EjerciciosEDOtema1 JAH

Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Aplicada Jah2011

Jah2011

Ecuaciones Diferenciales (0256)

Tema 1

Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden

1.- Determine el grado, el orden y linealidad de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) 0)cos( dxxxydy b) 0)'(2'''' 3 xyyyxyy

c) 0)'''( 43

2

2

xy

dxyd d) senxyxye y '''''

e) 1)()( 1098 yxyy vvii f) xexyxyxyxy 2635 3''''''

2.- Pruebe que las funciones de la columna derecha son soluciones de las ecuaciones diferenciales de la columna izquierda:

a) 0' yy xey b) xey ' 7 xey

c) 21

1''x

y

21 xxArcSenxy

d) yxy 2' 2cxy

e) 02

rsSenddrCos 2aSecr

f) 0' yyx 216 xy g) 0'2'' 2 yaayy axax xececy 21

h) 22

2

141 xy

dxdyx

dxyd

2xy

i) 02

2

2

2

yu

xu

xyArcTgyxu ),(

j) 2

22

2

2

xua

tu

)()(),( atxgatxftxu

3.- Demuestre que la ecuación diferencial 01)''( 22 yy no tiene solución.



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4.- Pruebe que las relaciones de la columna derecha definen soluciones implícitas de la ecuación diferencial de la columna izquierda

a) 0')2(12 yxyyy 22 )2(1 xy

b) xyy ' 0122 yx

c) 0' yee xyyx 122 xy ee

d) yxy ' 0122 yx

e) xeyy 2' xey 22

f) 22'yx

xyy

0)( 222 xyLny

g) 1

' 2

xxyy 122 cyx

5.- Pruebe que cada función de la columna izquierda es una familia 2-paramétricas de soluciones de la ecuación de la columna derecha

a) xxx eececy 222

1 0122'3'' xeyyy

b) )(211

21 xxLnxcxcy 0'''2 xyxyyx

c) bxax ececy 21 0')('' abyybay d) )( 21 cxCoscy 0'' yy e) xccy 21

3 0)'(2'' 2 yyy 6.- Encuentre una ecuación diferencial cuya solución es la familia n-paramétrica dada:

a) 3ccxy 3)'(': yxyyS b) )( cTgr rrrS 22':

c) 22

1 cxcy 0)'(''': 2 yxyyxyyS d) 2

21)( cxcyLn 0)'(''': 2 yxyyxyyS

e) xx ececy 221 02'3'': yyyS

f) 221 xcxcy

2''':

2 yxxyyS

g) )(1 xSencey )('1: xSecyyS h) 22 42 ccxy 0)'(4': 22 yyyxyyS



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7.- Encuentre una ecuación diferencial cuya solución es:

a) Una familia de parábolas con vértices en el origen y focos en el eje X. '2 : xyyS

b) Una familia de circunferencias con centro (h, k) y radio fijo a. 2232 )''())'(1( : yayS

c) Una familia de hipérbolas equiláteras cuyas asíntotas son los ejes coordenados.

0' : yxyS

d) Una familia de rectas que son tangentes a la parábola xy 22 . 01'2)'(2 : 2 yyyxS

e) Una familia 1-paramétrica de la ecuación diferencial ydxdy y la solución particular para la cual 1)3( y . 3 , : xx eyceyS

8.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) 0)1()1( 22 dyxdxy )1( : xycyxS b) 2)( rCotgr 2)( : cSecrS

c) 0)2()1( 2 dyxyydxy 12 : 2 ycxS d) dyySenadyySenxdxyxCos )()()( 22 )( : 222 ycCosxaS e) 0)()(1 dyyCosdxyTge x cyCosyCotgyCscLneS x )()()( : 1

f) )()(' xCotgyyLny )( : xcSeneyS g) 0)()1( 2 dxyArcTgyxdy )/( : xcTgyS

h) 0)()12( 22

dyyxydxxxe y cexxS y 2

2 : 2 i) 0)(2 22 dyyxxydx cyyxS 323 :

j) 0)( 2 ydxdyxyyx yxceyS /12 :

k) 0)()( dyyxdxyx cyxLnxyAecTgS 22)/( :

l) 0

dy

xyCos

xySen

yxdx

xyCos

xy cxyySenS )/( :

m) xdydyxyxLnydx 2

))()(1( : yLnxLncyS

n) 022

dyxeydxye y

xy

x cyLneS yx )(2 : /



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o) 0

dy

xyxSendx

xyySenxe x

y )/()/(()(2 : / xyCosxySenecxLnS xy

p) 0)123()123( dyyxdxyx

cyxcyxLnS )(

2511015 :

q) 0)363()2( dyyxdxyx cyxLnyxS 3233 :

r) 0)3)(()( 2 dyyyxCosdxySen cyyxSenS 3)( :

s) 0))(()23( 32 ySenexdxxex yy cxyCosexS y 23 )( : t) 0)()23( 2 dyxexdxyxe yy cyxexS y 23 : u) 0)()2)(( dyyxdxxyyyLn cyxyxLnS 2)( :

