Ejercicios Resueltos Conicas
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7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
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Las cnicas responden a la ecuacin general del tipo F( x , y ) = 0La ecuacin general de una cnica es:
0
minmincosmin
22 =+++++nteindependieotr
linealesostrcuadrtioctr
FEyDxCyBxyAx (I)
Bxy trmino rectangular, cuando aparece este trmino significa la cnica estarotada, en esta gua slo vamos a ver B=0(sin termino rectangular)
CIRCUNFERENCIA: Definicin: Es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de un punto llamado
Centro y esa distancia es el radio. Ecuacin Cannica: 222 )()( ryx =+
Centro: ),( Radio: r En (I) A=B Cuando en (I) aparece A=B es del tipo Circunferencia, pero puede degenerar en un punto
o en no existe lugar geomtrico.
1) 1.1 Halle y grafique el lugar geomtrico de los puntos P(x,y)que distan 3 unidades de C(-2,3).1.2 Traslade los ejes coordenados de forma tal que el nuevo origen de coordenadas sea C(-2,3).Cules son las coordenadas de C en el sistema trasladado?1.3 Exprese la ecuacin de la cnica que obtuvo en 1 tomando como referencia el sistema(Ci,j)
1.1 C(-2.3) r=3Reemplazamos directamente en la ecuacin cannica de la Circunferencia:
222 )()( ryx =+
9)3()2(22
=++ yx1.2 Traslade los ejes coordenados de forma tal que el nuevo origen de coordenadas
sea C(-2,3).Cules son las coordenadas de C en el sistema trasladado?
Las ecuaciones de traslacin son:
=
=
yy
xx
'
'donde ),( es el centro de la circunferencia
=
+=
3'
2'
yy
xx
1.3 Exprese la ecuacin de la cnica que obtuvo en 1 tomando como referencia elsistema (Ci,j)Reemplazando las ecuaciones de traslacin en la ecuacin cannica obtenemos:
9''22 =+ yx
2) Halle las ecuaciones de las siguientes circunferencias:2.1 C(3,-4), r = 5
-
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Directamente reemplazamos el centro y el radio en la ecuacin cannica de la circunferencia:222 )()( ryx =+
25)4()3( 22 =++ yx
2.2 C(2,-1), pasa por el origen
En la ecuacin cannica de la circunferencia reemplazamos el centro:222
)()( ryx =+ 222 )1()2( ryx =++
Como el origen pertenece a la circunferencia verifica la ecuacin:222
)10()20( r=++214 r=+ 52 =r
5)1()2( 22 =++ yx
2.3 Su centro esta sobre el eje Y; que pasa por A(-1,1) y B(2,3)
222 )()( ryx =+
Como el centro esta sobre el eje y, cualquier punto del eje la componente x vale cero,
reemplazando en la ecuacin:
222)()0( ryx =+ (I)
El punto A verifica la ecuacin, reemplazamos en (I)222 )1()01( r=+
Lo mismo el punto B:222
)3()02( r=+
=++
=++
)(694
)(211
22
22
IIr
Ir
Igualando (I) y (II)
22 61322 +=+ 21326 = 114 = 4
11=
Reemplazando el valor de4
11= en 222 )1()01( r=+
22)4
111(1 r=+
2
16
491 r=+ 16
652=r
Reemplazamos en (I) : 222 )()0( ryx =+
16
65)
4
11( 22 =+ yx
-
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2.4 Su centro esta sobre la recta 2x + y = 0, que pasa por el origen y su radio es 5 .
Si el centro ),( esta sobre la recta verifica la ecuacin de la recta: y=2x 2=
Reemplazamos en la ecuacin cannica de la circunferencia 2= y r = 5222 )()( ryx =+
5)2()(22 =+ yx *
Pasa por el origen (0,0) pertenece a la circunferencia:5)20()0( 22 =+
5422 =+
55 2=
12= 11 ==
Reemplazamos en *:
5)2()1( 22 =+ yx o 5)2()1( 22 =+++ yx
3) Analice si las siguientes ecuaciones representan circunferencias e indique, cuandosea posible, las coordenadas del centro y el valor del radio:
12641.3 22 =++ yxyx
Completamos cuadrados, asociamos los trminos en x e y:
12)6()4( 22 =++++ yyxx
Dividimos el coeficiente del trmino lineal por 2(ese valor va a ser el segundo trmino
del binomio) y lo elevamos al cuadrado
Ese trmino lo sumamos a ambos miembros para que no altere la expresin
9412)96()44( 22 ++=++++ yyxx
25)3()2(22 =++ yx
Es una circunferencia de centro (-2,3) y radio 5
010242.322 =+++ yxyx
10)2()4( 22 =++++ yyxx
1410)12()44(22 ++=++++ yyxx
5)1()2( 22 =++ yx
Si observamos tenemos dos trminos elevados al cuadrado sumando, nunca nos puede dar unnmero negativo no existe lugar geomtrico
010623.3 22 =+++ yxyx
10)6()2( 22 =++++ yyxx
1910)96()12( 22 ++=++++ yyxx
0)3()1(22 =++ yx
Para que la suma de dos trminos nos de por resultado el valor cero puede pasar que los dos
trminos sean opuestos o los dos nulos, como estn elevados al cuadrado la nica alternativa esque sean cero.
