EKONOMETRİ - İstanbul Üniversitesiauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/iktisat_ao/ekonometri.pdfSiz...

EKONOMETRİ

İKTİSAT LİSANS PROGRAMI

Prof. Dr. Nilgün ÇİL

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ AÇIK VE UZAKTAN EĞİTİM FAKÜLTESİ

İKTİSAT LİSANS PROGRAMI

EKONOMETRİ

Prof. Dr. Nilgün ÇİL YAVUZ

Yazar Notu

Elinizdeki bu eser, İstanbul Üniversitesi Açık ve Uzaktan Eğitim Fakültesi’nde okutulmak için

hazırlanmış bir ders notu niteliğindedir.

i

ÖNSÖZ

Ekonometri dersi, iktisat teorilerinin, uygulamada geçerliliğinin test edilmesi ve iktisat politikaları için kullanılabilmesi amacıyla matematik, istatistik ve ekonometri bilimlerinin araçlarından yararlanarak ölçülebilir somut modeller ortaya koymayı hedefler.

Ekonometri dersi, bu amacına ulaşmak için iktisadi analiz için matematiksel, istatistiksel ve ekonometrik teknik ve modellerden nasıl yararlanacağını analiz eder. Daha ileri konularda ise ileri iktisat teorilerinin matematiksel istatistik ve ekonometri modellere

dönüştürülmesi ve bu teorilerin ampirik geçerliliğini test ederek iktisat teorisinin gelişimine katkı sağlar; diğer yandan, istatistik ve ekonometrik araçlar kullanarak da iktisat politikalarında karar vermede önemli bir araç özelliği görevi üstlenir.

ii

YAZAR NOTU

Önsöz’de detaylı açıklandığı gibi, Ekonometri dersi, iktisat teorilerinin, uygulamada geçerliliğinin test edilmesi ve iktisat politikaları için kullanılabilmesi amacıyla matematik, istatistik ve ekonometri bilimlerinin araçlarından yararlanarak ölçülebilir somut modeller ortaya koymayı hedefler. Ancak ders, açık ve uzaktan eğitim ihtiyaçlarına yönelik olarak en temel düzeydeki konuları sade bir dille açıklayıp öğretmeyi hedeflemek için tasarlanmıştır. Öğrencilerin ekonometriyi anlayıp sindirebilmeleri için her bir konuyu anladıklarına ve sorularını çözebildiklerine emin olduktan sonra bir sonraki konuya geçmeleri daha sağlıklı ilerlemeleri için önemlidir. Kitabın tüm öğrencilere yararlı olmasını dilerim.

Prof. Dr. Nilgün ÇİL YAVUZ

iii

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ ............................................................................................................................ i

YAZAR NOTU .............................................................................................................. ii

İÇİNDEKİLER ............................................................................................................ iii

1. EKONOMETRİYE GİRİŞ ...................................................................................... 1

1.1. Ekonometri Nedir? Ekonometrinin Gerekliliği .................................................... 6

1.2. Ekonometrinin Amacı ve Yöntemi ......................................................................... 7

1.3. Ekonometrik Model ............................................................................................... 11

1.4. Veriler Nasıl Oluşur? ............................................................................................. 12

1.4.1. Deneysel Veriler ............................................................................................. 12

1.4.2. Deneysel Olmayan Veriler ............................................................................. 13

1.5. İktisadi Veri Türleri .............................................................................................. 13

1.5.1. Zaman Serisi Verileri ..................................................................................... 14

1.5.2. Yatay Kesit Verileri ....................................................................................... 15

1.5.3. Panel Veriler ................................................................................................... 16

1.6. İktisadi Veri Kaynakları ....................................................................................... 17

1.7. Ekonometride Bilgisayarın ve Paket Programların Yeri ................................... 17

2. REGRESYON ANALİZİNE GİRİŞ ..................................................................... 26

2.1. Regresyon Analizine Giriş ..................................................................................... 31

2.2. Regresyon ve Korelasyon ...................................................................................... 33

2.3. Ana kütle Regresyon Modeli ................................................................................. 34

2.4. Hata Teriminin (Rassal Hata) Tanıtılması .......................................................... 40

iv

2.5. Örnek Kütle Regresyon Modeli ............................................................................ 47

2.6. Hata Teriminin Kaynakları .................................................................................. 49

3. BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ ................................................... 63

3.1. Regresyon Parametrelerinin Tahmini ................................................................. 68

3.2. Tahmin Yöntemleri ................................................................................................ 68

3.3. En Küçük Kareler Yaklaşımı ............................................................................... 68

3.3.1. Basit Regresyon Modelinin Tahmini İçin En Küçük Kareler Yöntemi .... 68

3.3.2. En Küçük Karelerin Sapmalar Yöntemi İle Uygulaması ........................... 71

3.4. Açıklayıcı Örnekler ................................................................................................ 74

3.4.1. Uygulama 1: Satış Gelirleri İle Reklam Harcamaları ................................ 74

3.4.2. Uygulama 2: Gelir İle Tüketim Harcamaları .............................................. 79

3.5. Tahminlerin Yorumlaması .................................................................................... 82

3.6. En Küçük Kareler Yönteminin Özellikleri ......................................................... 83

3.7. Öngörü .................................................................................................................... 87

4. EN KÜÇÜK KARELER TAHMİNCİLERİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ . 103

4.1. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Değerlendirilmesi ................................... 108

4.1.1. Doğrusallık .................................................................................................... 108

4.1.2. Sapmasızlık ................................................................................................... 110

4.1.3. Tekrarlı Örnekleme ..................................................................................... 111

4.1.4 En Küçük Kareler Tahmincilerinin Varyans ve Kovaryansları .............. 113

4.2. Gauss-Markov Teoremi ...................................................................................... 115

4.3. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Olasılık Dağılımları: Merkezi Limit

Teoremi ........................................................................................................................ 116

v

4.4. Hata Terimi Varyansının Tahmini .................................................................... 117

4.5. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Varyans ve Kovaryanslarının Tahmini 118

4.6. Açıklayıcı Örnekler .............................................................................................. 120

4.6.1. Uygulama 1: Satış Gelirleri İle Reklam Harcamaları .............................. 120

4.6.2. Uygulama 2: Haftalık Harcanabilir Gelir İle Tüketim Harcamaları ..... 121

4.7. Esneklikler ............................................................................................................ 124


5. ARALIK TAHMİNİ VE HİPOTEZ TESTİ ...................................................... 136

5.1. Aralık Tahmini ..................................................................................................... 141

5.1.1. t-Dağılımı ....................................................................................................... 141

5.1.2. Aralık Tahminlerini Elde Etme .................................................................. 143

5.1.3. Açıklayıcı Uygulama: Satış Modeli ............................................................ 145

5.2. Hipotez Testleri .................................................................................................... 146

5.2.1. Temel Hipotez ............................................................................................... 147

5.2.2 Alternatif Hipotez ......................................................................................... 147

5.2.3. Test İstatistiği ............................................................................................... 147

5.2.4. Red Bölgesi .................................................................................................... 148

5.2.5. Karar ............................................................................................................. 148

5.3. Özel Alternatif Hipotezlerde Red Bölgeleri ....................................................... 148

5.3.1. Alternatif Hipotez “ Büyüktür (>)” ise Tek Kuyruk Testleri .................. 148

5.3.2. Alternatif Hipotez “ Küçüktür (<)” İse Tek Kuyruklu Testleri .............. 149

5.3.3. Alternatif Hipotez “ Eşit Değildir (≠)” Olduğunda Çift Kuyruk Testleri .................................................................................................................................. 150

vi

5.4. Hipotez Testi Örnekleri ....................................................................................... 151

5.4.1. Sağ-Kuyruk Testleri .................................................................................... 151

5.4.1.1. Tek Kuyruklu Anlamlılık Testi ........................................................... 151

5.4.1.2. Tüketim Modeli İçin Tek Kuyruk Testi ............................................. 153

5.4.2. Sol-Kuyruk Testleri ..................................................................................... 154

5.4.3 Çift Kuyruklu Testler ................................................................................... 154

5.4.3.1. Tüketim Modeli için Çift Kuyruklu Testi .......................................... 154

5.4.3.2. Çift Kuyruklu Anlamlılık Testi ........................................................... 156

6. UYUMUN İYİLİĞİ, ÖLÇME VE ÖLÇEKLEME ........................................... 166

6.1. Uyumun İyiliğinin Ölçülmesi .............................................................................. 171

6.1.1. Belirginlik Katsayısı ..................................................................................... 171

6.1.2. Tahminin Standart Hatası ........................................................................... 177

6.1.3. Genelleştirilmiş ( ) .................................................................................... 178

6.1.4. Açıklayıcı Örnekler ...................................................................................... 178

6.2. Verinin Ölçü Biriminin Değiştirilmesinin Etkileri ........................................... 187

6.2.1. Bağımsız Değişkenin Ölçü Birimini Değiştirme ........................................ 188

6.2.2. Bağımlı Değişkenin Ölçü Birimini Değiştirme .......................................... 188

6.2.3. Bağımlı ve Bağımsız Değişkenin Ölçü Birimini Aynı Faktörle Değiştirme .................................................................................................................................. 188

6.2.4. Bağımlı ve Bağımsız Değişkenin Ölçü Birimini Farklı Faktörle Değiştirme .................................................................................................................................. 189

6.2.5. Açıklayıcı Örnek .......................................................................................... 189

7. UYUMUN İYİLİĞİ VE MODELLEME KONULARI ..................................... 201

7.1. Orijinden Geçen Regresyon ................................................................................ 206

2r

vii

7.2. Fonksiyonel Biçimin Belirlenmesi ...................................................................... 207

7.2.1. Log-Log Model ............................................................................................. 209

7.2.2. Log-Doğrusal Model .................................................................................... 213

7.2.3. Doğrusal-log Model ...................................................................................... 216

7.3. Hata Terimleri için Normal Dağılımın Testi ..................................................... 219

7.3.1. Jarque-Bera Testi ......................................................................................... 219

8. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİ -I ............................................. 233

8.1. İktisadi Model ...................................................................................................... 238

8.2. Ekonometrik Model ............................................................................................. 239

8.2.1. Genel Model .................................................................................................. 241

8.2.2. Çok Değişkenli Regresyon Modelin Varsayımları .................................... 241

8.3. Çoklu Değişkenli Regresyon Modeli Parametrelerinin Tahmini: En Küçük Kareler Yöntemi ......................................................................................................... 243


8.5. Hata Terimi Varyansının ( 𝛔𝟐 )Tahmini ........................................................... 250


9. ÇOKLU REGRESYON MODELİ -II ................................................................ 266

9.1. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Örnekleme Özellikleri ............................ 271

9.2. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Varyans ve Kovaryansları ..................... 271


9.4. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Dağılımı ................................................... 275

9.5. Aralık Tahmini ..................................................................................................... 276

9.6. Hipotez Testi ......................................................................................................... 278

viii

9.6.1. Parametre Anlamlılığının Testi .................................................................. 278

9.6.2. Parametre için Tek-Kuyruklu Hipotez Testi ............................................. 280

9.6.2.1. Talep Esnekliğinin Testi ...................................................................... 280

9.6.2.2. Reklam Etkinliğinin Testi .................................................................... 282

9.6.2.3. Satış Modelinin Genişletilmesi ............................................................ 283

9.7. Uyum İyiliğinin Ölçülmesi .................................................................................. 284

10. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİNDE İLERİ ÇIKARSAMA 296

10.1. Birleşik Hipotezlerin Testi ................................................................................ 301

10.2. F-Testi ................................................................................................................. 301

10.3. Modelin Anlamlılığının Testi ............................................................................ 304

10.4. F- ve t- Testleri Arasındaki İlişki ..................................................................... 306

10.5. Varyans Analiz (ANOVA) Tablosu .................................................................. 308

11. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYONDA İLERİ ÇIKARSAMALAR ............ 324

11.1. Model Tanımlama .............................................................................................. 329

11.1.1. Dışlanmış Değişken .................................................................................... 329

11.1.2. İlgisiz Değişken ........................................................................................... 330

11.2. Model Kurma Hatalarının Testi ....................................................................... 331

11.2.1. Ramsey’in Reset Testi: .............................................................................. 331

11.3. Açıklayıcı Örnek ................................................................................................ 332

11.4. Lagrange Çarpanı (LM) Testi .......................................................................... 333

11.5. Açıklayıcı Örnek ................................................................................................ 334

11.6. Değişkenlerdeki Ölçme Hataları ...................................................................... 335

11.7. Model Seçme Kriterleri ..................................................................................... 335

ix

11.7.1. Düzeltilmiş Belirginlik Katsayısı .............................................................. 335

11.7.2. Akaike Bilgi Kriteri (AIC) ........................................................................ 336

11.7.3. Schwarz Bilgi Kriteri (SIC) ....................................................................... 336

12. DEĞİŞEN VARYANS-I ..................................................................................... 346

12.1. Değişen Varyansın Yapısı ................................................................................. 351

12.2. En Küçük Kareler Tahmincileri İçin Değişen Varyansın Sonuçları ............ 355

13. DEĞİŞEN VARYANS - II ................................................................................. 361

13.1. Değişen Varyansın Tespit Edilmesi .................................................................. 366

13.1.1. Sistematik Olmayan Test: Kalıntı Grafikleri .......................................... 366

13.1.2. Sistematik Testler ....................................................................................... 366

13.1.2.1. Lagrange Çarpanı Testleri ................................................................ 366

13.1.2.2. White Testi .......................................................................................... 369

13.1.2.3. The Goldfeld-Quandt Testi ................................................................ 371

13.1.2.4. Spearman Sıra Korelasyon Testi ...................................................... 376

13.2. Değişen Varyansın Varlığı Durumunda Parametre Tahmin Yöntemleri .... 380

14. OTOKORELASYON ......................................................................................... 392

14.1. Otokorelasyon Nedir? ........................................................................................ 397

14.2. En Küçük Kareler Tahmincileri İçin Otokorelasyonun Sonuçları ............... 398

14.3. Otokorelasyonun Tespit Edilmesi .................................................................... 398

14.3.1. Sistematik Olmayan Test: Kalıntı Grafikleri .......................................... 398

14.3.2. Sistematik Testler ....................................................................................... 399

14.3.2.1. Sıra (Run) Testi .................................................................................. 399

14.3.2.2. Durbin Watson Testi .......................................................................... 401

x

14.3.2.3. Durbin-h testi ...................................................................................... 404

14.3.2.4. Durbin’in Alternatif Testi.................................................................. 406

14.3.2.5. Breusch-Godfey Testi (LM Test) ...................................................... 408

14.4. Otokorelasyonun Varlığı Durumunda Parametre Tahmin Yöntemleri ....... 409

1

1. EKONOMETRİYE GİRİŞ

2

Bölüm Hakkında İlgi Oluşturan Sorular

1) Ekonometri nedir?

2) Ekonometrik uygulamanın amacı nedir?

3) Ekonometri hangi bilim dallarından yararlanır?

4) Ekonometrik bir çalışmanın aşamaları nedir?

5) Ekonometrik modeli matematiksel modelden ayıran temel özellik nedir?

6) Ekonometride kullanılan veriler nasıl oluşturulur?

7) İktisadi verilerin özellikleri nedir?

8) Ekonometrik bir çalışma yapan araştırmacı verileri hangi kaynaklardan elde edebilir?

9) Ekonometrik modellerinin çözümünde ekonometri paket programların ve yazılımların önemi nedir?

3

Bölümde Hedeflenen Kazanımlar ve Kazanım Yöntemleri

Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği

veya geliştirileceği

Ekonometrinin önemi ve işlevini detaylı olarak ortaya koyabilmek.

Soyut düşünme, kaynak kitaplardan araştırarak

Ekonometrinin iktisat,

matematik ve istatistikle

ilişkisini açıklayabilmek

Ders notları, kaynak kitaplar

Ekonometrinin metodolojisini

aktarabilmek Ders notları, kaynak kitaplar

Ekonometrik uygulamalarda

kullanılanan iktisadi verilerin

nasıl elde edildiğini açıklamak

Ders notları

İktisadi verilerin özelliklerini açıklamak

Ders notları

4

Anahtar Kavramlar

Ekonometri

Matematiksel Model

Ekonometrik Model

Deneysel Veri

Deneysel Olmayan Veri

Gözlemlenmiş (Geriye Dönük Veri)

Rassal Örnekleme

Frekans (Veri Sıklığı)

Zaman Serisi Verisi

Yatay Kesit Verisi

Panel Veri

Havuzlanmış Veri

Bağımlı Değişken

Bağımsız Değişken

5

Giriş

Bu bölümde iktisat öğrencilerinin “Niçin Ekonometri Öğreniriz?” sorusuna cevap arayacak, iktisatçıların eğitiminde özel bir role sahip olan ekonometrinin önemi, metodolojisi ve uygulama alanı üzerinde duracağız. Siz iktisat öğrencileri iktisat eğitiminin ilk yıllarında İktisada Giriş, Makro İktisat ve Mikro İktisat derslerinde arz ve talep, çarpan katsayısı, marjinal maliyet, ortalama maliyet, fırsat maliyeti, kıt kaynaklar ve karşılaştırmalı üstünlük gibi kavramları öğreniyor, para politikası ve maliye politikasının işleyişini ve piyasalar üzerindeki etkilerini, hükümet politikalarının piyasayı nasıl etkilediğini öğreniyorsunuz. Kısaca bir iktisat öğrencisi olarak “bir iktisatçı gibi düşünmeyi” öğreniyorsunuz. Bu bağlamda iktisat eğitimi,

İktisat Fakültesi mezunu bir öğrenciye mezuniyet sonrası gerek kamu gerekse özel sektörde geniş bir iş yelpazesi sunar.

Mezuniyet sonrası iş dünyasına girmek isteyen İktisat Fakültesi mezunundan, işveren “Şirketimiz için ne yapabilirsiniz?” sorusuna cevap almak isteyecektir. İktisat eğitimi alan birinin “ Bir iktisatçı gibi düşünebilirim” cevabı, işvereni tatmin edecek yeterli bir cevap olmayabilecektir. Bir iktisat öğrencisinin lisans eğitiminde öğrenmiş olduğu bilgi ile iktisatçıların gerçekte ne yaptığı arasında farklılık vardır. Özel sektörde veya kamu sektöründe çalışan iktisat mezunları genellikle uygulamalı iktisadi analiz ile ilgilenirler. Uygulamalı iktisadi analizden kasıt, iktisadi verileri kullanarak iktisadi ilişkileri tahmin etmek, iktisadi hipotezleri test etmek ve iktisadi gelişmeleri öngörmektir.

Ekonometriyi öğrenmek, iktisat öğrencisi olmak ile uygulamalı iktisatçı olma arasındaki

farkı kapatır. Ekonometri eğitimi alan ve ekonometriyi kullanabilen bir iktisat öğrencisi, işverenin yukarıdaki sorusuna “Ürününüzün satış öngörüsünü yapabilirim”, “Rakiplerinizin ürün fiyatını 1 lira düşürdüğünde satışlarınız üzerindeki etkileri tahmin edebilirim”, “Reklam harcamalarınızın satışlarınızı gerçekten arttırıp arttırmadığını test edebilirim” gibi detaylı cevap verebilecektir. Bu cevaplar hem bir iktisatçı gibi düşünebildiğinizi hem de iktisadi verileri

kullanabilme yeteneğine sahip olduğunuzu yansıttığı için şüphesiz işvereni daha memnun edici cevaplardır. Dolayısıyla ekonometri iş başvurusunda bulanan iktisat mezununa işe girmede önemli bir avantaj sağlayacaktır.

İktisadi ölçüm için temel olan ekonometri ve ekonometrinin önemi iktisat biliminin

ötesine yayılmıştır. Ekonometrik yöntemler günümüzde muhasebe, finans, pazarlama, yönetim gibi işletme disiplinlerinde, sosyoloji, psikoloji, siyaset bilimi, tarih, biyoloji, tıp, eğitim gibi birçok alanda kullanılmaktadır.

6

1.1. Ekonometri Nedir? Ekonometrinin Gerekliliği

İktisat ilminin dayandığı iktisat teorisi, iktisadi değişkenler arasındaki ilişkilerin özelliklerini ve iktisadi olayları açıklamaktadır. En iyi teori, şüphesiz bütün değişkenleri ve bu

değişkenler arasındaki bağlantıları eksiksiz olarak ele alan ve ekonominin işleyişini bir zaman dilimi içinde (statik) veya zaman akımı çerçevesinde (dinamik) gösterebilen teoridir. Bu bağlamda iktisat teorisi değişkenler arasındaki ilişkilerin genel eğilimi ve değişkenler arsındaki sebep-sonuç bağlantısı hakkında bilgi verir. Ancak iktisat teorisi genel olarak varsayımlar ve hipotezlere dayanmakta olup ampirik bir çalışmadan yoksundur. İktisat teorisi ile gerçekler her zaman birebir örtüşmezler hatta önemli çelişkiler olabilir.

Ekonometri, iktisadi ilişkileri tahmin etmek, iktisadi teorileri test etmek, devlet veya işletme politikalarını değerlendirmek ve uygulamak için istatistiksel yöntemlerin kullanımına dayanmaktadır.

Ekonometrinin bu tanımına göre, ekonometrik bir çalışmanın temelinde iktisat teorisi vardır. Ekonometri; matematik ve istatistik disiplinlerinden faydalanarak iktisat teorisinin belirlediği ilişkiler ile ilgili sayısal sonuçlara ulaşır, varılan sonuçların analizini yapar, teori ile sayısal verilere göre belirlenen gerçekler arasındaki uygunluk ve çelişkileri analiz ederek varılan sonuçların güvenilirliğini test eder. Böylece ekonometri, eğilimler yerine sayısal değerler verdiği için, teorinin belirlediği iktisadi realitenin kıyaslanmasını sağlar. Kısaca ekonometri, iktisadi ölçüm anlamına gelmektedir.

Şekil 1: Ekonometri biliminin diğer bilim dallarıyla ilişkisi

İktisat teorisi, matematik ve istatistiğin bir bileşimi olan ekonometri, bu üç bilim dalının her birinden bütünüyle farklıdır. İktisat teorisi, matematik ve istatistik ile bunların bileşimleri iktisadi istatistikler, matematiksel istatistik ve matematiksel iktisat günümüz iktisadi olaylardaki nicel ilişkilerin kavranması için gerekli olmakla birlikte hiçbiri tek başına yeterli değildir.

Ekonometri; kuramsal iktisat, matematiksel iktisat ve iktisadi istatistikten ayrı bir bilim dalıdır. Çünkü;

7

İktisat teorisi genellikle önsavlar (hipotezler) öne sürer. İktisat teorisi iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkinin yönüne odaklanırken ilişkinin sayısal ölçümünü vermekten uzaktır. Ekonometri ise, iktisat kuramına ampirik bir içerik katar.

Matematiksel iktisadın görevi iktisat kuramını matematiksel kalıplar içerisine sokmaktır. Matematiksel eşitliklerin ekonometrik eşitlikler haline sokulması ve doğrulanması ise ekonometrinin konusudur.

İktisadi istatistiğin ilgi alanı iktisadi verileri derlemek ve işlemektir. Toplanan bu verilerin kullanılarak iktisat teorilerinin doğrulanması sayısal kestirimlerin yapılması ise ekonometrinin konusudur.

Bu bağlamda ekonometri iktisat teorisinin belirlediği iktisadi ilişkileri en uygun, en gerçekçi, işlenebilir bir matematiksel bir model içinde ele alarak değişkenler arasındaki bağlantıyı kuran parametrelerin sayısal değerlerini en doğru tahmin edecek yöntemleri araştırır.

Ekonometri, “ne kadar” sorularına cevap vermek için, istatistik yöntemler ile birlikte, iktisat, işletme ve diğer sosyal bilimlerdeki teori ve verileri nasıl kullanacağımız ile ilgilidir.

Genel olarak ekonometri, iktisadi verileri ve aralarındaki ilişkileri analiz etmek için iktisat teorisi ve istatistik yöntemleri kullanma bilimi ve sanatıdır. Makro iktisat, mikro iktisat, çalışma ekonomisi, finans, pazarlama ve iktisat politikası dâhil olmak üzere ekonominin birçok bilim dalında ekonometrik yöntemler yoğun olarak kullanılmaktadır.

1.2. Ekonometrinin Amacı ve Yöntemi

Ekonometrinin amacı iktisat teorisinin belirlediği iktisadi ilişkileri kantitatif bir model çerçevesinde ele alarak değişkenlerin değişme sebeplerini sayısal ölçülerle ifade etmek ve bu

değişkenlerin gelecekte alabilecekleri değerleri tahmin edebilmek ve iktisat teorilerinin doğruluğunu test etmektir.

Genel olarak ekonometri, teorik ekonometri ve uygulamalı ekonometri olarak ikiye

ayrılır. Gerek teorik ekonometriye gerekse uygulamalı ekonometriye Klasik ya da Bayesgil geleneklerle yaklaşılabilir. Ancak ekonometriye giriş düzeyindeki kitaplarda genellikle klasik yaklaşım tercih edilmekte, Bayesgil yaklaşım kullanılmamaktadır. Bu derste de klasik yaklaşım kullanılacaktır.

Teorik ekonometri ile uygulamalı ekonometrinin birbirinden tamamen ayrılmış olan alanlarını belirlemek ve iki disiplinin kesin sınırlarını çizmek zordur. Teorik ekonometri, bir yandan en uygun ekonometrik modellerin geliştirilmesi sorununu incelerken diğer yandan

ekonometrik modeller için en uygun parametre tahmin yöntemlerini inceler. Uygulamalı ekonometri ise, gerçek verilere dayanarak ilgili iktisadi olay için en uygun kabul edilen ekonometrik modelin parametrelerini en iyi biçimde tahmin edip bunun sonuçlarını incelemek gibi konularla ilgilenir.

8

Teorik ekonometri, genel iktisat teorisi ile en ileri iktisat teorisi prensiplerinden

başlayarak model yapımı, matematiksel modeller bilgisinin ışığında ekonometrik modellerin yapımı için gerekli teorik bilgiyi verir. Ayrıca teorik ekonometri, modellere uyan parametre tahmini için gerekli yöntemleri gösterir ve en uygun modelin en iyi parametre tahmini yollarını ayrıntılı olarak araştırır. Uygulamalı ekonometri ise kantitatif araştırma alanı ve konusu ile ilgili en uygun modelin seçimini yapar, modelin parametre tahminine elverişlilik ve yeterlilik şartlarını araştırır, en uygun parametre tahmin yöntemlerini seçer. Kısaca uygulamalı ekonometri, araştırma konusu olan alanın seçilmesinden, gerekli verilerin toplanıp işlenip rafine hâle getirilmesinden, en uygun ekonometrik modelin belirlenip en iyi parametre tahmin

yönteminin seçilip uygulamasından tahmin ve testlere kadar uzanan halkalarda oluşan bir zincirdir. Ekonomik modellerin ekonometrik analizinde gerekli adımlar aşağıdaki şemada verilmiştir.

Ekonometrik modelin başarısı öncelikle iktisat teorisinin iyi anlaşılmasına bağlıdır. Ekonometrik araştırmanın dayandığı iktisat teorisinin unsurları iktisadi değişkenler arasındaki ilişkilerin doğru tespit edilmesi gerekmektedir. Aksi takdirde temeli olmayan bir binanın inşa edilmesi söz konusu olup temeli olmayan binanın çökeceği gibi, teoriden yoksun ekonometrik modelin tahmini de gerçeği yansıtmaktan uzak olacaktır.

İktisat teorisinin ilişkileri önce matematik terimleri ile ifade edilir, diğer bir ifade ile matematiksel model kurulur. Matematiksel model çeşitli iktisadi ilişkileri tanımlamaktadır. Matematiksel modelden ekonometrik modele geçilir. Ekonometrik modelin en önemli özelliği rassal bir öge (hata terimi) içermesidir. (Daha sonra matematiksel model ile ekonometrik

modelin farklılığı açıklanacaktır.) Modelde yer alan değişkenlere ait ölçümler yapılarak modelin tahmini için gerekli olan veriler elde edilir. Daha sonraki aşamada iktisadi ilişkilerin katsayılarının sayısal değerlerini bulmak için ekonometrik tahmin yöntemleri kullanılır.

Aşağıda verdiğimiz şemayı bir örnekle şu şekilde açıklayabiliriz. İktisat teorisi bir kişinin tüketiminin, harcanabilir gelirine, servetine, zevk ve alışkanlıklarına bağlı olduğunu öngörür. Bu kesin bir ilişkiyi ifade etmektedir. Çünkü tüketimin bütünüyle bu üç etmen tarafından belirlendiği, bunların dışında hiçbir etmenin tüketimi etkilemediği sonucu ortaya çıkmaktadır.

9

Şekil 2: Ekonometrik analizin adımları

Matematiksel

Ekonometrik

Tahmin

Spesifikasyon ve

Model Uygun

Evet

İktisat Hipotezinin

İktisat

Hayır

10

( , , )t t tC f Yh W t

Burada,

tC = Tüketimi

tYh = Harcanabilir geliri

tW = Serveti

t =Zevk ve alışkanlıkları gösteren trend değişkenini ifade etmektedir.

Matematiksel iktisatta tüketimin yukarıdaki soyut iktisadi ilişkisi matematik terimleri ile ifade edilir ve aşağıdaki tüketim denklemi yazılabilir.

0 1 2 3t t tC Yh W t

Burada 0 1 2, , ve 3 ise matematiksel modelin katsayılarıdır. Bu matematiksel model kesin ilişkileri göstermektedir, çünkü tüketim sadece eşitliğin sağ tarafındaki iktisadi değişkenler tarafından açıklanmaktadır. Ancak iktisadi gerçekler göstermektedir ki, tüketimi iktisadi krizler, vergi düzenlemeleri gibi başka iktisadi unsurlar da etkileyebilmektedir. Ayrıca insan davranışı, psikolojik ve toplumsal etmenlerin etkisi altındadır ve düzenli değildir. Dolayısıyla tüketim modeli sıraladığımız değişkenlerin de etkisi altında olduğuna göre matematiksel modeldeki kesinlikten uzaklaşacaktır. Model dışındaki bu etmenler dikkate alındığında model aşağıdaki gibi rastlantısal (stokastik) biçimi alır ve ekonometrik model olarak adlandırılır.

0 1 2 3t t t tC Yh W t u

Yukarıdaki denklemde yer alan u, hata terimi adını alır. Ekonometrik modelin, matematiksel modelden farkı bünyesinde hata terimini barındırması ve dolayısıyla kesin ilişkileri değil, rastlantısal ilişkileri ifade etmesidir.

Bundan sonraki adım ekonometrik modelde yer alan değişkenlere ilişkin gerçek verilerin sağlanmasıdır. Daha sonra model ekonometrinin kendine özgü yöntemleri ile tahmin edilir ve parametre olarak adlandırılan modelin katsayılarının sayısal değerleri elde edilir.

Modelin tahmininden sonraki aşama, modelin geçerliliğinin test edilmesidir. Tahmin

edilen modelin sonuçlarının öncelikle iktisat teorisi ile uyumlu olması gerekmektedir. Şöyle ki;

tüketim modelinde harcanabilir gelirin katsayısı ( 1 ) tanım gereği (ileride tekrar üzerinde durulacaktır) marjinal tüketim meyline eşittir. Marjinal tüketim meyli ise 0 ile 1 değerleri

11

arasında yer almaktadır. Eğer model tahmini sonucunda 1 , bu sınırlar dışında ise tahmin sonuçları iktisadi açıdan kabul edilemez, bu durumda model yeniden tahmin edilmelidir.

Modelin geçerliliğinin testinden diğer bir kasıt, modelin ekonometrik açıdan temel varsayımlara uygunluğudur.

Test sonuçlarına göre uygun model herhangi bir hipotezin testinde, iktisat politikası modelinin oluşumunda ve geleceğin tahmininde kullanılabilir.

Yukarıda da görüldüğü üzere, matematiksel terimlerle ifade edilen, genel iktisat teorisiyle iktisadi gerçeklerin nicel ölçümünün birleştirildiği, kendine özgü tahmin yöntemleri olan ekonometrinin üç temel amacı vardır. Bunlar:

1. İktisat teorilerinin doğruluğunun sınanması

2. İktisadi ilişkilerin katsayılarına sayısal tahminlerin yapılması

3. Parametrelerin sayısal tahminlerinden iktisadi değişkenlerin gelecekteki değerlerini tahmin etmektir. Faiz oranları, enflasyon oranları, GSYİH gibi makro iktisadi değişkenlerin ileriye yönelik tahminleri ekonometrinin en yaygın uygulamalarındadır.

Ekonometrinin amacı iktisadi olayları ve iktisadi değişkenler arasındaki ilişkileri kantitatif bir model içinde ele alarak değişkenlerin değişme sebeplerini sayısal ölçülerle ifade etmek ve bu değişkenlerin gelecekte alabilecekleri değerleri tahmin edebilmektir. Buna göre ekonometri biliminin nihai hedefi iktisadi olayların kantitatif ölçülerle izahını yapabilmek ve geleceğin yine kantitatif olarak tahminini yapabilmektir.

1.3. Ekonometrik Model

Ekonometrik modellerin en önemli özelliği rastlantısal bir değişken olan hata terimi

içermesidir. İktisat teorisi ve matematiksel iktisat, iktisadi değişkenler arasında kesin ilişkiler kurar. Ekonometri, iktisadi ilişkilerin kesin olduğunu kabul etmez ve bu ilişkilerin rassal bileşeni ile ilgilenir. Aşağıda matematiksel bir model verilmiştir.

Y X

Burada yer alan α ve β modelin katsayılarıdır. Matematiksel modelde X değişkeninin sabit bir değerine karşın Y değişkeni belli bir değer alır. Örneğin;

2 0.5Y X

matematiksel modelinde X değişkeni 1’e eşit ise, Y değişkeni 2.5 değerini alacaktır, başka bir değer alması beklenmez. Ancak ekonometrik model kesin olmayan ilişkileri gösterdiğinden X değişkeni sabit bir değere eşit iken Y farklı değerler alabilir. Ekonometrik model aşağıdaki gibidir.

12

i i iY X u

Ekonometrik modelde, modelin sağ tarafındaki değişken genel olarak bağımsız değişken, sol tarafındaki değişken ise bağımlı değişken olarak adlandırılır. Ancak aşağıda gösterildiği üzere farklı biçimlerde de adlandırılmaktadır.

Tablo 1: Bağımlı ve bağımsız değişken kavramları

Hata terimi, çeşitli iktisadi büyüklükler arasında kesin ilişkiler öngören iktisat teorisi ve matematiksel iktisat tarafından göz ardı edilir. Ekonometride ise iktisadi ilişkilerin rassal bileşenleriyle ilgili varsayımlarda bulunulmuş ve yeni yöntemler geliştirilmiştir.

1.4. Veriler Nasıl Oluşur?

Veriler, iktisadi olaylar ve ilişkiler hakkında bilgi veren ve sayılarla ifade edilebilen bilgi (enformasyon) kaynaklarıdır. Ekonometrik modeli tahmin edebilmek için verilere ihtiyaç vardır ve ekonometrik modelin başarısı uygun verilerin bulunmasına bağlıdır.

Ekonometrik modelde kullanılan veriler nereden gelir? İktisatçılar ve sosyal bilimcilerin ilgilendiği değişkenlere ait veriler “gözlemlenir” ve nadiren kontrol edilebilen bir deneyden elde edilir.

1.4.1. Deneysel Veriler

İktisadi ilişkilerde bilinmeyen parametreler hakkında bilgiye ulaşmanın bir yolu, bir deneyin sonuçlarını incelemek veya gözlemlemektir. Fen bilimleri ve tarımda, kontrollü deneyler tasarlamak kolaydır. Bilim insanları, anahtar kontrol değişkenlerin değerlerini belirler ve daha sonra sonuçları gözlemler. Belirli bir buğday türünü, bir arazinin eş kesimlerine ekebiliriz, daha sonra her bir kesime uygulanan böcek ilacı ve gübre miktarlarını değiştiririz ve hasat mevsimi sonunda, her bir arazi kesiminde üretilen buğday miktarını gözlemleriz. Arazinin n adet kesimi üzerine tekrarlanan deney, n gözlemli bir örnek sağlayacaktır. Bu tür kontrollü

Y X

Bağımlı değişken Bağımsız değişken

Açıklanan değişken Açıklayıcı değişken

İçsel (Endogen) değişken Dışsal (Egzogen) değişken

Öngörülen değişken Öngören değişken

Tepki değişkeni Kontrol değişkeni

13

deneyler iş dünyası ve sosyal bilimlerde nadirdir. Deneysel verilerin temel özelliği, açıklayıcı değişkenlerin değerleri, tekrarlanan deney denemelerinde belirli değerlerde sabitlenebilir.

Deneysel veriler doğa bilimlerinde genellikle laboratuvar ortamında toplanır, sosyal bilimlerde ise bu tür verileri elde etmek zordur.

1.4.2. Deneysel Olmayan Veriler

Gözlenen veriler veya geriye dönük veriler olarak da adlandırılan deneysel olmayan veriler deneysel verilerden farklı olarak kontrolü deneyler ile toplanamaz. Deneysel olmayan

verilerin bir örneği anket verileridir. Anketler kişilere doğrudan, telefonla veya posta yolu ile gerçekleşmiştir. Ankete katılacak kişiler rassal olarak seçilir ve anket sorularının cevapları kaydedilir. Böyle bir araştırmada, değişkenlere yönelik veriler eş anlı olarak toplanmış olup toplanan değerler ne sabittir ne de tekrarlanabilirdir. Bu tür veriler deneysel olmayan verilerdir. Örneğin GSYİH, faiz oranı, üretim miktarı, borsa endeksi, üretimin gerçekleşmesi için

kullanılan emek ve sermaye deneysel olmayan iktisadi verilere örnek olarak verilebilir.

1.5. İktisadi Veri Türleri

Bir teoriyi test etmek veya bir ilişkiyi tahmin etmek amacıyla oluşturulan ekonometrik model için veri gereklidir. İktisadi veriler çeşitli kaynaklardan elde edilir. Bu bölümde, her bir veri kaynağını örnekleyip tanımlayacağız.

1. Veriler çeşitli düzeyde toplulaştırmalardan elde edilebilir,

Bireyler, hane halkları ve firmalar gibi iktisadi karar vericiler üzerine mikro

veriler toplanabilir.

Yerel, bölgesel veya ulusal düzeylerde, bireyler, hane halkları ve firmalar üzerine havuzlama veya toplulaştırma ile makro veriler toplanabilir.

2. Veriler ayrıca bir akım veya stok durumunu temsil edebilir:

Akım-veriler, 2010’un son çeyreği boyunca benzin tüketimi, bir işletmenin 2013’teki üretimi gibi bir zaman dönemi süresince ölçümü gösterir.

Stok-veriler, 1 Ocak 2014’ta Merkez Bankası döviz rezervi veya BIST 100’de

işlem gören Garanti Bankasının 1 Mart 20014’teki varlık değeri gibi zamanın belirli bir noktasındaki değerlerin ölçümünü gösterir.

3. Veriler niceliksel veya niteliksel olabilir:

Niceliksel veriler, reel fiyatlar veya kişi başına gelir gibi, sayılar veya bunların kısmen dönüştürülmesi ile ifade edilebilen gelir veya fiyatlar gibi verilerdir.

14

Niteliksel veriler ya öyle-ya böyle durumlarını gösterir. Örneğin, bir tüketici belirli bir malı ya satın alır ya satın almaz veya bir kişi ya evlidir ya da değildir.

Ekonometrik modelin tahmini için kullanılan çeşitli veri setleri mevcuttur. Uygulamalı çalışmalarda kullanılan en önemli iktisadi veri setleri aşağıdaki gibidir:

1.5.1. Zaman Serisi Verileri

Zaman serisi verileri bir veya birkaç değişkenin dönemler itibarıyla gözlenen değerler takımıdır. Bu tür veriler nicel veya nitel olabilmektedir. 2010 Ocak ayı için İMKB-100 endeksi

günlük kapanış fiyatları, 2000-2010 yılları arası Akbank hisse senedine ilişkin yıllık getiri rakamları, üçer aylık GSMH rakamlarının her biri zaman serisi verisine örnek teşkil etmektedir. Örneklerden de anlaşılacağı üzere, zaman serisi verileri yıllık, 6 aylık, 3 aylık, günlük vb.

frekanslarla oluşturulabilmektedir. Frekans veri toplanırken kullanılan veri sıklığıdır. İktisatta en yaygın kullanılan frekanslar günlük, aylık, üçer aylık ve yıllıktır.

İktisadi zaman serisi verilerinin temel özelliklerinden biri kendi yakın tarihleri ile kuvvetli ilişkili olduğudur. Bu durum iktisadi değişkenlerin bir trende (trend, genel eğilim anlamına gelmektedir.) sahip olduğunu göstermektedir. Örneğin GSYİH zaman içinde artan bir trende sahiptir. İktisadi zaman serilerinin diğer bir özelliği mevsimsel özellik taşıyabilmesidir. Haftalık, aylık ve üçer aylık zaman serileri genellikle mevsimsel özelliklere sahiptir. Örneğin üçer aylık GSYİH, turizm gelirleri değişkenlerine ilişkin zaman serisi verileri mevsimsel

özellikler taşımaktadır.

Genel olarak zaman serisi verisi, ekonometrik modelde yer alan değişkenlerin zaman boyutu çerçevesindeki değişmelerinin sayısal ifadesidir. Zaman serisi verilerinin ekonometrik modelde gösterimi ile ilgili aşağıdaki basit model açıklayıcı olacaktır.

0 1t tC Y , Bu modelde yer alan

tC = t zamanındaki tüketimi,

15

tY = t zamanındaki geliri,

0 , 1 = Modelin parametreleridir.

t zaman dizisi, verileri olarak alınacak değerler tüketim (C ) ve gelirin (Y) t=1,2,…,T

örnekleme dönemi için sayısal değerlerdir.

1.5.2. Yatay Kesit Verileri

Yatay kesit verileri, belli bir zaman noktasında derlenen verilerden oluşmaktadır. Yatay kesit verileri bireyler, hane halkları, firmalar, ülkeler, iller gibi farklı iktisadi birimler hakkında, birimlerin aldığı belli bir zaman noktasında aldığı değerler açısından bilgi verir. Örneğin; BİST’de işlem gören hisse senetlerinin 6 Temmuz 2010 tarihindeki kapanış fiyatları, G20 ülkelerinin 2009 yılı büyüme rakamları, AB ülkelerinin 2008 yılı nüfus artış hızları ve iller itibarıyla 2005 yılı GSMH rakamları, İktisat Fakültesi 5. yarıyıl öğrencilerinin Ekonometri final

sınav notları.

Nadiren de olsa tüm birimler ait veriler tam olarak aynı zaman dönemine karşılık gelmeyebilir. Diğer bir ifade ile yatay kesit analizinde zaman farklılıkları ihmal edilebilmektedir. Örneğin, birbirinden farklı ailelerin tüketimi bir yıl içinde farklı haftalarda gözlemlenmiş ise, yine de yatay kesit verisi söz konusudur.

Yatay kesit verileri iktisat ve sosyal bilimlerde yoğun olarak kullanılmaktadır. Zamanın belirli bir noktasında bireyler, hane halkları, firmalar ve illerden derlenen veriler, mikro iktisadi

hipotezleri test etmek ve iktisat politikalarını değerlendirmek açısından önemlidir.

Yatay kesit verilerinin önemli bir özelliği, ana kütleden rassal örnekleme ile edildiği varsayımına dayanmasıdır. Örneğin hanehalkı tüketimi ile geliri arasında bir ilişkinin araştırıldığı ekonometrik bir uygulamada, Türkiye’deki hanehalklarından örneğin 100 tanesi rassal olarak çekilmekte ve bu ailelerden yatay kesit verileri elde edilmektedir.

Yatay kesit verilerin ekonometrik modelde gösterimi aşağıdaki gibidir.

0 1i iC Y

Bu modelde yer alan

iC = i. tüketicinin belli zaman noktasındaki tüketimi,

iY =i. tüketicinin belli zaman noktasındaki geliri

0 , 1 = modelin parametreleridir.

16

Yatay kesit verilerinin kullanıldığı modellerin özelliği zaman boyutunun sabit olmasıdır. Modelin matematiksel biçimi i=1, 2,…, n tüketici için aynıdır.

1.5.3. Panel Veriler

Panel veriler, yatay kesit verilerinin çeşitli zamanlardaki değerleridir. Zaman boyutu

olan bireysel mikro-birimlere ile ilgili gözlemler panel verilerdir. İMKB-30’da yer alan hisse

senetlerinin 1990- 2009 yılları arasındaki getiri rakamları, 1960 -2009 imalat sanayi sektörler itibarıyla verimlilik rakamları, 1950- 2009 AB ülkeleri işsizlik oranları vb.

Hem zaman hem de kesit verilerinin kullanıldığı basit bir modelde bu durum aşağıdaki gibi gösterilir.

0 1it itC Y

Yine bu modelde i’ler yatay kesit verisini, t’ler ise zaman serisi verisini göstermektedir.

itC =t zaman noktasında i. tüketicinin belli zaman noktasındaki tüketimi,

itY = t zaman noktasında i. tüketicinin belli zaman noktasındaki gelirdir.

Buna göre panel veri setindeki n birim sayısı gösterilir iken zaman dönemleri sayısı ise T ile gösterilir. Örneğin 13 hisse senedinin haftalık iş günü(5) itibarıyla kapanış fiyatları var ise n=13, T=5 olmak üzere elimizde bu örnek ile ilgili nxT=13x 5= 65 veri vardır. Panel verinin temel özelliği, her bir mikro birimin belirli bir zaman dönemi için gözlemlenmesidir. Hisse senedi örneğinde olduğu gibi her bir mikro birim için aynı zaman boyutuna sahipsek, bu durumda dengeli panele sahibizdir. Genelde, zaman serisi gözlemlerinin sayısı, her zaman olmasa da göreceli olarak mikro birim sayısından küçüktür.

Kısaca;

Zaman serisi verileri çoklu zaman dönemlerinde tek bir birim içerir.

Yatay-kesit verisi çoklu birim içerip tek bir zaman noktasında gözlemlenir.

Panel veri çoklu birim içerir, her birim için iki veya daha fazla zaman noktasında gözlemlenir.

Ekonometrik modelde kullanılan veriler gelir, tasarruf, tüketim, döviz kuru, faiz oranı gibi nicel değişken olabildiği gibi, cinsiyet, eğitim düzeyi (ilköğretim, lise, üniversite) gibi nitel

değişken de olabilir. Yine bir örnek üzerinde açıklayacak olursak; bir iş yerinde çalışanların kazançları, işyerindeki deneyimlerine ve eğitim düzeylerine bağlıdır. Kazanca ilişkin ekonometrik model aşağıdaki gibi yazılabilir.

17

0 1 1 1 2 1,....,i i i iY X X u i n , odelde;

Yi= i. çalışanın maaşı

X1=i. çalışanın işyeri deneyimi (1yıl,5yıl, 16 yıl gibi)

X2= i. çalışanın eğitim düzeyi ( lise ve üniversite)

ifade etmektedir.

n sayıda kişiye ait verilerin yer alacağı kazanç modelinde kullanılan değişkenlerde maaş ve işyeri deneyimine ilişkin veriler nicel olmasına karşın, eğitim düzeyi nitel bir değişkendir. Nitel değişkenler, ekonometrik modele gölge değişken yöntemi ile modele ilave edilir. (Gölge değişkenler başlığı altında incelenecektir.)

1.6. İktisadi Veri Kaynakları

İnternetin gelişmesiyle birlikte ekonometrik uygulamalarda ihtiyaç duyulan iktisadi verileri elde etmek oldukça kolaylaşmıştır. Türkiye ekonomisi ve diğer ülkelerin iktisadi verilerine ulaşabilmek için aşağıdaki kurumların web sayfaları kullanılmaktadır.

Türkiye İstatistik Kurumu (TUİK),

Merkez Bankası (MB): Türkiye ekonomisi ile ilgili makro ve finansal verilere ulaşmak mümkündür.

Hazine Müsteşarlığı,

Dünya Bankası: Türkiye ve diğer ülkeler ait verilerin yer aldığı bu sitede yıllık veriler yayınlanmaktadır,

IMF,

OECD.

1.7. Ekonometride Bilgisayarın ve Paket Programların Yeri

Son çeyrek yılda bilgisayar teknolojisindeki gelişim, özellikle PC’lerin yaygın kullanımı ve buna bağlı olarak ekonometrik paket programların yazılımı, ekonometrik çalışmalara ve uygulamalara önemli ölçüde katkıda bulunmuş, ekonometrinin artan ivmesinde önemli katkısı olmuştur. Derslerimiz ilerledikçe ekonometrik modellerin tahmini için kullanılan matematiksel işlemlerin hiç de kolay olmadığı hep birlikte göreceğiz. Ancak paket program aracılığı ile bu modellerin çözümü ancak birkaç dakika almaktadır.

Uygulamada en çok kullanılan programlar arasında E-Wievs, SPSS, MINITAB,

MICRO TSP’yi sayabiliriz.

18

Uygulama Soruları

1) Feldstein-Horioka hipotezine göre sadece yurt içi tasarruf (S) ve yatırımların (I) GSYİH’ya oranları arasındaki ilişki, uluslararası sermaye hareketliliği hakkında bilgi verecektir. Feldstein ve Horioka (1980) tam sermaye hareketliliğinden bahsedebilmek için bu

iki değişken arasında anlamlı bir ilişkinin olmaması gerektiği savunmuşlardır. Buna göre Türkiye için Feldstein-Horioka hipotezini test etmek amacıyla kullanılacak ekonometrik model aşağıdakilerden hangisidir?

a) 0 1 1,...,t t tI S u t T

b) 0 1/ / 1,...,t t t t tI GSİH S GSİH u t T

c) 0 1/ / 1,...,t t t tI GSİH S GSİH t T

d) 0 1 1,...,t tI S t T

e) 0 1/ / 1,...,t t t t tGSİH I GSİH S u t T

2) 20 kişinin gelir düzeyi ile araç sahibi olma (var/yok) arasındaki ilişkinin tespiti için kullanılan verilerin özellikleri aşağıdakilerden hangisidir?

a) Gelir düzeyi nicel, araba sahibi olma nitel veri

b) Gelir düzeyi nicel, araba sahibi olma nicel veri

c) Gelir düzeyi nitel, araba sahibi olma nicel veri

d) Gelir düzeyi nitel, araba sahibi olma nitel veri

e) Panel veri

3) Ekonometri dersindeki başarının derse devam etmek olduğu varsayımı altında, eğitim yılı başında 14 haftalık yarıyıl için Ekonometri bölümü öğrencileri 5 ayrı gruba ayrıştırılıyor. Buna göre 1. gruptaki öğrenciler 14 hafta, 2. gruptaki öğrenciler 10 hafta, 3. gruptaki öğrenciler 8 hafta, 4. gruptaki öğrenciler 6 hafta, 5. gruptaki öğrenciler 2 hafta derse katılarak final sınavına giriyorlar. Bu araştırmada kullanılan veri türü aşağıdakilerden hangisidir?

a) Makro veri

b) Panel veri

c) Stok veri

19

d) Zaman serisi verisi

e) Deneysel veri

4) Bir işletmede çalışanların kazançlarının (lira ), işyeri deneyimi (yıl), eğitim düzeyi (ilköğretim, lise, üniversite) ve cinsiyetin (kadın-erkek) fonksiyonu olduğu bilinmektedir. Buna göre bu işletmede 2013 yılı için çalışanların kazançları tahmin edilmek istenirse kullanılan veri türü aşağıdakilerden hangisidir.

a) Zaman serisi verisi

b) Panel veri

c) Yatay kesit verisi

d) Nicel veri

e) Nitel veri

5) Aşağıdakilerden hangisi makro veri değildir?

a) Enflasyon oranı

b) Milli Gelir

c) İşsizlik oranı

d) X Bankasının yıllık karı

e) Büyüme hızı

6) Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) Matematiksel model kesin ilişkileri, ekonometrik model stokastik ilişkileri gösterir.

b) Ekonometrik modeli matematiksel modelden ayıran en önemli unsur bünyesinde hata terimini barındırmasıdır.

c) Ekonometri bilimi, iktisat teorisini istatistik yöntemleri kullanarak test eder.

d) Hata terimi bağımlı değişken ile bağımsız değişken arasında deterministik (kesin) olduğunu gösterir.

e) Hata teriminin değeri model dışında belirlenir.

20

7) Aşağıdakilerden hangisi panel veridir?

a) 1990-2013 dönemi için Türkiye’deki enflasyon oranı rakamları

b) BİST 100’de işlem gören hisse senetlerinin 30 Aralık 2013 kapanış fiyatları

c) AB ülkelerinin 1998- 2013 yılları itibarıyla yıllık işsizlik oranları

d) OECD ülkelerinin büyüme oranları

e) 2013 yılı mahallî seçim sonuçları

8) Aşağıdaki değişkenlerden hangisine ait veriler ulusal veya uluslararası elektronik veri tabanlarından elde edilemez?

a) X dondurma firmasının yıllık ciroları

b) Amerika Birleşik Devletlerinin savunma harcamaları

c) Döviz kurları

d) Dolar/Euro paritesi

e) BİST 100 ‘de işlem gören bankaların yıllık kârı

9) Aşağıdaki değişkenlerden hangisi mevsimsellik özelliğini göstermez?

a) Turizm gelirleri

b) Gayri safi yurtiçi hasıla

c) Zirai üretim

d) Turist sayısı

e) Savunma harcamaları

10) Aşağıdakilerden hangisi ekonometrinin nihai hedefi değildir?

a) İktisadi zaman serileri için geleceğin tahminini yapmak

b) İktisadi olayların kantitatif ölçümlerle izahını yapabilmek

c) İktisat teorisini test etmek

d) İktisat politikası yapıcılarına bilgi vermek

e) Parametre tahmini yapmak

21

Cevaplar:

1) b, 2) a, 3) e, 4) c, 5) d, 6) d, 7) c, 8) a, 9) e, 10) e

22

Bu Bölümde Ne Öğrendik Özeti

Bu bölümde ekonometrinin amacı, gerekliliği ve metodolojisi üzerinde durduk. Ekonometrinin nihai hedefinin, iktisat teorisini test etmek, politika yapıcılarına bilgi vermek ve iktisadi zaman serilerini öngörmek olduğunu ve bu amaç için uygulamalı ekonometride,

matematik ve istatistik yöntemlerin yoğun biçimde kullanıldığını gördük.

Ekonometrik uygulamalarda yaygın olarak zaman serisi verisi, yatay kesit verisi ve panel verinin kullanıldığı bilgisini takiben, bu veri çeşitlerinin özelliklerini öğrendik. Zaman

serisi veri ve panel veri gibi zaman boyutunu içeren veri setlerinin, çoğu iktisadi zaman serisinin zaman boyutu boyunca korelasyonlu olması nedeniyle trend etkisini ve günlük, aylık, üçer aylık zaman serisi verilerinin mevsimsellik özelliğini taşıdığını gördük. Zaman serisi verilerinde

gözlemlenen trend ve mevsimsellik özelliğinin yatay kesit verisinde olmadığı, yatay kesit

verilerinin rassal örneklemeye dayandığını ve iktisadi verilerin genellikle deneysel olmayan

diğer bir ifade ile gözlemlenmiş veriler olduğunu öğrendik.

İktisadi verilerin hangi kaynaklardan derlenebileceğini ve bilgisayar paket programı kullanabilmenin ekonometri açıdan önemi üzerinde durduk.

23

Bölüm Soruları

1) Aşağıdakilerden hangisi ekonometrinin bileşeni değildir?

a) İstatistik

b) Matematik

c) İktisadi istatistikler

d) Matematiksel istatistik

e) Psikoloji

2) Aşağıdakilerden hangisi ekonometrik çalışmalarda nadiren kullanılan veri türüdür?

a) Zaman serisi verisi

b) Deneysel veri

c) Yatay kesit verisi

d) Panel veri

e) Nicel veri

3) Aşağıdakilerden hangisi panel veridir?

a) Türkiye, Yunanistan ve İsrail’in 1980-2013 yılları arasındaki yıllık savunma harcamaları

b) 2010 girişli Ekonometri bölüm öğrencilerinin Ekonometri dersi final notları

c) Türkiye ekonomisi için 1990-2013 yılları arasındaki katma değer rakamları

d) 2012 yılında Türkiye’deki ilk 500 şirketin sermaye rakamları

e) AB ülkelerinin 2012 yılındaki kişi başına milli gelir rakamları

4) Aşağıdakilerden hangisi matematiksel modelin unsurlarından biri değildir?

a) Hata terimi

b) Bağımlı değişken

c) Katsayı

24

d) Denklem

e) Bağımsız değişen

5) Aşağıdakilerden değişkenlerden hangisi nitel özelliğe sahiptir?

a) Mevsim

b) Üretim

c) Ekili alan

d) Yağış miktarı

e) Çalışma süresi

6) Yatay kesit verilerinin bir özelliği değildir?

a) Ana kütleden rassal örnekleme ile edilir.

b) Çoklu birim içerir.

c) Tek bir zaman noktasında gözlemlenir.

d) Nicel olmalıdır.

e) Zaman farklılıkları ihmal edilebilmektedir.

7) Trend ve mevsimsellik özellikleri hangi tip verilerde kesinlikle görülmez?

a) Yatay kesit verisi

b) Panel veri

c) Zaman serisi verisi

d) Makro veri

e) Mikro veri

8) Aşağıdakilerden hangisi akım-akım ilişkisini göstermektedir?

a) Üretim- sermaye stoku

b) Katma değer-çalışma saati

c) Katma değer-sermaye stoku

d) Üretim- çalışma saati

25

e) Hiçbiri

9) “Kişi başına millî gelir rakamlarının zaman içerisinde artan bir …….. vardır.” ifadesindeki boşluğa aşağıdakilerden hangisi gelmelidir?

a) İvmesi

b) Trendi

c) Mevsimselliği

d) Sonucu

e) Nedenselliği

10) Aşağıdakiler hangisi sadece yatay kesit verisinin kullanıldığı bir modeldir?

a) 0 1 1 1 2 1,....,i i i iY X X u i n

b) 0 1 1 1 2 1,....,t t t tY X X u t T

c) 0 1 1,...., 1,....,it it itY X u i n t T

d) 0 1 1 2 2 1,...., 1,....,it it it itY X X u i n t T

e) 0 1 1 1,....,t t tY X u t T

Cevaplar:

1) e, 2) b, 3) a, 4) a, 5) a, 6) d, 7) a, 8) b, 9) b, 10) a

26

2. REGRESYON ANALİZİNE GİRİŞ

27


1) Regresyon analizi ne amaçla kullanılır?

2) Regresyon analizi ile korelasyon analizi aynı amaçla kullanılabilir mi?

3) Ana kütle regresyon modeli ile örnek regresyon modeli aynı mıdır?

4) Niçin örnek regresyon modelini tahmin ederiz?

5) Rassal hata (hata terimi) ne amaçla modele dâhil edilir?

28


Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği

veya geliştirileceği

Regresyon analizini detaylı olarak kavrayabilmek.

Ders notları ve kaynak kitaplardan konu ile ilgili bölümleri okuyarak

Regresyon ile korelasyonun

benzer ve farklı yönlerini nedenleri ile kavrabilmek

Ders notları ve kaynak kitaplardan konu ile ilgili bölümleri okuyarak

Koşullu olasılık, koşullu ortalama, hata terimi, kalıntı kavramlarını kavrayabilmek ve nasıl hesaplandıklarını öğrenmek

Uygulamaları tekrar ederek, verilen

soruları cevaplandırarak

Ana kütle regresyon modeli ile örnek regresyon modelinde yer alan unsurları öğrenmek ikisi model arasındaki farklılığı anlamak

Ders notlarını okuyarak

29

Anahtar Kavramlar

Regresyon

Koşullu dağılım

Koşullu olasılık

Koşullu ortalama

Beklenen değer

Hata terimi (rassal hata)

Kalıntı

Ana kütle regresyon doğrusu

Ana kütle regresyon modeli

Örnek regresyon doğrusu

Örnek regresyon modeli

Serpilme diyagramı

Nedensellik

Doğrusallık

30

Giriş

Bu bölüm regresyon analizin temelini oluşturmaktadır. Derslerimiz ilerledikçe devamlı tahminden bahsedeceğiz. Parametreleri tahmin edeceğiz, rassal hatanın varyansını tahmin edeceğiz. “Peki, bu tahmin edilenlerin gerçek değerleri nelerdir?” sorusuna cevabımız “Bunları hiçbir zaman bilemeyiz” olacaktır. Belki de bu belirsizlikten dolayı birçok ekonometri kitabı ana kütle ile ilgili detaya fazla girmez. Ancak Gujarati ‘nin “Temel Ekonometri ” kitabının ilk bölümü bize bilmediğimiz ana kütleyi tanıtmak amacıyla iyi bir okuma sunmaktadır. Bu bölümde verilen kavramların çok iyi özümsenmesi gerekmektedir. Ana kütle, örnek kütle kavramlarının ve unsurlarını özümsemeden diğer bölüme geçmemelisiniz.

Bölümün sonundaki EK 1’de bölümdeki veriler kullanılarak ana kütle regresyon modeli oluşturulmuştur. Amaç ileriki derslerimizde tahmin edilen regresyon doğrusunun ne olduğunu anlamak için yol gösterici olmasıdır.

31

2.1. Regresyon Analizine Giriş

Regresyon kavramı ilk kez, anne-babaların boyları ile çocuklarının boyları arasındaki ilişkiyi dikkate alan çalışmasında, İngiliz istatistikçi Sir Francis Galton (1822-1911) tarafından kullanılmıştır. Galton, çalışmasında uzun boylu anne-babaların uzun boylu, kısa boylu anne-

babaların kısa boylu çocuklara sahip olma beklentisi karşısında, çocukların boylarının uzunluklarının ortalama boy uzunluğuna yaklaşma eğiliminde olduğunu göstermiştir.

Günümüzde kullanılan anlamı ile regresyon, değişkenler arasındaki ilişkilerin incelenmesidir. Regresyon analizi ile bir veya birden fazla değişkenin (bağımsız değişken) değerindeki değişmelerin başka bir değişkenin (bağımlı değişken) değeri üzerindeki etkileri araştırılmaktadır. Regresyon bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında ilişki kuran parametrelerin değerinin tahmin imkânı araştıran istatistiksel bir yöntemdir.

Bir regresyon modelinin kurulabilmesi için önsel olarak;

1. Sebep-sonuç ilişkisine göre bağımlı ve bağımsız değişken ayrımının,

2. Modelde yer alacak bağımsız değişkenlerin,

3. Modelin fonksiyonel biçiminin

belirlenmesi gerekir. Ancak sebep-sonuç ilişkisi ekonometride regresyonun dışında olup çoğu kez iktisat kuramı tarafından saptanmaktadır.

Ekonometri konularıyla ilgili literatürde en çok rastlanan ve ilgi gören model türü tek denklemli doğrusal regresyon modelleridir. 1980 sonrası teorik ve uygulamalı ekonometrideki hızlı gelişme ile birlikte iktisadi gerçekler ve veriler daha komplike modeller ile izah edilebiliyorsa da, tek denklemli doğrusal modeller ekonometrik analizlerde hala önemli bir yer tutmaktadır. Bunun sebepleri:

1. Geleneksel iktisat teorisi, bir sonucu bir dizi sebebe bağlamakta ve bunu tek denklemli bir model çerçevesinde ele alan bir tutuma sahip bulunmaktadır.

2. Gerçekler çok defa basit kalıplara sokulamayacak kadar karmaşık olmasına rağmen, iktisadi olaylarda sebep-sonuç ilişkilerinin doğrusal bir model içinde sunulması önemli ölçüde kolaylık sağlamaktadır.

Tek denklemli doğrusal regresyon modellerinde yalnız bir bağımlı değişken vardır ve bu bağımlı değişken bir ya da birden çok bağımsız değişkenin doğrusal fonksiyonu olarak tanımlanmıştır.

Tek denklemli doğrusal regresyon modellerinde bağımsız değişkenlerden bağımlı değişkene doğru tek yönlü bir ilişkinin olduğu varsayılmaktadır. Modelin bağımsız kabul edilen değişken(ler)i, modelin bağımlı değişkeni tarafından etkilenmeyecektir. Diğer bir ifade ile

32

sistemde geri tepme (feedback) ve karşılıklı ilişki olmayacaktır. Regresyon modelleri nedensellik ilişkisi üzerine kurulur. Nedensellik ilişkisi kuramsal ve önsel (a’priori) olmalı, kısaca iktisat teorisi tarafından belirlenmelidir. İstatistiksel açıdan anlamlı bir ilişki kendi başına bir nedensellik ilişkisi anlamı taşımaz.

İktisadi ilişkilerin ölçülmesinde ilk adım, iktisadi ilişkileri yansıtan modellerde yer alacak değişkenlerin tanımlanmasıdır. Bir ana kütlenin veya ondan çekilecek bir örneğin birimleri bir veya birden çok özelliği bakımından gözlemlenebilir. Bu özellikler nicel ve/veya nitel olabilir. Modelde yer alan bağımsız değişken sayısına göre regresyon modelleri basit regresyon ve çok değişkenli regresyon olmak üzere ikiye ayrılır. Bağımlı değişken sadece bir bağımsız değişken tarafından açıklanıyorsa basit regresyon modeli, birden fazla değişken tarafından açıklanıyorsa çok değişkenli regresyon modeli söz konusudur.

İlişkileri mümkün olduğu kadar basitleştirebilmek için tek bir ilişki üzerinde durulan ve bu ilişkinin de bağımlı ve bağımsız değişken olmak üzere sadece iki değişkeni içerdiği şeklindeki varsayımdan hareketle, en basit durum basit regresyon modeli;

ile gösterilirken, birden fazla bağımsız değişkenin yer aldığı çok değişkenli regresyon modeli;

gibi gösterilir.

Yukarıdaki modellerde de görüldüğü üzere, basit regresyon modelinde bağımlı değişkeni açıklayan sadece bir tane bağımsız değişken (X) yer alırken çok değişkenli regresyon modelinde birden fazla k-1 sayıda bağımsız değişken (X1,X2...........Xk-1 ) vardır. i ise 1’den n’e

kadar olan gözlemleri ifade etmektedir. Her iki modelde de sadece tek bir bağımlı değişken (Y)

yer almaktadır.

Örneğin, bir malın talebi (D) en basit ifade ile malın fiyatının (P) fonksiyonudur. Malın fiyatı artarsa malın talebi düşer, malın fiyatı düşerse de talebi artar. Fiyattan talebe doğru bir nedensellik söz konusu olduğuna göre, talep bağımlı değişken, fiyat ise bağımsız değişkendir. Buna göre basit regresyon modeli aşağıdaki gibi kurulacaktır.

Ancak bir malın talebi, malın fiyatının yanı sıra bu malı talep eden kişilerin gelir düzeyine (Y), malın tamamlayıcı malı varsa bu tamamlayıcı malın fiyatına (PT) ve nihayet rakip

mal varsa rakip malın fiyatına (PR) bağlı olarak değişkenlik gösterecektir. İlgili değişkenler modele dâhil edildiğinde, model çok değişkenli regresyon modeli olarak adlandırılacak ve aşağıdaki şekilde gösterilecektir.

0 1 1,2......i i iY X u i n

0 1 1 2 2 1 1.......... 1,2......i i i k k i iY X X X u i n

1 2 1,2......t t tD P u t T

0 1 2 3 4 1,2......t t t Tt Rt iD P Y P P u t T

33

Yukarıdaki çok değişkenli regresyon modelinde malın talebi dört tane bağımsız değişken ve hata teriminin (veya rassal hatanın) (ui) doğrusal bir fonksiyonudur. Talep modelinin tahmini ile gelir esnekliği ve çapraz esneklikleri tahmin etmek mümkün olacaktır.

Regresyon analizinde, değişkenler arasındaki ilişki fonksiyonel ya da kesin ilişkiler olmayıp istatistiksel ilişkilerdir. Değişkenler arasındaki istatistiksel ilişkilerde, genellikle stokastik (tesadüfi-rastlantısal) değişkenler yani olasılık dağılımı olan değişkenler kullanılır. Regresyon analizinde de bağımlı değişken stokastik bir değişkendir. Fonksiyonel ya da kesin

ilişkilerde de değişkenler kullanılır, ancak bunlar tesadüfi ya da stokastik değil, deterministik

değişkenlerdir.

2.2. Regresyon ve Korelasyon

Regresyon analizi, korelasyon ile yakından ilişkili, ancak kavramsal olarak çok farklıdır. Regresyonun korelasyona benzer yanı ikisinin de değişkenler arasında birlik ve beraberliği aramalarıdır. Aralarındaki fark ise, regresyonun bir sebep-sonuç ilişkisi içinde yani nedensellik ilişkisi içinde değişkenler arasındaki bağlantıyı aramasına karşılık, korelasyon analizi bu şekilde bir sebep-sonuç ilişkisi olmadan değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin yön ve derecesinin saptanmasını sağlar.

Basit korelasyon analizinin amacı, yukarıda da ifade edildiği üzere iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönünü ve derecesini ölçmektir. İstatistik dersinden hatırlanacağı

üzere korelasyon katsayısı formülü ile hesaplanmaktadır. Formülde yer alan

unsurlar ise ‘e eşittir. Korelasyon katsayısı (r), değerleri arasında yer alır. Regresyon analizinde ise bağımlı değişkenin ortalama değeri, bağımsız değişken(ler)in değişmeyen değerlerine dayanılarak tahmin edilmektedir.

Regresyon analizinde bağımlı ve bağımsız değişkenlerin ele alınmasında sebep-sonuç ilişkisinden dolayı asimetri söz konusudur. Bağımlı değişkenin istatistiksel, tesadüfi olduğu yani olasılık dağılımı bulunduğu varsayılır. Bu varsayım X bağımsız değişkeninin sabit bir değeri için ana kütlede bağımlı değişkenin en az iki farklı değerinin bulunduğu anlamına gelmektedir. Örneğin aynı gelir düzeyine sahip iki hanehalkı reisinin aynı tüketim harcamasında bulunmasını bekleyemeyiz. 1000 lira geliri olan bir aile reisi 950 lira tüketim harcaması yapıyorken, Aynı 1000 lira geliri olan bir başka aile reisi 650 lira tüketim harcaması yapabilir. Tesadüfi ilişkinin bir gereği olan bu durum bir dağılım oluşturacaktır. Öte yandan bağımsız değişkenlerin yenilenen örneklemlerde değişmeyen değerler aldıkları varsayılmaktadır. Korelasyon analizinde herhangi iki değişkeni simetrik olarak ele alabiliriz.

Bağımlı ve bağımsız değişken ayrımı yoktur. Her iki değişkenin de tesadüfi olduğu varsayılmıştır.

2 2

i i

i i

x yr

x y

,i i i ix X X y Y Y 1 1r

34

2.3. Ana kütle Regresyon Modeli

Regresyon analizi büyük ölçüde, bağımsız değişkenin değeri bilindiği ya da sabit olduğu durumda bağımlı değişkenin ana kütledeki ortalama değeri ile ilgilenir. Regresyon analizine başlangıç olarak basit regresyon modeli incelenecektir.

Basit regresyon modeli, bağımlı Y değişkeni ile bağımsız X değişkeni arasında bağlantı sağlamaktadır. X’in her sabit değeri için rastlantısal ilişki gereği ana kütlede bağımlı değişkenin

en az iki farklı değerinin bulunması zorunludur. Böylece her değişkeni için farklı değerleri elde edilecek, bu da bir dağılım oluşturacaktır.

Rastlantısal ilişkiyi açıklayabilmek için belirli bir zaman boyutu içinde, hane halkları yatay kesitinde hipotetik veriler kullanılarak haftalık gelir ile haftalık tüketim harcamaları arasında ilişki incelenecektir. Tüketim harcamaları, gelirin bir fonksiyonudur. Buna göre,

haftalık gelir, ise tüketim harcamalarıdır. Öncelikle 60 aileden oluşan ana kütle, gelirleri

yaklaşık olarak aynı olan ailelerden oluşan 10 ayrı gruba ayrılır ve alt ana kütle olarak

adlandırılan her grup, aynı gelir düzeyindeki farklı ailelerin tüketim harcamalarını gösterir.

n=60 aile

Xi= Haftalık gelir (100 lira)

Yi= Haftalık tüketim harcamalarını (100 lira) göstermektedir.

iX Y

X

Y

35

Xi 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

55 65 79 80 102 110 120 135 137 150

60 70 84 93 107 115 136 137 145 152

Yij 65 74 90 95 110 120 140 140 155 175

70 80 94 103 116 130 144 152 165 178

75 85 98 108 118 135 145 157 175 180

88 113 125 140 160 189 185

115 162 191

ni 5 6 5 7 6 6 5 7 6 7

Toplam 325 462 445 707 678 750 685 1043 966 1211

Tablo 2: Haftalık harcanabilir gelir ve tüketim harcaması (Kaynak: Gujarati)

Tablo 2’deki her bir sütun alt ana kütle olarak adlandırılmakta ve sabit bir X değerlerine karşılık gelen Y bağımlı değişkeninin koşullu dağılımını vermektedir. Buna göre, yukarıdaki her bir sütun belli bir gelir düzeyine karşılık gelen tüketim harcamalarının koşullu dağılımını verecektir. Tablodan da açıkça görüleceği üzere, belirli bir gelir düzeyine sahip (X) bir gruba

ait tüm hane halklarının aynı tüketim harcamasında (Y) bulunması beklenemez. Diğer bir ifade ile bağımsız değişkenin (gelir) sabit değerine karşın bağımlı değişkenin (tüketim) birbirinden

farklı değerleri vardır. Örneğin, 80 lira haftalık gelire sahip 5 aile, 55, 60, 65, 70 ve 75 lira

olmak üzere farklı tüketim harcamalarında bulunmaktadır. Bu farklı tüketim harcamaları bir olasılık dağılım oluşturmaktadır.

Haftalık harcanabilir gelir (X) 80 lira iken birbirinden farklı 5 tane haftalık tüketim harcaması olduğuna göre, bunların her birinin gerçekleşme olasılığı 1/5’tir. Diğer bir ifade ile 80 lira geliri olan 5 aileden oluşan bir alt ana kütleden rastlantısal olarak seçilen bir ailenin 55

lira haftalık tüketim harcaması olan aile olmasının koşullu olasılığı 1/5 ‘e eşittir ve aşağıdaki gösterilir:

Diğer bir alt ana kütle için örnek verecek olursak, haftalık harcanabilir geliri 220 lira

olan 7 aile vardır. Bu ailelerin tüketimleri birbirlerinden farklıdır ve her birinin gerçekleşme olasılığı 1/7’dir. Buna göre 220 lira haftalık geliri olan 7 aileden oluşan bir alt ana kütleden rastlantısal olarak seçilen bir ailenin 157 lira haftalık tüketim harcaması olan aile olmasının koşullu olasılığı 1/7’ye eşittir ve aşağıdaki gibi gösterilir.

55 80 1 / 5P Y X

36

Bu uygulamada alt ana kütlelerin birim mevcutları farklıdır. Alt ana kütle birim mevcutlarının aynı olması halinde, ana kütle içinde bütün alt ana kütlelerin koşullu olasılıkları aynı olacaktır.

Her alt ana kütledeki ailelerden bazıları daha fazla, bazıları daha az harcarlarsa da harcama rakamlarının söz konusu gelir düzeyini hedef alan bir değer etrafında toplanmaları beklenebilir. Böylece olasılık dağılımlı her alt ana kütle için beklenen değer ya da koşullu ortalama (veya kısaca veya

ile gösterilir) hesaplanır. Beklenen

değer (koşullu ortalama) X veri iken Y rastlantısal değişkeninin çok sayıda veya meydana gelişte alacağı değerlerin ortalamasıdır. Beklenen değerin hesaplanabilmesi için, Y’nin her alt

ana kütle için koşullu olasılıklarının bilinmesi gerekir. Beklenen değer ‘nin doğrusal bir fonksiyonudur.

Buna göre X=80 lira iken Y’nin koşullu ortalaması veya diğer bir ifade ile beklenen değeri:

olarak hesaplanır. Kısaca aynı 80 lira gelir seviyesindeki 5 ailenin birbirinden farklı tüketim harcamalarının koşullu ortalaması (beklenen değeri) 65 liraya eşittir.

Diğer bir alt ana kütle, X=220 lira iken Y’nin koşullu ortalaması veya beklenen değeri:

olarak hesaplanır. Böylece 10 alt ana kütle için 10 tane koşullu ortalama (beklenen değer) hesaplanacaktır. Haftalık gelir ve tüketim harcamaları için hesaplanan koşullu olasılık ve koşullu ortalamalar Tablo 3’te yer almaktadır.

157 220 1/ 7P Y X

i iE Y X X i iE Y X E Y

iX

i i i i ii iE Y X X Y P Y Y X X Y P Y X

1 1 1 1 180 55 60 65 70 75

5 5 5 5 5

1 1(55 60 65 70 75) 325 65

5 5

E Y X

80 65E Y X

1 1 1 1 1 1 1220 135 137 140 152 157 160 162

7 7 7 7 7 7 7

1 1(135 137 140 152 157 160 162) 462 149

7 7

E Y X

220 149E Y X

38

Xi 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

1/6 1/7 1/6 1/6 1/7 1/6 1/7

1/7 1/7 1/7

65 77 89 101 113 125 137 149 161 173

50 66 46.4 133.42 57.3 116.6 82.4 112 310.7 216.5

Tablo 3: Koşullu Olasılıklar, Koşullu Ortalamalar ve Koşullu Varyanslar

Her alt ana kütlenin bir dağılımı olduğuna göre, alt ana kütlelerin koşullu varyansları ve dolayısıyla standart sapmaları hesaplanabilir. Bilindiği üzere varyans ve standart sapma olasılık dağılımının dağılışını diğer bir ifade ile yayılımını ölçer. Alt ana kütle koşullu varyansı aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

Örneğin X=80 iken Y’nin koşullu varyansını hesaplayalım. Gelir 80 liraya eşit iken, tüketim harcamalarının koşullu ortalamasının ( ) 65 lira olduğu bilindiğine

göre, X=80 iken Y’nin koşullu varyansı

olarak hesaplanır.

Hesaplanan Y’nin koşullu varyansı - -, hanehalkı tüketim harcaması

Y’nin oratalama- -etrafında yayılımını ölçer.