9.- Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, encontrar una solución particular que satisfaga la condición indicada en cada caso:

a) 0' yy , 1)1( y xeS 1y : b) 0)2()()2()( dyySenxCosdxyCosxSen , 2/)0( y 1)2()( : 3 yCosxCosS c) dxyxdyx )1()1( , 0)0( y xexyS )1)(1( :

d) 0)3( 2 dxxyxydy , 1)2( y 1232 2

213 : xeyS e) yxey ' , 0)0( y 2 : yx eeS f) xydydxyx 2)( 22 , 0)1( y xxyS 22 : g) xdydxyxe xy / , 0)1( y 1 : / xLneS yx

h) 0)/(' xyCscxyy , 0)1( y 01)/( : xyCosxLnS

i) 0)( 22 dyxdxyxy , 1)1( y 1/ : eexS yx j) 0)433()( dyyxdxyx , 0)1( y 1223 : yxLnyxS

10.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) 0)1()1( dyyxdxyx )1/((222)1( : xyArcTgceyxS

b) 0)1()2( dyydxyx

cyxLnyx

xS 11

2 :

c) 3' xyxy cxxyS 44 : d) )(' 2 xLnyyxy 1)( : cxyyxyLnS

e) 0)2(2

dxdyexy y )( :2

cyexS y f) )()(' Tgerr 1)(()(2 : TgecSecrS



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g) 1

21' 2

xxyy ))()(1(y : 2 cxArcTgxS

h) 3' xyyy 212-2y : xceS x

i) 2/53 )1(2')1( yyxyx

)1(4

31

)1(y : 22

23/2-

xxxxxcS

j) )(ktESenRidtdiL

222

/ )()(( :LkR

ktkLCostktRSenEceiS LRt

k) xeyy 232' xecxS 2)3(y : l) )(' 2 xSenxyxy )(y : xxCoscxS

m) 0' 2 yxyxy

cxxS 2

2y :

11.- Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales (Soluciones sucesivas de 1er orden):

a) 0''' yxy 21y : cxLncS

b) 1' yxy 21y : cxLncxS

c) 2''' xyxy 22

13 )3/(y : cxcxS

d) 1'2''2 xyyx 21

1y : cxcxLnS

e) 0)'('' 2 yy 21y : ccxLnS

f) 1)'('' 2 yy 21y : ceceLnS xx

g) 0 ,0''' 2 kyky kxkx ececS 21y : h) 0 ,0''' 2 kyky )()(y : 21 kxSenckxCoscS i) '2'' yyy posiblessolucionesS 3 :

j) 32'' yy

2

14

: ccy

dyxS

k) 1)0(' ,0)0( ,0)1(2'' 2 yyyyy )(y : xTghS 12.- Para las siguientes familias de curvas, encontrar una familia 1-paramétrica de trayectorias isogónales, donde el ángulo de intersección, medido desde la familia pedida hacia la familia dada, es el ángulo indicado en cada caso:

a) 4/ ,42 cxy

c

xyxArcTgyxyxLnS

72

762 : 22

b) 4/ ,222 cyx cxyArcTgyxcLnS )/(2)(y : 22



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c) 4/ ,2 22 cxxyy cxyS : d) 6/ , xcey cxyLnyS 3)13(3 : 4

e) 3/ ,2 cyx

cxS23132y :

f) 4/ ,22 cyx cyxyxS 22 2y : 13.- Encontrar las ecuaciones de las trayectorias ortogonales de cada una de las siguientes familias de curvas:

a) 2cxy cyxS 22 2 : b) cyxyx 22 2 cyxyxS 22 2 : c) 222 )( ccyx cyxS 22 : d) xceyx 2 : ycexS y e) 222 cyx cxyS : f) cxy 42 cyxS 222 : g) Familia de rectas que pasan por el origen. 222 : cyxS h) Familias de círculos que pasan por el origen y tienen centro en el eje X.

cyyxS 22 : i) Familia de hipérbolas equiláteras cuyas asíntotas son los ejes coordenados.

cyxS 22 : j) Demuestre que la familia )(42 cxcy es ortogonal a si misma.