-
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El valor de x que hace cero el primer trmino es 1 y el valor de y que hace cero el segundo
trmino es -3 Es el punto (1,-3)
Como podemos observar en estas tres ecuaciones, los coeficientes de los trminos cuadrticosson iguales, eran del tipo circunferencia, pero vimos que podan degenerar en un punto o no
existe lugar geomtrico.
4) Para qu valores reales de k las siguientes ecuaciones representan:i) circunferenciasii) puntos (escrbalos)iii) ningn lugar geomtrico real
021.4 22 =+++ kxyxCompletamos cuadrados.
2)( 22 =+++ ykxx
42)
4(
22
22 ky
kkxx +=+++
4
8)
2(
222 =++
ky
kx
Circunferencia:4
82 k>0 82 >k 8>k 22>k
Punto:4
82 k= 0 82 =k 8=k 22=k
k = 22 P(- 2 ,0)
k = - 22 P( 2 ,0)
No existe lugar geomtrico:4
82 kk
013462.4 22 =+++ kykxyx
kyykxx 13)4()6( 22 =++++
4913)44()96(2222
++=++++ kkyykkxx4139)2()3( 222 +=++ kkykx (*)
4139 2 + kk =0
18
513
18
2513 =
=k k = 1 k =
9
4
-
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- Cualquier valor entre9
4y 1 que reemplace en (*) no da por resultado un valor negativo,
los dems valores dan positivo.
k>1 k>9
4circunferencia
k = 1 k = 9
4Punto
k9
4 no existe lugar geomtrico
01464443.4 22 =++++ kkyxyx
Asociamos los trminos en x e y y en ambos casos sacamos factor comn 4
14)4
6(4)(4 22 =++++ kkyyxx
2222
49114)
169
23(4)
41(4 kkkkyyxx ++=++++
Tengamos en cuenta que al sumar4
1en el 1 miembro esta afectado por el 4, entonces en el 2
tengo que sumar4
1por 4. Lo mismo que el
16
9k2
kkkyx 44
9)
4
3(4)
2
1(4 222 =++
0)4
4
9( =kk
=
=
9
16
0
k
k
Puntos
=
=
)3
4,2
1(9
16
)0,2
1(0
k
k
k>0 y k son dos puntos0= un punto
0
-
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222 )333()2( rxx =+++222 )63()2( rxx =++
03636944 222 =++++ rxxxx0)40(3210 22 =++ rxx
0= 0)40(10.432 22 = r
040160010242 =+ r 57640 2 =r
5722 =r
5
72)3()2( 22 =++ yx
PARBOLA: DEFINICIN: Es el lugar geomtrico de los puntos P(x, y) que equidistan de una recta
fija llamada directriz y un punto fijo llamado foco. Vrtice ),(
En la ecuacin general de una cnica: 022
=++++ FEyDxCyAx , para que sea del tipoparbola A C tiene que ser cero Tengamos en cuenta que una parbola puede degenerar en un par de rectas, 1 recta o no
existe lugar geomtrico Eje focal paralelo al eje x
Vrtice : ),(
Foco: ),2
( +p
Directriz:2
py =
Lado recto: p2 Eje focal: =y
Ecuacin: )(2)( 2 = xpyEje focal paralelo al eje y:
Vrtice : ),(
Foco: )2
,( +p
Directriz:2
px =
Lado recto: p2
Eje focal: =x
Ecuacin : )(2)( 2 = ypx
6) Halle y grafique el lugar geomtrico de los puntos P( x , y ) que equidistan:6.1 del punto F(1,0) y de la recta x = -1
Si dibujamos la recta y el foco nos damos cuenta que la parbola es de eje focal coincidente con
el eje x y que el vrtice es el origen:
-
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)(2)( 2 = xpy
pxy 22 = por ser )0,0(),( =V
F(1,0) 12
=p
p=2 2p=4
Reemplazamos en la ecuacin xy 42 =
6.2 del punto F(0,-5) y de la recta y = 5.
