EJERCICIOS SOBRE FUNCIONES

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Ejercicios ResueltosCapıtulo IFunciones

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PROBLEMA 1:

Considere las funciones f (x) =√

x + 2 y g(x) = x2 − 1

encontrar los valores de x, para los cuales

(f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x)

Solucion:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x2 − 1) =√

x2 − 1

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(√

x + 2) = (x + 2)− 1 = x + 1

por lo tanto:√

x2 − 1 = x+1 ⇐⇒ x2+1 = x2+2x+1 ⇐⇒2x = 0 ⇐⇒ x = 0

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PROBLEMA 2:

Encontrar la funcion inversa de f (x) =

√1− 1

x

¿ coincide el dominio de f con el de f−1?

Solucion:

Sea y =

√1− 1

x=⇒ y2 = 1− 1

x=⇒ 1

x= 1− y2 =⇒ x =

1

1− y2por lo tanto f−1(x) =

1

1− x2

El dominio de f es: Df = {x ∈ IR | 1 − 1x≥ 0} =

(−∞, 0) ∪ [1,∞)

El dominio de f−1 es: Df−1 = {x ∈ IR | x2 6= 1} =IR− {−1, 1}

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PROBLEMA 3:

Considere la funcion:

f (x) =

{x2 si x ≤ 01x2 si x > 0

Hallar su dominio y rango, ası como el de su inversa.

Solucion:

El dominio de f son todos los numeros reales, y su rangoes [0,∞).En el intervalo (−∞, 0), no tiene inversa, pero la funcionrestringida al intervalo [0,∞) tiene como inversa:

f−1(x) =

{0 si x = 01√x

si x > 0

Tanto el dominio como el rango de f−1 es [0,∞).

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PROBLEMA 4:

Una determinada cooperativa ha calculado que su cosechaanual de manzanas es de 100 000 kg, que piensa vender a razonde 7.00 pesos/kg. Cada semana que transcurre se estropean 2 000kg de manzanas, y para compensar la perdida, los miembros dela cooperativa aumentan en 1.40 pesos el precio del kilogramopor cada semana que pasa. Escribir la funcion que determina elvalor de las manzanas, dependiendo de las semanas transcurridas.

Solucion:

Si transcurren x semanas, el numero de manzanas que hayes 100000-2000x, y el kilo cuesta 7.00 + 1.4x pesos, luego elprecio total de las manzanas es:f(x)=(100000-2000x)(7.00 + 1.4 x ) pesos.

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PROBLEMA 5:

Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones:

a) f (x) =1

x2 + 1

Solucion:

x2 + 1 6= 0 para toda x ∈ IR, por lo tanto el dominiode f es todo IR, y como x2 + 1 ≥ 1 el rango es (0, 1].

b) g(x) =√

x2 − 4

Solucion:

g tiene sentido si x2 − 4 ≥ 0, ⇐⇒ x2 ≥ 4 =⇒Dg = (−∞,−2] ∪ [2,∞), y su rango es [0,∞).

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PROBLEMA 6:

Considerar las funciones f (x) =√

x + 1 y g(x) = x2 − 1,encontrar:

a) El dominio de f d) (fg)(x)

b) El dominio de g e) (f ◦ g)(x)

c) (f + g)(x) f) (g ◦ f )(x)

Solucion:

Para f : Dominio [−1,∞), rango: [0,∞).

Para g: Dominio (−∞,∞), rango: [−1,∞).

(f + g)(x) =√

x + 1 + x2 − 1, (f · g)(x) = (x2 +1)√

x + 1.

(f ◦ g)(x) =√

x2 − 1 + 1 = |x|, g ◦ f )(x) =(√

x + 1)2 − 1 = x.

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PROBLEMA 7:

Encontrar el dominio, rango, periodo y ceros y = |senx|.

Solucion:

El dominio de f es IR, su rango es [0, 1] y su periodo es π.Los ceros de la funcion son 0, π, 2π

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PROBLEMA 8:

Encontrar la funcion inversa de f (x) =x + 1

x

Solucion:

f no existe si x = 0, luego six + 1

x= y =⇒ x + 1 =

xy ⇐⇒ x(y − 1) = 1 ⇐⇒ x =1

x− 1

Por lo tanto f−1 =1

x− 1

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PROBLEMA 9:

Para la siguiente funcion f (x) =√

1− x, hallar:

a) Su dominio c) f ◦ 1f

b) f ◦ f d) f−1 y su dominio

Solucion:

Dominio: x ∈ IR, tales que 1 − x ≥ 0 =⇒ x ≤ 1, por lotanto el dominio es (−∞, 1].

(f ◦ f )(x) = f (√

1− x) =

√1−

√1− x

(f ◦ 1

f)(x) = f

(1√

1− x

)=

√1− 1√

1− x√

1− x = y =⇒ 1− x = y2 =⇒ x = 1− y2, luego, f−1

existe en (−∞, 1] y f−1(x) = 1− x2.