Problemas de Aplicación de las Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden

1. La población de una comunidad se duplica en 50 días. ¿ En cuantos días se triplicará? (Sol: 79 días)

2. Suponga que la vida media del radio en una pieza de plomo es de 1.500 años. ¿Qué porcentaje de la cantidad inicial de radio se encontrará en la pieza de plomo al cabo de 2.500 años? (Sol: 31%)

3. Si el 1,7% de una sustancia se descompone en 50 años. ¿Qué porcentaje de la sustancia estará presente después de 100 años? ¿Cuántos años se requieren para que se desintegre el 10%? (Sol: 96,6%; 307 años)

4. Un cultivo consta de 100.000 bacterias inicialmente. En 2 ½ horas el número de bacterias aumenta en un 10%. a) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que existan 200.000 bacterias en el cultivo?



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b) ¿Cuántas bacterias habrán en el cultivo al cabo de 10 horas? (Sol: 18,2 h.; 146.400)

5. La población de un país se duplica en 50 años. Si la población actual es de 20.000.000 a) ¿Cuándo será la población de 30.000.000? b) ¿Cuántos habitantes tendrá el país en el 2021? (Sol: año 2040; 22.970.000 aprox.)

6. El 10% de una sustancia se desintegra en 100 años. Calcule el tiempo de vida media de la

sustancia. (Sol: 658 años)

7. El número de bacterias en un cultivo se duplica en 3 horas. Al cabo de 15 horas, el número de bacterias es 1.000.000. Calcular el numero inicial de bacterias (Sol: 31.250)

8. Por crecimiento natural, una ciudad de 40.000 habitantes duplicaría su población en 50 años. Sin embargo, la población aumenta adicionalmente en 400 personas cada año debido a mudanzas. Estime la población al cabo de 10 años. (Sol: )

9. Por crecimiento natural, una ciudad de 40.000 habitantes duplicaría su población en 50 años. Sin embargo, la población disminuye adicionalmente en 400 personas cada año debido a mudanzas. Estime la población al cabo de 10 años. (Sol: )

10. El volumen de una gota de lluvia esférica aumenta a medida que cae debido a la adhesión a su superficie de partículas de niebla. Asuma que la gota retiene su forma esférica durante su caída y que la tasa de variación de su volumen con respecto a la distancia que ha caído, es proporcional al área de la superficie de la gota en ese instante. (Tome r0 como Radio inicial). Calcular el radio de la gota como una función de y. (Sol: r = r0 +k y )

11. Un cuerpo cuya temperatura es 100ºC se coloca en un medio que se mantiene a una temperatura constante de 20ºC. En 10 minutos la temperatura del cuerpo baja a 60ºC. a) Encontrar la temperatura T del cuerpo como función del tiempo t.

(Sol: )41(20 06931.0 teT ºC) b) Calcular T para t = 40 min. (Sol: 25ºC) c) Calcular t para T = 50ºC. (Sol: 14,2 min)

12. Un objeto cuya temperatura es 20ºC se coloca en un medio cuya temperatura se mantiene

en 60ºC. Al cabo de 5 minutos la temperatura del objeto es de 30ºC. a) Encontrar la temperatura del objeto al cabo de 20 minutos. (Sol: 47,3ºC) b) ¿Cuándo la temperatura del objeto alcanzará los 40ºC? (Sol: 12 min)

13. La temperatura en una habitación es 70ºF. Un termómetro que se encontraba en la

habitación es llevado al exterior. Al cabo de 5 minutos la lectura del termómetro es de 60ºF y 5 minutos más tarde, 55ºF. Encontrar la temperatura del Exterior. (Sol: 50ºF)



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14. Un cilindro circular recto de 1 metro de radio y 1 metro de altura, cuyo eje es vertical,

está lleno de agua. ¿En cuánto tiempo se vaciará el cilindro si tiene un orificio de 4 cm2 en el fondo? (Use 32 g )

15. Un cilindro circular recto de 1 metro de radio y 1 metro de altura, cuyo eje es horizontal, está lleno de agua. ¿En cuánto tiempo se vaciará el cilindro si tiene un orificio de 4 cm2 en el fondo? (Use 32 g )

16. Un embudo de 10 cm de diámetro en la parte superior y 1 cm de diámetro en la parte inferior tiene una altura de 24 cm. Si se llena de agua, ¿cuánto tardará en vaciarse? (Sol: 30,6 seg)

17. Un tanque tiene la forma de un cubo de 3,67 mts de arista y en su base hay un orificio de 12 cm2. Si inicialmente el tanque está lleno en sus tres cuartas partes; ¿cuándo estará: a) lleno hasta la mitad? (Sol: 26,3 min) b) vacío? (Sol: 2,4 horas)

18. Un tanque tiene forma de una pirámide de base cuadrada truncada, (como se muestra en la figura), con lados de la tapa superior L = 4 m y la tapa de la base l = 2 m y altura H = 2m. Inicialmente está lleno de agua. Encuentre el tiempo requerido para vaciar este tanque, a través de un pequeño orificio circular, de 1cm de radio, en el fondo. (Tome 32 g )

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