Si analizamos como en el ejercicio anterior , concluimos que eje focal es coincidente con el eje y
y que tambin el vrtice es el origen
)(2)( 2 = ypx
pyx 22 =
F(0,-5) 52
=p
p = -10 2p = -20
yx 202 =
7) Obtenga las ecuaciones de las siguientes parbolas:7.1 V(0,0) , F(-2,0)El foco esta sobre el eje x eje focal x
Como el vrtice es el origen ecuacin : pxy 22 =
Foco(-2,0) 22
=p
p = -4 2p = -8
xy 82 =
7.2 V(0,0)pasa por P 0 (2,3) y su eje focal es el eje x
pxy 2
2 =
Si pasa por el punto P 0 (2,3) verifica la ecuacin 2.232 p=
2
92 =p
xy2
92 =
7.3V(-4,3)F(-4,1)Si marcamos estos puntos concluimos que la parbola es de eje paralelo al eje y
)(2)( 2 = ypx
reemplazamos las componentes del vrtice
)3(2)4( 2 =+ ypx
El foco es )2
,( +p
=(-4,1)
Si a este par ordenado le restamos las componentes del vrtice nos da p/2 22
=p
p = 4
2p = 8Por ltimo reemplazamos en la ecuacin
-
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)3(8)4( 2 =+ yx
7.4 Eje paralelo al eje x, V(1,3), que pasa por (-1,-1)Eje paralelo al eje x )(2)( 2 = xpy
Vrtice =(1,3) )1(2)3( 2 = xpy
pasa por (-1,-1) verifica la ecuacin: )11(2)31( 2 = p16 = 2p(-2) 2p = -8
)1(8)3( 2 = xy
8) Para cada una de las siguientes ecuaciones8.1 04352 2 =++ xyx
8.2 322 += xxy
8.3 722 += yyxse pide:a) Completando cuadrados obtenga una ecuacin del tipo
)(2)()(2)(22 == xpyypx
b) Efectu una traslacin conveniente para que el nuevo origen de coordenadas coincidecon el vrtice de la parbola.
c) Obtenga las coordenadas del foco y del vrtice, la longitud del lado recto y lasecuaciones de la directriz y del eje focal(sugerencia: use las ecuaciones quecaracterizan la traslacin) .
d) Grafique
8.1 04352 2 =++ xyxCompletamos cuadrados, asociamos los trminos en x y sacamos factor comn 2
45)2
3(2
2 =+ yxx
8
945)
16
9
2
3(2 2 +=+ yxx
8
235)
4
3(2
2 = yx
)40
23
(5)4
3
(2
2
+= yx
respuesta: a) )40
23(
2
5)
4
3( 2 += yx
Vrtice : )40
23,
4
3( , parbola de eje focal paralelo al eje y
-
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ecuaciones de traslacin:
+=
=
40
23'
4
3'
yy
xx
reemplazando en la ecuacin obtenida en a)
'
2
5'2 yx = respuesta b)
2p =2
5 p =
4
5
8
5
2=
p
S(O,x,y) S(O,x,y)
Vrtice (0,0) )40
23,4
3(
Foco(0,-
8
5) )8
540
23,4
3(
Eje focal X=0x-
4
3=0
Directriz
Y= 8
5
Y+ 40
23
= 8
5
Lado recto
25 2
5
8.2 322 += xxya)
13)12( 2 +=+ yxx
2)1(2 = yx
b) ecuaciones de traslacin que reemplazamos en la ecuacin
=
=
2'
1'
yy
xx
''2
yx =2p = 1 p =
2
1
4
1
2=
p
S(O,x,y) S(O,x,y)
Vrtice (0,0) )2,1(
Foco(0,
4
1) (1,2+
4
1)
Eje focal X=0x-
4
3=0
Directriz Y= -41 Y-2= -
41
Lado recto 1 1
8.3 722 += yyx
722 = xyy
-
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17)12( 2 +=+ xyy
6)1( 2 = xy
a) )6()1(2 += xy
b)
=
+=
1'
6'
yy
xx ''2 xy =
2p = -1 p = -2
1 4
1
2=p
S(O,x,y) S(O,x,y)
Vrtice (0,0) (-6,1)
Foco(-
4
1,0) (
4
25 ,1)
Eje focal Y=0 y-1=0
Directrizx=
4
1x+6=
4
1
Lado recto 1 1
9) Halle la ecuacin del arco parablico de base b y altura h representado en la figura.
