProdukt Hokus (X1) Pokus (X2) Filijokus (X3)Maskin A B C

101)

68

286

433

TB (kr/st) 60 40 25

1) 606 = 10 min/st. Analogt i övriga fall.

Antag att det finns 100 000 minuter att tillgå i respektive maskin.

Målfunktion: Maximera Z = 60 * X1 + 40 * X2 + 25 * X3

Restriktioner: 10 * X1 + 2 * X2 + 4 * X3 ≤ 100 000 6 * X1 + 8 * X2 + 3 * X3 ≤ 100 000 8 * X1 + 6 * X2 + 3 * X3 ≤ 100 000

a) Beteckna procenthalten med X1, X2, X3, X4 samt X5 (i heltal) för andelen socker och halvfabrikaten A, B, C och D.

Antag att vi gör en blandning på sammanlagt 100 kg. Procenthalten erhålls då i heltal för respektive ingrediens. Om högervärdena istället anges i decimaltal erhålls procenthalten i decimaltal. Restriktionerna har ställts upp i ordningen ≤, = och ≥. Detta innebär att restriktionerna avser i tur och ordning färgämne, gelatin, totalt, konsistensgivare, stärkelse och aromämne.

Målfunktion: Minimera Z = 6 * X1 + 25 * X2 + 20 * X3 + 14 * X4 + 40 * X5

8.23

8.24

8.25


Lösningsförslag

Restriktioner: 0,2 * X2 + 0,1 * X3 + 0,1 * X4 ≤ 3 0,2 * X2 + 0,1 * X3 = 2 1 * X1 + 1 * X2 + 1 * X3 + 1 * X4 + 1 * X5 = 100 0,3 * X2 + 0,5 * X3 + 0,7 * X4 + 0,4 * X5 ≥ 10 0,3 * X2 + 0,2 * X3 + 0,2 * X4 + 0,4 * X5 ≥ 4 0,1 * X3 + 0,2 * X5 ≥ 1

a) Antal produkter i en optimal lösning betecknas med: Stolar X1, Bänkar X2, Soffor X3 och Bord X4.

Målfunktion: Maximera Z = 18 * X1 + 12 * X2 + 24 * X3 + 20 * X4

Restriktioner: 4 * X1 + 3 * X2 + 6 * X3 + 6 * X4 ≤ 400 * 60 3 * X1 + 3 * X2 + 5 * X3 + 3 * X4 ≤ 250 * 60 6 * X1 + 4 * X2 + 7 * X3 + 3 * X4 ≤ 350 * 60 4 * X1 + 5 * X2 + 6 * X3 + 5 * X4 ≤ 400 * 60b)

Kapacitet (tim/mån)

Resursanspråk (min/st)

Max. tillverkning (st/mån)

TB (kr/tim)

Soffa Bord Soffa Bord Soffa BordKapning 400 6 6 4 000 4 000 240 200Hyvling 250 5 3 3 000 5 000 288 400Borrning 350 7 3 3 000 7 000 206 400Lackering 400 6 5 4 000 4 800 240 240

TB: Soffa 24 kr/st Bord 20 kr/st

So�a

Bord

Borrning

Hyvling

Kapning

Lackering

TB-linjer

Optimal lösning

4 000

3 000

2 000

2 400 4 000 4 800 5 000 7 000

8.26



Förutsättningarna för produktblandning är uppfyllda. Lackering och borrning är inte trånga sektioner. Problemet kan därmed reduceras till två trånga sektioner, kapning och hyvling.

TBlinje: TTB vid produktion av 2 000 st soffor är 2 000 * 24 = 48 000 kr.

Detta motsvarar en produktion av 48 00020

= 2 400 st bord.

Sammanbinds dessa produktionsvolymer erhålls en TBlinje. Om denna parallellförflyttas utåt, lämnar den det möjliga området vid punkten för blandning av soffor och bord.

c) Antag att det tillverkas S st Soffor och B st Bord vid optimal produktblandning.