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PROBLEMA 10:

Encontrar el dominio y los ceros de la siguiente funcion ra-cional:

f (x) =x2 + x− 2

x2 − 9

Solucion:

Dominio: {x ∈ IR | x2 − 9 6= 0} = {x ∈ IR | x2 6= 9} =IR− {−3, 3}Ceros: {x ∈ IR | x2 +x− 2 = 0} = {x ∈ IR | (x+2)(x−1) = 0} = {−2, 1}

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PROBLEMA 11:

Encontrar el dominio de las siguiente funciones:

a) f (x) =1

−1 +√

x + 1

b) g(x) =√

x + 1 +√

x + 2

Solucion:

a) El dominio de f es:Df = {x ∈ IR | − 1 +

√x + 1 6= 0, x + 1 ≥ 0} = {x ∈

IR|x ≥ −1, x 6= 0} = [−1, 0) ∪ (0,∞)

b) El dominio de g es:Dg = {x ∈ IR | x + 1 ≥ 0, x + 2 ≥ 0} = {x ∈ IR|x ≥−1, x ≥ −2} = [−1,∞)

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PROBLEMA 12:

Sea f (x) =2x− 1

1 + 2x

encontrar: a) f

(1

x

)y f

(1 + x

2− 2x

)Solucion:

a) f

(1

x

)= f

( 2x− 1

1 + 2x

)=

2−xx

2+xx

=2− x

2 + x

b) f

(1 + x

2− 2x

)=

2(

1+x2−2x

)− 1

1 + 2(

1+x2−2x

) =2+2x−2+2x

2−2x2−2x+2+2x

2−2x

=4x

4= x

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PROBLEMA 13:

Considerar la funcion:

f (x) =

{3 si −3 ≤ x ≤ 25− x si 2 < x ≤ 6

Encontrar el rango de f y demostrar que no es inyectiva.

Solucion:

Como 2 < x ≤ 6 =⇒ −6 ≤ −x < −2 =⇒ 5 − 6 ≤5− x < −2 + 5 =⇒ −1 ≤ 5− x < 3 y como f (x) = 3 para−3 ≤ x ≤ 2, el rango de f es [−1, 3].

Claramente f no es inyectiva pues f (0) = 3 = f (1) y 0 6= 1.

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PROBLEMA 14:

Econtrar el dominio de f ◦g si f (x) =1

2x− 2y g(x) =

2

x− 4.

Solucion:

El dominio de f es Df = {x ∈ IR | 2x − 2 6= 0} ={x ∈ IR |x 6= 1} = IR− {1}

El dominio de g es Dg = {x ∈ IR |x − 4 6= 0} = {x ∈IR |x 6= 4} = IR− {4}

El dominio de f ◦ g es Dg − {x ∈ IR | g(x) = 1} =IR− {4} −

{x ∈ IR | 2

x−4 = 1}

= IR− {4, 6}

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PROBLEMA 15:

Hallar la funcion inversa de

f (x) =

{1− x si x ≤ −13−x

2 si x > −1

Solucion:

f (x) =

{1− x si x ≤ −1 rango: [2,∞)3−x

2 si x > −1 rango: −∞, 2)

f−1(x) =

{1− x si x ≥ 23− 2x si x < 2

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PROBLEMA 16:

Encontrar el dominio y rango de la funcion f (x) =√

x2 + 2.

Solucion:

El dominio de f es {x ∈ IR | x2 + 2 ≥ 0} = IR

El rango es el intervalo [√

2,∞)

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PROBLEMA17:

A partir de las funciones f (x) =2x− 1

2y g(x) = x2 + 2,

calcular:

a) (f + g)(2) c) (f · g)(3)

b) (f − g)(−2) d)(

fg

)(−3)

Solucion:

a) (f+g)(2) = f (2)+g(2) =2 · 2− 1

2+(22)+2 =

3

2+6 =

15

2

b) (f − g)(−2) = f (2)− g(2) =(2)(−2)− 1

2− (−2)2− 2 =

−5

2− 6 =

−17

2

c) (f · g)(3) = f (3) · g(3) =2(3)− 1

2· (32 + 2) =

5

2· 11 =

55

2

d)

(f

g

)(−3) =

f (−3)

g(−3)=

2(−3)−12

(−3)2 + 2= − 7

22

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PROBLEMA18:

Encontrar el dominio de f + g, f − g, f · g si f (x) = 1x−2 y

g(x) = 23+x

.

Solucion:

El dominio de f es el conjunto Df = {x ∈ IR |x 6= 2} yel dominio de g es el conjunto Dg = {x ∈ IR |x 6= −3}

Por lo tanto el dominio de f + g, f − g, f · g es igual aDf ∩ Dg = IR− {−3, 2}.