Como observamos en la figura de la gua es una parbola de eje paralelo al eje y, cuya ecuacin
es: )(2)( 2 = ypx (I)
(0,0) pertenece a la parbola )0(2)0( 2 = p
Vrtice: (2
b,h) )0(2)
20(
2hp
b=
)(24
2
hpb =
2p = -h
b
4
2
Reemplazando 2p y el vrtice en (I)
)(4
)2
(2
2 hyh
bbx =
ELIPSE: Definicin: Es el lugar geomtrico de los puntos P(x,y) tales que la suma a dos puntos fijos
llamados focos es constante e igual a 2.a Semieje mayor: a , eje mayor: 2a Semieje menor: b , eje menor 2b Distancia focal: 2c Relacin pitagrica de la Elipse: 222 cba +=
-
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Lado rectoa
b22=
Excentricidada
c= (en la elipse b 0
22 =++++ FEyDxCyAx Para que sea del tipo elipse el signo de A debe ser igual alsigno de C
Tengamos en cuenta que una elipse puede degenerar exactamente igual que unacircunferencia, en un punto y no existe lugar geomtrico
Centro en el origen (0,0), Eje focal x Vrtices: ( 0,a ) Focos: ( 0,c ) Vrtices secundarios: ),0( b Ecuacin eje focal y = 0
Directrices e
a
x =
Ecuacin cannica 12
2
2
2
=+b
y
a
x
Centro en el origen (0,0), eje focal y Vrtices: ( a,0 ) Focos: (0, c ) Vrtices secundarios: )0,( b Ecuacin eje focal x = 0
Directricese
ay =
Ecuacin cannica 12
2
2
2
=+a
y
b
x
Centro ),( ,eje paralelo al eje x Vrtices: ( ,a ) Focos: ( ,c ) Vrtices secundarios: ),( b
Ecuacin eje focal =y
Directrices
e
ax =
Ecuacin cannica 1)()(
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
Centro ),( , eje paralelo al eje y Vrtices: ( a , ) Focos: ( c , ) Vrtices secundarios: ),( b Ecuacin eje focal =x
-
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Directricese
ay =
Ecuacin cannica 1)()(
2
2
2
2
=
+
a
y
b
x
10) Para cada una de las siguientes elipses, halle los semiejes mayor y menor, las coordenadasde vrtices y focos, y la excentricidad. Grafique.10.1 144169 22 =+ yx
10.2 623 22 =+ yx
10.3 1132 22 =+ yx
10.1 144169 22 =+ yxDividimos ambos miembros por 144
144916
22
=+yx
El denominador con mayor valor es 2a2a =16 a = 4 semieje mayor2b = 9 b = 3 semieje menor
222 cba += 222 bac = 2c =16-9 c = 7
Como a esta en el termino x , la elipse es de eje focal x
Vrtices: )0,4( Focos )0,7( excentricidad =
4
7
10.2 623 22 =+ yx
132
22
=+yx
2a =3 a = 3 semieje mayor2b = 2 b = 2 semieje menor
222 cba += 222 bac = 2c =3-2 c = 1
Como a esta en el termino y , la elipse es de eje focal y
Vrtices: )3,0( Focos )1,0( excentricidad =3
1
-
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10.3 1132 22 =+ yx
1
3
11
2
11
22
=+yx
2a =211 a = 2
11 semieje mayor
2b =3
11 b =
3
11semieje menor
222 cba += 222 bac = 2c =3
11
2
11 c =
6
11
Como a esta en el termino x , la elipse es de eje focal x
Vrtices: )0,2
11
( Focos )0,6
11
(
excentricidad =6
11:
2
11e =
11
2.