P Y X

E Y

( )Var Y

2

22 1( )

n

i i ii

i i i i

Y E Y X X

Var Y E Y E Y X Xn

80 65E Y X

2 2

2 2 2 2 2

80 65

(55 65) (60 65) (65 65) (70 65) (75 65)50

5

i iE Y E Y X E Y

2

80 50iE Y E Y X 80 65E Y X

39

Aynı şekilde X=100 iken Y’nin koşullu varyansı ise;

olarak hesaplanır. Diğer alt ana kütle için hesaplanan koşullu varyans değerleri Tablo 3’te

verilmiştir. Hesaplamalara göre alt ana kütle varyanslarının farklı olduğu sonucuna varılmıştır (Dikkat bu sonuç homoskedasite–eşit varyans varsayımında kullanılacaktır.)

Ana kütle regresyon doğrusu, veriyken Y’nin ana kütle ortalama dağılımının ile

fonksiyonel ilişkili olduğunu gösterir. Yani X’ deki değişmeye karşılık Y’nin ortalama tepkisini

gösterir. Böylece, ana kütle regresyon fonksiyonu,

şeklinde ifade edilmektedir. Ana kütle regresyon fonksiyonunda yer alan ve modelin

bilinmeyen parametreleridir. sabit terim veya kesim parametresi, ise eğim parametresi olarak adlandırılır. parametresi, ana kütle regresyon doğrusunun koordinat sisteminde Y

eksenini kestiği nokta, ise ana kütle regresyon doğrusunun eğimidir. , X bağımsız değişkenindeki 1 birimlik değişme gerçekleştiğinde deki değişme miktarını, diğer bir ifade ile marjinal değişmeyi göstermektedir ve aşağıdaki gibi ifade edilmektedir.

Regresyon analizinde doğrusallıktan kasıt, Y nin beklenen değerinin parametrelerin doğrusal bir fonksiyonu olmasıdır. ve parametrelerinin üstlerinin 1 olması dolayısıyla model doğrusaldır. Hem parametreler hem de değişkenler açısından doğrusal olan regresyon

modelleri birinci mertebeden regresyon modelleri olarak adlandırılır.

İkinci dereceden doğrusal bir regresyon modelidir. Bağımsız değişkenin üstlerinin azamisi modelin mertebesini verir.

2 2

2 2 2 2 2 2

100 77

(65 77) (70 77) (74 77) (80 77) (85 77) (88 77)66

6

i iE Y E Y X E Y

iX iX

0 1( | )i iE Y X X

0 1

0 1

0

1 1

( | )iE Y X

1

( | ) ( | )i iE Y X dE Y X

X dX

0 1

20 1( | )i iE Y X X

40

BASİT REGRESYON MODELİNİN VARSAYIMLARI-I

1. X’in her değeri için, Y’nin ortalama değeri aşağıdaki doğrusal regresyon fonksiyonu ile elde edilir.

2. X’in bir değeri için Y’nin gözlemlenen değerleri, ortalama değerleri etrafında dağılır ve aynı varyansa sahip olasılık dağılımları izler .

3. Y’nin örnek değerlerinin hepsi korelasyonsuz ve sıfır kovaryansa sahiptir. Bu

varsayım Y’ler arasında doğrusal bir birlikteliğin olmadığı anlamına gelir.

Y’nin ‘tüm değerlerinin istatistiksel olarak bağımsız olduğu varsayımı yapılarak bu varsayım daha güçlendirilebilir.

4. X rassal değişken değildir ve en azından iki farklı değer almak zorundadır. X’in rassal olmadığı varsayımı, X’in değerinin bilindiği anlamına gelir. İstatistikte bu tür X

değerlerinin, “tekrarlanan örneklerde sabit” olacağı anlamına gelir. En az iki farklı değer alması anlamına gelir.

5. X’in her değeri için, Y değerleri ortalama etrafında normal dağılır. (isteğe bağlı)

2.4. Hata Teriminin (Rassal Hata) Tanıtılması

Regresyon analizinin özü, bağımlı değişken Y ile ilgili herhangi bir gözlemin, sistematik

bileşen ve rassal bileşen olarak iki kısma ayrılabilmesidir. Y’nin sistematik bileşeni, kendi ortalamasıdır, . Bu ortalama matematiksel bir beklenti olduğu için rassal değildir. Y’nin rassal bileşeni, Yi ile koşullu ortalama değeri arasındaki farktır. Rassal hata terimi ( ) olarak adlandırılan bu fark aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

0 1( | )i iE Y X X

22( )i i iE Y E Y X X Var Y X

, 0i jCov Y Y i j

( ) 0Var X

20 1 ,Y N X

0 1( | )i iE Y X X

( | )iE Y X

iu

0 1 0 1( | )i i i i i iu Y E Y X Y X Y X

41

Yukarıdaki eşitliğine göre hata terimi, bağımlı değişkenin gözlemlenen değeri ile beklenen değeri arasındaki farka eşittir. Hata terimi eşitliği yeniden düzenlenirse, aşağıdaki basit doğrusal regresyon modeli elde edilir.

Böylece bağımlı değişken , bağımsız değişken ve rassal hata terimi ‘nin

sistematik olarak değişen bir bileşimi ile açıklanır.

Bu bağlamda birinci ve ikinci alt ana kütleler için hata terimleri aşağıdaki hesaplanır.

Xi=80 Xi=100

u1=55-65= -10 u1= 65-77= -12

u2=60-65= -5 u2=70-77= -7

u3=65-65= 0 u3=74-77= -3

u4=70-65= 5 u4=80-77=3

u5=75-65= 10 u5=85-77= 8

u6=88-77=11

Diğer 8 alt ana kütle için hata terimlerinin hesaplanması okuyucuya bırakılmıştır. Yukarıda görüldüğü üzere X=80 lira iken hata terimi -10,-5, 0, 5 ve 10 olmak üzere 5 farklı değer almıştır.

ve bu bağlı olarak yukarıdaki hesaplamalara göre ve hata terimi

‘nin, sadece rassal olmayan terimi ile farklılık gösterdiği görülmektedir. Buna göre Y rassal olduğu için hata terimi u’da rassal olacaktır.

Dolayısıyla hata terimi de bağımlı değişken Y gibi olasılık dağılımlıdır ve hata teriminin de koşullu ortalaması ve koşullu varyansı hesaplanır. Hata teriminin beklenen değeri( koşullu ortalaması) aşağıdaki gibidir.

X veri iken rassal hata terimi , artı ve eksi değer alabilen gözlenemeyen bir değişkendir ve hata teriminin ortalama değeri sıfırdır.

0 1i i iY X u

iY iX iu

( | )i i iu Y E Y X iY

iu 0 1( | )i iE Y X X

0 1

0 1

( | )

( | ) 0

i i i i

i i i

E u X X E Y X X X

E u X E Y X X

iu

42

Bu aşamada verilen ana kütle ilgili hata terimlerinin ortalama değerlerini ve varyanslarını hesaplayalım.

X=80 lira iken her bir hata teriminin koşullu olasılığı 1/5 ‘e eşittir.

Böylece X=80 lira iken hata teriminin koşullu ortalaması;

X=80 lira iken hata teriminin koşullu varyansı ise ;

olarak hesaplanmıştır. Benzer şekilde X=100 lira iken elde edilen hata terimine ilişkin olasılık dağılımının koşullu ortalama ve koşullu varyansını da hesaplayabiliriz. Öncelikle X=100 lira iken her bir hata teriminin koşullu olasılığı 1/6’ya eşittir.

Böylece X=100 lira iken hata teriminin koşullu ortalaması;

X=100 lira iken hata teriminin koşullu varyansı ise;

olarak hesaplanmıştır.

10 80 5 80 0 80

5 80 10 0 1 58

P u X P u X P u X

P u X P u X

1 1 1 1 180 ( 10) ( 5) 0 5 10

5 5 5 5 5

1( 10) ( 5) 0 5 10 0

5

E u X

2 2

2 2 2 2 2

80 0

( 10 0) ( 5 0) (0 0) (5 0) (10 0)50

5

i iE u E u X E u

12 100 7 100 3 100

3 100 8 100 11 100 1 6

P u X P u X P u X

P u X P u X P u X

1 1 1 1 1 1100 ( 12) ( 7) ( 3) 3 8 11

6 6 6 6 6 6

1( 12) ( 7) ( 3) 3 8 11 0

6

E u X

2 2

2 2 2 2 2 2

100 0

( 12 0) ( 7 0) ( 3 0) (3 0) (8 0) (11 0)66

6

i iE u E u X E u

43

Burada dikkat dikkat edilmesi gereken iki önemli sonuç vardır.

1. Hata teriminin koşullu ortalaması (beklenen değeri) sıfıra eşittir. Diğer 8 alt ana kütle için hesaplamalar okuyucuya bırakılmıştır. Bu hesaplamalar yapıldığında her alt ana kütle için hata teriminin koşullu ortalamasının sıfır olduğu görülecektir.

2. Hata teriminin koşullu varyansı ile bağımlı değişken Y’nin koşullu varyansı her alt ana kütle için eşittir. Burada da diğer 8 alt ana kütle için hesaplamalar okuyucuya bırakılmıştır.

Y ve u yalnızca bir sabit ( yani rassal olmayan bir faktör) ile farklılık gösterdiği için, varyansları özdeş veya 𝜎2’ye eşit olması gerekir. Buna göre; hata terimi ile bağımlı değişken aynı dağılıma sahiptirler. Ancak dağılımın ortalamaları farklıdır. Hata teriminin koşullu ortalaması sıfır - -iken, bağımlı değişkenin koşullu ortalaması ‘dir

- -.

Şekil 3: Y ve u için olasılık yoğunluk fonksiyonları

Basit regresyon modelinin hata terimi varsayımları aşağıdaki gibidir.

2 2

80 80 50i iE Y E Y X E u E u X

2 2

100 100 66i iE Y E Y X E u E u X

0iE u X X 0 1 iX

0 1i iE Y X X X

iu

44

BASİT REGRESYON MODELİNİN VARSAYIMLARI-II

1. X’in her değeri için, Y’nin değeri:

2. Rassal hata ‘nin beklenen değeri,

Bu varsayım 1. varsayıma eşdeğerdir .

3. Rassal hata ‘nin varyansı,

Rassal değişkenler Y ve ,yalnızca bir sabit ile farklı olabildikleri için, aynı varyansa sahiptirler.

4. Rassal hatalar ve nin herhangi bir çifti arasındaki kovaryans,

Bu varsayımın daha güçlü biçimi, rassal hatalar ‘nin istatistiksel olarak bağımsız olması hâlidir. Bu durumda bağımlı değişken Y’nin değerleri de istatiksel olarak bağımsızdır.

5. değerleri, ortalamaları etrafında normal dağılır.(isteğe bağlı)

Y değerleri normal dağılırsa hata terimleri de normal dağılacaktır.

Özet ile bağımlı değişken Yi’nin bileşenleri ile ilgili özellikler:

Sistematik bileşen ( ); alt ana kütle ortalamalarından geçen bir doğru olup ana

kütle regresyon doğrusu olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi gösterilir.

Ana kütle regresyon fonksiyonunda yer alan unsurlardan , X=0 olduğunda Y’nin

beklenen değerine eşittir.

0 1i i iY X u

iu

0i iE u X

0 1( | )i iE Y X X

iu

2 22

i i i iE Y E Y X X E u E u X X 2( )i iVar u Var Y

u

iu ju

, , 0i j i jCov u u Cov Y Y

iu

iu

20,iu N

0 1 iX

0 1( | )i iE Y X X

0

45

Ancak ‘ın bu açıdan yorumlanması, X’in 0 etrafında veri bulunmasına bağlıdır. Aksi

hâlde bu yorum geçerli değildir. , genel olarak modelde yer almayan ancak bağımlı değişken üzerinde etkili olduğu bilinen değişkenlerin ortalama etkisini göstermektedir.

, yukarıda da değinildiği üzere, X’teki bir birimlik değişme karşısında Y’nin beklenen

değerindeki değişme miktarını, diğer bir ifade ile marjinal değişmeyi verir. aynı zamanda ana kütle regresyon doğrusunun eğimidir.

Şekil 4: İktisadi model: Haftalık gelir ve tüketim harcamaları arasındaki ilişki

Stokastik bileşen hata terimlerini simgeleyen , bağımlı değişkenin gözlemlenen değeri ( ) ile bağımlı ve bağımsız değişken arasında ortalama ilişkiyi gösteren ( )

kısım arasındaki farka eşittir. Alt örnekler itibarıyla dikkate alındığında hata terimi her alt ana

kütlenin birimlerinin alt ana kütle ortalamasından sapmalarını göstermekte, eğer

ise artı, ise eksi değer almaktadır.

, bağımlı değişken ( ) ile aynı özellikleri göstermesine rağmen gözlemlenemeyen rassal değişkendir.

Hata terimi, rastlantısal bir değişken olduğuna göre bağımlı değişken (Y) gibi hata terimi

de olasılık dağılımına sahiptir ve dolayısıyla koşullu ortalaması (beklenen değeri) ve koşullu

0 ( | 0)E Y X

0

0

1

( | )iE Y X 1

1

( | ) d ( | )

di i

i i

E Y X E Y X

X X

iu

iY 0 1 iX

( | )i iY E Y X

( | )i iY E Y X

iu iY

( | )i i i iY E Y X u 0 1( | )i i iE Y X X

1 2i i iY X u

46

varyansı hesaplanabilir. Hata teriminin ( ) koşullu ortalaması (beklenen değeri) sıfıra eşittir. Şöyle ki;

Eşitliğinin her iki yanının beklenen değeri alınır.

eşitliğinden

olacaktır. (Hipotetik verilerin kullanıldığı yukarıdaki uygulamada bu sonuç ampirik olarak görülmüştür.)

Ana kütle regresyon doğrusunun bağımlı değişkenin beklenen değerlerinden geçtiği varsayımı, hata terimlerinin beklenen değerlerinin sıfır olduğu anlamına gelmektedir.

Şekil 5: Ana kütle Regresyon Fonksiyonu

Yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere; n sayıdaki (yukarıdaki örnekte n 60’a eşittir.) Y ve

X gözlem çiftleri bir dağılım diyagramı üzerinde gösterilebilir ki biz bunu serpilme diyagramı olarak adlandırıyoruz. Geometrik olarak ana kütle regresyon doğrusu, açıklayıcı değişkenlerin

iu

( | )i i iY E Y X u

( | ) [ ( | )] ( | )

( | ) ( | )

i i i i i

i i i

E Y X E E Y X E u X

E Y X E u X

[ ( | )] ( | )i iE E Y X E Y X

( | ) 0i iE u X

47

sabit değerlerine karşılık gelen bağımlı değişkenin koşullu ortalamalarından (beklenen değerlerinden) geçmektedir.

2.5. Örnek Kütle Regresyon Modeli

Uygulamada ana kütlenin gözlemlenememesi ve dolayısıyla doğrusunun bilinmemesi nedeniyle, ana kütle yerine çoğu kez örnekten hareket edilmektedir. , ve hata

teriminin varyansı ( ) bilinmeyen parametrelerdir. Bu parametreler ana kütle verileri yerine örnek gözlemlerine dayanılarak istatistiksel olarak tahmin edilir. Genellikle X’ in sabit değerleri için, Y ‘nin örnekleme değerleri bulunmaktadır.

Yukarıdaki ana kütleden rastlantısal çekilen iki örneğe ait veriler aşağıdaki gibidir.

ÖRNEK 1 ÖRNEK 2

Y X Y X

65 80 55 80

80 100 74 100

79 120 90 120

113 140 103 140

125 160 107 160

115 180 135 180

144 200 144 200

157 220 160 220

155 240 189 240

178 260 150 260

Yukarıdaki iki farklı örneklemde görüldüğü üzere X’in değeri, tekrarlanan örneklemlerde değişmemekte, sabit kalmaktadır. Ancak Y stokastik (rastlantısal) bir değişken olduğu için X’ in sabit her bir değerine birden fazla Y değeri karşılık gelmekte ve dolayısıyla yukarıda da görüldüğü üzere yinelenen örneklemlerde Y’nin değeri değişmektedir. Pek tabiidir

ki; bağımlı değişkene ait veriler farklı olduğu için her iki örnekten farklı örnek regresyon doğruları elde edilecektir. Buna göre Örnek 1 ve Örnek 2’ye ait regresyon doğruları Şekil 6’da

verilmiştir.

0 1 iX

0 12

48

Şekil 6: Örnek regresyon doğruları

Regresyon analizdeki birinci amaç, örneklem verilerinin kullanılarak tahmin edilen örnek regresyon fonksiyonundan (diğer bir ifade ile örnekten tahmin edilen bilgilerle) ana kütle regresyon fonksiyonunu tahmin etmektir. Örnek regresyon fonksiyonu aşağıdaki gibi ifade

edilmektedir.

Burada , ana kütle regresyon modelindeki bağımlı değişken Y’nin koşullu

ortalamasının- - tahminidir. Diğer unsurlar , sırasıyla ve nin tahmini verir.

Buradan örnek kütle regresyon modeli aşağıdaki gibi yazılır.

Denklemde yer alan , kalıntı olarak adlandırılmakta olup ana kütledeki hata terimini

‘nin tahminidir. Böylece ana kütle regresyon modeli

İken, örnek kütle regresyon modeli

ile ifade edilir. Burada önemli bir husus, ana kütle yerine örnekten hareket edildiği durumda ana kütle regresyon denklemi ve dolayısıyla ana kütle hata terimi bilinmediği için

‘nin varyansı hesaplanamayacağıdır. Örnek regresyon fonksiyonu mümkün olduğunca ana kütle regresyon fonksiyonuna yakın tahmin edilmelidir.

0 1ˆ ˆ

i iY X

iY

( | )E Y X 0 1 0 1

0 1ˆ ˆ ˆi i iY X u

ˆiu

iu

0 1i i iY X u


iu

iu

49

Şekil 7: Anakütle ve örnek regresyon doğruları

Şekil 7’de de görüldüğü üzere ana kütle regresyon doğrusu her alt ana kütle için hesaplanan bağımlı değişkenin beklenen değerlerinden geçerken, örnek regresyon doğrusu bağımlı değişkenin tahmini değerlerinden geçmektedir.

2.6. Hata Teriminin Kaynakları

1. Spesifikasyön (belirlenme) hataları

- Dışlanmış değişken: Modelde yer alması gereken bağımsız değişken veya değişkenlerin bilerek ya da bilmeyerek model dışında bırakılması

- Gereksiz değişken: Bağımlı değişken üzerinde etkili olmadığı hâlde bazı değişkenler modelde etkileyici (bağımsız) değişken olarak yer verilmesi

- Matematiksel biçimleme hatası: Değişkenler arasındaki fonksiyonel ilişki doğrusal olmadığı hâlde doğrusal olarak ele alınması

-Eş anlı modelin tek denklem ile ifade edilmesi: Değişkenler arasında karşılıklı etkileşim olduğu hâlde, ilişki tek yönlü gibi ele alınarak tek denklemli modelin çözümü

2. Ölçme ve birleştirme hataları

3. Aynı iktisadi olay için bireylerin davranışındaki farklılıklar.

EK 1: Ana kütle regresyon fonksiyonunun belirlenmesi

Tüketim harcamaları ve gelir ile ilgili hipotetik verilerden ana kütle regresyon modelini oluşturalım.

Öncelikle hatırlanacağı üzere, ana kütle regresyon modeli aşağıdaki gibi

0 1( )E Y X X

50

veya diğer bir şekliyle

ile gösterilmektedir. Burada , X bağımsız değişkeninin ortalaması ki; bu X rassal

olmadığı için koşulsuz ortalamadır. , Y’nin X bağlı koşullu ortalamasını göstermekte olup

‘nın diğer bir gösterim şeklidir. , Y’nin koşulsuz ortalamasıdır ve Y’nin koşullu

ortalaması ile koşulsuz ortalaması eşittir ( ).

Amacımız ve ‘in sayısal değerlerini bulmaktır. Hatırlanacağı üzere her alt ana kütlenin koşullu ortalaması (beklenen değeri) hesaplanmıştı.

Öncelikle hesaplanmış olan alt ana kütle koşullu ortalamaları kullanılarak ana kütle regresyonun doğrusunun eğimini veren parametresinin değeri hesaplanacaktır. marjinal

etkiyi ifade ettiğine ve X’ deki 1 birimlik değişme karşılığında Y’nin beklenen değerindeki

değişmeyi verdiğine göre aşağıdaki gibi hesaplanır.

0.6

veya başka iki noktadan;

0.6

veya,

0.6 ‘ye eşittir. regresyon doğrusunun eğimine eşit olduğu için hangi iki noktayı alırsanız sonuç değişmeyecektir, Doğrunun eğimi her noktada sabittir.

Bağımsız değişkenin (X) koşulsuz ortalaması :

0 1iY YX X

X

iYX

( )E Y X Y

iY YX

0 1

1 1

1

2 1

100 80 77 65 12den

100 80 20

E Y X E Y X

X X

1

1

2 1

220 200 149 137 12den

220 200 20

E Y X E Y X

X X

1

1

3 1

120 80 89 65 24den

120 80 40

E Y X E Y X

X X

1 1

x

5 6 7 1042080 100 ........................... 260

60 60 60 60x

51

olarak hesaplanır.

Bağımlı değişkenin(Y) koşulsuz ortalaması :

sonucuna ulaşılır. Bu değer aynı zamanda Y’nin koşullu ortalamasına ( ) eşittir.

veya,

hesaplanır. Y ve X’in koşulsuz ortalamaları ve hesaplandığına göre aşağıdaki gibi hesaplanır.

Böylece anakütle regresyon denklemi

Olarak bulunmuş olur. Anakütle regresyon denklemine göre gelir 100 lira artarsa

tüketim 60 lira artacaktır. Tanım gereği 0.6 bu ana kütle için marjinal tüketim meyline eşittir. Otonom parametre ise zorunlu tüketim harcamalarının 1700 lira olduğunu göstermektedir.

Yukarıdaki denklem sonraki derslerimizde tahmin edeceğimiz ana kütle regresyon denklemidir. Bu çözüm sadece sizin “Neyi tahmin ediyoruz” sorunuza cevap olması için verilmiştir.

173.67x

Y

7272121.2

60

ij

Y YX

Y

N

YX

5 6 5 6 7 727265 77 89 161 173 121.2

60 60 60 60 60 60Y

1 0

0 1Y x

0121.1 0.6 173.67

0 17

( | ) 17 0.6i iE Y X X

52

Uygulama Soruları

Bir yatırımcının sahip olduğu portföydeki 18 hisse senedinin risk ve getiri rakamları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Ri 6 10 14 18

Gij

1 4 8 -6

3 5 -6 18

2 4 12 -9

2 3 9 17

1 12

ni 4 4 5 5

Toplam 8 16 24 32

Ri= Risk ( %), Gi= Getiri (%) n=18

1) Hisse senetleri riski ile getirilerinin yer aldığı tabloyu genel özellikleri ile yorumlayalım.

Yatırımcının portföyü bir ana kütleyi temsil etmektedir. Getiri, riskin fonksiyonu olduğu varsayımı altında; risk bağımsız değişken, getiri bağımlı değişkendir. Kısaca risk değişkeninden getiri değişkenine doğru bir nedensellik ilişkisi vardır. Tabloda 18 hisse senedi

için, hisse senedinin riskine karşılık gelen hisse senedi getirilerin dağılımı yer almaktadır. Hisse senetleri sahip oldukları risk itibarıyla 4 alt ana kütleye ayrılmıştır. Her alt ana kütle veya her sütun, sabit bir riske karşılık gelen getiri dağılımını diğer bir ifade ile risk veri iken getirinin koşullu dağılımını vermektedir. Örneğin riski % 6 olan hisse senetlerinin getirisi %1 ile %3

arasında değişiyor iken riski %14 olan hisse senetlerinin getirisi -%6 ile %12 arasında değişmektedir.

2) Risk veri iken, hisse senedi getirilerinin koşullu olasılıkları hesaplayalım.

Yukarıdaki tabloya göre örneğin %10 riske sahip hisse senetleri için %4, %5, %4 ve %3

olmak üzere 4 farklı getiri oranının olduğu gözlemlenmektedir. Buna göre; riski %10 olan hisse

senetlerinden herhangi birini elde etme olasılığı 1/4’e eşittir.

4 10 5 10

4 10 3 10 1/ 4

P G R P G R

P G R P G R

53

Benzer şekilde %18 riske sahip hisse senetleri için -% 6, %18, -%9, %17 ve %12 olmak

üzere 5 farklı getirinin gerçekleştiği görülmektedir.. Buna göre; riski %18 olan bu hisse senetlerinden herhangi birini elde etme olasılığı 1/5’e eşittir.

Böylece risk veri iken hisse senedi getirilerinin koşullu olasılıkları aşağıdaki tablodaki gibidir.

Ri 6 10 14 18

1/4 1/4 1/5 1/5

1/4 1/4 1/5 1/5

1/4 1/4 1/5 1/5

1/4 1/4 1/5 1/5

1/5 1/5

ni 4 4 5 5

3) Hisse senedi getirilerinin koşullu ortalama (beklenen değeri) değerlerini hesaplayalım.

Örneğin riski %14 olan 5 hisse senedinin getirileri %8, -%6, %12, %9, %1’e eşittir. Hisse senedi getirilerinin koşullu olasılığı Uygulama 2 de hesaplandığı üzere 1/5’e eşittir. Buna göre riski %14 olan 5 hisse senedinin getirilerinin koşullu ortalaması (beklenen değeri) aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

Aynı şekilde riski % 6 olan 4 hisse senedinin getirileri %1, %3, %2 ve %2’ye eşittir. hisse senedinin getirilerinin koşullu olasılığı ise 1/4’e eşittir. Buna göre riski % 6 olan 4 hisse

senedinin getirilerinin koşullu ortalaması (beklenen değeri) aşağıdaki gibidir.

6 18 18 18 9 18

17 18 12 18 1/ 5

P G R P G R P G R

P G R P G R

i iP G G R R

1 1 1 1 114 8 ( 6) 12 9 1

5 5 5 5 5

1(8 ( 6) 12 9 1) 4.8

5

E G R

1 1 1 16 1 3 2 2

4 4 4 4

1(1 3 2 2) 2

4

E G R

54

Buna göre diğer alt ana kütleler içinde aynı hesaplama yapılırsa aşağıdaki tablonun son

satırı elde edilecektir.

Ri 6 10 14 18

2 4 4.8 6.4

Tabloda görüldüğü üzere hisse senetlerinin riski arttıkça, hisse senedi getirilerinin koşullu ortalaması da artmaktadır. Daha öncede ifade edildiği üzere bağımlı değişkenin koşullu ortalaması, bağımsız değişken X’in doğrusal bir fonksiyonudur.

4) Hisse senedi getirilerinin koşullu ortalama değerleri bilindiğine göre her alt ana kütle için hata terimlerini hesaplayabiliriz.

Örneğin birinci alt ana kütlede hisse senetleri getirilerinin gözlemlenen değerleri sırasıyla %1, %3, %2 ve %2’e eşittir. Hisse senetleri getirilerinin koşullu ortalamasının da %2

olduğu bilindiğine göre

‘dan

olacak ve olduğu bilindiğine göre hata terimleri sırasıyla

olarak hesaplanır. Diğer alt ana kütlelerin de hata terimleri aynı şekilde hesaplanmış ve aşağıdaki tabloda verilmiştir

Ri 6 10 14 18

uij

-1 0 3.2 -12.4

1 1 -10.8 11.6

0 0 7.2 -15.4

0 -1 4.2 10.6

-3.8 5.6

iE G R R

( | 6)i iG E G R u

( | )i i iu G E G R R ( | 6) 2E G R

1 1 2 1u

2 3 2 1u

3 2 2 0u

4 2 2 0u

55

Yukarıdaki tablodan da görüldüğü üzere riskin sabit değerine karşın hata terimi birbirinden farklı değerler almaktadır. Böylece hata terimi rassal bir değişkendir ve olasılık dağılımı vardır.

5) Uygulama 4’te hesaplanan hata terimlerinin koşullu olasılıklarını hesaplayalım.

Örneğin birinci alt ana kütle için koşullu olasılıkları aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz;

Ri 6 10 14 18

1/4 1/4 1/5 1/5

1/4 1/4 1/5 1/5

1/4 1/4 1/5 1/5

1/4 1/4 1/5 1/5

1/5 1/5

ni 4 4 5 5

6) Uygulama 5 de hata terimlerinin koşullu olasılıkları hesaplandığına göre, Uygulama 4’te hesaplanan hata terimlerinin koşullu ortalamalarını (beklenen değerlerini) hesaplayabiliriz.

Örneğin Riskin %18 olduğu alt ana kütle için hesaplanan hata terimlerinin koşullu ortalaması

Ri 6 10 14 18

0 0 0 0

7) Risk veri iken hisse senedi getirilerinin koşullu varyansını hesaplayalım.

1 6 1 10

0 10 0 10 1/ 4

P u R P u R

P u R P u R

i iP u u R R

1 1 1 1 114 ( 12.4) 11.6 ( 15.4) 10.6 5.6

5 5 5 5 5

1( 12.4) 11.6 15.4 10.6 5.6 0

5

E u R

iE u R R

56

Örneğin risk %10 iken getirinin koşullu varyansı aşağıdaki gibi hesaplanır.

Ri 6 10 14 18

0.5 0.5 42.16

133.84

8) Risk veri iken hata terimini koşullu varyansını hesaplayalım.

Örneğin risk %10 iken hata teriminin koşullu varyansı aşağıdaki gibi hesaplanır.

Ri 6 10 14 18

0.5 0.5 42.16

133.84

Uygulama 7 ve Uygulama 8’deki sonuçlardan görüleceği üzere her alt ana kütle için bağımlı değişken getirinin koşullu varyansı ile hata teriminin varyansı eşittir.

9) “Regresyon analizi ……… ilişkisine dayandığı için değişken seçiminde …….. vardır” ifadesindeki boşluklara aşağıdakilerden hangisi gelecektir?

a) Nedensellik- asimetri

b) Doğrusallık-asimetri

c) Rassallık-simetri

d) Nedensellik- simetri

e) Rassallık-asimetri

10 4E G R

2 2

2 2 2 2

10 4

(4 4) (5 4) (4 4) (3 4)0.5

4

i iE G E G R E G

2

i iE G E G R R

10 0E u R

2 2

2 2 2 2

10 0

(0 0) (1 0) (0 0) ( 1 0)0.5

4

i iE u E u R E u

2

i iE u E u R R

57

10) Regresyon analizinin, korelasyon analizine benzerliği aşağıdakilerden

hangisidir?

a) Her iki analizde de bağımlı ve bağımsız değişkenin yer alıyor olması

b) Her iki analizin de nedensellik ilişkisine dayanması

c) Her iki analizin de değişkenler arasında birlik ve beraberliği aramaları

d) Her iki analizin de kesin ilişkileri göstermesi

e) Her iki analizde de parametrelerin tahmin ediliyor olması

Cevaplar

9) a, 10) c

58


Bu bölümde basit doğrusal model çerçevesinde ana kütle regresyon modelini ve örnek regresyon modelini tanıttık. Doğrusal regresyon modelinde bağımlı değişken, rassal değişken ve bağımsız değişken ile ilgili temel varsayımları verdik. Bağımlı değişkenin beklenen değeri ve varyansının nasıl hesaplandığını gördük. Bağımlı değişkenin gözlemlenen değerleri (teorik değerleri) ile bağımlı değişkenin beklenen değerlerini kullanarak rassal hataların değerlerini hesapladık. Hata teriminin (rassal hatalar) beklenen değeri ve varyansının nasıl hesaplanacağını öğrendik. Hata terimlerinin beklenen değerinin sıfır olduğunu, varyansının ise bağımlı değişken Y’nin varyansına eşit olduğunu tespit ettik. Böylece bağımlı değişken ile rassal hatanın aynı dağılıma sahip oldukları sadece ortalamalarının farklı olduğu sonucuna ulaştık. Regresyon modelinde yer alan parametrelerin yorumlarını ve hata teriminin kaynaklarının neler olduğunu

öğrendik.

59

Bölüm Soruları

1) “ Anakütle regresyon doğrusu ….. üzerinden, örnek kütle regresyon doğrusu ….. üzerinden geçer ” ifadesindeki boşluklara sırasıyla aşağıdakilerden hangisi gelmelidir?

a) Bağımsız değişkenin değerleri - bağımsız değişkenin değerleri

b) Bağımlı değişkenin koşullu ortalaması değerleri - bağımlı değişkenin tahmini değerleri

c) Bağımlı değişkenin tahmini değerleri - bağımlı değişkenin koşullu ortalama değerleri

d) Bağımlı değişkenin gözlemlenen değerleri - bağımlı değişkenin koşullu ortalama değerleri

e) Bağımlı değişkenin koşullu ortalama değerleri - bağımsız değişkenin gözlemlenen değerleri

2) Bağımlı değişkenin gözlemlenen değeri, bağımlı değişkenin koşullu olasılığı, bağımlı değişkenin beklenen değeri, bağımlı değişkenin tahminini ifade eden terimler sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

a) ; ; ;

b) ; ; ;

c) ; ; ;

d) ; ; ;

e) ; ; ;

3) Aşağıdaki gösterimlerden hangisi yanlıştır?

a)

b)

c)

iY ( )iE Y X X ( )i iP Y Y X X iY

iY iY ( )iE Y X X ( )i iP Y Y X X

iY ( )i iP Y Y X X ( )iE Y X X iY

iY ( )iE Y X X ( )i iP Y Y X X iY

iY ( )i iP Y X X X ( )i iE Y X X X iY

1 2( )i iE Y X X X

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆi i iY X X

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ( )i i i iE Y X X X X u

60

d)

e)

4) Aşağıdaki modellerden hangisi doğrusal regresyon modeli değildir?

a)

b)

c)

d)

e)

5) “Hata terimi ……………….. iken kalıntı………………….. arasındaki farka eşittir” ifadesindeki boşluklara aşağıdakilerden hangisi gelecektir?

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

6) Aşağıdakilerden hangisi örnek regresyon doğrusudur?

a)

b)

c)

d)


( )i i iY E Y X X u

20 1 2

î i i iY X X u

0 1 1 2 2ˆ

i i i iY X X u

0 1 1i i iY X u

0 1 1 2 2 3 1 2i i i i i iY X X X X u

0 1 1 2 2ˆ

i i i iY X X u

( )i iY E Y X X î îY Y

î îY Y ( )i iY E Y X X

( )i iE Y X X Y î iY Y

iY Y ( )iE Y X X Y

( )i iE Y X X X i iY X

0 1ˆ ˆ( )i iE Y X X X

0 1i iY X

0 1( )i iE Y X X X

ˆ ˆ( )i i iY E Y X X u

61

e)


a) Hata terimi ile bağımlı değişken aynı dağılıma sahiptir, ancak koşullu ortalamaları farklıdır.

b) Hata teriminin koşullu ortalaması sıfır iken bağımlı değişkenin koşullu

ortalaması ‘ye eşittir.

c) Hata terimi ile bağımlı değişken rassal değişkenlerdir.

d) Bağımlı değişkenin değeri biliniyor iken, hata teriminin değerleri modelin çözümü sonucunda hesaplanır.

e) Bağımlı değişken rassal iken hata teriminin değeri gözlemler itibarıyla sabittir.

8) Bağımlı değişken ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) Bağımlı değişken rassal iken bağımsız değişkenin değeri gözlemler itibarıyla

sabittir.

b) Bağımlı değişkenin olasılık dağılımı vardır, dolayısıyla koşullu ortalama ve koşulu varyansı hesaplanabilir.

c) Bağımlı değişkenin olasılık dağılımı olduğu için koşullu olasılıkları hesaplanabilir.

d) Bağımlı değişkenin değeri bilinmez, modelin tahmini sonucunda hesaplanır.

e) Bağımlı değişkenin bileşenleri sistematik ve stokastik unsurlardır.

9) modelinde yer alan parametresi ile ilgili olarak

aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) parametresi, ‘teki 1 birimlik değişme karşısında bağımlı değişkenin

beklenen değerindeki ( ) değişmeyi gösterir.

b) parametresi, ana kütle regresyon doğrusunun eğimine eşittir.

c) 1 parametresi, marjinal etkiyi ifade eder.

d) 1 parametresi, ana küte regreyon doğrusunun Y eksenini kestiği noktadaki

değerine eşittir.

0 1ˆ ˆ ˆi iY X

0 1 iX

0 1( )i iE Y X X X 1

1 X

( )iE Y X X

1

62

e) 1 parametresi X değişkeni ile Y’nin beklenen değeri arasındaki ilişkiyi

gösterir.

10) Hata terimi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) Hata teriminin beklenen değeri sıfırdır ( ) 0iE u X X

b) Hata terimi rassal bir değişkendir.

c) Hata terimi olasılık dağılımı olan bir değişkendir.

d) Hata teriminin koşullu varyansı daima sabittir.

e) Hata teriminin koşullu varyansı ile bağımlı değişkenin koşullu varyansı eşittir,

2 2

i i i i i iE Y E Y X X E u E u X X

Cevaplar:

1 B 2 C 3 C 4 B 5 A 6 E 7 E 8 D 9 D 10 D

63

3. BASİT DOĞRUSAL REGRESYON MODELİ

64


1) Örnek verilerinden regresyon doğrusunun parametreleri nasıl tahmin edilir?

2) Aynı an kütleden çekilen iki veya daha fazla örneğin örnek regresyon denklemleri aynı mıdır?

3) Elde edilen tahminler nasıl yorumlanır?

4) Regresyon denklemi kullanılarak öngörüde bulunmak mümkün müdür?

65


Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde edileceği veya geliştirileceği

Tahminci ile tahmin arasındaki bilmelidir.

Ders notları

Ana kütle parametreleri En Küçük Kareler yöntemi ile tahmin edilebilir.

En Küçük Kareler yönteminin uygulaması özümsenmeli, ders

notlarında uygulamalı sorular çözümlenmelidir Farklı veriler uygulamalar yapılarak bilgiler pekiştirilmelidir

En küçük kareler yöntemini iki farklı şekilde uygulayabilir.

Ders notlarındaki sorular iki yönteme göre çözülmeli, sonuçlar karşılaştırılmalıdır. Farklı veriler uygulamalar yapılarak bilgiler pekiştirilmelidir

Sabit ve eğim parametrelerini yorumlayabilir.

Ders notları özümsenmelidir.

Öngörü veya geleceğin tahminini yapabilir.

Ders notlarını özümsemelidir.

66

Anahtar Kavramlar

En küçük kareler tahmincisi

En küçük kareler tahmini

Öngörü

BLUE tahmin

Kalıntı

Kalıntı kareleri toplamı

67

Giriş

Regresyon analizinde amaç, örnek verilerinden ana kütle regresyon modeli için en uygun tahmini elde etmektir. Bu amaç için başlangıç düzeyi için kullanılabilecek yöntemler arasında En Küçük Kareler Yöntemi en fazla tercih edilenidir. Bu bölümde En küçük kareler

yöntemi tanıtılacak ve iki farklı uygulaması üzerinde durulacaktır. Açıklayıcı örneklerin çözümü ile konunun pekiştirilmesi amaçlanmıştır. Tahmin edilen parametrelerin iktisadi açıdan ne anlama geldiği ve doğru yorumlanması önem arz etmektedir. Regresyon analizinin

hedeflerinden biri tahmin edilen regresyon modelinden bağımlı değişken için öngörüde bulunmaktır. Bu bölümde öngörü üzerinde de durulacaktır.

68

3.1. Regresyon Parametrelerinin Tahmini

İkinci bölümde ele alınan ana kütle parametreleri ve ‘i tahmin etmek için, örnek verisini kullanmak temeldir. Çünkü ana kütle ile ilgili verilerin sağlanması her zaman mümkün olmayabilir. Ana kütle regresyon modelinde yer alan unsurlar ( Y ve X ) doğrudan gözlenemediği için, bağımlı değişken ile bağımsız değişken arasında ilişki kuran

regresyon doğrusunun koordinat sisteminde yerinin belirlenmesi sorundur. Bağımlı değişken ile bağımsız değişken arasındaki ortalama ilişkiyi gösteren ana kütle regresyon doğrusunun tüm veri noktalarının ortasında bir yerde olacağı beklenmektedir.

Amacımız örnek verilerinden hareket ederek regresyon

doğrusunun tahmin edilmesidir. Bu amaç için, ana kütle parametreleri ve ‘in tahmin

edilmesi gerekir. İkinci bölümde de ifade edildiği üzere ve ‘in örnek verilerinden

tahminleri ve ile gösterilmektedir.

3.2. Tahmin Yöntemleri

Örnek verileri kullanılarak ve ‘in tahmin edilebilmesi için, yönteme ihtiyaç vardır. Bu amaç için kullanılan başlıca parametre tahmin yöntemleri:

Momentler yöntemi

En Çok Benzerlik (EÇB) yöntemi (Maksimum Olabilirlik yöntemi)

En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi’dir.

EKK yöntemi diğer tahmin yöntemleri ile karşılaştırıldığında, uygulaması daha basit olduğu ve ekonometrik modelin lehine doyurucu sonuçlar verdiği için tercih edilmektedir. Bundan dolayı En Çok Benzerlik Yöntemi dışındaki diğer tahmin yöntemleri bazı yönleri ile

EKK yönteminin düzeltilmiş şeklini içermektedir. Bu bölümde uygulamada en yaygın kullanılan En Küçük Kareler (EKK) tahmin yöntemi ile basit doğrusal regresyon modelinin tahmini detayları ile verilecektir.

3.3. En Küçük Kareler Yaklaşımı

3.3.1. Basit Regresyon Modelinin Tahmini İçin En Küçük Kareler Yöntemi

Regresyon analizinde, örnek verileri temel alınarak ana kütle regresyon fonksiyonunu (

) mümkün olduğu kadar doğru tahmin etmek temel hedeftir. Bölüm 2’den bilindiği üzere ana kütle regresyon modeli aşağıdaki gibidir.

0 1

0 1( )i iE Y X X X

0 1( )i iE Y X X X

0 1

0 1

0 1

0 1

0 1( )i iE Y X X X

69

eşitliği bilindiğine göre;

Ana kütle regresyon modelinin diğer bir gösterimi aşağıdaki gibidir.

En Küçük Kareler ilkesine göre veri değerlerine uygun doğru için, n tane ve

veriyken örnek regresyon fonksiyonundan elde edilen ‘ler, gözlemlenen (teorik) ‘lere

olabildiğince yakın olmalıdır. Bunun için kıstas, gözlemlenen ‘ler ile tahmin edilen

arasındaki fark olarak tanımlanan kalıntı ( ) karelerinin toplamını minimize eden

ve değerlerini bulunmasıdır. Pozitif uzaklıkların negatif uzaklıklarla ortadan kaldırılmasını

önlemek için ile arasındaki dikey uzaklıkların ( ) karesi alınmaktadır.

Bu durumda her bir veri noktasından ( ) örnek regresyon doğrusuna ( )

dikey uzaklıklar ( ) aşağıda verilmiştir.

Buradan kalıntıların karelerinin toplamı aşağıdaki gibi gösterilir.

3.1

Kalıntı kareler toplamının minimum ( ) olması durumda, tahmin edilen

ve parametreleri doğrusal, sapmasız (eğilimsiz) ve en iyi (tesirli, en küçük varyanslı) -

BLUE- tahminlerdir. Kalıntı kareler toplamını minimum yapma koşulu ise, kalıntı kareler

toplamı fonksiyonunda ve parametrelerine göre birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşitlenmesi ile mümkündür. Kısaca,

ve 3.2

olarak ifade edebiliriz. Kalıntı kareler toplamı fonksiyonunda ve parametrelerine

göre kısmi türev alınır ve gerekli sadeleştirmeler yapılırsa aşağıdaki denklemler elde edilir.

0 1i i iY X u

0 1( )i iE Y X X X

( )i i iY E Y X X u

iX iY

iY iY

iY iY

ˆî i iu Y Y 0

1

iY iY îu

iY 0 1ˆ ˆ

i iY X

îu

0 1ˆ ˆˆî i i i iu Y Y Y X

2 2 20 1ˆ ˆˆˆ ( ) ( ) mini i i i iu Y Y Y X

2ˆ miniu 0

1

0 1

2

0

ˆ0ˆ

iu

2

1

ˆ0ˆ

iu

0 1

70

3.3.

Yukarıdaki iki denklem birlikte bir denklem sistemini oluşturur ve normal denklemler

olarak adlandırılır. Burada n örneklem büyüklüğüdür.

İSPAT

Normal Denklemlerin Elde Edilmesi

Eşitliklerin her iki yanı (-2)’ ye bölünür.

Toplama işlemcisi ( ), parantez içine dağıtılır ve sadeleştirmeler yapılırsa aşağıdaki

denklemler elde edilir. ( Not: ‘nın sabit bir terim olan ile çarpımından “n ” elde edilir.)

Bağımlı değişkeni içeren unsurlar eşitliğin sol tarafında bırakılarak,

sonucuna ulaşılır.

0 1

20 1

ˆ ˆ

ˆ î i

i i i i

Y n X

Y X X X

2 20 1

0 1

0 0

ˆ ˆˆ ( ) ˆ ˆ0 ( 2) ( ) 0ˆ î i i

i i

u Y XY X

2 20 1

0 1

1 1

ˆ ˆˆ ( ) ˆ ˆ0 ( 2) ( )( ) 0ˆ î i i

i i i

u Y XY X X

0 1

0 1

ˆ ˆ( 2) ( ) 0 ˆ ˆ( ) 0( 2) ( 2)

i ii i

Y XY X

0 1

0 1

ˆ ˆ( 2) ( )( ) 0 ˆ ˆ( )( ) 0( 2) ( 2)

i i ii i i

Y X XY X X

0 0

0 1ˆ ˆ 0i iY n X

20 1ˆ ˆ 0i i i iY X X X

0 1ˆ ˆ

i iY n X 2

0 1ˆ ˆ

i i i iY X X X

71

Normal denklemler ve için Cramer yöntemi ile çözülürse;

3.4

3.5

eşitlikleri elde edilir. Normal denklemlerin çözümünden sağlanan bu eşitlikler, En

Küçük Kareler tahmincileridir. ve ‘in örnek değerleri 3.4 ve 3.4 nolu denklemlere

uygulanırsa, ve parametrelerinin En Küçük Kareler tahminleri elde edilir.

Ana kütleden çekilen örnek verileri örnekten örneğe değişeceği için, EKK tahminleri de

değişecektir. Bu durumda ve rassal değişkenlerdir.

EKK tahmincileri, genel formüller ve rassal değişkenlerdir.

EKK tahminleri, gözlemlenen verilere genel genel formüllerin uygulanması ile elde edilen sayısal değerlerdir.

3.3.2. En Küçük Karelerin Sapmalar Yöntemi İle Uygulaması

3.4 ve 3.5’te ve ‘ye ait örneklem değerlerinin sıfırdan uzaklıkları kullanılmaktadır. Bu durumda orjin O(0;0) noktasıdır. Aritmetik ortalamanın sağladığı kolaylıklardan yararlanılarak, 3.4 ve 3.5’teki EKK tahmincilerini daha basit biçimde formüle

etmek mümkündür. En küçük kareler tahmincilerinin 3.4 ve 3.5’ten farklı olarak ve ‘in

örnek değerlerinin örnek ortalama değerlerinden ( , ) farkları ile gösterimi EKK yönteminin diğer bir uygulama biçimi sapmalar yöntemidir. Örnek değerlerinin örnek ortalama değerlerinden uzaklıklarının dikkate alındığı söz konusu durumda orijin O ( ; ) noktasıdır. En küçük karelerin sapmalar yöntemine göre tahmincileri aşağıdaki gibidir.

3.6

0 1

2 2

0 2 2

2

ˆ( )

i i i i

i ii

i i

Y X

YX X Y X Y X X

n X Xn X

X X

1 2 2

2

ˆ( )

i

i i i i i i i

i ii

i i

n Y

X Y X n Y X X Y

n X Xn X

X X

iX iY

0 1

0 1

iX iY

iX iY

X Y

X Y

1 22

ˆ i ii i

i i

X X Y Yx y

x X X

72

3.7

Burada ve , Y ve X gözlemlerinin örnek ortalamalarıdır.

, ise, Y ve X gözlem değerlerinin örnek ortalamalarından farklarıdır.

Kısaca ve ortalamadan sapmadır. Sapmalar kuralına göre EKK yönteminin

uygulamasında öncelikle , ikinci aşamada ‘ın hesaplanması gerekir.

İSPAT

EKK Tahmincilerinin EKK Sapmalar Yöntemine Göre Elde Edilmesi

için 3.5 deki EKK tahmincisinin pay ve paydasını gözlem sayısı n’e

bölünür.

İstatistik dersinden;

ve olduğu bilinmektedir. Buna göre yukarıdaki denklemde

yerine ve yerine yazılır ise aşağıdaki denklem elde edilecektir.

Burada ve eşitlikleri söz konusudur. Sonuç olarak sapmalar yöntemine göre EEK tahmincisi aşağıdaki gibidir.

eşitliğini aşağıdaki gibi gösterebiliriz. eşitliği bilindiğine göre;

0 1ˆ ˆY X

iX X n iY Y n

i ix X X i iy Y Y

ix iy

1 0

1

1 22 2 2

ˆ( )

i i i i i i i i

i i i i

n Y X X Y n Y X X n Y n

n X X n X X n

iX n X iY n Y

iX n X iY n Y

1 2 2ˆ i i

i

X Y nXY

X nX

i i i iX Y nXY x y 2 2 2i iX nX x

1 2ˆ i i

i

x y

x

2 2 2i ix X nX i ix X X

22i i i ix X X X X X X

2 2i i iX XX XX X

73

Toplama işlemcisi parantez içine dağıtılır. Burada bir sabit olduğu için ‘dır.

Yine eşitliğinden yazılabilir ve

Buradan;

eşitliğine ulaşılır. olduğunun ispatı okuyucuya bırakılmıştır.

En küçük kareler yönteminin sapmalar kuralına göre uygulamasında ‘den

sonra tahmincisinin elde edilmesi için normal denklemlerden birincisi kullanılır ve denklemin her iki yanı gözlem sayısı n’e bölünür.

Buradan

elde edilir. Eşitlik için yeniden düzenlendiğinde


EKK yönteminin her iki uygulamasında da ve için aynı sonuçlar elde edilecektir.

X nX

2 2 2i i i ix X X X X X nX

2 22i iX X X nX

iX n X iX nX

2 2 22i ix X X nX nX 2 2 22iX nX nX

2 2 2i ix X nX

i i i ix y X Y nXY

1

0

0 1ˆ ˆ

iiY n X

0 1ˆ ˆ

i iY n Xn n

0 1ˆ ˆY X

0

0 1ˆ ˆY X

0 1

74

eşitliğini aşağıdaki verildiği gibi göstermek mümkündür:

3.8

İSPAT

eşitliği aşağıdaki gibi gösterilir.

eşitliği bilindiğine göre;

yazılır ve parantez içine dağıtılır.

Yine istatistik dersinin konusu aritmetik ortalamanın özelliklerinden

olduğu bilinmektedir. Buna göre;

olacak ve

eşitliği elde edilecektir. olduğunun ispatı okuyucuya bırakılmıştır.

3.4. Açıklayıcı Örnekler

3.4.1. Uygulama 1: Satış Gelirleri İle Reklam Harcamaları

Aşağıda bir spor giyim mağazasının 5 aylık satış gelirleri ile reklam harcamalarına

ilişkin veriler yer almaktadır. Bu verileri kullanarak örnek regresyon denklemini (

) tahmin ediniz.

1 2ˆ i i

i

x y

x

1 2 2 2ˆ i i i i i i

i i i

x y X y x Y

x x x

i i i ix y x Y

i iy Y Y

i i i ix y x Y Y ix

i i i i ix y xY Y x

0i ix X X

0 0i i i i i ix y xY Y xY

i i i ix y x Y

i i i ix y y X

0 1ˆ ˆ

i iY X

75

Aylar Satış Gelirleri

(1000 L)

Reklam Harcamaları

(1000 L)

1 3 1

2 4 2

3 2 3

4 6 4

5 8 5

Tablo 4: Satış gelirleri ve reklam harcamaları

Örnek regresyonunun tahmin edilebilmesi için öncelikle bağımlı ve bağımsız değişkenlerin belirlenmesi gerekir. Satışlar, reklam harcamalarının bir fonksiyonu olduğu diğer bir ifade ile nedensellik reklam harcamalarından satışlara doğru olduğu için satışlar bağımlı değişken reklam harcamaları bağımsız değişkendir.

Y= Satışlar (1000 lira)

X= Reklam harcamaları (1000 lira)

Örnek regresyon fonksiyonu, EKK yöntemiyle yukarıda anlatıldığı üzere X ve Y’nin

gözlemlenen (teorik) değerlerinden veya X ve Y ‘nin gözlemlenen değerlerinin ( ) kendi

ortalamalarından ( ) farklarından ( ) olmak üzere iki şekilde tahmin edilebilir.

Öncelikle X ve Y ‘nin gözlem değerleri kullanılarak örnek regresyonu tahmin edilecektir. Bu amaçla

normal denklemlerdeki değişkenlerle ilgili unsurların ( , , , )

hesaplanması gerekecektir.

Gözlem sayısı (n ) 5’e eşittir.

Satışlar( ) Reklam Harcamaları( )Y X

,i iX Y

,X Y ,i ix y

0 1

20 1

ˆ ˆ

ˆ ˆii

i i i i

Y n X

Y X X X

iY iX i iY X 2

iX

76

Y X X2 XY

3 1 1 3

4 2 4 8

2 3 9 6

6 4 16 24

8 5 25 40

=23 =23 55 81

Tablo 5: Satışlar ve reklam harcamalarının ara sonuçları

Tablonun son satırı ara sonuçlar kullanılarak tahmin değerleri aşağıdaki gibi hesaplanır.

ve

EKK tahminleri , ‘dir. Buna göre; Satışlar ile reklam harcamaları arasındaki ortalama ilişkinin tahmini örnek regresyon fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

İkinci olarak EKK yönteminin diğer bir uygulama biçimi olan sapmalar yöntemiyle de aynı sonuca ulaşmak mümkündür. Bu amaç için aşağıdaki denklemler kullanılacaktır.

iY i

X 2

iX ii

Y X

2 2

0 2 2 2

2

23.55 81.15ˆ 1.0( ) 5.55 (15)

i i i i

i i i

i i

Y X

YX X Y X Y X X

n X n X X

X X

1 2 2 2 2

2

5.81 15.23ˆ 1.2( ) 5.55 (15)

i

i i i i i i i

i i i

i i

n Y

X Y X n Y X X Y

n X n X X

X X

0ˆ 1.0 1 1.2

ˆ 1.0 1.2i iY X

77

Öncelikle yine denklemlerde yer alan unsurların ( , , , )

hesaplanması gerekecektir. Bu amaç için Tabla 5’te elde edilen sonuçlar kullanılacaktır. Öncelikle ve ‘nin hesaplanması gerekir.

ve

olarak hesaplanır. Örnek regresyon fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

Görüldüğü üzere EKK yönteminin her iki uygulanmasının sonuçları aynıdır.

EKK tahminleri elde edildikten sonraki aşamada örnek regresyon doğrusunu koordinat sistemi üzerinde gösterebiliriz. 2. Bölümde belirttiğimiz üzere örnek regresyon

doğrusu bağımlı değişkenin tahmini değerleri ( ) üzerinden geçer. Buna göre öncelikle

‘lerin hesaplanması gerekir. ‘in değerleri (1,2,3,4,5) denkleminde yerine

konur ve hesaplamalar yapılırsa ‘ler elde edilecektir.

Örneğin olduğu 2. gözlem için aşağıdaki gibi hesaplanır.

İkinci gözlemde satışların gözlemlen değeri ( ) 4 iken, satışların tahmini ( ) 3.4’e

eşittir. Hesaplanan diğer sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir.

1 0 12ˆ ˆ ˆi i

i

x yY X

x

i ix y 2ix Y X

X Y

15 233 4.6

5 5

X YX Y

n n

81 5.3.(4.6) 12i i i ix y X Y nXY

2 2 2 255 5.(3) 10i ix X nX

1 2

12ˆ 1.210

i i

i

x y

x

0 2ˆ ˆ 4.6 (1.2).3 1.0Y X

ˆ 1.0 1.2i iY X

iY iY

iX ˆ 1.0 1.2i iY X

iY

2 2X 2Y

2 2ˆ 1.0 1.2 1.0 1.2 2 3.4Y X

2Y 2Y

78

Y X X2 XY

3 1 1 3 2.2

4 2 4 8 3.4

2 3 9 6 4.6

6 4 16 24 5.8

8 5 25 40 7.0

=23 =15 55 81 =23

Bu aşamada her bir veri noktasından ( ) örnek regresyon doğrusuna (

) dikey uzaklıklar olan kalıntılar ( ) ve kalıntı kareler toplamı ( )

hesaplanacaktır.

Örneğin 2. gözlem için kalıntı ( ) aşağıdaki gibi hesaplanır.

Hesaplanan diğer sonuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Y X X2 XY

3 1 1 3 2.2 0.8 (0.8)2

4 2 4 8 3.4 0.6 (0.6)2

2 3 9 6 4.6 -2.6 (-2.6)2

6 4 16 24 5.8 0.2 (0.2)2

8 5 25 40 7.0 1 (1)2

55 23 0 8.8

iY

iY i

X 2

iX ii

Y X î

Y

iY

0 1ˆ ˆ

i iY X îu 2ˆ

iu

0 1ˆ ˆˆˆ

i i i iu Y Y Y X

2u

2 2 2ˆ 4 3,4 0.6u Y Y

iY îu ˆ

i iY Y 2îu

iY 23

iX 15 2

iX ii

Y X 81 î

Y î

u 2îu

79

i=1,…,5’e kadar hesaplanan kalıntı kareler toplamının ( ) sıfıra eşit olduğuna

dikkat ediniz. Kalıntı kareler toplamı sıfıra eşittir, . Tablodan görüldüğü üzere kalıntı

kareler toplamı ( ), 8.8’e eşittir, .

Şekil 8:Serpilme diyagramı, örnek regresyon doğrusu, kalıntılar

Yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere EKK örnek regresyon doğrusu gözlemlenen değerlerin arasından geçmektedir.

3.4.2. Uygulama 2: Gelir İle Tüketim Harcamaları

2. Bölümde 60 ailenin haftalık tüketim rakamları ve haftalık harcanabilir gelirlerine ilişkin hipotetik verilerin yer aldığı ana kütleden “Örnek 1” ve “Örnek 2” olmak üzere iki örnek çekildiğini hatırlayalım.

60 ailenin haftalık tüketim rakamları ile haftalık harcanabilir gelirler verilerinden hesaplanan ana kütle regresyon denklemi aşağıdaki gibidir.

Örnek 1 ve Örnek 2 verileri aşağıda verilmiştir. Bu uygulamada her iki örnek verileri için örnek regresyon fonksiyonu tahmin edilecektir. Not: İşlemlerle basitlik olması amacıyla

ˆi

uˆ 0

iu

2ˆiu 2ˆ 8.8iu

( | ) 17 0.6i iE Y X X

80

ara sonuçlar verilmiştir. Okuyucu verilen ara sonuçları Uygulama 1’de izlenen yolu

uygulayarak hesaplayabilir.

ÖRNEK 1 ÖRNEK 2

Y X Y X

65 80 55 80

80 100 74 100

79 120 90 120

113 140 103 140

125 160 107 160

115 180 135 180

144 200 144 200

157 220 160 220

155 240 189 240

178 260 150 260

Örnek 1

Örnek 1 için hesaplanan ara sonuçlar aşağıdaki gibidir.

n=10

1211Y 1700iX 2 322000iX 226020i iY X 170X

2 2

0 2 2

2

2

ˆ( )

(1211 322000) (226020 1700)17.29

(10 322000) (1700)

i i i i

i ii

i i

Y X

YX X Y X Y X X

n X Xn X

X X

81

veya

Beklenildiği üzere En Küçük Kareler yönteminin her iki uygulama biçimi de aynı sonucu vermiştir.

Örnek 2

Örnek 2 için hesaplanan ara sonuçlar aşağıdaki gibidir.

n=10

1 2 2

2

2

ˆ( )

(10 226020) (1700 1211)0.61

(10 322000) (1700)

i

i i i i i i i

i ii

i i

n Y

X Y X n Y X X Y

n X Xn X

X X

ˆ 17.29 0.61i iY X

1 2 2 2 2

226020 (10 170 121.1)ˆ 0.61322000 (10 170 )

i i i i

i i

x y X Y nXY

x X nX

0 1ˆ ˆ 121.1 (0.61).170 17.29Y X

ˆ 17.29 0.61i iY X

1207Y 1700iX 2 322000iX 226800i iY X 170X 120.7Y

2 2

0 2 2

2

2

ˆ( )

(1207 322000) (226800 1700)9.37

(10 322000) (1700)

i i i i

i ii

i i

Y X

YX X Y X Y X X

n X Xn X

X X

1 2 2 2

2

2

ˆ( )

(10 226800) (1700 1207)0.65

(10 322000) (1700)

i

i i i i i i i

i ii

i i

n Y

X Y X n Y X X Y

n X Xn X

X X

82

veya

Böylece aynı ana kütleden çekilen iki farklı örneğe ait örnek regresyon fonksiyonların ve regresyon doğrularının farklı olduğu görülmüştür.

3.5. Tahminlerin Yorumlaması

En küçük kareler tahminleri, incelenen iktisadi model bağlamında yorumlanır. Haftalık harcanabilir gelir ile tüketim harcamaları arasındaki ilişkinin araştırıldığı Uygulama 2’de Örnek

1 verilerinden tahmin edilen regresyon doğrusuna ( ) göre değeri, ‘nin tahminidir. 2. Bölümden anımsarsak, haftalık harcanabilir gelir 100 lira birimi cinsinden

ölçülmektedir. Matematiksel olarak regresyon doğrusunun eğimini veren , haftalık harcanabilir gelir 100 lira arttığında, haftalık beklenen tüketim harcamasının artış miktarıdır. Böylece haftalık gelir 100 lira arttığında, haftalık gıda harcaması 0.61 lira artacağını tahmin edebiliriz. Tüketim modelinde, gelirdeki 1 birimlik değişmenin tüketimi ne kadar

değiştireceğini gösteren parametresi marjinal tüketim meyli’ni verir. Böylece

değeri iktisadi açıdan, örnek 1 verilerden ana kütle marjinal tüketim meylinin tahminini verir. (Not: Ana kütle marjinal tüketim meyli Örnek 2 verilerinden 0.65 tahmin edilmiştir. )

Regresyon doğrusunun Y eksenini kesim noktası sabit parametre, , sıfır gelire sahip bir hanehalkı için haftalık gıda harcamasının tahminidir. Tahmin edilen modele gör sıfır gelire sahip bir hanehalkının haftalık 17.29 lira harcama yapacağını ortaya koymasına karşın, bu tahmini her zaman kullanmak mümkün değildir. Bölüm 2’de de belirtildiği üzere ‘ın bu yorumu X’in 0 etrafında veri bulmasına bağlıdır ki; biz Örnek 1’de X=0 ‘a yakın herhangi bir veri noktasına sahip değiliz.

Şimdi reklam harcamaları ile satışlar arasında ilişki kuran regresyon

fonksiyonunu yorumlayalım. sabit parametredir ve geometrik açıdan regresyon doğrusunun dikey ekseni kestiği noktadır. Reklam harcamaları (X) sıfıra eşit olduğu durumda

satış gelirleri 1000 lira olacaktır. eğim katsayısıdır. X değişkeni miktarı kadar

ˆ 9.37 0.65i iY X

1 2 2 2 2

226800 (10 170 120.7)ˆ 0.65322000 (10 170 )

i i i i

i i

x y X Y nXY

x X nX

0 1ˆ ˆ 120.7 (0.65).170 9.37Y X

ˆ 9.37 0.65i iY X

ˆ 17.29 0.61i iY X 1 0.65

1

1

1 1 0.65

0ˆ 17.29

0

ˆ 1.0 1.2i iY X

0ˆ 1.0

1 1.2 X

83

değişirse, Y deki değişme kadardır. Reklam harcamaları 1 birim (1000 lira) artarsa

satış gelirleri ortalama 1.2 birim (1200 lira) artacaktır.

3.6. En Küçük Kareler Yönteminin Özellikleri

En Küçük Kareler yönteminin özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir.

1. En Küçük Kareler tahmin edicileri ( ve ) X ve Y değişkenlerin gözlenen değerleri ile hesaplanabilir.

2. EKK tahmin edicileri nokta tahminlerdir. Örnek veriyken, örnekten tahmin edilen parametre, ana kütledeki karşılığı için tek bir nokta tahmini verir.

3. Regresyon doğrusu noktasından geçer.

Şekil 9: Örneklem regresyon doğrusunun gösterimi

4. Bağımlı değişkenin tahmini değerlerinin ortalaması ( ), gözlemlenen değerlerinin ortalamasına ( ) eşittir, .

1.2Y X

0 1

,A X Y

Y

Y Y Y

84

İSPAT

Örnek regresyon fonksiyonunda , yerine eşiti yazılır.

=

i. gözlem için verilen bu eşitlik, i=1,2……n’e kadar tüm gözlemler için eşitliğin her

iki tarafının toplamı alındığında;

sonucuna ulaşılır. olduğundan

ulaşılır. Eşitliğin her iki taraf gözlem sayısı n ile bölünürse;


Bu özellik modelde sabit parametre de olduğu sürece geçerlidir.

5. Kalıntıların toplamı diğer bir ifade ile ortalaması sıfıra eşittir. Bu özellik de yine modelde sabit parametre varsa geçerlidir.

Bu özellik EKK yönteminin ‘nın minimum olması varsayımına dayanmaktadır.

0 1ˆ ˆ

i iY X 0 0 1ˆ ˆY X

1 1ˆ ˆˆ ( )iY Y X X 1( )iY X X

1 1ˆ ˆˆ [ ( )]i iY Y X X nY x

( ) 0i iX X x

iY nY

iY nYn n

iY Y

ˆˆ ˆ0 , 0i i iu Y Y u

2iu

85

İSPAT

Kalıntıların karelerinin toplamı fonksiyonunda ‘e göre birinci mertebeden kısmi

türevi alınarak olduğu gösterilebilir:

Eşitliğin her iki tarafı (-2)’ye bölünür.

Eşitliğin her iki yanı n’e bölündüğünde,

‘den

olacaktır.

Bu özellik ile örnek regresyon modeli, sadece gözlemlenen Xi ve Yi değerleriyle değil, X ve Y’nin ortalama değerlerinden sapmaları biçiminde de yazılabilmektedir.

İSPAT

Bağımlı değişkenin gözlemlenen değerini ile ifade etmiştik. Tek bir gözlem için yazılmış bu denklem i=1,2……n için tüm gözlemler için yazılıp, her iki tarafın toplamı alınırsa,

Sonucuna ulaşılır. Burada olduğu için, denklem

şekline indirgenir. Her iki taraf gözlem sayısı n’e bölünürse

1

ˆ 0iu

2i

0 1

1

u ˆ ˆ2( )( 1) 0ˆ i iY X

0 1ˆ ˆ

iY X

ˆi iY Y

ˆ 0iu

ˆ 0iun n

ˆ 0u

0 1ˆ ˆ ˆ

i i iY X u

0 1ˆ ˆ ˆ

i i iY n X u

ˆ 0iu

0 1ˆ ˆ

i iY n X

86

( eşitliklerinden)

elde edelir. Sonraki aşamada oluşturulur.

elde edilir. Yeni elde edilen ana regresyon modelinde Xi veYi yerini kendi örneklem ortalamalarından sapmalarına ve bırakmıştır. Bundan dolayı regresyon modelinin sapmalı kalıbı olarak adlandırılır. Bu durumda örnek regresyon modeli,

ile gösterilir ve

ve

Eşitlikleri geçerlidir.

6. Kalıntılar ile bağımsız değişkenler arasında bir ilişki yoktur, .

Bu durum kalıntıların karelerinin toplamı fonksiyonunda ‘e göre birinci mertebeden kısmi türev alınarak gösterilebilir.

eşit olduğu için

Kalıntılar( ) ile bağımlı değişkenin tahmin edilen değerleri( ) arasında ilişki yoktur,

.

,i iY n Y X n X

0 1ˆ ˆY X

iY Y

0 1 0 1

1

1

ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( )

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ

i i i

i i

i i i

Y Y X u X

X X u

y x u

( )i iy Y Y ( )i ix X X

1ˆ

i iy x 0 1ˆ ˆY X

ˆ ˆi i iy y u ˆ ˆ

i i iu y y

ˆ 0i iu X

1

2i

0 1

1

u ˆ ˆ2( )( ) 0ˆ i iY X X

0 1ˆ ˆ( ) ( ) 0i i iY X X

0 1ˆ ˆ( )i i iY X u

ˆ 0i iu X

ˆiu Y

ˆ ˆ 0i iy u

87

Bu özellik yukarıda elde edilen sapmalı kalıp yardımıyla açıklanabilir.

eşitliğinden

elde edilir.

3.7. Öngörü

Tahmin edilen regresyon denklemi, öngörü veya geleceği tahmin amaçları için de kullanılabilir. Örneğin; haftalık geliri 35000 lira olan bir hanehalkı için haftalık tüketim harcaması öngörmek istersek, bu öngörüyü yapmak için X=350 (100 birim) tahmin denkleminde yerine konulur.

Haftalık geliri 35000 lira bir hanehalkının, haftalık tüketim harcamasının 386.4 lira

olacağını öngörebiliriz.

1ˆ ˆ ˆ

i i i iy u x u 1ˆi iy x

1 1ˆ ˆ( )i i ix y x

2 21 1ˆ ˆ

i i ix y x 1 2ˆ i i

i

x y

x

2

21 2ˆ i i

i i i

i

x yx y x

x

1 1ˆ ˆ 0i i i ix y x y

ˆ 17.29 0.61 17.29 0.61(350) 386.4i iY X

88

Uygulama Soruları

1-5 arasındaki sorular aşağıdaki tablo kullanılarak cevaplandırılacaktır.

X Y

3 5

2 2

1 3

-1 2

0 -2

1. Tablodaki boşlukları doldurun.

X Y

3 5 2 4 3 6

2 2 1 1 0 0

1 3 0 0 1 0

-1 2 -2 4 0 0

0 -2 -1 1 -4 4

5 10

0 10 0 10

n=5, ,

x

X X

2

2

x

X X

y

Y Y

i i

i i

x y

X X Y Y

X Y x 2x y i i i ix y X X Y Y

x

X X

2

2

x

X X

y

Y Y

i i

i i

x y

X X Y Y

X Y x 2x y i i i ix y X X Y Y

51

5

XX

n 10

25

YY

n

89

2. Sapmalar yöntemini ile ve ‘in En Küçük Kareler tahminleri hesaplayarak, yorumlayınız.

Örnek regresyon denklemi

Yorum: ; X 1 birim arttığında, Y ‘de beklenen artış miktarı 1 birimdir.

; X=0 olduğunda Y, 1 birime eşittir. (Not: X sıfır etrafında değer aldığı için bu yorumu yapabiliriz.

3. ve değerlerinin,

ve

değerlerine eşit olduğunu gösteriniz.

Yukarıda hesaplanmış verilerin olduğu tablodan,

olduğu bilinmektedir. Bu aşamada ‘in

değerini hesaplamalıyız. da yer alan unsurlardan n=5, olup,

bilinmemektedir. Öncelikle verilen X değerlerinden ‘lerin hesaplanması ve toplamının alınması gerekir. Buna göre;

X X2

3 9

2 4

1 1

-1 1

0 1

1 2

10ˆ 110

i i

i

x y

x

0 1ˆ ˆ 2 1.1 1Y X

ˆ 1 1i iY X

1 1

0ˆ 1

2ix i ix y

2 2 2i iX X X nX

i i i iX X Y Y X Y nXY

22 10i ix X X 2 2iX nX

2 2iX nX 1X

2iX

2iX

90

0 0

5 =15

Böylece;

‘dur

=

Eşitliği gösterilmiştir. Benzer olarak eşitliğini aşağıdaki gibi göstermek mümkündür.

Tablodan olduğu bilinmektedir. ‘da

yer alan unsurlardan n=5, , olup, ‘nin hesaplanması gerekir.

X Y XY

3 5 15

2 2 4

1 3 3

-1 2 -2

0 -2 0

5 10 20

Böylece;

‘dur.

=

4. Soru 2’ deki EKK tahminlerinden bağımlı değişkenin tahmini ( )değerlerini hesaplayarak aşağıdaki tablodaki boşlukları doldurun.

X 2iX

2 2 215 5(1) 10iX nX

22 10i ix X X 2 2 10iX nX

i i i iX X Y Y X Y nXY

10i i i ix y X X Y Y i iX Y nXY1X 2Y i iX Y

X Y XY

20 5.1.2 10i iX Y nXY

10i i i ix y X X Y Y 10i iX Y nXY

Y

91

5.

değerlerinin hesaplanabilmesi için ‘in değerleri ( 3, 2, 1, -1, 0) sırasıyla

regresyon denkleminde yerine konur ve ‘ler hesaplanır. Buna göre ‘ler;

olarak hesaplanır. ‘ler hesaplandığına göre kalıntılarda

denklemi ile hesaplanabilir. Örneğin 1. Gözlem için .

iY iX

ˆ 1 1i iY X iY iY

1 1 1.3 4Y

2 1 1.2 3Y

3 1 1.1 2Y

4 1 1.( 1) 0Y

5 1 1.0 1Y iY ˆî i iu Y Y

1 1 1ˆ 5 4 1u Y Y

X Y

3 5

2 2

1 3

-1 2

0 -2

5 10

iY îu 2ˆ

iu î iX u

X Y iY îu 2ˆ

iu î iX u

92

Lütfen dikkat ediniz:

dolayısıyla olacaktır Bağımlı değişkenin

ortalaması bağımlı değişkenin tahmininin ortalamasına eşittir. Yine de hesaplamak

istersek .

6. Regresyon doğrusu ve hata terimleri grafiği,

ˆ 0iu

ˆ 0iY Y ˆ 2Y Y

Yˆ 10ˆ 2

5iY

Yn

X Y

3 5 4 1 1

2 2 3 -1 1

1 3 2 1 1

-1 2 0 2 4

0 -2 1 -3 9

5 10 10 0 16

iY ˆiu 2ˆ

iu

X Y iY ˆiu 2ˆ

iu

93

6-8 arasındaki sorular aşağıdaki tablo kullanılarak cevaplandırılacaktır.

Xi

(1000 ton )

Yi

(100 lira)

1 4

2 6

3 7

4 7

5 9

6 11

7. Regresyon denklemini ( ) tahmin ederek sonuçları yorumlayınız.

Öncelikle EKK tahmincileri;

‘deki unsurların hesaplanması gerekir. Gözlem sayısı (n) 6’dır.

0 1ˆ ˆ

i iY X

2 2

0 2 2

2

ˆ( )

i i i i

i ii

i i

Y X

YX X Y X Y X X

n X Xn X

X X

1 2 2

2

ˆ( )

i

i i i i i i i

i ii

i i

n Y

X Y X n Y X X Y

n X Xn X

X X

94

Xi

(1000 ton )

Yi

(100 lira)

1 4 1 4

2 6 4 12

3 7 9 21

4 7 16 28

5 9 25 45

6 11 36 66

Örnek regresyon denklemi

Yorum; X, 1000 ton artığında Y’de beklenen artış miktarı 126 liradır. X’in dışındaki faktörlerin Y’deki etkisi 293 liradır. (Not: X sıfır etrafında değer almadığı için yorum önceki uygulamadan farklıdır.)

8. EKK tahminlerini kullanarak, EKK kalıntılarını ( ) hesaplayınız.

Kalıntıların ( ) hesaplanabilmesi için öncelikle değerlerinin bilinmesi

gerekir. değerlerinin hesaplanabilmesi için ‘in değerleri ( 1,2,3,4,5,6) sırasıyla

regresyon denkleminde yerine konur ve ‘ler hesaplanır. Buna göre örneğin 1. Gözlem için

Yi

2iX i iX Y

21iX 44iY 2 91iX 176i iX Y

2

0 22 2

44 91 176 21ˆ 2.93( ) 6 91 21

i i i i i

i i

Y X Y X X

n X X

1 22 2

6 176 21 44ˆ 1.26( ) 6 91 21

i i i i

i i

n Y X X Y

n X X

ˆ 2.93 1.26i iY X

îu

ˆî i iu Y Y iY

iY iX

ˆ 2.93 1.26i iY X iY

ˆ 2.93 1.26 2.93 1.26 1 4.19i iY X

iY îu 2ˆ

iu

95

(100 lira)

4 4.19 -0.19 0.0361

6 5.45 0.55 0.3025

7 6.71

0.29 0.0841

7 7.97 -0.97 0.9409

9 9.23 -0.23 0.0529

9 10.49 0.51 0.2601

****

****Kalıntıların toplamı ( ) sıfır olmalıdır. Burada ( )olmasının nedeni

2.93333… olduğu hâlde yaklaşık 2.93 alınmış olmasıdır.

9. ve için Y’nin öngörü değerleri nedir.

için, öncelikle ‘nın hesaplanması gerekir.

için

10. 12 gözlem için veriler kullanılarak aşağıdaki ara sonuçlar hesaplanmıştır. EKK yöntemini kullanarak örnek regresyon modelini oluşturunuz.

, , ,

44iY 44iY ˆ 0.04iu 2ˆ 1.6766iu

ˆiu 0.04 0

0

iX X 12iX

iX X X

213.5

6

XX

n

ˆ 2.93 1.26 2.93 1.26(3.5) 7.34i iY X

12iX

ˆ 2.93 1.26 2.93 1.26(12) 18.05i iY X

480iY 36iX 440i ix y 2 20ix

96

Yukarıdaki veriler göre öncelikle EKK yönteminin hangi uygulama biçimini kullanacağınızı doğru tespit etmeniz gerekir. Yukarıdaki verileri kullanarak normal denklemler

aracılıyla modeli tahmin edemezsiniz. Çünkü normal denklemlerin unsurlarından ,

verilmemiş. Ancak EKK’in ortalamadan sapmalara göre uygulaması ile parametreleri tahmin etmeniz mümkün. Şöyle ki;

Önce örnek regresyon modelini yazalım.