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PROBLEMA 19:

Hallar el dominio de f/g si f (x) =√

2x− 2 y g(x) =√2− x.

Solucion:

El dominio de f es el conjunto Df = {x ∈ IR | 2x− 2 ≥ 0} =[1,∞) y el dominio de g es el conjunto Dg = {x ∈ IR | 2 ≥x} = (−∞, 2]

Por lo tanto el dominio de f/g es el conjunto:Df∩Dg−{x ∈ IR | g(x) = 0} = [1,∞)∩(−∞, 2] = [1,∞)∩(−∞, 2]−{x ∈ IR |

√2− x = 0} = [1,∞)∩(−∞, 2]−{x ∈

IR |x = 2} = [1,∞) ∩ (−∞, 2]− {2} = [1, 2)

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PROBLEMA 2O:

Encontrar f ◦ g y g ◦ f si f (x) = xx−2 y g(x) = 2

1−x

Solucion:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = g(x)g(x)−2 =

21−x2

1−x−2 =2

1−x2−2+2x

1−x= 2

2x= 1

x

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = 21−f(x) = 2

1− xx−2

= 2x−2−x

x−2= 2

−2x−2

=2(x−2)−2 = 2− x

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PROBLEMA 21:Considerar la funcion f (x) = 2x− 4

a). Demostrar que es inyectiva en todo su dominio

b). Encontrar su funcion inversa e indicar su dominio

c). Comprobar que (f ◦ f−1)(x) = (f−1 ◦ f )(x) = x

Solucion:

Claramente el dominio de la funcion es el conjunto de losnumeros reales, luego ∀a, b ∈ IR, tales que f (a) = f (b) =⇒2a − 4 = 2b − 4 =⇒ 2a = 2b =⇒ a = b, por lo tanto f esinyectiva.

Sea y = f (x) =⇒ y = 2x− 4 =⇒ y + 4 = 2x =⇒ x = y+42

por lo tanto la funcion inversa es f−1(x) = x+42 y su dominio

son todos los numeros reales.

(f ◦ f−1)(x) = f (f−1(x)) = f (x+42 ) = 2(x+4

2 ) − 4 =x + 4− 4 = x, por otro lado

(f−1 ◦ f )(x) = (f−1)(f (x)) = (2x−4)+42 = 2x

2 = x

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PROBLEMA 22:

Sean f (x) =√

x− 1 y g(x) = x2, resolver la ecuacion(f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x)

Solucion:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) =√

x2 − 1 ademas (g ◦ f )(x) =g(f (x)) = (

√x− 1)2 = x− 1.

igualando las expresiones anteriores tenemos:

√x2 − 1 = x − 1 ⇐⇒ x2 − 1 = (x − 1)2 ⇐⇒

x2 − 1 = x2 − 2x + 1 ⇐⇒ 2x = 2 ⇐⇒ x = 1

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PROBLEMA 23:

Estudiar el tipo de simetrıa que tiene la siguiente funcionseccionada:

f (x) =

{x2 − 1 si |x| ≥ 38 si x ∈ (−3, 3)

Solucion:

Se estudia la simetrıa en cada seccion:

f (−x) =

{(−x)2 − 1 si |x| ≥ 38 si x ∈ (−3, 3)

Luego

f (−x) =

{x2 − 1 si |x| ≥ 38 si x ∈ (−3, 3)

Por consiguiente f es par pues f (x) = f (−x).

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PROBLEMA 24:

Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas ofalsas:

a) Una funcion tiene que ser necesariamente par o impar.

b) Si el dominio de f es [0,∞), entonces f no puede ser par.

c) Una funcion que tiene un eje de simetrıa es necesariamentepar.

d) Si f (x) es una funcion par, entonces −f (x) es impar.

Solucion:

a) Falso. La funcion f (x) = x2 + x no es ni par ni im-par.b) Verdadero. Si el dominio de f es [0,∞), entonces f (−x) notiene sentido para x > 0 y, por lo tanto, no puede cumplirse quef (x) = f (−x), es decir, f no puede ser par.c) Falso. La funcionn f (x) = x2 − 6x + 8 tiene como eje desimetrıa el eje de la parabola y no es par.d) Falso. f (x) = |x| es par y, sin embargo, −f (x) no es impar.

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PROBLEMA 25:

Demostrar que las funciones f (x) = x3 +1 y g(x) = 3√

(x− 1)son inversas la una de la otra.

Solucion:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( 3√

(x− 1)) = ( 3√

(x− 1))3 + 1 =(x− 1) + 1 = x =⇒ (f ◦ g)(x) = x

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x3 + 1) = 3√

x3 + 1− 1 =3√

x3 = x =⇒ (g ◦ f )(x) = x

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