6
11e =
3
1
11) En cada caso halle la ecuacin de la elipse que satisface las condiciones dadas:11.1 V 2,1 ( 5,0) Focos( 4,0)
11.2 Vrtices(0, 10) Excentricidad5
4
11.3 Focos (0, 4) Excentricidad5
4
11.4 Ejes coincidentes con los ejes coordenados y pasa por (4,3) y (-1,4)11.5 Focos( 3,0), pasa por (4,1)
11.1 V 2,1 ( 5,0) Focos( 4,0)
Si marcamos estos elementos concluimos que la elipse tiene centro en el origen y eje focal x
ecuacin: 12
2
2
2
=+b
y
a
x
a =5 y c = 4 que nos dan los vrtices y los focos, que son datos
Nos falta calcular b: 222 cba +=222 cab =
16252 =b
b 2 =9
-
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1925
22
=+yx
11.2 Vrtices(0,
10) Excentricidad 5
4
Si ubicamos los vrtices vemos que en el punto medio esta el centro (0,0) y el eje focal es el eje
y 12
2
2
2
=+a
y
b
x
La componente del vrtice es a = 10
Por otro lado nos dan como dato la excentricidad 5
4=e
5
4=
a
c
Un error muy comn es suponer que c=4 y a=5 ESTA MAL
5
4=
a
cy a=10 ac
5
4= 10
5
4=c c=8
nos falta calcular el valor de b 222 cba +=222 cab =
641002 =bb 2 =36
Reemplazamos los valores obtenidos en la ecuacin: 12
2
2
2
=+a
y
b
x
110036
22
=+yx
11.3 Focos (0, 4) Excentricidad5
4
Con los focos deducimos que el centro esta en el origen y el eje focal y
12
2
2
2
=+a
y
b
x
c = 4 dato del foco
5
4=e
5
4=
a
c ac
5
4= ca
4
5= 4
4
5=a a = 5
Nos falta el valor de b 222 cba +=
222 cab =
16252 =bb 2 =9
1259
22
=+yx
11.4 Ejes coincidentes con los ejes coordenados y pasa por (4,3) y (-1,4)
-
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Con los ejes coincidentes con los ejes coordenados sabemos que el centro es el origen, pero
dndonos dos puntos no sabemos si es de eje focal x o y
Suponemos que es de la forma 12
2
2
2
=+b
y
a
xy despus vemos que pasa con la solucin
Los puntos pertenecen a la elipse entonces verifican la ecuacin:
(4,3) 1342
2
2
2
=+ba
191622=+
ba 1916
22
22
=+ba
ab 22 916 ab + = 22ba (I)
(-1,4) 14)1(
2
2
2
2
=+
ba 1
16122=+
ba 1
16122
22
=+
ba
ab 22 161 ab + = 22ba (II)
Igualamos (I) y (II): 22 916 ab + = 22 161 ab + 22 715 ab =
227
15ba =
Reemplazamos en (II)
2222
7
15
7
15.16 bbbb =+ sacamos factor comn 2b y dividimos por 2b
2
7
15
7
2401 b=+
2
7
15
7
247b=
15
7.
7
2472=b
15
2472=b
22
7
15ba =
15
247
7
152=a
7
2472=a
Reemplazamos los valores obtenidos en 12
2
2
2
=+b
y
a
x
1
15
247
7
247
22
=+yx
11.5Focos( 3,0), pasa por (4,1)
Con los focos deducimos que el centro es el origen y el eje focal es el x, tambin que c=3
12
2
2
2
=+ b
y
a
x
222 cba += 922 += ba *
(4,1) verifica la ecuacin : 111622
=+ab
222216 baab =+ reemplazando *2222 )9(916 bbbb +=++
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
17/34
098 24 = bb
2
9.46482 +=b2
1082 =b
b 2 = -1 que no puede ser o b 2 =9
Reemplazando el valor en 922 += ba
182 =aPor ltimo reemplazamos en la ecuacin:
1918
22
=+yx
12) Para cada una de las siguientes elipses:12.1 0482 22 =++ yxyx
12.2 017165489 22 =++ yxyxse pide:
a) Completando cuadrados obtenga una ecuacin del tipo
1)()(
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
b) Efectu una traslacin conveniente para que O coincida con el centro de la elipse.c) Obtenga las coordenadas de focos , vrtices, la longitud del lado recto y las ecuaciones
de las directrices y del eje focal.