EKK yönteminin sapmalar kuralına göre uygulamasında önce ‘in tahmin edilmesi

gerekir. ‘in EKK tahmincisi aşağıdaki gibidir.

ve verildiğine göre

Bu aşamada aşağıdaki EKK tahmincisi ile ı tahmin etmemiz gerekir.

Burada olduğu bilinmekte, ancak ve bilinmemektedir. Ancak

yukarıdaki verilerden hesaplanabilir. Gözlem sayısı 12 olduğuna göre ve aşağıdaki gibi hesaplanır.

ve

Böylece;

Örnek regresyon fonksiyonu;

i iX Y2iX

0 1ˆ ˆ

i iY X

1

1

1 2ˆ i i

i

x y

x

440i ix y 2 20ix

1 2

440ˆ 2220

i i

i

x y

x

0 '

0 1ˆ ˆY X

1 22 Y X

Y X

48040

12

iYY

n 36

312

iXX

n

0 1ˆ ˆ 40 ( 22 3) 106Y X

ˆ 106 22i iY X

97

X, 1 birim artarsa Y 22 birim azalacaktır, X’in dışındaki diğer faktörlerin Y üzerindeki etkisi ortalama 106 birimdir. Veya X=0 olduğunda Y 106 birim olacaktır (Bu yorum X’in 0

etrafında veri bulmasına bağlıdır, ancak bize gözlemlenen (teorik) veriler verilmemiş, sadece ara sonuçlar verilmiştir.)

11. Aşağıda tahmin edilmiş tasarruf fonksiyonunu kullanarak marjinal tüketim meylini (MCM) hesaplayın.

S=Tasarruf, Y= Gelir

Yukarıdaki tasarruf modelinde 0.2 marjinal etkiyi göstermekte ve gelir 1 birim arttığında tasarrufların 0.2 birim artacağını ifade etmektedir. Burada 0.2 marjinal tasarruf meylidir (MSM). İktisat derslerimizden,

MCM+MSM=1

olduğunu bildiğimize göre marjinal tüketim meyli (MCM) 0.8’e eşittir.

ˆ 1.2 0.2t tS Y

98


Bu bölümde küçük kareler yaklaşımının her iki uygulama yöntemine göre ana kütle parametrelerinin nasıl tahmin edileceğini öğrendik. Kalıntıların nasıl hesaplandığını ve ana kütle hata teriminin tahmini olan kalıntıların da toplamının sıfır olduğunu gördük. En küçük kareler regresyon doğrusunun nasıl çizileceğini, diğer bir ifade ile EKK regresyonunun cebrini öğrendik. Tahmin edilen parametrelerin nasıl yorumlandığını gördük. Örnek regresyon fonksiyonunu kullanarak bağımsız değişkenin verilen bir değeri için bağımlı değişkenin değerini öngördük. En küçük kareler yönteminin özelliklerini öğrendik ki bu özellikleri ileriki derslerimizde kullanacağız. BLUE tahminin ne anlama geldiğini öğrendik. Tahminci ile tahmin arasındaki fark üzerinde durduk.

99

Bölüm Soruları

1-7 arası sorular için aşağıdaki tablo kullanılacaktır.

Gözlem Y X

1 2 1

2 3 5

3 4 4

4 6 10

5 10 20

6 20 50

1) X, Y’nin nedeni olduğu bilgisine sahip olduğunuz varsayımı altında örnek regresyon fonksiyonunun oluşturunuz.

a)

b)

c)

d)

e)

2) X’in birimi 100 lira Y’in birimi 10 ton ise modelin yorumu hangisidir?

a) X ‘deki 1 brimlik artış Y’yi 2.37 ton arttırır.

b) X ‘deki 100 liralık artış Y’yi 1.02 brim arttırır.

c) X ‘deki 100 liralık artış Y’yi 27.2 ton arttırır.

d) X ‘deki 100 liralık artış Y’yi 3.7 ton arttırır.

e) X ‘deki 1birimlik artış Y’yi 1.22 birim arttırır.

ˆ 5.37 2.72i iY X

ˆ 0.47 1.02i iY X

ˆ 5.37 2.72i iX Y

ˆ 2.02 0.37i iY X

ˆ 2.37 1.22i iX Y

100

3) Kalıntıların karelerinin toplamı nedir?

a) a)1.78

b) b)3.08

c) 40.9

d) 31.09

e) 13.21

4) =? ( , )

a) 0

b) b)1280

c) 820

d) d)139

e) 618

5) ( )

a) 227.5

b) 57.8

c) 43.9

d) 0

e) 90

6) ( )

a) 45

b) 27

c) 0

d) 1692

i ix y i ix X X i iy Y Y

2 ?ix i ix X X

2 ?iy i iy Y Y

101

e) 23.5

7) Kalıntıların toplamı kaçtır?

a) Hesaplanamaz

b) 1

c) 8.8

d) 0

e) 12.6

8) modeli için aşağıdakilerden hangisi ‘in bir tahmincisi değildir?

a)

b)

c)

d)

e)


a) Bağımlı değişkenin gözlemlenen değerlerinin ortalaması, Bağımlı değişkenin tahmini değerlerinin ortalamasına eşittir.

b) En küçük kareler yöntemi normallik varsayımına dayanmaktadır.

c) Örnek regresyon doğrusu ( , ) noktasından geçer.

d) Kalıntıları ortalaması sıfırdır.

e) En küçük kareler yöntemi kalıntılar kareler toplamının minimum olmasına dayanmaktadır.

0 1ˆ ˆ

i iY X 1

21 i i ix y x

21 i i ixY x

21 i i iX Y X

21 i i iX y x

1 2 2ˆ

( )

i i i i

i i

n Y X X Y

n X X

X Y

102

10) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) EKK tahmincilerini elde etmek için kalıntı kareler toplamının fonksiyonu sıfıra eşitlenir ve tahmin edilecek parametrelere göre türev alınır.

b) Kalıntılar ile X bağımsız değişkeninin çarpımlarının toplamı sıfırdır, bu ana kütlede hata terimleri ile X bağımsız değişkeninin ilişkisiz olduğu varsayımına denktir.

c) ‘in kullanımı örnek regresyon doğrusunun ( , ) doğrusundan geçtiği varsayımına dayanır.

d) EKK yöntemini uygulayabilmemiz için bağımlı değişkenin dağılımı hakkında bilgi sahibi olmamız gerekir.

e) EKK yöntemini sıfır ve ortalamalar orijinine göre uygulamasının sonuçları aynıdır.

Cevaplar:

1) d, 2) d), 3) a, 4) e, 5) a, 6) d, 7) d, 8) c, 9) b, 10) d

0 1ˆ ˆY X X Y

103

4. EN KÜÇÜK KARELER TAHMİNCİLERİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ

104


1) Örnek verilerinden tahmin ettiğimz parametrelere güvenebiliriz miyiz?

2) Bunun için bir ölçü var mıdır?

3) Ekonometrik modelin sonuçlarından esneklik ile ilgili yorum yapamak mümkün müdür?

105



Tahmin edilen parametrelerin

varyans ve kovaryans tahminlerini

ve standart hataları elde edebilmek.

Ders notlarını çalışarak, verilen uygulamaları tekrar ederek

Gauss-Markov Teoremi’nin

anlamını öğrenmek Ders notları

Tahmin edilen bir modelden

ortalama esneklik ve nokta

esnekliği hesaplayabilmek ve yorumlamak.

Ders notlarını çalışarak, verilen uygulamaları tekrar ederek

Merkezi limit teoremini kavramak Ders notları

Parametrenin doğrusallığı, sapmasızlığı ve en iyi olmasının anlamını kavramak

Ders notları

106

Anahtar Kavramlar

Hata teriminin varyansı

esneklik

varyans

kovaryans

standart hata

merkezi limit teoremi

BLUE tahmin

doğrusal tahmin

sapmasız tahmin

en iyi tahmin

örneklem değişkenliği

107

Giriş

Basit regresyon modelinde parametrelerin EKK yöntemi ile nasıl tahmin edildiğini öğrendik. Bu alt bölümden itibaren tahmin ettiğimiz bu parametrelere güvenebilir miyiz? sorusunun cevabını arayacağız. Bu bağlamda tahmin edilen parametrelerin standart hataları parametrenin güvenirliliği konusunda bir ölçü oluşturmaktadır. Ekonometrik analizin nihai hedefleri olan hipotez testi ve aralık tahminleri için tahmin edilen parametrenin standart hatasının bilinmesi gerekir. Bu bölümde tahmin edilen parametrelerin varyans ve kovaryanslarının nasıl hesaplanacağı üzerinde durulacaktır. Ayrıca tahmin edilen regresyon modeli sonuçlarına dayanarak nokta ve ortalamaya göre esneklikler hesaplanacak ve yorumlanacaktır.

108

4.1. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Değerlendirilmesi

2. Bölümde 60 ailenin harcanabilir gelir ve tüketim harcamalarının yer aldığı ana kütleyi tanıtmış, 3. Bölüm Uygulama 2’de bu ana kütleden çekilen iki örnek verileri kullanılarak,

regresyon modeli için iki ayrı parametre tahminleri elde etmiştik. Elde

edilen sonuçlara göre, ve ‘in EKK tahminlerinin ( ve ) örnekten örneğe değiştiği

görülmüştür (Hatırlatma; Örnek 1 için , Örnek 2 için ).

“Bu tahminlerin hangisi daha iyi?” sorusunu sormak doğaldır ancak bu soru cevaplanamaz.

Çünkü ana kütle parametreleri ve ‘in gerçek değerleri bilinemediği için ve

parametrelerinin gerçek ana kütle değerlerine ne kadar yakın olduğunu söylemek olanaksızdır.

Örnek 1 ve Örnek 2’deki gibi aynı gelir gruplarına sahip hane halklarını seçilmiş bile,

farklı bir ( ve ) tahminleri elde edilmesi örnekleme değişkenliği’nden kaynaklanmakta

olup, bu örnekleme değişkenliği kaçınılmazdır. Bir tahmincinin örnekleme doğruluğunu ve güvenilebilirliğini değerlendirmek açısından örnekleme değişkenliğini anlamak önem arz eder. Hane halkı tüketim harcamaları, Yi, i=1,....,60 rassal değişkenler olduğu için, farklı örnekler

farklı tahminler verecektir. Sonuç olarak, bir tahmin süreci olarak düşündüğümüzde ( ve

) ‘de rassal değişkenlerdir, çünkü değerleri Y rassal değişkenine bağlıdır. Bu bağlamda ve

EKK tahmincileri olarak isimlendirilir. En küçük kareler tahmincileri ve rassal

değişkenler ise, bu durumda, bunların beklenen değerleri, varyansları, kovaryansları ve olasılık

dağılımları ( ve ) tahmincilerinin örnekleme özellikleri ile ilgilidir.

4.1.1. Doğrusallık

EKK normal denklemleri veya EKK ortalamadan sapmalar biçimi, en küçük kareler

tahminleri ve ‘yi hesaplamak için kullanılabilir. Ne var ki, bu formüller tahmincilerin teorik özelliklerini incelemek için yeterince uygun değildir. Bu bölümde, analizini

kolaylaştırmak için ‘in formülünü yeniden yazılacaktır. Hatırlayacak olursak, ‘in

ortalamadan sapmaya göre EKK tahmincisi aşağıdaki gibi verilmişti:

doğrusal bir tahminci olarak aşağıdaki gibi yazılabilir.

0 1i i iY X u

0 1 0 1

ˆ 17.29 0.61i iY X ˆ 9.37 0.65i iY X

0 1 0 1

0 1

0 1

0

1 0 1

0 1

0 1

1 1

1 22

ˆ i ii i

i i

X X Y Yx y

x X X

1

11

ˆn

i ii

k Y

109

burada aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

Böylece;

ile de tanımlanabilir.

terimi, sadece rassal olmayan Xi ‘den hesaplandığı için de rassal değildir.

gibi ‘nin tartılı ortalaması olan herhangi bir tahminci, doğrusal tahminci

olarak isimlendirilir. Bu durumda, ‘ni daha uygun bir teorik biçimde aşağıdaki gibi yazabiliriz,

burada, doğrusal regresyon modeli ‘deki rassal hatadır. Bu formül hesaplamalar için kullanışlı değildir. Çünkü, değerini bilmediğimiz ‘ye ve

gözlemlenemeyen ‘lere bağlıdır. Bununla birlikte, en küçük kareler tahmincileri örnekleme özelliklerini anlamak için açısından çok yararlıdır.

‘nin özellikleri:

1. ‘lerin olasılık dağılımı olmadığı (rassal olmadığı) için, ‘ler de olasılık dağılımı (rassal değildir) yoktur.

2.

3.

4.

ik

2 2

i ii

ii

X X xk

xX X

1 2 2ˆ i i i i

i i

x y x Y

x x

ik ik

21 i i ixY x iY

1

1 1ˆ

i ik u

iu 0 1i i iY X u

1

iu

ik

iX ik

2

2 2

0

10 0i

i i i

i i

xk k x

x x

2

2

1i

i

kx

2

2 21ii

i i i i i

i i

xxk X k x x

x x

110

4.1.2. Sapmasızlık

tahmincisinin alacağı değer örnek toplanıncaya kadar bilinmediği için tahmincisi

rassaldır. Model varsayımları sağlanırsa, olur; açık ifade ile ‘in beklenen değeri,

gerçek parametre değeri ‘e eşit olur. Herhangi bir parametre tahmincisinin beklenen değeri, gerçek parametre değerine eşitse, bu durumda, bu tahminci sapmasız (eğilimsiz, sistematik

hatasız)dır. olduğu için, EKK tahmincisi , ‘nin sapmasız bir tahmincisidir.

Sapmasızlığın sezgisel manası, matematiksel beklentinin tekrarlanan örnekleme yorumundan

gelmektedir. n ölçeğinde pek çok örnek toplarsak ve bu örneklerin her birinde ‘yi tahmin

etmek için nin formülü kullanılırsa, varsayımlar sağlandığı takdirde, tüm örneklerden elde

edilecek olan tahminlerinin ortalama değeri ana kütle değeri ‘ye eşit olacaktır.

İspat

‘de parametresi rassal olmayıp, tahmin edilmeye çalışılan ana kütle

parametresidir. Varsayım 5 sağlanırsa, Xi rassal değildir. ‘da sadece rassal olmayan Xi

değerlerine bağlı olduğu için rassal değildir. ‘de tek rassal faktör, rassal hata

terimi ‘dir. ‘in beklenen değeri, “ bir toplamın beklenen değeri, beklenen değerlerin toplamına eşittir.” özelliği kullanılarak, aşağıdaki gibi gösterilebilinir.

rassal olmadığı, ve için

olduğu için,

ise olacağı için , ‘in sapmalı bir tahmincisidir. Hata

teriminin ( ) kaynaklarından biri Yi etkileyen ancak iktisadi modelde dışlanan faktörleri

içermekteydi. Önemli olan bir değişken dışlanırsa ve sebep olacaktır. Bu

1 1

1 1Ê 1

1

1 1Ê 1 1

1

1

1 1

1 1ˆ

i ik u 1

ik

1 1ˆ

i ik u

iu 1

1 1 1 1 1 2 2ˆ

i i n nE E k u E k u k u k u

1 1 1 2 2 n nE E k u E k u E k u

1 i iE E k u

ik 1 1E i iE k k

1 i ik E u 0iE u

1 1Ê

0iE u 1 1Ê 1 1

iu

0iE u 1 1Ê

111

sebeple, EKK tahmincilerinin sapmasız olması için tüm ilgili açıklayıcı değişkenleri içeren doğru tanımlanmış bir iktisadi modele sahip olmak bir zorunluluktur.

Tahminci ‘in sapmasızlığı önemli bir örnekleme özelliğidir. Bir ana kütleden tekrarlı örnekleme yapıldığında, EKK tahmincisi ortalama olarak “doğru” olup, bu özellik bir tahminci

için arzulanan bir özelliktir. Sapmasızlık ortalamaya dayandığı için tek başına , ‘in iyi bir

tahmincisi olduğu anlamına gelmez. Sapmasızlık özelliği, aynı ana kütleden pek çok veri

örneklerinin olmasına bağlıdır. ‘in sapmasız olması, sadece bir örnekte ne ortaya

çıkabileceği ile ilgili hiç bir şey söylemez. Tek bir tahmin (bir sayı) , belki ‘e yakın veya çok uzak olabilir. Çünkü asla bilinmez, tahminiz ‘ye çok yakın olsun veya olmasın,

sadece bir verili örnekle ‘i asla bilemeyeceğiz. ise en küçük kareler tahmincisi , ‘in sapmasız bir tahmincisidir.

4.1.3. Tekrarlı Örnekleme

Sapmasız tahminci kavramını daha farklı bir şekilde göstermek için, 2. Bölümde verilen aynı gelire sahip ana kütleden çekilmiş 10 rassal örnekten elde edilen tüketim harcaması modelinin EKK tahminleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Uygulamada, regresyon modelini

tahmin etmek için mevcut tüm gözlemleri 60 büyüklüğünde bir büyük örnekte kullanırız. Burada tekrarlı örnekleme özelliklerini göstermek için verileri 10 alt örneğe ayırdık. Örnekten örneğe en küçük kareler parametre tahminleri değişkenlik arz eder. Bu örnekleme değişkenliği, her bir örnekte 10 farklı hanehalkı seçmemiz ve onların haftalık tüketim harcamasının rassal olarak değişmesinden kaynaklanmaktadır.

1

1 1

1

1 1

1 1

1 0iE u 1

1

112

Örnek 1 Örnek 2 Örnek 3 Örnek 4 Örnek 5

65 80 55 80 60 80 75 80 70 80

80 100 74 100 74 100 88 100 70 100

79 120 90 120 90 120 94 120 98 120

113 140 103 140 80 140 113 140 108 140

125 160 107 160 107 160 107 160 125 160

115 180 135 180 135 180 130 180 110 180

144 200 144 200 145 200 144 200 136 200

157 220 160 220 152 220 152 220 157 220

155 240 189 240 189 240 145 240 137 240

178 260 150 260 175 260 178 260 185 260

Örnek 6 Örnek 7 Örnek 8 Örnek 9 Örnek 10

55 80 75 80 55 80 70 80 65 80

70 100 85 100 88 100 80 100 88 100

98 120 79 120 94 120 84 120 90 120

103 140 93 140 95 140 93 140 113 140

110 160 116 160 118 160 110 160 107 160

130 180 140 180 110 180 135 180 115 180

136 200 120 200 145 200 144 200 144 200

162 220 135 220 140 220 157 220 162 220

145 240 165 240 175 240 155 240 145 240

192 260 191 260 178 260 150 260 175 260

Yukarıdaki tabloda 10 örnek verisinden elde edilen tahminler verilmiştir.

iY iX iY iX iY iX iY iX iY iX

iY iX iY iX iY iX iY iX iY iX

113

Örnek

1 17.29 0.61

2 9.37 0.65

3 -1.54 0.72

4 33.37 0.52

5 23.37 0.56

6 6.91 0.66

7 17.43 0.60

8 12.23 0.63

9 25.69 0.54

10 25.09 0.56

Sapmasızlık özelliği, aynı büyüklükte pek çok örneğin aynı ana kütleden çekildiği

durumda, ve ‘in ortalama değerlerini konu almaktadır. Bu 10 örnekteki ‘ın ortalama

değeri, ‘dir. ‘in ortalama değeri, ‘dır. Pek çok örnekten elde edilen

tahminlerin ortalaması alınırsa, bu ortalamalar ( , ) ve ‘in doğru parametre değerlerine yaklaşacaktır. Sapmasızlık, her hangi bir örnekten elde edilen tahminin doğru parametre değerine yakın olacağını göstermez . Bu sebeple, bir tahminin sapmasız olduğunu söylemek mümkün değildir. Söyleyebilceğimiz tek sonuç, en küçük kareler tahmini yönteminin (veya en küçük kareler tahmincisinin) sapmasız olduğudur.

4.1.4 En Küçük Kareler Tahmincilerinin Varyans ve Kovaryansları

Bir tahmincinin varyansı, tahminlerin örnekten örneğe ne kadar değiştiğini kısaca tahmincinin doğruluğunu ölçer. Bir tahmincinin daha küçük varyansı, o tahmincinin daha fazla örnekleme doğruluğu anlamına gelmektedir. Bir tahmincinin örnekleme varyansı, diğer tahmincininkinden daha küçükse, diğer tahminciden daha iyidir (doğrudur, tesirlidir) .

Basit regresyon modeli varsayımları 1-5 varsayımları ve ‘nin varyans ve

kovaryansları aşağıdaki gibidir:

0 1

0 1 0

0ˆ 16.92 1 1 0.6

0 1 0 1

0 1

114

Yukarıda verilen varyans ve kovaryansı tahmincilerini etkileyen faktörleri aşağıdaki gibidir.

Rassal hata terimi , varyans ve kovaryans denklemlerinin her birinde yer

almaktadır. Rassal hata terimi gözlemlen Y değerlerinin beklenen değerleri etrafında yayılımını yansıtmaktadır. Daha büyük varyans

, daha fazla yayılım anlamına gelmektedir. Y değerlerinin ortalamalarına göre uzağa düştüğü durum belirsizliğin daha fazla olması anlamına gelmektedir. nin daha büyük olduğu zaman, ve hakkında sahip olduğumuz bilginin doğruluğu daha azdır. İstatistikte varyans

belirsizlik ölçüsü olduğu için, daha büyük varyans ( ) en küçük kareler varyans ve kovaryanslarının da daha büyük olması anlamına gelmektedir.

X değerlerinin ortalamaları etrafındaki kareleri toplamı

yukardaki varyans ve kovaryans denklemlerinin her birinde yer almaktadır. Bu ifade, bağımsız veya açıklayıcı değişken X’in örnek değerlerinin, ortalamaları etrafında nasıl yayıldığını ölçer. Bunlar, daha geniş yayıldıkça, daha büyük kareler toplamı ortaya çıkar. Aynı şekilde, bunlar, daha dar bantta yayıldıkça, daha küçük kareler toplamı ortaya çıkar. Daha büyük kareler

toplamı , en küçük kareler tahmincilerinin daha küçük varyansı anlamına gelip, bilinmeyen parametreleri daha doğru bir şekilde tahmin edebiliriz. Bu durumda X değerleri, X-

ekseni boyunca genişçe yayılım göstermektedir. verisi küçük ise veri belli bir noktada “toplanmış”tır.

Daha büyük örnek büyüklüğü n, daha küçük EKK tahmincileri varyans ve

kovaryansları anlamına gelir. Daha büyük örnek verisi, daha küçük örnek verisinden daha iyidir. Örnek büyüklüğü n yukardaki varyans ve kovaryans denklemlerinin her birinde yer

almaktadır, çünkü toplamların her biri, n terimden oluşmaktadır. Ayrıca n, ‘da açıkca

görülmektedir., n arttıkça kareler toplamı terimi ( ) daha büyür çünkü, toplamdaki her bir terim pozitif veya sıfırdır ( X’in bir gözlem değeri, örnek ortalamasına eşit olursa, toplam sıfır

ortaya çıkar, . Sonuç olarak, n daha büyük oldukça, hem

2

20 2ˆ( ) i

i

XVar

n x

2

1 2ˆ( )

i

Varx

20 1 2ˆ ˆ( , )

i

XCov

x

2

( ) i iE Y E Y X X E Y X 2 ( )E Y

2

0 12

2 2( )i ix X X

2ix

2ix

0( )Var 2ix

2 2( ) 0i ix X X 0( )Var

115

hem de daha küçük olur, kareler toplamı, paydalarında yer almaktadır. ın pay ve paydasındaki toplamların her ikisi de n büyüdükçe, artarlar ve birisindeki artış diğeri tarafından dengelenir, ancak belirleyici terim olarak paydadaki n denklemde yerini konulunca

ve n daha büyüdükçe, daha da küçüleceği kesindir.

terimi ‘da yer almaktadır. Bu terim büyüdükçe, en küçük kareler

tahmincisi ‘ın varyansı büyür. Çünkü sabit parametre , X=0 iken Y’nin beklenen değeridir,

. X=0’dan daha uzağa verilerimiz düşerse, tüketim harcaması örneğinde

olduğu gibi, ‘ı yorumlamak daha zor olacaktır ve ‘ı doğru bir şekilde tahmin etmek de

daha zor olacaktır. terimi, X’in orjinden (X=0) olan kareli uzaklığı ölçer. X değerleri,

sıfıra yaklaşırsa, bu durumda, daha küçük olacak ve bu ‘ı azaltacaktır. Fakat

pozitif veya negatif, X değerleri büyük olursa, diğer şartlar sabitken, daha büyük olacak

ve bu ‘ı daha büyük olacaktır.

X-değerlerinin örnek ortalaması, ‘de yer almaktadır. Kovaryansın mutlak büyüklüğü, örnek ortalaması ‘ın büyüklüğündeki artışla artış gösterir ve kovaryans

‘ın işaretinin tersi bir işarete sahiptir. Bunun sebebi, EKK regresyon doğrusunun X ve Y’nin

ortalama noktalarından geçmek zorunda olmasıdır.

4.2. Gauss-Markov Teoremi

Gauss-Markov Teoremine göre doğrusal regresyon modelinin 1-5 varsayımları veri iken

ve tahmincileri, ve in tüm doğrusal ve sapmasız tahmincileri arasında en düşük

varyansa sahiptir. ve , ve ‘in en iyi doğrusal sapmasız tahmincileridir (Best Linear

Unbiased Estimators –BLUE-).

ve tahmincileri, doğrusal ve sapmasız olan benzer tahmincilerle

karşılaştırıldığında “en iyi”‘dir. Ancak, bu ifade ve ‘in tüm olası tahmincilerin en iyisi

olduğunu anlamına gelmez.

ve tahmincileri, en düşük varyansa sahip oldukları için kendi sınıflarında en iyidir. İki doğrusal ve sapmasız tahminci karşılaştırıldığında, her zaman en düşük varyanslı olanı tercih edilir, çünkü bu tahmin kuralı, doğru parametre değerine yakın olan bir tahmin elde etmenin daha yüksek bir olasılığını vermektedir.

0 1( , )Cov 0( )Var

0( )Var

2iX 0( )Var

0 0

00E Y X

0 02iX

2iX 0( )Var

2iX

0( )Var

0 1( , )Cov X

X

0 1 0 1

0 1 0 1

0 1

0 1

0 1

116

Gauss–Markov teoreminin sağlanması için klasik doğrusal regresyon modelinin

1-5 varsayımları geçerli olmak zorundadir. Bu varsayımlardan herhangi biri geçersiz olursa bu

durumda, ve , ve in en iyi doğrusal sapmasız tahmincileri değildir.

Gauss–Markov teoremi normallik varsayımına ( varsayım SR6) dayanmaz.

Basit regresyon modelinde doğrusal ve sapmasız bir tahminci kullanmak

istersek, ve tahmincileri en iyidirler.

Gauss–Markov teoremi, en küçük kareler tahmincilerini kullanır. Tek bir örnekten elde edilen en küçük kareler tahminlerini kullanmaz.

4.3. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Olasılık Dağılımları: Merkezi Limit Teoremi

Şu ana kadar EKK tahmincilerinin dağılım özelliklerinden bahsedilmemiştir. Çünkü EKK yönteminin uygulaması normallik varsayımına dayanmaz. Amacımız sadece nokta tahminlerini elde etmek olsa idi, EKK yönteminin temel özellikleri yeterli olacaktı. Ancak parametrelerin tahminleri kullanılarak, ana kütlede bilinmeyen parametreler hakkında hipotez testleri ve güven aralıkları yöntemlerinin uygulaması ile çıkarsamalar yaparız. Hipotez testleri ve güven aralıkları uygulamaları dağılım bilinmesini gerektirmektedir.

Rassal hatalar , sıfır ortalama ve 𝜎2 varyansla normal dağılırlar - -, bu

durumda, EKK tahmincilerinin olasılık dağılımları da normal olur. Bu sonuç iki adımda elde

edilir. Eğer normal dağılıyor ise ‘lerin doğrusal fonksiyonu de normal de normal

dağılacaktır. eşitliğinden’nin rassal hata ‘lerin doğrusal fonksiyonu olduğunu görebilirsiniz.

İkincisi EKK tahmincileri, eşitliğinden ‘lerin doğrusal fonksiyonudur.

‘ler normal dağıldığı için doğrusal fonksiyonu EKK tahmincileri de normal dağılıma uygundur. Ayrıca normal rassal değişkenlerin toplamları da normal dağılırlar. Sonuç olarak, hata terimi için normallik varsayımını yaparılırsa, en küçük kareler tahmincileri normal dağılırlar.

En küçük kareler tahmincilerinin normalliği, hipotez testleri ve aralık tahminleri istatistiksel çıkarsamının pek çok boyutunda büyük öneme sahiptir.

Merkezi Limit Teoremi’ne göre 1-5 varsayımları sağlanırsa ve örnek büyüklüğü n

yeterince büyükse, aşağıdaki en küçük kareler tahmincileri, normal dağılımlara yaklaşan bir dağılıma sahiptiler.

0 1 0 1

0 1

iu 20,iu N

iu iu iY

0 1i i iY X u iu

1 i ik Y iY

iY

117

n için yeterli büyüklük nedir? sorusuna cevap, belirgin bir sayının olmadığıdır. Bu “ne kadar büyük olacağı” belirsizliğinin sebebi, rassal hataların dağılımlarının neye benzediği ( düzgünler mi? simetrik mi? çarpık mı ) ve X değerlerinin nasıl olduğu gibi pek çok faktöre bağlıdır. Basit regresyon modelinde bir görüşe göre n=30 ‘un yeterince büyük olduğu kabul edilirken, bir başka görüşe göre n=50 olmasının daha mantıklı olduğu iddia edilmektedir. Aslında “yeterince büyüklük” ün anlamı, problemden probleme değişecektir. Yine de büyük örnek veya asimptotik sonuca regresyon analizinde sıklıkla başvurulur.

4.4. Hata Terimi Varyansının Tahmini

Ana kütle parametrelerinin tahmininden sonra, bilinmeyen ve örnek verilerinden tahmin edilmesi gereken diğer bir parametre sabit olduğu varsayılan ana kütle hata teriminin varyansıdır. Klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarından biri gözlemler (alt ana kütle) itibarıyla hata teriminin varyansının eşit olmasıdır. Hata teriminin beklenen değerinin

sıfır olduğu varsayımı ( ) doğru ise, ‘nin varyansı aşağıdaki gibidir.

“Beklenti” ortalama bir değer olduğu için, tahmin edilen ‘yi, hata karelerinin

ortalaması olarak aşağıdaki gibi düşünülebilir.

Ana kütle bilinmediği için rassal hatalar gözlemlenemeyecek bu nedenle yukarıdaki formülün kullanımı ysöz konusu olmayacaktır. Ancak bilinmeyen rassal hataların yerine örnekten hesaplanan EKK kalıntıları kullanılabilir. Rassal hatalar:

2 2

0 0 2ˆ , i

i

XN

n x

2

1 1 2ˆ ,

i

Nx

0iE u iu

22 2( )i i i iVar u E u E u E u ( ) 0iE u

22

2 iu

n

iu

i i iu Y E Y X X 0 1i iE Y X X E Y X

0 1i iu Y X

0 1i iu Y X

118

EKK kalıntıları ( ), bilinmeyen parametrelerin ( ve ) EKK tahminleri ( ve

) ile yer değiştirilmesi ile elde edilebilir:

‘den

Böylece, rassal hatalar ile kalıntılar yer değiştirerek hata terimi varyansının tahmini için

aşağıdaki gibi kullanılabilir,

Büyük örneklerde oldukça tatmin edici olmasına karşın, bu tahminci, ‘nın sapmalı bir tahmincisidir. Fakat sapmasız tahminciyi elde etmek için basit bir değişiklik aşağıdaki gibi yapılır,

Paydada çıkarması yapılan 2, modeldeki regresyon parametreleri ( ve ) ‘lerin

sayısı olup, bu çıkarım, ‘yi sapmasız yapar böylece,

olur.

4.5. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Varyans ve Kovaryanslarının Tahmini

Hata varyansının sapmasız bir tahmincisine sahip olmak, en küçük kareler tahmincileri

ve ‘in varyansları ve onlar arasındaki kovaryansı tahmin edebileceğimiz anlamına gelir.

Aşağıda verilen varyans ve kovaryansları elde etmek için, bilinmeyen hata varyansı yerine

yi yazarsak;

îu 0 1 0

1

ˆî i iu Y Y 0 1ˆ ˆ

i iY X

0 1ˆ ˆî iu Y X

0 1ˆ ˆî iu Y X

2

2ˆ

ˆ iu

n

2

2ˆ

ˆ2iu

n

0 12

2 2Ê

0 12

2

2

20 2ˆ ˆ( ) i

i

XVar

n x

119

Tahmin edilen varyansların kare kökleri, ve ‘in “standart hataları”dır. Bu sayılar, hipotez testi ve aralık tahmininde kullanılır. Bu standart hatalara aşağıda görüldüğü

gibi, ve olarak gösterilir.

ve ‘in standart hataları, tekrarlı örneklerdeki EKK tahminleri ve ‘in

örnekleme değişkenliğinin ölçümleridir. Uygulama 2’de gösterildiği gibi, farklı veri örnekleri

topladığımızda, parametre tahminleri örnekten örneğe değişir. ve ‘in tahmincileri, örnek verileri nasıl oluşursa oluşsun kullanılan genel formüllerdir. Yani tahminciler, rassal değişkenlerdir. Bu sebeple, olasılık dağılımlarına, ortalamalara ve varyanslara sahiptirler. Özellikle, hata terimlerinin normal dağıldığı varsayımı sağlanırsa diğer bir ifade ile rassal hata

terimleri normal dağılırsa, bu durumda olur.

Varyans tahmincisi veya nin standart hatası olarak isimlendirilen

kare kökü , tahminlerinin örnekleme değişkenliğini ölçer. Daha büyük

en küçük kareler tahmincileri ‘de örnekten örneğe daha fazla değişkenlik gösterdiği

anlamına gelir. büyük olursa tahminler örnekten örneğe büyük oranda değişebilir.

Parametre bilinmesi önemlidir. Çünkü , parametresine göre büyük olursa, en

küçük kareler tahmincilerinin doğru olmayacak ve EKK tahminleri tahmin edilmeye çalışan

‘in doğru değerinin oldukça uzağında kalabilecektir. Diğer yandan, parametresine

göre küçük olursa, EKK tahmini yüksek olasılıkla ‘in yakınına düşecektir. İstatistik dersinden hatırlayacak olursanız normal dağılım için, değerlerin %99.99’u, ortalamadan üç standart sapma aralığı içine düşer, böylece en küçük kareler tahminlerinin %99.99’u,

; , aralığına düşer.

2

1 2

ˆˆ( )i

Varx

20 1 2ˆ ˆ ˆ( , )

i

XCov

x

0 1

0ˆ( )Se 0

ˆ( )Se

0 0ˆ ˆ( ) ( )Se Var

1 1ˆ ˆ( ) ( )Se Var

0 1 0 1

0 1

iu 2 21 1 1ˆ ˆ, ( ) iN Var x

1( )Var 1 1( )Var

1

1Var

11

1

1

1

1 1

11

1

1

11 3

11 3

120

10 örnek verisinden elde edilen tahminler verilmiştir . Bu tahminlerin ortalama değerleri

ise, ve ‘dır. Hatalarla açıklanmak istenilen soru, tahminlerin, ortalamaları etrafında örnekten örneğe ne kadar değişkenlik gösterdiğidir.


4.6.1. Uygulama 1: Satış Gelirleri İle Reklam Harcamaları

Uygulama 1: Satışlar ile reklam harcamaları arasındaki doğrusal ilişki örnek

verilerinden ve =8.8 olarak hesaplanmıştı. Şimdi ve ‘in varyansları,

standart hatalarını ve ve arasındaki kovaryansı hesaplayacağız.

, ve ‘in hesaplanabilmesi için öncelikle hata terimi varyansının tahmin edilmesi gerekir. Hata terimi varyansının tahmini ( ) aşağıdaki gibidir.

55, , olduğu bilindiğine göre;

0ˆ 16.92 1 0.6

ˆ 1.0 1.2i iY X 2ˆiu 0 1

0 1

2

20 2ˆ ˆ( ) i

i

XVar

n x

2

1 2

ˆˆ( )i

Varx

20 1 2ˆ ˆ ˆ( , )

i

XCov

x

0ˆ( )Var 1( )Var 0 1

ˆ ˆ( , )Cov 2

2

2ˆ 8.8 8.8ˆ 2.932 5 2 3

iu

n

2

iX 2 10ix 3X

2

20 2

55ˆ ˆ( ) 2.93 3.2235.10

i

i

XVar

n x

2

1 2

ˆ 2.93ˆ( ) 0.29310i

Varx

20 1 2

3ˆ ˆ ˆ( , ) 2.93 0.87910i

XCov

x

121

ve ‘in standart hataları ise,

olarak hesaplanır. Şu ana kadar yaptığımız hesaplamalar toplu biçimde aşağıdaki gibi

raporlanır.

4.6.2. Uygulama 2: Haftalık Harcanabilir Gelir İle Tüketim Harcamaları

Harcanabilir gelir ile tüketim harcamaları arasında doğrusal ilişkinin tespiti için Örnek 1 ve Örnek 2 olmak üzere iki örnek regresyon denklemi oluşturmuştuk. Her iki örnek için

, ve hesaplanacaktır.

Örnek 1

Dikkat edilecek olursa bu uygulamada ara sonuçlardan hareket ettiğimiz için ‘ne

sahip değiliz. Öncelikle denkleminde X ‘in değerleri yerine konur, ‘ler

hesaplanır. Daha sonraki aşamada , ve hesaplanır.

ÖRNEK 1

65 80 66.09 -1.09 1.1881

80 100 78.29 1.71 2.9241

79 120 90.49 -11.49 132.0201

113 140 102.69 10.31 106.2961

125 160 114.89 10.11 102.2121

115 180 127.09 -12.09 146.1681

144 200 139.29 4.71 22.1841

0 1

0 0ˆ ˆ( ) ( ) 3.223 1.795Se Var

1 1ˆ ˆ( ) ( ) 0.293 0.541Se Var

2ˆ ˆ1.0 1.2 2.93 5

( )(1.795)(0.541)

i i

i

Y X n

Se

0ˆ( )Var 1( )Var 0 1

ˆ ˆ( , )Cov

2îu

ˆ 17.29 0.61i iY X iY

îu 2ˆ

iu 2îu

iY iX iY îu 2ˆ

iu

122

157 220 151.49 5.51 30.3601

155 240 163.69 -8.69 75.5161

178 260 175.89 2.11 4.4521

Önemli not: , olarak hesaplanması gerekir. Hesaplamalardaki

ufak farklılıklar, denkleminde virgülden sonra iki hane alındığı içindir.

Hata terimi varyansının tahmini ( ) aşağıdaki gibidir.

, , olduğu bilindiğine göre;


olarak hesaplanır. Şu ana kadar yaptığımız hesaplamalar toplu biçimde aşağıdaki gibi raporlanır.

1211iY 1700iX ˆ 1209.9iY ˆ 1.1iu 2ˆ 623.321iu

ˆ 0iu ˆ 1211i iY Y ˆ 17.29 0.61i iY X

2

2

2ˆ 623.321 623.321ˆ 77.922 10 2 8

iu

n

2 322000iX 170X 2 33000ix 2

20 2

322000ˆ ˆ( ) 77.92 76.0310 33000

i

i

XVar

n x

2

1 2

ˆ 77.92ˆ( ) 0.00236133000i

Varx

20 1 2

170ˆ ˆ ˆ( , ) 77.92 0.40133000i

XCov

x

0 1

0 0ˆ ˆ( ) ( ) 76.03 8.72Se Var

1 1ˆ ˆ( ) ( ) 0.002361 0.049Se Var

2ˆ ˆ17.29 0.61 77.92 10

( )(8.72)(0.049)

i i

i

Y X n

Se

123

Örnek 2

ÖRNEK 2

55 80 61.37 -6.37 40.5769

74 100 74.37 -0.37 0.1369

90 120 87.37 2.63 6.9169

103 140 100.37 2.63 6.9169

107 160 113.37 -6.37 40.5769

135 180 126.37 8.63 74.4769

144 200 139.37 4.63 21.4369

160 220 152.37 7.63 58.2169

189 240 165.37 23.63 558.3769

150 260 178.37 -28.37 804.8569

Önemli not: , olarak hesaplanması gerekir. Hesaplamalardaki

ufak farklılıklar, denkleminde virgülden sonra iki hane alındığı içindir.

Hata terimi veryansının tahmini ( ) aşağıdaki gibidir.

, , olduğu bilindiğine göre;

ˆ 9.37 0.65i iY X

iY iX iY ˆiu 2ˆ

iu

1211iY 1700iX 11 8.7ˆ 9iY ˆ 8.3iu 2 1612 4 9ˆ . 8iu

ˆ 0iu ˆ 1211i iY Y ˆ 9.37 0.65i iY X

2

2

2ˆ

ˆ 201.562 1

1612.489 1612.48

0 2 8

9iu

n

2 322000iX 170X 2 33000ix

124


olarak hesaplanır. Şu ana kadar yaptığımız hesaplamalar toplu biçimde aşağıdaki gibi gösterilir.

Sonuç: Yukarıdaki sonuçlara göre parametre tahminlerin standart hataları Örnek 1’de,

Örnek 2’den daha küçük hesaplanmıştır. Buna göre Örnek 1, Örnek 2’ye tercih edilir.

4.7. Esneklikler

Gelir esneklikliği, gelirdeki değişimler karşısında tüketicinin tepkisini göstermektedir. Doğrusal bir ilişkide Y değişkenin, X değişkenine göre esnekliği aşağıdaki gibi hesaplanır:

ile verilen doğrusal ekonomik modelde, ‘i aşağıdaki gibi

tanımlamıştık.

Bu durumda, gelire göre ortalama harcama esnekliği aşağıdaki gibi hesaplanır:

2

20 2

196.322000ˆ ˆ( ) 201.56

10 3305

067

0

i

i

XVar

n x

2

1 2

ˆ 201.50.

6ˆ( )3

000

03 0

6i

Varx

20 1 2

170ˆ ˆ ˆ( , ) 201. 1.0385633000i

XCov

x

0 1

0 0ˆ ˆ( ) ( ) 196.6 14 0275 .Se Var

1 1ˆ ˆ( ) ( ) 0.006 0.08Se Var

2ˆ ˆ9.37 0.65 201.56 10

( )(14.02)(0.08)

i i

i

Y X n

Se

'deki yüzdedeğişim'deki yüzdedeğişim

Y Y Y Y X

X X X X Y

0 1i iE Y X X X 1

1

E Y

X

125

Esnekliği hesaplamak için yerine, örnek verilerinden hesaplanan gelir. Ayrıca “X

” ve “ ” de değiştirilmek zorundadır. Çünkü doğrusal bir modelde esneklik, regresyon doğrusu boyunca her bir noktada farklıdır. Çoğunlukla, esneklik “ortalamalar noktasından

hesaplanır, çünkü regresyon doğrusunda bu uygun bir temsil noktasıdır. Buna göre ortalamalar noktasında gelir esnekliğini hesaplamak istersek aşağıdaki formül kullanılır.

Ortalamaya göre esneklik hesaplanabileceği gibi X’in belli bir değere eşit ( )

olduğu nokta için de hesaplanabilir. Bu durumda olduğu noktada regresyon

denkleminden ‘nin hesaplanması gerekir.

Buradan esneklik,

formulü ile hesaplanır.


Uygulama 1: Satış Modeli

Uygulama 1’de örnek verilerinden aşağıdaki sonuçlara ulaşılmıştı.

Yukarıdaki sonuçlara göre, ilk olarak satışların reklam harcamalarına göre ortalama

esnekliğini hesaplayalım. X ve Y örnek ortalama değerler olduğuna göre satışların reklam harcamalarına göre ortalama esnekliği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

1

E Y E Y E Y X X

X X X E Y E Y

1 1

E Y

,X Y

1ˆ X

Y

iX X

iX Xˆ

iX XY

0 1ˆ ˆˆ

iX X iY X

1ˆ ˆ

i

i

X X

X

Y

ˆ 1.0 1.2i iY X 4.6Y 3X

( , ) (3,4.6)X Y

1

3ˆˆ 1.2 0.784.6

X

Y

126

alındığında, reklam harcamalarındaki %1’lik bir artış, satışlarda ortalama %0.78’lik bir artışa yol açar. Tahmin edilen reklam harcamaları esnekliği birden küçük olduğu için, satışların arttırılması için reklam harcamalarının zorunlu olduğu sonucunu çıkarmak mümkündür.

İkinci olarak X=5 olduğu noktada satışların reklam harcamalarına göre ortalama

esnekliğini hesaplayalım. X=5 ise ‘dir. noktasında satışların reklam harcamalarına göre esnekliği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

noktasında birim esneklik söz konusudur. Reklam harcamalarındaki %1’lik bir artış, satışlarda %1’lik bir artışa yol açar.

Açıklayıcı Örnek 2: Tüketim Modeli

Örnek 1

Ortalamalar noktasında - - gelir esnekliği aşağıdaki aşağıdaki gibi hesaplanır.

X ve Y örnek ortalama değerlerini aldığında, hanehalkı gelirindeki

%1’lik bir artış, ortalama olarak hanehalkı tüketim harcamasında %0.86’lık bir artışa yol açar. Tahmin edilen gelir esnekliği birden küçük olduğu için, tüketim harcamaları “lüks” değil “zorunlu” dur -ki bu sonuç, ortalama bir hanehalkı için beklentilerimizle ile tutarlıdır.

İkinci olarak X=160 olduğu noktada ortalama gelir esnekliğini hesaplayalım. X=160 ise

‘dur. noktasında gelir esnekliği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

Gelirin 160 olduğu noktada tüketimin gelir esnekliği 0.85’e eşittir. Diğer bir ifade ile gelir %1 artarsa, tüketim %0.85 artacaktır.

( , ) (3,4.6)X Y

ˆ 1.0 1.2 5 7iY ˆ( , ) (5,7)ii xX Y

1

5ˆˆ 1.2 1ˆ 6i

i

X X

X X

Y

ˆ( , ) (5,7)ii xX Y

ˆ 17.29 0.61i iY X 121.1 170Y X

( , ) (170,121.1)X Y

1

170ˆˆ 0.61 0.86121.1

X

Y

( , ) (170,121.1)X Y

ˆ 17.29 0.61 160 114.89iY ˆ( , ) (160,114,89)ii xX Y

1

160

160 160ˆˆ 0.61 0.85ˆ 114.89X

X

Y

127

Örnek 2

Ortalamalar noktasında - - gelir esnekliği aşağıdaki aşağıdaki gibi hesaplanır.

X ve Y örnek ortalama değerlerini aldığında, hanehalkı gelirindeki

%1’lik bir artış, ortalama olarak hanehalkı tüketim harcamasında %0.92’lık bir artışa yol açar. Bu örnek verilerinden de tahmin edilen gelir esnekliği birden küçük olduğu için, tüketim harcamaları “lüks” değil “zorunlu” dur.

İkinci olarak X=220 olduğu noktada ortalama gelir esnekliğini hesaplayalım. X=220 ise

‘dir. noktasında gelir esnekliği aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

noktasında hanehalkı gelirindeki %1’lik bir artış, hanehalkı tüketim harcamasında %0.94’lük bir artışa yol açar.

ˆ 9.37 0.65i iY X 120.7 170Y X

( , ) (170,120.7)X Y

1

170ˆˆ 0.65 0.92120.7

X

Y

( , ) (170,120.7)X Y

ˆ 9.37 0.65 220 152.37iY ˆ( , ) (220,152.37)ii xX Y

1

220

220 220ˆˆ 0.65 0.94ˆ 152.37X

X

Y

ˆ( , ) (220,152.37)ii xX Y

128

Uygulama Soruları

Aşağıdaki veriler kullanılarak,

Gözlem Satış (100 lira) Fiyat (1 lira)

1 6 10

2 4 20

3 5 30

4 4 40

5 3 50

6 1 60

Ara sonuçlar hesaplanmış, buradan örnek regresyon denklemi tahmin edilmiş ve kalıntıların karelerinin toplamı hesaplanmıştır.

Not: Yukarıdaki verileri kullanarak ara sonuçları ve regesyon fonksiyonunu siz de elde edin.

1) Ana kütle hata teriminin varyansını tahmin ediniz?

Ana kütle hata terimi varsayının tahmicisinin olduğu bilindiğine göre;

olarak tahmin edilir.

2) olarak tahmin edilen parametresinin varyansını tahmin ederek,

standart hatasını hesaplayınız.

2 2

2 2

23 , 210 , 35 , 3.83

660 , 9100 , 103

14.83 , 1750 , 145

i i

i i i i

i i i i

Y X X Y

X Y X Y

y x x y

ˆ 6.73 0.08i iY X 2ˆ 2.82îu

2 2ˆ ˆ 2îu n 2

2ˆ 2.82 2.82ˆ 0.7052 6 2 4

îu

n

0ˆ 6.73 0

129

Yukarıda hesapladığımız ara sonuçları kullanarak parametresi için varyans tahminini

bulabiliriz.

3) olarak tahmin edilen parametresinin varyansını tahmin ederek,

standart hatasını hesaplayınız.

Yukarıda hesapladığımız ara sonuçları kullanarak parametresi için varyans tahminini

bulabiliriz.

4) ile arasındaki ortak varyansı hesaplayınız.

5) 1-4 arası sonuçları raporlayınız.

6) Ortalama fiyat esnekliğini hesaplayarak yorumlayınız.

ise

Fiyatlar %1 artarsa satışlar (talep) %0.73 azalacaktır.

7) Fiyatın 40 olduğu noktada fiyat esnekliğini hesaplayarak yorumlayınız.

Öncelikle olduğu hesaplanması gerekir.

0

2

20 2

9100ˆ ˆ( ) 0.705 0.6116 1750

i

i

XVar

n x

0 0ˆ ˆ( ) ( ) 0.611 0.782Se Var

1 0.08 1

1

2

1 2

ˆ 0.705ˆ( ) 0.00041750i

Varx

1 1

ˆ ˆ( ) ( ) 0.0004 0.02Se Var

0 1

20 1 2

35ˆ ˆ ˆ( , ) 0.705 0.01411750i

XCov

x

2 2ˆ ˆ ˆ6.73 0.08 0.705 2.82

ˆ( )(0.782)(0.02)

i i î

i

Y X u

Se

35 , 3.83X Y 1

35ˆˆ ( 0.08) 0.733.83

X

Y

40X 40XY

Y 40ˆ 6.73 0.08(40) 3.53XY

130

Fiyatın 40 olduğu noktada, fiyatlardaki %1 lik artış satışları %0.91 düşürür.

8) Tahmin edilen parametreler normal dağılır. Bunun nedeni nedir?

a) Rassal hatalar ve hataların doğrusal fonksiyonu bağımlı değişkenler normal dağılır.

b) EKK yöntemi ile tahmin edilmişlerdir.

c) Örnekten elde edilmişlerdir.

d) Sapmasızdırlar.

e) En iyi’dirler.

9) Aşağıdakilerden hangisi tahmin edilen parametreler için güvenilirlik ölçüsüdür?

a) Ana kütle hata terimi varyansı

b) Kalıntı kareler toplamı

c) Standart hata

d) Ortak varyans

e) Ortalamadan sapma kareler toplamı

10) modelinde parametresinin standart hatası için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) Hata teriminin varyansı büyük ise de büyür.

b) X’lerin ortalamadan farklarının kareleri büyüdükçe da büyür.

c) , ‘in kareköküdür.

d) Ana kütleden çekilen her örnek için eşit hesaplanır.

e) , için bir güvenilirlik ölçüsüdür.

1

40

40 40ˆˆ 0.08 0.91ˆ 3.53X

X

Y

0 1ˆ ˆ

i iY X 1

1( )Se

1( )Se

1( )Se 1( )Var

1( )Se

1( )Se 1

131


Bu bölümde tahmin edilen parametrelerin sahip olması gereken özellikler, sapmasızlık, en iyi ve doğrusal olmasının ne anlama geldiğini ve bu bağlamda BLUE tahmini öğrendik. “Merkezi Limit Teoremi” ve “ Gauss Markov Teoremi” işlendi. Tahmin edilen parametrelerin

güvenilirlik ölçüsü standart hatanın nasıl hesaplandığı ve standart hatanın örnek verilerinden hesaplanan unsurlara göre nasıl değişiklik göstereceği detaylı olarak verildi. Yine standart hataların hesaplanmasında bize gerkli olan rassal hatanın varyansının tahmini verildi.

Bu bölümde iktisat derslerinizden bildiğiniz esneklik kavramının ekonometrik bir

modelden nasıl hesaplandığını gördük.

132

Bölüm Soruları

Aşağıdaki 1-8 arası sorular için aşağıdaki verileri kullanarak cevaplandırınız.

Yıllar Y X

1991 1.3 6.2

1992 1.2 7.8

1993 1.4 5.8

1994 1.4 5.7

1995 1.5 5.0

1996 1.9 4.0

1997 2.6 3.2

1998 2.3 3.6

1999 2.5 3.3

2000 2.7 3.3

2001 2.1 5.6

2002 1.8 6.8

2003 2.2 5.6

1) Örnek regresyon fonksiyonunun ( ) tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

c)

d)

e)

0 1ˆ ˆ

i iY X

ˆ 9.44 2.28i iY X

ˆ 1.09 2.28i iY X

ˆ 10.04 1.09i iY X

ˆ 6.32 0.96i iY X

ˆ 3.37 0.29i iY X

133

2) Kalıntı kareler toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

a) 108.2

b) 65.1

c) c)

d) 3.44

e) 9.12

3) Ana kütle hata teriminin varyansını tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

a) 0.104

b) 13.94

c) 0.806

d) 0.828

e) 0.653

4) ve ‘in varyansları aşağıdakilerden hangisidir?

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

5) ve ‘in standart hataları aşağıdakilerden hangisidir?

a) a) ,

b) b) ,

1.14

0 1

0ˆ 0.986049Var 1 0.251001Var

0ˆ 0.605409Var 1 3.97642Var

0ˆ 0.109561Var 1 0.003969Var

0ˆ 3.209782Var 1 6.083561Var

0ˆ 3.218008Var 1 9.71387Var

0 1

0ˆ 1.082Se 1 0.208Se

0ˆ 0.331Se 1 0.501Se

134

c) c) ,

d) d) ,

e) e) ,

6) ve arasındaki ortak varyans aşağıdakilerden hangisidir?

a) 0.03961

b) 0.02006

c) -0.03961

d) 0.93071

e) -0.02006

7) Y’nin X’e göre ortalama esnekliği ve yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

a) -0.77; X’teki %1’lik artış Y’de ortalama %0.77’lik azalışa neden olur.

b) -0.77; X’teki 1 birimlik artış Y’de ortalama %77’lik azalışa neden olur.

c) -0.77; X’teki %1’lik artış Y’de ortalama % 77’lik azalışa neden olur.

d) 0.77; X’teki %1’lik artış Y’de ortalama %0.77’lik artışa neden olur.

e) 0.77; X’teki %1’lik artış Y’de ortalama % 77’lik artışa neden olur.

8) X=5.7 iken Y’nin X’e göre esnekliği ve yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

a) -0.96 ; X=5.7 noktasında X’teki %1’lik artış Y’de % 96’lik azalışa neden olur.

b) 0.96 ; X=5.7 noktasında X’teki %1’lik artış Y’de %0.96’lik artışa neden olur.

c) -0.96 ; X=5.7 noktasında X’deki 1birimlik artış Y’de 0.96 birimlik azalışa neden olur.

d) 0.96 ; X=5.7 noktasında X’deki 1 birimlik artış Y’de %0.96 birimlik azalışa neden olur.

0ˆ 2.213Se 1 4.916Se

0ˆ 0.331Se 1 0.063Se

0ˆ 0.993Se 1 0.501Se

0 1

135

e) -0.96 ; X=5.7 noktasında X’teki %1’lik artış Y’de %0.96’lik azalışa neden olur.

9) ‘ın varyansı için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) Hata teriminin varyansı büyüdükçe, ‘ın varyansı da büyür.

b) X ‘lerin ortalamadan farklarının karesi büyüdükçe ‘ın varyansı küçülür.

c) Gözlem sayısı n büyüdükçe ‘ın varyansı küçülür.

d) ) Gözlemlenen X’ler, örnek regresyon doğrusuna yaklaştıkça ‘ın varyansı küçülür.

e) Gözlemlenen X’lerin karelerinin toplamı büyüdükçe ‘ın varyansı büyür.

10) Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

a) Sapmasızlık ortalamaya dayandığı için tek başına yeterli bir ölçüdür.

b) Hata terimi varyansının tahmincisi k-n serbestlik derecelidir.

c) Hata terimin varyansı 0’dır.

d) X’ler normal dağıldığı için, tahmin edilen parametreler normal dağılır.

e) Gauss-Markov teoremine göre parametreler tahmincileri sapmasız, doğrusal parametreler arasında en küçük varyansa sahip parametreler ise, BLUE tahmincilerdir.

Cevaplar:

1) e, 2) c, 3) a, 4) c, 5) d, 6) e, 7) a, 8) e, 9) d, 10) e.

0

0

0

0

0

0

136

5. ARALIK TAHMİNİ VE HİPOTEZ TESTİ

137


1) Nokta tahminlerinden aralık tahminine nasıl geçebiliriz?

2) Verilen bir hipotezi nasıl test ederiz?

3) Test prosedürünün aşamaları nelerdir?

4) Temel hipotez ve alternatif hipotez neye göre kurulur?

138



EKK tahmincilerinin, normal dağılmış rassal değişkenler olmalarının istatistiksel bilgi çıkarımı açısından neden önemli olduğunu açıklamak.

Ders notları

Tek taraflı ve çift taraflı hipotez kurulumunu kavramak ve

uygulayabilmek

Ders notları,

Aralık tahminlerini oluşturabilmek Ders notları

1.Tip hata ve 2. Tip hata arasındaki farkı ayırdedebilmek

Ders notları ve istatistik kitaplarında ilgili bölüm

t-tablosunu kullanabilmek İstatistik kitapları

139

Anahtar Kavramlar

Hipotez testi

Aralık tahmini

Güven aralıkları

Temel hipotez

Alternatif hipotez

Anlamlılık testi

Anlamlılık düzeyi

Birinci tip hata

İkinci tip hata

Çift kuyruk testi

Tek kuyruk testi

Kritik değer

Nokta tahminleri

Olasılık değeri

Red bölgesi

Serbestlik derecesi

Test istatistiği

140

Giriş

Bölüm 3’te basit doğrusal regresyon modelindeki parametrelerin nokta tahminlerini

elde etmek için en küçük kareler yaklaşımını kullandık. Bu nokta tahminleri, regresyon fonksiyonu ‘daki iktisadi değişkenler arasındaki ilişkiyi tanımlayan bir

istatistiksel bilgi çıkarımı’dır. Bilgi çıkarma “bilinen veya varsayılan bir şeyden yola çıkarak

bir sonuca varma’’ anlamındadır. Nokta tahminleri için iktisadi değişkenler arasında nedensellik ilişki olduğu ve basit regresyon modeli ile ilgili 1-5 varsayımlarının geçerli olduğu varsayımları yapılmıştır. Örnek regresyon fonksiyonunun tahmindeki amaç, bu varsayımlara

dayanarak örnek regresyon parametrelerinin ampirik tahminlerinden ( ), verilerin elde

edildiği ana kütle hakkında bilgi çıkarımları yapmaktır.

Bu bölümde istatistiksel bilgi çıkarımının araçları aralık tahmini ve hipotez testi

tanıtılacaktır.

Hipotez testi ve aralık tahmini prosedürleri, basit doğrusal regresyon modelinin 6. varsayımı “ hata terimleri normal dağılır” ve bunun bir sonucu olan EKK tahmincilerinin normallik varsayımı ile yakinen ilgidir. Normallik varsayımı geçerli değil ise, örneklem boyutu yeterince büyük ise EKK tahmincileri yaklaşık olarak normal dağılır. Normallik varsayımının geçerli olmadığı durumda, bu bölümde verilecek aralık tahmini ve hipotez testleri prosedürleri yine kullanılabilir ama bunlar yaklaşık sonuç vereceklerdir.

Güven aralığı olarak da bilinen aralık tahmini, bilinmeyen parametrelerin içinde bulunmasının olası olduğu bir değerler aralığı yaratma prosedürüdür.

Hipotez testi regresyon parametreleri ile ilgili varsayımı, bir veri örnekleminden elde edilen parametre tahminleriyle karşılaştırma prosedürüdür. Hipotez testleri, verilerin belirli bir varsayım veya hipotezle bağdaşıp bağdaşmadığı hakkında bilgi sağlar.

0 1i iE Y X X

0 1ˆ ˆ,

141

5.1. Aralık Tahmini

Bölüm 2’de verilen Uygulama 2 Örnek 1’de ( ) , hanehalkı harcanabilir gelir 100 lira arttığında haftalık beklenen tüketim harcamasının artış miktarıdır. Böylece haftalık gelir 100 lira arttığında haftalık gıda harcaması ortalama 61 lira artacağı tahmin edilmişti.

, regresyon modelindeki bilinmeyen ana kütle parametresinin ( ) bir nokta

tahminidir. Aralık tahmini, gerçek parametre ‘in bulunmasının olası olduğu bir değer aralığı sunar. Bir değer aralığı sunmak, parametre değerinin ne olabileceği hakkında bir fikir ve ne kadar kesinlikle tahmin ettiğimizi verir. Böyle aralıklar genellikle güven aralıkları adını alır.

5.1.1. t-Dağılımı

Basit doğrusal regresyon modeli için 1-6 varsayımlarının geçerli ise en küçük kareler tahmincileri ve normal dağılıma sahiptir. ve ‘in en küçük kareler tahmincileri ve ‘in normal dağılım parametreleri (ortalama ve varyansı) aşağıdaki gibidir.

için standardize edilmiş bir normal rassal değişken ise, ‘den ortalaması çıkarılıp standart sapmasına bölünerek elde edilir:

Standardize edilmiş rassal değişken Z, 0 ortalama ve 1 varyansla normal dağılmıştır. Normal dağılım tablosundan aşağıdaki eşitsizliği yazabileceğimizi biliyoruz. (Not: İstatistik dersi konularından normal dağılımın özelliklerini ve normal dağılım tablosunu kullanmasını hatırlayın, eksiğiniz varsa bu konuları İstatistik kitaplarından tekrar edin.)

‘ yi yukarıdaki eşitsizliğin içine yerleştirirsek,

ˆ 17.29 0.61i iY X 1

1 0.61 1

1

0 1 0 1 0

1

2 2

0 0 2ˆ , i

i

XN

n x

2

1 1 2ˆ ,

i

Nx

1 1

1 1

2 2

ˆ0,1

i

Z Nx

1.96 1.96 0.95P Z

2 21 1ˆ

iZ x

142

elde ederiz. Bu sonuç ana kütle parametresi için yeniden düzenlenirse aşağıdaki ifadeyi verir:

Bu, ana kütle parametresini içerme olasılığı 0.95 olan bir aralığı tanımlar. Kısaca alt

ve üst sınırı olan bir aralık tahmincisi sunar. Tekrarlanan örneklemede

yukarıdaki şekilde oluşturulan aralıkların %95’i, parametresinin gerçek değerini içerecektir. Aralık tahmincisinin bu kolay türetimi hem 6. varsayıma yani hata terimlerinin normal dağıldığına hem de hata terimi ( ) varyansını biliyor olmamıza dayanmaktadır.

Ana kütle hata terimi varyansının ( ) değerini bilmememize rağmen, tahmin edebileceğimizi daha önceki derslerimizden biliyoruz. En küçük kareler artıkları

ve ana kütle hata terimi veryansının tahmincisi

‘dır . Böylece , ile değiştirerek çalışabileceğimiz bir rassal değişken elde ederiz ama bu yer değiştirme, olasılık dağılımını standart normalden n-2 serbestlik dereceli

bir 𝑡-dağılımına dönüştürür:

oranı (test istatistiği ile de adlandırılır.) ile gösterilen n-

2 serbestlik dereceli bir t-dağılımına sahiptir. Benzer bir sonuç için de geçerlidir, bu nedenle basit doğrusal regresyon modelindeki 1-6 varsayımları gerçekleşiyorsa;

sonucunu çıkarabiliriz.

Bu eşitlik basit doğrusal regresyon modelindeki hipotez testi ve aralık tahmini için temeli oluşturur.

1 1

2 2

ˆ1.96 1.96 0.95

i

Px

1

2 2

1 1 12 2ˆ ˆ1.96 1.96 0.95

i i

Px x

1

2

1 2ˆ 1.96

ix

1

2

2

0 1ˆ ˆˆˆi i i i iu Y Y Y X 2

2 2ˆ ˆ 2iu n 2 2

1 1 1 1 1 1

22 211

ˆ ˆ ˆˆˆ ( )ˆ ( )

n

i

t tSex Var

2 21 1ˆ ˆ it x 2n

t t

0

2

ˆ0,1 içinˆ( )

i in

t t iSe

143

t-dağılımı sıfırda ortalanmış çan-şeklinde bir eğridir. Daha büyük bir varyans ve daha kalın kuyruklarla daha yayılmış olması dışında, standart normal dağılım gibi görünür, kısaca normal dağılıma göre daha basık ve daha kalın kuyrukludur. t-dağılımının şekli, genellikle s.d.

şeklinde gösterilen ve serbestlik derecesi (n-k) adı verilen bir parametre tarafından kontrol edilir. Burada n gözlem sayısını k parametre sayısını (basit regresyonda k=2) ifade eder. (n-

k)=m ise m serbestlik dereceli bir t-dağılımını belirtmek için veya gösterimleri

kullanılır1. Örneğin, (n-k)=m serbestlik derecesi için t-dağılımının 95’inci persentili

veya şeklinde gösterilir. Olasılığın 0.95’i bu değerin soluna düşer, bu nedenle 𝑃[𝑡(𝑚) ≤𝑡(0.95,𝑚)] = 0.95. Örneğin, eğer serbestlik derecesi 𝑚 = 20 ise, EK 1’de verilen t dağılım tablosundan, 𝑡(0.95,2) = 1.725 bulunur.

5.1.2. Aralık Tahminlerini Elde Etme

EK 1’de verilen 𝑡 -dağılımından ‘kritik değer’ 𝑡𝑐 bulabiliriz, öyle ki ’dir ve burada 𝛼 genellikle 𝛼 = 0.01 , 𝛼 = 0.0 5 ya da 𝛼 = 0.10

olarak alınan bir olasılıktır. Kritik değer 𝑡𝑐’nin 𝑛-k serbestlik derecesi için persentil değeri . 𝑡𝑐 ve −𝑡𝑐 değerleri aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

Şekil 10: Bir t-dağılımından kritik değerler

Taralı her “kuyruk” alanı olasılığın kadarını taşır, bu nedenle olasılığın 1 − 𝛼

kadarı ortadaki kısımdadır. Sonuç olarak olasılık ifadesini aşağıdaki şekilde yazabiliriz: 𝑃(−𝑡𝑐 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑐) = 1 − 𝛼

%95 güven aralığı için kritik değerler 𝑡-dağılımının 1 − 𝛼 = 0.95 olasılığını taşıyan merkezi bir bölge tanımlarlar. Bu, 𝛼 = 0.05 olasılığı iki kuyruk arasında eşit olarak bölerek bırakır, böylece 𝛼/2 = 0.025 olur. Öyleyse kritik değer 𝑡𝑐 = 𝑡(1−0.025,𝑛−𝑘) = 𝑡(0.975,𝑛−𝑘) .

Basit regresyon modelinde serbestlik derecesi 𝑚 = 𝑛 − 2’dir, böylece yukarıdaki ifade şu şekle dönüşür:

( )n kt mt

0.95,n kt

0.95,mt

2c cP t t P t t

2,n kt

2

144

𝑃[−𝑡(0.975,𝑛−2) ≤ 𝑡 ≤ 𝑡(0.975,𝑛−2)] = 0.95

Örneğin n=30 ise 𝑡(0.975,𝑛−2) =𝑡(0.975,28) persentil değerlerini EK 1. tablodan 2.048

buluruz.

Şimdi tüm bu parçaları aralık tahmini prosedürü yaratmak için kullanacağız. Yukarıda ile ifade edilen t, 𝑃(−𝑡𝑐 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑐) ‘ye yerleştirerek aşağıdaki ifade elde

edilir:

Bu ifadeyi yeniden için düzenleyerek aşağıdaki ifade elde edilir:

Aralığın alt ve üst değerleri ve örneklemden örnekleme değişeceği için rassaldır. Bu uç noktalar için bir aralık tahmincisi tanımlarlar. Yukarıdaki

olasılık ifadesi, bilinmeyen gerçek parametre ’nin 1 − 𝛼 olasılığı ile aralığının içinde olduğu anlamına gelmektedir.

Olasılık ifadesindeki ve , verilen örneklem verilerine dayanarak tahmin

edilen değerler (sayılar) olduğunda; , ’nin %100(1 − 𝛼) aralık tahmini adını alır. Aynı zamanda %100(1 − 𝛼) bir güven aralığıdır. Geleneksel olarak 𝛼 = 0.01, 𝛼 =0.05 veya 𝛼 = 0.10 ‘dur. Bu nedenle %99 güven aralığı, %95 güven aralığı veya %95 güven aralığı elde ederiz.

Güven aralıkların yorumlanması çok dikkat ister. Aralık tahmin prosedürlerinin özellikleri tekrarlanan örnekleme kavramına dayanır. Eğer n boyutunda pek çok rassal

örneklem seçilir, her örneklem için en küçük kareler tahmini ve onun standart hatası

‘i hesaplanır ve sonra her örneklem için aralık tahmini oluşturulur ise, oluşturulan aralıkların %100(1 − 𝛼) kadarı gerçek parametre içerir.

Herhangi bir aralık tahmini, örneklem verisine bağlı olarak, gerçek parametre ‘yi

barındırabilir veya barındırmaz. bilinmediği için barındırıp barındırmadığı hiçbir zaman bilinmez.

2 21 1ˆ ˆ ix

ˆ1ˆ( )

i ic cP t t

Se

i

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 1i c i i i c iP t Se t Se

ˆ ˆ( )i c it Se ˆ ˆ( )i c it Se

i

iˆ ˆ( )i c it Se

i ˆ( )iSe

ˆ ˆ( )i c it Se i

i ˆ( )iSe

ˆ ˆ( )i c it Se

i

i

i

145

5.1.3. Açıklayıcı Uygulama: Satış Modeli

Satış gelirleri ve reklam harcamaları verilerinin kullanıldığı uygulamada n=5 ve

serbestlik derecesi n-k ‘dan 5-2=3’tür. Bir %95 güven aralığı için 𝛼 = 0.05. Kritik değer 𝑡𝑐 =𝑡(1−𝛼/2,𝑛−2) = 𝑡(0.0975,3) = 3.182 serbestlik derecesi 3 olan 𝑡-dağılımından 97.5 persentildir. Böylece olasılık ifadesi için aşağıdaki gibidir.

‘in en küçük kareler tahmini ve onun standart hatası

Kullanılarak için olasılık ifadesi aşağıdaki gibi yazılır.

Buradan için bir ``%95 güven aralığı tahmini’’ aşağıdaki gibidir.

Bir firmanın yıllık reklam harcamaları 1 birim artmasıyla satış gelirlerinin ile

arasında bir değişiklik göstereceğini %95 güvenle tahmin ediyoruz.

Peki, gerçekten de aralığında mı? Bu sorunun cevabını bilmiyoruz ve hiçbir zaman da bilemeyeceğiz. Bildiğimiz ise; kullandığımız prosedür aynı anakütleden alınan pek çok rassal örnekleme uygulandığında bu prosedür kullanılarak oluşturulmuş aralık tahminlerinin %95 ’i gerçek parametreyi içerecektir. Aralık tahmini prosedürü zamanın %95 ’inde ``çalışıyor’’. Aralık tahminimizle ilgili olarak, tek örneklemimize dayanarak, prosedürün güvenilirliği verili iken eğer , aralığında olmazsa şaşıracağımızı söyleyebiliriz.

’nin aralık tahmininin yararı nedir? Regresyon sonuçlarını rapor ederken her zaman

bir nokta tahmini veririz, mesela gibi. Ancak tek başına nokta tahmini güvenilirliği açısından hiçbir anlam taşımaz. Dolayısıyla bir aralık tahmini de sunabiliriz. Aralık tahminleri hem nokta tahminini hem de en küçük kareler tahmincisinin değişkenliğinin bir ölçümü olan tahminin standart hatasını hesaba katar. Aralık tahmini örneklem boyutu için de bir tahsis içerir çünkü daha düşük serbestlik dereceleri için 𝑡-dağılımı kritik değeri 𝑡𝑐 daha büyüktür. Bir aralık tahmini genişse (büyük bir standart hatayı getirir), örneklemde hakkında çok fazla bilgi

1

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 1c cP t Se t Se

1 1 1.2

1 1ˆ ˆ( ) ( ) 0.293 0.541Se Var

1

11.2 3.182 0.541 1.2 3.182 0.541 0.95P

1

1 1ˆ ˆ( ) 1.2 3.182 0.541 0.52;2.92ct Se

0.522.92

1 0.52;2.92

1 0.52;2.92

1

1 1.2

1

146

olmadığı anlamına gelir. Eğer aralık tahmini darsa hakkında daha fazla şey öğrendiğimizi gösterir.

için aralık tahmini yapmak istersek, ‘in en küçük kareler tahmini ve onun

standart hatası

kullanılarak için olasılık ifadesi aşağıdaki gibi yazılır.

Buradan için bir ``%95 güven aralığı tahmini’’ aşağıdaki gibidir.

Bir firmanın yıllık reklam harcamalarının dışındaki unsurların satış gelirlerinde

ile arasında bir değişiklik göstereceğine %95 güvenle tahmin ediyoruz.

5.2. Hipotez Testleri

Hipotez testi; bir anakütle ile ilgili olarak sahip olduğumuz varsayımı, bir veri örneklemindeki bilgiyle karşılaştırır. Bir ekonomik ve istatistiksel model verili iken, hipotezler

ekonomik davranışlar hakkında kurulur. Bu hipotezler daha sonra model parametreler hakkında ifadeler olarak sunulur. Hipotez testleri, hipotez hakkında bir sonuca varmak için bir parametre hakkında bir veri örnekleminde bulunan bilgiyi, onun en küçük kareler tahminini ve standart

hatasını kullanır.

Hipotez testinin 5 bileşeni vardır. Bunlar

1. Temel Hipotez H0

2. Alternatif Hipotez H1

3. Test İstatistiği

4. Red Bölgesi

5. Sonuç

1

0 0 0ˆ 1

0 0ˆ ˆ( ) ( ) 3.223 1.795Se Var

0

0 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 1c cP t Se t Se

01 3.182 1.795 1 3.182 1.795 0.95P

0

0 0ˆ ˆ( ) 1 3.182 1.795 4.71;6.71ct Se

4.716.71

147

5.2.1. Temel Hipotez

ile gösterilen temel hipotez, genellikle , (i=0 veya i=1) olarak gösterdiğimiz ana kütle regresyon parametresi için bir değer belirler. Temel hipotez şeklinde yazılır ve c sıfır veya sıfırdan farklı sabit bir sayıdır. Bir temel hipotez örneklem kanıtı tarafından doğru olmadığı kanıtlanana kadar sürdürülen iddiadır. Doğru olmadığı kanıtlandığı takdirde

temel hipotezi reddedilir.

5.2.2 Alternatif Hipotez

Her temel hipotez, temel hipotez ( ) reddedildiğinde kabul edilebilecek alternatif bir hipotez ile eşleştirilir. Genellikle iktisat teorisine dayanana alternatif hipotez esnektir.

temel hipotezi için olası üç alternatif hipotez aşağıdaki gibidir:

1. alternatif hipotezi, temel hipotezini reddetmek araştırmacıyı sonucuna götürür. Eşitsizlik alternatif hipotezleri ekonomide yaygın olarak kullanılır,

çünkü ekonomik teori değişkenler arasındaki ilişkinin işareti hakkında sıkça bilgi sağlar. Örneğin, tüketim harcaması örneğinde alternatifine karşı temel

hipotezini de test etmek edilir, çünkü iktisat teorisine göre marjinal tüketim meylidir. arasında yer alacağı, negatif değer alamayacağı için alternatif hipotezin

olması gerekir.

2. alternatif hipotezi temel hipotezini reddedilmesi durumunda,

araştırmacıyı olduğu sonucuna götürür.

3. alternatif hipotezi temel hipotezini reddetmek durumunda

‘in c’den büyük veya küçük bir değer aldığı sonucuna götürür.

5.2.3. Test İstatistiği

Temel hipotez hakkındaki örneklem bilgisi, bir test istatistiğinin örneklem değerinde yer alır. Test istatistiğinin değerine dayanarak temel hipotezi reddedip reddetmeyeceğimize

karar veririz. Temel hipotez doğru iken, olasılık dağılımının bilinmesi gerekir. Eğer temel

hipotez doğruysa ‘de yerine 𝑐 ’yi koyabilir ve aşağıdaki ifade yazılabilir:

Eğer temel hipotez doğru değilse yukarıdaki 𝑡 -istatistiği n-2 serbestlik dereceli 𝑡 -

dağılımına sahip değildir.

0H i

0 : iH c

0H

1H

0 : iH c

1 : iH c i c

i c

1 1: 0H 0 1: 0H

1

10 1 1 0

1 : iH c i c

i c

1 : iH c i c i

0 : iH c ˆ ˆ( )i i it Se i

2

ˆˆ( )

i in

i

t tSe

148

5.2.4. Red Bölgesi

Red bölgesi, olası olmayan ve temel hipotez doğru iken düşük gerçekleşme olasılığına sahip değerleri içerir. Red bölgesi alternatif hipotezin nasıl kurulduğuna bağlıdır. Temel hipotezin reddine yol açan test istatistiğinin değerler aralığı red bölgesini oluşturur. Red bölgesinin oluşturabilmesi, temel hipotez doğru iken dağılımı bilinen bir test istatistiği, alternatif hipotez ve anlamlılık düzeyinin bilinmesi gerekir.