6 * S + 6 * B = 400 * 60 (1) 5 * S + 3 * B = 250 * 60 (2)

Ekvation (2) multipliceras med –2. Det ger 6 * S + 6 * B = 400 * 60 (1) –10 * S 6 * B = 500 * 60 (2)

Ekvation (1) minskas med ekvation (2). Det ger –4 * S = –100 * 60 S = 1 500

Sätt in detta värde i ekvation (1). Det ger 6 * 1 500 + 6 * B = 400 * 60 B = 2 500

TTB = 1 500 * 24 + 2 500 * 20 = 86 000 kr.

Svar: Optimal lösning på kort sikt är att tillverka 1 500 st Soffor och 2 500 st Bord. Detta ger ett TTB på 86 000 kr/mån.


Lösningsförslag

a) Det behövs marknadsinformation om de nya produkterna och den kan skaffas genom en marknadsundersökning. Situationen bör i vart fall delvis kunna benas upp sekventiellt t.ex. med hjälp av ett beslutsträd.

c) Nya kunder/leverantörer

b) Nya produkter

a) Fortsätta som hittills

Hacka

Lampa

Andra

Trån

ga s

ektio

ner.

Prod

uktv

al.

Vid

prod

uktio

n av

lam

pa.

Välj

typ

av ro

yalty

.

b) Beteckna antal produkter i optimal lösning med: Fäste X1, Stag X2, Hållare X3, Stöd X4 och Lampor X5.

Målfunktion: Maximera Z = = 0,40 * X1 + 0,65 * X2 + 0,40 * X3 + 0,80 * X4 + 2,50 * X5

Restriktioner: 2 * X1 + 3 * X2 + 1 * X3 + 3 * X4 + 5 * X5 ≤ 500 * 60 3 * X1 + 4 * X2 + 2 * X3 + 2 * X4 + 6 * X5 ≤ 600 * 60 1 * X1 + 5 * X2 + 1 * X3 + 3 * X4 + 8 * X5 ≤ 450 * 60 2 * X1 + 1 * X2 + 2 * X3 + 1 * X4 + 3 * X5 ≤ 250 * 60

c) Kapacitet (tim/mån)

Resursanspråk (min/st)

Max. tillverkning (st/mån)

TB (kr/tim)

Hållare Stöd Hållare Stöd Hållare StödStansning 500 1 3 30 000 10 000 24 16Borrning 600 2 2 18 000 18 000 12 24Bockning 450 1 3 27 000 9 000 24 16Lackering 250 2 1 7 500 15 000 12 48

8.27



Stansning och borrning är ej trånga sektioner. Förutsättningarna för produktblandning är uppfyllda.

Stöd

Hållare

Borrning

LackeringOptimal lösning

Bockning

StansningTB-linjer

18 000

15 000

10 0009 000

5 000

7 500 10 000 18 000 27 000 30 000

TBlinje: TTB vid produktion av 5 000 Stöd är 5 000 * 0,80 = 4 000 kr. Detta motsvarar en produktion av

4 0000,40 = 10 000 st Hållare. En parallellförflyttad TBlinje lämnar

det möjliga området vid punkten för produktblandning.

d) Antag att man vid blandningspunkten erhåller H st Hållare och S st Stöd.

1 * H + 3 * S = 450 * 60 (1) 2 * H + 1 * S = 250 * 60 (2)

Ekvation (1) multipliceras med –2. Det ger –2 * H – 6 * S = –900 * 60 (1) 2 * H + 1 * S = 250 * 60 (2)

Ekvation (1) minskas med ekvation (2). Det ger –5 * S = –650 * 60 S = 7 800

Sätt in detta värde i ekvation (1). Det ger 1 * H + 3 * 7 800 = 450 * 60 H = 3 600 TTB: Hållare + Stöd: 3 600 * 0,40 + 7 800 * 0,80 = 7 680 kr/mån. Jämför med enproduktprogrammen TTB: Enbart Hållare: 7 500 * 0,40 = 3 000 kr/mån. TTB: Enbart Stöd: 9 000 * 0,80 = 7 200 kr/mån.

Svar: Optimalt kortsiktigt produktionsprogram är 3 600 st Hållare och 7 800 st Stöd. TTB blir 7 680 kr/månad.


Lösningsförslag

e) Antag att de måste tillverka och sälja minst Y st Lampor under det första året för att en engångsersättning skall vara fördelaktigast.