12.1 0482 22 =++ yxyx
Completamos cuadrados:
0)2(2)8( 22 =++++ yyxx
2160)12(2)168( 22 ++=++++ yyxx
18)1(2)4(22 =++ yx dividimos por 18
a) 19
)1(
18
)4( 22=
++
yx
b)
+=
=
1'
4'
yy
xx
c) 19
'
18
' 22 =+ yx
182 =a 2318 ==a
92 =b b = 3222 cba += 222 bac = 9182 =c =2c 9 c = 3
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
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2
1
23
3==e lado recto = 24,4
23
9.22 2=
a
b
S(O,x,y) S(O,x,y)
Centro (0,0) (4,-1)
Vrtices )0,23( )1,234(
Focos ( 3,0) (4 3,-1)VrticesSecundarios
(0, 3) (4, 3-1)
Eje focal Y=0 Y = -1
Directrices 6' =x 64 =x
12.2 017165489 22 =++ yxyx
17)2(8)6(9 22 =+++ yyxx
88117)12(8)96(9 22 ++=+++ yyxx
72)1(8)3(9 22 =+ yx
19
)1(
8
)3( 22=
+
yx
b)
=
=
1'
3'
yy
xx
c) 19
'
8
' 22=+
yx
92 =a a = 3
82 =b 228 ==b222 cba += 222 bac = 892 =c c = 1
3
1=e lado recto =
3
162 2=
a
b
S(O,x,y) S(O,x,y)
Centro (0,0) (3,1)
Vrtices )3,0( )31,3(
Focos (0, 1) (3,1 1)Vrtices
Secundarios( 2 2 ,0) (3 2 2 ,1)
Eje focal X=0 X=3
Directrices 9' =y 91 =y
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
19/34
13) Determine el lugar geomtrico de los puntos que verifican:0)3249)(1( 2222 +
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
20/34
Semieje transverso: a , eje transverso: 2a Semieje conjugado o imaginario: b , eje conjugado 2b Distancia focal: 2c Relacin pitagrica de la Hiprbola : 222 bac +=
Lado rectoa
b22=
Excentricidada
c= (en la hiprbola >1)
En la hiprbola nosiempre a > b 0
22 =++++ FEyDxCyAx Para que sea del tipo hiprbola el signo de A debe ser distintoal signo de C
Tengamos en cuenta que la hiprbola puede degenerar en dos rectas concurrentes (queseran sus asntotas)
Centro en el origen (0,0), Eje focal x Vrtices: ( 0,a )
Focos: ( 0,c ) Vrtices secundarios: ),0( b Ecuacin eje focal y = 0
Directricese
ax =
Asntotas xa
by =
Ecuacin cannica 12
2
2
2
=b
y
a
x(trmino negativo relacionado con b)
Centro en el origen (0,0), eje focal y Vrtices: ( a,0 ) Focos: (0, c ) Vrtices secundarios: )0,( b Ecuacin eje focal x = 0
Directricese
ay =
Asntotas xb
ay =
Ecuacin cannica 12
2
2
2
=+a
y
b
x
Centro ),( ,eje paralelo al eje x Vrtices: ( ,a ) Focos: ( ,c ) Vrtices secundarios: ),( b
Ecuacin eje focal =y
Directricese
ax =
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
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Asntotas )( = xa
by
Ecuacin cannica 1)()(
2
2
2
2
=
b
y
a
x
Centro ),( , eje paralelo al eje y Vrtices: ( a , ) Focos: ( c , ) Vrtices secundarios: ),( b Ecuacin eje focal =x
Directricese
ay =
Asntotas )( = xb
ay
Ecuacin cannica 1)()(
2
2
2
2
=
+
a
y
b
x
15) Para cada una de las siguientes hiprbolas, halle las longitudes de los semiejestransverso y conjugado, las coordenadas de vrtice y focos, la excentricidad y las ecuacionesdel eje focal, las directrices y las asntotas. Grafique.
15.1 144916 22 = yx
15.2 0360014425 22 =+ yx
15.3 0632 22 = yx
15.1 144916 22 = yx
1169
22
= yx eje focal x, con centro en el origen
392 == aa semieje transverso
162 =b b = 4 semieje conjugado222 bac += 2c = 9+16 c = 5
Vrtices: ( 3,0) Focos: ( 5,0) A 2,1 (0, 4)
Excentricidad e =3
5eje focal y = 0 directrices x =
5
9Asntotas y =
3
4x
15.2 0360014425 22 =+ yx
360014425 22 = yx
125144
22
=+yx
hiprbola con centro en el origen y eje focal y
5252 == aa semieje transverso
-