Eğer temel hipotez doğru iken reddedilirse, Birinci Tip hata yapılmış olur. Bir testin anlamlılık düzeyi Birinci Tip hata yapma olasılığıdır. Testin anlamlılık düzeyi 𝛼 genellikle

0.01, 0.05, 0.10 olarak seçilir. Eğer yanlış olan bir temel hipotezi reddedilmezse İkinci Tip hata

yapılmış olur.

5.2.5. Karar

Bir hipotezi test etmeyi bitirdiğinizde sonucunuzu ortaya koymalıyız. Ancak temel hipotezin ``kabul edildiği’’ sonucunu yanıltıcı olabilir, alternatif hipotez reddedilmiş ise “temel hipotezin reddi için bir neden yoktur” sonucu daha gerçekçidir. Ayrıca sonucun, ekonomik anlamında ne ifade ettiğini belirtmek gerekir.

5.3. Özel Alternatif Hipotezlerde Red Bölgeleri

Bu bölümde temel hipotezinin üç olası alternatifi detaylı incelenecektir. Yukarıda görüldüğü üzere temel hipotez için bir red bölgesi elde etmek için öncelikle bir test istatistiği olmalıdır. İkinci olarak belirli bir alternatife ihtiyacımız vardır ki; bu alternatif , veya olmak üzere üç şekilde kurulabilir. Üçüncü olarak testin anlamlılık düzeyinin belirlenmesi gerekecektir. Daha öncede ifade edildiği üzere bir testin anlamlılık düzeyi 𝛼 temel hipotez doğru iken temel hipotezi reddetme olasılığıdır (Birinci Tip Hata) .

5.3.1. Alternatif Hipotez “ Büyüktür (>)” ise Tek Kuyruk Testleri

temel hipotezini test ederken, eğer alternatifi doğru ise 𝑡 -

istatistiğinin değeri 𝑡-dağılımı için normalde olduğundan daha büyük olma eğilimi gösterir. Eğer test istatistiği anlamlılık düzeyi 𝛼 için kritik değerden daha büyükse temel hipotez reddedilir. Sağ kuyrukta 𝛼 olasılığını bırakan kritik değer, Şekil 11’de gösterildiği gibi (1 − 𝛼)

persentil 𝑡(1−𝛼,𝑛−2)’dır.

Örneğin, eğer n=28 ve 𝛼 = 0.05 ise n-2=26 olacak t-tablodan kritik değer, 95’inci

persentil değeri 𝑡(0.95,26) = 1.706’dir.

0 : iH c

i c

i c i c

0 : iH c 1 : iH c

149

Red kuralı:

temel hipotezini alternatif hipotezine karşı test ederken

ise temel hipotezi reddedin ve alternatif hipotezi kabul edin.

Şekil 11: hipotezine karşı hipotezinin tek kuyruk testinin red bölgesi .

Test, ‘tek kuyruk’ testi adını alır çünkü 𝑡-istatistiğinin olası olmayan değerleri olasılık dağılımının sadece tek bir kuyruğuna düşer. Eğer temel hipotez doğru ise

test istatistiği bir 𝑡-dağılımına sahiptir ve değerleri 1 − 𝛼 olasılığıyla red bölgesi olmayan alana düşer. Eğer 𝑡 < 𝑡(1−𝛼,𝑛−2) ise temel hipoteze karşı istatistiksel olarak belirgin hiçbir kanıt yoktur ve hipotezi reddetmeyiz.

5.3.2. Alternatif Hipotez “ Küçüktür (<)” İse Tek Kuyruklu Testleri

Eğer alternatif hipotezi doğru ise 𝑡-istatistiğinin değeri normalde 𝑡-dağılımı için olduğundan daha küçük olma eğilimi gösterir. Eğer test istatistiği anlamlılık düzeyi 𝛼 için olan kritik değerden daha küçükse temel hipotez reddedilir. Sol kuyrukta 𝛼 olasılığı bırakan kritik değer 𝛼-persentil 𝑡(𝛼,𝑛−2)’dir.

Kritik değerlerin yerlerini belirlemek için t-tablosunu kullanırken 𝑡-dağılımının sıfır etrafında simetrik olduğu için, 𝛼-persentil 𝑡(𝛼,𝑛−2), (1 − 𝛼)-persentil 𝑡(1−𝛼,𝑛−2)’nin negatifidir.

Örneğin, n=30 ve 𝛼 = 0.05 ise n − 2 = 28 ise t-tablodan 𝑡-dağılımının 95. persentili 𝑡(0.95,28) = 1.701 ve 5. persentil değeri 𝑡(0.05,28) = −1.701’dir.

Red kuralı:


ise temel hipotezi reddedin ve alternatif hipotezi kabul edin.

0 : iH c 1 : iH c

1 , 2nt t

0 : iH c 1 : iH c

0 : iH c

ˆ ˆ( )i i it Se

1 : iH c

0 : iH c 1 : iH c

, 2nt t

150

Şekil 12: hipotezinin hipotezine karşı tek kuyruk testinin red bölgesi

Red bölgesi dışındaki bölge 𝑡(𝛼,𝑛−2) değerinden büyük 𝑡-istatistiği değerlerini kapsar. Temel hipotez doğru iken böyle bir 𝑡-değerini elde etme olasılığı 1 − 𝛼’dır ki büyük olarak seçilir. Dolayısıyla eğer 𝑡 > 𝑡(𝛼,𝑛−2) ise hipotezi reddedilmez.

5.3.3. Alternatif Hipotez “ Eşit Değildir (≠)” Olduğunda Çift Kuyruk

Testleri

temel hipotezini test ederken, eğer alternatif hipotezi doğru ise 𝑡-istatistiğinin değeri alışılmış 𝑡-dağılımı değerinden daha küçük veya daha büyük olma eğilimi gösterir. Anlamlılık düzeyi 𝛼 ile bir test elde etmek için 𝑡-istatistiğinin her kuyruğa düşme olasılığı 𝛼/2 olacak şekilde kritik değerler tanımlanır. Sol kuyruk kritik değeri persentil 𝑡(𝛼/2,𝑛−2) ve sağ kuyruk kritik değeri persentil 𝑡(1−𝛼/2,𝑛−2) ’dir. Eğer test istatistiği 𝑡 ≤𝑡(𝛼/2,𝑛−2) veya 𝑡 ≥ 𝑡(1−𝛼/2,𝑛−2) ise temel hipotezi alternatifinin lehine

reddederiz.

Örneğin, eğer n=32 ve 𝛼 = 0.05 ise 𝑛 − 2 = 30 olacak 𝛼/2 = 0.025 ve sol kuyruk

kritik değeri 2.5-persentil değeri 𝑡(0.025,30) = −2.042 ; sağ kuyruk kritik değeri 97.5-

persentil 𝑡(0.975,30) = 2.042’dir. Sağ kuyruk kritik değeri t-tablodan alınır ve sol kuyruk kritik değeri de simetri özelliği kullanılarak bulunur.

Şekil 13: hipotezinin hipotezine karşı bir testinin red bölgesi .

0 : iH c 1 : iH c

0 : iH c

0 : iH c 0 : iH c

0 : iH c 0 : iH c

0 : iH c 0 : iH c

151

Red bölgesi 𝑡-dağılımının sağ ve sol kuyruğundaki parçalarından oluştuğu için, bu test çift kuyruk testi adını alır. Temel hipotez doğru iken, 𝑡-dağılımının herhangi bir kuyruğuna düşen bir değer elde etme olasılığı ``düşüktür’’. Kuyruk olasılıklarının toplamı 𝛼’ya eşittir.

Red kuralı:


veya ise temel hipotezi reddedin ve alternatif hipotezi kabul edin. Kısaca 𝑡(𝛼/2,𝑛−2) < 𝑡 < 𝑡(1−𝛼/2,𝑛−2) ise temel hipotezi reddetmeyiz.

5.4. Hipotez Testi Örnekleri

Hipotez testinin işleyişini tüketim harcaması örneği ile gösterilecek, sağ kuyruk, sol kuyruk ve çift kuyruk testlerinin örnekleri verilecektir. Hipotez testi bileşenleri listesini takip ederek tarif edilmiş adımları izliyoruz. Bütün hipotez testi problemleri ve durumları için standart bir prosedür şöyledir:

5.4.1. Sağ-Kuyruk Testleri

5.4.1.1. Tek Kuyruklu Anlamlılık Testi

Modelimizi belirlediğimizde genellikle ilk hedefimiz değişkenler arasında bir ilişki olup olmadığına bakmaktır. Eğer ise tüketim harcaması ile gelir arasında doğrusal ilişki yoktur. Ekonomik teori tüketim harcamalarının zorunlu olduğunu ve gelir arttıkça tüketim harcamalarının da artacağını söyler, dolayısıyla .

Örnek 1’den ’in EKK tahmini değeri sıfırdan büyüktür. İktisadi açıdan marjinal tüketim meylini veren tahminin pozitif işaretli hesaplanması, diğer bir ifade ile sadece tahminin doğru işarete sahip olduğunu gözlemlemek bilimsel bir kanıt oluşturmaz. Bizi sonucuna götürecek ikna edici veya anlamlı istatistiksel kanıt olup olmadığını belirlemek

isteriz. Bir parametrenin sıfır olduğu temel hipotezi test ederken tahmin ‘nin sıfırdan belirgin (anlamlı) şekilde farklı olup olmadığını sorarız, bu test anlamlılık testi adını alır.

Bir istatistiksel test prosedürü, temel hipotezin doğruluğunu kanıtlayamaz. Bir temel hipotezi reddedemediğimizde hipotez testinin elde edebildiği tek şey veri örneklemindeki bilginin temel hipotezle bağdaşır olduğudur. Tersi şekilde, bir istatistiksel test, temel hipotez

doğru iken küçük bir 𝛼 reddetme olasılığı ile bizi temel hipotezi reddetmeye götürebilir. Dolayısıyla bir temel hipotezi reddetmek onu reddedememekten daha güçlü bir sonuçtur. Bu nedenle temel hipotez genellikle teorimiz doğru olduğunda temel hipotezi reddedeceğimiz şekilde kurulur. Örneğimizde, tüketim teorisi gelir ile tüketim harcaması arasında pozitif bir ilişki olması gerektiğini söyler. Biz, bir hipotez testi kullanarak bu teoriyi destekleyecek istatistiksel kanıt oluşturmayı istiyoruz. Bu amaçla değişkenler arasında hiçbir ilişki olmadığı

0 : iH c 1 : iH c

2, 2nt t 2, 2n

t t

1 0

1 0

1 1 0.61

1 0

1

152

temel hipotezini kurar, alternatif hipoteze oluşturmayı istediğimiz varsayımı yerleştiririz. Eğer temel hipotez reddedilirse sadece küçük bir hata yapma olasılığı

(𝛼) ile 𝛽1’nin pozitif olduğunu da belirterek direkt bir açıklama yapılabilir.

Bu hipotez testinin adımları şöyledir:

1. Temel ve alternatif hipotezler:

2. Test istatistiği:

Burada 𝑐 = 0 olduğu için, eğer temel hipotez doğru ise;

3. 𝛼 = 0.05 olarak alınırsa sağ kuyruk red bölgesi için kritik değer 𝑛 − 2 = 8

serbestlik dereceli 𝑡-dağılımının 95’inci persentili, 𝑡(0.95,8) = 1.86’dir. Dolayısıyla eğer 𝑡’nin

hesaplanan değeri 𝑡 ≥ 1.86 ise temel hipotez rededilecektir. Eğer 𝑡 < 1.86 ise temel hipotez

rededilemez.

4. Gelir ve tüketim harcaması verilerini kullanarak ve standart hata

hesaplanmıştı. Test istatistiğinin değeri aşağıda verilmiştir:

𝑡 = 12.2 > 1.86 olduğundan temel hipotezini reddederiz ve

alternatifini kabul ederiz. Yani, gelir ile tüketim harcaması arasında ilişki olmadığı hipotezini reddeder ve hanehalkı geliri ile tüketim arasında harcaması arasında istatistiksel olarak anlamlı bir pozitif ilişki olduğunu söyleriz.

Bu örnekte temel hipotezi reddedemeyecek olsaydık? Ekonomik teorinin yanlış olduğu ve gelir ile tüketim harcaması arasında hiçbir ilişki olmadığı sonucuna mı varacaktık? Hayır. Bir temel hipotezi reddedememek, temel hipotezin doğru olduğu anlamına gelmez.

0 1: 0H

1 1: 0H

0 1: 0H

1 1: 0H

1 1

1

ˆˆ( )

tSe

1

1

ˆˆ( )

tSe

1 0.61

1 .ˆ 0 05Se

1

1

ˆ 0.6112.2ˆ 0.05( )

tSe

1 0 1 0

153

5.4.1.2. Tüketim Modeli İçin Tek Kuyruk Testi

Örnek 1 sonuçlarına dayanarak, ana kütle marjinal tüketim meylinin 0.50 olduğu

hipotezini test etmek isteyelim. ’in EKK tahmini ki bu değer 0.50’den büyüktür. Belirlemek istediğimiz ise, elimizdeki veriye dayanarak sonucuna götürecek ikna

edici istatistiksel kanıt olup olmadığıdır. Bu ise sadece ’ye bağlı değil, aynı zamanda

ile ölçülen kesinliğine de bağlıdır.

Şu ana kadar temel hipotezi hep gibi eşitlikler şeklinde yazdık. Bu temel hipotez çok kısıtlı çünkü olması teorik olarak mümkündür. Hipotez testi prosedürleri açısından temel hipotezini alternatifine karşı test etmek,

hipotezini alternatif hipotezine karşı test etmeyle tamamen aynıdır. Test istatistiği ve red bölgesi her ikisi için de aynıdır. Sağ kuyruk testi için temel hipotezi elinizdeki probleme göre bu yollardan herhangi biriyle oluşturabilirsiniz.

Bu hipotez testinin adımları şöyle:

5. Temel hipotez, alternatif hipotez

veya

6. Eğer temel hipotez doğru ise test istatistiği aşağıdaki gibidir.

7. 𝛼 = 0.01 olarak seçelim. Sağ kuyruk red bölgesi için kritik değer 𝑁 − 2 = 38

serbestlik dereceli 𝑡 -dağılımının 99’uncu persentili, 𝑡(0.99,8) = 2.896 ’dır. Eğer hesaplanan değer 𝑡 > 2.896 ise temel hipotezi reddedeceğiz. Eğer 𝑡 < 2.896 ise temel hipotezi

reddetmeyeceğiz.

8. Tüketim harcaması verilerini kullanarak ve standart hatası

‘dır.

Test istatistiğinin değeri aşağıda verilmiştir:

1 1 0.61

1 0.50

1

1( )Se

1 0.50

1 0.50

0 1: 0.50H 1 1: 0.50H

0 1: 0.50H 1 1: 0.50H

0 1: 0.50H 0 1: 0.50H

1 1: 0.50H 1 1: 0.50H

1 1 1

1 1

ˆ ˆ 0.50ˆ ˆ( ) ( )

tSe Se

1 0.61

1( ) 0.05Se

1 1

1

ˆ 0.61 0.50 0.112.2ˆ 0.05 0.05( )

tSe

154

𝑡 = 2.25 < 2.429 olduğu için temel hipotezinin reddi için bir neden yoktur.

5.4.2. Sol-Kuyruk Testleri

Bütünlük için sol kuyruktaki red bölgesi ile bir test oluşturacağız. Ana kütle marjinal tüketim meylinin 0.75 olduğu hipotezini test edelim. temel hipotezini ve

alternatif hipotezini ele alın. Red bölgesi, alternatif hipotezdeki okun < yönündedir. Bu bize red bölgesinin 𝑡 -dağılımının sol kuyruğunda olduğunu söyler. Bu hipotez testinin adımları aşağıdaki gibidir:


veya


11. 𝛼 = 0.05 olarak seçelim. Sol kuyruk red bölgesi için kritik değer 𝑛 − 2 = 8

serbestlik dereceli 𝑡-dağılımının 5’inci persentili, 𝑡(0.05,8) = 1.86 . Eğer hesaplanan değer 𝑡 <1.86 ise temel hipotezi reddedeceğiz. Eğer 𝑡 > 1.86 ise temel hipotezi reddetmeyeceğiz.

12. Tüketim harcaması verilerini kullanarak, ve standart hatası

’tir. Test istatistiğinin değeri aşağıda verilmiştir:

𝑡 = −0.028 > −1.86 olduğu için temel hipotezini kabul eder ve

alternatifini reddederiz.

5.4.3 Çift Kuyruklu Testler

5.4.3.1. Tüketim Modeli için Çift Kuyruklu Testi

Tüketim modelimiz çerçevesinde, Marjinal tüketim meylinin 0.55’e eşit olup olmadığını test edebiliriz. Buna göre ile gösterebilir, bunun doğru olup olmadığını test etmek istiyorsak, alternatiftir. Bu alternatif ’in 0.55’ten daha büyük veya daha küçük olacağı iddiasında bulunmaz, sadece 0.55 olmadığını savunur. Bu tip durumlarda çift kuyruk testini aşağıdaki gibi kullanırız:

1 0.50

1 0.75 1 0.75

0 1

0 1

: 0.75

: 0.75

H

H

0 1

0 1

: 0.75

: 0.75

H

H

1 1 1

1 1

ˆ ˆ 0.50ˆ ˆ( ) ( )

tSe Se

1 0.61

1( ) 0.05Se

1 1

1

ˆ 0.61 0.75 0.140.028ˆ 0.05 0.05( )

tSe

1 0.75 1 0.75

1 0.55

1 0.55 1

155



3. 𝛼 = 0.05 olarak seçelim. Bu çift kuyruk testi için kritik değerler 2.5-persentil 𝑡(0.025,8) = −2.306 ve 97.5 persentil 𝑡(0.975,8) = 2.306 . Dolayısıyla eğer 𝑡 ’nin hesaplanan

değeri 𝑡 ≥ 2.306 veya 𝑡 ≤ −2.306 ise temel hipotezi reddedeceğiz. Eğer −2.306 < 𝑡 <2.306 ise temel hipotezi reddetmeyeceğiz.

4. Tüketim harcaması verileri için, ve standart hatası ‘dır. Test istatistiğinin değeri aşağıda verilmiştir:

−2.206 < 𝑡 = 1.2 < 2.206 olduğu için temel hipotezini reddetmeyiz.

Burada dikkat edilmesi gereken nokta, bu test sonucuna göre olduğu sonucuna

ulaşılmaz, sadece verilerin bu parametre değeriyle bağdaşıyor olmadığını söylüyoruz. Çok önemli bir husus, hipotez testinin temel hipotezin doğru olduğunu kanıtlamak için kullanılamayacağıdır.

Eğer temel hipotezi hipotezine karşı test ediliyorsa,, 𝑡𝑐 =𝑡(1−𝛼/2,𝑁−2) ‘den

güven aralıkları oluşturulur. Verilen anlamlılık düzeyi 𝛼’da 𝑐 güven aralığı içerisinde ise, temel hipotez reddedilmez. Eğer 𝑐 güven aralığı dışında ise temel hipotez reddedilir. Bu kural sadece çift kuyruk testleri için geçerlidir.

0 1: 0.55H

1 1: 0.55H

1 1 1

2

1 1

ˆ ˆ 0.55ˆ ˆ( ) ( )

nt t

Se Se

1 0.61 1( ) 0.05Se

1 1

1

ˆ 0.61 0.55 0.061.2ˆ 0.05 0.05( )

tSe

1 0.55

1 0.55

0 : iH c 1 : iH c

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )i c i i c it Se c t Se

156

5.4.3.2. Çift Kuyruklu Anlamlılık Testi

Hipotez testinin amacı değişkenler arasında bir ilişkinin olup olmadığını belirlemek ise temel hipotez ’dır, diğer bir ifade ile, bağımlı değişken ile bağımsız değişken arasında hiçbir doğrusal ilişki olmadığıdır. olan alternatif bir ilişkinin var olduğu anlamına gelir ama değişkenler arasındaki ilişki pozitif de olabilir negatif de olabilir. Bu, bir anlamlılık testinin

en yaygın şeklidir. Testin adımları aşağıdaki gibidir:

1. Temel hipotez alternatif hipotez


3. 𝛼 = 0.05 olarak seçelim. Çift kuyruk test için kritik değerler 2.5-persentil 𝑡(0.025,8) = −2.306 ve 97.5-persentil 𝑡(0.975,8) = 2.306′dır Eğer 𝑡’nin hesaplanan değeri 𝑡 ≥2.306 veya 𝑡 ≤ 2.306 ise temel hipotezi reddedeceğiz. Eğer −2.306 < 𝑡 < 2.306 ise temel

hipotezi reddetmeyeceğiz.

4. Tüketim harcaması verileri için, ve standart hatası ’tir. Test istatistiğinin değeri aşağıda verilmiştir:

5. 𝑡 = 12.2 > 2.024 olduğu için temel hipotezini reddederiz ve bağımlı değişken ile bağımsız değişken arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki olduğu sonucuna varırız.

Önemli not: İstatistik olarak anlamlı ifadesi her zaman iktisadi açıdan anlamlı olduğu anlamına gelmez.

1 0

1 0

0 1: 0H

1 1: 0H

1 1 1

2

1 1

ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )

nt t

Se Se

1 0.61 1( ) 0.05Se

1

1

ˆ 0.61 0.6112.2ˆ 0.05 0.05( )

tSe

1 0

157

Uygulama Soruları

Tahmin edilen bir basit regresyon modelinde, 24 gözleme dayanarak, tahmin edilen

eğim parametresi 0.310 ve tahmin edilen standart hata 0.082’dir.

Buna göre aşağıdaki 1-5 arası soruları cevaplandırınız.

1) Eğimin sıfır olduğu hipotezini sıfır olmadığı alternatifine karşı %1 anlamlılık düzeyinde test edin.

Temel hipotez, alternatif hipotez

𝛼 = 0.01 olarak seçelim. Çift kuyruk test için kritik değerler 2.5-persentil 𝑡(0.025,22) =−2.819 ve 97.5-persentil 𝑡(0.975,22) = 2.819′dır Eğer 𝑡’nin hesaplanan değeri 𝑡 ≥ 2.819 veya 𝑡 ≤ 2.819 ise temel hipotezi reddedeceğiz. Eğer −2.819 < 𝑡 < 2.819 ise temel hipotezi

reddetmeyeceğiz.

Test istatistiğinin hesaplanan değeri;

için hipotezi reddedilir, eğim parametresi istatistiksel açıdan anlamlıdır. İlgili değişken modelde yer almalıdır.

2) Eğimin sıfır olduğu hipotezini pozitif olduğu alternatifine karşı %1 anlamlılık düzeyinde test edin.


𝛼 = 0.01 olduğuna göre sağ kuyruk red bölgesi için kritik değer 24 − 2 = 22

serbestlik dereceli 𝑡 -dağılımının 95’inci persentili, 𝑡(0.95,22) = 2.508 ’dir. Dolayısıyla eğer 𝑡’nin hesaplanan değeri 𝑡 ≥ 2.508 ise temel hipotez reddedilecektir. Eğer 𝑡 < 2.508 ise temel

hipotez reddedilemez.

Test istatistiğinin hesaplanan değeri bir önceki soru ile aynıdır.

0 1: 0H

1 1: 0H

1

1

ˆ 0.3103.78ˆ 0.082( )

tSe

3.78 2.819t t 0H

0 1: 0H

1 1: 0H

158

𝑡 = 3.78 > 2.508 olduğundan, temel hipotezini reddederiz ve

alternatifini kabul ederiz.

3) Eğimin sıfır olduğu hipotezini negatif olduğu alternatifine karşı %5 anlamlılık düzeyinde test edin.


Red bölgesi değerleridir. Test istatistiğinin hesaplanan değeri yine aynıdır.

için temel hipotez reddedilemez.

4) Tahmin edilen eğimin 0.5 olduğu hipotezini 0.5 olmadığı alternatifine karşı %5 anlamlılık düzeyinde test edin.


Red bölgesi veya ‘dir. Hesaplanan test istatistiğin değeri

olduğu için temel hipotez reddedilir.

5) Eğimin bir %99 aralık tahminini elde edin.

10 seçim dönem verilerini kullanılarak seçim sonuçları ile büyüme arasında ilişkinin araştırıldığı regrseyon modelinin sonuçları aşağıda raporlanmıştır.

1

1

ˆ 0.3103.78ˆ 0.082( )

tSe

1 0 1 0

0 1: 0H

1 1: 0H

1.717t

1

1

ˆ 0.3103.78ˆ 0.082( )

tSe

3.78 1.717t

0 1: 0.50H

1 1: 0.50H

2.074t 2.074t

1 1

1

ˆ 0.310 0.052.32ˆ 0.082( )

tSe

2.32 2.074t 0H

1 1ˆ ˆ( ) 0.310 2.819(0.082) (0.079;0.541)ct Se

159

Aşağıdaki 6- 7 arası soruları yukarıda verilen modele göre cevaplandırın.

6) Regresyon modelini kullanarak, (%5 anlamlılık düzeyinde) ekonomik

büyümenin yönetimdeki partinin kazandığı oy yüzdesinde hiçbir etkisi olmadığı temel hipotezini test edin. Bir alternatif hipotez ve red bölgesi seçin. Seçiminizi açıklayın.


Eğer büyüme oy oranını etkilerse, bu etki poztif bir etki olacağı için alternatif hipotez, büyüme varsayımı altında olrak belirlenir. Red bölgesi ‘dir. hesaplanan test

istatistiği

olduğu için reddedilir. Büyümenin oy oranı üzerinde pozitif etkisi

vardır.

7) için %95 aralık tahmini oluşturun ve yorumlayın.

Büyüme %1 artarsa oy oaranı %0,283791 ile %1,036009 arasındaki bir değer artacaktır.

Yukardaki modelin sonuçlarını kullarak 8-9 arası soruları cevaplandırınız.

8) (*) yerine hangi değer gelmelidir?

ˆ 51.939 0.6599

ˆ( ) 0.675 0.1631i

OYORANI BO

Se

0 1: 0H

1 1: 0H

1 1: 0H 1.86t

1

1

ˆ 0.65994.046ˆ 0.1631( )

tSe

4.046 1.86t 0H

1

1 1ˆ ˆ2.306 0.6599 2.306 0.1631

(0.283791;1.036009)

Se

4,20 (**)

ˆ( ) (*) (0,002)

(2.016) (4.817)

i

i

Y X

Se

t

00

0 0

2.08ˆ 4.20 ˆ2.016 ( )ˆ ˆ)

3( (

33)

3t SeSe Se

160

9) (**) yerine hangi değer gelmelidir?

1 11

1

ˆ ˆ ˆ4.81 0.07ˆ 0.002( )09634t

Se

161


Klasik doğrusal regresyon modelinin ilk altı varsayımı altında ve verilen bir anlamlılık düzeyinde ana kütle parametrelerinin aralık tahminlerini oluşturabiliriz. Klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımları altında t- istatistikleri t-dağılımına sahiptirler. Ana

kütle parametresi için tek veya çift taraflı hipotez testlerini uygulayabiliriz.

162

Bölüm Soruları

1) Aşağıdaki modelde eğimin sıfır olduğu hipotezini sıfır olmadığı alternatifine karşı %5 anlamlılık düzeyinde test edilirse, aşağıdaki şıklardan hangisi yanlıştır?

a) , ,

b) Red bölgesi veya

c) Test istatistiği 9.857143’ e eşittir.

d) Serbestlik derecesi 18’dir.

e) Temel hipotez kabul edilir.

2) Soru 1’deki eğim katsayısının güven aralıkları aşağıdakilerden hangisidir?

a) (0.54293;1.23293)

b) (1.27450;1.59012)

c) (-0.08529; 2.7256)

d) (0.03692; 1.62491)

e) (0.59310;1.542915)

3) Aşağıdaki boşluklara hangi değerler gelmelidir?

a) *=3400,119 ; **=47.15052

b) *=47.15052 ; **=8.247595

c) *=3.426023 ; **=47.15052

d) *=3.426023 ; **=8.247595

e) *=2.965108 ; **= 54.895301

104.02 0.69 20

ˆ (18.62) (0.07)i

Y X n

Se

0 1: 0H 1 1: 0H

2.101t 2.101t

107.93 (**)

ˆ( ) (31.503) (19.72)

(*) (2.391)

i

i

Y X

Se

t

163

4) Aşağıdakilerden hangisi hipotez testinin bileşeni değildir?

a) Temel Hipotez H0, Alternatif Hipotez H1

b) Güven aralığının oluşturulması

c) Test İstatistiği

d) Red Bölgesi

e) Sonuç

5) t-dağılımı normal dağılıma göre …….., varyanslı, …….. ve ……….. kuyrukludur.

Yukarıdaki boşluklara sırasıyla gelmesi gerekenler aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir?

a) daha büyük ; basık ; kalın

b) daha küçük; basık; kalın

c) daha büyük ; sivri; kalın

d) daha küçük ; sivri; ince

e) daha küçük ; basık; ince

6) Aşağıda sonuçları raporlanmış regresyon modelinde eğim parametresinin

anlamlılık seviyesinde güven aralığı ve tablo değeri aşağıdakilerde hangisidir?

,

a)

b)

c)

0.05

2 ˆˆ ˆ20.858 1.942 17 3.96, (3.05) (0.026)t t iY X n Se

(0.975;15) 1 (0.975;15)

(0.975;15)

1.942 0.026 1.942 0.026 1

2.131

P t t

t

(0.95;17) 1 (0.95;7)

(0.95;17)

1.942 0.026 1.942 0.026 1

1.740

P t t

t

(0.975;15) 1 (0.975;15)

(0.975;15)

ˆ1.942 0.026 1.942 0.026 1

2.131

P t t

t

164

d)

e)

7) Temel hipotez doğru iken reddedilirse ……. yapılmış olur, bir testin

………………… birinci tip hata yapma olasılığıdır.


a) ikinci tip hata; anlamlılık düzeyi

b) birinci tip hata; anlamlılık düzeyi

c) birinci tip hata;

d) ikinci tip hata ;

e) ikinci tip hata, güven aralığı

8) Basit regresyon modeli ile tahmin edilen tüketim modeli sonuçlarına dayanarak marjinal tüketim meylinin 0.53’ten büyük olduğu alternatifine karşın 0.53’e eşit olduğu temel hipotezinin anlamlılık düzeyinde testi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? (Gözlem sayısı 30’a eşittir.)

a) ,

b) Test istatistiği

c) Tablo değeri

d) Tek taraflı tek yapılması gerekir.

e) Örnek verilerinden ve olarak hesaplanmış ise, test

istatistiği (-0.07178)’e eşittir.

(0.975;17) 1 (0.975;17)

(0.975;17)

ˆ1.942 0.026 1.942 0.026 1

2.110

P t t

t

(0.975;17) 1 (0.975;17)

(0.975;17)

1.942 0.026 1.942 0.026 1

2.110

P t t

t

1

1

0.10

0 1: 0.53H 1 1: 0.53H

1 1ˆ ˆ0.53t Se

0.975;282.048ct t

1 0.40 1 1.811Se

165

9) Aşağıdakilerden hangisi eğim parametresinin anlamlılık testi için hipotezleri, test istatistiğini ve kararı verir?

a) ; ; temel hipotezin

kabul bölgesi

b) ; ; temel hipotezin

kabul bölgesi

c) ; ;

temel hipotezin kabul bölgesi

d) ; ;

temel hipotezin kabul bölgesi

e) ; ; temel hipotezin

kabul bölgesi


a) Temel ve alternatif hipotezlerde ana kütle parametresi yer alır.

b) Gelenek anlamlılık düzeyleri 0.01, 0.05 ve 0.10’dur.

c) Tek taraflı hipotez testi uygulanıyorsa alternatif hipotezin kuruluşuna göre red kuralı veya ‘dir.

d) Anlamlılık testi sonucunda temel hipotez kabul edilirse ilgili değişken bağımlı değişkeni etkilemediği sonucuna varılır.

e) Parametrenin anlamlılık testi iktisat teorisine göre eşit, büyük ve küçük olmak üzere üç şekilde uygulanabilir.

Cevaplar

1) e, 2) a, 3) c, 4) b, 5) a, 6) a, 7) b, 8) c, 9) a, 10) e

0 1: 1H 1 1: 1H 1 1ˆ ˆt Se 1 2; 2;n k n k

t t t

0 1: 0H 1 1: 0H 1 1ˆ ˆt Se 2; 2;n k n k

t t t

0 1: 0H 1 1: 0H 1 1ˆ ˆt Se

2;n kt t

0 1: 0H 1 1: 0H 1 1ˆ ˆt Se

2;n kt t

0 1: 0H 1 1: 0H 1 1ˆ ˆt Se 2; 2;n k n k

t t t

1 ,n kt t ,n k

t t

166

6. UYUMUN İYİLİĞİ, ÖLÇME VE ÖLÇEKLEME

167


1) Tahmin edilen regresyon doğrusunun gözlemlenen değerler uyumunu veren bir ölçü var mıdır?

2) Tahmin edilen regresyon modelindeki değişkenlerden birinin ölçü birimini değiştirirsek, regresyonu yeniden mi tahmin etmemiz gerekir? Yoksa tahmin edilmiş regresyondan yeni ölçü birimi ile bir regresyon raporlayabilir miyiz?

168



Tahmin edilen regresyon

denkleminin uygunluğu için kriterlerin neler olduğunu bilmelisiniz.

Ders notları tekrar edilerek

Toplam değişme, regresyon ile açıklanan değişme ve regresyonla açıklanamayan değişmenin anlamını ve onların belirginlik katsayısı ile nasıl ilişkili olduğunu açıklayabilmelisiniz.

Ders notları, alıştırmaları yeniden çözülmeli ve mümkün olduğunca farklı örnekler ile çalışılarak

Belirginlik katsayısından korelasyon katsayısına ve belirsizlik katsayısına geçebilmelisiniz.

Ders notları ve alıştırmalar tekrar edilerek.

Değikenlerin ölçekleri değiştirilir ise sonuçlarının ne olacağını bilmelisiniz.

Ders notları ve alıştırmaları tekrar edilerek.

169

Anahtar Kavramlar

Uyumun iyiliği

Belirginlik katsayısı

Tahminin standart hatası

Belirsizlik katsayısı

Toplam değişme

Regresyon ile açıklanan değişme

Regresyon ile açıklanamayan değişme

Veri ölçeği

170

Giriş

Derslerimiz ilerledikçe tahmin ettiğimiz parametreler ve regresyon modeli ile ilgili istatistiksel büyüklüklere de ulaşıyoruz. Bu dersimize kadar bunlardan hata teriminin varyansının, tahmin edilen parametrelerin varyanslarını ve dolayısıyla bunların kareköü olan standart hatalarını elde ettik. Bu dersimizde regresyon doğrusu uyumunun üzerinde duracağız. Regresyon doğrusu uyumundan ne anlıyoruz? Bilindiği üzere örnek regresyon doğrusu bağımlı değişkenin tahmini değerlerinden geçer. Peki, bu tahmin edilen değerlerin gözlemlenen değerlere göre konumu nedir? Bağımlı değişkenin tahmin edilen değerlerinden geçen regresyon doğrusu bağımlı değişkenin gözlemlenen (teorik) değerler ne kadar yakınsa o derece uyumludur. Bu dersimizde regresyon doğrusunun verilere uyumunu veren ölçülerin neler olduğunu, hangisinin niçin tercih edildiği üzerinde duracağız.

Ayrıca regresyon modelinin bağımlı ve/veya bağımsız değişkeninin ölçü birimi değiştirilse bunun parametreleri, standart hataları, belirginlik katsayısını nasıl değiştireceğini göreceğiz

171

6.1. Uyumun İyiliğinin Ölçülmesi

Örneklem verileri kullanılarak tahmin edilen regresyon modelinin belirlediği regresyon doğrusu, serpilme diyagramında gözlemlenen değerlerin arasından geçmektedir. Tahmin edilen modelin başarısı açısından regresyon doğrusunun verilere ne kadar yakın olduğu önemlidir. Bu

bölümde regresyon doğrusunun veriler uyumunun bir ölçüsü olan belirginlik katsayısı, tahminin standart hatası ve genelleştirilmiş r2 tanıtılacaktır. Uyumun iyiliğinin araştırılmasında bilgi kriterlerinden de yararlanmak mümkündür. Bilgi kriterlerinin başlıcaları Akaike bilgi

kriteri (AIC), Schwarz-Bayesian bilgi kriteri (BIC) ve Hannan- Quinn bilgi kriteri (HQIC)’dir.

Bu yazında bilgi kriterlerinin sadece neler olduğunu vermekle yetinecek, detaylı ele almayacağız.

6.1.1. Belirginlik Katsayısı

1.Bölümden bilindiği üzere regresyon modelindeki ( ) bağımsız değişken Xi

, “açıklayıcı değişken” olarak da adlandırılmaktadır. Bunun nedeni ise Yi’deki

değişimin, Xi’deki değişim ile “açıklanacağı” varsayılmakta, tahmin problemine bağlı olarak bağımlı değişken 𝑌𝑖’deki değişimin mümkün olduğunca büyük bir kısmını 𝑋𝑖 ‘in açıklaması arzu edilmektedir.

Yi ‘deki açıklanan değişimin bir ölçümünü geliştirmek için, Yi “açıklanabilir” ve “açıklanamayan” bileşenlerine ayrılabilir. Bağımlı değişkenin

ile gösterimindeki birinci unsur , Yi’nin açıklanabilir “sistematik” bileşeni, ikinci unsur ise Yi ‘nin açıklanamayan “rassal, sistematik olmayan” bileşenidir. Bu

parçaların her ikisini gözlemlenemezken, bilinmeyen parametreler ve ‘yi örnek verilerinden tahmin ederek, Yi ‘nin değerini benzer şekilde aşağıdaki gibi ayrıştırabiliriz.

burada önceki derslerimizden ve eşitlikleri bilinmektedir.

Yi ‘yi yukarıdaki gibi bileşenlerine ayrılabilmesi, EKK özelliklerinden örnek regresyon doğrusunun “ortalamalar noktası” noktasından geçtiği varsayımına dayanmaktadır. Buna

göre denklemini her iki tarafından örneklem ortalaması ‘yi çıkartarak aşağıdaki gibi yazmak mümkündür.

i. gözlem için;

0 1i i iY X u

i i iY E Y u

0 1( )i iE Y X

iu

0 1

ˆ î i iY Y u

0 1ˆ ˆ

i iY X ˆî i iu Y Y

,X Y

ˆ î i iY Y u Y

172

Şekil 6.1 ile gösterilen ile ortalama değeri arasındaki fark ( ; regresyon

modeli ile “açıklanan” ve regresyonla açıklanamayan ( ) olmak üzere iki parçadan

oluşmaktadır.

Şekil 14: Yi’nin açıklanan ve açıklanamayan bileşenleri

Böylece i. gözlem için ‘deki örneklem değişim

veya ile gösterilir. ‘e kadar bir örnekleme

sahip isek, bu örneklemenin örneklem ortalaması ve örneklem varyansı

olmak üzere iki tanımlayıcı ölçüsü olduğu istatistik derslerinden

bilinmektedir. Bütün örneklem için aynı değişimin hesaplanabilmesi için ‘e kadar

örneklem değerleri ‘ler ile örneklem ortalaması arasındaki farkların kareli toplamı

alınır ki; bu kareli toplam , örneklem değerlerindeki toplam değişimin

bir ölçüsüdür. ( Not: İstatistik dersinde verilen aritmetik ortalamanın özelliklerinden

olduğu bilinmektedir. Bu nedenle ‘lerin toplamı değil, karelerinin toplamı alınmaktadır. )

veya

ˆ î i iY Y Y Y u

ˆ î i iy y u

iY Y iY Y

iY Y îu

iY

ˆ î i iY Y Y Y u ˆ î i iy y u 1 2, , nY Y Y

Y

22 1y iS Y Y n 1, ,i n

iY Y

2

iY Y 2

iY Y

( ) 0i iy Y Y iy

ˆ î i iY Y Y Y u

ˆ î iY Y y

,X YˆY Y

i iY Y y

0 1ˆ ˆY X

ˆ î iY Y u

iX

X ,i iX Y

iY

0

173

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının karelerinin toplamı alınır

sonucuna ulaşılır. Burada;

= Toplam değişme olarak da adlandırılan Bütün Kareler Toplamı (BKT)’dır. Örneklem ortalaması etrafında 𝑌’deki toplam değişimin bir ölçümüdür.

= Regresyona bağlı Kareler Toplamı (RKT)’dır. Aynı zamanda “regresyonla açıklanan kareler toplamı” olarak da bilinmektedir.

= Hataya bağlı Kareler Toplamı (HKT)’dır. Aynı zamanda “açıklanamayan kareler toplamı”, “kalıntı karelerinin toplamı” veya “kareli hataların toplamı” olarak bilinmektedir

Verilen kısaltmalar kullanılarak yukarıdaki eşitlik kısaca

BKT=RKT+HKT

ile de gösterilmektedir.

Y’deki toplam değişimin, regresyon modeli ile açıklanan ve açıklanamayan olarak iki parçaya ayrıştırılması, regresyon modeli içindeki X ile açıklanan değişmenin Y’deki değişime oranı olan, belirleme katsayısı ( -re-kare, çok değişkenli regresyonda ) olarak bilinen bir

ölçümü tanımlamamıza izin verir. Şöyle ki;

veya

denklemlerinin her iki yanı toplam değişmeye (BKT) - - bölünürse

ˆ ˆi i iy y u

2 2

2 2 2

2 2 2 21

2 2 2 21

ˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 0 olduğundanˆˆ ˆ ˆ 'den

ˆ ˆ

i i i

i i i i i i i

i i i i i

i i i

y y u

y y u y u y u

y y u y x

y x u

2 2( )i iy Y Y

2 2 2 21

ˆˆ ( )i i iy Y Y x

2 2ˆˆ ( )i iu Y Y

2r 2R

2 2 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i iY Y Y Y Y Y

2 2 2ˆ ˆi i iy y u 2 2( )i iy Y Y

174

sonucuna ulaşılır. Regresyon ile açıklanabilen değişmenin toplam değişmeye oranı yukarıda da belirtildiği üzere belirginlik katsayısına ( ) eşittir.

Belirginlik katsayısını Hata Kareler Toplamı (HKT) ile de göstermek mümkündür. Bunun için

‘den aşağıdaki gibi yazılır.

için yukarıda verilenlerden başka hesaplama yolları da önerilebilir. Bunun için

eşitliğinin pay ve paydası n veya n-1’e bölündüğünde

elde edilir. Açıktır ki; terimi X bağımsız değişkeninin koşulsuz varyansına

, terimi ise Y bağımlı değişkeninin koşulsuz varyansına eşittir. Nihayet


Belirginlik katsayısı (r2), örnek regresyon doğrusunun verilere uygunluğunu gösteren bir ölçüsüdür. Bu bağlamda belirginlik katsayısı, bağımlı değişkende meydana gelen

değişmenin yüzde kaçının bağımsız değişken ve/veya değişkenlerdeki değişim tarafından açıklanabildiğini göstermektedir.

Belirginlik katsayısı arasında yer almaktadır. , 1’e ne kadar yakınsa

örneklem değerleri ( ), değerleri ile o kadar uyumlu, dolayısıyla örnek regresyon denklemi

ana kütle regresyon denklemine ( ) o nispette yakın olacaktır.

2 2

2 2

ˆ ˆ1 i i

i i

y u

y y

2r

2 2 2 212

2 2 2

ˆˆ ˆ( )

( )

i i i

i i i

Y Y y x RKTr

Y Y y y BKT

2

2

2

ˆ1 i

i

ur

y

2r

2

2

2

ˆ1 1i

i

u HKTr

y BKT

2r2 2 2 2

1 i ir x y 2

2 21 2ˆ i

i

x nr

y n

2ix n

2( )XS 2iy n 2( )YS

22 2

1 2ˆ X

Y

r

20 1r 2r

iY iY

0 1ˆ ˆˆ

iY X 0 1( )i iE Y X

175

ise, bağımlı değişkende meydana gelen toplam değişmenin tamamı (%100) bağımsız değişken(ler)deki değişim ile açıklanmaktadır. Söz konusu durum “tam uyum” olarak

bilinmektedir. olması ise eğim parametresinin =0 olması koşulana bağlıdır. Bu

durumda örnek regresyon fonksiyonu , regresyon doğrusu ise X eksenine paralel yatay

bir doğru biçimindedir.

hangi değeri almalıdır? ’yi bulma ve raporlama, değişimin farklı kaynaklarının göreli büyüklükleri hakkında bilgi vermesine rağmen, belirli bir ’nin “yeterince büyük” olup olmadığı hakkındaki tartışmalar gereksizdir. Her ne kadar ’nin 1’e yakın olması regresyon doğrusunun verilere uygunluğu göstermekte ise de, zaman serisi verilerinin kullanıldığı modellerde trendin etkisiyle yüksek ’ye, yatay kesit verilerinin kullanıldığı modellerde ise düşük ’ye rastlamak mümkündür. Yatay-kesit verisi ile çalışılırsa ’nin 0.10’dan 0.40’a

değerleri, çok değişkenli regresyon modelleri için bile kabul görür. Zaman boyunca çoğu kez birlikte değişme eğilimi olan zaman-serisi verisi kullanan makroekonomik analizde 0.90 ve

daha yüksek bir değerleri elde etmek mümkündür. Dolayısıyla regresyon doğrusunun uygunluğu konusunda ’ye göre yorum yaparken kullanılan veri türü dikkate alınmalıdır. Dolayısıyla bir istatistiktir test edilmesi gerekir. ’nin testi F-testidir ki; bu testi ilerleyen

derslerimizde öğreneceğiz. Böylece model sadece ’ye göre değil, tahminlerin işaretleri ve büyüklükleri, onların istatistiksel ve ekonomik anlamlılığı, tahminlerinin doğruluğu gibi faktörleri dikkate alarak değerlendirilmelidir.

, X ve Y’nin ölçü birimine tabi değildir. Bu özelliğiyle verilerin regresyon doğrusuna uyumunu, gösteren aşağıda ele alınacak diğer ölçü birimlerinden tahminin standart hatasına üstünlük sağlamaktadır.

Örnek kütle için ile gösterilen belirginlik katsayı, ana kütle için ile gösterilir. Şimdi belirginlik katsayından belirsizlik katsayısına geçilecektir. Bunun için,

‘den

Ve yine

‘den

eşitlikleri yazılabilir. Böylece

2 1r

2 0r 1

0ˆ

iY

2r 2r2r

2r

2r2r 2r

2r2r

2r 2r

2r

2r

2r2YX

2

2

2

îi

yr

y

2 2 2î iy r y

2

2

2

ˆ1 i

i

ur

y

2 2 2ˆ (1 )i iu r y

2 2 2ˆ î i iy y u

176

eşitliği, ve toplam değişme açısından yeniden aşağıdaki gibi yazılır.

Buradaki belirsizlik katsayısıdır ve toplam değişmenin ne kadarının regresyonda yer almayan değişkenler tarafından açıklanabildiğini gösterir. , 1’e yaklaştıkça,

ise 0’a yaklaştıkça regresyon doğrusunun verilere uyumu artacaktır.

Basit doğrusal regresyon modelinde belirginlik katsayısı ( ) ve basit korelasyon

katsayısı ( ) arasında ilişki vardır. Örneklem veri değerleri Xi ile Yi arasındaki doğrusal

ilişkinin varlığını gösteren örneklem korelasyon katsayısının karesi , basit bir regresyon

modelinde ‘ye cebirsel olarak eşittir ( ). Böylece basit regresyonda belirginlik katsayısından korelasyon katsayısına geçilebilmektedir.

İSPAT

Belirginlik katsayısı denklemi

‘da yerine eşitliği yazılırsa

elde edilir, sadeleştirme yapılırsa

sonucuna ulaşılır ki bu belirginlik katsayısıdır. Yukarıdaki denklemden anlaşılmaktadır ki, basit regresyon modeli için hesaplanan belirginlik katsayısı ( )

korelasyon katsayısının karesine eşittir, dolayısıyla belirginlik katsayısının kare kökü basit

korelasyon katsayısı verir.

Burada üzerinde durulması gereken nokta belirginlik katsayısı iken

korelasyon katsayısı değerleri arasında yer alır. Belirginlik katsayısından

2r

2 2 2 2 2(1 )i i iy r y r y 2(1 )r

2r

21 r

2r

XYr2XYr

2r2 2XYr r

2 212

2

ˆi

i

xr

y

1 1 2

ˆ i i

i

x y

x

22 2

2

2

i i i i

i

x y x xr

y

2

2

2 2

i i

i i

x yr

x y

2r

2XYr r

20 1r

1 1r

177

korelasyon katsayısına geçerken değişken arasındaki ilişkinin yönünü gösteren korelasyon

katsayısı işaretini, regresyon modelindeki ‘nin işaretinden alır.

6.1.2. Tahminin Standart Hatası

Regresyon doğrusunun verilere uygunluğunun ikinci bir ölçütü tahminin standart hatasıdır. Örnek regresyonunun standart sapması olarak da adlandırılan tahminin standart hatası, ana kütle hata terimi varyansı tahmininin ( ) kareköküdür. Hata terimi varyansının tahmini aynı zamanda regresyondan elde edilen bilginin bir ölçüsü olduğu için karekökü olan tahminin standart hatası regresyonun verilere uyumunu gösterecektir. Tahminin standart hatası aşağıdaki gibidir.

Verilerin, regresyon doğrusu etrafındaki dağılmasının ölçüsü olan tahminin standart

hatasının ( ) büyüklüğü ile arasındaki farkın büyüklüğüne bağlıdır. Bu farkın

küçük çıkması, ’lerin verilere ( )’lere yaklaştığı, böylece regresyon doğrusunun verilere uyduğunu gösterecektir.

Ancak tahminin standart hatasının uyumun iyiliği için kullanılması, aşağıda belirtilen nedenlerden dolayı sakıncalıdır.

- Tahminin standart hatası bağımlı değişkenin ölçü birimine bağlıdır. Bağımlı değişken ton ile ölçülür ise tahminin standart hatası küçük, kg ile ölçülür ise tahminin standart hatası büyük çıkacaktır.

- Tahminin standart hatası, belirginlik katsayında ( ) olduğu gibi her durum için geçerli kesin sınırları yoktur. Regresyon doğrusunun tam uyumu durumunda, diğer bir ifade ile

örnek regresyon doğrusunun değerlerinden geçtiği durumda, ile arasındaki fark sıfır olacaktır. Dolayısıyla tahminin standart hatası için alt sınır sıfırdır. Diğer uç bir durum ise uyumsuzlukta ise bir sınır getirilememektedir.

Basit korelasyon katsayı sıfır noktasından ve ölçekten bağımsızdır. Basit korelasyon katsayısı iki

değişken arasındaki doğrusal ilişkinin yönü ve derecesinin tespiti için kullanılır. r=0 ise iki değişken arasında ilişki olmadığı anlamına gelmez, doğrusal ilişkinin olmadığına işarettir. Örneğin Y=X2 ilişkisinde r=0’dır. r’nin (-) veya (+) değer alması iki değişken arasındaki örneklem ortak varyansının işaretine bağlıdır.

1

2

2 2ˆ ˆ( )ˆ

2 2

i i iY Y u

n n

iY iY

2ˆ( )i iY Y iYiY

20 1r

iY iY iY

178

6.1.3. Genelleştirilmiş ( )

Örnek regresyon doğrusunun verilere uyumunun tespiti için bir diğer seçenek ’ler ile

tahmini değeri ’ler arasındaki ilişkinin saptanmasıdır. Birçok durumda olarak da

gösterilen ve arasındaki kareli basit korelasyon, uyum iyiliği için geçerli bir ölçüdür.

Burada ’nin bulabilecek “en iyi” öngörü olduğu varsayılır. “en iyi” öngörücü, üzerinde düşünülen modele bağlı olarak değişebilir. Yani, genel bir uyum iyiliği ölçüsü veya genel

veya daha açık bir gösterimle aşağıdaki gibidir.

ile arasındaki basit korelasyon katsayısı değerleri arasında yer

alacağı için, bu ifadenin karesi genelleştirilmiş , 0 ile 1 arasında değer alır, .

Genelleştirilmiş , uygunluk katsayısı olarak da bilinmektedir.

6.1.4. Açıklayıcı Örnekler

Uygulama 1: Satış Gelirleri İle Reklam Harcamaları

Satış gelirleri (Y) ile reklam harcamaları(X) uygulamasında aşağıdaki veri ve ara sonuçlardan

Y X X2 XY

3 1 1 3 2.2 0.8 (0.8)2

4 2 4 8 3.4 0.6 (0.6)2

2 3 9 6 4.6 -2.6 (-2.6)2

6 4 16 24 5.8 0.2 (0.2)2

8 5 25 40 7.0 1 (1)2

2r

iY

iY 2ˆYY

r

iY iY

Y2r

22 2

ˆˆ( , )G YY

r cor Y Y r

2

2

2ˆ 2 222

ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ

i i i i

YYi i

i i

Y Y Y Y y yr

y yY Y Y Y

iY iY ˆ1 1YYr

2ˆYY

r 2ˆ0 1

YYr

2ˆYY

r

iY ˆˆi i iu Y Y 2ˆiu

179

örnek regresyon denklemi olarak bulunmuştu.

Şimdi belirginlik katsayısı, belirsizlik katsayısı, korelasyon katsayısı ve tahminin standart hatasını hesaplayalım. Bu uygulamada belirginlik katsayısı değişik yollardan hesaplanacaktır. Bunlardan ilki

formülünün kullanılmasıdır. Buna göre formülde yer alan unsurlardan ve

değerlerinin hesaplanması gerekir.

-

3 2.2 -1.6 2.56 -2.4 5.76

4 3.4 -0.6 0.36 -1.2 1.44

2 4.6 -2.6 6.76 0 0

6 5.8 1.4 1.96 1.2 1.44

8 7.0 3.4 11.56 2.4 5.76

Satışlardaki toplam değişimin % 62’si bağımsız değişken reklam harcamaları tarafından açıklanmaktadır.

Belirginlik katsayısını yukarıdaki verileri kullanarak farklı bir formül ile hesaplayalım.

23i

Y

4.6Y

15i

X

3X

255

iX 81ii

Y X ˆ 23i

Y ˆ 0i

u 2ˆ 8.8iu

ˆ 1.0 1.2i iY X

2

2

2

ˆ( )

( )

i

i

Y Yr

Y Y

2ˆ( )iY Y2( )iY Y

iY iYiY Y 2

iY Y iY Y 2

iY Y

23i

Y

4.6Y

ˆ 23i

Y 0iY Y

223.2iY Y

ˆ 0iY Y

2ˆ 14.4iY Y

2

2

2

ˆ( ) 14.40.62

( ) 23.2

i

i

Y Yr

Y Y

2 2

2

2 2

ˆ ˆ( ) 8.81 1 1 0.62

( ) 23.2

i i i

i i

Y Y ur

Y Y y

180

Sonucun aynı olduğunu görüyoruz. Bir başka şekilde nasıl hesaplayabilirdik?

Denklemdeki toplam değişme , yukarıda 23.2 değerine eşit hesaplanmıştır. ’yi

hesaplamak gayet kolay olup ‘dir. , tahmin edilirken 10 olarak hesaplanmıştı. Buna göre yine aynı sonuca ulaşılır.

Belirginlik katsayısından satışlar ile reklam harcamaları arasındaki basit korelasyon katsayısını hesaplayabiliriz.

Örneklem korelasyon katsayısı işaretini ‘den almıştır. ‘in tahmini pozitif

işaretli olduğu için da pozitif işaretlidir. Bu sonuca göre satışlar ile reklam harcamaları arasında aynı yönde (pozitif) güçlü (0.79) bir doğrusal ilişki vardır. Basit korelasyon katsayısını

formülünden hesaplanarak aynı sonuca ulaşıldığını göstermek

okuyucuya bırakılmıştır.

Belirginlik katsayısından, belirsizlik katsayısı ’yi de hesaplamak mümkündür. Belirsizlik katsayısı ’dir. Bu sonuca göre satışlardaki toplam değişmenin %38’i reklam harcamaları dışındaki değişkenler tarafından açıklanmaktadır.

Regresyon denkleminin uyumunu gösteren diğer bir ölçü tahminin standart hatasıdır.

Tahminin standart hatası değerine eşittir.

Bu örnek ile ilgili sonuçlar aşağıdaki gibi raporlanır.

Uygulama 2: Tüketim Harcamaları İle Gelir

Örneklem 1

Örneklem 1 için aşağıdaki ara sonuçlardan

2 2 2 212

2 2 2

ˆˆ ˆ( )

( )

i i i

i i i

Y Y y xr

Y Y y y

2iy 2

1

21.2

2ix 1

22 212

2

ˆ 1.2 10 14.40.62

23.2 23.2

i

i

xr

y

2 0.62 0.79XYr r

1 1.2 1

XYr

2 2i i i ir x y x y

21 r21 1 0.62 0.38r

21

2ˆ ˆ1.0 1.2 0.62 1.71 5

( )(1.795)(0.541)

i i

i

Y X r n

Se

181

n=10

regresyon denklemini tahmin etmiştik. Şimdi modelin belirginlik katsayısı, belirsizlik katsayısı, korelasyon katsayısı ve tahminin standart hatasını hesaplayacağız. Belirginlik katsayısını farklı yollarla hesaplayabileceğimizi biliyoruz. Bunlardan birini Örneklem 1 için, bir başkasını Örneklem 2 için kullanacağız. Örneklem 1 için aşağıdaki formülü kullanıyoruz.

Öncelikle regresyon ile açıklanan değişme (RKT ) aşağıdaki eşitlikten hesaplamamız gerekir.

Yukarıdaki eşitlikte yer alan bilinmekte ancak X’teki değişme

bilinmemektedir. Öncelikle ara sonuçlardan ’nin hesaplanması gerekir.

Buradan regresyon ile açıklanan değişme:

olarak hesaplanır.

Şimdi belirginlik katsayının ikinci bileşeni toplam değişmeyi (BKT) hesaplayacağız. Toplam değişme

eşitliğinden hesaplanır. Ancak yukarıdaki ara sonuçlarda gözlemlenen Y’lerin

karelerinin toplamı ( ) verilmediği için öncelikle ‘nin hesaplanması gerekir.

ÖRNEKLEM 1

65 4225

1211Y 1700iX 2 322000iX 226020i iY X 170X 121.1Y

ˆ 17.29 0.61i iY X

2 2 212

2 2

ˆˆiy x

ry y

2y

2 2 21

ˆ iy x

12ix

2ix

2 2 2 2322000 10 170 33000i ix X nX

22 2 21

ˆ 0.61 33000 12279.3iy x

2y

2 2 2y Y nY

2iY 2

iY

iY 2iY

182

80 6400

79 6241

113 12769

125 15625

115 13225

144 20736

157 24649

155 24025

178 31684

hesaplandığına göre

Buradan belirginlik katsayısı

Bu sonuca göre tüketimdeki toplam değişmenin %95’i gelir ile açıklanmaktadır. Belirsizlik katsayısı;

Tüketimdeki toplam değişmenin %5’i gelir dışındaki başka değişkenler ile açıklanmaktadır. Gelir ile tüketim arasındaki basit korelasyon katsayısı:

Korelasyon katsayısı işaretini ‘in işaretinden almıştır. Gelir ile tüketim arasında aynı yönde güçlü doğrusal bir ilişki vardır.

Regresyon doğrusunun verilere uyumunu gösteren diğer bir ölçü tahminin standart hatasını hesaplayalım.

2 159579iY 2 159579iY

22 2 2 159579 10 121.1 12926.9y Y nY

2 212

2

ˆ 12279.30.95

12926.9

ixr

y

21 1 0.95 0.05r

2 0.95 0.97r r

1

183

Burada kalıntı kareler toplamını bilmiyoruz. Ancak

eşitliğinden hesaplayabiliriz. Buna göre yukarıda hesapladığımız değerleri yerine koyarsak;

Buradan

olarak hesaplanır ve tahminin standart hatası aşağıdaki gibidir.

Örneklem 1 için elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibi raporlanır.

Not:

eşitliği aynı zamanda gözlemlenen değerler ile

ile gösterilmektedir. Satış örneğinde olduğu gibi

eşitliğini kullanarak belirginlik katsayısını sizler hesaplayın.

Örneklem 2:

Örneklem 2 için aşağıdaki ara sonuçlardan

n=10

2ˆˆ

2

iu

n

2 2 2ˆ ˆiy y u

2ˆ12926.9 12279.3 iu

2ˆ 12926.9 12279.3 647.6iu

2ˆ 647.6ˆ 80.95 8.9972 10 2iu

n

ˆ 17.29 0.61

( ) (8.72)(0.049)

i i

i

Y X

Se 2 0.95r ˆ 8.997 10n

2 2 212

2 2

ˆˆiy x

ry y

2 2

2

2 2

ˆˆ ( )

( )

i

i

y Y Yr

y Y Y

2

2

ˆ( )

( )

i

i

Y Y

Y Y

1207Y 1700iX 2 322000iX 226800i iY X 170X 120.7Y

184

regresyon denklemi tahmin edilmişti. Örneklem 2 için tahmin edilen modelin belirginlik katsayısı, belirsizlik katsayısı, korelasyon katsayısı ve tahminin standart hatasını hesaplayacağız. Örneklem 2 için aşağıdaki formülü kullanıyoruz.

Yine burada toplam değişme ve regresyonla açıklanamayan değişme hata

kareleri toplamı ( ) bilinmemektedir. Öncelikle toplam değişmeyi ( ) hesaplayalım.

ˆ 9.37 0.65i iY X

2

2

2

ˆ1 i

i

ur

y

2iy

2ˆiu 2

iy2 2 2y Y nY

185

ÖRNEKLEM 2

55 3025

74 5476

90 8100

103 10609

107 11449

135 18225

144 20736

160 25600

189 35721

150 22500

Formülde diğer bilinmeyen kalıntı kareler toplamı ‘dır. Ancak aşağıdaki

eşitlikten hesaplanabilmesi için regresyonla açıklanan değişmenin hesaplanması gerekir.

Regresyonla açıklanan değişme ise aşağıdaki gibidir.

Ancak burada da X deki değişmenin yukarıda verilen verilerden hesaplanması gerekecektir.

iY 2iY

2 161441iY

22 2 2 161441 10 120.7 15756.1y Y nY

2ˆiu 2ˆ

iu2y

2 2 2ˆ ˆiy y u

2 2 21

ˆ iy x

186

Önemli not: Her iki örneklemde de X’ler sabit olduğu için X’dki değişmenin aynı olduğuna dikkat edin.

Buradan hesaplamaları yapabiliriz. Regresyonla açıklanabilen değişme aşağıda hesaplanmıştır.

Toplam değişmenin bileşenlerinden regresyon ile açıklanamayan değişmeyi bulabiliriz.

Şimdi belirginlik katsayısını hesaplayabiliriz.

Böylece tüketimdeki toplam değişmenin %88’ gelir değişkeni ile açıklanmaktadır. Belirsizlik katsayısı;

Tüketimdeki toplam değişmenin %12’si gelir dışındaki modele girmeyen değişkenler ile açıklanmaktadır. Gelir ile tüketim arasındaki basit korelasyon katsayısı

Gelir ile tüketim arasında aynı yönlü güçlü doğrusal bir ilişki vardır. Tahminin stadart hatası:

olarak hesaplanır.

2 2 2 2322000 10 170 33000i ix X nX

22 2 21

ˆ 0.65 33000 13942.5iy x

2 2 2ˆ ˆiy y u

215756.1 139 ˆ42.5 iu 2 15756.1 13942.5ˆ 1813.6iu

2

2

2

1813.ˆ1 1

6

15756.8

.10 8i

i

ur

y

21 1 0.88 0.12r

2 0.88 0.94r r

21813.6ˆ

ˆ 226.7 15.0572 10 2iu

n

187

Not: eşitliği bilindiğine göre, gözlemlenen verilerden

elde ettiğiniz sonuçları denkleminde yerine koyar ve hesaplamaları

yaparsanız aynı sonuca ulaşırsınız. Lütfen bu uygulamayı sizler yapın.

Örneklem 2 için elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibi raporlanır.

Yukarıda aynı ana kütleden çekilen iki örneklemden siz olsanız hangisini tercih

edersiniz?

Hiç kuşkusuz cevabınız 1. Örneklem olmalı. Çünkü belirginlik katsayı ve korelasyon katsayısı 2. Örnekleme göre daha büyük, belirsizlik katsayısı ve tahminin standart hatası ise daha küçüktür.

6.2. Verinin Ölçü Biriminin Değiştirilmesinin Etkileri

Regresyon analizinde kullandığımız veriler bir tabloda gösterim için her zaman uygun olmayabilir. Verinin ölçeği uygun olmadığı durumda değişkenler arasında gerçek temel değişmeksizin bağımlı değişken ve/veya bağımsız değişken(ler)in ölçü birimi değiştirilebilir.

Örneğin, TÜİK verilerine göre GSYH 2013 yılında 1.561.510 milyon liradır. Diğer bir gösterimle 1.561.510.000.000 liradır. Tabloda sayının bu uzun şeklini kullanmanın hiçbir avantajı yoktur. Kurumlar iktisadi büyüklükler ile ilgili sayıları ilk şekilde olduğu gibi kısaltarak yayınlarlar ( 2013 yılı dış borç stoku 388.137 milyon Dolar, 2014 Temmuz Para Arzı (M1) 247.643.981 bin lira gibi). TCMB elektronik veri dağıtım sisteminin

http://evds.tcmb.gov.tr/cbt.html adresinden bu tür verilerin örneklerini görebilirsiniz.

Regresyon modelinde değişkenleri ölçeklemenin etkileri nedir? X ve Y değişkenlerinin ölçü birimlerinin değiştirilmesi regresyon bulgularını farklılaştırır mı? Şimdi bu sorunun cevabını arayacağız.

Ölçüm birimlerindeki yukarıdaki gibi değişimine veri ölçekleme denir. Ölçek seçimi, anlamlı ve uygun yorum yapmak için araştırmacı tarafından yapılmaktadır. Ölçek seçimi, temel ilişkinin ölçümünü etkilememektedir, fakat katsayı tahminlerinin yorumunu ve bazı özet ölçümleri etkilemektedir. Ölçü biriminin değiştirilmesinde mümkün durumlar aşağıdaki gibidir:

2 2

2

2 2

ˆ ˆ( )1 1

( )

i i i

i i

Y Y ur

Y Y y

2

2

2

ˆ( )1

( )

i i

i

Y Yr

Y Y

ˆ 9.37 0.65

( )(14.02)(0.08)

i i

i

Y X

Se 2 0.88r ˆ 15.057 10n

http://evds.tcmb.gov.tr/cbt.html

188

6.2.1. Bağımsız Değişkenin Ölçü Birimini Değiştirme

Doğrusal regresyon modeli ‘da bağımsız değişken X’in ölçü birimini sabit bir 𝑐 ile bölerek değiştirdiğimizi varsayalım. Sol ve sağ tarafın eşitliğini bozmamak için X’in katsayısı da 𝑐 ile çarpılmalıdır. Yani,

burada ve ‘dir. Örneğin, X lira olarak ölçülürse ve c=100 ise, o

zaman yüz lira olarak ölçülmektedir. Bu durumda , X’teki 100 liralık bir artışın 𝑌’deki

beklenen değerindeki değişmeyi ölçmektedir ve , ‘den 100 kat daha büyüktür. X′ in ölçüsü değiştirilir ise diğer bir değişim regresyon parametresinin standart hatasında meydana gelmektedir, parametrenin standart hatası aynı çarpımsal faktör ile değişmektedir. Böylece parametre ile parametrenin standart hatasının oranı, 𝑡 −istatistiği etkilenmemektedir. Parametre ve parametrenin standart hatası dışında regresyon istatistikleri aynıdır, değişmez.

6.2.2. Bağımlı Değişkenin Ölçü Birimini Değiştirme

Y’nin ölçü birimi değiştirilir, X’in ölçü birimi değiştirilmez ise denklemin geçerli olması için, bütün parametreler aşağıdaki gibi değiştirilmelidir.

veya

Yeniden ölçeklenmiş bu modelde X’teki 1-birim bir değişmeye karşılık ‘da

beklenen değişmeyi ölçmektedir. Hata terimi bu süreçte ölçeklendiğinden dolayı en küçük kareler kalıntıları da ölçeklenecektir. Bu durum regresyon parametrelerinin standart hatalarını etkileyecek fakat 𝑡 −istatistiklerini ve ‘yi etkilemeyecektir.

6.2.3. Bağımlı ve Bağımsız Değişkenin Ölçü Birimini Aynı Faktörle Değiştirme

Y’nin ölçeği ve X’in ölçeği aynı faktör ile değiştirilirse ile ilgili regresyon

sonuçlarında değişme olmayacak, fakat tahmin edilmiş sabit parametre ve kalıntılar değişecektir. 𝑡 −istatistikleri ve de etkilenmeyecektir. Parametrelerin yorumu yeni ölçü birimlerine göre yapılır.

0 1i i iY X u

* *0 1 0 1 0 1

ii i i i i i

XY X u c u X u

c

*1 1c *

i iX X c*iX *

1*

1 1

0 1i ii

Y uX

c c c c

* * * *0 1i i iY X u

*1

*iY

2r

1

2r

189

6.2.4. Bağımlı ve Bağımsız Değişkenin Ölçü Birimini Farklı Faktörle Değiştirme

Y’nin ölçeği ( ) ve X’in ölçeği ( ) farklı faktör ile değiştirilirse;

ve

ve

ve

ve

olacaktır. Esasen yukarıdaki gösterim özet bir sunumdur. Şöyle ki; olması 1.

Durum X’in ölçeğinin değiştirilmesi, olması 2. Durum Y’nin ölçeğini değiştirilmesi,

olması 3. Durum X ve Y’nin ölçeğinin aynı faktör ile değiştirilmesi durumlarına denktir.

‘den ‘e geçilmesi EKK tahmincilerinin özelliklerini etkilemez.

6.2.5. Açıklayıcı Örnek

Y ve X’in ölçü birimi milyar lira olan regresyon modeli aşağıdaki gibi tahmin edilmiştir.

-Y ve X’in ölçü birimi milyon lira olarak değiştirilse regresyon modeli ve regresyon modeli ile ilgili istatistikler aşağıdaki gibi olacaktır.

Burada milyardan milyona geçerken c1 =c2 =1000’dir. Sabit terim ile standart hatası ilk regresyondakilerin 1000 katıdır. Eğim katsayısı, eğim katsayısının standart hatası, belirginlik katsayısı ve her iki parametrenin t-istatistiği değişmez.

1c 2c

*1 iYiY c *

2i iX c X

* * * * *0 1ˆ ˆ ˆi i iY X u

*0 1 0ˆ ˆc *

1 1 2 1ˆ ˆc c

* 20 1 0ˆ ˆ( ) ( )Var c Var 2*

1 1 2 1ˆ ˆ( ) ( )Var c c Var

*2 2 21

ˆ ˆc * *

2 2r =rXY X Y

1 1c

2 1c

1 2c c

,i iX Y * *,i iX Y

ˆ 65.945832 12.619304i iY X 2 0.81r

ˆ( )(25.05194)(0.0200501)iSe

ˆ 65945.832 12.619304i iY X 2 0.81r

ˆ( )(25051.94)(0.0200501)iSe

190

-Y’nin ölçü birimi (milyar lira) değiştirilmeksizin, X’nin ölçü birimi milyon lira olarak

değiştirilse, regresyon modeli ve regresyon modeli ile ilgili istatistikler aşağıdaki gibi olacaktır.

Sadece X değişkeni ve X değişkeninin standart hatası ilk regresyonun 1/1000 kadardır. Diğer istatistikler değişmez.

X’in ölçü birimi (milyar lira) değiştirilmeksizin, Y’nin ölçü birimi milyon lira olarak

değiştirilse, regresyon modeli ve regresyon modeli ile ilgili istatistikler aşağıdaki gibi olacaktır.

Hem sabit terim hem de eğim parametresi ve bunların standart hataları ilk regresyonun 1000 katıdır. Belirginlik katsayıları ve t- istatistikleri değişmez.

ˆ 65.945832 0.012619304i iY X 2 0.81r

ˆ( )(25.05194)(0.0000200501)iSe

ˆ 65945.832 12619.304i iY X 2 0.81r

ˆ( )(25051.94)(20.0501)iSe

191

Uygulama Soruları

15 yıllık verilerden İthalatın Gayrisafi Yurtiçi Hasıla ile açıklandığı modelde =

ithalat, = Gayrisafi yurt içi hasıladır. 15 yıllık verilerden elde edilen sonuçlar aşağıda raporlanmıştır.

Aşağıdaki 1-4 arası soruları yukarıdaki verileri kullanarak cevaplandırınız.

1) Belirginlik katsayısını hesaplayarak yorumlayınız.

Yukarıdaki veriler göre belirginlik katsayısı

veya ile hesaplanabilir. Buna göre öncelikle verilenleri yazalım.

Toplam değişme (Bütün Kareler Toplamı, BKT)

Regresyon ile açıklanamayan değişme (Hata Kareler Toplamı, HKT)

Bu verilere göre ilk tahminciden ’yi bulabiliriz.

veya

kullanabilmek için öncelikle ‘nin hesaplanması gerekir.

BKT=RKT+HKT

ˆİTHGSYİH

ˆ 2.39 0.45i iİTH GSYİH 2( ) 45.413iY Y 2ˆ 11.625iu

( )(4.12)(0.03)iSe

2

2

2

ˆ1 i

i

ur

y

2

2

2

î

i

yr

y

2 2( ) 45.413i iY Y y 2ˆ 11.625iu

2r

2

2

2

ˆ 11.6251 1 0.744

45.413i

i

ur

y

2

2

2

î

i

yr

y 2ˆ

iy

2 2 2ˆ îy y u

2ˆ45.413 11.625y 2ˆ 45.413 11.625 33.788y

192

Buradan

elde edilir. Her iki hesaplama şekli de aynı sonucu vermiştir.

Yorum: İthalattaki toplam değişmenin yaklaşık %75’i GSYİH ile açıklanmaktadır.

2) Belirsizlik katsayısını hesaplayarak yorumlayınız.

Belirsizlik katsayısı:

İthalattaki değişmenin yaklaşık %25’i GSYİH‘nin dışındaki değişkenler tarafından açıklanmaktadır.

3) İthalat ile GSYİH arasındaki basit korelasyon katsayısı nedir?

İthalat ile GSYİH arasında aynı yönde güçlü doğrusal ilişki vardır.

4) Tahminin standart hatasını hesaplayınız.

5) Aşağıdaki verileri kullanarak belirginlik katsayısını hesaplayınız.

( , )

Belirginlik katsayısını, ile hesaplayabiliriz. Burada toplam değişme olarak

verilmiş, ancak İle açıklanabilen değişme verilmemiş. olduğu

bilinmektedir. Yukarıdaki verilerden öncelikle ‘i tahmin etmeliyiz.

Böylece belirginlik katsayısı

2

2

2

ˆ 33.7880.744

45.413

i

i

yr

y

21 1 0.75 0.25r

2 0.75 0.87r r

2ˆ 11.625ˆ 0.9462 15 2

0.894iu

n

i ix X X i iy Y Y

2 220.04 52.85 17.94i i i ix y y x 2

2

2

î

i

yr

y

2îy 2 2 2

1î iy x

1

1 2

17.94ˆ20.

0.89504

21i i

i

y x

x

193

olarak hesaplanır. Yukarıdaki verilerden belirginlik katsayısı için ikinci bir yol aşağıdaki gibidir.

Buna göre Y’deki toplam değişmenin yaklaşık %30 X değişkeni ile açıklanmaktadır.


a) Belirginlik katsayısı sıfır ile bir arasında yer alır.

b) Belirginlik katsayısı bire eşit ise bağımlı değişkenin gözlemlenen değerleri ( )

ile tahmini değerleri ( ) çakışır ki; bu durum tam uyum olarak bilinir.

c) Tahminin standart hatası belirginlik katsayısından daima küçüktür.

d) Tahminin standart hatası bağımlı değişken ’nin ölçü birimine bağlıdır.

e) Genelleştirilmiş , bağımlı değişkenin gözlemlenen değerleri ( ) ile tahmini

değerleri ( ) arasındaki basit doğrusal korelasyon katsayısının karesine eşittir.

7)

n=20

Ücretlerin eğitim düzeyi ile açıklandığı model için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) Regresyonla açıklanan değişme 5.629’a eşittir.

b) Regresyonla açıklanamayan değişme yaklaşık 2.91’e eşittir.

c) Tahminin standart hatası 0.28145’e eşittir.

d) Toplam değişme yaklaşık 8.54’e eşittir.

e) Ücretlerin % 66’sı eğitim düzeyi ile açıklanmaktadır.

22 2 212

2 2

ˆˆ 0.89521 20.040.

52.388

530

8

i i

i i

y xr

y y

2 2

2

2 2

17.94

20.040.30388

52.85

i i

i i

x yr

x y

iY

iY

iY

2r iY

iY

ˆ 9.67 0.28i iÜCRET EĞİTİM 2 37.1ix ( )(2.91)(0.113)iSe

2ˆ 5.629iu

194

8) 32 yıllık veriden tahmin edilen basit bir regresyon için hesaplanan ara sonuçlar

, olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Regresyon ile açıklanan değişme 38’e eşittir.

b) Belirginlik katsayısı yaklaşık 0.46’dır.

c) Tahminin standart hatası yaklaşık 1.225’tir.

d) Korelasyon katsayısı yaklaşık 0.68’dir.

e) Toplam değişme 83’e eşittir.

9) Yukarıdaki değişkenlerin ölçü birimleri X =milyon lira Y=milyon liradır. Y’nin de

ölçü birimi bin lira olarak değiştirilirse yeni elde edeceğiniz regresyon için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) Belirginlik katsayısı değişmez.

b) t-istatistikleri etkilenmez.

c) Yeni regresyonun eğim parametresi 1000 katı olur.

d) Yeni regresyonun eğim parametresinin standart hatası 1000 katı olur.

e) Sabit terim etkilenmez.