Y * 2 + 5 000 = 20 000 Y = 7 500 Svar: Han måste sälja minst 7 500 st lampor under år ett för att

en engångsersättning skall vara fördelaktigast.

a)

Kuller

B

C

D

Bytta

Volt

Mon-

Kuller-

Skiss över produktions�ödet

X 1

X 2

X 3

X 4

X 5

X 6

X 7

A

tering

bytta

Volt

X 8

Kuller kan tillverkas på två sätt X1 och X2. Bytta på tre sätt X3, X4 och X5 samt Volt på tre sätt X6, X7 och X8.

Resursåtgång min/st Kapacitet (min/år)Produkt Kuller Bytta Volt

Maskin A B C DMontering

61)

12

10

881

10 8

1 3

240 000120 000

10 00020 000

600 000Försäljning (st/år) ≥ 12 000 ≤ 25 000

1) Man kan producera 10 Kuller/timme. Varje Kuller förbrukar 6 min.

TB sätts till 5 kr/st för Kuller och Bytta. TB för Volt är 8 kr/st.

Målfunktion: Maximera Z = 5 * X1 + 5 * X2 + 5 * X3 + + 5 * X4 + 5 * X5 + 8 * X6 + 8 * X7 + 8 * X8

8.28



Restriktioner: 6 * X1 + 8 * X3 + 10 * X6 ≤ 240 000 12 * X2 + 8 * X4 + 8 * X7 ≤ 120 000 1 * X5 ≤ 10 000 1 * X8 ≤ 20 000 10 * X1 + 10 * X2 + 3 * X6 + 3 * X7 + 3 * X8 ≤ 600 000 1 * X1 + 1 * X2 – 1 * X3 – 1 * X4 – 1 * X5 = 0 1 * X1 + 1 * X2 ≥ 12 000 1 * X6 + 1 * X7 + 1 * X8 ≤ 25 000

b) 1. Täckningsbidrag 485 714 kr. Vid produktion av 28 571 st Kuller i A. 10 000 st Bytta i C. 8 571 st Bytta i A. 5 000 st Volt i B. 10 000 st Bytta i B. 20 000 st Volt i D.

2. Den utnyttjade kapaciteten. I monteringen 360 714 minuter.

3. Bindande betyder att en restriktion utnyttjas fullt ut t.ex. kapaciteten i avdelning A. Marginalen är då 0. Försäljningskontraktet för Kullerbytta var på 12 000 st och den optimala lösningen ger en försäljning på 28 571 st dvs. en marginal på 16 571 st. Cellvärde (se punkt 2 ovan) + marginal = tillgänglig kapacitet.

4. Reducerad kostnad anger känsligheten hos målvariabelns koefficienter. Om värdet är noll är variabeln med i lösningen. Reducerad kostnad visar hur mycket koefficienten måste ändras, för att variabeln skall komma med i lösningen. Om Volt producerad i avdelning A hade 1,43 kr mer i täckningsbidrag per st, skulle denna produkt komma med i lösningen.

5. Tillåten ökning och minskning anger att nuvarande 6. lösning (produktblandning) är optimal inom dessa gränser

för målfunktionens koefficienter. Om värdet av att tillverka en Kuller i B stiger till ett högre belopp än 9,29 (5 + 4,29) kr ändras produktblandning. Beteckningen 1E+30 betyder att även en oändlig förändringen ger samma optimala lösning.

7. Värdet av ytterligare en enhet av den begränsande resursen. I detta fall ökas målfunktionens värde med 0,714 kr om man får tillgång till ytterligare en minut i avdelning B.


Lösningsförslag

8. Visar inom vilka gränser Skugga Pris är konstant. Om 9. tidstillgången i avdelning A ökar mer än 335 000 minuter

(och därmed uppgår till mer än 240 000 + 335 000 = 575 000 minuter) gäller inte det nuvarande skuggpriset 0,714 kr på tillkommande tid. Om försäljningen av Volt minskar med mer än 5 000 st gäller inte nuvarande skuggpris 2,286 kr/st.

Ekonomistyrning - Studentlitteratur

Documents

Transcript of Ekonomistyrning - Studentlitteratur