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1442 =b b = 12 semieje conjugado222
bac += 2c = 144+25 c = 13
Vrtices: (0, 5) Focos: (0, 13) A 2,1 ( 12,0)
Excentricidad e = 5
13
eje focal x = 0 directrices y = 13
25
Asntotas y= 12
5
x
15.3 0632 22 = yx
632 22 = yx
123
22
=yx
Hiprbola con centro en el origen y eje focal x
332 == aa semieje transverso
22 =b b = 2 semieje conjugado222 bac += 2c = 3+2 c = 5
Vrtices: ( 3 ,0) Focos: ( 5 ,0) A 2,1 (0, 2 )
Excentricidad e =3
5eje focal y = 0 directrices x =
5
3Asntotas y =
3
2x
16) En cada uno de los casos, obtenga la ecuacin de la hiprbola que satisfacen las
condiciones dadas:16.1 Vrtices( 5,0) Focos ( 7,0)
16.2 Vrtices(0, 7) e =3
4
16.3 e = 5 , focos en el eje x, centro en el origen y pasa por (3,2)16.4 Vrtices( 2,0) Asntotas y = 2x16.5 Centro en (-1,4), F1 (-1,2) V 1 (-1,3)16.6 Asntotas (2x-y = 0) y (2x + y = 0) y pasa por (3,2)
16.1Vrtices( 5,0) Focos ( 7,0)
A partir de los vrtices y focos deducimos: hiprbola con eje focal x, centro en el origen , a = 5y c = 7
Ecuacin: 12
2
2
2
=b
y
a
xnos falta el valor de b
222bac += 222 acb = =2b 49-25 =2b 24
-
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12425
22
=yx
16.2Vrtices(0, 7) e =3
4
Con el vrtice deducimos que es de eje focal y, con centro en el origen y a =7
12
2
2
2
=+a
y
b
xnos falta b
e=3
4
a
c=3
4c=
3
4a c=
3
47 c =
3
28
222 bac += 222 acb = =2b 499
784 =2b
9
343
149
9
343
22
=+yx
16.3e = 5 , focos en el eje x, centro en el origen y pasa por (3,2)
La ecuacin tiene la forma: 12
2
2
2
=b
y
a
x
e = 5a
c= 5 c = 5 a
222 bac += 2225 baa += 22 4ab =
Reemplazando en la ecuacin : 1
42
2
2
2
=a
y
a
x
Y por ltimo el punto (3,2) 14
4922
=aa
182
=a
2a =8
224ab = 322 =b
1328
22
=yx
16.4Vrtices( 2,0) Asntotas y = 2xAl ubicar los vrtices en los ejes deducimos que tiene eje focal x, centro en el origen y el valor
de a = 2, la ecuacin tiene la forma 12
2
2
2
=by
ax
Por otro lado la asntota es y = 2x donde 2 =a
bb= 2a b=4 reemplazando en la
ecuacin:
1164
22
=yx
-
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16.5Centro en (-1,4), F 1 (-1,2) V 1 (-1,3)En este ejemplo el centro no esta en el origen, y al ubicar el vrtice y el foco vemos que es de
eje focal paralelo al eje y, cuya ecuacin es de la forma: 1)()(
2
2
2
2
=
+
a
y
b
x
Centro ),( =(-1,4) 1)4()1(
2
2
2
2
=++a
y
b
x
Vrtices: ( a , )=(-1,3) si al vrtice le restamos el centro nos da el valor de a: a=1
Focos: ( c , )=(-1,2) si al foco le restamos el centro nos da c: c =2
Nos falta el valor de b: 222 bac += 222 acb = =2b 4-1 =2b 3
11
)4(
3
)1( 22=
+
+
yx
16.6Asntotas (2x-y = 0) y (2x + y = 0) y pasa por (3,2)Si dibujamos las asntotas deducimos que el centro es el origen, pero no sabemos si es de
eje focal x o y , pero al marcar el punto que pertenece a la hiprbola deducimos que es de
eje focal x
12
2
2
2
=b
y
a
x
De la asntota se deduce que: 2 =a
bb= 2.a, reemplazando en la ecuacin 1
4 2
2
2
2
=a
y
a
x
y por ltimo el punto (3,2): 14
4922
=aa
182
=a
2a =8
22 4ab = 322
=b
1328
22
=yx
17) Para cada una de las siguientes ecuaciones que corresponden a hiprbolas:17.1 03282 22 =+ yxyx
17.2 036362449 22 = yxxyse pide:
a) Completando cuadrados obtenga una ecuacin del tipo
1)()( 2
2
2
2
=
by
ax
b) Efectu una traslacin conveniente para que O coincida con el centro de la hiprbola.c) Obtenga las longitudes de los semiejes transverso y conjugado, las coordenadas de