10) Aşağıdaki idaeleren hangisi doğrudur?

a)

b)

c)

d)

e)

2( ) 83iY Y 2ˆ( ) 45iY Y

ˆ 0.89 0.0619Y X 2 0.21r ˆ 0.89

( )(0.27)(0.0291)iSe

2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i iY Y Y Y Y Y

2 2 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i iY Y Y Y Y Y

2 2 2ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i iY Y Y Y Y Y

ˆ ˆ( ) ( ) ( )i i iY Y Y Y Y Y 2ˆ ˆ( ) ( )i i iY Y Y Y u

195

Cevaplar: 6) c, 7) d, 8) d, 9) e, 10) a

196


Regresyon doğrusunun verilere uyumunu gösteren ölçüleri detaylı olarak ele aldık. Belirginlik katsayısının hesaplanması için verilen alternatif formülleri kullanmak amacıyla çok sayıda uygulama yaptık. Toplam değişme, regresyonla açıklanan değişme ve regresyonla açıklanamayan değişme kavramlarını ve hesaplanmasını öğrendik. Değişkenlerin ölçü biriminin değiştirilmesinin regresyon sonuçlarına etkisini inceledik.

197

Bölüm Soruları

1) Tahminin standart hatası …… ve …… özelliklerinden dolayı uyumun iyiliğini göstermesi açısından belirginlik katsayısına tercih edilmez?

a) Serbestlik derecesi olması; hata teriminin varyansından hesaplanıyor olması

b) Belirli alt ve üst sınırı olmaması; bağımlı değişkenin ölçü birimine bağlı olması

c) Belirli alt ve üst sınırı olmaması; serbestlik derecesinin olması

d) Her model için uygun bir ölçü olmaması; kalıntı kareler toplamından hesaplanması

e) Belirginlik katsayısından büyük olması; her zaman hesaplanma imkânı olmaması

2) Yukarıdaki sonuçlara göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Regresyon ile açıklanan değişme 12.64’e eşittir.

b) Regresyon ile açıklanmayan değişme 4.3218’e eşittir.

c) Toplam değişme 8.3182’ye eşittir.

d) Y’deki toplam değişmenin yaklaşık %75’i X değişeni ile açıklanmaktadır.

e) X ile Y arasındaki basit korelasyon katsayısı yaklaşık (-0.86)’ya eşittir.

3) Aşağıdakilerden hangisi regresyon doğrusunun uyumunu gösren bir ölçü değildir?

a) Korelasyon katsayısı

b) Belirginlik katsayısı

c) Genelleştirilmiş

d) Bilgi kriterleri

e) Tahminin standart hatası

ˆ 1.74 1.307Y X 2 7.4ix ˆ 0.49 20n

( )(6.18)(2.916)iSe

2r

198

4)

Yukarıdaki verilere göre belirginlik katsayısının değeri nedir?

a) 0.44

b) 0.22

c) 0.61

d) 0.93

e) 0.78

5) ise aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) Belirginlik katsayısı 0.81’e eşittir.

b) Belirsizlik katsayısı 0.19’a eşittir.

c) Toplam değişme 108’e eşittir.

d) Regresyon ile açıklanan değişme 87’e eşittir.

e) Kalıntıların karelerinin toplamı 27’ye eşittir.

6) Tahmin edilen regresyonun bağımlı ve bağımsız değişkeni aynı ölçü birimi ile değiştirilirse, yeni regresyon için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

a) Kalıntılar değişmez.

b) t- istatistikleri büyür.

c) Sabit parametre değişir.

d) Eğim parametresi değişir.

e) Eğim parametresinin standart hatası değişir.

7) modeli için X’in varyansı 1.2, Y’nin varyansı 0.72 ise

belirginlik katsayısı katsayısının değeri nedir?

a) 0.13

b) 0.46

c) 0.91

ˆ 1.74 1.307Y X 2ˆ 15.2iu 2 31.09ix ˆ 25.92 ( )(11.18)(2.099)iSe

2 2ˆ( ) 108, ( ) 21i i iY Y Y Y

ˆ 0.19 0.2794Y X

199

d) 0.63

e) 0.72


a) Genelleştirilmiş , ile arasındaki basit korelasyonun karesidir.

b) Tahminin standart hatası negatif veya pozitif herhangi bir değer alabilir.

c) Basit regresyonda belirginlik katsayısının kare kökü korelasyon katsayıdır, işareti eğim parametresinin işaretinden alır.

d) Ana kütle hata terimi varyansının karekökü tahminin standart hatasıdır.

e) Genelleştirilmiş , belirginlik katsayısına eşittir.

9)

Yukarıda verilenlere göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) Y’deki değişimin %94’ü X tarafından açıklanmaktadır.

b) Y’deki değişimin %0.94’ü X tarafından açıklanmaktadır.

c) Y’deki değişimin % 6’sı X tarafından açıklanmaktadır.

d) Y’deki değişimin %0.06’sı X tarafından açıklanmaktadır.

e) Y’deki değişimin %94 ‘ü X’i etkilemektedir.

10)

Yukarıda verilenlere göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Gözlem sayısı verilmediği için tahminin standart hatası hesaplanamaz.

b) Belirginlik katsayısı 0.98’e eşittir.

c) Regresyon ile açıklanan değişme yaklaşık 432.9’dur.

d) Toplam değişme yaklaşık 441.1’dir.

e) Basit korelasyon katsayısı yaklaşık 0.99’dur.

2r iY iY

2r

ˆ 28.61 101.49Y X 2ˆ 5.7iu 2 96iy ( )(7.92)(14.65)iSe

ˆ 3.81 1.49Y X 2ˆ 8.2iu 17i iy x 2 195ix ( )(7.92)(14.65)iSe

200

Cevaplar:

1) b, 2) c, 3) a, 4) e, 5) e, 6) c, 7) a, 8) b, 9) a, 10) e

201

7. UYUMUN İYİLİĞİ VE MODELLEME KONULARI

202


1) Değişkenler arasındaki ilişkiler daima doğrusal mıdır?

2) Değişkenler arasında doğrusal olmayan ilişkiler için hangi fonksiyonel kalıplar kullanılır?

3) Hata terimi için normal dağılım varsayımını nasıl test edebiliriz?

203



Log-log model, log-doğrusal model ve doğrusal-log modelin

parametrelerini

yorumlayabilmek

Ders notları ve uygulamalı örnekler tekrar ederek

Orjinden geçen regresyonun kendine özgü özelliklerini öğrenmek

Ders notlarını tekrar ederek

Jarque-Bera testini

uygulayabilmek

Ders notları ve uygulamalı örnekler özümsenerek mümkünse çözümü yapılan regresyon modelleri için JB

testini uygulayarak

204

Anahtar Kavramlar

Eğim

Esneklik

Değişkenin dönüştürülmesi

Büyüme oranı

Log-log model

Log-doğrusal model

Doğrusal-log model

Çarpıklık

Basıklık

Jarque-Bera testi

Orijinden geçen regresyon

Ham

2r

205

Giriş

Regresyon modeli iktisadi bir zorunluluk varsa, sabit terim içermeyebilir. Orijinden

geçen regresyon olarak adlandırılan sabit terimsiz regresyon modeli yine EKK yöntemi ile tahmin edilmekte ancak bu dersimize kadar özellikle üzerinde durduğumuz bazı özelliklere sahip değildir. Bu dersimizde orijinden geçen regresyon modeli genel bir çerçevede ele

alınacaktır. Ayrıca yine bu dersimize kadar değişkenler arasındaki ilişkilerin doğrusal olduğunu varsaydık. Ancak tüketim, arz, talep gibi bazı iktisat teorileri için doğrusal ilişki geçerli olmayabilir. Değişkenler arasındaki ilişki doğrusal değilse, bu tür ilişkiler için hangi fonksiyon kalıpları uygundur ve bunların özellikleri nelerdir? Bu soruların cevabını araştıracağız. Bilindiği üzere, regresyon modelinin tahmini sonrasında varsayımların gerçekleşip gerçekleşmediği test edilmelidir. Bu bağlamda hata terimlerinin normal dağıldığı varsayımı test edilecektir.

206

7.1. Orijinden Geçen Regresyon

Basit regresyon modeli bazı durumlarda aşağıdaki gibi yazılabilir.

Bu modelde sabit terim (otonom parametre, kesim parametresi) yer almamaktadır. Regresyon doğrusu (0,0) noktasından geçmekte, bu nedenle de orijinden geçen regresyon ile adlandırılmaktadır. Bu alt bölümde orijinden geçen regresyon modelinin tahmini ve özellikleri üzerinde durulacaktır. Bu amaçla öncelikle örnek regresyon modelini aşağıdaki gibi yazılır.

parametresinin tahmini için EKK yöntemi uygulanır. Kalıntıların kareleri toplamını

fonksiyonunda ‘e göre kısmi türev alınır ve sıfıra eşitlenirse, parametresinin EKK

tahmincisi aşağıdaki gibidir.

Önemli uyarı: Yukarıdaki tahminciyi modelinde in EKK tahmincisi

ile karıştırmayın. Buradaki , iken, orijinden geçen

regresyonda in EKK tahmincisinde gözlemlenen (teorik) ve yer almaktadır.

’in varyansının tahmincisi ise aşağıdaki gibidir.

Yine burada ana kütle rassal hatanın varyansı bilinmemekte, aşağıda verilen tahminci ile tahmin edilmektedir.

Sadece bir tane parametre tahmin edildiği için, serbestlik derecesi n-1’e eşittir.

1i i iY X u

1ˆi i iY X u

1

1 1

1 2ˆ i i

i

X Y

X

0 1ˆ ˆ

i iY X 1

21 i i ix y x i ix X X i iy Y Y

1 iX iY

1

2

1 2ˆ( )

i

VarX

2

2ˆ

ˆ1iu

n

207

Orijinden geçen regresyon modelinin sabit terimli modellerden önemli farklılıkları

vardır. Orijinden geçen regresyonda kalıntıların toplamının ( ) sıfır olması gerekmez. Önemli bir diğer özelliği belirginlik katsayısının aldığı değerdir. Uyumun iyiliği ölçüsü belirginlik katsayısının 0 ile 1 değerleri arasında yer alması gerektiğini önceki derslerimizde öğrenmiştik. Bunun tek istisnası orijinden geçen regresyon olup, bu modelde belirginlik katsayısı negatif değer alabilmektedir. Bu nedenle orijinden geçen regresyonda değil, ham

hesaplanır ve yorumlanır. ham aşağıdaki gibi tanımlanır.

ham , 0 ile 1 arasında değer alır. Ancak alternatif modellerin karşılaştırılması ham

ile ‘nin mukayese edilmesi uygun değildir.

İktisadi bir zorunluluk yoksa, orijinden geçen regresyon modelin kurulması tavsiye

edilmez, çünkü ‘ın istatistiksel açıdan anlamsız olması, orijinden geçen bir regresyona sahip

olduğumuz anlamına gelmektedir. Ayrıca ‘ın modelde yer alması gerektiği hâlde yer

verilmemişse, bu durum model kurma hatasına sebep olacaktır.

7.2. Fonksiyonel Biçimin Belirlenmesi

Şimdiye kadar bağımlı değişken Y ile bağımsız değişken X arasında doğrusal bir ilişkinin olduğunu varsaydık. Diğer bir ifade ile temel ekonomik ilişkiyi, doğrusal bir fonksiyon ( ) olarak ele aldık. Söz konusu durum ve 𝑋 arasında doğrusal, düz-

doğru bir ilişkinin var olduğu anlamına gelmektedir.

Ancak bütün ekonometrik analizlerin başlama noktası iktisat teorisidir ve temel ekonomik ilişki regresyon fonksiyonu ile doğru biçimde formüle edilmelidir. Burada kastedilenin ne olduğunu tüketim modeli çerçevesinde inceleyelim. Diğer değişkenler sabit iken tüketim harcaması ve gelir arasındaki ilişki hakkında iktisat teorisi gerçekte ne söylemektedir? Tüketim harcamalarının zorunlu bir harcama olması nedeniyle, teoriye göre gelir ile tüketim arasında pozitif bir ilişkinin olması beklenmektedir. Ancak iktisat teorisi bu ilişkinin düz bir doğru olması gerektiğini iddia etmez. Çünkü doğrusal ilişki, hanehalkı geliri

arttıkça tüketim harcamalarının aynı sabit oranda süresiz olarak artmaya devam edeceği anlamına gelir ki; bu iktisadi gerçeklere uygun değildir. Gelir yükseldikçe, tüketim harcamalarının artması ancak bu artışın azalan bir oranda olması beklenir. Diğer bir ifade ile gelir artarken tüketim harcamaları da mutlak olarak artacak ancak nispi olarak yani tüketimin

gelirdeki payı azalacaktır. Böyle bir ilişki grafiksel olarak iki değişken arasında düz-doğru bir ilişkinin olmadığını ifade etmektedir. Doğrusal ilişkide eğim sabit olduğu için gelir arttıkça tüketim de aynı oranda artmaktadır, marjinal etki sabittir.

ˆiu

2r2r 2r

2

2

2 2 i i

i i

X Yham r

X Y

2r2r 2r

0

0

0 1( | )i i iE Y X X ( )iE Y

208

Şekil 15: Tüketim harcaması ve gelir arasında doğrusal olmayan bir ilişki.

Şekil 15’teki gibi eğrisel bir ilişki için, açıklayıcı değişkendeki bir değişimin marjinal

etkisi belirli bir noktadaki kavise teğetin eğimi ile ölçülmektedir. X’teki bir değişimin marjinal

etkisi ( ) noktasında ( ) noktasına göre daha büyüktür. X arttıkça, 𝑌’nin değeri artmaktadır, ancak eğim daha düşük olduğu için, bu artış “azalan oranda bir artış” anlamındadır. Tüketim harcaması modeli için iktisadi açıdan bunu şöyle açıklayabiliriz. Tüketim harcaması için düşük gelirlilerde marjinal tüketim eğilimi daha büyük ancak gelir artıkça marjinal eğilim (marjinal tüketim meyli) azalmaktadır.

Basit doğrusal regresyon modeli esnek bir modeldir. X ve Y değişkenleri dönüştürülerek

doğrusal olmayan ilişkiler, doğrusal regresyon modeli çerçevesinde ele alınabilir ve dönüştürülmüş değişkenlerin yer aldığı bu model için doğrusal regresyon modeli ile ilgili kurallar kullanılabilir.

Değişkenler arasındaki ilişki için cebirsel bir şekil seçme, orijinal değişkenlerin dönüşümlerinden birini seçme anlamına gelmektedir. Bu kolay bir süreç değildir ve bu iyi analitik geometri becerilerini ve deneyim gerektirmektedir. Değişken dönüştürmeleri;

Kuvvet: X bir değişken ise, değişkeni 𝑝 . kuvvete yükseltme anlamına gelmektedir. İkinci derece ( ) ve kübik ( ) dönüştürmeler gibi.

Doğal logaritma: 𝑋 bir değişken ise, X’in doğal logaritması ‘dir.

Ekonometrik modellerde doğal logaritmanın kullanımı oldukça yaygındır. Logaritmik dönüşümler ücretler, maaşlar, gelir, fiyatlar, satışlar ve harcamalar gibi parasal değerleri olan değişkenler ve genelde “büyüklüğü” ölçülen değişkenler için kullanılmaktadır.

Şekil 16’daki şekillerde , ve dönüştürmeleri kullanılmıştır. Değişkenler yukarıdaki gibi dönüştürülürse, karşılaşılan zorluk regresyon sonucunun değişik yorumlanmasıdır. Tabloda gösterilen her farklı fonksiyonel biçim için hem eğim hem de

1 1,X Y 2 2,X Y

pX2X 3X

ln( )X

2X 3X ln( )X

209

esneklik ile ilgili ifadeler doğrusal ilişkide olduğundan farklıdır. Çünkü değişkenler arasında doğrusal olmayan bir ilişkili vardır.

Şekil 16: Alternatif fonksiyonel şekiller.

Değişkenlerin dönüştürülmesi ile elde edilen sonuçların yorumlanması doğrusal regresyon modelinde olduğundan farklıdır. Logaritmik dönüşümler ile ilgili üç mümkün yapılandırma ve yorumları aşağıdaki gibidir.

7.2.1. Log-Log Model

Doğrusal olmayan modellerden öncelikle log-log model ele alınacaktır. Log–log model

aşağıdaki üstel regresyondan elde edilmektedir. Buna göre aşağıda verilen regresyon modeli,

parametrelerinin özelliğinden dolayı doğrusal değildir. Çünkü Y ile X arasında ilişki

kuran parametresi değişken ile çarpılır değil, değişkenin üssü durumdadır. Ayrıca hata

terimi toplanabilir nitelikte olmayıp, çarpılır bir değer niteliğindedir. Eğer model;

ise hata terimi çarpılır biçimdedir. Ancak bu durumda varsayımı geçerli değildir.

1

0iu

i iY X e

11

0i i iY X u

( ) 0iE u =

210

modelinde ise klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımları geçerliliğini korumaktadır.

modeli her iki tarafının doğal logaritması alınarak aşağıdaki gibi de gösterilebilir.

Log-Log model ile adlandırılan bu modelin kullanılabilmesi için hem 𝑌 hem de 𝑋 ‘in

sıfırdan büyük olması gerekmektedir. Çünkü logaritma sadece pozitif sayılar için

tanımlanmaktadır. Burada , ve gösterilerek dönüştürülmüş yeni bir model

elde edilir ve modele en küçük kareler yöntemi uygulanarak, parametreler ( , )

tahmin edilir.

Log-Log model için iki önemli nokta vardır.

Log-Log modelde değişkenler, aritmetik değerleriyle değil doğal logaritmik değerleriyle yer alırlar. Bu sebeple model logaritmik doğrusal veya doğrusallaştırılmış model

olarak da bilinmektedir.

Log-Log modelde ‘in tahmini Y’nin X’e göre sabit esnekliğini verir.

Y’nin X’e göre sabit esnekliği

Şekil 16’ya bakarak iktisatçıların sabit esnekliği belirlemek için çok sık olarak neden

log-log model kullandığını görebilirsiniz. Panel (c) ise ilişki bir arz eğrisini,

ise bir üretim ilişkisini gösterebilir. Panel (d)’de ise bu ilişki bir talep eğrisini gösterebilir. Her durum da esneklik sabit olup yorum için uygundur.

1

0iu

i iY X e

2 2( ) 0 ( ) ( ) 0 için ( ) 0i i i j i iE u E u E u u i j E u X

1

0iu

i iY X e

0 1ln ln lni i iY X u

* lni iY Y= * lni iX X= *0 0ln

* * *0 1i i iY X u

*0 1

1

1YX

dY X

dX Y

1 1 10 1

1 0

211

İSPAT

’in, Y’nin Xi’e göre sabit esnekliğine eşit olduğunu göstermek için esneklik formülünü yeniden yazalım.

Y fonksiyonunda X’e göre kısmi türevi alınır.

için

elde edilir. Elde edilen bu sonucu esneklik denkleminde yerine koyar ve

matematiksel sadeleştirmeleri yaparsak;

Y’nin X1’e göre sabit esnekliğinin parametresine eşit olduğu sonucuna ulaşılır.

Log-Log modelde tahmin edilen parametreler doğrusal modelde olduğu gibi eğimi

değil, esnekliği ifade ettiği için yorumları da buna bağlı olarak değişecektir. Örneğin

parametresi için, “X’teki %1’lik değişmeye karşılık Y,% kadar değişecektir” yorumu yapılır.

EKK tahmincileri ile , ile ‘in doğrusal, sapmasız ve en iyi tahmin

edicileridir. Ancak sapmasız olduğu hâlde, logaritmik dönüşümü sapmalı ancak tutarlı bir tahmindir.

Açıklayıcı Örnek 1: Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu

Cobb-Douglas tipi üretim fonksiyonu log-log modele örnek teşkil eden iktisadi bir modeldir.

Modelde Q üretim hacmi, K sermaye ve L emek değişkenleri, A ise teknoloji seviyesini

gösteren sabit parametredir. Modelin doğrusallaştırılmış biçimi;

1

YX

dY X

dX Y

1 1 11 11 0 1 0 0

u u udYX e X X e Y X e

dX

11 1

YX Y

X

1 1YX

dY X Y X

dX Y X Y

1

1

1

0 1 0 1

0ˆln 0

uQ AK L e

ln ln ln lni i i iQ A K L u

212

ile gösterilir. ve parametrelerinin tahmini,

Sermayenin marjinal verimlilik esnekliği

Emeğin marjinal verimlilik esnekliğinin

tahminini verir ve tahmin edilen esneklikler her noktada sabittir.

Açıklayıcı Örnek 2: Talep Modeli

modelinde D, X malının talebini P, X malının fiyatını, Y ise X malını talep edenlerin ortalama gelirini ifade etmektedir.

Modelin parametreleri;

Talebin Fiyat esnekliği

Talebin Gelir esnekliğinim

tahminini verir.

Açıklayıcı Uygulama 1: Tavuk Eti Talebi

Log-log fonksiyonel şekil, çoğunlukla talep denklemleri için kullanılmaktadır. 𝑃 =Tavuk reel fiyatı (lira) 𝑄 =Kişi başına tavuk tüketimi, (kilo), için 52 gözlem Şekil 17’de

gösterilmektedir. Bu, Şekil 4.5(d)’de gösterilen karakteristik hiperbolik şekil göstermektedir.

ˆ Q K

K Q

ˆ Q L

L Q

1 2

0u

X XD P Y e

1X X

X X

D P

P D

2ˆ X

X

D Y

Y D

213

Şekil 17: Tavuğun Miktar ve Fiyatı

Tahmin edilmiş log-log model :

Regresyon modelin sonucuna göre fiyattaki %1’lik bir artış tavuk tüketim miktarını %1.38 azaltacağı tahmin edilmektedir. Talebin fiyat esnekliğinin 1.38 olduğu tahmin edilmiştir.

7.2.2. Log-Doğrusal Model

İktisatta alanında GSMH, dış ticaret açığı, cari açık, para arzı gibi iktisadi büyüklüklerin büyüme oranları önemli göstergelerdir. Ekonometrik analizlerde iktisadi büyüklüklerin

büyüme oranını tahmin etmek için Log-doğrusal model kullanılmaktadır. Log_doğrusal model,

ile gösterilmektedir. Model sol tarafta logaritmik bir terime ve sağ tarafta ise dönüştürülmemiş (doğrusal) bir değişkene sahiptir. Kısaca sadece bağımlı değişken logaritması alınması suretiyle dönüştürülmüş bir değişkendir. Bağımlı değişkeni bu şekilde kullanılabilmesi sıfırdan büyük olmasını gerektirmektedir, . Log-doğrusal fonksiyon

ile gösterilen üstel bir fonksiyon olup bu fonksiyonun her iki tarafının doğal

logaritması alınması suretiyle biçimine dönüşmüştür.

Log-dog model için her noktadaki eğim olup, olması Y’nin daha büyük değerleri için marjinal etkinin arttığı anlamına gelmektedir. Fonksiyonda marjinal etki artan bir oranda artmaktadır.

ˆln( ) 2.72 1.38ln( )

ˆ( ) (1.04) (0.05)i

Q P

Se

0 1lnY X

0Y 0 1XY e

0 1lnY X

1Y 1 0

214

Log-doğrusal modelin şekilleri Şekil 4.5(e)’de gösterilmekte ve fonksiyonun türevi ve

esnekliği de verilmektedir. Log-doğrusal modelde , ln Y nin X’e göre türevidir.

Modelin yorumu logaritmanın özellikleri kullanılarak elde edilebilmektedir. Log-

doğrusal modelde, X ‘teki bir birimlik artış, Y’de yaklaşık olarak % bir değişime yol açmaktadır. Y’deki

% ’lik değişme 100 ile çarpılırsa, X’teki 1 birimlik değişmeye karşılık Y’deki yüzde değişme ya da büyüme oranı elde edilir.

Şekil 16’da mümkün şekiller yer almaktadır. ise fonksiyon artan bir oranda

artmaktadır ise, fonksiyon azalan bir oranda azalmaktadır.

İSPAT

Yukarıdaki eşitliğinden;

elde edilir. Esneklik denkleminde yerine yazılır ve

sadeleştirmeler yapılırsa,

sonucuna ulaşılır. Böylece Log-Doğrusal modelde

esneklik ‘e eşittir.

Log-doğrusal modelde özel olarak eğim, örneklem ortalaması ile, esneklik ( )

ise örneklem ortalaması ile değerlendirilebilmektedir.

Açıklayıcı Uygulama 1: Büyüme Modeli

Teknolojik gelişmelere bağlı üretilen buğday veriminin (hektar başına ton) her yıl yaklaşık olarak sabit bir oranda arttığını varsayalım. 𝑡 yılındaki verimin, 1 yılda sabit büyüme

oranı olan g ile olduğunu varsayalım. Tekrarlı yerine koyma işlemi

ile elde edelir. Burada örneklem başlamadan önceki yıl olan “0” yıldaki verimdir, böylece bu muhtemelen bilinmemektedir. t ise zamanı t=1, 2, 3, …., T göstermektedir.

1

1

ln 1 1 'deki nisbi değişmeln 'deki mutlak değişme

d Y X dY dY Y

dX Y Y dX Y dX X

1

1

1 0

1 0

1

1dY

Y dX

1

YY

X

dY dX 1Y

1 1YX

Y X XY X

X Y Y

1X

Y 1X

X

1(1 )t tVERİM g VERİM

0(1 )ttVERİM g VERİM 0VERİM

215

Denkleminin her iki tarafının logaritması alınarak

elde edilir. Model, bağımlı değişkeni bağımsız değişkeni ise zaman (t)

olan basit bir log-doğrusal modeldir. geometrik dizi iken, t (=1,2,3,….) zamanı gösterdiği için aritmetik seri özelliği taşır.

Büyümenin pozitif olması beklendiği için ‘dür. İlişkinin grafiği, Şekil 4.5(c)’teki

gibi yukarı-eğimli eğriye benzemektedir.

Verim için log-doğrusal model tahmini aşağıdaki gibi ise, modelin parametrelerini yorumlayalım.

Tahmin edilmiş katsayı ’dir. Ancak amacımız ‘yi

değil, g’yi tahmin etmektir. Bunun için 0.0181’in anti log’u alınır 1+g= 1.01826 ve bu değerden 1 çıkarılırsa g 0.01826 olarak tahmin edilir. Buna göre buğday verimindeki büyüme oranının verinin dönemi boyunca yılda yaklaşık olarak �� = 0.01826 veya yaklaşık %1.82 olduğunu tahmin etmekteyiz.

Aynı sonuca 𝑋 küçük ise özelliğini kullanarak da varılabilir. Buna göre tahmin edilen regresyon verinin dönemi boyunca buğday verimindeki büyüme oranının yılda yaklaşık olarak �� = 0.0181 veya yaklaşık %1.81 olduğunu tahmin etmekteyiz. (0.01826

0.0181 olduğuna dikkat ediniz.)

Açıklayıcı Uygulama 2: Ücret Modeli

Çalışma ekonomisinde ücretler ve eğitim arasındaki ilişki en çok araştırılan konudan birisidir. Eğitimin her bir yılı için getiri oranının sabit bir 𝑟 olduğunu varsayalım. Yani, ilk

yıldaki ücret oranı ise, ücret eğitimin ek bir yılından sonra başlangıç değeri

’dan ’a yükselmektedir. Ekstra iki yıllık bir eğitim için

0(1 )ttVERİM g VERİM

0ln ln ln 1tVERİM VERİM g t

0 1ln tVERİM t

ln tVERİM

ln tVERİM

1 0

ln 0.381 0.0181

ˆ( ) (0.0419)(0.0023)

t

i

VERİM t

Se

1 ln(1 ) 0.0181g ln(1 )g

ln(1 )X X

0ÜCRET 0ÜCRET

1 0(1 )ÜCRET r ÜCRET

216

ve benzeri olmaktadır. ve eğitim yılları (EY) arasındaki bu ilişki için aşağıdaki model kurulur.

buradan

Eğitimin ek bir yılı için ücretlerde yaklaşık ‘lük bir artışa yol açmaktadır. Aşağıdaki gibi tahmin edilen modeli yorumlayalım.

Tahmin edilmiş katsayı ’dir. 0.078’in anti log’u alınır 1+r= 1.0822

değerine ulaşılır. 1.0822’den 1 çıkarılırsa r, 0.0822 olarak tahmin edilir. Bu sonuca göre eğitimin ek bir yılı ücret oranını yaklaşık olarak %8 arttırdığı tahmin edilmektedir.

7.2.3. Doğrusal-log Model

Doğrusal-log modelin sol tarafında doğrusal, dönüştürülmemiş bir terim ve sağ tarafında logaritmik bir terim yer alır ve

ile gösterilir. Logaritmanın özelliğinden dolayı, bu fonksiyonda olması gerekmektedir.

, ‘in işaretine bağlı olarak artan veya azalan bir fonksiyondur.

Fonksiyonda X’in Y’ye göre marjinal etkisi (eğim); olup, X arttıkça

mutlak olarak azalmaktadır. Böylece eğim (marjinal etki) her noktada değişmektedir. ise

fonksiyon azalan bir oranda artmakta, ise, fonksiyon azalan bir oranda azalmaktadır. Fonksiyon şekilleri Şekil 4.5(f)’te gösterilmektedir.

22 0(1 )ÜCRET r ÜCRET ln( )ÜCRET

0(1 )EYtÜCRET r ÜCRET

0ln ln ln 1tÜCRET ÜCRET r EY

0 1ln tÜCRET EY

1%100

ln 2.203 0.078

( ) (0.087) (0.001)

t

i

ÜCRET EY

SE

1 ln(1 ) 0.078r

0 1 ln( )Y X

0X

0 1 ln( )Y X 1

1dY dX Y X X

1 0

1 0

217

Logaritmalardaki değişmelere yorum için; X’de dan küçük bir artış olduğunu

varsayalım. Daha sonra ve yerine koyarak -

oluşturalım.

Böylece Y’deki değişim, X’ teki yüzde değişimin yaklaşık olarak katıdır.

Böylece doğrusal-log modelde X’ deki %1 birlik artış Y’de birim bir değişmeye yol

açmaktadır. Böylece X’teki nispi değişmenin Y’de meydana getirdiği mutlak değişmeyi göstermektedir.

İSPAT

Esneklik ise ‘den aşağıdaki gibidir.

Burada esnekliğin Y’ye göre değiştiği görülmektedir

Tablo 6: Bazı Yararlı Fonksiyonlar, onların Türevleri, Esneklikleri ve Diğer Yorumu

0X 1X

0 0 1 0ln( )Y X 1 0 1 1ln( )Y X 1Y 0Y

1 0 1 1 0ln( ) ln( )Y Y Y X X

11 0100 ln( ) ln( )

100X X

1 %100

X

1 100

1 100

1

1dY dX X

1 1YX

Y X X

X Y X Y Y

218

Açıklayıcı Uygulama: Tüketim Harcaması Modeli

Gelir (Y-1000lira) artarken tüketimin harcamalarının (C-100 lira) azalarak artması, gelir ile tüketim harcamaları ilişkinin doğrusal-log denklemi ile araştırılmasını gerektirir. Buna göre, doğrusal-log tüketim modeli aşağıdaki gibidir.

ise bu fonksiyon azalan bir oranda artacaktır. Buna göre gelir (Y) artarken eğim

azalmaktadır. Bu bağlamda eğim, ek gelirden tüketim için marjinal harcama eğilimidir.

Benzer şekilde, esneklik olup, tüketim harcamasının daha büyük düzeyleri için bu değer daha küçüktür. Bu sonuçlar yüksek gelirler ve büyük tüketim harcamalarında, gelirde bir artışın etkisinin tüketim harcaması üzerine etkisinin küçük olduğu iktisat teorisi ile tutarlıdır.

Aşağıda tüketim harcamaları için tahmin edilmiş doğrusal-log modeli verilmiştir.

Doğrusal-log model, tüketim üzerine ek geliri harcamak için marjinal eğilimin azalmasını bekleyen teorik modelimiz ile tutarlıdır. 1,000 lira haftalık harcanabilir geliri olan bir hanehalkının 100 liralık bir ek gelirden tüketim için 11.794 ek harcama yapacağı tahmin edilmiştir. oysa haftada 2,000$ gelirli bir hanehalkının ek 100$ bir gelirden ek bir 6.62$ harcayacağını tahmin etmekteyiz. Gıda harcaması üzerine gelirin marjinal etkisi gelirin daha yüksek düzeylerinde daha küçüktür. Bu, 100$’lık gelirde bir değişimin marjinal etkisi gelirin bütün düzeyleri için 10.21$ olduğunda orijinal olarak tahmin ettiğimiz doğrusal, düz-doğru ilişkiden bir değişimdir.

Alternatif bir yorum; gelirdeki %1 bir artışın haftada yaklaşık olarak 1.17 lira tüketim

harcamasını arttıracaktır veya gelirdeki %10’luk bir artış tüketim harcamasını yaklaşık 11.79

lira arttıracaktır. Bu yorum, gıda harcaması üzerine gelirin azalan marjinal etkisini belirtmek için uygun basit olmasına rağmen, her ne kadar ima edilse de biraz gizlidir. Haftada 1,000$ gelirde, %10 bir artış 100$ iken 2,000$ gelirde %10 bir artış 200$’dır. Gelirde daha büyük bir dolar artışı gelirin daha yüksek düzeylerinde gıda üzerine ek bir 13.22$ harcama meydana çıkarması için gereklidir.

Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin farklı dönüştürmelerini kapsayan ve bunlardan

bazıları benzer şekillere sahip olan alternatif modeller verilmişken, bir fonksiyonel şekli seçmek için kural nedir? Uygun ekonometrik modelin fonksiyonel şekli;

1. İktisat teorisinde belirtilen ilişki ile tutarlı olmalıdır.

0 1 ln( )i i iC Y u

1 0

1 Y

1 C

ˆ 34.8 117.94ln( )

ˆ( ) (26.14)(31,09)

i i

i

C Y

Se

219

2. En küçük kareler tahmin edicilerinin arzu edilen özelliklere sahip olabilmesi için 1-

6 varsayımları sağlamalıdır.

3. Veriye uyumunu sağlayacak esnek bir yapı olmalıdır.

Ekonomik değişkenler arasında “gerçek” fonksiyonel ilişki asla bilinmediği için seçilen fonksiyonel şekil ne kadar iyi olursa olsun sadece bir yaklaşmadır. Hedef yukarıda belirtilen üç amacı tatmin edici bir fonksiyonel şekli seçmektir.

7.3. Hata Terimleri için Normal Dağılımın Testi

Parametreler için hipotez testleri ve aralık tahminlerinin, hataların normal dağıldığı varsayımına dayandığını önceki derslerimizden biliyoruz. Hata teriminin normal dağıldığı varsayımı çoğu zaman gerçekleşmesi beklenen bir varsayımdır. Bunun nedeni; Hata terimlerinin genellikle modele dâhil edilmeyen çok sayıda bağımsız değişkenin etkisini temsil

etmesidir.

Hata teriminin modelde yer almayan değişkenlerin bileşik etkisini yansıtmakta ve bu etkinin rassal olması beklenmektedir Merkezi Limit Teoremine (MLT) göre, rastlantısal değişkenlerin sayısı artarken dağılımları ne olursa olsun toplamları normal dağılıma yaklaşacaktır. MLT’ye göre, örnek birim sayısının artması hâlinde, Y’ler normal dağılmasa bile, parametre tahminleri asimptotik olarak normal dağılacaktır.

Büyük örneklemlerde MLT den dolayı hataların normal dağıldığı varsayımı yerine gelse

de, regresyon hatalarının normal dağılıma uygun olması arzu edilen bir özelliktir. Hatalar normal olarak dağılmazlar ise, alternatif bir fonksiyonel şekil veya bağımlı değişken dönüştürmesini dikkate alarak model iyileştirilebilir. Gerçek rassal hatalar gözlemlenemediği için, normallik testinde EKK kalıntıları kullanılmaktadır.

7.3.1. Jarque-Bera Testi

Normallik varsayımının testi için birçok test vardır. Normallik için kullanılan testlerden

Jarque-Bera testi çarpıklık ve basıklık ölçülerine dayanmaktadır. Jarque-Bera testinde EKK

kalıntılarından hesaplanan eğiklik ve basıklık ölçüleri kullanılmaktadır. Normal dağılım simetrik bir dağılım olduğu için çarpıklık (S) 0, basıklık (K) 3’e eşittir.

Jarque-Bera (JB) test istatistiği kalıntıların normal dağıldığı temel hipotezi alında çarpıklık ve basıklık ölçülerinden aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. Çarpıklığın büyük değerleri ve/veya 3’ten oldukça farklı basıklık değerleri Jarque-Bera istatistiğinin büyük bir değerine yol açacaktır.

22

22

3

6 24

KSJB n

220

Kalıntılar normal dağılırsa Jarque-Bera istatistiği iki serbestlik derecesi ile bir ki-kare

dağılımına sahiptir. İstatistiğin hesaplanan değeri iki serbestlik derecesi ile ki-kare

dağılımından seçilen bir kritik değeri büyük ise hataların normal dağıldığı temel hipotezi

reddedilir İki serbestlik derecesi ile bir 𝜒2 −dağılımından %5 kritik değer 5.99’dur ve %1 kritik

değer 9.21’dir

JB test istatistiğinde yer alan eğiklik (S) ve basıklık (K) ölçüleri momentler yoluyla hesaplanır.

,

MOMENTLER

İstatistik derslerinizden momentler konusunu hatırlayacak olursanız, ortalaması olan X

değişkeninin momentleri aşağıdaki eşitlikten hesaplanmaktadır.

Buna göre 0., 1., 2.,3. ve 4. momentler aşağıdaki gibidir.

Yukarıdaki eşitliklerden görüldüğü üzere 0. Moment 1’e, 1. Moment X’in ortalamasına, 3. Moment X’in varyansına eşittir.

Momentler ölçü birimine bağlı oldukları için JB tets istatistiğinde çarpıklık ve basıklık ölçüleri olarak ölçü birimlerinin etkisi giderilmiş (S ve K) momentleri kullanılmaktadır.

E(u)=0 hata terimlerinin beklenen değeri sıfır olduğu ve aynı zamanda hata terimlerinin yerine kalıntıların ikame edilebileceği göz önüne alınacak olursa momentler aşağıdaki gibidir.

333

ˆS

444

ˆK

0,1,2,3,4r

r E X r

0

0 1E X

1

1 E X E X

2 22 XE X

3

3 E X

4

4 E X

221

, ,

JB testi için emel ve alternatif hipotez aşağıdaki gibidir.

H0: S=0 ve K=3 (Kalıntılar normal dağılıma uygundur.)

H1: S 0 ve/veya K 3 (Kalıntılar normal dağılıma uygun değildir.)

Hesaplanan test istatistiği 2 sd’li ki-kare tablosu ile karşılaştırılır. Hesaplanan test istatistiği tablo değerinden küçükse H0 hipotezi, büyükse H1 hipotezi kabul edilir. Tam

logaritmik modellerde (log-log modeller) JB testi uygulanırsa kalıntıların antilogaritmaları alınır.

Açıklayıcı Uygulama 1

Yukarıda raporlanmış sonuçlara göre kalıntıların normal dağılıma uygun olduğu varsayımının testi aşağıdaki gibi uygulanır.

Temel ve alternatif hipotezler

H0: S=0 ve K=3

H1: S 0 ve/veya K 3

Test istatistiği

Tablo değeri

Karar

için kalıntıların normal dağıldığı temel hipotezi reddedilemez.

2

22

îu

n 3

3

îu

n

4

4

îu

n

2ˆ 52.35 0.138 14 39.023 0.82

(37.285) (0.0187)

0.989512 3.5452

i iY X n r

S K

2 2 2 2( 3) (0.989512) (3.5452 3)14

6 24 6 24

S KJB n

2.458JB

22 5.99

222.458 5.99JB

222

Açıklayıcı Uygulama 2

Tahmin edilen regresyon modelinden aşağıdaki ara sonuçlar hesaplanmıştır.

, , n=13

Kalıntıların normal dağıldığı hipotezini test ediniz.

Bu uygulamada bir önceki uygulamadan farklı olarak JB test istatistiğindeki çarpıklık (S) ve basıklık (K) ölçüleri verilmemiştir. S ve K ölçüleri yukarıdaki kalıntılar ile ilgili ara sonuçlarda hesaplanabilir.

Eğiklik:

Basıklık:

Öncelikle eğiklik ve basıklık ölçülerinde yer alan 3. Moment ( ) ve 4. Moment ( )

‘in hesaplanması gerekir. Ayrıca ve hesaplanabilmesi için varyansa eşit olan 2.

Momentin ( ) de hesaplanması gerekir.

Yukarıdaki sonuçlara göre 2. Moment ( ) 1.896’ya eşittir. Buna göre kalıntıların varyansı ‘ eşittir. Buradan ve hesaplanır.

ise

Bu aşamada eğiklik (S) ve basıklık (K) ölçüleri hesaplanabilir.

2ˆ 24.649iu 3ˆ 89.908iu 4ˆ 414.816iu

33

ˆS

44

ˆK

3 33 4

2

2

22

ˆ 24.649ˆ 1.89613

iu

n

3

3

ˆ 89.908ˆ 6.91613

iu

n

4

4

ˆ 414.816ˆ 31.90913

iu

n

22 1.896 3 4

2 1.896 1.377

3 2 1 1.896 1.377 2.611

3 2 2 1.896 1.896 3.594

223

Eğiklik: Sağa çarpık

Basıklık: Sivri

Bilinmeyenler hesaplandığına göre, JB testini uygulayabiliriz.


H0: S=0 ve K=3

H1: S 0 ve/veya K 3

Test istatistiği

Tablo değeri

Karar

için alternatif hipotez kabul edilir, kalıntıların normal dağılıma uygun değildir.

33

ˆ 6.9162.649 0

2.611S

44

ˆ 31.9098.879 3

3.594K

2 2 2 2( 3) (2.649) (8.879 3)13

6 24 6 24

S KJB n

33.905JB

22 5.99

2233.905 5.99JB

224

Uygulama Soruları

1) Orijinden geçen regresyon modeli için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) Sabit terim yer almaz.

b) Belirginlik katsayısı negatif çıkabilir.

c) Kalıntıların toplamının sıfır olması gerekmez.

d) Uyumun iyiliği için ham hesaplanır. ham 0 ile 1 arasında değer alır.

e) Alternatif modellerin seçiminde ham , ‘den büyükse orijinden geçen regresyon tercih edilir.

2) , verilerini kullanarak modelini tahmin

ediniz.

a)

b)

c) Yukarıdaki veriler modelin tahmini için yetersizdir.

d)

e)

3) modelinin yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

a) Ln X’teki %1’lik değişme ln Y’yi % 83 düşürür.

b) X’teki %1 birimlik değişme lnY’yi %0.83 birim düşürür.

c) X’teki %1’lik değişme Y’yi %0.83 düşürür.

d) X’teki %1 birimlik değişme Y’yi % 83 birim düşürür.

e) X’teki 1birimlik değişme Y’yi % 83 birim düşürür.

2r 2r

2r 2r

493i iX Y 2 638iX 1i iY X

ˆ 0.77i iY X

ˆ 1.29i iY X

ˆ 6.19i iY X

ˆ 40.85i iY X

ˆln 8.75 0.83lnY X

225

4) modelinin yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

a) X’teki 1 birimlik değişme Y’yi %0.61 arttırır.

b) X’teki 1 birimlik değişme ln Y’yi %0.61 arttırır.

c) X’teki 1 birimlik değişme Y’yi % 61 arttırır.

d) X’teki %1 birimlik değişme ln Y’yi %0.61 arttırır.

e) Ln X’teki 1 birimlik değişme ln Y’yi %0.61 arttırır.

5) Jarque-Bera istatistiği için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Test istatistiği 2 serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına uygundur.

b) Hata terimlerinin normal dağıldığı varsayımının testi amacıyla kullanılır.

c) Çarpıklık ve basıklık ölçülerine dayanmaktadır.

d) Test istatistiği momentlerden hesaplanır.

e) Temel hipoteze göre basıklık 3’e, çarpıklık 0’a eşittir.

6) model için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) EKK tahmincileri ile ile ‘in doğrusal, sapmasız ve en iyi tahmin edicileridir.

b) sapmasız olduğu hâlde, logaritmik dönüşümü sapmalı ancak tutarlı bir tahmindir.

c) X artarken Y azalarak artıyorsa parametresi 0’dan küçüktür.

d) Tahmin edilen parametre ( ) esnekliği verir.

e) Esneklik her noktada sabittir.

7) modeli için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) ise marjinal etki artan oranda artmakta, azalan oranda

azalmaktadır.

b) X’teki bir birimlik değişme Y’de yaklaşık kadar bir değişime neden olur.

ˆln 2.65 0.61Y X

ln ln lni i iY X u

ˆln

ln lni i iY X u

0 0

%

226

c) ’lık değişme 100 ile çarpılırsa Y’nin büyüme oranı elde edilir.

d) Esneklik eşittir.

e) , Y’deki nispi değişmenin X’teki mutlak değişmeye oranıdır.

Q üretimi göstermek üzere yıllık verilerden tahmin edilen

modelde olup, 0.062’nin anti logu 1.064’e eşittir.

8) Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

a) Üretim yılda ortalama % 6.4 artmaktadır.

b) Üretim yılda ortalama % 62 artmaktadır.

c) Üretim yılda ortalama %10.64 artmaktadır.

d) Üretim yılda ortalama % 6.2 artmaktadır.

e) Üretim yılda ortalama %106.4 artmaktadır.

9) modeli için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) X>0 olmalıdır.

b) Marjinal etki her noktada değişmektedir.

c) >0 ise artan oranda azalmaktadır.

d) X’deki %1’lik değişme karşısında Y, kadar değişecektir.

e) <0 ise azalan oranda azalmaktadır.

10) Aşağıdakilerden hangisi Jarque-Bera test istatistiğinin temel ve alternatif hipotezlerdir? S= çarpıklık K=basıklık

a) H0: S=0 veya K=3 ; H1: S 0 veya K 3

b) H0: K=0 veya S=3 ; H1: K 0 veya KS 3

c) H0: S=0 veya K=3 ; H1: S 0 ve K 3

d) H0: S=0 veya K=3 ; H1: S 0 ve/veya K 3

e) H0: S=0 ve K=3 ; H1: S 0 ve/veya K 3

%

iY

ln 5.112 0.062Q t

ln(1 ) 0.062r

lni i iY X u

227

Cevaplar:

1) e, 2) a, 3) c, 4) a, 5) d, 6) c, 7) d, 8) a, 9) c, 10) e

228


Doğrusal regresyon modeli her iktisadi ilişkiye uygunluk göstermez, dolayısıyla alternatif model spesifikasyonlarının kullanılması gerekir. Bu bölümde alternatif modellerden orijinden geçen regresyon, log-log model, log-doğrusal model, doğrusal log modelin

özelliklerini ele aldık. Bu modellerin özelliklerini inceledik. Özellikle log-log model, log-

doğrusal model, doğrusal log modelin parametrelerinin matematisel anlamı ve buna bağlı olarak parametrelerin yorumları doğrusal modelden farklılık arz ettiğinin üzerinde durduk.

Ayrıca hata teriminin normal dağıldığı varsayımı parametrelerin güven aralıklarının oluşturulması ve hipotez testleri uygulamasında önem arz ettiği için hata terimlerinin normallik varsayımının testi için, JB testinin uygulamasını öğrendik.

229

Bölüm Soruları

1) şeklinde tahmin edilen regresyon modeli ile ilgili ara sonuçlar:

olduğuna göre veriler uyumunu veren ölçünün değeri aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

c)

d)

e) Yukarıdaki veriler yetersizdir, hesaplanamaz.

2) Orijinden geçen regresyon modelini sabit parametreli regresyon modelinden

ayıran özelliklerden biri aşağıdakilerden hangisidir?

a) Sabit terimi istatistiksel açıdan anlamsızdır.

b) İktisadi bir zorunluluk yoksa orijinden geçen regresyon tercih edilmez.

c) Modelin parametrelerinin yorumu farklıdır.

d) Belirginlik katsayısı negatif çıkabilir.

e) Kalıntı kareler toplamı negatif çıkabilir.

3) “ X’teki %1’lik artış Y’yi %0.02 düşürür” yorumu aşağıda tahmin sonuçları verilen regresyon modellerinden hangisine aittir?

a)

b)

c)

d)

e)

ˆ 1.56 iY X

218627i iX Y 2 509iY 2 72iX

2 0.94r

2 0.05r

2 0.52ham r

2 1.98ham r

ˆln 0.81 2lnY X

ˆ 0.81 0.02Y X

ˆ 0.81 0.02lnY X

ˆln 0.81 0.0002lnY X

ˆln 0.81 0.02lnY X

230

4) S=4.307, K =6.721, n=34 ise aşağıdakilerden hangisi hata teriminin normal dağılımının test istatistiğinin değeri ve kararıdır?

a) JB=82.504; kabul; hata terimleri normal dağılıma uygundur.

b) JB=124.723; kabul; hata terimleri normal dağılıma uygun değildir.

c) JB=21.084; kabul; hata terimleri normal dağılıma uygun değildir.

d) JB=3.222; kabul; hata terimleri normal dağılıma uygundur.

e) JB=0.06; kabul; hata terimleri normal dağılıma uygun değildir.


a) Birinci moment 1’e, ikinci moment ortalamaya, üçüncü moment varyansa eşittir.

b) Çarpıklık ve basıklık ölçüleri momentlerden hesaplanır.

c) Momentler ölçü birimine bağlıdır.

d) Tahmin edilen modelin kalıntıları ile ilgili , ve ‘nın hesaplanmış değerlerine sahip isek JB test istatistiğini hesaplayabiliriz.

e) JB test istatistiği 2 serbestlik dereceli ki-kare tablo değerinden büyük ise kalıntılar normal dağılıma uygunluk göstermektedir.

6) Aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) Log-log modelde esneklik sabittir.

b) Log-doğrusal modeller bağımlı değişkenin büyüme oranının tahminde kullanılabilir.

c) Log-doğrusal modelde marjinal etki sabittir.

d) Doğrusal-log modelde esneklik bağımlı değişken Y’nin değerine bağlıdır.

e) Doğrusal-log modelde marjinal etki sabit değildir.

0H

1H

1H

0H

0H

2ˆiu 3ˆ

iu 4ˆiu

231

7) Y, GSYİH göstermek üzere yıllık verilerden tahmin edilen

modelde olup, 0.09’nin anti logu 1.094’e eşittir. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

a) Büyüme oranı %9’dur.

b) Büyüme oranı %10.94’tür.

c) Büyüme oranı %10’dur.

d) Büyüme oranı %9.4’tür.

e) Büyüme oranı %0.09’dur.

8) JB test istatistiği sonucuna göre aşağıdakilerden çıkarımlardan hangisi yanlıştır?

a) Temel hipotez kabul edilirse, hata terimleri normal dağılır, bağımlı değişkenin de normal dağıldığı sonucuna ulaşılır.

b) Temel hipotez kabul edilirse, hata terimleri normal dağılır tahmin edilen parametrelerin de normal dağıldığı sonucuna ulaşılır.

c) Alternatif hipotez kabul edilirse, tahmin edilen parametrelerine uygulanan güven aralıkları ve hipotez testleri geçersizdir.

d) Temel hipotez kabul edilirse, hata terimleri serisinin çarpıklığı 3, basıklığı 0’dır.

e) Klasik doğrusal regresyon modelinin normallik varsayımı isteğe bağlı varsayımdır, ancak modelin geçerliliğinin testi için önemlidir.


a) Alternatif modellerin seçiminde ile karşılaştırılamaz.

b) Orijinden geçen regresyon modelinde sabit parametre olmadığı için hesaplanır.

c) regresyon ile açıklanan değişmeden hesaplanır.

d) -1 ile 1 değerleri arasında yer alır.

e) Orijinden geçen modelinde ‘nin hesaplanması isteğe bağlıdır.


ln 0.83 0.09Y t ln(1 ) 0.09r

2 ham r 2r

2 ham r

2 ham r

2 ham r

2 ham r

232

a) Log-log model ile log-doğrusal model belirginlik katsayısına göre karşılaştırılamaz.

b) Log-log modelde bağımsız değişkenler sıfırdan büyük olmalıdır.

c) Doğrusal- log modelde bağımsız değişken sıfırdan büyük olmalıdır.

d) Log-log model ile doğrusal-log model belirginlik katsayısına göre karşılaştırılamaz.

e) Log- doğrusal .modelde bağımsız değişken sıfırdan büyük olmalıdır.

Cevaplar

1) c, 2) a, 3) e, 4) b, 5) e, 6) c, 7) d, 8) d, 9) a, 10) a

233

8. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİ -I

234


1) Bağımlı değişkeni etkileyen birden fazla bağımsız değişken varsa ekonometrik model nasıl tahmin edilir?

2) Ekonometrik modelin parametreleri nasıl yorumlanır?

235



Çok değişkenli bir regresyon modelini anlama ve bu modeldeki

parametreleri yorumlayabilme.

Ders notları tekrar edilerek, alternatif uygulamalar

incelenerek

Çok değişkenli regresyon modeli

için varsayımlarının anlamını anlama ve açıklama.


Çok değişkenli regresyon modelindeki katsayıların en küçük kareler tahminlerini elde etmek.


Hata teriminin varyansını tahmin etmek


236

Anahtar Kavramlar

Çok değişkenli regresyon modeli

Esneklik

Hata teriminin varyans tahmini

Hata varyans tahmincisi

İktisadi model

EKK tahmincisi

EKK tahmini

237

Giriş

Basit regresyon modelinin tahmini kolay olmasına karşın iktisadi ilişkilerin bazılarını açıklamada yetersiz kalmaktadır. Çoğu iktisadi ilişkide bağımlı değişkeni etkileyen iki veya daha fazla değişken vardır. Bu değişkenlerden bazıları model dışında bırakılır ve iktisadi ilişkiler basit regresyon modeli ile tahmin edilirse önemli değişkenler model dışında kalacak ve model spesifikasyon hatalarından dışlanmış değişken durumda ortaya çıkan olumsuzluklara maruz kalacaktır. Ekonometrik model mümkün olduğunca sade olmalıdır ancak modelde bağımlı değişkeni etkileyen önemli bağımsız değişkenlere mutlaka yer verilmelidir. Bu dersimizde birden fazla bağımsız değişkeni olan ve çok değişkenli regresyon modeli olarak bilinen konuya giriş yapacak, çok değişkenli modelin parametrelerinin tahmini, yorumu ve hata terimi varyansının tahminini ele alacağız. Ayrıca klasik doğrusal regresyon modelinin çok değişkenli regresyon modeli için varsayımları kısaca ele alınacaktır.

Basit regresyon modelinde bağımlı değişken Y sadece bir bağımsız değişken X ile

ilişkili olduğu için model basit regresyon ile adlandırılır. Bu model pek çok durum için yararlı olmasına karşın, çoğu iktisadi modelde bağımlı değişken Y’yi etkileyen iki veya daha fazla

bağımsız değişken etkilemektedir. Örneğin talep denkleminde, bir malın talep edilen miktarı, bu malın fiyatına, ikame ve tamamlayıcı malların fiyatlarına ve gelire bağlıdır. Bir üretim fonksiyonundaki çıktı, bir girdiden daha fazlasının bir fonksiyonudur. Toplam para talebi, toplam gelir ve faiz oranın bir fonksiyonudur. Yatırım ise faiz oranı ve gelirdeki değişime bağlıdır.

Birden fazla açıklayıcı değişkenli bir iktisadi modeli, buna uygun ekonometrik modeline dönüştürüldüğünde bu model, çok değişkenli regresyon modeli (çoklu regresyon modeli) olarak adlandırılmaktadır. Önceki bölümlerde basit regresyon modeli için geliştirdiğimiz sonuçların çoğu, çok değişkenli regresyon modeli için genişletilebilir.

parametresinin yorumunda küçük değişiklikler söz konusudur, t-dağılımı için serbestlik derecesi değişecektir ve açıklayıcı değişkenlerin (X) özellikleri ile ilgili varsayıma ilave varsayıma ihtiyaç vardır. Çok değişkenli regresyon modelinin anlaşılabilmesi için basit regresyon modelinin özümsenmiş olması gerekir.

238

8.1. İktisadi Model

Daha önceki bölümde basit regresyon modeli ile reklam harcamalarının farklı düzeylerinin satışlar üzerindeki ortalama etkisini tespit ettik. Firma reklam harcamalarının farklı düzeylerinin yanı sıra farklı fiyat yapılarının da etkilerini değerlendirmek isteyebilir.

Şöyle ki;

Firma reklam harcamalarının düzeyi değiştikçe satış rakamlarının nasıl değişecek? Reklam harcamasındaki bir artış, satışlarda bir artışa yol açar mı? Eğer bu mümkünse, satışlardaki artış, artan reklam harcamasını savunmak için yeterli midir? Firma ayrıca, fiyatlama stratejisi ile de ilgilidir. Düşen fiyatlar, satış hasılatında bir artışa mı yoksa bir azalışa mı yol açmaktadır? Fiyattaki bir azalma, satılan miktarda yalnızca küçük bir artışa yol açıyorsa, satış hasılatı azalır (talep, düşük fiyat esnekliğine sahiptir); satılan miktarda büyük bir artışa yol açan bir fiyat düşüşü, hasılatta bir artışı sağlayacaktır (talep fiyata göre, esnektir). Bu iktisadi bilgi, etkili yönetim için temeldir.

İlk adım, satış hasılatının bir veya daha fazla açıklayıcı değişkene bağlı olduğu bir

iktisadi model kurmaktır. Satış hasılatının ( ), fiyat ( ) ve reklam harcaması ( ) ile

doğrusal olarak ilişkili olduğunu hipotezi altında iktisadi model aşağıdaki gibidir:

Bu denklemde, aylık satış hasılatını temsil etmektedir, fiyat ve ise reklam

harcaması temsil etmektedir. Satış hasılatı ( ) ve reklam harcamaları ( ) bin lira, fiyat (

) ise lira cinsinden ölçülmektedir. ve , satışların ( ) fiyat ( ) ve reklam

harcamalarına ( ) bağımlılığını gösteren, bilinmeyen parametreler. Matematiksel olarak

kesim (otonom) parametresi , bağımsız değişkenler sıfır değerini aldığında bağımlı değişkenin değeridir. Ancak basit regresyon bahsinde de belirtildiği gibi çoğu durumda kesim

parametresinin, açık bir iktisadi yorumu yoktur. Örneğin bu örnekte fiyatın ve reklam

harcamalarının sıfır olması ( ) durumu iktisadi açıdan gerçekçi değildir. Çok özel durumlar haricinde, doğrudan bir iktisadi yorumu olmasa bile, her zamanda modele bir sabit

eklenir. Sabiti ihmal etmek, modelin veriye zayıf uyum göstermesine ve iyi öngörü yapamamasına yol açar.

Modeldeki diğer parametreler ( ve ) diğer tüm değişkenler sabit tutulduğunda, bağımsız değişkende bir birim değişim veri iken, bağımlı değişkenin değerindeki değişimi ölçer. Buna göre:

Y 1X 2X

0 1 1 2 2iY X X

Y 1X 2X

Y 1X 2X

0 1, 2 Y 1X

2X

0

1 2 0X X

1 2

239

: reklam harcamaları ( ) sabit iken fiyat bir birim (1 lira) arttırıldığında satışların

(1000 lira) tepkisini verir ve

sabit iken veya

ile gösterilir. Aynı şekilde , fiyat ( ) sabit iken reklam harcamaları bir birim (1000 lira)

arttırıldığında satışlardaki değişimi verir ve

sabit iken veya

ile gösterilir. Matematik dersinden bilindiği üzere “∂ ” sembolü, “kısmi türev alma”yı temsil etmektedir. Yukarıdaki satışların fiyata göre kısmi türevi, diğer faktörler yani reklam

harcamaları sabit tutulduğunda, fiyat değiştikçe satışların değişim oranıdır. ’nin işareti

pozitif veya negatif olabilir. Fiyattaki bir artış, satış hasılatında bir artışa yol açıyorsa

olup, talebin fiyat esnekliği, esnek değildir. Aksine, fiyattaki bir artış, satışlarda bir azalışa yol

açıyorsa, talebin fiyat esnekliği, esnektir ve bu durumda, olur. Böylece, ‘nin işaret

bilgisi, talebin fiyat esnekliği hakkında genel bilgi sağlar. ’nin büyüklüğü, veri bir fiyat

değişimi karşısında, satış gelirlerindeki değişim miktarını ölçer. Diğer taraftan reklam

harcamalarının atışlar üzerindeki etkisini gösteren ’nin işaretinin pozitif olmasını bekleriz,

reklam çok kötü olmadıkça reklam harcamasındaki bir artış satış hasılatında bir artışa yol

açacaktır. ise reklam harcamasında 1,000 liralık bir artış, satış gelirlerinde 1,000 liradan

daha az bir artış sağlayacaktır. ise daha fazla bir artış sağlayacaktır. Bu sebeple, firmanın

reklam politikası açısından, bilgisi çok önemlidir.

ve ’den yukarıdaki bilgilere ulaşabilmenin yolu bu iktisadi modeli,

ekonometrik bir modele dönüştürmektir.

8.2. Ekonometrik Model

Yukarıdaki iktisadi model satışalar için beklenen veya ortalama davranışını açıklamaktadır. Böylece, bu durumu, olarak yazabiliriz, burada,

satış gelirlerinin “beklenen değeri”dir. Satış hasılatı, fiyat ve reklam verileri, tam bir doğrusal ilişki izlemeyecektir. Çok değişkenli bu model bir doğruyu göstermemekte, bir

düzlemi göstermektedir. Şekil 18’de gösterildiği gibi, düzlem, dikey ekseni ‘da kesmektedir.

1 2X

1

1

Y

X

2X 1

1

Y

X

2 1X

2

2

Y

X

1X 2

2

Y

X

1

1 0

1 0 1

1

2

2 1

2 1

2

0 1, 2

0 1 1 2 2i i iE Y X X

iE Y

0

240

ve parametreleri, sırasıyla, “fiyat ekseni” ve “reklam harcamaları ekseni” yönlerinde düzlemin eğimini ölçmektedir. Satış gelirleri, fiyatı ve reklam harcamalarını temsil eden gözlemler Tabloda gösterilmiştir. Bu veriler, tam olarak bir düzlem üstüne düşmez.

Gözlemlenebilir satış geliri ile beklenen satış geliri değeri arasındaki fark, rassal hata

terimi ‘dir . Rassal hata, satış gelirinin, beklenen değerinden farklı olmasına yol açan, fiyat ve reklam haricindeki tüm faktörleri temsil eder. Bu faktörler, hava koşullar, rakiplerin davranışı, tüketici davranışındaki farklar olabilir. Hata terimini eklemek aşağıdaki

modeli sağlar,

İktisadi model, satış gelirleri ile fiyat ve reklam harcamaları ortalama sistematik ilişkiyi açıklar. Beklenen değer rassal olmayan, sistematik bileşendir. Ancak satış gelirlerinin beklenen değerine rassal hata eklendiği için satışlar da rassal bir değişkendir. Satış gelirinin değerinin ne olacağı, gözlemleninceye kadar bilinmez.

Şekil 18: Çoklu regresyon düzlemi

Hata terimi ve dağılımı ile ilgili varsayımların kullanılmaya başlanması ile iktisadi

model, ekonometrik modele dönüşmektedir. Ekonometrik model, değişkenler arasındaki ilişkilerin daha gerçekçi bir açıklamasını ve bunun yan ısıra bilinmeyen parametrelerin

tahmincilerinin değerlendirilmesi ve geliştirilmesi için bir çerçeve sağlamaktadır.

1 2

i i iu Y E Y

0 1 1 2 2i i i iY E Y u X X u

iE Y

241

8.2.1. Genel Model

Çok değişkenli regresyon modelinde, bağımlı değişken Y, doğrusal denklem boyunca k-

1 sayıda bağımsız değişken (açıklayıcı değişken) ile ilişkilidir. Çok değişkenli regresyon modeli aşağıdaki gibi gösterilebilir.

; Y ile değişkenleri arasında ilişki kuran modelin

bilinmeyen parametreleridir. Parametrelerin yorumu basit regresyonda olduğundan küçük bir

farklılık göstermektedir. Örneğin parametresi diğer değişkenler sabit tutulduğunda

değişkenindeki bir birim değişimin, Y’nin beklenen değeri üzerindeki etkisini ölçer. , kısmi türev ile aşağıdaki gibi gösterilebilir.

parametresi, kesim terimi (otonom parametre)’dir. Çok değişkenli regresyon modelinin tahmini, çok değişkenli regresyon modellerinin en basiti olan iki bağımsız değişkenli model çerçevesinde incelenecektir. İkiden fazla bağımsız değişkenli modellerin tahmini daha fazla matematiksel işlemler gerektirdiği için Ekonometri Paket Programları ile yapılmaktadır. İki bağımsız değişkenli çok değişkenli regresyon modeli aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Yukarıda verilen modelde parametre sayısı (k) 3’ e eşittir. Bu parametreler için uygulanacak nokta ve aralık tahminleri, daha fazla bağımsız değişkenli modeller (𝑘 > 3) için de geçerlidir.

8.2.2. Çok Değişkenli Regresyon Modelin Varsayımları

Çok değişkenli ekonometrik model için rassal hataların ui olasılık dağılımı ile ilgili varsayımlar, basit regresyon modelindeki varsayımlara benzerdir. Bunlar,

1.

Her alt ana kütle için rassal hata, sıfır ortalamalı bir olasılık dağılımına sahiptir. Hataların bazıları pozitif, bazıları negatif olacaktır. Çok büyük gözlemler için bunların ortalamada sıfır olacağı beklenmektedir.

1 2 1, , , kX X X

0 1 1 2 2 1 1i i i k ik iY X X X u

1 2 1, , , k 1 2 1, , kX X X

2 2X

2

2

2 2

( ) ( )E Y E Y

X X

1 3, , sabit tutulursakX X X

0

0 1 1 2 2i i i iY X X u

( ) 0iE u

242

2.

Her alt ana kütle için rassal hata, varyanslı bir olasılık dağılımına sahiptir. Basit

regresyondan bilindiği üzere, varyans bilinmeyen bir parametredir ve modeldeki belirsizliği ölçer. Rassal hatanın varyansı her bir gözlem için aynıdır. Böylece herhangi bir gözlem için model belirsizliği daha fazla veya az değildir ve hata terimi iktisadi değişkenle doğrudan ilişkili değildir. Bu özelliğe sahip hatalar, sabit varyanslı (homoskedastik; eşit varyanslı) olarak isimlendirilir.

3. İki farklı rassal hata arasındaki kovaryans sıfırdır. Bir gözlemin hatasının büyüklüğü, diğer bir gözlemin hatasının olası büyüklüğünü etkilemez. Bu sebeple, herhangi bir hata çifti korelasyonlu değildir. Bu varsayım sağlanmazsa otokorelasyon olarak

adlandırılan ve modelin aleyhine sonuçlar doğuran ekonometrik bir problem söz konusu olur.

4. Rassal hataların , normal olasılık dağılımına sahiptir, .

Yine basit regresyondan bilindiği üzere bağımlı değişken Y’deki her bir gözlem, rassal

hata terimi ‘ya bağlı olduğu için, Y’de rassal bir değişkendir. Y’nin istatistiksel özellikleri, u’nun özelliklerinden elde edilir. Bu özellikler aşağıdaki gibidir:

5. Y’nin beklenen (koşullu ortalama) değeri , bağımsız

değişkenlerin ve bilinmeyen parametrelerin değerlerine bağlıdır. olduğu varsayımı, Y′ nin ortalama değerinin her bir gözlem için değişeceğini ve

regresyon fonksiyonu ile belirleneceği anlamına gelmektedir.

6. . Y’nin olasılık dağılımının varyansı her bir gözlem için sabittir. Y’nin bazı gözlemleri, diğerlerine göre, regresyon fonksiyonundan daha uzakta değildir. Y’nin varyansı ile u’nun varyansı eşittir, ancak beklenen değerleri farklıdır.

7. . Bağımlı değişkenin herhangi iki gözlemi korelasyonlu

değildir. Örneğin, bir gözlem ’nin üzerindeyse ( pozitif ise), sonraki gözlem muhtemelen

‘nin altında (negatif)’dır.

8. Y ‘nin değerleri, ortalamaları etrafında normal dağılır .

Bu varsayım, varsayımına eşittir.

Çok değişkenli regresyon modeli için yukardaki hata terimi (ve dolayısıyla bağımlı değişken) ile ilgili varsayımlara ek olarak açıklayıcı değişken ile ilgili iki varsayım vardır.

2 2( )i iE u Var u

2

( , ) 0i jCov u u

iu 20,iu N

iu

1 2 0 1 1 2 2,E Y X X X X

( ) 0iE u

0 1 1 2 2E Y X X

2( ) ( )i iVar Y Var u

( , ) ( , ) 0i j i jCov y y Cov u u

E Y

E Y

20 1 1 2 2 ,Y N X X

20,iu N

243

Bunlardan ilki basit regresyondan bilinmekte ancak ikincisi çok değişkenli regresyon modeline özgü bir varsayımdır.

9. Bağımsız değişkenler rassal değildir. Bu varsayım göre bağımlı değişkenin değerleri gözlemlenmeden önce, bağımsız değişkenin değerleri bilinmektedir.

10. Bağımsız değişkenlerden herhangi biri, diğerlerinin tam doğrusal bir fonksiyonu

değildir. Bu varsayım, hiçbir değişkenin gereksiz olmadığı varsayımına eşdeğerdir. Göreceğimiz gibi, bu varsayım sağlanamazsa, -tam doğrusal bağlantı olarak isimlendirilen bir durum- en küçük kareler yöntemi başarısız olur.

8.3. Çoklu Değişkenli Regresyon Modeli Parametrelerinin Tahmini: En Küçük Kareler Yöntemi

Bu bölümde, çok değişkenli regresyon modelinin bilinmeyen parametrelerinin tahmini için en küçük kareler ilkesinin kullanımı ele alınacaktır. Çok değişkenli regresyon modelinin en basiti aşağıda verilen iki bağımsız değişkene sahip modeldir.

Ekonometrik modelin bilinmeyen parametrelerinin tahmini için, bir tahminci olarak en

küçük kareler yöntemini kullanılacaktır. Basit regresyondan bilindiği üzere EKK ilkesi ile

’nin gözlemlenen değerleri ( ) ile beklenen değerleri arasındaki

farkların kareli toplamını minimize eden ve değerlerinin bulunmasına dayanmaktadır. Bu amaçla örnek verilerinden hareket edilir ve örnek regresyon modeli aşağıdaki gibi yazılır.

i. gözlem için ‘nin değeri ve ‘ye bağlıdır. EKK yöntemi ile bilinmeyen

parametrelerin tahmini için yine bilinmeyen paremetrelerin bir fonksiyonu olan kalıntı kareler

toplamı fonksiyonunun minimize edilmesi gerekir. Kalıntı kareler toplamı fonksiyonunun(

) minimizasyonu için, fonksiyonda ve ‘ye göre kısmi türev alınarak sıfıra eşitlenir.

, ,

Gerekli matematiksel işlemler ve sadeleştirmeler yapılırsa, aşağıdaki denklem sistemi

elde edilir.

0 1 1 2 2i i i iY X X u

iY

iY 0 1 1 2 2i i iE Y X X

0 1, 2

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ î i i i i iY Y u X X u

iY iY îu

2îu

0 1ˆ ˆ, 2

2

0

ˆ0ˆ

iu

2

1

ˆ0ˆ

iu

2

2

ˆ0ˆ

iu

244

Normal Denklemler

Yukarıdaki denklem sistemi, üç bilinmeyenli üç denklemden oluşmakta ve EKK’nin

normal denklemleri adını almaktadır. Denklemler eş anlı çözümlendiğinde modelin

bilinmeyenleri ve hesaplanır. Normal denklemlerde yer alan unsurlar değişkenlerin gözlemlenen değerleridir. Orijin 0 noktası olup değişkenlerin 0’a uzaklığı hesaplamalara katılmıştır.

Ancak bu normal denklemlerin çözümü oldukça fazla zaman alır. Bundan dolayı üç değişkenli regresyon modelinin EKK tahmini için değişkenlerin ortalamadan farkları (

) kullanılacaktır.

Öncelikle normal denklemlerden birincisinin

her iki yanı n gözlem sayısına bölünür ve

sonucuna ulaşılır. Daha sonraki aşamada i. gözlem için ile arasındaki fark alınır.

EKK yönteminin özelliklerinden , çok değişkenli regresyon içinde geçerlidir.

Yukarıda sadeleşir ve gerekli kısaltma yapılırsa

’dan

sonucuna ulaşılır ki bu gösterim ortalamadan farklara göre örnek regresyon

fonksiyonudur. Daha önce eşitliğinin, değişkenlerin ortalamalarında farklarıyla

ile gösterilebileceği bilinmektedir. Buna göre;

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ

i i iY n X X 2

1 0 1 1 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ

i i i i i iY X X X X X 2

2 0 2 1 1 2 2 2ˆ ˆ ˆ

i i i i i iY X X X X X

0 1ˆ ˆ, 2

1 1 1 2 2 2, ,i i i i i iY Y y X X x X X x

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ

i i iY n X X

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆY X X

iY Y

Y Y

0 1 1 2 2 0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

i i i iY Y Y Y X X X X

0

1 1 1 2 2 2ˆ ˆ

i i iY Y X X X X

1 1 2 2ˆ ˆî i iy x x

ˆ î i iY Y u

ˆ î i iy y u

245

i. gözlem için

‘den

olarak yeniden yazılabilir. i=1…..n’e kadar her iki tarafın kareler toplamı alınır ve hata

terimi kalıntı kareler toplamı fonksiyonunda ve ‘e göre kısmi türev alınarak sıfıra eşitlenir.

,

Kısmi türevlerin sıfıra eşitlenip çözümlenmesinden aşağıdaki denklem sistemi elde edilir.

Yukarıdaki denklem sistemine Cramer kuralı uygulanarak ve hesaplanır.

ise, eşitliğinden hesaplanır.

Basit doğrusal regresyon modeli uzayda bir doğru belirlerken çok değişkenli regresyon modelleri bir düzlem belirlediğini bir kez daha hatırlatalım.

En küçük kareler ilkesini, en küçük kareler tahmincileri ve en küçük kareler tahminleri arasındaki farkı anlamak önemlidir. Örnek verileri kullanılarak kalıntıların karelerinin toplamı

fonksiyonu minimize edilerek elde edilen ve için formüller, bilinmeyen

ˆ î i iy y u

1 1 2 2ˆ ˆˆ î i i i i iu y y y x x

1 2

22

1 1 2 2ˆ ˆˆ

i i i iu y x x

2

1

ˆ0ˆ

iu

2

2

ˆ0ˆ

iu

21 1 1 2 1 2

ˆ î i i i ix y x x x

22 1 1 2 2 2


1 2

2

1 2 2 1 2

1 22 21 2 1 2

ˆ i i i i i i i

i i i i

x y x x y x x

x x x x

2

1 1 2 2 1

2 22 21 2 1 2

ˆ i i i i i i i

i i i i

x y x x x y x

x x x x

0 0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆY X X

0 1ˆ ˆ, 2

246

parametrelerin en küçük kareler tahmincileri olarak isimlendirilen tahmin yöntemleridir. Genelde, bunların değerleri, veriler gözlemlenene kadar ve tahminler hesaplanana kadar bilinmediği için, en küçük kareler tahmincileri de rassal değişkenlerdir. En küçük kareler tahminleri ise sayısal değerlerdir.


Uygulama 1: İthalat Modeli

Aşağıdaki tabloda ithalat, GSMH ve ithal malları fiyat endeksi verileri yer almaktadır. 1986-1989 dönemi için ithalat denklemi EKK yöntemi ile tahmin edilecektir.

Not: Bu uygulamada 3 parametre tahmin edilmekte, ancak 4 gözlem kullanılmaktadır. Bu durum ekonometrik uygulama için uygun değildir, daha fazla sayıda gözlemin olması gereklidir. Ancak buradaki amaç EKK tahminlerinin nasıl elde edildiğini göstermek olduğu için, matematiksel işlemlerde basitlik olması açısından gözlem sayısı sınırlı tutulmuştur.

Yıllar İthalat (Milyar lira)

Y

GSMH (Milyar lira)

X1

İthal Malları Fiyat Endeksi X2

1986 1 10 2

1987 3 12 1

1988 5 16 2

1989 7 22 3

İthalat denklemi ’de yer alan ve için EKK tahmincileri aşağıdaki gibidir.

Burada ‘dir . Öncelikle EKK tahmincilerinde

yer alan aşağıdaki unsurların hesaplanması gerekir.

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ

i i iY X X 0 1ˆ ˆ, 2

2

1 2 2 1 2

1 22 21 2 1 2

ˆ i i i i i i i

i i i i

x y x x y x x

x x x x

2

1 1 2 2 1

2 22 21 2 1 2

ˆ i i i i i i i

i i i i

x y x x x y x

x x x x

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆY X X

1 1 1 2 2 2, ,i i i i i iY Y y X X x X X x

247

Yıllar Y X1 X2 Y2

1986 1 10 2 1 100 4 10 2 20

1987 3 12 1 9 144 1 36 3 12

1988 5 16 2 25 256 4 80 10 32

1989 7 22 3 49 484 9 154 21 66

84

984

18

280

36

130

1 1 1i i i iy x Y X nX Y 2 2ii

y Y nY

2 2 2i i i iy x Y X nX Y 2 2 21 1 1i ix X nX 1 2 1 2 1 2i i i ix x X X nX X

2 2 22 2 2i ix X nX

21X 2

2X 1YX 2YX 1 2X X

16iY

4Y

1 60iX

1 15X

2 8iX

2 2X

2iY 2

1X 22X 1iY X 2YX 1 2X X

1 1 1

2 2 2

2 22

22 2 21 1 1

22 2 22 2 2

1 2 1 2 1 2

280 4 15 4 40

36 4 2 4 20

84 4 4 20

984 4 15 84

18 4 2 2

130 4 15 2 10

i i i i

i i i i

ii

i i

i i

i i i i

y x Y X nX Y

y x Y X nX Y

y Y nY

x X nX

x X nX

x x X X nX X

1 2

40 2 4 10ˆ 0.5884 2 10

2 2

40 10 4 84ˆ 0.9484 2 10

0ˆ 4 0.58 15 0.94 2 2.9412

1 2ˆ 2.94 0.58 0.94iY X X

248

İthalat malları fiyat indeksi sabit iken, GSMH’deki 1 milyar liralık artış, ithalatı ortalama olarak 0.58 milyar lira arttıracaktır. GSMH sabit iken ithal malları fiyat indeksindeki 1 br’lik artış ithalatı 0.94 milyar lira azaltır. GSMH ve ithalat fiyat indeksi dışındaki değişkenlerin ithalat üzerindeki ortalama etkisi -2.94 milyar liradır.

İthalatın gelir ve fiyata göre ortalama esnekliği aşağıdaki gibi hesaplanır.

GSMH’deki %1’lik artış, ithalatı ortalama olarak % 2.2 arttırmaktadır. Fiyatlardaki %1’lik artış, ithalatı ortalama olarak % .47 azaltmaktadır.

Bu aşamada X1=16 ve X2=2 olduğu noktada ithalatın gelir ve fiyata için elastikiyetini hesaplayarak yorumlayalım.

Öncelikle X1=16 ve X2=2 olduğu noktada ithalatın tahmini değerini bulmamız gerekir.

X1=16 olduğu noktada ithalatın gelir esnekliği

X2=2 olduğu noktada ithalatın fiyat esnekliği

Bu sonuca göre X1=16 ve X2=2 olduğu noktada ithalat gelire göre esnek değil, fiyata göre esnektir.

1

1 11

1

15ˆ (0.58) 2.1754

YX

Y X X

X Y Y

2

2 22

2

2ˆ ( 0.94) 0.474

YX

Y X X

X Y Y

1 2ˆ 2.94 0.58 0.94 2.94 0.58 16 0.94 2 4.46iY X X

1

1 11

1

14 14ˆ (0.58) 1.82ˆ ˆ 4.46i

YX

Y X X

X Y Y

2

2 22

2

2 2ˆ ( 0.94)ˆ ˆ 4.

.2

64

40i

YX

Y X X

X Y Y

249


Tablo Satış, fiyat, reklam harcamaları verileri

Şehir Satışlar (1000 $) Fiyat (1 $) Reklam harcamaları (1000 $)

1 73.2 5.69 1.3

2 71.8 6.49 2.9

3 62.4 5.63 0.8

4 67.4 6.22 0.7

5 89.3 5.02 1.5

- - - -

- - - -

- - - -

73 75.4 5.71 0.7

74 81.3 5.45 2.0

75 75.0 6.05 2.2

Özet İstatistikler

Ortalama 77.37 5.69 1.84

Medyan 76.50 5.69 1.80

Maksimum 91.20 6.49 3.10

Minimum 62.40 4.83 0.50

Std. Sapma 6.49 0.52 0.83

75 şehir verilerine göre satışların ( ) fiyat ( ) ve reklam harcamaları ( ) ile

açıklandığı satış denkleminin EKK tahminleri aşağıda verilmiştir. Tahmin edilen parametreleri yorumlayalım. (Not: Açıklayıcı örnek 1’de küçük değerli veriler ve az gözlem kullanılarak parametrelerin nasıl tahmin edildiği detaylı açıklanmıştır. Ancak gözlem sayısının az olması daha sonra göreceğimiz üzere parametrelerin anlamsız çıkmasına sebep olur. Bu nedenle uzun matematiksel işlemlerden kaçınmak için gözlem sayısı fazla bu örneğin sadece sonuçları verilmiştir. )

Y 1X 2X

250

Yukarıdaki denklemden bilgiden hareketle, fiyatın ( ) negatif katsayısı, talebin fiyata göre esnek olduğunu göstermektedir. Reklam harcamaları sabit tutulduğunda, fiyat 1 lira

artışın, aylık satış gelirlerinin ( x1000) 7908 lira azalışa yol açacağı tahmin edilmektedir. Veya farklı bir şekilde ifade edersek, fiyattaki 1 lira düşüş, satış gelirlerinde 7908 lira kadar bir

artışa yol açar.

Reklam harcamalarının ( ) parametresinin işareti pozitiftir. Buna göre fiyat sabit tutulduğunda, reklam harcamasındaki 1000 lira bir artış, satış gelirlerinde 1863 lira kadar bir

artışa yol açacaktır.

Tahmin edilen otonom parametrenin değeri, hem fiyat hem de reklam harcaması sıfır olursa, satış hasılatının 118914 lira olacağını göstermektedir. Açık bir şekilde, bu sonuç mümkün değildir; iktisadi gerçeklere göre sıfır fiyat, sıfır satış hasılat anlamına gelir. Otonom parametrenin modele ilave edilmesi, doğrudan yorumlanamasa bile tahmini iyileştireceği için tercih edilen bir yoldur.

Fiyat veya reklam değiştiğinde, satışların nasıl değişeceği ile ilgili bilgi sağlamasına ilave olarak, tahmin edilen denklem, öngörü için de kullanılabilir. Fiyat 5.50 lira ve reklam

harcaması 1200 lira iken, satış gelirini öngörmek istersek, aşağıdaki işlemi uygularız. (Dikkat:

reklam harcamasının birimi 1000 lira olduğu için 1200 lira denklemde 1.2 olarak yer alacaktır.)

Yukarıdaki sonuca göre fiyat 5.50 lira ve reklam harcaması 1200 lira iken satış gelirinin öngörülen değeri 77656 liradır.

8.5. Hata Terimi Varyansının ( 𝛔𝟐 )Tahmini

Çok değişkenli regresyon modelinde, modelin parametreleri ‘nın tahminlerinden sonra tahmin edilmesi gereken bir diğer parametre de hata terimi varyansıdır.

1 2ˆ 118,91 7.908 1.863iY X X

1X

7.908

2X

1 2ˆ 118.914 1.863 7.908iY X X

ˆ 118.914 1.863(5.5) 7.908(1.2)iY

ˆ 77.656iY

0 1 2 1, , , , k

2 2( ) ( )i iVar u E u

251

Hata terimi varyansını ( ), kareli hataların ( ) beklenen değeri veya anakütle

ortalaması olarak düşünebiliriz. Ancak kareli hatalar ( ) gözlemlenemez. Bu nedenle için

EKK kalıntılarının karelerine dayanan bir tahminci geliştirilir. için bu kalıntılar aşağıdaki gibidir:

’nin ’deki değişkenliği veya eşdeğer olarak, Yi’nin ortalama fonksiyon

etrafında değişkenliği ölçmesi nedeniyle de ile ilgili bilgi

sağlayacaktır. ‘den elde edilen bu bilgiyi kullanan ve istatistiksel açıdan iyi özellikleri sahip

olan için bir tahminci aşağıdaki gibidir:

Burada k, çok değişkenli regresyon modelinde tahmin edilen parametre sayısıdır. ,

ortalama işlemindeki n yerine n-k olan payda ile ’nın bir ortalaması olarak düşünülebilir.

sapmasız olması için, ‘yi, ile yer değiştirmek, n yerine n-k ’nin kullanılmasını gerektirir.

, ’in tahminleri olduğu için, ’nın büyük değerleri,’ ’nin büyük olduğu

anlamına gelmektedir. Diğer yandan ’nın küçük değerleri, ’nin küçük olduğunu ifade

etmektedir. ’nın “büyük” değerleri, büyük pozitif ve büyük negatif değerler anlamındadır.

Kalıntı karelerini ’yi kullanmanın amacı pozitif değerlerin negatif değerleri yok etmesini

önlemektir, böylece, kalıntı kareler toplamı ( ), ile ilgili bilgi sağlamaktadır.


Uygulama 1: İthalat Modeli

Yukarıda verilen ithalat örneğimiz için ana kütle hata teriminin varyansını tahmin edelim.

22iu

2iu 2

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ

i i iY X X

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆˆî i i i i iu Y Y Y X X

2 iu

0 1 1 2 2i iX X îu 2

2îu

2

2

2 1

ˆˆ

n

ii

u

n k

22îu

22iu 2ˆ

iu

îu iu ˆ

iu 2

îu 2

îu

2îu 2ˆ

iu

2îu 2

1 2ˆ 2.82 0.58 0.94iY X X

252

Hata teriminin veryansının tahmincisi aşağıdaki gibidir.

n=gözlem sayısı, k=parametre saıyısı

Burada n=4 k=3 olduğu bilinmekte, ancak bilinmemektedir.

eşitliğinden kalıntılar karelerinin toplamı aşağıdaki gibi hesaplanır.

1 1.1 -0.1 0.01

3 3.2 -0.2 0.04

5 4.58 0.42 0.1764

7 7.12 -0.12 0.0144

İthalat modeli için rassal hatanın varyansı 0.2408 tahmin edilmiştir. Buradan tahminin

standart hatası: ’dir


Satış modelinde de ithalat modelinde olduğu gibi 75 gözlem için gözlemlenen

değerlerinden tahmin edilen değerleri çıkarılarak kalıntılar hesaplamış, daha sonra

kalıntıların karelerin toplamı aşağıdaki gibi hesaplanmıştır. Satış modeli için ilk olarak hata

terimi varyansı tahmin edilecek, daha sonra tahminin standart hatası hesaplanacaktır.

k=3 olduğuna göre hata terimi varyansının tahmini aşağıdaki gibidir.

2

2 1

ˆˆ

n

ii

u

n k

2

1

ˆn

ii

u ˆˆ i iu Y Y

iY iY ˆî i iu Y Y 2îu

2ˆ 0.2408iu 4

2

2 1

ˆ0.2408ˆ 0.24084 3

ii

u

n k

2ˆ ˆ 0.2408 0.4907

iY

iY

2îu

752

1

ˆ 1718.943ii

u

253

Tahminin standart hatası ise:

, bazen regresyonun standart hatası olarak da isimlendirilir. Bazen, kök mse

(ortalama hata karenin kısaltılmışı) olarak isimlendirilir.

752

2 1

ˆ1718.943ˆ 23.874

75 3

ii

u

n k

ˆ 23.874 4.8861

254

Uygulama Soruları

Gözlem Üretim

(bin adet)

Çalışma saati

(100 saat)

Sermaye

(milyon lira)

1 11 10 25

2 10 7 22

3 12 10 30

4 6 5 18

5 10 8 21

6 7 8 15

7 9 6 17

8 10 7 12

9 11 9 14

10 10 10 24

Yukarıdaki verileri kullanarak 1-4 arası soruları cevaplandırınız.

1) Regresyon denklemini tahmin ediniz.

Yukarıdaki veriler üretim modeline aittir. Üretim(Q) emek (L) ve sermayenin (S) fonksiyonu olduğuna göre üretim modeli için aşağıdaki regresyon denklemini tahmin edeceğiz.

Q ; Y, L; X1 ve K ; X2 ile gösterilirse öncelikle aşağıdaki denklem sisteminin çözümü

ile ve ’nin tahmin edilmesi gerekir.

Dikkat edilirse denklemlerdeki değişkenler ortalamalarından farkları ile gösterilmiştir. Dolayısıyla ara sonuçların aşağıdaki gibi hesaplanması gerekir.

0 1 2ˆ ˆ ˆQ L K

1 2

21 1 1 2 1 2


22 1 1 2 2 2


255

Y X1 X2 YX1 YX2 X1X2 Y2 X12 X1

2 X1

X22

11 10 25 110 275 250 121 100 625

10 7 22 70 220 154 100 49 484

12 10 30 120 360 300 144 100 900

6 5 18 30 108 90 36 25 324

10 8 21 80 210 168 100 64 441

7 8 15 56 105 120 49 64 225

9 6 17 54 153 102 81 36 289

10 7 12 70 120 84 100 49 144

11 9 14 99 154 126 121 81 196

10 10 24 100 240 240 100 100 576

96 80 198 789 1945 1634 952 668 4204

9.6 8 19.8

1 1 1

2 2 2

2 22

22 2 21 1 1

22 2 22 2 2

1 2 1 2 1 2

789 10 8 9.6 21

1945 10 19.8 9.6 44.2

952 10 9.6 30.4

668 10 8 28

4204 10 19.8 283.6

1634 10 8

i i i i

i i i i

ii

i i

i i

i i i i

y x Y X nX Y

y x Y X nX Y

y Y nY

x X nX

x X nX

x x X X nX X

19.8 50

21 2 2 1 2

1 22 21 2 1 2

20.688

ˆ

21 283.6 44.2 50

28 283.6 50428

i i i i i i i

i i i i

x y x x y x x

x x x x

256

Böylece doğrusal üretim fonksiyonunun tahmini aşağıdaki gibidir.

2) Tahmin ettiğiniz regresyon modelini yorumlayınız.

Sermaye sabitken çalışma saati 100 saat artarsa üretim 688.428 adet artacaktır. Çalışma saati sabitken sermaye 1 milyon lira artarsa üretim 34.48 adet azalacaktır. Emek ve sermaye sıfır iken üretim 4775.283 adettir (Not: emek ve sermaye olmaksızın üretimin gerçekleşmesi olası değildir, aslında kesim parametresinin yorumlanmaması gerekir.)

3) Hata teriminin varyansını tahmin ediniz.

Hata terimi varyansının tahmin edicisi

’dır.

Hata teriminin varyansının tahmin edilebilmesi için kalıntı kareler toplamının hesaplanması gerekir. Daha önceki derslerimizden hatırlanacağı üzere kalıntı kareler toplamını hesaplamak için;

Tahmin edilen regresyon modelinde sırasıyla her gözlem için (i =1,2,…,10) emek ve

sermayenin değerleri yazılarak üretimin tahmini değeri hesaplanır ( ) .

Bağımlı değişken üretimin gözlemlenen değerlerinden ( ) tahmini değerleri( )

çıkarılarak kalıntılar ( ) hesaplanır ( ).

i =1,2,…,10 ‘a kadar hesaplanan kalıntıların kareleri ( ) hesaplanır.

i =1,2,…,10 ‘a kadar hesaplanan kalıntıların karelerinin toplamı alınır.

21 1 2 2 1

2 22 21 2 1 2

20.03

ˆ

(21 50) (44.2 28)

28 283.4

6 54 8

0

i i i i i i i

i i i i

x y x x x y x

x x x x

0 1 1 2 2

0.68842

ˆ ˆ ˆ

9.6 8 19.88 0.03448 4.775283

Y X X

ˆ 4.775283 0.688428 0.03448Q L K

2

2ˆ

ˆ iu

n k

îQ

iQ îQ

îu ˆ ˆ

i ii Q Qu

2îu

257

Bu uygulama için kalıntıların karelerinin toplamı hesaplanmıştır. Gözlem sayısı 10, tahmin edilen parametre sayısı 3’ eşit olduğuna göre, hata teriminin varyansı aşağıdaki gibidir.

4) Emeğin ve kapitalin ortalamaya esnekliğini hesaplayarak yorumlayınız.

Bu sonuçlara göre emek %1 artarsa üretim yaklaşık olarak ortalama %0.57 artar. 0.57

aynı zamanda emeğin marjinal verimliliğidir. Sermaye %1 artarsa üretim yaklaşık ortalama %0.07 azalır. -0.07 sermayenin marjinal verimliliğidir.

5) Emeğin 8 birim sermayenin 15 birim olduğu noktada emek ve sermayenin

esnekliği hesaplayarak yorumlayınız.

Öncelikle emeğin 8 birim sermayenin 15 birim olduğu noktada üretimin tahminî değeri hesaplanır.

Emeğin 8 birim sermayenin 15 birim olduğu noktada, emekteki %1’lik artış üretim miktarını yaklaşık %0.56 arttırırken sermayedeki %1’lik artış üretim miktarını yaklaşık %0.05

düşürür.

6) Yukarıdaki doğrusal üretim modelin dezavantajları nelerdir? Nasıl bir çözüm önerirsiniz?

Yukarıda tahmin edilen fonksiyon doğrusal olduğu için sadece tek bir üretim faktörü ile üretim geçekleşebilir. Çünkü üretim faktörleri birbirleri ile toplanır durumdadır. Ancak iktisadi

2ˆ 14.41898iu

2

2ˆ 14.41898ˆ

102.05

39854iu

n k

1 0.68ˆ ( 88428 0)

9.6.57369QL

Q L L

L Q Q

2 0.03419.8ˆ ( )9.6

48 0.07112QK

Q K K

K Q Q

ˆ 4.775283 0.688428 8 0.03448 15 9.765505Q

1 0.688428 0.5639679.76550ˆ 5

8ˆ ( )ˆi i

QL

L LQ

L Q Q

2 0.0315ˆ ( )ˆ ˆ 448 0.05296

9.765505i i

QK

K KQ

K Q Q

258

açıdan değerlendirildiğinde her iki üretim faktörünün de belli bir oranda kullanılması gerekir. Ayrıca bu modelde üretim faktörler emek ve sermayenin üretim üzerindeki etkileri sabittir. Hâlbuki iktisat teorisine göre üretim faktörlerinin artışı bir noktaya kadar üretimi arttırır, ancak daha sonra bu artış azalarak devam eder. Modelin fonksiyonel biçiminin değiştirilmesi gerekir.

Uygun model ’nın dönüştürülmüş biçimi log-log modeldir.

7) Modeli yeniden alternatif bir fonksiyonel biçim log-log model ile tahmin edelim.

Log-log model yukarıda verilen üretim fonksiyonundaki değişkenlerin doğal logaritmalarının yer aldığı model olup, aşağıda verilmiştir.

Modelin tahmini için öncelikle değişkenlerin doğal logaritması alınmak suretiyle dönüştürülmesi gerekir. Veri tablosu aşağıdaki gibi yeniden düzenlenir.

Q L K lnQ lnL lnK

11 10 25 2.3978 2.3025 3.2188

10 7 22 2.3025 1.9459 3.0910

12 10 30 2.4849 2.3025 3.4011

6 5 18 1.7917 1.6094 2.8903

10 8 21 2.3025 2.0794 3.0445

7 8 15 1.9459 2.0794 2.7080

9 6 17 2.1972 1.7917 2.8332

10 7 12 2.3025 1.9459 2.4849

11 9 14 2.3978 2.1972 2.6390

10 10 24 2.3025 2.3025 3.1780

Kısaca , ile; , ile; , ile ve , ile gösterilirse aşağıdaki modeli yazar ve EKK ile tahmin ederiz.

Yukarıda verilen regresyon denklemi aynen 1. sorudaki gibi tahmin edilir. Tek fark

kullanılan verilerdir. EKK tahmincilerinde logaritması alınarak dönüştürülmüş veriler yer alır.

1 2

0uQ L K e

0 1 2ln lnlnQ Ln L K u

lnQ*Y ln L *

1X ln K *2X 0ln *

0

* * * *0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ

i i iY X X

259

Burada aynı işlemleri tekrarlamak için sadece sonuç verilecektir. (Not: Okuyucunun modeli

çözmesi tavsiye edilir)

Veya

8) Tahmin edilen modelin parametrelerini yorumlayınız.

Yukarıdaki model log-log model olduğuna göre doğrusal modelden farklı olarak tahmin edilen parametreler direkt esnekliği verecektir. Parametrelerin yorumu sırasıyla sermaye sabit

iken emekteki %1’lik değişim üretimi yaklaşık %0.64, emek sabit iken sermayedeki %1’lik

değişme ise üretimi yaklaşık %0.04 arttıracaktır.

9) Hata terimi varyansını tahmin ediniz.

Yeni modelin kalıntı kareler toplamı 0.195651’e eşit hesaplanmıştır. Böylece hata terimi varyansının tahmini

olarak hesaplanır.

10) İki model arasında tercih yapmak isteseniz hangisini tercih ederdiniz?

Ekonometrik açıdan hangi modelin tercih edilmesi gerektiği hususunda henüz yeterince veri yok, testlerimizi henüz yapmadık ancak iktisadi açıdan değerlendirildiğinde log-log

modelin tercih edilmesi daha uygundur.

* * *1 2

ˆ 0.815073 0.642258 0.036365i i iY X X

0.815073 0.642258ln 0.036365lnlnQ L K

2

2ˆ 0.195651ˆ

100.02795

3

iu

n k

260


Çok değişkenli regresyon modelinin temel varsayımlarını kısaca ele aldık. Çok değişkenli regresyon modelinin EKK ile tahminini, tahmin edilen parametrelerin yorumunu ve

hata terimi varyansının tahmini gördük. Konuya mümkün olduğunca çok örnek vererek ve bunları tahmin ederek, konu pekiştirilmeye çalışılmıştır. Okuyucuya çok değişkenli regresyon başlığı altında ele alınan konular iyice kavranmadan bir sonraki alt başlığa geçilmemesi tavsiye edilir.

261

Bölüm Soruları

Y X1 X2

1 0 1

2 1 -2

3 2 1

-1 -2 0

0 1 -1

-1 -2 -1

2 0 1

1 -1 1

2 1 0

1-5 arası sorular için yukarıdaki verileri kullanınız.

1) Regresyon denklemini tahmin ediniz.

a)

b)

c)

d)

e)

2) Tahmin ettiğiniz modelin parametrelerini yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

a) sabit iken 1 birim değişirse 0.4 birim artar. sabit iken 1 birim

değişirse 0.2 birim azalır. iken 1.2 birimdir.

1 2ˆ 1.2 0.4 0.2iY X X

1 2ˆ 0.7 0.25 1.6iY X X

1 2ˆ 1 0.8125 0.4iY X X

1 2ˆ 2.2 0.5719 1.062iY X X

1 2ˆ 0.1 0.925 0.24iY X X

2X 1X Y 1X 2X

Y 1 2 0X X Y

262

b) sabit iken 1 birim değişirse 0.25 birim artar. sabit iken 1 birim

değişirse 1.6 birim artar. iken 0.7 birimdir.

c) sabit iken 1 birim değişirse 0.8125birim artar. sabit iken 1

birim değişirse 0.4 birim artar. iken 1 birimdir.

d) sabit iken , 1 birim değişirse 0.5719 birim artar. sabit iken 1

birim değişirse 1.062 birim artar. iken 2.2 birimdir.

e) sabit iken , 1 birim değişirse 0.925 birim artar. sabit iken 1 birim

değişirse 0.24 birim artar. iken 0.1 birimdir.

3) Kalıntı kareler toplamını hesaplayınız.

a) 3.8375

b) 0.2971

c) 2.0671

d) 1.8410

e) 0.9163

4) Hata terimi varyansını tahmin ediniz.

a) 1.73021

b) 0.93659

c) 3.81036

d) 0.13329

e) 2.04580

5) Yukarıdaki veriler kullanılarak tahmin edilen log-log modeli aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

2X 1X Y 1X 2X

Y 1 2 0X X Y

2X 1X Y 1X 2X

Y 1 2 0X X Y

2X 1X Y 1X 2X

Y 1 2 0X X Y

2X 1X Y 1X 2X

Y 1 2 0X X Y

1 2ˆln 0.2 1.4ln 2.2lniY X X

1 2ˆln 0.8 0.4ln 0.6lniY X X

263

c) log- log modelin tahmin edilebilmesi için ve olmalıdır. Bu

uygulamada ve değişkenlerin sıfır değerini aldığı gözlemler vardır, dolayısıyla logaritması alınamadığı için log-log model tahmin edilemez.

d)

e)

6-10 arası sorular için aşağıdaki tabloda yer alan veriler kullanılacaktır.

Gözlem Talep Fiyat Gelir

1 14 2 200

2 11 3 200

3 15 1.5 180

4 20 0.5 350

5 22 0.4 360

6 18 2.8 250

7 16 1.3 160

8 10 3.5 220

9 9 5 180

10 14 2.2 220

6) Regresyon modelinin tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

c)

d)

e)

1 0X 2 0X

1X 2X

1 2ˆln 3.2 0.9 ln 1.5lniY X X

1 2ˆln 2.65 1.062ln 2.945lniY X X

1 2ˆ 13.495 1.908 0.024iY X X

1 2ˆ 0.405 2.181 1.23iY X X

1 2ˆ 0.527 0.603 1.521iY X X

1 2ˆ 2.09 1.896 2.702iY X X

1 2ˆ 0.256 1.335 0.724iY X X

264

7) Kalıntı kareler toplamı kaçtır?

a) 25.293

b) 18.74

c) 0.961

d) 1.862

e) 5.903

8) Hata terimi varyansının tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

a) 6.028

b) 4.022

c) 5.625

d) 8.145

e) 3.613


a) Çok değişkenli regresyon modeli uzayda bir düzlem belirler.

b) Çok değişkenli regresyon modelinde yer alan bağımsız değişkenler arasında doğrusal bağlantı olmamalıdır.

c) Kalıntıların toplamı sıfırdan farklı çıkabilir.

d) Çok değişkenli regresyon modelinde serbestlik derecesi n-k’dır. n=gözlem sayısı, k= parametre sayısı.

e) Çok değişkenli regresyon modellerinde hata terimin koşullu varyansı ile bağımlı değişkenin koşullu varyansı eşittir.

10) Aşağıdakilerden hangisi çok değişkenli regresyon modelinin temel varsayımlarından biri değildir?

a) Hata teriminin varyansı sabittir.

b) Bağımsız değişkenler arasında doğrusal bir ilişki yoktur.

c) Hata terimleri gözlemler itibarıyla birbirleriyle ilişkisizdir.

265

d) Bağımsız değişkenlerin varyansları sıfırdan büyüktür.

e) EKK yöntemi ile tahmin edilmelidir.

Cevaplar

1) c, 2) c, 3) a, 4) d, 5) c, 6) a, 7) a, 8) e, 9) c, 10) e

266

9. ÇOKLU REGRESYON MODELİ -II

267


1) Çok değişkenli regresyon modeli tahmincilerinin varyans ve kovaryansları nasıl hesaplanır?

2) Çok değişkenli regresyon modeliden tahmin edilen parametrelerin güven aralıkları ve hipotez testlari uygulaması nasıl olur?

3) Çok değişkenli regesyon modelinde uyumun iyiliğinin ölçüsü belirginlik katsayısı nasıl hesaplanır?

268



Çok değişkenli regresyon modelinde parametreler için güven aralıkları oluşturulabilmek ve hipotez testleri tek taraflı ve çift taraflı kurulabilmek ve uygulanabilmek

Ders notları,

İstatistik kitapları

Ekonometri kitapları

Uygulamalar tekrar edilerek

Belriginlik katsayısının ne amaçla kullanıldığını, nasıl hesaplandığını, belirginlik katsayısı ile ilişkisini kavrabilmek

Ders notları

Uygulamalar tekrar edilerek

269

Anahtar Kavramlar

Güven aralıkları

Hipotez testi

Gauss Markov Teoremi

Düzeltilmiş belirginlik katsayısı

Regresyon ile açıklanan değişme

Toplam değişme

Regresyon ile açıklanamayan değişme

Esnek talep

Birim esneklik

Etkinliğin hipotezi

Tek taraflı hipotez testi

Çift taraflı hipotez testi

270

Giriş

Bu bölümde daha önce gördüğümüz aralık tahminleri ve hipotez testlerini çok değişkenli regresyon bağlamında tekrar edeceğiz. Ayrıca çok değişkenli regresyonun uyumun iyiliği ölçüsü belirginlik katsayısının nasıl hesaplanacağını gösterecek, düzeltilmiş belirginlik katsayısını tanıtacağız.

271

9.1. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Örnekleme Özellikleri

EKK tahmincileri rassal değişkenlerdir; farklı örneklerde farklı değerler alırlar ve değerleri, bir örnek toplanana kadar ve değerleri hesaplanana kadar bilinmez. En küçük kareler tahmincisinin örnekleme özellikleri, tahminlerin örnekten örneğe nasıl değiştiğini gösterir. Bunlar, tahminlerin güvenilirliğini değerlendirmede bir temel sağlar. Eğer model için 1-5 varsayımları sağlanırsa en küçük kareler tahmincisi sapmasızdır ve daha küçük bir varyansa sahip başka bir doğrusal sapmasız tahminci yoktur. Bu sonuç, genel çok değişkenli regresyon modeli için doğru olmaya devam etmektedir.

Gauss Markov Teoremi: Çok değişkenli regresyon modeli için 1-5 varsayımları sağlanırsa, EKK Tahmincileri parametrelerin en iyi doğrusal sapmasız tahmincilerdir (BLUE).

Hataların normal dağıldığı varsayımı altında, Y de normal dağılan rassal değişkendir. En küçük kareler tahmincileri de Y’nin doğrusal fonksiyonları olduğu için normal olasılık dağılımlarına sahip olacaktır. Hatalar normal dağılmazsa EKK tahmincileri, büyük örneklerde yaklaşık olarak normal dağılacaktır. Burada “büyük ”den kastın ne olduğu karmaşıktır. Bu, her

ayrı uygulamaya özgü çok sayıda faktöre bağlıdır. Genelde, 𝑛 − 𝑘 = 50 ise yeterince büyük sayılır. Normal veya yaklaşık olarak normal dağılım gösteren en küçük kareler tahmincilerine

sahip olmak, aralık tahminlerini oluşturmak ve regresyon modelindeki parametreler ile ilgili hipotezleri test etmek için önemlidir.

9.2. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Varyans ve Kovaryansları

Hata varyansını tahmin etmenin temel sebebi, en küçük kareler tahmincilerinin

bilinmeyen varyans ve kovaryanslarının bir tahminini elde etmeyi bize sağlamasıdır. Burada, EKK tahmincisinin genel özellikleri bağlamında varyans ve kovaryansları ele alacağız.

En küçük kareler tahmincilerinin varyans ve kovaryansları ve tahmincilerinin

güvenilirliği ile ilgili bilgi sağlar. EKK tahmincileri sapmasız olduğu için, daha küçük varyanslar doğru parametre değerlerine “yakın” tahminler sağlama olasılığının daha yüksek

olması anlamına gelecektir. için en küçük kareler tahmincilerinin varyans ve kovaryansları aşağıdaki gibidir.

0 1 2, ,

0 1, 2

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ

i i iY X X

2 2 2 21 2 2 1 1 2 1 2 2

0 22 21 2 1 2

21ˆ i i i i

i i i i

X x X x X X x xVar

n x x x x

2 22 2

1 2 2 22 21 121 2 1 2

ˆ veya(1 )

i

ii i i i

xVar

x rx x x x

272

Burada , ile arasındaki örnek korelasyon katsayıdır.

‘nin varyansını etkileyen faktörler aşağıdaki gibidir.

1. Hata terimi varyansının ( ) büyük olması, EKK tahmincileri varyanslarının da büyük olmasına yol açar. Bu beklenen durumdur, çünkü model tanımlamasındaki tüm belirsizliği ölçmektedir. büyükse veri değerleri regresyon fonksiyonu

etrafında geniş bir şekilde yayılacak ve verilerde, parametre değerleri ile ilgili daha az bilgi söz konusu olacaktır. küçükse veri değerleri regresyon

fonksiyonu etrafında yoğun bir şekilde yayılacak ve verilerde, parametre değerlerinin ne olabileceği ile ilgili daha fazla bilgi söz konusu olacaktır.

2. Daha büyük örnekler (n) ile çalışılması, EKK tahmincilerinin varyanslarının daha küçük olmasını sağlar. Şöyle ki n’nin daha büyük değeri, X’teki değişmenin

değerinin daha büyük olması anlamına gelir. Bu terim, varyans

formülünün paydasında yer alır ve teriminin değeri büyük olduğunda küçük

olur. Daha fazla gözlem, daha kesin parametre tahmini sağlar.

3. Bağımsız bir değişkenin ile ölçülen ortalama etrafındaki değişiminin daha fazla olması EKK tahmincisinin daha küçük varyansa sahip olmasını sağlar.

’yi hassas bir şekilde tahmin etmek için ‘de daha fazla değişim istenir bir özelliktir.

‘de değişim küçük olursa, değişimin etkisini ölçmek zordur. Bu zorluk, için daha büyük varyans olarak yansıtılacaktır.

2 21 2

2 2 2 22 22 121 2 1 2

ˆ veya(1 )

i

ii i i i

xVar

x rx x x x

212

1 2 2 2 212 1 2

ˆ ˆ( , )(1 ) i i

rKov

r x x

12r 1X 2X

1 2

12 2 21 2

i i

i i

x xr

x x

1

22

2

0 1 1 2 2( )i i iE Y X X 2

0 1 1 2 2( )i i iE Y X X

2 21 1 1i iX X x

21ix 1Var

2 21 1 1i iX X x

1 1X 1X

1

273

4. ile arasındaki yüksek korelasyon, ‘nin varyansının da büyük olmasına yol

açar. Varyans formülünün paydasında vardır. ‘ün değeri 1’e yakınsa, küçük

olacak, bu da ’nin büyük çıkmasına sebep olacaktır. Bu durum nedeni ise; ‘in

ortalaması etrafındaki değişim, diğer açıklayıcı değişkenlerdeki değişimle ilişkili olmadığında tahmin kesinliğine daha fazla katkı yapar. Bir açıklayıcı değişkendeki değişim, diğer bir açıklayıcı değişkendeki değişimle ilişkili olduğunda, onların farklı etkilerini ayrıştırmak zordur.

Doğrusal bağlantı ile adlandırılan bu durum EKK tahmincilerinin büyük varyansları olmasına sebep olur.

En küçük kareler tahmincilerinin tahmin edilen varyans ve kovaryanslarını, matris olarak isimlendirilen bir kare dizilimde düzenlemek gelenek olmuştur. Bu matriste, köşegen varyansları ve köşegen dışı unsurlar ise kovaryansları ifade eder. Varyans-kovaryans matrisi

veya daha basitçe kovaryans matrisi olarak isimlendirilir. k=3 iken kovaryans matrisinde

varyans ve kovaryansların sıralaması aşağıdaki gibidir,

Varyans –Kovaryans matrisi simetrik bir matristir.


Uygulama 1: İthalat modeli

Bu aşamada İthalat modelindeki parametrelere uygulanacak hipotez testleri ve aralık tahmini için gerekli olan parametrelerin varyansları tahmin edilecektir.

150.9

1X 2X 1

121 r 12r 121 r

1Var 1X

0 0 1 0 2

0 1 1 1 2

0 2 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,

i

Var Cov Cov

Var Cov Cov Var Cov

Cov Cov Var

2 2 2 21 2 2 1 1 2 1 2 2

0 22 21 2 1 2

21ˆ ˆi i i i

i i i i

X x X x X X x xVar

n x x x x

2 2

0 2

15 2 2 84 2 15 2 101ˆ 0.564 84 2 (10)

Var

22 2

1 22 21 2 1 2

ˆ ˆi

i i i i

xVar

x x x x

274

0.01647

0.69176

ve tahmin edilen varyanslarının karekökleri standart hatalarıdır. Hesaplanmış standart hatalar gibidir:

Bu aşamaya kadar ulaştığımız sonuçları aşağıdaki gibi raporlayabiliriz.


Satış örneğinde ve için tahmin edilen varyans ve kovaryans matrisi aşağıdaki

gibidir. ve için standart hataları hesaplayınız.

Varyans kovaryans matrisinin köşegen elemanları tahmin edilen parametrelerin varyansınn verdiğine göre, varyansın karekökünü alarak standart hatalara ulaşırız.

1 2

2ˆ 0.5684 2 (10)

Var

21 2

2 22 21 2 1 2

ˆ ˆi

i i i i

xVar

x x x x

2 2

84ˆ 0.5684 2 (10)

Var

0 1ˆ ˆ, 2

0 150.9ˆ 12.28Se

1 0.01647ˆ 0.128Se

2 0.69176ˆ 0.832Se

1 2ˆ ˆ2.82 0.58 0.94 0.4907

ˆ( ) (12.28)(0.128) (0.832)

i

i

Y X X

Se

0 1ˆ ˆ, 2

0 1ˆ ˆ, 2

40.343 6.795 0.7484

ˆ 6.795 1.201 0.0197

0.7484 0.0197 0.4668iVar Cov

0 0ˆ ˆ40.343 6.351Var Se

1 1ˆ ˆ1.201 1.096Var Se

275

Ayrıca tahmin edilen parametreler arasındaki kovaryanslar aşağıdaki gibidir.

Yukarıda hesaplanmış standart hatalar, 75’ten daha büyük örneği elde ettiğimizde, en

küçük kareler tahminlerinin aralığı ile ilgili bir şey söylemek için kullanılabilir. Örneğin,

’nin standart hatası yaklaşık olarak ’dır. En küçük kareler tahmincisinin

sapmasız olduğu böylece ortalamasının ana kütle değerine eşit olduğu bilinmektedir

. normal dağılırsa istatistiksel teoriye dayanarak EKK tahmincisinin diğer

örneklere uygulanması ile elde edilen tahminlerinin %95’nin, yaklaşık olarak ’nin

ortalamasının iki standart sapması içinde olacağı beklenir. Burada

’dir. Böylece, değerlerinin %95’nin, aralığı içinde yayılacağı tahmin edilir. ’nin tahmin edilen varyansı ve dolayısıyla standart hatası, en küçük kareler tahminlerinin

güvenirliği bakımından bize yol göstericidir. Eğer ve arasındaki fark büyük olursa,

güvenilmezdir. Eğer ve arasındaki fark muhtemelen küçük olursa güvenilirdir. Belirli bir farkın “büyük” veya “küçük” olup olmadığı, sorunun bağlamına ve tahminlerin

kullanımına bağlı olacaktır. Bu konu sonraki bölümlerde, tahmin edilen varyans ve kovaryansları, parametreler ile ilgili hipotezleri test etmek için ve aralık tahminlerini oluşturmak için kullandığımızda, tekrar ele alınacaktır.

9.4. En Küçük Kareler Tahmincilerinin Dağılımı

Çoklu değişkenli regresyon modelinim 1-5 varsayımları geçerli ise, en küçük kareler

tahmincileri

modelindeki parametrelerinin, en iyi doğrusal sapmasız tahmincileri olduğunu olduğu bilinmektedir.

2 2ˆ ˆ0.4668 0.683Var Se

0 1ˆ ˆ, 6.795Cov

0 2ˆ ˆ, 0.7484Cov

1 2ˆ ˆ, 0.0197Cov

1

1 1.096Se

1 1ˆE 1

1 1

12 2 1.1 2.2Se

1 1 2.2 1

1 1 1

1 1 1

0 1 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , k

0 1 1 2 2 1 1i i i k ik iY X X X u

0 1 2 1, , , , k

276

Rassal hataların normal olasılık dağılımına sahip olduğu varsayımı da eklenirse, bu

durumda bağımlı değişken ‘de normal olarak dağılır ve aşağıdaki gibi ifade edilir,

EKK tahmincileri, bağımlı değişkenin doğrusal fonksiyonu olduğu için, EKK tahmincileri de normal olarak dağılım gösterir ve aşağıdaki gibi ifade edilir.

Buna göre her , ortalama ve varyans ile normal dağılıma sahiptir. Normal

rassal değişken , ortalamasından çıkarılarak ve varyansının kareköküne bölünerek, aşağıda ifade edilen, ortalaması sıfır ve varyansı 1 olan, standart normal değişken Z’ye dönüştürülebilir.

‘nın varyansı, yukarıda k=3 olduğu durumunda gösterildiği gibi, hata teriminin bilinmeyen varyansına bağlıdır. yi, yukarıda elde edilen tahmincisi ile yer

değiştirirsek, tahmin edilen ‘ı elde ederiz. Z’de yerine ‘nın tahmini yazılırsa, N(0,1) rassal değişkenini, bir t-rassal değişkenine dönüştürür. Yani aşağıdaki gibi ifade edilebilir,

Bu sonuç basit regresyondakinden farkı t-rassal değişkenin serbestlik dereceleridir. Basit regresyonda tahmin edilen parametre sayısı iki olduğu için serbestlik derecesi 𝑛 − 2 idi.

Bu bölümde, Çok değişkenli regresyon modelinde k sayıda bilinmeyen parametre vardır ve t-istatistiği için serbestlik derecesi sayısı 𝑛 − 𝑘’dır.

9.5. Aralık Tahmini

Yukarıdaki satış modelinde fiyattaki bir değişime karşı satış gelirlerinin tepkisini

gösteren için %95 aralık tahmini ile ilgilendiğimizi varsayalım. Basit regresyonda uygulanan yolu izleyerek ve serbestlik derecesine sahip olduğumuz

anımsayarak, birinci adım kritik değer (eşik değer) olarak isimlendireceğimiz, -

dağılımından bir değer bulmaktır.

iu

iY

2 20 1 1 2 2 1 1 , 0,i i i k ik iY N X X X u

ˆ ˆ, ( )i i iN Var

i i ˆ( )iVar

i

ˆ

0,1ˆ

i i

i

Z NVar

i2 2 2

ˆiVar ˆVar ˆVar

ˆ ˆˆˆ

i i i in k

ii

t tSeVar

175 3 72n k

ct 72t

277

Hatırlanacağı üzere ; dağılımının 97.5’lik yüzdelik dilimidir ( ‘nin

solundaki alan veya olasılık, 0.975’tir) ve , dağılımının 2.5’lik yüzdelik

dilimidir ( ’nin solundaki alan veya olasılık, 0.025’tir). t-tablosuna baktığımızda, 72 serbestlik derecesi için bir değer yoktur fakat 70 ve 80 serbestlik derecelerinden hareketle

‘dür (Önemli not: Size verilen tabloda 50 serbestlik derecesine kadar kritik değerler yer almaktadır. Bu durumda siz elinizdeki tablonun son satırı serbestlik derecesine karşılık gelen kritik değerleri kullanmalısınız. ) Bu değeri kullanarak aralık tahmini için aşağıdaki ifade

yazılır.

Bu ifadeyi yeniden düzenlediğimize, aşağıdakini elde ederiz,

Aralık bitiş noktaları aşağıdaki gibidir,

Yukarıdaki aralık ’nin %95 aralık tahmincisidir. Bu aralık tahmincisi, ana kütleden

elde edilen pek çok örnekte kullanılırsa, bunların %95’i doğru parametre ‘yi içerir.

Belirli bir örneğe dayanarak ‘in %95 bir aralık tahmini için, ve yerine

ve değerleri gelir. Böylece, için, % 95 aralık tahminimiz

aşağıdaki gibi olur.

Bu aralık tahmini fiyatın 1$ azalması, satış gelirinde 5723$ ve 10093$ arası bir aralıkta artışa yol açacaktır veya fiyatın 1$ artması satış gelirinde 5723$ ve 10093$ arası bir aralıkta azalışa yol açacaktır.

72 0.95c cP t t t

0.975,c n kt t n k

t ct

0.025,c n kt t n k

t

ct

1.993ct

1 1

1

ˆ1.993 1.993 0.95ˆP

Se

1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1.993 1.993 0.95P Se Se

1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1.993 , 1.993Se Se

1

1

1 1 1Se

1 7.908 1 1.096Se 1

7.9079 1.9335 1.096 , 7.9079 1.9335 1.096

10.093 , 5.723

278

Reklama karşın satış hasılatının tepkisini gösteren için benzer bir yöntem izleyerek,

aşağıda verilen %95 bir aralık tahminini elde ederiz,

Reklam harcamasındaki 1000$’lık bir artışın, 501$ ve 3225$ arasında satış gelirinde bir artışa yol açacağını tahmin edilmektedir. Bu aralık göreceli olarak büyük bir aralıktır; ek reklam harcamasının karsız olabileceğini (gelir artışı 1000$’dan azdır) veya reklam maliyetinin üç katından fazla bir hasılat artışına yol açabileceğini göstermektedir. Bu durumu açıklamanın

diğer bir yolu, nokta tahmini çok güvenilir olmadığını söylemektir, çünkü

(örnekleme değişkenliğini ölçen) standart hatası göreceli olarak büyüktür.

Herhangi bir ’nin güven aralığı için genel bir formülü aşağıdaki gibidir.

9.6. Hipotez Testi

t-dağılımı sonucu, parametrelerin her biri ile ilgili hipotezleri test etme için bir temel

sağlar. Basit regresyondan bilindiği üzere c’nin belirlenmiş bir sabit olduğu ‘ye

karşı şeklindeki hipotezler, çift-kuyruklu testler olarak isimlendirilir,

’ye karşı gibi eşitsizlikleri içeren hipotezler, tek-kuyruklu testler olarak

isimlendirilir. Bu bölümde, hipotezlerin her birinin örneklerini ele alınacaktır.

9.6.1. Parametre Anlamlılığının Testi

Çok değişkenli regresyon modeli oluşturulduğunda, modelde yer alan bağımsız

değişkenlerin ( ) bağımlı değişkeni ’yi etkilediğine inanırız. Ancak bu etkinin varlığının doğrulanması için; modelin veri ile desteklenip desteklenmediğinin incelenmesi gerekir. Diğer bir ifade ile verilerin, ’nin her bir açıklayıcı değişken ile ilişkili olduğunu gösteren bir kanıt sağlayıp sağlamadığı bilmemiz gerekir. Veri bir açıklayıcı değişken, örneğin

, ile ilişkili değilse olacaktır. temel hipotezi test etme bağımsız değişken

için anlamlılık testi olarak isimlendirilir. Bu sebeple, verilerin ’nin ile ilişkili olduğunu gösteren herhangi bir kanıt içerip içermediğini bulmak için, temel hipotezi,

2

1.8626 1.9335 0.6832 ,1.8626 1.9335 0.6832

0.501 , 3.225

2ˆ 1.8626

i 100 1 %

1 2, 1 2,ˆ ˆ ˆ ˆ,i i i in k n k

t Se t Se

0 : iH c

1 : iH c 0 : iH c

1 : iH c

1 2 1, , , kX X X Y

Y

iX Y 0i 0i

iX Y iX

0 : 0iH

279

alternatif hipoteze karşı

test ederiz.

Testi yapmak için, temel hipotez doğruysa aşağıdaki test istatistiğini kullanırız.

“eşit değildir” alternatif hipotezi için çift-kuyruklu testi kullanılır ve hesaplanan t-

değeri, (dağılımın sağ tarafından elde edilen kritik değer ) ‘den büyük veya eşitse veya

(dağılımın sol tarafından elde edilen kritik değer ) ‘den küçük veya eşitse H0 reddedilir.

Anlamlılık düzeyi α ile bir test için, ve şeklindedir.

Satış modelinde satış gelirinin fiyat ile ilişkili olup olmadığını test edelim:

1. Temel ve alternatif hipotezler,

2. Temel hipotez doğruysa, test istatistiği aşağıdaki gibidir.

n:gözlem sayısı, k:parametre sayısı

3. %5 anlamlılık düzeyini (α=0.05) kullanarak ve serbestlik

derecesi olduğunu anımsayarak, dağılımın her bir kuyruğunda 0.025 olasılığını sağlayan kritik değerler, ve . Bu sebeple, 2. aşamada hesaplanan t-değeri, şu

şekilde ise, veya temel hipotezi reddederiz. Eğer ise, H0’ı reddedemeyiz

4. t-istatistiğinin hesaplanan değeri,

1 : 0iH

ˆˆ

in k

i

t tSe

ct

ct

1 2,c n kt t 2,c n k

t t

0 1: 0H

1 1: 0H

1

1

ˆˆ n k

t tSe

75 3 72n k

0.975:721.993t 0.025:72

1.993t

1.993t 1.993t 1.993 1.993t

7.9087.215

1.096t

280

5. olduğu için, reddederiz ve satış hasılatının, fiyata bağlı olduğunu gösteren bir kanıtın, veride olduğu sonucuna ulaşırız.

Satış gelirinin, reklam harcaması ile ilişkili olup olmadığının testi için aynı aşamalar uygulanır.

1.

2. Temel hipotez doğruysa, test istatistiği aşağıdaki gibidir.

n:gözlem sayısı, k:parametre sayısı

3. %5 anlamlılık düzeyini kullanarak, veya temel hipotezi

reddederiz. Eğer ise, H0’ı reddedemeyiz

4. t-istatistiğinin hesaplanan değeri,

5. olduğu için, ‘ı reddederiz. Veriler, satış gelirlerinin reklam

harcaması ile ilişkili olduğunu gösteren hipotezi desteklemektedir.

Bir parametre tahmininin anlamlılığının testi önemlidir. Parametrenin tahmini anlamlı ise ilgili açıklayıcı değişkenin, modele dâhil edilecek değişken olduğuna dair ön inancını doğrular.

9.6.2. Parametre için Tek-Kuyruklu Hipotez Testi

Satış modelinin tahmini sonuçlarına talebin fiyata göre esnek olup olmadığı ve ek reklam harcamasından elde edilen ek satış gelirin, reklam maliyetini karşılayıp karşılamadığı soruları ile karşılaşabilirsiniz. Şimdi, bu soruların test edilebilir hipotezler ile nasıl ifade edilebileceği ve bu hipotezlerin verilerle uyumlu olup olmadığının testini uygulayacağız.

9.6.2.1. Talep Esnekliğinin Testi

Talep esnekliği hakkında bir karara varabilmek, aşağıdakilerin gerçekleşme durumlarına bağlıdır.

7.215 1.993 0 1: 0H

0 2: 0H

1 2: 0H

2

2

ˆˆ n k

t tSe

1.993t 1.993t 1.993 1.993t

1.86262.726

1.096t

2.726 1.993 0H

281

1. : Fiyattaki bir düşüş, satış gelirlerinde sıfır veya negatif olacak şekilde bir değişime yol açar. Talep fiyata göre esnek değil veya birim esnekliğe sahiptir.

2. Fiyattaki bir düşüş, satış hasılatında bir artışa yol açar. Talep fiyata göre esnektir.

Talebin esnek olduğu iddiasını verilerden destekleyecek bir kanıt olmadıkça, bu iddiayı kabul etmeye hazırlıklı değilsek, temel hipotezimiz olarak, esnek olmayan bir talep varsayımını kullanmak uygundur. Standart test etme aşamalarına göre öncelikle temel ve alternatif hipotezi belirtilir.

1. ( talep, birim esnek veya esnek değil)

a. ( talep, esnek )

2. Burada test istatistiği oluşturmak için, temel hipotez gibi hareket edilir.

Çünkü için H0 reddedilirse, herhangi bir için de H0 reddedilir. Bu durumda

doğru olduğu varsayımı altında, test istatistiği

3. Temel hipotez doğruysa, red bölgesi gerçekleşmesi olası olmayan t-dağılımından elde edilen değerlerden oluşacaktır. %5 anlamlılık düzeyi açısından “olası olmayan”ı tanımlarsak, t’nin olası olmayan değerleri kritik değerinden daha düşük

değerlerdir.

4. Test istatistiği değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.

5. olduğu için reddedilir ve ( talep, esnek )

hipotezinin verilerle daha uyumlu olduğuna sonucuna ulaşılır. Örneklem kanıtı, fiyattaki bir azalışın, satış hasılatında bir artış sağlayacağı önermesini destekler.

Önemli not: Bu test ve yukarıda gerçekleştirilen çift-taraflı anlamlılık testi arasındaki farklar ve benzerliklere dikkat edin. Hesaplanan t-değerleri aynı fakat kritik t-değerleri farklıdır. Sadece değerlerin kendileri farklı olmayıp fakat aynı zamanda, çift-kuyruklu test ile birisi

1 0

1 0

0 1: 0H

1 1: 0H

1 0

1 0 1 0

0 1: 0H

1

1

ˆˆ n k

t tSe

0.05,721.666t

1

1

ˆ 7.9087.215ˆ 1.096

tSe

7.215 1.666 0 1: 0H 1 1: 0H

282

dağılımın her bir tarafından sağlanan, mevcut iki kritik değer de söz konusudur. Tek-kuyruklu

test ile dağılımın tek bir tarafından sağlanan, sadece bir kritik değer söz konusudur.

9.6.2.2. Reklam Etkinliğinin Testi

İlgilendiğimiz diğer bir hipotez, reklam harcamasındaki bir artışın, reklamın artan maliyetini karşılamak için satış hasılatında yeterli bir artış sağlayıp sağlamayacağıdır. Böyle

bir artışa, olursa ulaşılabileceği için, hipotezleri aşağıdaki gibi oluştururuz:

1. Temel ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibidir.

2. Temel hipotezi, eşitliği olarak ele alırsak, H0 doğru olduğunda t-dağılımına sahip t-istatistiği aşağıdaki gibidir,

3. Anlamlılık düzeyi seçilirse, ilgili kritik değer olur ve

ise H0 reddedilir.

4. Test istatistiği değeri aşağıdaki gibidir,

5. olduğu için, ‘ı reddedemeyiz. Reklamın maliyet açısından etkili olduğu sonucuna ulaşmak için örneklemimizdeki kanıt yetersizdir. Test sonucu ile ilgili

aynı yargıya şu yolla da ulaşmak mümkündür. tahmini birden büyük olduğu için, bu tahminin kendisi, reklamın etkili olacağını ifade etmektedir. Ne var ki, standart hata ile

ölçülen, tahmininin kesinliğini göz önüne aldığımızda, tahmini anlamlı bir şekilde

1’den büyük değildir. Hipotez-testi yöntemi bağlamında, olduğuna dair yeterli kesinlik

derecesi sonucuna ulaşılamamıştır.

2 1

0 2: 1H

1 2: 1H

0 2: 1H

2 2 2

2 2

ˆ ˆ 1ˆ ˆ n k

t tSe Se

0.05 0.05,721.666t

1.666t

2

2

ˆ 1 1.8626 11.263ˆ 0.6832

tSe

1.263 1.666 2 1

1 1.8626

1 1.8626

2 1

283

9.6.2.3. Satış Modelinin Genişletilmesi

Satış gelirleri ile fiyat ve reklam harcaması arasındaki doğrusal ilişkinin (

), iktisadi gerçeğe uygun olup olmadığını sorgulamaya değerdir. Çünkü doğrusal bir model göre artan reklam harcaması, satış hasılatı ve reklam harcamasının mevcut düzeyine bakmaksızın, satış gelirini aynı oranda artıracağını vurgulamaktadır. Diğer bir

ifade ile reklamlardaki bir değişime karşı satışların tepkisini ölçen parametresi sabittir ve

reklam harcamaları düzeyine bağlı değildir. Gerçekte, reklam harcamasının düzeyi arttıkça, azalan verimlerin başlaması ve satış gelirlerinin azalarak artmasını bekleriz. Daha açık bir ifade ile ne demek istenildiğini göstermek için, Şekil 19’da çizilen satışlar ve reklam ( sabit bir fiyat varsayalım) arasındaki ilişkiyi ele alalım. Şekil, reklamın orijinal düzeyi (a) 600$ ve (b) 1,600$ olduğunda reklam harcamasındaki 200$ bir artışın, satışlar üzerindeki etkisini göstermektedir. Grafikteki birimlerin, bin dolar olduğunu, bu sebeple, noktalar, 0.6 ve 1.6 olarak görünmekte olduğuna dikkat edin. Reklamın daha düşük düzeylerinde, satışların, 72,400$’dan 74,000$’a

artar, buna karşın reklamın daha yüksek düzeylerinde, artış, çok daha düşük düzeydedir,

78,500$’dan 79,000$’a artmıştır. Sabit eğimli doğrusal model, azalan verimleri kapsamaz.

İktisadi gerçeğe uygun model reklam düzeyi arttıkça eğimin de değiştiği bir modeldir. Bu özellikte bir model, diğer bir değişken olarak reklamın kareli değerinin eklenmesi ile elde

edilir ve yeni model aşağıdaki gibidir.

terimini orijinal modelin yapısına eklemek, reklam harcamasındaki bir değişime karşı beklenen hasılatın tepkisinin, reklam düzeyine bağlı olduğu bir model sunar. Fiyatı sabit tutarak yukarıdaki modele çokterimli türev kuralını uygulayarak reklamlardaki bir değişime karşı satış gelirleri beklenen değerinin tepkisi aşağıdaki gibidir,

fiyat sabit iken

Satış gelirleri, fiyat ve reklam harcamaları olmak üzere iki değişkene bağlıdır ve fiyat sabit tutulmaktadır.

0 1 1 2 2i i i iY X X u

2

2

20 1 1 2 2 3 2i i i i iY X X X u

23 2iX

2

E Y

X

2 3 2

2

2E Y

XX

284

Şekil 19: Satışların reklam harcaması karşısında azalan verimler gösterdiği bir model

reklam harcamasının, satışlar üzerindeki marjinal etkisidir. Doğrusal fonksiyonlarda, eğim veya marjinal etki sabittir. Doğrusal olmayan fonksiyonlarda, bir veya

daha fazla değişken ile değişir. ve ’ün beklenen işaretlerini bulmak için;

olduğunda reklamdaki bir değişime karşı satış hasılatının tepkisinin pozitif olmasını

beklenmektedir, kısaca olması beklenir. Ayrıca, azalan verimlerin oluşması için, satış

hasılatının reklam harcaması arttıkça azalması gerekmektedir, kısaca olmasını beklenir.

9.7. Uyum İyiliğinin Ölçülmesi

Basit regresyon modeli için, bağımsız değişkenle açıklanan değişmenin toplam değişmeye oranı ile ölçülen belirlilik katsayısını 𝑟2, çok değişkenli regresyon modeli için de kullanılır aynı formüller geçerlidir. Belirlilik katsayısı aşağıdaki gibi hesaplandığı basit regresyon modelinden bilinmektedir.

veya

Burada RKT, Y’deki toplam değişimin model ( regresyon kareler toplamı) tarafından “açıklanan” kısmı, BKT, Y’nin ortalaması etrafındaki toplam değişimi ( bütün kareler toplamı) ve HKT, EKK kalıntı (hata) kareler toplamı olup, Y’deki değişimin model tarafından açıklanamayan kısmıdır.

simgesi, bağımsız değişkenlerin örnek değerlerinin her biri için Y’ nin öngörülmüş

değerini gösterir. aşağıdaki gibi ifade edilir.

2E Y X

2 3 2 0X

2 0

3 0

2 2

2

2 2

ˆ ˆ( )

( )

i i

i i

Y Y y RKTR

Y Y y BKT

2 2

2

2 2

ˆ ˆ( )1 1 1

( )

i i i

i i

Y Y uHKTR

BKT Y Y y

iY

iY

285

Model bir kesim terimi ( ) içerdikçe bağımlı değişkenin örnek ortalaması hem

’nin hem de ortalamasıdır ( )

Y için örnek standart sapması aşağıdaki gibi ifade edilebilir,

ve böylece, olur.

Belirginlik katsayısı 0 ile 1 arasında değer alır. R2’nin değeri yükseldikçe regresyon

düzleminin örnek gözlemlerine uyumu artar. k-1 sayıda bağımsız değişkeni olan çok değişkenli bir regresyon modeli için R2 formülünü genişletilirse;

sonucuna ulaşılır. Bağımlı değişken üzerinde etkili olsun veya olmasın modele giren her değişken belirginlik katsayısı R2’nin değerini arttıracaktır. Şöyle ki R2 eşitliğindeki toplam

değişme( ) bağımsız değişkenlerden bağımsızdır ve değeri sabittir. Modele giren her

değişken regresyonla açıklanan değişmeyi ( ) arttıracaktır. Paydanın ( ) değeri sabit

iken payın ( ) değerinin artması belirginlik katsayısının yanıltıcı şekilde artmasına neden olur. Bu mahsuru ortadan kaldırmak için çok değişkenli regresyon modellerinde genellikle R2

yerine düzeltilmiş R2hesaplanır. Düzeltilmiş belirginlik katsayısı ile gösterilir ve

’ eşittir.

Düzeltilmiş R2( ), belirginlik katsayısının serbestlik derecesiyle yeniden düzenlenmiş halidir. Gözlem sayısı yeterince büyükse ile R2 birbirine yakındır. Ancak gözlem sayısı küçükse düzeltilmiş belirginlik katsayısı, belirginlik katsayısından daha küçüktür ()hatta belirginlik katsayısı negatif değer almazken (orijinden geçen regresyon hariç) negatif

değer alabilmektedir. Belirsizlik katsayısı yine 1-R2’ye eşittir.

Alternatif modellerin R2 kriterine göre karşılaştırılabilmesi için bağımlı değişkenin aynı

olması gerekir. Şöyle ki aynı değişkenler arasındaki ilişkiyi açıklayan

0 1 1 2 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ

i i i k ikY X X X

0 Y iY

Y ˆY Y

2 2

1 1

1 1( )

1 1 1

n n

Y i ii i

BKTS Y Y y

n n n

2( 1) YBKT n S

21 1 2 2 1 12

2 2 2

ˆ ˆ ˆî i i i i k ik i

i i

y x y x y x yR

y Y nY

2iy

2îy 2

iy2îy

2R

2 2 11 (1 )

nR R

n k

2R2R

2 2R R2R

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ

i i iY X X

286

ile modelleri arasında tercih yapmak için R2 uygun bir ölçü

değildir. Çünkü Y’deki toplam değişim ile ln Y’deki toplam değişim aynı değildir.

Y ile X arasındaki ilişkinin derecesini gösteren basit korelasyon katsayısını (r), basit

regresyon modelinde belirginlik katsayısının ( ) karekökünden elde etmenin mümkün olduğunu biliyoruz. Çok değişkenli regresyon modelinde belirginlik katsayısının (R2) karekökü çoklu korelasyon katsayısına eşittir. Çoklu korelasyon katsayısı da bağımlı değişken ile bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin derecesini gösterir. Ancak kısmi korelasyon katsayılarının işareti farklı olduğu için, belirginlik katsayısından hesaplanan çoklu korelasyon katsayısına artı veya eksi işaret verilemez. Bu nedenden dolayı, uygulamada genellikle belirginlik katsayısı hesaplanır ve yorumlanır.

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆˆln ln lni i iY X X

2r

287

Uygulama Soruları

1) modelinin yorumu ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) sabit iken ’deki %1’lik artış Y’yi % 20 düşürür.

b) sabit iken ’deki %1 birimlik artış Y’yi %1.98 birim artırır.

c) ln sabit iken ln ’deki %1 birimlik artış lnY’yi %0.02 birim düşürür.

d) ln sabit iken ln ’deki %1 artış lnY’yi %0.02 düşürür.

e) sabit iken ’deki %1’lik artış Y’yi %0.02 düşürür.

modelinde ‘in varyans tahmincisi aşağıdaki gibidir.

2) Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Hata teriminin varyansının büyük olması ‘in varyansının büyük olmasına yol açar.

b) Gözlem sayısının büyük olması, ‘in varyansının küçük olmasını sağlar.

c) ‘deki değişim ( ) büyük ise ‘in varyansı da büyüktür.

d) ile arasındaki yüksek korelasyon ‘in varyansının büyük olmasına yol açar.

e) büyük ise ’in varyansı da büyük tahmin edilecektir.

3-6 arası sorular aşağıa raporlarmış veriler göre cevaplandırılacaktır.

25 yıllık verilerden modeli tahmin edilmiştir. Modelinin varyans-kovaryans matrisi aşağıdaki gibidir.

1 2ˆln 0.81 0.02ln 1.98lnY X X

2X 1X

1X 2X

2X 1X

2X 1X

2X 1X

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆY X X 1

2 22 2

1 2 2 22 21 121 2 1 2

ˆ(1 )

i

ii i i i

xVar

x rx x x x

1

1

1X 21 1( )iX X 1

1X 2X 1

2121 r 1

1 2ˆ 0.69 1.372 0.902Y X X

288


a) ‘in standart hatası 3’e eşittir.

b) ’nin varyansı 4’e eşittir.

c) ile arasındaki ortak varyans (kovaryans) -25’e eşittir.

d) ile arasındaki ortak varyans (kovaryans) -49’a eşittir.

e) ‘nin varyansı 16’ya eşittir.

4) düzeyinde parametresi ile ilgili anlamlılık testi sonuçlarına ilişkin

aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) Test istatistiğinin değeri: 0.1725, , istatistiksel açıdan anlamsız.

b) Test istatistiğinin değeri: 0.1725, , istatistiksel açıdan anlamsız.

c) Test istatistiğinin değeri: 5.80, , istatistiksel açıdan anlamlı.

d) Test istatistiğinin değeri: 0.1725, , istatistiksel açıdan anlamlı.

e) Test istatistiğinin değeri: 5.80, , istatistiksel açıdan anlamlı.

5) düzeyinde parametresi için oluşturulan güven aralıkları aşağıdakilerden hangisidir?

a) (-3.749 ;11.824)

b) (-6.178;7.558)

c) (-1.945;8.896)

d) (3.6109; 9.801)

e) (2.725;10.175)

16 25 81

ˆ 25 9 49

81 49 4iVar Cov

1

2

0 1

0 2

0

0.10 0

1.717ct 0

1.708ct 0

2.060ct 0

2.074ct 0

1.717ct 0

0.10 0

289

6) düzeyinde parametresi ile ilgili anlamlılık testi sonuçlarına ilişkin aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) Test istatistiğinin değeri: (-0.451), , istatistiksel açıdan anlamsız

b) Test istatistiğinin değeri: (0.451), , istatistiksel açıdan anlamlı.

c) Test istatistiğinin değeri: (-0.451), , istatistiksel açıdan anlamlı.

d) Test istatistiğinin değeri: (0.451), , istatistiksel açıdan anlamlı.

e) Test istatistiğinin değeri: (-0.451), , istatistiksel açıdan anlamsız.

7-10 arası sorular aşağıdaki veriler kullanılarak cevaplandırılacaktır.

7) Regresyon ile açıklanan değişme aşağıdakilerden hangisidir?

a) 32.8

b) 1173

c) 21.44

d) 971.28

e) 14.66

8) Belirginlik katsayısının değeri nedir?

a) 0.21

b) 0.72

c) 0.42

d) 0.81

0.05 2

2.074ct 2

2.074ct 2

2.074ct 2

2.060ct 2

2.060ct 2

1 2 3ˆ 27.02 1.61 11.03 1.89Y X X X

1 2 35.8 , 2.7 , 12.94yx yx yx 2 273 4.1 12iY Y n

290

e) 1.05

9) Düzeltilmiş belirginlik katsayısının değeri nedir?

a) 0.69

b) 0.37

c) 0.75

d) -0.05

e) -0.09

10) Toplam değişme …….iken modele giren her değişken regresyon ile ………. değişmenin değerini…..,,bu nedenle çok değişkenli regresyon modelinde …… yorumlanması uygundur.

Yukarıdaki boşluklara sırasıyla aşağıdaki şıklardan hangisinde verilenler gelmelidir?

a) sabit; açıklanabilen; attırır; düzeltilmiş belirginlik katsayısının

b) bağımlı değişenin değerine eşit; açıklanamayan; azaltır; düzeltilmiş belirginlik katsayısının

c) sabit; açıklanabilen; azaltır; düzeltilmiş belirginlik katsayısının

d) regresyonla açıklanamayan değişmeye eşit; açıklanabilen; attırır; düzeltilmiş belirginlik katsayısının

e) sabit; açıklanamayan; arttırır; düzeltilmiş belirginlik katsayısının

Cevaplar

1) b, 2) c, 3) d, 4) a, 5) b, 6) b, 7) e, 8) a, 9) e, 10) a

291


Bu bölümde çok değişkenli regresyon modellerinden en basiti olan iki bağımsız değişkenli bir modelde tahmin edilen parametrelerin varyans ve kovaryanslarının nasıl hesaplandığını gördük. Tahmin edilen parametrelerin dağılım özellikleri üzerinde durduk, çok değişkenli regresyon modeli parametrelerinin de normal dağılıma uygunluk gösterdiğini belirttik. Bu bağlamda basit regresyon modeli için uyguladığımız hipotez testleri ve güven aralıklarının sadece serbestlik derecesindeki farklılıkla aynen çok değişkenli regresyon modeli

için de uygulanabildiğini örneklerle gösterdik. Ayrıca çok değişkenli regresyon modelleri için regresyon doğrusunun verilere uyumu için belirginlik katsayısının güvenilir bir ölçü olmadığını düzeltilmiş belirginlik katsayısının hesaplanarak yorumlanması gerektiğini belirttik.

292

Bölüm Soruları


a) Tahmin edilen parametrelerin varayns ve kovaryansları parametrelerinin güvenirliliği hakkında bilgi sağlar.

b) Gauss Markow teoremine göre çok değişkenli regresyon modelinde temel

varsayımlar sağlanırsa, EKK tahmincileri en iyi doğrusal sapmasız tahmincilerdir.

c) Varyans kovaryans mtrisinin diagonal elemanları tahmin edilen parametrelerin varyanslarını diagonal dışı elemanları kovaryansları verir.

d) Çok değişkenli regresyon modelinde tahmin edilen parametreler normal

dağılıma uygundur.

e) Hata teriminin varyansının büyük olması, tahmin edilen parametrelerin varyanslarının küçük çıkmasını sağlar.

2) 20 gözlemlik verilerden aşağıdaki modelleri tahmin edilmiştir.

Model

Model

Her iki modelin düzeltilmiş belirginlik katsayısı ve hangi modelin tercih edileceği aşağıdaki şıklardan hangisinde doğru verilmiştir?

a) 1. Model , 2. Model

Bağımlı değişkenlerdeki toplam değişme farklı olduğu için iki model karşılaştırılamaz.

b) 1. Model , 2. Model

Düzeltilmiş belirginlik katsayısı büyük olduğu için ikinci model tercih edilir.

c) 1. Model , 2. Model

Düzeltilmiş belirginlik katsayısı küçük olduğu için birinci model tercih edilir.

d) 1. Model , 2. Model

Düzeltilmiş belirginlik katsayısı büyük olduğu için ikinci model tercih edilir.

e) 1. Model , 2. Model

21 2

ˆln 3.09 1.62 0.89 0.56iY X X R

21 3

ˆ 23.09 0.71 5.61 0.72iY X X R

2 0.51R 2 0.69R

2 0.61R 2 0.75R

2 0.61R 2 0.75R

2 0.51R 2 0.69R

2 0.51R 2 0.69R

293

Düzeltilmiş belirginlik katsayısı küçük olduğu için birinci model tercih edilir.

3) n=20 modelindeki 0.71 olarak

tahmin edilen parametrenin varyansı 0.04 ise anlamlılık seviyesinde parametrenin

anlamlılığı için test istatistiğinin değeri, testin tablo değeri ve karar aşağıdakilerden hangisidir.

a) t=3.55, tc=2.110, alternatif hipotez kabul, parametre anlamlı

b) t=17.75, tc=1.740, temel hipotez kabul, parametre anlamlı

c) t=3.55, tc=1.740, alternatif hipotez kabul, parametre anlamlı

d) t=0.06, tc=2.110, temel hipotez kabul, parametre anlamsız

e) t=3.55, tc=2.110, temel hipotez kabul, parametre anlamsız

4) Değişkenin etkinliğinin testi ile ilgili hipotez aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

c)

d)

e)

5) X malının talebi fiyata göre esnek olduğunu gösteren hipotez aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

c)

d)

e)

21 3

ˆ 23.09 0.71 5.61 0.72iY X X R

0.05

0 1: 1 ; : 1i iH H

0 1: 1 ; : 1i iH H

0 1: 1 ; : 1i iH H

0 1: 1 ; : 1i iH H

0 1: 1 ; : 1i iH H

0 1: 1 ; : 1i iH H 1H

0 1: 1 ; : 1i iH H 0H

0 1: 1 ; : 1i iH H 1H

0 1: 1 ; : 1i iH H 0H

0 1: 1 ; : 1i iH H 1H

294

6) 32 yıllık veriler kullanılarak televizyon satışlarının televizyon fiyatı (X1) ve kişi başına gelir değişkenleri (X2) ile açıklandığı aşağıdaki model tahmin edilmiştir.( )

Yukarıdaki bilgilere göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Temel ve alternatif hipotezler

b) Test istatistiği (-3.21)

c) Tablo değeri tc=1.699

d) Red bölgesi ve

e) Talep fiyata göre esnektir.

7) Aşağıdaki veriler göre düzeltilmiş belirginlik katsayısının değeri nedir?

a) 0.83

b) 0.87

c) 0.80

d) 0.71

e) 0.42

8) Belirginlik katsayısı ile düzeltilmiş belirginlik katsayısı arasında nasıl bir ilişki vardır?

a)

b)

c)

d)

0.05

21 2

ˆ 2073.09 5.91 2.04 0.61

ˆ( )(364.1) (1.84) (0.083)

i

i

Y X X R

Se

0 1: 1 ; : 1i iH H

ct t ct t

2 2ˆ2951 399 17 4i iy u n k

2 2R R

2 2(1 )R R

2 2 1R R

2 2R R

295

e)

9) Alternatif modellerin belirginlik katsayısına göre karşılaştırabilmesi için ………………… olmalıdır?

Yukarıdaki boşluğa aşağıdakilerden hangisi gelmelidir?

a) Bağımlı değişken aynı biçimde ifade edilmiş

b) Fonksiyonel biçimi aynı

c) Bağımsız değişkenleri aynı

d) Gözlem sayısı aynı

e) Regresyon ile açıklanan değişme aynı olmalıdır.

10) Çok değişkenli regresyon modellerinde n=gözlem sayısı, k=parametre sayısı olmak üzere hipotez testi ve güven aralıklarının oluşturulmasında kullanılan serbestlik derecesi nedir?

a) n-(k-1)

b) (n-1)-(k-1)

c) (n-1)-(n-k)

d) n-k

e) n-2

Cevaplar

1) e, 2) a, 3) a, 4) c, 5) a, 6) c, 7) a, 8) d, 9) a,10) d

2 21 (1 ) 1R R n k n

296

10. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON MODELİNDE İLERİ ÇIKARSAMA

297


1) Kısıtlı ve kısıtsız model ne demektir?

2) F testi nasıl uygulanır?

3) ANOVA tablosu nasıl düzenlenir?

4) Regresyonun anlamlılığı nasıl test edilir?

298



Kısıtlı ve kısıtsız hata kareleri toplamı kavramını ve hipotezleri test etmek için nasıl kullanıldığını açıklayabilmek.


Birleşik temel hipotezleri test etmek için F-testini

kullanabilmek.

Ders notları ve uygulamalar tekrar edilerek

Regresyon modelinin genel

anlamlılığını test edebilmek


Varyans Analiz Tablosunu

oluşturmak ve ne amaçla kullanıldığını bilmek


299

Anahtar Kavramlar

Kısıtlı model

Kısıtsız model

Anova tablosu

F testi

Kısıtlı modelin kalıntı kareler toplamı

Bileşik hipotez

Kısıtsız modelin kalıntı kareler toplamı

Kısıtlı en küçük kareler yöntemi

Örnek dışı bilgi

Regresyonun anlamlılığı

300

Giriş

İktisatçılar, iktisadi davranış ile ilgili teorileri geliştirir ve değerlendirirler. Ekonometrisyenler ise iktisat teorisini ekonometrik model ile tahmin ederek, hipotez testleri ile

iktisat teorilerini test ederler. Çok değişkenli regresyon modelinden elde edilen tek parametre üzerine tek bir kısıttan oluşan temel hipotezler için t-testlerinin nasıl uygulanacağını

öğrenmiş bulunmaktayız. Bu dersimizde, önceki analizimizi, iki veya daha fazla parametre üzerine kısıtları içeren temel hipotezin testini görecek ve bu bağlamda F-testinin nasıl uygulanacağını göreceğiz.

i

301

10.1. Birleşik Hipotezlerin Testi

Daha önceki bölümlerde tek bir parametre için hipotezlerin testi için tek ve çift kuyruklu

testlerin nasıl kullanılacağını öğrenmiş bulunmaktayız. Tek bir parametre için hipotez testi, sadece parametre ve parametre standart hatasının tahminini gerektirdiği için basittir.

Gerek tek kuyruklu gerekse çit kuyruklu tüm t-testlerinin önemli bir özelliği, bir veya daha fazla parametre ile ilgili tek bir tahmini içermesidir. Bu bölümde, parametreler ile ilgili çoklu tahminleri içeren temel hipotezler doğru hipotez testini genişletme ile ilgileneceğiz. Birden fazla eşitlik işareti ile ifade edilen çoklu tahminler ile ilgili temel hipotez, birleşik hipotez olarak isimlendirilir. Birleşik hipotezin bir örneği, bir grup açıklayıcı değişkenin belirli bir modelde yer alıp almamasının test edilmesidir. Bir ürün için talep edilen miktar, rakip malların fiyatlarına ( , ) mı yoksa sadece kendi fiyatına ( ) mı bağlıdır? Bunlar gibi iktisadi hipotezler, model parametreleri ile ilgili formüllere dönüştürülmek zorundadır.

Temel hipotez tüm rakip malların fiyatlarının katsayılarının sıfıra eşit olması olacaktır.

veya

burada, ve ikame malların fiyatlarının katsayılarıdır. Yukarıdaki birleşik temel

hipotez, iki tahmin ( iki eşittir işareti) : ve olduğunu içerir. testi, iki

tahminin aynı zamanda sağlanıp sağlanmadığı için bir birleşik testtir.

10.2. F-Testi

Birleşik bir hipotezin test için F-testi kullanılmaktadır. Bu testi ve bununla ilgili kavramları tanıtmak için, satış modeline reklam harcamaları karesinin de dahil edildiği genişletilmiş model kullanılacaktır.

Reklam harcamalarının satışlar üzerinde etkili olup olmadığını test etmek istediğimizi varsayalım. Reklam, hem bir doğrusal terim hem de ikinci dereceden bir terim olarak

modelde yer aldığı için, ancak ve ise reklam harcamalarının satışlar üzerindeki

etkisi olmayacaktır. ve sıfır olmadığında kısaca ve ise reklam harcamaları

1RMP 2RMP P

0 1 2 31 2i i i i iD P RMP RMP u

0 2 0 3: 0 , : 0H H

0 2 3: 0H

2 3

0 2: 0H 0 3: 0H 0H

20 1 1 2 2 3 2i i i i iY X X X u

2X 22X

2 0 3 0

2 3 2 0 3 0

302

satışlar üzerinde bir etkiye sahip olacaktır. Böylece, bu test için temel ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibidir.

,

veya her ikisi de sıfır değil

Temel hipotez ’a göre, yukarıdaki model kısıtsız model olarak

adlandırılır. Temel hipotezdeki kısıtlar, modele uygulanmamıştır. ’daki parametre

kısıtlarının doğru olduğu varsayımıyla elde edilen yeni model ise kısıtlı model olarak

adlandırılır 𝐻0 doğru iken , ve modelden çıkarılırsa kısıtlı model aşağıdaki gibi olur.

hipotezinin testi için kullanılan F-testi, kısıtsız modelin ve kısıtlı modelin hata kareleri toplamlarının (en küçük kareler kalıntılarının kareli toplamları) karşılaştırılmasına dayanır. Bu iki toplam için sırasıyla kısaca ve ile gösterilir.

Bir regresyona değişken veya değişkenlerin eklenmesi hata kareleri toplamını azaltacaktır. Bağımlı değişkendeki değişme diğer bir ifade ile toplam değişme ( ) modelde

yer alan bağımsız değişken sayısından bağımsız olup, sabittir. Modele giren her bağımsız değişken regresyon ile açıklanan değişmeyi (RKT) arttıracağı için, kısıtsız modelin kalıntılarının kareleri toplamı kısıtlı modelin kalıntılar kareleri toplamından küçük olacaktır. Dolayısıyla kısaltmaları açısından olur. ise

olduğu sonucunu çıkarabiliriz.

Satış gelirleri için kısıtsız ve kısıtlı olmak üzere iki alternatif modelin tahmin sonuçları ve kalıntı kareler toplamı aşağıdaki gibidir.

Dikkat edilirse, kısıtlı modelin hata kareleri toplamını kısıtsız modelin hata terimi toplamından küçüktür.

F-testi bu azalmanın anlamlı olup olmadığını test etmektir. Ek değişkenleri ekleme, hata kareleri toplamı üzerinde çok aza etkiye sahipse, bu değişkenler bağımlı değişkendeki değişimi açıklamaya çok az katkı yapar ve onları modelden çıkaracak temel hipotez için destek oluşur.

0 2 3: 0 , 0H

1 2 3, : 0 0H

0 2 3: 0 , 0H

0H

2 30 , 0 2X 22X

0 1 1i i iY X u

0 2 3: 0 , 0H

ˆKSZ

u ˆKSL

u

BKT

ˆ ˆ 0KSZ KSL

u u ˆ ˆKSL KSZ

u u 2 2KSL KSZR R

20 1 1 2 2 3 2i i i i iY X X X u ˆ 1532.084

KSZu

0 1 1i i iY X u ˆ 1896.391KSL

u

303

Diğer yandan, eğer değişkenleri ekleme, hata kareleri toplamında büyük bir azalmaya yol açarsa, bu değişkenler bağımlı değişkendeki değişimi açıklamaya anlamlı bir şekilde katkı yapar ve temel hipoteze karşı kanıtımız olur. F-testi, hata kareleri toplamında büyük bir azalma veya küçük bir azalmayı neyin oluşturduğunu belirler. Buna göre F-testi için test istatistiği aşağıdaki gibidir.

veya

Burada, v kısıtlama sayısı, n gözlem sayısı ve k ise kısıtsız modeldeki parametre sayısıdır.

Eğer temel hipotez doğruysa, F istatistiği, payda v serbestlik dereceli ve paydada n-k

serbestlik derece ile F-dağılımına sahip olur. Eğer temel hipotez doğru değilse ve

arasındaki fark büyük olacak ve temel hipotez ile modelde yer alan kısıtların modelin

verilere uyum sağlama kabiliyetini anlamlı bir şekilde azalttığı anlamına gelir. Böylece’nin alacağı büyük değer, F değerinin de büyük olma eğiliminde olduğu

anlamına gelir. Buna göre F-testi istatistik değeri ve için v; n-k serbestlik

dereceli kritik değer ‘den büyük olursa temel hipotez reddedilir.

ve değişkenleri satış modelinden çıkarılmalı mıdır yoksa modelde kalmalı mıdır?’ın testi için F-testinin aşamaları aşağıdaki gibidir:

1. Temel ve alternatif hipotezi belirlenmesi: Birleşik temel hipotez ve alternatif

hipotez aşağıdaki gibidir.


veya

ˆ ˆˆ

KSL KSZ

KSZ

u u vF

u n k

2 2

,21

KSZ KSL

v n k

KSZ

R R vF F

R n k

ˆKSZ

uˆ

KSLu

ˆ ˆKSL KSZ

u u 0.01 0.05

cF

2X 22X

0 2 3: 0 , 0H

1 2 3: 0 veya 0 H

0 2 3: 0H

1 : Enazbiri sıfırdan farklı dır.H

304

2. Temel hipotez doğruysa, test istatistiği: ‘da iki kısıt olduğu için v=2’dir. n=75

olduğuna göre, doğru olduğu varsayımı altında F-testi istatistiğinin dağılımı aşağıdaki gibidir.

3. Anlamlılık düzeyi oluşturularak red bölgesi belirlenir. Anlamlılık düzeyi

alınır ise dağılımından elde edilen kritik değer, olup, F’in red bölgesi ≥

3.126’dır.

4. Test istatistiğinin örnek değeri hesaplanır. F-testi istatistik değeri aşağıdaki gibidir.

5. Karar aşaması: olduğu için ve olduğu temel

hipotezi reddedilir ve bunlardan en az birinin sıfırdan farklı olduğu sonucuna ulaşılır. Reklam,

satış hasılatı üzerinde anlamlı bir etkiye sahiptir.

10.3. Modelin Anlamlılığının Testi

F-testi için önemli bir uygulama, bir modelin genel anlamlılığının test edilmesidir. Hatırlanacağı üzere toplam değişme içinde regresyonla açıklanan değişmenin payını gösteren belirginlik katsayısı ’nin bir istatistik olduğunu ve test edilmesi gerektiği ifade edilmişti. F-

testi ile bir modelin genel anlamlılığının test edilmesi esasen ’nin testidir.

Bağımlı değişken Y’nin, belirli bir açıklayıcı değişken Xi ile ilişkili olup olmadığının testi için t-testi kullanıldı. Şimdi bu test tüm açıklayıcı değişkenlerin anlamlılığının birleşik testi için genişletilecektir. Tekrar, k sayıda parametre ve k-1 sayıda değişken için çok değişkenli regresyon modelini aşağıdaki gibidir.

Uygun bir açıklayıcı modele sahip olup olmadığımız incelemek için, aşağıdaki temel ve alternatif hipotezler kurulur.

‘lerdan en az biri sıfırdan farklıdır. için,

Bu hipotezler aşağıda verilen temel ve alternatif hipotezlere denktir.

0H

0H

2,71

ˆ ˆ 2

ˆ 75 4KSL KSZ

KSZ

u uF F

u

0.05

2,71F 0.95,2,71cF F

1896.391 1532.084 28.44

1532.084 75 4F

8.44 3.126cF F 2 0 3 0

2R2R

0 1 1 2 2 1 1i i i k ik iY X X X u

0 1 2 1: 0kH

1; iH 1,2, , 1i k

305

Temel hipotez, k-1 bileşene sahip olduğu için, birleşik hipotezdir. Temel bileşik hipotez otonom parametre hariç, parametrelerinin her biri ve tümünün aynı zamanda sıfır

olduğunu göstermektedir. Eğer bu temel hipotez doğruysa açıklayıcı değişkenlerin hiçbirisi bağımlı değişken Y’yi etkilemez ve böylece modelimizin çok az değeri vardır veya hiçbir değeri yoktur. Eğer alternatif hipotez doğruysa, parametrelerden en az biri sıfırdan farklıdır ve böylece bir veya daha fazla açıklayıcı değişken modelde yer almaktadır. Ancak alternatif hipotez, hangi değişkenlerin içerilebileceğini göstermez. Bu test ile uygun bir açıklayıcı modele sahip olup olmadığımız test ettiğimiz için, bu test regresyon modelinin genel anlamlılığının testi olarak da bilinmektedir. Sonuç olarak, tek bir temel hipotezi test etmek için t-testi kullanılmakta iken, birleşik temel hipotezinin testi için F-testi kullanılmaktadır. Kısıtsız model

iken temel hipotez doğru iken, kısıtlı model aşağıdaki gibi olacaktır.

Bu kısıtlı modelde ‘ın en küçük kareler tahmincisi aşağıdaki gibidir.

Buna göre , bağımlı değişkenin örnek ortalamasına eşittir. Bu bağımsız değişkenlerden hiçbirinin yer almadığı model için hata karelerinin toplamı aşağıdaki gibidir.

Regresyonun anlamlılığının testi için test istatistiği aşağıdaki gibidir.

Bu test istatistiğinin hesaplanan değeri, dağılımından elde edilen bir kritik

değer ile karşılaştırılır. Testin sonucu, regresyon analizi için temel öneme sahiptir.

20 : 0H R

21; 0H R

0 i

1H

0 1 1 2 2 1 1i i i k ik iY X X X u

0i iY u

0

* 1ˆ

n

ii

Y

Yn

* 0i iY u

2 2*

1 1

ˆn n

i ii i

HKT Y Y Y BKT

2 2

2

ˆ 1

ˆi i

i

y u kF

u n k

1,k n kF

306

Satış gelirleri uygulaması için regresyonun genel anlamlılığını testi, , ve

değişkenleri ile ilgili parametrelerin birlikte sıfır olup olmadığının, bu parametrelerden en az birinin sıfırdan farklı olduğu alternatif hipotezine karşı testidir. Buna göre testin aşamaları aşağıdaki gibidir.

1.

temel hipotezi

Alternatif hipotezine karşı test edilmektedir.

1) doğru ise, F test istatistiği aşağıdaki gibidir.

3. %5 anlamlılık düzeyini kullanarak, serbestlik derecesi (3, 71) ile, F-istatistiği için kritik değerini 𝐹𝑐 = 2.734 buluruz. Böylece, 𝐹 ≥ 2.734 olursa, 𝐻0’ı reddederiz.

4. Gereken karelerin toplamı, ve ki bu F-değeri aşağıdaki gibidir,

5. olduğu için, 𝐻0 reddederiz ve tahmin edilen ilişki anlamlı bir ilişkidir. Fiyat, satışlar ve satışların karesinin en azından biri satışlar üzerinde bir etkiye sahip olduğuğ sonucuna ulaşırız.

10.4. F- ve t- Testleri Arasındaki İlişki

Yukarıda ve olup olmadığını test etmek için bir F-testi kullanarak

reklamın satışları etkileyip etkilemediğini test ettik.

Varsayalım ki, şimdi, fiyatların satışları etkileyip etkilemediğini test etmek istiyoruz. Yukarıda uyguladığımız F-testinin aşamalarını aynı şekilde uygulayacağız.

ve kısıtlı model aşağıdaki gibidir,

1X 2X 22X

0 1 2 3: 0H

1 1 2 3; , , 'ün en az biri sıfırdan farklıdır.H

0H

2 2

3,712

ˆ 4 1

ˆ 75 4

i i

i

y uF F

u

2 3115.482iy 2ˆ 1532.084iu

2 2

2

ˆ 1 3115.482 1532.084 4 124.459

ˆ 1532.084 75 4

i i

i

y u kF

u n k

24.459 2.734

2 0 3 0

20 1 1 2 2 3 2i i i i iY X X X u

0 1 1 1: 0 , : 0H H

307

Kısıtlı ve kısıtsız model tahmin edilerek her iki model için de kalıntı kareler toplamı hesaplanır. Bunlar sırasıyla, ve ’e eşittir.

Gerekli F-değeri aşağıdaki gibidir,

%5 kritik değer, ’dır. Böylece,

reddedilir.

Tek bir “eşitlik” temel hipotezini (tek bir kısıtlama), “eşit değildir” alternatif hipotezine karşı test ederken, ya t-testi ya da F-testi kullanılabilir; bu test sonuçları özdeş olacaktır. Bu uyumun sebebi, t- ve F-dağılımları arasındaki tam ilişkidir. df serbestlik derecesi ile t rassal

değişkenin karesi, paydaki 1 serbestlik derece ile ve paydadaki df serbestlik derece ile bir F

rassal değişkenidir. 𝐹(1,𝑑𝑓) dağılımına sahiptir.

t-testini ile karşı test etmek için aşağıda raporlanmış tahmin

sonuçları kullanılmaktadır.

karşı test için t-değeri, ‘dür.

Bunun karesi, ’tir ki bu değer, yukarda hesaplana F-değeri ile aynıdır.

t-testi için %5 kritik değer, 𝑡𝑐 = 𝑡(0.95,2,71) = 1.9939 olup, karesi, 𝑡𝑐2 = 1.99392 = 3.976 =𝐹𝑐, -ki bu F-testi için kritik değerdir. Bu tam ilişkiler sebebiyle, kullandığımız yaklaşım ne olursa olsun, her zaman aynı sonuca ulaşacağımız anlamına gelir. Ne var ki tek-kuyruklu t-test

kullanırken, eşdeğerlik yoktur çünkü alternatif hipotez, > veya < gibi bir eşitsizlik olduğunda F-testi, uygun değildir. t-testleri ve F-testleri arasındaki özdeşlik, temel hipotez, tek bir kısıttan fazlasından oluştuğunda devam etmez. Bu şartlar altında, 𝑣 ≥ 2, t-testi kullanılamaz, fakat F-

testi mevcuttur.

20 2 2 3 2i i i iY X X u

ˆ 1532.084KSZ

u ˆ 2683.411KSL

u

ˆ ˆ 2683.411 1532.084 153.355

ˆ 1532.084KSL KSZ

KSZ

u u vF

u n k

0.95,713.976cF F 53.355 3.976cF F

0 1: 0H

0 1: 0H 1 1: 0H

21 2 2109.72 7.640 12.151 2.768

ˆ( ) (6.80) (1.046) (3.556) (0.941)

i i i i

i

Y X X X

Se

0 1: 0H 1 1: 0H 7.640 1.046 7.304 44t

22 7.30444 53.355t

308

F-testinin bileşenleri aşağıdaki gibi özetlenebilir:

1. Temel hipotez 𝐻0 , model parametreleri 𝛽𝑖 üzerine bir veya daha fazla eşitlik kısıtlarından oluşur. Kısıt sayısı, v ile gösterilir. v= 1 olduğunda, temel hipotez, tekli temel hipotez olarak isimlendirilir. v≥ 2 olduğunda birleşik temel hipotez olarak isimlendirilir. Temel

hipotez, herhangi “daha büyük veya eşittir” veya “ daha küçük veya eşittir” hipotezlerini içermeyebilir.

2. Alternatif hipotez, temel hipotezde bir veya daha fazla eşitliklerin doğru olmadığını ifade eder. Alternatif hipotez, herhangi bir “daha büyük” veya “ daha küçük” seçeneklerini içermeyebilir.

3. Test istatistiği, F-istatistiğidir.

4. Temel hipotez doğruysa, F, paydaki v serbestlik derecesi ve paydadaki n-k serbestlik

derecesi ile F-dağılımına sahiptir. Temel hipotez, 𝐹 > 𝐹𝑐 olursa, reddedilir, burada 𝐹 =𝐹(1−𝛼,𝑣,𝑛−𝑘), F-dağılımının üst kuyruğunda olasılık yüzdesini 𝛼 bırakan kritik değerdir.

5. Tek bir eşitlik temel hipotezini test ederken ya t- veya F-testi prosedürünü kullanmak

mükemmel bir şekilde doğrudur: Bunlar eşittirler. Uygulamada, tekli kısıtlarını test etmek için, t-testi kullanımı yaygındır. F-testi genelde, birleşik hipotezler için kullanılır.

10.5. Varyans Analiz (ANOVA) Tablosu

Özellikle çok değişkenli regresyon modelleri açısından önemli olan analizi yaklaşımı aynı verilere uygulanan alternatif modellerin seçiminde yol göstericidir. Aynı zamanda belirginlik katsayısı, tahminin standart hatası, bağımlı değişkenin koşulsuz varyansı gibi ölçülerin varyans analiz tablosunda hesaplanması mümkündür. Varyans analiz tablosunun oluşturulmasındaki amaç regresyon ile açıklanan değişim anlamını test etmektir. Varyans analiz

tablosunu oluşturmak için toplam değişme, regresyon ile açıklanan değişme ve regresyon ile açıklanamayan değişme arasındaki ilişkiyi bir kez daha yazalım.

veya

Yukarıdaki değişimler ile ilgili unsurlar kullanılarak varyans analiz tablosu oluşturulur.

2 22 ˆ ˆi i i iY Y Y Y Y Y

2 2 2ˆ ˆi i iy y u

BKT RKT HKT

309

Değişimin

Kaynağı

Kareler Toplamı

KT

Serbestlik derecesi

sd

Ortalama

Kareler Toplamı OKT

RKT k-1

HKT n-k

BKT n-1

Tablo 7: Varyans analiz (ANOVA) tablosu

Varyans analiz tablosunu kullanarak regresyon ile açıklanan değişmenin anlamlık testi için aşamalar aşağıdaki gibidir.

1. Temel ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibi kurulur.

‘lerdan en az biri sıfırdan farklıdır. veya

2. doğru ise test istatistiği aşağıdaki gibidir.

3. Verilen bir anlamlılık düzeyini kullanarak serbestlik derecesi ile F-

istatistiği için kritik değerini bulunur.

4. Örnek verilerinden değeri hesaplanır.

5. olursa, 𝐻0 ’ı reddederiz. Böylece regresyon modelinde yer alan bağımsız değişkenler değişkenler bağımlı değişken Y’yi açıklamada istatistiksel açıdan anlamlıdır.

Ayrıca yukarıdaki gibi hazırlamış ANOVA tablosunun Birici sütunun ilk satırının (

) üçüncü satıra ( ) oranından belirginlik katsayısı elde edilir. İkinci satırın son

2îy 2ˆ 1iy k 2îu 2ˆ

iu n k2iy 2 1iy n

0 1 2 1: 0, 0, , 0kH

1; iH 1,2, , 1i k

20 : 0H R

21; 0H R

0H

2

1,2

ˆ 1' nınˆ' nın

i

k n ki

y kRHK OKTF F

KHT OKT u n k

1,k n k

cF

F

cF F

2îy 2

iy

310

elemanı ( ) tahminin standart hatasını verir. Üçüncü satırın son elemanı (

) bağımlı değişkenin koşulsuz varyansıdır. ANOVA tablosunu üçüncü sütunun birinci ikinci sıra unsurlarının oranı ise hesaplanan F değeridir.

Açıklayıcı Uygulama: Tüketim Modeli

Örneklem 1 verileri kullanılarak aşağıdaki ara sonuçlar kullanılarak;

n=10

aşağıdaki regresyon modeli tahmin edilmişti.

Şimdi yukarıdaki ara sonuçlar ve tahmin edilen regresyon modeli kullanılarak ANOVA tablosunu düzenleyecek ve bu tablodan çıkarımlar elde edeceğiz. Öncelikle teorik varyans analiz tablosunu aşağıdaki gibi hazırlıyoruz.

Değişimin

Kaynağı

Kareler Toplamı

KT

Serbestlik derecesi

sd

Ortalama


RKT k-1

HKT n-k

BKT n-1

Öncelikle yukarıdaki verileri kullanarak kareler toplamları hesaplanır.

BKT= ara sonuçlarda verilmiş,

Basit regresyonda regresyonla açıklanan kareler toplamı

RKT=

Not: Model k değişkenli model olsa idi, regresyon ile açıklanan değişmenin

eşitliğinden hesaplanması gerektiğini hatırlayın.

2îu n k

2 1iy n

1211Y 1700iX 2 322000iX 226020i iY X 170X 121.1Y

2 33000ix 2 12926.9y 20150i iy x

ˆ 17.29 0.61i iY X

2îy 2ˆ 1iy k 2îu 2ˆ

iu n k2iy 2 1iy n

2 12926.9y

22 2 2ˆˆ 0.61 33000 12279.3i iy x

21 1 2 2ˆ ˆ ˆî k ky x y x y x y

312

Buradan kalıntı kareler toplamı

BKT-RKT=HKT=

olarak hesaplanır. k=4, n=10 olduğuna göre varaynas analiz tablosu aşağıdaki gibi düzenlenir.

Değişimin

Kaynağı

Kareler Toplamı

KT

Serbestlik derecesi

sd

Ortalama


RKT 2-1=1

HKT 10-2=8

BKT 10-1=9

Düzenlenen bu varyans analiz tablosundan aşağıdaki sonuçlara ulaşabiliriz.

1. Hata terimi varyansının tahmini:

2. Belirginlik katsayısı:

veya

3. Bağımlı değişken Y’nin koşulsuz varyansı

Var(Y)=1436.322

4. Regresyonun anlamlılığını ( ‘nin anlamlılığını) test edebiliriz.


veya

2ˆ 12926.9 12279. 647.63iu

12279.3 12279.3 1 12279.3

647.6 647.6 8 80.95

12926.9 1 1436.3222926.9 9

2 2ˆ ˆ 80.95iu n k

2 2 2 12279.3ˆ 12926.9 0.95i ir y y

2 2 2ˆ1 1 647.6 12926.9 0.95i ir u y

2r

0 1

1 1

: 0

: 0

H

H

20

21

: 0

: 0

H r

H r

313

Test istatistiği

olduğuna göre varyans analiz tablosunun son sütunu

kullanılarak F istatistiğinin değeri hesaplanır ve tablo değeri ile karşılaştırılır.

Bu sonuca göre hipotezi kabul edilir ve regresyon ile açıklanan değişme veya istatistiksel açıdan anlamlıdır. Gelir tüketim üzerinde etkilidir.

2

1,2

ˆ 1

ˆi

k n ki

y kF F

u n k

0.05,1,8151.6

12279.3

80.9899 5.32

5F F

1H 2r

314

Uygulama Soruları

1) Aşağıda ara sonuçları kullanarak kısıtlı ve kısıtsız modelin hangisinin uygun model olduğuna karar veriniz?

n=35

Öncelikle bileşik temel ve alternatif hipotez aşağıdaki gibi belirlenir.


Temel hipotez doğruysa, test istatistiği: ‘da iki kısıt olduğu için v=2’dir. n=35

olduğuna göre, doğru olduğu varsayımı altında F-testi istatistiğinin dağılımı aşağıdaki gibidir.

Test istatistiğinin örnek değeri hesaplanır. F-testinin istatistik değeri aşağıdaki gibidir.

Anlamlılık düzeyi alınır ise dağılımından elde edilen kritik değer,

olup F’in red bölgesi ≥ 3.32’dir. olduğu için ve

olduğu temel hipotezi reddedilir ve bunlardan en az birinin sıfırdan farklı olduğu sonucuna ulaşılır. Kısıtsız model Y bağımlı değişkenini açıklamada kısıtsız modele tercih edilir.

1 2ˆ 2.301 7.20 3.91i i iY X X 2 0.884R

2ˆ 945KSLy 2ˆ 233KSLu

1 2 3 4ˆ 14.82 4.08 2.954 0.105 0.529i i i i iY X X X X 2 0.898R 2ˆ 973KSZy

2ˆ 105KSZu

0 3 4: 0 , 0H

1 3 4: 0 veya 0 H

0H

0H

,

ˆ ˆˆ

KSL KSZ

v n k

KSZ

u u vF F

u n k

233 105 2

105 421.3333

0 53F

0.05 2,30F

0.95,2,30cF F 21.33 3.126cF F 4 0

5 0

315

2) Önceki derslerimizde İthalatın, GSMH ve ithal malları fiyat indeksinin fonksiyonu olduğu model aşağıdaki ara sonuçlardan

olarak tahmin edilmişti. Regresyon ile açıklanan değişmenin anlamlılığını test edelim.

Öncelikle temel ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibi kurulur.

doğru ise, F test istatistiği aşağıdaki gibidir.

%5 anlamlılık düzeyini kullanarak, k-1=3-1=2 ve n-k=4-3=1 ‘den (2,1) serbestlik

derecesi ile ’e eşittir.

Gereken karelerin toplamı, ve ki bu F-değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.

olduğu için, 𝐻0 reddedilemez ve tahmin edilen ilişki istatistiksel olarak anlamlı değildir. İktisat teorisine göre ithalat, GSMH ve İthal malları fiyat endeksinin fonksiyonu olmasına rağmen bu uygulamada GSMH ve İthal malları fiyat endeksi ithalatı

1 1 1

2 2 2

2 22

22 2 21 1 1

22 2 22 2 2

1 2 1 2 1 2

280 4 15 4 40

36 4 2 4 20

84 4 4 20

984 4 15 84

18 4 2 2

130 4 15 2 10

i i i i

i i i i

ii

i i

i i

i i i i

y x Y X nX Y

y x Y X nX Y

y Y nY

x X nX

x X nX

x x X X nX X

21 2

ˆ ˆ2.94 0.58 0.94 0.2408i iY X X u

0 1 2: 0H

1 1 2; , 'nin en az biri sıfırdan farklıdır.H

0H

2 2

1,2

ˆ 1

ˆi i

k n k

i

y u kF F

u n k

200cF

2 20iy 2ˆ 0.2408iu

20 0.2408 3 1

0.2408 4 1123.0847F

123.0847 200

316

açıklamada yetersiz kalmışlardır. Bunun nedeni daha önce ifade edildiği üzere gözlem sayısının 4 ile sınırlı tutulmuş olmasıdır.

3-10 arası sorular aşağıdaki varyans analiz tablosu (ANOVA) kullanılarak cevaplandırılacaktır.

Değişimin

Kaynağı

Kareler Toplamı

KT

Serbestlik derecesi

sd

Ortalama


RKT 8552.73 1 8552.73

HKT 337.27 8 42.159

BKT 8890.00 9 987.7778

3) Belirginlik katsayısını hesaplayınız.

ve olarak verildiğine göre

Bağımlı değişkendeki toplam değişmenin %96 sı X bağımsız değişkeni tarafından açıklanmaktadır.

4) Hata terimi varyansını tahmini nedir?

5) Bağımlı değişkenin koşulsuz varyansı nedir?

6) Tahminin standart hatası nedir?

6.49

ˆ 13.89 92.47i iY X

2 855 . 3ˆ 2 7iy 2 8890iy 2

2

2

8552.730.96

8890

ˆii

yr

y

2 42 59ˆ .1

( ) 987.7778Var Y

42. 59ˆ 1

317

7) Regresyon ile açıklanan değişmenin ( ‘nin) anlamlılığını test edin.


Test istatistiğinin değeri

için kritik değer ‘dür

olduğu için hipotezi reddedilir. Regresyon ile açıklanan

değişme ( ) istatistiksel açıdan anlamlı bulunmuştur.

8) X katsayısı için t- testi uygulamaya gerek var mıdır?

Basit regresyon için t-testi ile F-testi birbielerine alternatif testler olup aynı sonucu verir. Dolayısıyla ayrıca t-testi uygulamaya gerek yoktur.

9) F-istatistiğinin hesaplanmış değerinden t-istatistiğinin değerini bulabilirmisiniz?

eşitliğinden

t-istatistiğinin değeri aşağıda verilmiştir.

10) parametresinin standart hatasını hesaplayabilir misiniz?

Evet hesaplayabiliriz. t-istatistiği

olduğuna göre,

eşitliğinden,

2r

0 1: 0H

1 1: 0H

2 2

2

8890.00 337.27ˆ 1 2202

1

ˆ.8696

337.2 0 27 1

i i

i

y u kF

u n k

0.01 1,811.3cF F

202.87 11.3cF F 0H

2r

2F t 2202.87 t

14.24t

1

1

1

ˆˆt

Se

1

92.4714.24 ˆSe

318

olarak bulunur.

1 6.49368Se

319


Bu bölümde kısıtlı ve kısıtsız model arasında F–testini kullanarak nasıl tercih yapacağımızı, bu bağlamda bileşik hipotezin ne olduğunu öğrendik. Daha önceki derslerimizde belirginlik katsayısının bir istatistik olduğunu, yüksek belirginlik katsayısının regresyon doğrusuna uyumunun iyi olduğu anlamına gelmediğini ve test edilmesi gerektiği üzerinde durmuştuk. Bu dersimizde belirginlik katsayısının diğer bir ifade ile regresyon ile açıklanan değişmenin anlamlılığının testini gördük. Ayrıca varyans analiz tablosunun nasıl düzenlendiğini ve varyans analiz tablosundan belirginlik katsayısı, hata terimi varyansı, bağımlı değişkenin koşulsuz varyansının hesaplanması ve regresyon ile açıklanan değişmenin nasıl test edileceği üzerinde durduk. Basit regresyon modelinde t testi ile F testinin birbirlerine alternatif

testler olduğunu ve F-testi uygulanmış ise, ayrıca t- testini uygulamaya gerek olmadığını gösterdik.

320

Bölüm Soruları

14 gözlemlik verilere ilişkin ara sonuçlar, regresyon modelinin tahmini aşağıda verilmiştir.

,

1-10 arası sorular yukarıdaki veriler kullanılarak cevaplandırılacaktır.

1) Varyans analiz tablosunu düzenleyiniz.

Değişimin Kaynağı

Kareler Toplamı

KT

Serbestli

k derecesi sd

Ortalama Kareler

Toplamı

OKT

RKT 3-1=2

HKT 680 14-3=11

BKT 14-1=13

2) Ana kütle hata teriminin varyansı nedir?

a) 2628.5

b) 61.82

c) 456.6923

d) 42.52

e) 73.80

3) Belirginlik katsayısı nedir?

a) 0.12

b) 0.72

c) 0.89

1 2ˆ 24.7747 2.9415 0.0424i i iY X X

25937iY Y 2ˆ 5257iY Y

2ˆ 5257iY Y 5257 2 2628.5

680 11 61.82

25937iY Y 5937 13 456.6923

321

d) 0.05

e) 0.57

4) Hata terimi varyansının tahmini nedir?

a) 61.82

b) 680

c) 2628.5

d) 456.69

e) 5937

5) Sırasıyla toplam değişme, regresyonla açıklanan değişme ve regresyon ile açıklanamayan değişmenin değeri nedir?

a) 5257, 680, 5937

b) 680, 5257, 5937

c) 5937, 680, 5257

d) 5937, 5257, 680

e) 680, 5937, 5257

6) Regresyon ile açıklanan değişmenin anlamlığının testi için temel ve alternatif hipotezler hangisidir?

a)

b)

c)

d)

e)

0 1 2: 0H 1 1 2; , 'nin en az biri sıfırdan farklıdır.H

0 0 1 2: 0H 1 0 1 2; , , 'nin en az biri sıfırdan farklıdır.H

0 0 1 2: , , 'nin en az biri sıfırdan farklıdırH 1;.H 0 1 2 0

0 1 2: , 'nin en az biri sıfırdan farklıdırH 1;H 1 2 0

0 1 2:H 1 1 2; , 'nin en az biri sıfırdan farklıdır.H

322

7) Regresyon ile açıklanan değişmenin sırasıyla serbestlik derecesi, F-istatistiğinin değeri, anlamlılık düzeyinde kritik değer ve karar nedir?

a) (2,11) ; 42.52; 3.98 ; kabul

b) (2,11) ; 5.76; 19.4 ; kabul

c) (2,11) ; 5.76; 19.4 ; kabul

d) (2,11) ; 42.52; 3.98 ; kabul

e) (11,13) ; 0.14; 2.79 ; kabul

8) Yukarıdaki regresyon modeline ilave ediliyor ve kalıntı kareler toplamı 220 hesaplanıyor. Kısıtlı ve kısıtsız modeller için temel ve alternatif hipotezler aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

c)

d)

e)

9) Sorudaki veriyi de kullanarak kısıtlı model ve kısıtsız modelden hangisini seçeceğiniz hususunda serbestlik derecesi, test istatistiğinin değeri, anlamlılık düzeyinde kritik değer ve karar nedir?

a) (3,11) ; 10.67; 8.76; Kabul

b) (6,8) ; 3.98; 4.15; Kabul

c) (8,6) ; 11.09; 4.15; Kabul

d) (3,8) ; 8.36; 8.85; Kabul

e) (3,11) ; 5.98; 8.76; Kabul

0.05

1H

0H

1H

0H

0H

3 4 5, ,X X X



20 : 0H R 2

1 : 0H R

0 0 1 2:H 1 0 1 2: 0H

0 3 4 5: 0H 1 3 4 5: 0.H

0.05

1H

0H

1H

0H

0H

323


a) Birden fazla hipotezin birlikte testi bileşik test olarak adlandırılır.

b) Regresyonla açıklanamayan değişmenin testi belirginlik katsayısının testine denktir.

c) Basit regresyon için t- testi ile F- testi sonucu aynıdır.

d) Basit regresyon için t-istatistiği değerinin karesi F-istatistiğinin değerine eşittir.

e) Varyans analiz tablosu ile regresyon ile açıklanan değişmenin anlamlılığı test edilebilir.

Cevaplar

2) b, 3) c, 4) a, 5) d, 6) a, 7) d, 8) b, 9) d, 10) b

324

11. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYONDA İLERİ ÇIKARSAMALAR

325


1) Model kurma hatası nedir?

2) Alternatif modellerden arasından seçim yapmak için kriter var mıdır?

326


Konu Kazanım Kazanımın nasıl elde

edileceği veya geliştirileceği

Dışlanmış değişken ve İlgisiz değişken kavramları ile ne denilmek

istendiğini açıklayabilmek. Dışlanmış ve ilgisiz değişkenlerin EKK tahmincisinin özellikleri için sonuçlarını açıklayabilmek


Akaike bilgi kriteri ve Schwarz bilgi

kriterinin ne amaçla kullanıldığını bilmek.


Reset ve Lagrange çarpanı testlerini uygulayabilmek


327

Anahtar Kavramlar

Dışlanmış değişken

İlgisiz değişken

Düzeltilmiş belirginlik katsayısı

AIC

SIC

Reset testi

Lagrange çarpanı testi

Tutarlı tahmin

Etkin tahmin

328

Giriş

Model tanımlaması, modelin fonksiyonel yapısının tespiti ve açıklayıcı değişkenlerin seçilmesi ile ilgilidir. Bu bölümde, değişken seçimi ile ilgili konulara odaklanacağız. İlgili bir değişkeni dışlarsak ne olur? İlgisiz bir değişkeni eklersek ne olur? Model kurma hatasının tespiti amacıyla kullanılan Ramsey’in Reset testi ve Lagrenge Testi bu bölümde tanıtılacaktır.

Klasik doğrusal regresyon modelinin ilk 5 varsayım, bu bölüm boyunca uygulanacaktır. Özellikle, hataların normal olarak dağıldığını varsayacağız. Bu varsayım, tüm örnek büyüklüklerinde gerekli dağılımlarına sahip olmak için t- ve F-testlerini gerektirir. Eğer hatalar normal değilse, bu durumda, örnek çapı büyükse varsayımlar yaklaşık olarak sağlandığı için, bu bölümde sunulan sonuçlar hâlâ geçerlidir.

Bu bölümde model seçme kriterlerinden düzeltilmiş belirginlik katsayısı, Akaike bilgi kriteri ve Schwarz bilgi kriteri de tanıtılacaktır. Bunlardan düzeltilmiş belirginlik katsayısı daha önceki bölümlerden bilinmektedir.

329

11.1. Model Tanımlama

11.1.1. Dışlanmış Değişken

İktisat teorisine göre bir malın talebi malın fiyatına, malı talep eden kişilerin gelirine, rakip ve tamamlayıcı malların fiyatına bağlıdır. Talep modelinin tahmininde bilerek veya bilmeyerek bu değişkenlerden biri veya birden fazlası model dışında bırakılırsa model eksik

tanımlanmıştır ve dışlanmış değişkenin sebep olduğu olumsuzlukları taşır.

Basit olarak doğru modelin aşağıdaki gibi olduğunu;

ancak herhangi bir nedenle değişkeninin göz ardı edilerek modelin

kurulduğunu varsayalım. değişkeni dışlanmış değişkendir ve doğurduğu sonuçlar aşağıdaki gibidir.

Model dışında bırakılan değişken ( ) modelde yer alan değişkeni ile ilişkiliyse

kısaca aralarındaki korelasyon katsayısı sıfırdan farklı ( ) ise, ve parametre

tahminleri sapmalıdır. Kısaca;

ve

ile gösterilir. Büyük örnek özelliği olarak bilinen örnek sayısı arttırılarak tahmin edilen parametrenin gerçek değerine yaklaşması dışlanmış değişkenin varlığı durumunda geçerli değildir, dışlanmış değişken varsa örnek sayısının arttırılması ile sapma giderilemez, EKK tahmincisi tutarsızdır. Sapmasız olması için olması gerekir. Ancak söz konusu

durumda bile sapmasız iken, kesim parametre sapmalıdır.

ancak

Dışlanmış değişkenin sebep olduğu sapmalı parametre tahminleri, doğrusal regresyon modeli için olarak ifade edilen varsayımın gerçekleşmediği anlamına gelmektedir. Hata terimi ile dışlanmış değişken arasındaki korelasyon arttıkça buna bağlı olarak sapma da büyüktür.

Hata teriminin varyansı ( ) yanlış tahmin edilmiştir. ‘nin varyansı (

), ‘in varyansının sapmalı bir tahmincisidir. Dolayısıyla varyansın

0 1 1 2 2i i i iY X X u

2X

0 1 1i i iY X u

2X

2X 1X

1 2 0X Xr 0 1

0 0Ê 1 1

Ê

1 2 0X Xr

1

1 1Ê 0 0

Ê

0E u

2 1

2 21ˆ

iVar x 1

330

karekökü standart hatanın kullanıldığı hipotez testleri ve güven aralıkları güvenirliliğini yitirecek, yanıltıcı sonuçlar verecektir.

11.1.2. İlgisiz Değişken

Çok değişkenli regresyon analizinde bir diğer sorun ilgisiz değişken(ler)in modele dâhil edilmesidir. Ana kütlede Y üzerinde etkisi olmayan bir değişkenin tahmin edilecek modele yer alması bir model kurma hatasıdır ve aşırı tanımlama olarak da adlandırılmaktadır.

Yukarıdaki modelinin parametrelerine uygulanan anlamlılık test sonuçlarına göre

istatistiksel açıdan anlamlı ancak istatistiksel açıdan anlamsız ise kısaca kabul

edilir iken temel hipotezi reddedilemezse, bunun anlamı ‘in bağımlı değişken

’nin beklenen değeri üzerinde etkili ancak ’ün etkili olmadığıdır. Doğru model aşağıdaki gibidir.

İlgisiz değişkenin yer aldığı aşağıdaki model tahmin edilirse;

ve yine sapmasız ve tutarlıdır. Kısaca,

ancak olduğu sonucunu çıkarabiliriz. Rassal bir değişken olan bir

örneklemde sıfır olmasa bile, rassal örneklemlerde ortalaması sıfırdır.

Bu modelde hata terimi varyansı doğru tahmin edilmiştir. Güven aralığı ve hipotez test

süreçleri geçerlidir.

İlgisiz değişken parametrelerin sapmasızlık özelliğini etkilememe beraber, parametrelerin varyans tahminlerinin sapmalı olmasına neden olur. İlgisiz değişken ‘ün

modele dâhil edilmesi ve parametre tahmincileri varyansının daha büyük olmasına sebep olacak ve böylece tahmin edilen parametreler etkinlik özelliğini kaybedeceklerdir. Sapmasız tahminciler arasında en küçük varyansa sahip tahminciler etkin tahmin olarak nitelendirilir. İlgisiz değişken durumunda ise tahminciler sapmasız olmasına karşın en artık küçük varyanslı olmadıkları için etkin değildirler. İlgisiz değişkenin varlığı hâlinde

0 1 1 2 2i i i iY X X u

1

2 11 : 0H

20 : 0H 1X

Y 3X

0 1 1i i iY X u

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ

i i iY X X

0 1

0 0ˆE 1 1

ˆE

2ˆ 0E 2

3X

1 2

331

tahmincilerin varyansının büyüdüğünü göstermek için öncelikle EKK tahmincilerinin varyanslarının aşağıdaki gibi olduğu daha önceki derslerimizden hatırlayalım.

Doğru modelde ‘in varyans tahmincisi

iken model kurma hatasının yapıldığı modelde ‘in varyans tahmincisi aşağıdaki gibidir.

İki varyans tahmincisini birbirine oranlarsak;

elde edilir. olduğu bilindiğine göre sonucuna ulaşılır.

11.2. Model Kurma Hatalarının Testi

11.2.1. Ramsey’in Reset Testi:

Ramsey model kurma hatalarının varlığının tespiti için genel bir yöntem önermiştir. Maliyet üretim ilişkisini dikkate aldığınızda aslında bu ilişkinin doğrusal olmadığı bilinmektedir. Ancak maliyet ( ) üretimin ( ) doğrusal bir fonksiyonu imiş gibi ele alınır ve aşağıdaki model tahmin edilirse araştırmacı tarafından model kurma hatası yapılır.

Yukarıdaki fonksiyonel forma verilen maliyet fonksiyonu tahmin edilir ve kalıntıları () hesaplanır. Hesaplanan kalıntıları ’nin değerlerine göre çizer ve kalıntıların grafiğinin bir

örüntü sergiledikleri tespit edilirse model kurma hatası varlığının araştırılması gerekir. Maliyet örneğinde kalıntıların ’nin değerlerine göre grafiği çizilirse, kalıntıların önce bir maksimum

daha sonra bir minimum yaparak bir örüntü sergiledikleri görülebilir. ve

sıfır olmasına rağmen, kalıntı ortalamaları ‘ye bağlı olarak değişir Bu yukarıdaki modele

bağımsız değişken olarak dahil edilirse belirginlik katsayısının ( ) yükseleceğidir. ’deki

1

2

1 21

ˆVarx

1

2

1 2 21 12

ˆ1

Varx r

1

2121

ˆ 1

ˆ 1

Var

rVar

2120 1r 1 1

ˆVar Var

iY iX

0 1i i iY X u

iuiY

iY

ˆ 0iu ˆˆ 0i iu Y iY iY

2R 2R

332

bu artış istatistiksel olarak anlamlı ise doğrusal maliyet fonksiyonu yanlış kurulmuştur. Reset

testinin uygulama aşamaları aşağıdaki gibidir.

Temel ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibidir.

Tahmin edilen modelden bağımlı değişken ’nin tahmini değerleri ( ) hesaplanır.

Yukarıdaki regresyon modeli için ile arasında eğrisel bir ilişki (max ve min yapar)

olduğu için ve bağımsız değişkenlerinin de yer aldığı yeni bir regresyon modeli kurulur.

İlk modelin (eski model) ve ikinci modelin (yeni model ) belirginlik katsayıları hesaplanır, , . ‘deki artışın istatistiksel anlamlılığı aşağıdaki F testi ile araştırılır.

(Not: Modele ilave edilen değişkenlerin ’nin değerini arttıracağı için olduğunu

hatırlayın.)

Burada v modele ilave edilen değişken sayısı, k ise yeni modeldeki parametre sayısıdır.

F istatistiğinin hesaplanan değeri verilen anlamlılık düzeyinde ‘den

büyükse, alternatif hipotez kabul edilir. Bu sonuca göre belirginlik katsayısındaki artış istatistiksel olarak anlamlıdır ve yeni model maliyet ile üretim arasındaki ilişkinin doğru fonksiyonel kalıbıdır.

11.3. Açıklayıcı Örnek

10 gözlem kullanılarak aşağıda verilen maliyet fonksiyonu tahmin edilmiştir. göre model kuma hatasının varlığını araştıralım.

Ramsey’in Reset testine göre model kuma hatasının varlığını araştıralım.

0 2 3

1 2 3

: 0

: 0

H

H

iYiY

ˆiuiY

2iY 3

iY

2 30 1 2 3

ˆ ˆi i i i iY X Y Y u

2eskiR 2

yeniR 2R

2R 2 2yeni eskiR R

2 2

,21

yeni eski

v n k

yeni

R R vF F

R n k

,c v n kF F

1H

2ˆ 24.7747 2.9415 0.88

ˆ( ) (4.84) (0.83)

i i

i

Y X R

Se

333

Öncelikle ‘ler hesaplanır ve ‘lerinde yer aldığı aşağıdaki yeni regresyon modeli tahmin edilir.


Test istatistiğinin değeri hesaplanır.

anlamlılık düzeyinde ‘dir. olduğu için model

kurma hatası yapıldığı kabul edilir, çünkü ve ‘ün modele dahil edilmesi ile belirginlik katsayısındaki artış istatistiksel açıdan anlamlıdır. Yeni regresyonun veriler uyumu daha iyidir.

11.4. Lagrange Çarpanı (LM) Testi

Lagrange çarpanı testi model kurma hatsının tespiti için kullanılan Ramsey’in Reset

testine alternatif bir testtir ve aşağıdaki gibi uygulanır.

Öncelikle tahmin edilen modelinin kalıntıları hesaplanır.

modeli doğru ise ’dan hesaplanan

kalıntılar ve ile ilişkili olması gerekir.

modelinden hesaplanan kalıntılar ( ) için bütün değişkenlerin yer aldığı aşağıdaki yardımcı regresyon modeli tahmin edilir.


iY iY

2 3 2ˆ ˆ ˆ41.906 5.642 0.852 00004 0.97

ˆ( ) (4.84) (0.83) (0.0075) (0.00002)

i i i i

i

Y X Y Y R

Se

0 2 3

1 2 3

: 0

: 0

H

H

2 2

2

0.97 0.88 29

1 0.97 10 41

yeni eski

yeni

R R vF

R n k

0.05 2,65.14cF F 9 5.14cF F

2iY 3

iY

0 1ˆ ˆ

i iY X

2 30 1 2 3i i i i iY X X X u 0 1

ˆ î iY X

2iX 3

iX

0 1ˆ ˆ

i iY X îu

2 30 1 2 3

î i i i iu X X X v

0 2 3

1 2 3

: 0

: 0

H

H

334

Tahmin edilen ( ) regresyon modelinin belirginlik

katsayısı ( ) hesaplanır. Büyük örneklerde gözlem sayısı n ile ’nin çarpımı kısıt sayısına eşit serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uygunluk göstermektedir.

Bu bağlamda Lagrange testi için test istatistiği aşağıdaki gibidir.

Ki-kare istatistiğinin hesaplanan değeri verilen anlamlılık düzeyinde ’dan büyükse alternatif hipotez kabul edilir. Kısıtlı model, kısıtsız

model lehine reddedilir.

11.5. Açıklayıcı Örnek

Model kurma hatasının varlığının araştırmak için Ramsey’in Reset testini

uyguladığımız aşağıdaki örneğe aynı amaç için Lagrenge çarpanı testini uygulayacağız.

Öncelikle kalıntılar hesaplanır ve kalıntıların bağımlı değişken olduğu yeni regresyon modeli tahmin edilir.


Lagrange testi için test istatistiğinin değeri hesaplanır.

anlamlılık düzeyinde ‘e eşittir. olduğu için alternatif hipotez kabul edilir. Her iki test sonucu doğrusal maliyet modelinin yanlış matematiksel kalıp olduğunu göstermiştir.

2 30 1 2 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆi i i iu X X X 2R 2R

2 2sdnR

c sd kısıt sayısı 1H

2ˆ 24.7747 2.9415 0.88

ˆ( ) (4.84) (0.83)

i i

i

Y X R

Se

2 3 2ˆ 41.906 5.642 0.852 00004 0.985

ˆ( ) (4.84) (0.83) (0.0075) (0.00002)

i i i i

i

u X X X R

Se

0 2 3

1 2 3

: 0

: 0

H

H

2 10 0.985 9.85nR

0.01 2 9.21c 229.85 9.21nR

335

11.6. Değişkenlerdeki Ölçme Hataları

Bağımlı değişkendeki ölçme hataları, tahmin edilen parametrelerin ve parametre

varyanslarının sapmasız olma özelliklerini etkilemez. Ancak bağımlı değişken için ölçme hatasının yapıldığı modelde tahmin edilen parametrelerin varyansı daha büyüktür.

Bağımsız değişkende ölçme hatalarının varlığı hâlinde bağımsız değişken ile hata

terimleri ilişkidir ki bu durumda klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarından gerçekleşmemiştir. Bu durumda tahmin edilen parametreler sapmalıdır. Örnek

sayısı sonsuza giderken bile tahminler ana kütle değerine yaklaşmazlar ve dolayısıyla tutarsız tahminlerdir.

Bağımsız değişkendeki ölçme hatası model için önemli bir sorun teşkil etmektedir.

11.7. Model Seçme Kriterleri

11.7.1. Düzeltilmiş Belirginlik Katsayısı

Regresyon modelinin veriler uyumunun iyiliğinin bir ölçüsü olan belirginlik katsayısı ’nin aşağıdaki tanımlandığını biliyoruz.

, sıfır ile bir değerleri arasında yer alır ve 1’e ne kadar yakın ise regresyon doğrusunun verilere uyumu o kadar daha iyidir. Ancak daha önceki derslerimizden de bildiğimiz gibi belirginlik katsayısının bazı dezavantajları da vardır. Bunları kısaca hatırlayalım.

Bağımlı değişkenin tahmin edilen değerinin ( ) gözlemlenen (teorik) değere ( ) ne

kadar yakın olduğu anlamındaki örneklem içi uyumu ölçer. Örneklem dışı gözlemler için bir garantisi yoktur.

İki ya da fazla alternatif modelin ölçüsüne göre karşılaştırılabilmesi için bağımlı değişkenin aynı biçimde ifade edilmesi gerekir.

Modele giren her yeni değişken belirginlik katsayısının değerini arttırır. Ancak bu her zaman regresyon doğrusunun verilere uyumunun arttığı anlamına gelmez.

Modele giren her değişkenin R2’nin değerini yükseltmesine karşın, R2,

serbestlik derecesi ile yeniden düzenlenerek düzeltilmiş ölçüsüne ulaşılır.

0i iE u X

2R

2 1RKT HKT

RBKT BKT

2R

iY iY

2R

1n k k 2R

336

Yukarıdaki formülü göre ’nin ’den küçük olduğu ve daha fazla değişken eklemenin düzeltilmiş tarafından cezalandırılacağı görülmektedir. Alternatif modellerin seçiminde bağımlı değişkenin aynı olması durumunda düzeltilmiş yol göstericidir.

11.7.2. Akaike Bilgi Kriteri (AIC)

Akaike kriterine göre modele giren her değişken bir cezaya tabii tutulur.

Burada yine k =parametre sayısı, n gözlem sayısı iken ceza teridir. AIC kriteri

modele giren bağımsız değişkeni ‘ye göre daha fazla cezalandırılır. Alternatif modellerin seçiminde AIC değeri küçük olan model tercih edilir.

11.7.3. Schwarz Bilgi Kriteri (SIC)

Schwarz bilgi kriteri aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

Burada ceza terimi ’dir. alternatif modellerin seçiminde Schwarz bilgi kriteri

küçük olan tercih edilir.

2 2 1

1 1 11

HKT n k nR R

BKT n n k

2R 2R2R

2R

2ln

k HKTAIC

n n

2k n2R

ln lnk HKT

SIC nn n

lnk n n

337

Uygulama Soruları

1) Aşağıdaki tahmin edilmiş modelde

model kurma hatasının varlığını araştırmak amacıyla aşağıdaki yardımcı regresyon tahmin edilmiştir.

Reset testini uygulayarak model kurma hatasının varlığını tartışınız



anlamlılık düzeyinde ’tür. olduğu için

model kurma hatası yapıldığı kabul edilir, çünkü ve ‘ün modele dahil edilmesi ile belirginlik katsayısındaki artış istatistiksel açıdan anlamlıdır.

2) Aşağıdaki tahmin edilmiş modelde

model kurma hatasının varlığını araştırmak amacıyla aşağıdaki yardımcı regresyon tahmin edilmiştir.


21 2

ˆ 49.62 0.67 1.065 0.79 15

ˆ( ) (1.84) (0.0332) (0.001)

i i i

i

Y X X R n

Se

2 21 2

ˆ ˆ5.945 0.613 0.084 0.852 0.93

ˆ( ) (4.84) (0.023) (0.0075) (0.00112)

i i i i

i

Y X X Y R

Se

0 3

1 3

: 0

: 0

H

H

2 2

2

0.93 0.79 122

1 0.93 15 41

yeni eski

yeni

R R vF

R n k

0.05 1,114.84cF F 22 4.84cF F

2iY 3

iY

21 2

ˆ 49.62 0.67 1.065 0.79 15

ˆ( ) (1.84) (0.0332) (0.001)

i i i

i

Y X X R n

Se

2 21 2 1

ˆ 0.936 15.642 21.95 0.831 0.995

ˆ( ) (0.04) (0.183) (4.82) (0.00002)

i i i i

i

u X X X R

Se

338

Lagrange testi için test istatistiğinin değeri hesaplanır.

anlamlılık düzeyinde bir serbestlik derecesi ile ‘e eşittir.

olduğu için alternatif hipotez kabul edilir. Her iki test sonucu doğrusal maliyet modelinin yanlış matematiksel kalıp olduğunu göstermiştir.

3) Aşağıdaki modelin düzeltilmiş belirginlik katsayısını hesaplayın.

4) Birinci soruda verilen tahmin edilmiş modelin kalıntı kareler toplamı 1.945 ise Akaike bilgi kriterini hesaplayınız.

5) Aynı soru için Schwarz bilgi kriterini hesaplayınız.


a) Bağımsız değişkendeki ölçüm hatası, bağımlı değişkendeki ölçüm hasına göre daha ciddi sonuçlar doğurur.

b) Modelde dışlanmış değişken sorunu varsa model eksik tanımlanmıştır.

c) Düzeltilmiş belirginlik katsayısı, belirginlik katsayısından daima büyüktür.

0 3

1 3

: 0

: 0

H

H

2 15 0.995 14.925nR

0.05 1 3.84c 2

114.925 3.84nR

21 2

ˆ 49.62 0.67 1.065 0.79 15

ˆ( ) (1.84) (0.0332) (0.001)

i i i

i

Y X X R n

Se

2 2 1 15 11 1 1 1 0.79 0.755

15 3

nR R

n k

2ˆ2ln

2 3 1.945ln 1.643

15 15

iukAIC

n n

2ˆln ln

3 1.945ln15 ln 1.501

15 15

iukSIC n

n n

339

d) Modelde dışlanmış değişken sorunu varsa, tahmin edilen parametreler sapmalıdır.

e) Modelde dışlanmış değişken sorunu varsa, hata teriminin varyansı yanlış tahmin edilir.

7) Aşağıdakilerden hangisi model seçme kriterlerindendir?

a) Ramsey’in Reset Testi

b) Lagrange Çarpanı Testi

c) F Testi

d) Ki-Kare Testi

e) Akaike Bilgi Kriteri (AIC)

8) Modelde ilgisiz değişken varsa aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Belirginlik katsayısı büyür.

b) Parametreler sapmasızdır.

c) İlgisiz değişkenin dâhil edildiği modelin parametrelerinin varyansı doğru modele göre daha küçüktür.

d) Parametreler tutarlıdır.

e) Hata teriminin varyansı doğru tahmin edilmiştir.

9) Aşağıdakilerden hangisi bir model kurma hatası değildir?

a) Dışlanmış değişken

b) Parametrelerin varyansının büyük tahmin edilmesi

c) Modelin fonksiyonel biçiminin yanlış tespit edilmesi

d) İlgisiz değişken

e) Değişkenlerin yanlış ölçülmesi

10) “Parametre hem …… hem de ……….. ise etkin parametredir” ifadesinde

boşluklara aşağıdakilerden hangisi gelmelidir?

a) Sapmasız; sapmasız tahminciler için en küçük varyanslı

b) Sapmasız; tutarlı

340

c) Küçük varyanslı ; tutarlı

d) Beklenen değeri sıfır; varyansı sabit

e) Sapmasız; varyansı sabit.

Cevaplar

6) c, 7) e, 8) c, 9) b, 10) a

341


Model kurma hatalarından modelin fonksiyonel biçiminin yanlış belirlenmesi, dışlanmış değişken, ilgisiz değişken, ölçe hatalarını ve sonuçlarının neler olduğunu öğrendik. Modelin fonksiyonel biçiminin yanlış belirlenip belirlenmediğinin tespiti için Reset va

Lagrange çarpanı testlerinin nasıl uygulandığını öğrendik. Alternatif modellerin seçiminde kullanılan düzeltilmiş belirginlik katsayısı, AIC ve SIC kriterlerini gördük

342

Bölüm Soruları

1) Regresyon modelinde dışlanmış değişken varsa tahmin edilen parametreler …………. ve………. arttırılsa da bu sorun giderilemez.

Yukarıdaki boşluklara sırasıyla aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir?

a) Sapmalıdır; örnek sayısı

b) Sapmalıdır; parametre sayısı

c) Tutarsızdır; parametre sayısı

d) Tutarsızdır; örnek sayısı

e) Etkin değildir; örnek sayısı

2) Aşağıdakilerden hangisi (basit bir regresyon için) dışlanmış değişken sorunun bir sonucu değildir?

a) Hipotez testleri yanıltıcı sonuç verir.

b) Güven aralıkları yanıltıcı sonuç verir.

c) ,

d) Hata teriminin varyansı yanlış tahmin edilir.

e)

3) Modelde ilgisiz değişken varsa aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) Belirginlik katsayısı küçüktür.

b) Tahmin edilen parametreler etkin değildir.

c) Tahmin edilen parametreler sapmalıdır.

d) Tahmin edilen parametreler tutarsızdır.

e) Hipotez testleri geçerli değildir.

0 0ˆE 1 1

ˆE

0E u

343

4) modelinde model kurma hatasının varlığı Reset testi ile araştırılmak üzere aşağıdaki regresyon modeli tahmin ediliyor.

Temel ve alternatif hipotezler aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

c)

d)

e)

5) Aşağıdakilerden hangisi bağımsız değişkendeki ölçe hatasının bir sonucu değildir?

a)

b) Tahmin edilen parametreler sapmalıdır.

c) Örnek sayısı arttırılarak sapmasız tahminler elde edilebilir.

d) Tahmin edilen parametreler Tutarsızdır.

6) Lagrange testi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) Test istatistiği F – dağılımına uyar,

b) Test istatistiğinin serbestlik derecesi kısıt sayısıdır.

c) Temel hipotez model kurma hatasının yapıldığını ifade eder.

d) Test istatistiğinde kalıntı kareler toplamından kullanılır.

e) Test istatistiğinin serbestlik derecesi modele eklenen değişken sayısı ve gözlem sayısı ile yardımcı regresyondaki parametre sayısının farkıdır.

0 1i i iY X u

20 1 2

ˆi i i iY X Y u

0 1 2

1 1 2

: 0

: 0

H

H

0 0 1 2

1 0 1 2

: 0

: 0

H

H

0 2

1 2

: 0

: 0

H

H

0 2

1 2

: 0

: 0

H

H

0 1 2

1 1 2

: 0

: 0

H

H

0i iE u X

344

7) Örnek sayısı artarken tahmin edilen parametre gerçek değerine yaklaşıyorsa ……….. bir parametredir.

Yukarıdaki boşluğa aşağıdakilerden hangisi getirilmelidir?

a) Sapmasız

b) Küçük varyanslı

c) Etkin

d) Tutarlı

e) En iyi

8) Lagrange testi için test istatistiği ( ) aşağıdaki dağılımlardan hangisine uygundur?

a) Ki-kare

b) F- dağılımı

c) t- dağılımı

d) Normal dağılım

e) Herhangi bir dağılım gerekmez.


a) AIC ölçüsünün değeri küçük olan model tercih edilir.

b) Düzeltilmiş belirginlik katsayısı, belirginlik katsayısından küçük olan model tercih edilir.

c) SIC, AIC’den daha küçüktür.

d) Düzeltilmiş belirginlik katsayısı küçük olan model tercih edilir.

e) SIC ölçüsünün değeri küçük olan model tercih edilir.

2nR

345

10) Aşağıdakilerden hangisi model kurma hatasının bir sonucu değildir?

a) Sapmalı tahmin

b) Yetersiz tahmin

c) Tutarsız tahmin

d) Etkin olmayan tahmin

e) En iyi olmayan tahmin

Cevaplar

1) a, 2) c, 3) b, 4) c, 5) c, 6) b, 7) d, 8) a, 9) b, 10) b

346

12. DEĞİŞEN VARYANS-I

347


1) Değişen varyans nedir?

2) Modelde değişen varyans varsa sonuçları nedir?

348




Değişen varyansı tanımlayabilmeli Ders notları tekrar edilerek,

Değişen varyans söz konusu olduğunda en küçük kareler tahmincilerinin

tanımlayabilmeli

Ders notları özümsenerek

349

Anahtar Kavramlar

Değişen varyans

Sabit varyans

Varyans fonksiyonu

350

Giriş

Klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarından biri, ana kütle regresyon fonksiyonundaki rassal hata terimlerinin ( ) sabit varyanslı, diğer bir ifade ile her alt ana kütle için hata teriminin varyansının eşit olmasıdır. Sabit varyans varsayımı sağlanamazsa, tahmin edilen parametrelerin sahip olması istenen özelliklerinden hangileri gerçekleşmez? Parametrelerin varyanslarının tahmininde ne gibi sorun çıkar? Bu bölümde bu soruların cevabı aranacaktır.

iu

351

12.1. Değişen Varyansın Yapısı

Hanehalkı tüketim harcaması ile haftalık gelirin yer aldığı ana kütle için, hanehalkının haftalık tüketim için gerçekleştirdiği ortalama harcama , hanehalkı gelirinin (X) doğrusal bir fonksiyon olarak tanımlanmıştı.

Bilinmeyen ana kütle parametreler ve , yukarıda verilen harcama fonksiyonu

hakkında bilgi taşımaktadır. Tepki parametresi olan , hanehalkı geliri bir birim arttığında

hanehalkının ortalama tüketim harcamasının ne kadar değişeceğini gösterir. Sabit terim ,

gelir düzeyi sıfır iken gıda harcamalarını ölçer.

Xi 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7

1/6 1/7 1/6 1/6 1/7 1/6 1/7

1/7 1/7 1/7

65 77 89 101 113 125 137 149 161 173

325 462 445 707 678 750 685 1043 966 1211

ve ‘yi tahmin etmek için i=1,2,...,10 şeklinde endekslenen, i. hanehalkı için tüketim harcamasını ve gelir düzeyini gösteren (Yi, Xi) çifti ile n=10 hanelik bir örneklem düşünelim.

Belirli bir gelir düzeyi ile bütün hane halkları aynı gıda harcamasına sahip olmayacaktır ve regresyon modelimizin genel tanımlaması doğrultusunda ’yi, i. hanehalkının tüketim harcaması (Yi) ile Xi gelir düzeyinde tüm hanehalkının ortalama gıda harcaması arasındaki fark olarak gösterelim.

( )E Y

0 1( )E Y X

0 1

1

0

i iP Y X

E Y

( )Var Y

0 1

iu

0 1i i i iu Y E Y Y X

352

Böylece i. hanehalkının tüketim harcamalarını tanımlamak üzere kullanılan model aşağıdaki şekilde yazılır.

, tüketim harcamalarının gelir düzeyiyle açıklanan bölümünü, ’yi

ise tüketim harcamalarının diğer faktörler tarafından açıklanan bölümünü göstermektedir.

Buraya kadar özetlediğimiz bilgi önceki derslerimizde sizlere verilmişti. Bu bölümde ortalama tüketim fonksiyonunun düşük gelirli hanelerin tüketim

harcamalarını yüksek gelirli hanelerin tüketim harcamalarına göre daha iyi açıklayıp açıklayamadığını sorgulamaya başlıyoruz. Düşük gelirli hanelerin tüketim harcamaları ile yüksek gelirli hanelerin tüketim harcamalarını tahmin etmek zorunda olsaydınız hangi tahminin daha kolay olacağını düşünürdünüz? Düşük gelirli hane halkları tüketim için fazla seçeneğine sahip değildir, ancak gıda, barınma gibi zorunlu tüketim harcamalarında bulunurlar ve bu tür harcamalar için gelirlerinin büyük bir kısmını kullanırlar. Diğer taraftan, yüksek gelirli hane halklarının tüketim harcamaları çeşitlilik arz eder. Düşük gelirli hane halkları zorunlu harcamaları yapıyor iken yüksek gelirli aileler yılda bir iki kez tatile çıkabilir, haftanın belli günlerinde dışarıda yemek yiyebilir, spor merkezine gidebilir. Böylece gelir değişkeni nispi olarak yüksek gelirli hane halklarının tüketim harcamalarını açıklamak için daha az önemli bir değişkendir. Yüksek gelirlilerin tüketim harcamalarını tahmin etmek zordur.

Tam olarak ifade ettiğimiz şeyi tanımlamanın bir başka yolu, ’nin büyük pozitif veya negatif değerler alma olasılığı, yüksek gelirliler için düşük gelirlilere göre daha yüksek olduğunu söylemektir. Hanenin geliri yüksek ise, gelir dışındaki faktörler tüketim harcamaları üzerinde büyük bir etkiye sahip olabilir.

İktisadi bir gerçek olan yukarıdaki olgu nasıl modellenecektir? Rassal değişken ’nin

varyansı yüksekse daha yüksek değerler alma olasılığına sahiptir. Bu etki, yi doğrudan X’e bağlı bir biçimde tanımlayarak tespit etmek mümkündür. Diğer bir ifade ile, X arttıkça

arttığını söylemektir. X’in büyük olduğu gözlemlerde tüketim harcaması bağımlı

değişken Y’nin ortalamasından ( ) daha çok sapabilir. Bu durumda tüm gözlemlerin varyansları aynı olmadığında değişen varyansın (heteroskedasitenin) varlığından söz edebiliriz. Alternatif olarak, rassal değişken Y ve rassal hata değişen varyanslıdır.

Tersine eğer tüm gözlemler aynı varyansa sahip olasılık yoğunluk fonksiyonundan geliyorsa sabit varyansın (homoskedasitenin) söz konusu olduğunu söyleyebiliriz ve Y ve sabit

varyanslıdır ki bu durum doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarındandır.

0 1i iY X u

0 1( )E Y X iu

0 1( )E Y X

iu

iu

( )iVar u

( )iVar Y

0 1( )E Y X

iu

iu

353

Şekil 20: Değişen varyanslı hatalar

Sabit varyans varsayımının yerine gelmediği durum değişen varyans, Şekil 20’de

gösterilmiştir. Değişen varyansı yukarıda verilen tüketim harcamaları ve gelir verilerinin yer

aldığı ana kütleye ait tablonun son satırından da görmeniz mümkündür. Şöyle ki gelir arttıkça rassal hatanın varyansı ve dolayısıyla rassal hata ile aynı varyansa sahip olan Y’nin varyansı da artmaktadır. Yukarıdaki şekilde iken, şeklindeki olasılık yoğunluk

fonksiyonu, ‘in yüksek olasılıkla ’e yaklaşacağını ifade etmektedir. ’ye doğru

gidildikçe olasılık yoğunluk fonksiyonu daha hızlı yayılacaktır. Örneğin yukarıdaki

ana kütle için iken rassal hatanın varyansı 50, iken rassal hatanın varyansı 66 ’dır. Buna göre gelir arttıkça rassal hatanın varyansı da artmakta, dolayısıyla varsayımda durumu değişen varyans söz konusudur.

Ancak ’nin düştüğü ve daha büyük değerler aldığı yer hakkında kesin bilgiye sahip değiliz. Sabit varyans söz konusu olduğunda hatalar için olasılık yoğunluk fonksiyonu X’teki

değişim ile değişmez.

Değişen varyansın varlığının yukarıda da ifade ettiğimiz üzere küçük kareler varsayımlarımızdan birinin ihlalidir. Öncelikle modeli için ’nin sıfır ortalama, sabit varyanslı (σ2) ve rassal hata terimlerinin ilişkisiz olduğunu varsayımlarını yaptığımızı hatırlayalım. Bu varsayımlar kısaca aşağıdaki gibi gösterilmiş idi.

, ,

Şimdi ’yi ifade eden sabit varyans varsayımı sorgulanacaktır. Bunun için sabit varyans varsayımı aşağıdaki gibi başka bir varsayım biçimi ile değiştirilmesi

gerekmektedir.

iX X ,i if Y X

1Y 1E Y 2X

2 2,f Y X

80X 100X

2Y

0 1i iY X u iu

0iE u 2iVar u , 0 içini jCov u u i j

2i iVar Y Var u

i i iVar Y Var u h X

354

Burada , arttığında ’nin artan bir fonksiyonudur.

Bu bölüm sabit varyans varsayımı gerçekleşmediği durum değişen varyansın sonuçlarıyla ilgilidir. Değişen varyans durumunda EKK tahmincilerinin özellikleri açısından ne tür sonuçlar ortaya çıkar? Değişen varyansın varlığını nasıl belirleyebiliriz? Daha iyi bir

tahmin tekniği var mıdır?

Değişen varyansın yapısını daha ayrıntılı bir biçimde sunabiliriz ve aynı zamanda ortalama fonksiyonunun ( ) en küçük kareler tahmini ve ilgili en küçük kareler kalıntılarını yeniden inceleyerek değişen varyansı belirlemek için biçimsel olmayan bir yol sunabiliriz. Tüketim harcamaları modeli Örnek 1 gözlemleriyle tahmin edilen en küçük kareler tahmini aşağıdaki gibidir.

Bu tahmini fonksiyonun bir grafiği, gözlemlenen tüm harcama-gelir noktalarıyla birlikte

( ) aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Gelir ( ) arttığında, tahmini ortalama fonksiyonundan daha fazla sapan veri noktalarının yaygınlığı artar. arttıkça regresyon doğrusundan daha uzakta dağılmış noktaların sayısı artar. Bu özelliği tanımlamanın bir başka yolu, aşağıda tanımlandığı gibi, en küçük kareler kalıntılarında gelir arttığında mutlak değer olarak artış eğilimi söz konusu olduğunu söylemektir.

Şekil 21: Tüketim harcamaları fonksiyonunun EKK tahmini ve gözlemlenen veri noktaları

(Şekil 21 için çeviri: yatay eksen= haftalık gelir, 100$, dikey eksen= haftalık gıda harcaması, $)

Gözlemlenebilen EKK kalıntıları ( ), ile verilen gözlemlenemeyen

hataların ( ) tahmini olduğu için yukarıdaki şekil gelir arttığında gözlemlenemeyen hataların

ih X iX iX

0 1( )E Y X

ˆ 17.29 0.61i iY X

,i iY X X

X

ˆˆ 17.29 0.61i i iu Y X

ˆiu 0 1i i iu Y X

iu

355

da mutlak değer olarak artış eğilimi sergilediğini gösterir. Diğer bir ifade ile gelir ( )

arttığında tüketim harcamasının ( ) ortalama tüketim harcaması ( ) etrafındaki değişimi artar. Bu tespit, daha önce belirttiğimiz ortalama tüketim harcamaları fonksiyonunun düşük gelirli hanehalkları için tüketim harcamalarını açıklamada yüksek gelirli hanehalklarından daha iyi olduğunu ifade eden hipotez ile devam eder. Değişen varyans ile ’nin, ortalaması etrafındaki artan değişimini tespit edebiliriz.

Değişen varyans ile daha çok yatay kesit veri kullanıldığında karşılaşılır. Bilindiği üzere yatay kesit veri terimi, zamanın belirli bir noktasında firma ya da hane halkları gibi ekonomik birimlere ait veri setini ifade eder. Gelir ve tüketim harcaması için hanehalkı verisi de bir yatay

kesit veri setidir. Yatay kesit veri her zaman değişen büyüklükteki ekonomik birimlerin gözlemlerini içerir. Örneğin hanehalkı verisi farklı sayıda hanehalkı üyelerini ve farklı hanehalkı gelir düzeylerini içerecektir. Hane halkının daha yüksek gelir düzeyi ne kadar fazla

ise açıklayıcı değişkenler setindeki değişim ile bazı sonuç değişkenlerindeki ( ) değişimi açıklamak o kadar zordur. değerlerinin tespit edilmesi konusunda daha yüksek gelirli hane

halklarının daha farklı ve esnek olması muhtemeldir, kısaca homojen değildir. Doğrusal regresyon modelleri için bunun anlamı şudur: Ekonomik birimin boyutunun daha büyük olması sonuç ile ilişkili daha çok belirsizliğe neden olur. Bu büyük belirsizlik, ekonomik birimin boyutu ne kadar büyükse o kadar büyük olan bir hata varyansı belirlenerek modellenebilir.

Değişen varyans yatay kesit veri ile sınırlandırılması gereken bir özellik değildir. Bir

firma, bir hanehalkı gibi ekonomik birimlerin veya tüm ekonomiye ilişkin zaman serisi verisi ile hata varyansının değişmesi mümkündür. Eğer bir dışsal şok veya hakkında daha fazla ya da daha az belirsizlik yaratacak durumlarda değişimler söz konusu ise bu doğru olacaktır.

En küçük kareler hatalarının grafikleri değişen varyansı belirlemede biçimsel olmayan bir yoldur. İleride daha biçimsel testler dikkate alınacaktır.

12.2. En Küçük Kareler Tahmincileri İçin Değişen Varyansın Sonuçları

Değişen varyansın varlığı şeklindeki en küçük kareler varsayımının ihlal edildiği anlamına geldiği için bu ihlal en küçük kareler tahmincimiz için ne gibi sonuçlar yaratır ve onun için ne yapabiliriz sorusunu sormamız gerekir. Bunun iki anlamı vardır:

1. EKK tahmincisi doğrusal ve sapmasız bir tahminci olma özelliklerini korurlar, ancak en iyi (tesirli) yani en küçük varyanslı değildir. Daha küçük varyansla başka bir tahmincinin varlığı söz konusudur.

2. EKK tahmincileri için hesaplanan standart hatalar genellikle doğru değildir. Bu standart hataları kullanan güven aralıkları ve hipotez testleri yanıltıcı olabilir.

Öncelikle ikinci sonucu ele alalım. Standart hatalara ne oldu?

X

Y E Y

Y

Y

Y

Y

Y

2iVar u

356

Değişen varyans söz konusu olmaksızın basit bir doğrusal regresyon modeli aşağıdaki gibidir.

ve

‘in EKK tahmincisi ‘in varyansını daha önce aşağıdaki gibi tanımladığımızı hatırlayın.

Yukarıdaki tanım rassal hatanın varyansının sabit ve ‘ya eşit olduğu varsayımına

dayanmakta olup, rassal hatanın varyansının tahmincisi ise ’dır. Şimdi her bir

gözlemin hata varyanslarının farklı olduğunu varsayalım ve bu farkı σ2’ye i simgesi ekleyerek

gösterelim, böylece;

Yukarıdaki değişen varyans tanımı altında en küçük kareler tahmincisi ‘nin varyansı aşağıdaki gibidir.

Burada ’dir. Sonuç olarak eğer geçerli değil ise yukarıdaki varyans denkleminde sadeleştirmeler yapılamayacak ve sonuç itibarıyla artık

denklemi geçerli olmayacağı için, varyansın kare kökü standart hatalar da geçerli değildir.

Minimum varyanslı doğrusal sapmasız tahmin edici olma anlamında artık en iyi olmayan en küçük kareler tahmincisini kullanmanın ilk tanımını dikkate almak için minimum varyans özelliğine sahip alternatif bir tahminciyi nasıl elde edeceğimizi ortaya koymaya ihtiyacımız vardır.

0 1i i iY X u 2iVar u

1 1

2 2

1 2 2ˆ( )

ii

VarxX X

22 2ˆ ˆ

iu n k

0 1i i iY X u 2i iVar u

1

2 2 2 2

2 2 1 11 2 2

21 2

1 1

ˆ( )

n n

i i i ini i

i in n

i

i ii i

X X x

Var k

X X x

2 2i i i i ik X X X X x x 2

iVar u

2 2

1 2 2ˆ( )

ii

VarxX X

357


Bu bölümde değişen varyans kavramını ve değişen varyansın varlığı hâlinde tahmin

edilen parametreler, parametrelerin varyansları, hipotez testleri ve güven aralıkları üzerindeki etkilerini öğrendik.

358

Bölüm Soruları


a) Değişen varyans ana kütle ile ilgili bir sorundur.

b) Değişen varyans sorunu genellikle zaman serilerinin kullanıldığı modellerde karşılaşılır.

c) Y’in değeri artarkan hata teriminin varyansı da artıyorsa değişen varyans sorunu vardır.

d) Değişen varyansın sembolik ifadesi:

e) Gözlem sayısı az ise değişen varyans problemi ile karşılaşabiliriz.

2) Değişen varyansın varlığı hâlinde EKK tahmincisi ……. ve ……. bir tahminci olma özelliklerini korurlar. Ancak en iyi (tesirli) yani en küçük varyanslı değildir. Daha küçük varyansla başka bir tahmincinin varlığı söz konusudur.

a) En küçük varyanslı - sapmasız

b) Doğrusal - sapmasız

c) Doğrusal - en küçük varyanslı

d) Tutarsız - doğrusal

e) Sapmasız - tutarsız

3) Değişen varyansın varlığı hâlinde EKK tahmincisi hesaplanan standart hatalar

doğru değildir. Bu nedenle güven aralıkları ve hipotez testleri yanıltıcı olabilir.

a) Belirginlik katsayısı - düzeltilmiş belirginlik katsayısı

b) Hata teriminin varyansı - güven aralıkları

c) Hata teriminin varyansı - hipotez testleri

d) Serbestlik derecesi - güven aralıkları

e) Güven aralıkları - hipotez testleri

2 2i iE u E u

359

4) Aşağıda verilen tabloya göre;

Değişen varyans hakkında ne söyleyebilirsiniz?

a) Sabit varyans varsayımı geçerlidir.

b) Koşullu olasılıklar sabit ise değişen varyans vardır.

c) Yukarıdaki veriler değişen varyans için bir sonuca varmada yeterli değildir.

d) X’in değeri arttıkça hata teriminin varyansı azalmaktadır.

e) X’in değeri arttıkça hata teriminin varyansı da artmaktadır.


a) Değişen varyansın varlığı hâlinde EKK tahmincilerinin varyans formülleri geçerli değildir.

b) Değişen varyansın varlığı hâlinde EKK tahmincilerinin standart hataları geçersizdir.

c) Değişen varyansın varlığı hâlinde EKK tahmincileri en küçük varyanslı değildir.

d) Değişen varyansın varlığı hâlinde başka tahmin yönteminden de küçük varyanslı tahminler elde edilemez.

e) Değişen varyansın varlığı hâlinde EKK tahmincileri etkin değildir.

6) Aşağıda verilen tabloya göre;

X 20 30 40 50 60 70 80

14.2 12.5 9.5 6.2 5.01 4.02 3.99

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Yukarıdaki veriler bağımlı değişkenin varyanslarıdır.

b) Yukarıdaki veriler rassal hata teriminin varyanslarıdır.

c) X’in değeri arttıkça bağımlı değişkenin varyansı küçülür.

( )iVar Y

X 5 7 9 11 13 15 17

0.78 0.87 1.01 1.52 1.69 2.03 3.02 ( )iVar u

360

d) X’in değeri arttıkça rassal hatanın varyansı küçülür.

e) Hata teriminin varyansı tahmin edilen parametrenin değerine göre küçülür.

Cevaplar

1) a, 2) b, 3) e, 4) e, 5) d, 6) e

361

13. DEĞİŞEN VARYANS - II

362


1) Değişen varyansı nasıl tespit edilir?

2) Değişen varyans sorunu varsa model hangi tahmin yöntemleri ile tahmin edilmelidir?

363




Kalıntıların grafiğini inceleyerek, değişen varyans hakkında ön bilgiye sahip olabilmek


Lagrange Çarpanı Testini uygulayabilmek


White Testini uygulayabilmek


Goldfeld-Quandt Testini

uygulayabilmek


Spearman Sıra Korelasyon Testini uygulayabilmek


364

Anahtar Kavramlar

Kalıntı Grafiği

Lagrange Çarpanı Testi,

White Testi

Goldfeld-Quandt Testi

Spearman Sıra Korelasyon Testi

365

Giriş

Bu bölümde değişen varyansın tespiti için kullanılan testler ele alınacaktır. Bu testler sistematik ve sistematik olmayan testlerdir. Sistematik olmayan testler kalıntı grafiklerinin incelen mesidir ki; bu yolla başarı biraz da araştırmacının tecrübesine bağlıdır. Sistematik

testler parametrik ve parametrik olmayan testler olarak da ele alınabilir. Parametrik testler yardımcı bir regresyonun tahminini gerektirirken parametrik olmayan testler bir test istatistiğine dayanır, yardımcı regresyon tahmin edilmez.

366

13.1. Değişen Varyansın Tespit Edilmesi

Ana kütle tüketim harcamaları denkleminde iktisadi gerçekler ile de örtüşen değişen varyansa neden olacak veri seti kullandık ve gözlemler itibarıyla rassal hata varyansının değiştiğini gördük. Ancak gerçek hayatta ana kütleyi gözlemleyemediğimiz ve örnek verilerinden ana kütle hakkında çıkarsamalar yaptığımız için ana kütle rassal hata varyansının sabit olup olmadığına dair belirsizlik vardır. Şunu sormak doğaldır: Eğer değişen varyans, modelim ve veri setim için olası bir problem ise bunu nasıl anlarım? Değişen varyansı diğer tahmin yöntemleri ile tespit etmenin bir yolu var mı? Bu soruları araştırmanın iki yolu vardır. İlki kalıntı grafiklerini ele alan biçimsel olmayan yaklaşımdır. Diğeri ise biçimsel olan istatistiksel testlerdir.

13.1.1. Sistematik Olmayan Test: Kalıntı Grafikleri

Değişen varyansın varlığını araştırmanın bir yolu, modeli en küçük kareler yaklaşımıyla tahmin etmek ve en küçük kareler kalıntılarının grafiğini çizmektir. Kalıntı grafiklerinin örnekleri Bölüm 4’te sunulan şekillerde verilmiştir. Eğer hatalar sabit varyanslı ise kalıntılarda herhangi bir türden bir örüntü olmaz. Eğer hatalar değişen varyans içeriyorsa onlar sistematik olarak daha büyük değişimler sergilemeye eğilimli olabilir.

Örneğin hanehalkı tüketim harcamaları veri seti için gelir arttığında varyansın da artacağından şüphelendik. En küçük karelerin kalıntılarının gelir düzeylerine karşı yukarıdaki grafiğini çizdik. Grafikten gelir arttığında kalıntıların mutlak büyüklüğünün önemli düzeyde

arttığı açık olarak görülmektedir.

Değişen varyansı araştıran bu yönteme herhangi bir basit regresyon denklemi için başvurulabilir. Çok değişkenli regresyonda kalıntıların sistematik olarak değişip değişmediğini gözlemlemek için kalıntıların her bir açıklayıcı değişkene ya da ‘ye karşı grafiği çizilerek değişen varyansı görsel olarak tespit etmek mümkündür.

13.1.2. Sistematik Testler

13.1.2.1. Lagrange Çarpanı Testleri

Bu bölümde varyans fonksiyonuna dayalı değişen varyans için bir test ele alınacaktır. Varyans fonksiyonu kavramına başlamak amacıyla öncelikle aşağıda verilen genel çoklu regresyon modeli için ortalama fonksiyonunu dikkate alalım.

iY

iE Y

0 1 1 2 2i i i k ik iY X X X u

367

Şekil 22: En küçük kareler gıda harcamaları kalıntılarının gelir düzeyine karşı grafiği

Varyans fonksiyonu değişen varyansın varlığında geçerli bir yaklaşımdır. Varyansı ‘dan farklı olarak açıklayıcı değişkenler seti ile

ilişkilendirmemizin dışında yukarıdaki çoklu regresyon modeli için ortalama fonksiyonunu benzerdir. Varyans fonksiyonunun genel bir biçimi aşağıdaki gibidir.

h(.) fonksiyonuna ilişkin özel bir tanımlama yapmadığımız için bu genel bir biçimdir. Varyans fonksiyonuna göre ‘nin varyansı Z’lere bağlı olarak her bir gözlem için değişecektir. Örneğin tüketim harcamaları örneği için ortalama ve varyans fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmişti.

Denklemlerde sadece bir tane X olduğu için bir tane Z olacaktır. Her ikisi de aynı değişken hanehalkı geliridir.

Lagrange çarpanı testinin üssel fonksiyon, doğrusal fonksiyon gibi çok sayıda fonksiyon için geçerli olması, değişen varyansın tespiti için tercih nedenidir. Biz dersimizde sadece doğrusal fonksiyonu ele alacağız.

Doğrusal varyans fonksiyonu aşağıdaki gibidir.

1 2 3, , , ,i i i ikX X X X 1 2 3, , , ,i i i ikZ Z Z Z

2 20 1 1 2 2( ) ,i i i i i k ikVar Y E u h Z Z Z

iY

0 1( )E Y X


.h

0 1 1 2 2 0 1 1 2 2, ,i i k ik i i k ikh Z Z Z Z Z Z

368

olduğunda fonksiyonunun aşağıdaki şekilde daralır.

terimi bir sabittir ve ‘dır. Buna göre varyans herhangi bir açıklayıcı

değişkene bağlı değildir. Diğer ifadeyle ise değişen varyans söz konusu

değildir; varyans sabittir ve söz konusu durumu şeklinde yazabiliriz.

Varyans fonksiyonu tanıtıldıktan sonra şimdi değişen varyansın testi için Lagrange Çarpanı testinin uygulama aşamalarını verebiliriz.

Lagrange Çarpanı testi için temel ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibidir.

Temel ve alternatif hipotezler bir testin ilk bileşenleridir. Hipotezlerde yer alan ‘lar

değişen varyansın kaynağı olduğu düşünülen değişkendir. Sonraki bileşen, bir test istatistiğidir. Bir test istatistiğini elde edebilmek için doğrusal varyans fonksiyonunu

da yerine koyarak aşağıdaki eşitliğe ulaşılır.

, bir hata karesi ( ) ve onun ortalaması ( ) arasındaki fark ile tanımlanırsa yukarıdaki denklem, aşağıdaki biçimde yazılabilir.

Varyans fonksiyonuna ’nin eklenmesi ortalama fonksiyonuna ’nin ilave

edilmesiyle benzer bir amaca hizmet etmektedir. Bilindiği üzere ortalama fonksiyonuna

’nin ilave edilmesiyle aşağıdaki genel regresyon modeli elde edilir:

Ancak önemli bir farklılık vardır. Genel regresyon modelinde bağımlı değişken gözlemlenebilir. Ancak, eğer tahmin

etmek istersek gerçek regresyon hataları ( ) gözlemlenemediği için bilinmediğinden dolayı

“bağımlı değişken” durumundaki ‘in de bilinmediği sonucuna rahatlıkla ulaşılabilir. Ancak

1 2 k .h

0 1 1 2 2 0,i i k ikh Z Z Z h

0h 0 0h

1 2 0k

20h

0 1 2: 0sH

1 :Tüm 'ler sıfırdan farlıdır.sH


2 20 1 1 2 2( ) ,i i i i i s isVar Y E u h Z Z Z

2 2( )i i iv u E u 2iu 2( )iE u

2 20 1 1 2 2( ) ,i i i i i s is iu E u v Z Z Z v

iv iu

iE Y

iu

1 0 1 1 2 2i i i i k ik iY E Y u X X X u

Y2 2

0 1 1 2 2( ) ,i i i i i s is iu E u v Z Z Z v

iu

2iu

369

‘yi ‘‘dan elde edilen en küçük kareler kalıntılarının

kareleri ( ) ile yer değiştirerek bu problem çözülür. Böylece

Yerine yardımcı regresyon olarak adlandırılan işlevsel biçimi aşağıdaki gibi yazılır.

Önemli not: yerine ‘yi kullanmak yeni rassal hata ’nin tanımını değiştirir. Bu

farklılığı göstermek için yukarıdaki denklemde esasen yerine yazılması gerekir. Ancak gereksiz karışıklıklardan kaçınmak için aynı notasyon kullanılmıştır.

Değişen varyans için varyans fonksiyonu testi için, yardımcı regresyondaki en küçük kareler tahmininden edinilen değerler kullanılır. değişkenlerinin ‘deki

değişimi açıklamaya yardımcı olup olmadığını belirlemeyle ilgileniyoruz. Modelin tahmini ile

elde edilen uyum iyiliği istatistiği , Z’ler tarafından açıklanan ’lerin değişim oranını

ölçtüğü için bir test istatistiğinin genel elemanıdır. doğru ise, ile gözlem sayısının çarpımı serbestlik derecesiyle Ki-kare (χ2) dağılımına sahiptir ve test istatistiği aşağıdaki gibidir.

χ2 dağılımını kullanmak için bir takım kısıtlar söz konusudur. χ2 dağılımı, çok farklı türdeki hipotezlerin test edilmesi amacıyla kullanılan bir dağılımdır. F rassal değişkeni gibi χ2

rassal değişkeni de sadece pozitif değerler alır. Büyük bir değeri sıfır hipotezine karşı kanıt sağladığı için (varyanstaki değişimlerin z değişkenleri tarafından açıklandığını varsayar) test istatistiği için ret bölgesi dağılımın sağ kuyruğundadır. Böylece %5 anlamlılık düzeyi için

reddedilir ve genellikle ise sabit varyans varsayımının geçerli olmadığı değişen

varyansın söz konusu olduğuna karar verilir. Lagrange çarpanı testi büyük örneklem testidir.

13.1.2.2. White Testi

Lagrange çarpanı testiyle ilgili problem, eğer değişen varyansın alternatif hipotezi doğru ise varyans fonksiyonunda bulunan değişkenler hakkında bilgi sahibi olunduğunu diğer bir ifade ile bu değişkenlerin ( ) değişen varyansın kaynağı olduğunun

öngörülmesidir. Gerçekte ise değişen varyans ilgili değişkenlere ilişkin herhangi bir bilgi olmaksızın test edilmek istenir. Genellikle, varyansı etkileyen değişkenler ortalama fonksiyonundakilerle aynıdır. Ortalama fonksiyonunun iki açıklayıcı değişkene sahip olduğunu varsayalım.

2iu 0 1 1 2 2i i i k ik iY X X X u

2îu

20 1 1 2 2,i i i s is iu Z Z Z v

20 1 1 2 2

ˆ ,i i i s is iu Z Z Z v

2iu 2ˆ

iu iv

iv *iv

1 2 3, , , ,i i i isZ Z Z Z 2îu

2R 2îu

0H 2R

1s

2 2 2

1sn R

2R

0H

2 2

0.95, 1s

1 2 3, , , ,i i i isZ Z Z Z

370

White testinde ’ler ’lere, ’lerin karelerine ve ’lerin olası çapraz çarpım terimlerine eşit olarak tanımlanır. White testi çarpım terimleri olmaksızın aşağıdaki şekilde gösterilir:

, , , ,

White testi, F testi ya da testi kullanılarak uygulanır. İki tane bağımsız değişkeni olan bir model için White testinin aşamaları aşağıdaki gibidir.

Regresyon denklemi tahmin edildikten sonra kalıntılar ( )

hesaplanır.

Yardımcı regresyon denklemi kurulur. Yardımcı regresyonun bağımlı değişkeni ( Lagrange çarpanı testinde olduğu gibi) ilk aşamada hesaplanan kalıntıların kareleri, bağımsız değişkenleri ise yukarıda tanımlanan ‘dir. Buna göre yardımcı regresyon aşağıdaki gibi tanımlanır.

Yardımcı regresyonun belirginlik katsayısı (R2) hesaplanır ve temel ve alternatif

hipotezler kurulur.

Temel ve alternatif hipotezde yer alan parametrelerin Z’lerin katsayısı olduğuna sabit parametrenin hipotezler dâhil edilmediğine dikkat edin.

doğru ise, ile gözlem sayısının çarpımı yardımcı regresyondaki bağımsız değişken sayısı k (burada k=4) serbestlik derecesiyle Ki-kare (χ2) dağılımına sahiptir ve test istatistiği aşağıdaki gibidir.

değeri hesaplanır. Gözlem sayısı hem ana modelde hem de yardımcı regresyon

modelinde aynıdır.

ve ile mukayese edilir. ise sabit varyans varsayımını ifade eden

temel hipotezi reddedilir. Modelin hata teriminin varyansı gözlemler itibarıyla değişmektedir.

1 0 1 1 2 2i iE Y X X

Z X X X

1 1Z X 2 2Z X 23 1Z X 2

4 2Z X 5 1 2Z X X

2 2n R

0 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ

i i iY X X iu

Z

20 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

ˆi i i i i i iu Z Z Z Z Z v

0 1 2 3 4 5: 0H

1 1 2 3 4 5: 0H

0H 2R

2 2 2kn R

2 2k

2 2k 0H

371

Açıklayıcı Örnek: Tüketim Harcamaları Modeli

White testinin uygulaması için tüketim harcamaları örnek 1’in verileri kullanılacaktır. Hatırlanacağı üzere Örnek 2 verilerinden örnek regresyon fonksiyonu

olarak elde edilmişdi. Varyansın potansiyel olarak gelirin bir fonksiyonu olduğu tüketim harcamasının bu örneğinde değişen varyansı test etmek için şeklindeki

varyans fonksiyonunda hipotezini alternatifi olan hipotezine karşı test ederiz.

modeli için belirginlik katsayısı , n=10 olduğuna göre test

istatistiği

Sıfır hipotezinde sadece bir parametre olduğu için χ2 testinin serbestlik derecesi birdir.

%5 kritik değeri 3.84’tür. 9,;3.84’ten daha büyük olduğu için H0 hipotezini reddederiz ve

varyansın gelire bağlı değiştiğini kabul ederiz.

White testinin uygulamasına yardımcı regresyon fonksiyonunu

EKK yaklaşımı ile tahmin ederek başlarız ve hipotezini

hipotezine karşı test ederiz. Yardımcı regresyon aşağıdaki gibi tahmin edilmiştir.

Buradan test istatistiği

olarak hesaplanır. %5 kritik değer ‘dir. Tekrar, gelire bağlı değişen

varyansın söz konusu olduğu sonucuna ulaştık.

13.1.2.3. The Goldfeld-Quandt Testi

Goldfeld-Quandt testi büyük örneklere uygulanan F-testidir. Goldfeld-Quandt testi,

olası farklı varyanslı iki grup veri için tasarlanmıştır. Bu durumu tanıtmak için, ücretliler için tüketim fonksiyonu ile serbest meslek sahiplerinin tüketim modelinin farklılaştığı iktisadi gerçeklere uygundur. Serbest meslek sahipleri genel olarak ücretlilere göre daha fazla gelir elde ettikleri için tüketimleri ücretlilere göre farklılık arz eder. Ücretliler ve serbest meslek

sahiplerini tek bir grup olarak düşünür ve ortalama tüketim denklemini elde etmek istersek,

ˆ 9.37 0.65i iY X

20 1i ih X

0 1: 0H 1 1: 0H

ˆ 9.37 0.65i iY X 2 0.90R

2 2 10 0.90 9n R

2 20 1 2

ˆi i iu X X

0 1 2: 0H

1 1 2: 0 veya 0H

2 2ˆ 1038.16 15.95 0.057i i iu X X 2 0.85R

2 2 10 0.85 8.5n R

2

0.95,25.99

372

tüketim kalıplarının farklılığından dolayı değişen varyans problemi ile karşılaşmamız kaçınılmazdır.

Sorduğumuz soru: ücretlilerin tüketim varyansı ile karşılaştırıldığında serbest meslek sahiplerinin tüketim varyansı ne kadardır? Varyanslar aynı ya da farklı mıdır?. Ücretlilerin tüketim ve serbest meslek sahiplerinin tüketim varyansı yukarıdaki nedenden dolayı tüm gözlemler için sabit değildir. Goldfeld-Quandt testi değişen varyansın örneklemin iki gruba bölünebildiği -bu durumda ücretliler ve serbest meslek- biçimini test etmek amacıyla tasarlanmıştır ve varyansın iki grup için farklı olabileceğinden şüpheleniriz.

Test, her bir gruptan tahmin edilen hata varyanslarının karşılaştırılmasına dayanmaktadır. Goldfeld-Quandt testi, rassal hataların normal dağıldığı ve birbirleri ile ilişkisiz oldukları (otokorelasyon olmadığı) varsayımına dayanmaktadır.

Testin uygulamasının ilk aşamasında X bağımsız değişkeni küçükten büyüğe ilgili Y bağımlı değişkeni ile sıralanır. Sıralanan gözlemlerin ortasından c sayıda gözlem çıkarılır. Geriye kalan n-c sayıdaki gözlem ikiye ayrılır . Bu durumda ilk grupta küçük değerli X’ler, ikinci grupta ise daha büyük değerli X’ler yer alacaktır. Amaç bu iki grubun varyanslarının eşit olup olamadığını tespit etmektir. Eğer eşit değilse X’lerin değeri artarken rassal hatanın da varyansının arttığı sonucunu çıkarırız. Burada önemli iki önemli husus vardır. Bunlardan ilki dışlanan gözlem sayısı c’nin kaç olacağıdır. Monte Carlo denemelerine göre n=30 iken c=4, n=60 iken c=10 alınmasının yeterli olduğu konusunda bir görüş vardır. İkincisi ise çok değişkenli regresyon modelinde sıralama işleminin hangi X değişkenine göre yapılacağıdır. Şayet hangi bağımsız değişkenin değişen varsa sebep olabileceği öngörüle biliniyorsa sıralama o değişkene göre yapılır, aksi takdirde her değişken için test tekrarlanır.

İki alt gruptan küçük X değerlerinin bulunduğu gözlemler için rassal hatanın varyansıile, büyük X değerlerinin bulunduğu gözlemler için rassal hatanın varyansı

ile gösterilsin.

ve eşitliklerinin söz konusu olduğu şeklindeki

sıfır hipotezini test etmek istiyoruz. Test istatistiği aşağıdaki gibidir.

Burada ve , iki alt örneklemli regresyonlar için serbestlik dereceleridir ve eşitliği geçerlidir. Diğer bir deyişle bir varyans tahmininin onun gerçek ana kitle değeri oranına eşit bir paya ve diğer varyans tahmininin onun ana kitle değeri oranına eşit bir paydaya sahip olan F istatistiği, şeklindeki serbestlik derecesi ile bir F

dağılımına sahiptir.

2n c

2 2( )K iKVar u 2 2( )B iBVar u

2 2( )K iKVar u 2 2( )B iBVar u 2 2K B

2 2

,2 2

ˆˆ B k

B Bn k n k

K K

F F

( )Bn k ( )Kn k

B Kn n

( , )B Kn k n k

373

Aşağıdaki hipotezleri test etmek istediğimizi varsayalım:

H0 doğru ise yukarıdaki test istatistiği aşağıdaki gibi olur.

Denklemde yer alan rassal hataların varyanslarının ile tahmin

edildiğini hatırlayın. Hesaplanan test istatistiği verilen bir anlamlılık düzeyinde şeklindeki serbestlik dereceli değerinden büyükse değişen varyans olduğu

sonucuna varılır.

Açıklayıcı Örnek: Tüketim Harcamaları Modeli

İkinci bölümde verilen ana kütleden rastlantısal 30 aile çekilmiş ve aşağıdaki örnek regresyon fonksiyonu elde edilmiştir.

Yukarıdaki tüketim modelinde değişen varyansın varlığını Goldfeld-Quandt testi

araştıralım.

Gözlemler Y (Tüketim) X (Gelir) Sıralı Y Sıralı X

1

2

3

4

5

6

7

55

65

70

80

79

84

98

80

100

85

110

120

115

130

55

70

75

65

74

80

84

80

85

90

100

105

110

115

2 20 : B KH

2 21 : B KH

2

2

ˆˆ

B

K

F

2 2ˆ ˆîu n k

( , )B Kn k n k cF

2 ˆ9.29 0.64 30 0.95 9.18

ˆ( ) (5.231)(0.638)

i

i

Y X n R

Se

374

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

95

90

75

74

110

113

125

108

115

140

120

145

130

152

144

175

180

135

140

178

191

137

189

140

125

90

105

160

150

165

145

180

225

200

240

185

220

210

245

260

190

205

265

270

230

250

79

90

98

95

108

113

110

125

115

130

135

120

140

144

152

140

137

145

175

189

180

178

191

120

125

130

140

145

150

160

165

180

185

190

200

205

210

220

225

230

240

245

250

260

265

270

Yukarıdaki tablonun 4. ve 5. Sütunları Goldfeld-Quandt testinin birinci aşamasıdır. X değerleri küçükten büyüğe doğru ilgili Y değerleri ile birlikte sıralanmıştır. n=30 olduğuna göre

375

ortadan c=4 gözlem analiz dışı bırakılacaktır. Bunlar 14.,15., 16. ve 17. gözlemlere ilişkin verilerdir. Böylece verimiz aşağıdaki gibi iki alt örnekleme ayrılmıştır.

1.Alt Örneklem

(Küçük X’ler için)

2.Alt Örneklem

(Büyük X’ler için)

Gözlemler Sıralı Y Sıralı X Gözlemler Sıralı Y Sıralı X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

55

70

75

65

74

80

84

79

90

98

95

108

113

80

85

90

100

105

110

115

120

125

130

140

145

150

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

135

120

140

144

152

140

137

145

175

189

180

178

191

190

200

205

210

220

225

230

240

245

250

260

265

270

Yukarıdaki iki alt örneklem için örnek regresyon fonksiyonu tahmin edilir. Not: Basit regresyon modelinin tahmin edilmesini ve model ile ilgili aşağıdaki unsurların nasıl hesaplandığını biliyor olmanız gerekmektedir. Tahmin sonuçları aşağıda raporlanmıştır.

1.Alt Örnek

2. Alt Örnek

2 21 1 1 1

ˆ ˆ3.409 0.67 13 0.89 5.86 377.17

ˆ( )(0.074)(8.70)

i i i

i

Y X n R u

Se

376

Goldfeld-Quandt testi için temel ve alternatif hipotezler aşağıda verilmiştir.

1.Alt Örnek için rassal hataların varyansının tahmini aşağıdaki gibidir. (Gözlem sayısı n1 =13, Tahmin edilen paramatre sayısı k=2

2.Alt Örnek için rassal hataların varyansının tahmini aşağıdaki gibidir. (Gözlem sayısı n2=13, Tahmin edilen paramatre sayısı k=2

değerlerini elde ederek aşağıdaki F istatistiğini hesaplarız.

Varyansların artabileceğini ancak gelirle azalmayacağını düşünerek %5 anlamlılık düzeyinde kritik değeri olan bir tek kuyruk testi kullanırız. 4.07>2.82 olduğu

için sabit varyansı ifade eden sıfır hipotezi varyansların gelirle birlikte artacağını ifade eden

alternatif hipotez lehine reddedilir.

13.1.2.4. Spearman Sıra Korelasyon Testi Yukarıda tanıtılan 3 test de test istatistiklerinin hesaplanması yardımcı regresyonların

tahmin edilmesi ile mümkün olduğu için parametrik testlerdir. Değişen varyansın tespitine yönelik tanıtılacak test, parametrik olmayan bir testtir ve bu yönüyle ilk üç testten

ayrılmaktadır. Öncelikle istatistikte kullanılan Sıra korelasyon testinin ne olduğuna kısaca değinelim. X ve Y değerleri arasındaki korelasyonu hesaplamak yerine, 2 serideki kıymetler büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe numaralandırılarak, bu sıra numaraları arasındaki ilişki araştırılırsa buna sıra korelasyon testi adı verilmektedir. Ekonometride değişen varyansın tespiti için bu testin uygulamasında kalıntı ile X bağımsız değişkenine sıra numarası verilir.

2 22 2 2 2

ˆ ˆ28.03 0.79 13 0.77 11.82 1536.8

ˆ( )(30.62)(0.132)

i i

i

Y X n R u

Se

2 20 1 2:H

2 21 1 2:H

212

1

1

ˆ 377.17 377.17ˆ13

34.22 11

9iu

n k

222

2

2

ˆ 1536.8 1536.8ˆ 139.7113 2 11

iu

n k

2221

ˆ 139.714.07

ˆ 34.29F

0.95,11,112.82F

377

Spearman sıra korelasyon testinin uygulaması aşağıdaki gibidir.

Öncelikle değişen varyansın varlığının araştırıldığı tahmin edilmiş regresyon denkleminden kalıntılar elde edilir. Kalıntıların işareti dikkate alınmadan (mutlak değerleri ile) büyükten küçüğe ya da küçükten büyüğe sıralanır. Aynı işlem X bağımsız değişkeni için de yapılır. Her iki sıra numarası arasındaki fark (d) hesaplanır. Daha sonra kalıntıların sıra kıymetlerı ile X değişkenin sıra kıymetleri arasındaki ilişkiyi gösteren aşağıdaki Spearman sıra korelasyon katsayısı hesaplanır.

Buradaki şeklinde hesaplanır ve sıralama kıymetleri arasındaki farkı ifade eder.

n gözlem sayısıdır. Anakütle korelasyon katsayısının 0’a eşit ve gözlem sayısının 8’den

büyük olduğu varsayımına göre, spearman sıra korelasyon testi n-2 serbestlik derecesi ile t –dağılımına uygunluk göstermektedir ve test istatistiği aşağıdaki gibidir.

Test istatistiğinin hesaplanan değeri verilen anlamlılık düzeyinde değerinden

büyükse değişen varyansın varlığı kabul edilir.

Açıklayıcı Örnek: Tüketim Modeli

1982-1995 yılları arasındaki Gelir (Y) ve Tüketim (C) verilerinden tahmin edilen regresyon fonksiyonu aşağıda raporlanmıştır. Değişen varyansın varlığını Spearman Sıra korelasyon testi ile araştıralım.

2

21 6

1

is

dr

n n

i i id X u= -

22

2

1

sn

s

r nt t

r

2nt

2 ˆ1796.09 0.69 14 0.92 328.78

ˆ( ) (596.84)(0.056)

i i

i

C Y n R

Se

378

Modelin verileri ve kalıntılar aşağıdaki gibidir.

Yıllar Tüketim (C )

Gelir (Y)

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

6702

6812

7399

8095

8935

9447

9369

9097

8788

8843

9189

9585

9957

10409

7357

7752

8325

8987

9699

10076

10365

10323

10213

10637

11126

11485

12051

12693

-177.21

-340.13

-149.02

89.56

437.64

689.16

411.48

168.5

-64.49

-302.44

-294.3

-146.34

-165.41

-156.98

Spearman sıra korelasyon testi uygulamasının ilk aşaması kalıntılar ve bağımsız değişkenlere küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıra numarası vermektir. Biz uygulamamızda küçükten büyüğe sıra numarası vereceğiz. Okuyucu isterse büyükten küçüğe sıra numarası vererek aynı sonuca ulaşabilir.

ˆiu

379

Gelir (Y) sıra no sıra no

1

2

3

4

5

6

9

8

7

10

11

12

13

14

8

11

4

2

13

14

12

7

1

10

9

3

6

5

-7

-9

-1

2

-8

-8

-3

1

6

0

2

9

7

9

49

81

1

4

64

64

9

1

36

0

4

81

49

81

Not: olmalıdır.

Spearman sıra korelasyon katsayısı

olarak hesaplanır. Spearman sıra korelasyon katsayısı test istatistiğinin değeri:

ˆiu id 2

id

0id 2 524id

0id

2

2 2

5241 6 1 6 0.1516

1 14 14 1

is

dr

n n

2 2

0.1516 14 220.5312

1 1 0.1516

s

s

r nt

r

380

değeri ile karşılaştırıldığında

olduğu için tüketim modeli için sabit varyans varsayımının geçerli olduğu sonucuna varılır.

13.2. Değişen Varyansın Varlığı Durumunda Parametre Tahmin Yöntemleri

Hata terimleri değişen varyanslı olduğunda en küçük kareler tahmincisi en iyi doğrusal sapmasız tahminci değildir. Değişen varyansın varlığı durumunda model

Genelleştirilmiş En Küçük Kareler

Ağırlıklı En Küçük Kareler

yöntemleri ile tahmin edilir. Burada tahmin yöntemlerinin neler olduğu verilmekle yetinilecektir. Bu konu hakkında daha fazla okuma yapmak isteyenler, Temel Ekonometri

kitaplarından yararlanabilir.

0.5312t 0.05,14 2 0.05,122.179ct t t

0.5312 2.179ct t

381

Uygulama Soruları

1-4 arası sorular aşağıda raporlanmış sonuçlara göre cevaplandırılacaktır.

Modelinde değişen varyansın varlığını araştırmak için aşağıdaki yardımcı regresyon modeli tahmin edilmiştir. ( tahmin edilen modelin parametrelerini, yardımcı regresyonun

parametrelerini ifade etmek üzere)

1) Değişen varyansın testi için temel ve alternatif aşağıdakilerden hangisidir?

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

2) Test istatistiğinin değeri nedir? ( )

a) 14.49

b) 17.64

c) 1.68

d) 1.38

e) 32.84

21 2

ˆ 0.61 19.23 0.36 0.69 21

ˆ( )(0.05) (3.52) (0.035)i

Y X X R n

Se

2 22

ˆ 1.45 3.78 0.84

ˆ( )(0.35) (1.075)

i

i

u X R

Se

0 0 1: 0H 1 0 1: 0H

0 1 2: 0H 1 1 2: 0H

0 2: 0H 1 2: 0H

0 1: 0H 1 1: 0H

0 0 1 2: 0H 1 0 1 2: 0H

0.05

382

3) Test istatistiği hangi dağılıma uyar, test istatistiğinin değeri nedir?

a) Ki-kare

b) Ki-kare,

c) Ki-kare

d) t-,

e) t-,

4) Karar için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) 17.64 > 3.841 değişen varyansın varlığı kabul edilir.

b) 14.49 >7.815 değişen varyansın varlığı kabul edilir.

c) <5.991 sabit varyans kabul edilir.

d) 1.38<2.093 sabit varyans kabul edilir.

e) 32.84>1.721 değişen varyans kabul edilir.

5) Spearman sıra korelasyon testi ile

Gözlem 1 2 3 4 5 6 7

-0.92 1.83 -3.61 2.06 0.11 -0.43 1.91

X 2 6 4 5 11 9 1

Y 4.6 0.8 11 7.64 5.12 3.92 6.54

değişen varyansın araştırılması için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

a)

6 3 7 1 4 5 2

X 6 3 5 4 1 2 7

22 5.991

21 3.841

23 7.815

21 22.093t

211.721t

ˆtu

ˆtu

383

b)

5 4 1 2 7 6 3

X 6 3 5 4 1 2 7

c)

6 3 7 1 4 5 2

Y 5 7 1 2 4 6 3

d)

5 4 1 2 7 6 3

Y 5 7 1 2 4 6 3

e)

6 3 7 1 4 5 2

X 6 3 5 4 1 2 7

6) 40 gözleme ait verilerden aşağıdaki regresyon modeli tahmin edilmiştir.

değişkeninin değişen varyansa sebep olduğunun testi amacıyla aşağıdaki modeller tahmin edilmiştir.


a) Ortadan atılan gözlem sayısı 8’dir.

b) Test istatistiğinin değeri 6.48 olarak hesaplanmıştır.

c) anlamlılık seviyesinde F tablo değeri 2.69’a eşittir.

ˆtu

ˆtu

ˆtu

ˆtu

21 2 3

ˆ 12.94 0.47 3.96 0.03 0.69 40

ˆ( )(3.41) (0.12) (0.035) (0.015)i

Y X X X R n

Se

3X

2 21 2 3

2 21 2 3

ˆ ˆ1.04 120.7 13.6 4.13 24.7 0.69 15

ˆ ˆ21.94 2.71 0.87 2.07 3.81 0.53 15

B

K

Y X X X R n

Y X X X R n

0.05

384

d) Değişkenler Bağımsız değişkeninin değerine göre küçükten büyüğe doğru sıralanmışlardır.

e) Modelde sabit varyans vardır.

7) Aşağıdaki ara sonuçlara göre spearman sıra korelasyon katsayısının değeri nedir?

a) 0.38

b) 1.20

c) -0.38

d) 0.61

e) -0.02

8) Aşağıda tahmin edilen regresyon modelinde

Değişen varyansın tespiti amacıyla aşağıdaki regresyon modeli tahmin edilmiştir.

Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a)

b) Test istatistiğinin değeri 3.77’dir.

c) Tablo değeri ‘dir

d) Temel hipotez kabul edilir, değişen varyans sorunu yoktur.

e)

9) Aşağıdakilerden hangisi değişen varyansın tespiti için kullanılan parametrik olmayan bir testtir?

3X

2 2 2ˆ178 12 0.04 0.91id n R

21

ˆ 1.24 0.93 1.94 0.98 29 1.96

ˆ( ) (0.02) (0.13) (0.84)

t t t

i

Y X Y R n DW

Se

2 2 21 1 1

ˆ 4.91 2.31 0.271 1.12 0.07 0.27 0.13t t t t t t tu X X Y Y X Y R

0 1 2 3 4 5: 0H

0 1 2 3 4 5: 0H

2

0.95,511.070

2 2

0.95,53.77 11.070

385

a) White testi

b) Lagrange çarpanı testi

c) Spearman sıra korelasyon testi

d) Goldfeld-Quandt testi

10) Değişen varyansın tespiti için X’in küçük değerlerinin yer aldığı 15 gözlemlik regresyon modeline ilişkin ara sonuçlar aşağıdaki gibidir.

X’in büyük değerlerinin yer aldığı 15 gözlemlik regresyon modeline ilişkin ara sonuçlar aşağıdaki gibidir.

Değişen varyansın varlığını test edin.

Bu uygulamada X ilgili bağımsız değişkeni ile küçükten büyüğe sıralanmış ve Küçük X değeri için bir regresyon, büyük X değerleri için ikinci bir regresyon tahmin edildiği verilerden anlaşılmaktadır. Buna göre uygulanan test Goldfeld-Quandt testi olup bu test iki alt regresyonun

hata terimlerinin eşitliğinin testine dayanmaktadır. Öyleyse temel ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibidir.

Test istatistiği ise;

Ancak dikkat edilirse alt regresyonlara ait hata terimlerinin varyanslarının tahminler verilmemiş, sizin hesaplamanız istenmiştir. Şimdi önceki bölümlerimizde öğrendiğimiz bilgiler ile hata terimlerinin varyanslarını tahmin edelim.

bunun için eşitliğinden öncelikle hesaplanması

gerekir. Yukarıdaki verilerde toplam değişme olarak verilmiş, regresyon ile

açıklanan değişmenin hesaplanabilmesi için ara sonuçlar verilmiştir ) buna

göre aşağıdaki işlemler sırasıyla uygulanır.

2 27153,667 10123.33 5498.933xy x y

2 29280 12250 8665.6xy x y

2 20

2 21

:

:

B K

B K

H

H

2

,2 b k

Bn k n k

K

F F

2

2ˆ

ˆ K

K

k

u

n k

2 2 2ˆ ˆy y u 2ˆBu

2 5498.933y 2 2 2

1ˆ iy x

386

buradan

Ve küçük X değerlerinin yer aldığı alt regresyonun hata teriminin varyansı aşağıdaki gibi tahmin edilir.

Aynı şekilde büyük X’lerin değerlerinin yer aldığı alt regresyonun hata teriminin varyansının tahmini için;

Goldfeld-Quandt testinin istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanır.

Tablo değeri

1 2

7153,667ˆ 0.7110123.33

xy

x

2 2 2 2

1ˆ (0.71) 10123.33 5055.15iy x

2 2 2ˆ ˆ 5498.933 5055. 443.7815 3Ku y y

2

2 443.783ˆˆ

1534.13715

2

K

K

k

u

n k

1 2

9280ˆ 0.7612250

xy

x

2 2 2 2

1ˆ (0.76) 1225 7075.60iy x

2 2 2ˆ ˆ 8665.6 7075.6 1590Bu y y 2

2 1590122.

ˆ2

35

1ˆ1

B

B

B

u

n k

2

2

122.31

34.137153.58B

K

F

0.95;13,132.57F

387

Karar

alternatif hipotez kabul edilir, X’in değeri arttıkça hata

teriminin de değeri artmaktadır.

Cevaplar

1) d, 2) b, 3) b, 4) a, 5) b, 6) e, 7) a, 8) a, 9) c, 10) çözümlendi

0.95;13,133.58 2.57F F

388


Bu bölümde değişen varyansın tespitine yönelik parametrik ve parametrik olmayan testler verilmiştir. Bu testlerden lagrange çarpanı, White testi ve Goldfeld-Quandt testi değişen varyansın tespiti için yeni regresyon modellerinin tahmin edilmesini gerektirdiğinden parametrik testlerdir. Spearman sıra korelasyon testi ise parametrik olmayan testlerdir. Ayrıca değişen varyans durumunda EKK yerine genelleştirilmiş EKK ve ağırlıklı EKK yöntemlerinin kullanılması gerektiği belirtilmiştir.

389

Bölüm Soruları

1) Goldfeld-Quandt testi …………..ve ……….büyük örnekler uygulanan ………..’dir.


a) Rassal hataların normal dağıldığı; ilişkisiz oldukları; ki-kare

b) Rassal hataların ki-kare dağıldığı; ilişkisiz oldukları ki-kare

c) Rassal hataların F dağıldığı; ilişkisiz oldukları; F-testi

d) Rassal hataların normal dağıldığı; ilişkisiz oldukları; t-testi

e) Rassal hataların normal dağıldığı; ilişkisiz oldukları; F testi

Aşağıdaki verilere göre modelde değişen varyansın tespiti için spearman sıra korelasyon testi uygulanmıştır.

Gözlem 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y 2 3 4 6 10 20 19 15 22

X 1 5 4 10 9 8 12 17 14

-0.38 -0.85 0.52 0.33 0.68 -0.3 -1.07 0.22 -1.71

2) anlamlılık seviyesinde Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a)

b)

c) Spearman sıra korelasyon katsayısının değeri 0.05’tir.

d) Test istatistiğinin değeri 2.65’tir.

e) 2.65> tc= 2.365 olduğu için değişen varyansın varlığı kabul edilir.

ˆiu

0.05

2 114id

5id

390

3) 1970- 1983 arası yıllık veriler kullanılarak GSYİH ve para arzı arasındaki ilişki aşağıdaki gibi tahmin edilmiştir.

Değişen varyansın tespiti amacıyla aşağıdaki yardımcı regresyon tahmin edilmiştir.

Yukarıdaki bilgilere göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ( )

a) ,

b) White testi uygulanmaktadır.

c) Test istatistiğinin değeri 9.45’e eşittir.

d) Tablo değeri

e) değişen varyansın varlığı kabul edilir.

3) Goldfeld-Quandt testinin temel ve alternatif hipotezleri ile test istatistiği aşağıdakilerden hangisidir?

a)

b)

c)

d)

e)

4) ve ise Goldfeld-Quandt testinin test

istatistiğinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

a) 0.48

b) 2.10

2ˆ 158.78 1.203 2 0.9943

ˆ( ) (43.04) (0.026)i

GSMH M r

Se

2 2 2ˆ 1347.718 3.654 2 0.0027 2 0.675

ˆ( ) (5367.136)(7.1934) (0.0021)i

u M M R

Se

0.05

0 0 1 2: 0H 0 0 1 2: 0H

2

0.95,25.99

2 2

0.95,29.45 5.99

2 2 2 2 2 20 1: ; : ;B K B K B KH H F

2 2 2 2 2 20 1: ; : ;B K B K B KH H t

2 2 2 2 2 2 20 1: ; : ;B K B K B KH H

2 2 2 2 2 20 1: ; : ;B K B K B KH H t

2 2 2 2 2 20 1: ; : ;B K B K B KH H F

2ˆ 37.21 8B Bu n 2ˆ 78.06 8K Ku n

391

c) 5.92

d) 1.93

e) 0.71

5) Aşağıdaki tahmin yöntenlerinden hangisi değişen varyansın tespiti sonucunda modelin yeniden tahmini için kullanılır?

a) EKK yöntemi

b) Birinci farklar yöntemi

c) Genelleştirilmiş farklar yöntemi

d) Kısıtlı EKK yöntemi yöntemi

e) Genelleştirilmiş EKK

Cevaplar

1) e, 2) b, 3) a, 4) a, 5) a, 6) e

392

14. OTOKORELASYON

393


1) Otokorelasyon nedir?

2) Otokorelasyonun varlığında EKK tahmincilerin özellikleri nedir?

3) Otokorelasyon nasıl tespit edilir?

394



Otokorelasyonun ne anlama

geldiğini ve otokorelasyonun varlığı halınde EKK tahmincilerinin özelliklerini kavramak


Durbin Watson testini

uygulabilmek

Ders notları, uygulamaları tekrar edilerek

Durbin-h testini uygulabilmek


Durbin’in Alternatif testini

uygulabilmek,.loı Ders notları, uygulamaları tekrar edilerek

Sıra testini uygulabilmek Ders notları, uygulamaları tekrar edilerek

Breusch-Godfey Testini

uygulayabilmek


395

Anahtar Kavramlar

Yardımcı regresyon,

Otokorelasyon

Durbin Watson testi

Durbin h testi

Durbin’in alternatif testi

Sıra testi

Breusch-Godfey Testi

1. dereceden otokorelasyon

p.dereceden otokorelasyon

396

Giriş

Klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarından biri rassal hata terimlerinin birbirleriyle ilişkisiz olmasıdır. Özellikle zaman serisi verilerin kullanıldığı modellerde karşılaşılan otokorelasyon ekonometrinin hızla gelişen zaman serleri analizine

temel teşkil eder. Kesit verilerinin kullanıldığı modellerde verilerin dizilişi herhangi bir sıra takip etmediği için otokorelasyon sorunu, bu tür veriler ile çok fazla ilgili değildir. Otokorelasyon daha önce ele aldığımız model kurma hatası, değişen varyans gibi varsayımdan sapma olduğu için tahmin edilen modelin aleyhine sonuçlar doğurur. Bu dersimizde otokorelasyonun sonuçları verilecek, otokorelasyonun tespiti için kullanılan testlerden bazıları tanıtılacak ve otokorelasyonun varlığının tespit edilmesi durumunda modelin tahmini için kullanılacak tahmin yöntemleri verilecektir.

397

14.1. Otokorelasyon Nedir?

Klasik doğrusal regresyon modelinin temel varsayımlarında biri hata terimleri arasında ilişkinin olmamasıdır ve aşağıdaki gibi gösterilir.

Herhangi bir gözleme ait hata terimi başka bir gözleme ait hata terimini etkiliyorsa temel varsayımdan sapma söz konusu olup modelde otokorelasyon sorunu vardır.

Genellikle zaman serisi verilerinin kullanıldığı modellerde karşılaşılan otokorelasyon problemine,

• Model dışında bırakılan bağımsız değişken

• Modelin fonksiyonel biçiminin yanlış belirlenmesi

• Gecikmeli ilişkiler

• Konjonktür ve şok etkisi

neden olmaktadır.

Hata terimleri arasında 1. dereceden otokorelasyon

ile gösterilir ve kısaca AR(1) ile ifade edilir. AR(1) modelde bir dönem önceki hata terimi cari dönem hata terimini etkilemektedir. Ana kütle otokorelasyon katsayısı ( )

ile gösterilir. Klasik doğrusal regressyon modelinin temel varsayımlarından ilki hata teriminin beklenen değeri sıfıra eşitliği bilindiğine göre

eşitliğini yazabiliriz. Ayrıca yine klasik doğrusal regresyon modelinin varsayımlarından biri önceki bölümde detaylı ele alınan hata terimi varyansının gözlemler itibarıyla sabit

olduğudur. Buna göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.

, , , 0i j i j i jE u u X X E u u i j

, 0i jE u u i j

1t t tu u v

1 1

1

t t t t

t t

E u E u u E u

Var u Var u

1 0t tE u E u

398

Böylece ana kütle otokorelasyon katsayısı

AR(1) modelin eğim katsayısıdır ve arasında değer alır.

Bu bağlamda AR(2) model aşağıdaki gibi gösterilir.

AR(2) modelde hata terimi bir ve iki dönem önceki değerleri ile ilişkilidir. Genel olarak

AR(p) ise,

ile sembolize edilir.

14.2. En Küçük Kareler Tahmincileri İçin Otokorelasyonun Sonuçları

Otokorelasyonun varlığı hâlinde EKK tahmincileri sapmasız, tutarlı ancak en küçük varyanslı değildir. Ana kütle hata teriminin varyansının tahmini ( )

olduğundan küçük tahmin edilmiştir. Tahmin edilen parametreler sapmasız olmasına karşın parametrelerin varyanslarının tahmini sapmalıdır. Belirginlik katsayısı olduğundan büyüktür. t- ve F testleri artık geçersizdir. Bu testler otokorelasyonun varlığı hâlinde tahmin edilen

parametrelerin istatistiksel açıdan anlamlılıkları hususunda ciddi yanıltıcı sonuçlar verecektir.

14.3. Otokorelasyonun Tespit Edilmesi

14.3.1. Sistematik Olmayan Test: Kalıntı Grafikleri

Aşağıdaki şekilde kalıntı grafiklerine bakıldığında birincisinde pozitif ikincisinde

otokorelasyonun olduğu görülmektedir.

1t tVar u Var u

1

1

,t t

t

E u u

Var u

1 1

1 1 2 2t t t tu u u v

1 1 2 2t t t p t p tu u u u v

2 2ˆ ˆtu n k

399

14.3.2. Sistematik Testler

14.3.2.1. Sıra (Run) Testi

Sıra testi tesadüfiliğin araştırılması için parametrik olmayan bir testtir. Tesadüfilik, kalıntıların dizilişi ile ilgili bir kavramdır. Birbirini izleyecek şekilde art arda dizilen veriler

tesadüfi iseler birbirlerini etkilemeyeceklerdir. Herhangi bir nedenle tesadüfi değil iseler, birbirlerini etkileyeceklerdir.

Sıra testinin uygulama aşamaları aşağıdaki gibidir. İlk aşamada temel ve alternatif

hipotez aşağıdaki gibi oluşturulur.

=( + ) işaretli kalıntı sayısı

= (- ) işaretli kalıntı sayısı

= birbirini takip eden işaret sayısı

olmak üzere ise birbirini takip eden işaretlerin sayısı (k), aşağıdaki ortalama ve varyansla normal dağılmaktadır.

Ortalama:

0

1

: 0 (otokorelasyon yoktur)

: 0 (otokorelasyon vardır)H

H

1n

2n

1 2n n n

k

>20n

1 2 1 2

1 2

2 2 ( ) 1 1

n n n nE k

n n n

400

Varyans:

Normal dağılımın özellikleri kullanılarak ‘nın güven aralığı aşağıdaki gibi oluşturulur.

Oluşturulan güven aralığının birbirini takip eden işaret sayısını ( ) içerme olasılığı %95’tir. belirlenen sınırlar içerisinde ise, kalıntıların diziliş rassaldır, modelde otokorelasyon yoktur.

Açıklayıcı Örnek

Tahmin edilen bir regresyon modelinden hesaplanan kalıntılar aşağıda verilmiştir. Sıra testini uygulayarak otokorelasyonun varlığını araştıralım.

Yıllar 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987

-1.21 -1.12 -0.79 -1.14 -0.89 -1.42 -0.29 0.23

Yıllar 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

0.99 2.23 2.75 2.16 2.54 2.16 2.65 1.42

Yıllar 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

1.44 0.26 0.95 0.24 -2.04 -4.51 -2.87 -4.08

Temel ve alternatif hipotezler:

Kalıntıların işaretleri sıralanır.

(- - - - - - -)(+ + + + + + + + + + + + +) (- - - -)

(+) işaretli kalıntı sayısı

(-) işaretli kalıntı sayısı

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2

2 (2 - - ) 2 (2 - )

( ) ( -1) 1k

n n n n n n n n n n n

n n n n n n

k

Prob 1.96 1.96 0.95k kE k k E k

k

k

îu

îu

îu

0

1

: 0 (otokorelasyon yoktur)

: 0 (otokorelasyon vardır)H

H

1 13 n

2 11 n

401

(-), (+) ve (-) olmak üzere birbirini takip eden kalıntı işareti sayısı

belirlendikten sonra için ortalama ve varyansı hesaplayabiliriz.

için %95 güven aralığı oluşturulur.

yukarıdaki aralığın dışındadır. Bu sonuca göre alternatif hipotez kabul edilir, kalıntıların dizilişi rassal değildir ve modelde otokorelasyon vardır.

14.3.2.2. Durbin Watson Testi

Otokorelasyonun varlığını test etmek amacıyla kullanılan birçok test olmasına rağmen en çok kullanılan Durbin-Watson (DW) testidir. Durbin-Watson testinin kullanılmasında dikkat edilmesi gereken bazı durumlar mevcuttur, bunlar:

• Orijinden geçen regresyon modellerine DW testi uygulanmaz. Modelde bir sabitin olması gerekmektedir.

• Testin uygulanabilmesi için hata terimleri arasında ile ifade

edilen birinci dereceden otokorelasyon AR(1) olması gerekmektedir.

1 2 13 11 24 20n n n

3k

3k

1 2

1 2

2 2 13 11( ) 1 1

13 12.92

11

n nE k

n n

2 1 2 1 2 1 2

21 2 1 2

2

2 (2 - - )

( ) ( -1)

2 13 11 2 13 11 13 115,6561

13 11 13 11 1

k

n n n n n n

n n n n

2 5.6561 2.378k k

k

Prob 1.96 1.96 0.95k kE k k E k

Prob 12.92 1.96 2.378 12.92 1.96 2.378 0.95k

12.92 1.96 2.378 (8.2593,17.5779)

3 k

1t t tu pu e-= +

402

• DW testi bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerinin açıklayıcı değişken olarak yer aldığı otoregresif modellerde kullanılamamaktadır. Aşağıda

olarak ifade edilen modelde bağımlı değişkenin cari dönemdeki değeri ( ), bağımsız değişkenlerin gecikmeli değerlerinin ( ve ) yanı sıra kendi bir dönem önceki

değerinden ( ) de etkilenmektedir. Böyle bir model gecikmeli bir modeldir, fakat kendi gecikmeli değeri de modelde bağımsız değişken olarak yer aldığından dolayı aynı zamanda otoregresif bir modeldir. Modelde bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri bulunuyorsa, diğer bir ifade ile model otoregresif bir modelse bu durumda otokorelasyonun test edilebilmesi DW

testi kullanılamaz.

• DW testinin uygulanabilmesi için modellerde eksik gözlem olmamalıdır.

Durbin-Watson testi için temel ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibidir.

DW test istatistiği ise

veya

ile verilir.

‘nin açılımı yapılırsa,

‘e dönüşür. Burada eşit kabul

edilirse matemetiksel sadeleştirme işlemleri ile

0 1 1 2 2 3 4 5 11 1 2 1t t t t tt tY X X X X Y u

tY

1 1tX 2 1t

X

1tY

0

1

: 0

: 0

H

H

2

12

2

1

ˆ ˆ

ˆ

t n

t tt

t n

tt

u u

DW

u

2 1DW p

2

12

2

1

ˆ ˆ

ˆ

t n

t tt

t n

tt

u u

DW

u

2 21 1

2 2 2

2

1

ˆ ˆ ˆ ˆ2

ˆ

t n t n t n

t t t tt t t

t n

tt

u u u u

DW

u

2 2

12 2

ˆ ˆt n t n

t tt t

u u

403

elde edilir. Buradaki ifadesi anakütle otokorelasyon katsayısı ‘nun

tahmini p’yi vermektedir. Buradan hareketle DW istatistiği ile otokorelasyon katasının tahmini arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.

Otokorelasyon katsayısı p, -1 ile 1 arasında değer alır, . Buradan hareketle

olduğuna göre,

ise, negatif otokorelasyon vardır.

ise otokorelasyon yoktur.

ise pozitif otokorelasyonun vardır.

Buna bağlı olarak DW; aralığında değer alabilmektedir. Anlaşılacağı üzere DW değerinin 2’ye yakın bir değer alması modelde otokorelasyon olmadığına işaret etmektedir.

DW test istatistiğinin değeri hesaplandıktan sonra alt sınır ( dL) ve üst sınır ( dU) kritik

değerlerin yer aldığı DW kritik değer tablosundan bulunarak karşılaştırma yapılır ve

otokorelasyonun varlığına varsa negatif mi yoksa pozitif mi olduğuna karar verilir. Kritik değerlere bakılırken modelde yer alan bağımsız değişken sayısı ( ) esas alınmaktadır.

Hesaplanan DW istatistiği değeri; ( dL) ( dU) değerleri arasına veya ( 4-dU) ile ( 4-dL)

değerleri arasına düşerse otokorelasyonun olup olmadığı konusunda karar verilemez. Bu değer aralıkları kararsızlık bölgeleri olarak bilinir. Bu durumda alternatif otokorelasyon testleri kullanmamız gerekmektedir. DW değeri; 0 ile ( dL) arasına düşerse otokorelasyon vardır ve

21 1

2 2 2

2 2

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2

2 1

ˆ ˆ

t n t n t n

t t t t tt t t

t n t n

t tt t

u u u u u

DW

u u

21

2 1

ˆ ˆ ˆt n t n

t t tt t

u u u

2 1DW p

1 1p

2 1DW p

1p 4DW

0p 2DW =

1p 0DW

0 4DW

'k

404

pozitif otokorelasyondur. Değer; ( 4-dL) ile 4 arasında ise yine otokorelasyon vardır fakat negatif otokorelasyondur.


50 gözlemlik verilerden aşağıdaki regresyon modeli tahmin edilmiş ve DW test istatistiğinin hesaplanan değeri ise 1.43’e eşittir. DW testini kullanarak otokorelasyonun varlığını test edelim.

Temel ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibi kurulur.

(Otokorelasyon yoktur.)

(Pozitif otokorelasyon vardır.)

anlamlılık düzeyinde 4 bağımsız değişken sayısı ( ) için kritik değerler ve ‘e eşittir.

Hesaplanan DW değeri otokorelasyonun olmadığını ifade eden bölgeye düştüğü için H0

hipotezi reddedilemez. Modelde otokorelasyon yoktur.

14.3.2.3. Durbin-h testi

Daha önce de ifade edildiği gibi DW testi otoregresif modellerde kullanılamamaktadır. Bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri modelde bağımsız değişken olarak yer alıyorsa otokorelasyonun varlığını tespit etmek amacıyla Durbin-h testi kullanılmaktadır. Durbin-h için temel ve alternatif hipotezler aşağıda verilmiştir.

(Otokorelasyon yoktur)

(Otokorelasyon vardır)

Durbin-h test test istatistiği ise;

1 2 3 4ˆ 2.03 0.49 0.82 16.07 4.06tY X X X X

0 : 0H

1 : 0 veya >0H

0.05 ' 4k 1.378Ld 1.721Ud

0 : 0H

1 : 0H

405

ile formüle edilir. Buradaki gözlem sayısı, otokorelasyon katsayısının tahmini,

ise bağımlı değişkenin gecikmeli değerine ait parametrenin varyansıdır.

Durbih – h istatistiğinin dağılımı asimptotik olarak normal dağılıma uygundur ve bu test büyük örnekler için geçerlidir. Durbin h testi de DW testi gibi 1. dereceden otokorelasyonun

varlığının testinde kullanılır. Fakat ise bu test kullanılamaz. Böyle bir durumda Durbin’in alternatif testi kullanılır. h istatistiği normal dağılıma uygun olduğu için bir sonraki aşamada istatistik değeri değeri ile karşılaştırılır.

h istatistik değeri; aralığında ise temel hipotez kabul edilir ve otokorelasyonun

olmadığına karar verilir. ise pozitif otokorelasyon, ise negatif

otokorelasyon var olduğu sonucuna varılır. Anlaşılacağı gibi son iki durumda H1 hipotezi kabul

edilmiştir.


Aşağıda tahmin sonuçları verilen modelde otokorelasyonun varlığını test edelim.

Model otoregresif bir model olduğu için, otokorelasyonun varlığının testi için DW testi

kullanılamaz, Durbin-h testini kullanmamız gerekmektedir.

Temel ve alternatif hipotezler yazılır.

Test istatistiği değerinin hesaplanabilmesi için,

öncelikle ilişkisinden otokorelasyon katsayısının tahmini ()değerinin elde edilmesi gerekir.

ˆ1

nh p

nVar

n p

( )ˆVar b

ˆ.var( ) 1n b ³

2Za

2Za±

2h Za> + 2h Za< -

1ˆ 0.759 14.58 1.17 2.90 31

ˆ( ) (0.88) (5.77) (0.081)

t t tY X Y DW n

Se

0

1

: 0

: 0

H

H

ˆ1

nh p

nVar

2 1DW p p

406

Buradan hareketle h test istatistiğinin değeri elde edilir.

Dikkat edileceği gibi gecikmeli değişkene ait parametrenin varyansını elde etmek için,

parametre standart hatasının karesi alınmıştır. Hesaplanan istatistik değeri olduğu için modelde otokorelasyon vardır ve negatif otokorelasyondur.

14.3.2.4. Durbin’in Alternatif Testi

Otokorelasyonun varlığı araştırılan model, otoregresif bir model ise DW testi yerine Durbin-h testinin kullanılması gerektiğini öğrenmiş bulunmaktayız. Ancak test istatistiğinde yer alan ise, kök içi negatif değer alacağı için Durbin h testi ile otokorelasyonun

varlığı araştırılamaz. Söz konusu durumda parametrik bir test Durbin’in alternatif testi

kullanılır. Durbin’in alternatif testinin aşamaları kısaca aşağıdaki gibidir.

Temel ve alternatif hipotezler yazılır.

Otokorelasyonun araştırıldığı modelin ( ) kalıntıları ( )

hesaplanır ve kalıntıların bağımlı değişken olduğu yardımcı regresyon kurulur. Kalıntıların bir dönem önceki değerlerine ( ) açıklayıcı değişken olarak yer aldığı yardımcı regresyon aşağıda verilmiştir.

Tahmin edilen yardımcı regresyonda ile arasında ilişki kuran parametresi

istatistiksel açıdan anlamlı bulunursa, hata terimleri arasında birinci dereceden otokorelasyonun varlığına karar verilir. parametresinin anlamlılık testi için temel ve alternatif hipotezler;

2 1DW p

2.90 2 1 0.45p p

2

310.45 2.84

1 31 0.081h

(0.081)

2.84 1.96- < -

ˆ 1nVar

0

1

: 0

: 0

H

H

0 1 2 1ˆ ˆ ˆ

t t tY X Y ˆtu

1ˆ

tu

0 1 2 1 3 1ˆ ˆt t t t tu X Y u v

1ˆtu ˆ

tu 3

3

0 3

1 3

: 0

: 0

H

H

407

Temel hipotezin doğru olduğu varsayımı altında test istatistiğinin verilen bir anlamlılık düzeyinde n-k serbestlik derecesi ile t dağılımına uygunluk gösterdiği önceki derslerimizden bilinmektedir. Aşağıda verilen test istatistiğinden

hesaplanan değer, kritik değerden büyük ise birinci dereceden

otokorelasyonun varlığını işaret eden alternatif hipotez kabul edilir.


Aşağıda verilen modelde I yatırımları, GSYİH gayri safi yurt içi hasılayı, r faiz oranının

göstermektedir. Yatırım

fonksiyonunda otokorelasyonun varlığını araştıralım. Raporlanmış regresyon sonuçlarında DW test istatistiğinin değeri verilmiş, ancak modelde açıklayıcı değişken rolü üstlendiği için

kullanılmaz. Durbin-h test istatistiğinin değerinin hesaplamadan önce şartının

gerçekleşme durumunu araştıralım.

Otokorelasyon testi Durbin-h’ın da kullanılmayacağı anlaşılmıştır. Durbin’in alternatif

testinin kullanılması gerekir, bu amaçla kalıntılar elde edilir ve tahmin edilen regresyon modeli aşağıda verilmiştir.

‘nın katsayısı ‘ün anlamlılık testi için temel ve alternatif hipotezler kurulur.


3

3

ˆˆ n k

t tSe

c n kt t

10.78 0.672 0.04 0.941 19

ˆ (0.002)(0.036) (0.0051) (0.2513) 2.18

t t t t

i

I GSYİH r I n

Se DW

1tI

ˆ 1nVar

2ˆ 19 0.2513 1.20 1nVar

1 1

ˆ ˆ14.78 1.408 0.006 1.206 0.639

ˆ (0.00672)(0.006) (0.0001) (0.0913) (0.313)

t t t t t

i

u GSYİH r I u

Se

1ˆtu 4

0 4

1 4

: 0

: 0

H

H

4

19 5

4

ˆˆ

t tSe

408

Hesaplanan test istatistiğinin değeri, 0.05 anlamlılık düzeyinde 19-5=14 serbestlik

derecesi ile kritik değer ‘den küçüktür, istatistiksel olarak

anlamsızdır. Böylece yatırım modelinde birinci dereceden otokorelasyonun varlığı reddedilir, temel hipotez kabul edilir.

14.3.2.5. Breusch-Godfey Testi (LM Test)

Buraya kadar gördüğümüz otokorelasyon testleri hata terimleri arasında birinci

dereceden olduğu varsayılan otokorelasyonun varlığının araştırılmasına yönelikti. Ancak p.

dereceden otokorelasyonun varlığının testinde önceki testler kullanılmaz. modelinde p. dereceden otokorelasyonun testi için

Breusch-Godfey testi kullanılır. Testin aşamaları kısaca aşağıdaki gibidir.

Temel ve alternatif hipotezler kurulur.

Temel hipotez p. dereceden otokorelasyonun olmadığı, alternatif hipotez ise p.

dereceden otokorelasyonun olduğu anlamına gelir.

İkinci aşamada otokorelasyonun varlığının araştırıldığı modelin kalıntıları hesaplanır ve bu kalıntıların bağımlı değişken olarak yer aldığı yardımcı regresyon tahmin edilir. Yardımcı regresyonda otokorelasyonun varlığının araştırıldığı modeldeki bağımsız değişkenlerin yanı sıra p gecikme için kalıntılar yer alır.

Yardımcı Regresyon tahmin edilir ve belirginlik katsayısı hesaplanır. Gözlem sayısı ile belirginlik katsayısının çarpımına eşit test istatistiği p serbestlik derecesi ile ki-kare dağılır.

Test istatistiğinin değeri verilen bir anlamlılık düzeyinde değerinden büyük ise modelde p. dereceden otokorelasyon olduğunu gösteren alternatif hipotez kabul edilir.


modelinde ikinci dereceden otokorelasyonun varlığını araştırmak amacıyla aşağıdaki yardımcı regresyon tahmin edilmiştir.

4

4

ˆ 0.6392.0415

ˆ 0.313t

Se

14 2.145c n kt t t 4

0 1 1 2 2 3 3t t t t tY X X X u

0 1 2

1 1 2

: 0

: 0

p

p

H

H

0 1 1 2 2 3 3 4 1 5 2ˆ ˆ ˆ ˆ

t t t t t t k t p tu X X X u u u v

2 2pnR

2 2c p

0.89 0.1295t tY X

409

Otokorelasyonun varlığı hakkında kararınız nedir?


Test istatistiğinin değeri:

anlamlılık düzeyinde tablo değeri ‘dir.

Test istatistiğinin hesaplanan değeri tablo değerinden büyük olduğu için hipotezi

reddedilir, hipotezi kabul edilir. Modelde 2. Dereceden otokorelasyon vardır.

14.4. Otokorelasyonun Varlığı Durumunda Parametre Tahmin Yöntemleri

Otokorelasyonun varlığı hâlinde kullanılacak parametre tahmin yöntemleri:

- Birinci derece farklar yöntemi

- Genelleştirilmiş farklar yöntemidir.

Bu dersimizde tahmin yöntemlerinin sadece neler olduğu verilmiştir. Bu konuda daha fazla okuma yapmak isteyen öğrencilerimiz Ekonometri kitaplarına başvurabilir.

21 2

ˆ ˆ ˆ1.27 0.597 5.3 8.1 21 0.72t t t tu X u u n R

0 1 2

1 1 2

: 0

: 0

H

H

2 21 0.72 15.12nR

0.05 2 22 5.991c

0H

1H

410

Uygulama Soruları

1) 2006:I-2012:IV dönemine ilişkin turizm gelirlerinin GSYİH’ya etkisinin

araştırıldığı regresyon modelinin tahmininden hesaplanan kalıntıların işaretlerinin dizilişi aşağıdaki gibidir.

Otokorelasyonun varlığı hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Kalıntıların işaretleri verildiğine göre sıra (run) testini uygulayabiliriz. Birinci dereceden otokorlasyonun varlığının araştırıldığı sıra testinin temel ve alternatif hipotezler

aşağıda verilmiştir.

İkinci aşamada (+ ) ve (-) işaretli kalıntıların sayısı tespit edilir.

(+) işaretli kalıntı sayısı

(-) işaretli kalıntı sayısı

için sıra testi uygulanabilir.

Üçüncü aşamada için ortalama ve varyans hesaplanır.

Dördüncü aşamada için %95 güven aralığı oluşturulur.

tu |

0

1

: 0

: 0

H

H

1 16 n

2 12 n

1 2 16 12 28 20n n n

4k

1 2

1 2

2 2 16 12( ) 1 1

16 1214.71429

n nE k

n n

2 1 2 1 2 1 2

21 2 1 2

2

2 (2 - - )

( ) ( -1)

2 16 12 2 16 12 16 12

16 12 16 12 16.45805

k

n n n n n n

n n n n

2 6.45805 2.5412k k

k

14.71429 9.733534 19.69501.96 2.5412 ( , 4)

411

Son aşama karar aşamasıdır. yukarıdaki aralığın dışındadır. Bu sonuca göre alternatif hipotez kabul edilir, kalıntıların dizilişi rassal değildir ve modelde 1.dereceden otokorelasyon vardır.

2) Aşağıda sonuçları raporlanmış regresyon modeli ve otokorelasyonun varlığının araştırılması amacıyla yardımcı regresyon modeli verilmiştir.

Yardımcı regresyon

Otokorelasyonun varlığı hakkında karar veriniz.

Modelde bağımlıdeğişkenin gecikmeli değeri yer aldığı için DW testi,

olduğu için Durbin-h testi de kullanılamaz. Yardımcı regresyon sonuçlarından yararlanılarak Durbin’in alternatif testi kullanılmalıdır. Bu amaçla

‘nın katsayısı ‘ün anlamlılık testi için ‘nın katsayısı ‘ün anlamlılık testi için temel ve alternatif hipotezler kurulur.


Hesaplanan test istatistiğinin değeri, 0.05 anlamlılık düzeyinde 10-5=5 serbestlik

derecesi ile kritik değer ‘den küçüktür, istatistiksel olarak

anlamsızdır. Böylece birinci dereceden otokorelasyonun varlığı reddedilir, temel hipotez kabul edilir.

4 k

1 2 -1

2

0,89 1, 203 0,86 4,12

ˆ ( ) (1, 26) (0,89) (0,001) (1,02)

2,89 0,54 10

t t t t

i

Y X X Y

SE

DW R n

2 21 2 -1 -1

ˆ ˆ2,01 3,09 - 4,98 0,6 5,12 0,89

ˆ( )(1.94) (2.83) (3.65) (0.015) (4.81)

t t t t tu X X Y u R

Se

-1 tY

ˆ( ) 10 (1.02) 10.404 1nVar

1ˆtu 4 1

ˆtu 4

0 4

1 4

: 0

: 0

H

H

4

10 5

4

ˆˆ

t tSe

4

4

ˆ 5.121.06

ˆ 4.81t

Se

510 52.571ct t t 4

412

3) Aşağıdaki verilen sonuçlara göre otokorelasyonun varlığı hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Öncelikle DW test istatistiğinin hesaplanması gerekir.

Test istatistiğinin değeri 2’den küçüktür, otokorelasyon varsa negatif otokorelasyondur. Buna göre temel ve alternatif hipotezler;

Durbin-Watson tablosundan anlamlılık düzeyinde için ,

‘e eşittir.

için modelde pozitif otokorelasyon vardır.


Test istatistiğinin değeri 2’den büyüktür, otokorelasyon varsa negatif otokorelasyondur. Buna göre temel ve alternatif hipotezler;


‘e eşittir. Negatif otokorelasyon araştırıldığı için , ’ün

dönüşümleri kullanılır.

için modelde otokorelasyonun varlığı veya yokluğu hakkında bir sonuca varılamaz.

2 21

ˆ 20.858 1.942 17

ˆ ˆ ˆ23.491 42.140

t t

t t t

Y X n

u u u

2

1

2

ˆ ˆ 23.4910.557451

ˆ 42.140

t t

t

u uDW

u

0

1

: 0

: 0 ( veya 0)

H

H

0.05 ' 1k 1.133Ld

1.381Ud

0.557451 1.133LDW d

1 2ˆ 0.61 1.049 0.065 10 3.39t t tY X X n DW

0

1

: 0

: 0 ( veya 0)

H

H

0.01 ' 2k 0.466Ld

1.333Ud 0.466Ld 1.333Ud

4 2.664 3.39 4 3.534U Ld DW d

413


Test istatistiğinin değeri 2’den küçüktür, otokorelasyon varsa pozitif otokorelasyondur. Buna göre temel ve alternatif hipotezler;


‘e eşittir.

modelde otokorelasyonun varlığı veya yokluğu hakkında bir sonuca varılamaz.

6) modelinde ikinci dereceden otokorelasyonun varlığını araştırmak amacıyla aşağıdaki yardımcı regresyon tahmin edilmiştir.

Otokorelasyonun varlığı hakkında kararınız nedir?


Test istatistiğinin değeri:

anlamlılık düzeyinde tablo değeri ‘dir.

Test istatistiğinin hesaplanan değeri tablo değerinden büyük olduğu için hipotezi

reddedilir, hipotezi kabul edilir. Modelde 2. dereceden otokorelasyon vardır.


a) p=0.8 ise DW=0.5 ‘dir.

b) DW istatistiğinin değeri 2’den küçük ise pozitif otokorelasyon testi yapılır.

c) Ana kütle otokorelasyon katsayısı p ile gösterilir.

' 4(bağımsızdeğişkensayısı) 50 1.43 0.05k n DW

0

1

: 0

: 0 ( veya 0)

H

H

0.05 ' 4k 0.38Ld

1.72Ud

0.38 1.43 1.72L Ld DW d

13.89 0.95t tY X

21 2

ˆ ˆ ˆ2.07 0.97 6.3 15.1 11 0.83t t t tu X u u n R

0 1 2

1 1 2

: 0

: 0

H

H

2 11 0.83 9.13nR

0.05 2 22 5.991c

0H

1H

414

d) DW testi pozitif otokorelasyonun varlığını araştırır.

e) Sıra testi test istatistiği ki-kare dağılımına uygunluk gösterir.

8) Otokorelasyonun varlığı hâlinde tahmin edilen parametreler……, parametrelerin

varyansılarının tahmini……’dır/dir.

Yukarıdaki boşluklara sırasıyla gelmesi gerekenler hangi seçenekte verilmiştir?

a) En küçük değerli; en küçük değerli değil

b) Sapmasız ; sapmalı

c) Sapmalı sapmalı

d) Sapmasız; tutarsız

e) Sapmalı: sapmasız.

9) Aşağıdakilerden hangisi otokorelasyonun sembolik ifadesidir?

a)

b)

c)

d)

e) Hiçbiri

10) DW=2.18 ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

a) p= -0.09

b) Pozitif otokorelasyon testi yapılır.

c) Negatif otokorelasyon testi yapılır.

d) p= 1.04

e) p= 0.04

Cevaplar

7) b, 8) b, 9) c, 10) b

( , ) 0i jE u u i j

( , ) 0 1, ,i iE u u ı n

( , ) 0i jE u u i j

( , ) 0 1, ,i iE u u ı n

415


Bu bölümde otokorelasyon konusun ele aldık. Otokorelasyonun hata terimleri arasında ilişki olduğu anlamına geldiğini ve genellikle zaman serisi verilerinin kullanıldığı modellerde karşılaşılan bir sorun olduğunu belirttik. Otokorelasyon tespiti için alternatif test istatistiklerini tanıttık ve hangi şart altında kullanılabileceklerini açıkladık ve bu testlerle ilgili uygulamalar yaptık. Otokorelasyonun varlığı hâlinde kullanılacak parametre tahmin yöntemlerinin neler olduğunu verdik.

416

Bölüm Soruları

Aşağıda sonuçları raporlanan regresyon modelinde;

0tokorelasyonun varlığını araştırmak amacıyla

1) yardımcı regresyon tahmin edilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Birinci dereceden otokorelasyonun varlığı araştırılmaktadır.

b) Test istatistiğinin değeri 12,2 ‘ye eşittir.

c) Test istatistiği 1 serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına uygunluk gösterir.

d) Test istatistiğinin değeri 5.99’dır.

e) Modelde otokorelasyon yoktur.


a) Modelde kesim (otonom) parametre yoksa otokorelasyonun tespiti amacıyla Durbin-Watson testi uygulanamaz.

b) Durbin-Watson testi ile otokorelasyon katsayısı arasında ile

gösterilen ilişki vardır.

c) Durbin-Watson testi parametrik bir testtir.

d) Durbin-Watson testi ile ile gösterilen birinci dereceden otokorelasyonun varlığını araştırılır.

e) Durbin-Watson testi otoregresif modellere uygulamaz.

3) Otokorelasyonun varlığını araştırmak için kalıntıların işareti aşağıdaki gibi sıralanmıştır.

Yukarıdaki verilere göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

a) Birbirini takip eden işaret sayısı ‘ye eşittir.

2

1 2

2

ˆ 8.79 0.69 0.02 0.84 0.98

ˆ ˆ(2.38)(0.04) (0.005) 2,53 20

t t t

i

Y X X DW R

Se n

21 2 -1

ˆ ˆ2,01 3,09 -12,98 5,12 0,61t tu X X u R

1 2p DW

1t t tu u v

tu |

7k

417

b) Test istatistiği normal dağılıma uygunluk gösterir.

c) (+) sayısı , (-) sayısı ,

d) Birbirini takip eden işaret sayısı oluşturulan güven aralığının içinde ise alternatif hipotez kabul edilir.

e) ,

4) Aşağıdakilerden hangisi otokorelasyonun nedenlerinden biri değildir?

a) Hata terimlerinin birbirleriyle ilişkili olması

b) Modelin dışında bırakılan bağımsız değişken

c) Modelin fonksiyonel biçiminin yanlış belirlenmesi

d) Gecikmeli ilişkiler

e) Konjonktür ve şok etkisi

5) Aşağıda raporlanmış regresyon modeli tahminine göre,

aşağıdakilerden

hangisi doğrudur?

a) , 2’den büyük olduğu için DW testi ile negatif otokorelasyon testi yapılır.

b) Test istatistiği ki-kare dağılıma uygunluk gösterir.

c) Hipotez testleri

,

,

d) İkinci dereceden otokorelasyonun varlığı araştırılır.

e) Otokorelasyon katsayısının tahmini ‘e eşittir.

ˆiu 1 22n ˆiu 2 13n 35n

0 : 0H 1 : 0H

2

1 1

2

ˆ 18.9 6.09 3.841 3.65 0.36

ˆ ˆ(4.08)(2.81) (1.058) 29.02 15

t t t

i

Y X Y DW R

Se n

3.65DW

0 : 0H 1 : 0H

0 3: 0H 1 3: 0H

0.54p

418

6) Aşağıdakilerden hangisi p. dereceden otokorelasyonun araştırılması ile ilgili hipotezlerdir?

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e)

7) Aşağıdaki verilen sonuçlara göre;


a) Durbin Watson test istatistiği DW=0.84’ye eşittir.

b) Otokorelasyon katsayısının tahmini p=0.58’e eşittir.

c) Birinci dereceden otokorelasyonun varlığı araştırılmaktadır.

d) ,

e) anlamlılık düzeyinde , ‘dir.

8) Otokorelasyonun varlığı hâlinde aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

a) Tahmin edilen parametrelerin beklenen değeri ana kütle değerine eşit değildir.

b) Tahmin edilen parametreler en küçük varyanslı olma özelliğini devam ettirirler.

c) Hata teriminin varyansı olduğundan küçük tahmin edilmiştir.

d) Tahmin edilen prametreler etkinlik özelliklerini sürdürürler.

e) Belirginlik katsayısı etkilenmez.

0 1 2: pH 0 1 2: pH

0 1 2: 0pH p p p 0 1 2: 0pH p p p

0 : 0pH 0 : 0pH

0 1 2: 0pH 0 1 2: 0pH

0 1 2: ,pH p p p 0 1 2: pH p p p

2 21

ˆ 12.709 0.624 15

ˆ ˆ ˆ4.91 5.87

t t

t t t

Y X n

u u u

0 : 0H p 1 : 0 veya 0H p p

0.05 0.811Ld 1.070Ud

419

9) Breusch-Godfey otokorelasyon testi için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

a) p. dereceden otokorelasyonun varlığını araştırmak amacıyla kullanılır.

b) Test istatistiği ki-kare dağılır.

c) Parametrik bir testtir.

d) Test istatistiğinin serbestlik derecesi tahmin edilen parametre sayısı k’dır.

e) Test istatistiği tablo değerinden büyük ise temel hipotez reddedilir, modelde p.

dereceden otokorelasyonun varlığı kabul edilir.


a) DW test istatistiğinin değeri 2’den büyük ise negatif otokorelasyon testi yapılır.

b) Durbin h test istatistiğinin değeri h, ’dan küçük ise negatif otokorelasyonun varlığı söz konusudur.

c) p sıfır ise negatif otokorelasyon yoktur.

d) Sıra testi için güven aralığı aşağıdaki gibidir.

e)

Cevaplar

1) e, 2) c, 3) d, 4) a, 5) c, 6) d, 7) d, 8) c, 9) d, 10) e

2Z

2 2Prob 1.96 1.96 0.95k kE k k E k

EKONOMETRİ - İstanbul Üniversitesiauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/iktisat_ao/ekonometri.pdfSiz...

Documents

Transcript of EKONOMETRİ - İstanbul Üniversitesiauzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/iktisat_ao/ekonometri.pdfSiz...