focos , vrtices, la excentricidad las ecuaciones del eje focal y de las asntotas.d) Grafique
17.1 03282 22 =+ yxyx
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
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Completamos cuadrados
3)2()4(2 22 =+++ yyxx
183)12()44(2 22 +=+++ yyxx
4)1()2(222 =+ yx
1
4
)1(
2
)2( 22=
+
yx
+=
=
1'
2'
yy
xx1
4
'
2
' 22=
yx
=2a 2 a = 2 semieje transverso2b =4 b = 2 semieje conjugado
222 bac += 422 +=c c = 6
excentricidad e =a
c= 3
2
6=
lado recto = 242
4.22 2==
a
b
S(o,xy) S(o,x,y)
Centro (0,0) (2,-1)
Vrtices ( 2 ,0) (2 2 ,-1)
Focos ( 6 ,0) (2 6 ,-1)
A 2,1 (0, 2) (2,-1 2)
Eje focal Y=0 Y+1=0
asntotas Y= 2 x Y+1= 2 (x-2)
17.2 036362449 22 = yxxy
36)4(9)6(4 22 =++++ yyxx
363636)44(9)96(4 22 +=++++ yyxx
36)2(9)3(4 22 =++ yx
14
)2(
9
)3( 22=
+
+
yx
=
+=
2'
3'
yy
xx1
4
'
9
' 22=+
yx
=2a 4 a =2 semieje transverso2b =9 b = 3 semieje conjugado
222 bac += 942 +=c c = 13
excentricidad e =a
c=
2
13
lado recto = 92
9.22 2==
a
b
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
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S(o,xy) S(o,x,y)
Centro (0,0) (-3,2)
Vrtices (0,
2) (-3,2
2)Focos (0, 13 ) (-3,2 13 )
A 2,1 ( 3,0) (-3 3,2)
Eje focal X=0 X+3=0
asntotasY=
3
2x Y-2=
3
2(x+3)
18) Obtenga la ecuacin cannica, identifique y grafique las siguientes cnicas:18.1 0124721694 22 =+++ yxyx
18.2 015164 2 =+ xx18.3 09201644 22 =+ yxyx
18.4 01298150425 22 =++ yxyx
18.5 034222 = yxyx
18.6 04422 =+++ yyx
18.1 0124721694 22 =+++ yxyx
124)8(9)4(422
=++++ yyxx 14416124)168(9)44(4 22 ++=++++ yyxx
36)4(9)2(4 22 =++ yx
14
)4(
9
)2( 22=
++
yx
Elipse con Centro (-2,4),eje focal // al eje x
18.2 015164 2 =+ xx
8
15.4.41616 2 =x
8
416 =x
=
=
2
3
2
5
x
x
2 rectas //
18.3 09201644 22 =+ yxyx
9)5(4)4(4 22 =++++ yyxx
-
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25169)4
255(4)44(4 22 +=++++ yyxx
0)2
5(4)2(4 22 =++ yx
0)2
5()2( 22 =++ yx
2
52 +=+ yx
x+2=y+2
5 x+2=-y-
2
5
2
1= xy
2
9= xy 2 rectas concurrentes
18.4 01298150425 22 =++ yxyx
129)2(4)6(25 22 =++++ yyxx
4225129)12(4)96(25 22 +=++++ yyxx
92)1(4)3(25 22 =++ yx
1
23
)1(
25
92
)3(22
=+
+ yx
Hiprbola de eje transverso // al eje x con centro (-3,-1)
18.5 034222 = yxyx
3)4()2( 22 =+++ yyxx
413)44()12( 22 +=+++ yyxx
0)2()1(22 =+ yx
21 += yx
x-1 = y + 2 x-1= -y + 2
y = x-3 y = -x-1
2 rectas concurrentes
18.6 04422 =+++ yyx
4)4( 22 =+++ yyx44)44( 22 +=+++ yyx
0)2( 22 =++ yx
Es un punto el (0,-2)
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
28/34
19) 19.1 Para cada p>0 , la ecuacin:ppyppx 2)2( 222 +=++
representa una elipse. Determine (en funcin de p) la excentricidad y las coordenadas delos focos.
19.2 deduzca la ecuacin cartesiana de la hiprbola que tiene los mismos focos que la
elipse de la parte a), y que tiene excentricidad 3 .
19.1 Para cada p>0 , la ecuacin:ppyppx 2)2(
222 +=++
representa una elipse. Determine (en funcin de p) la excentricidad y las coordenadas delos focos.
)2()2( 22 +=++ ppyppx
como p>0 podemos asegurar que p(p+2) 0, podemos dividir por esta expresin1
)2(
)2(
)2(
22
=+
++
+ pp
yp
pp
px
1)2(
22
=++ p
y
p
xel mayor de los dos denominadores es p+2 es de eje focal x, centro en el
origen de coordenadas
=2a p+22b =p
Para poder calcular el foco necesitamos el valor de c222 bac = =2c p+2-p =2c 2 2=c
Foco ( 2 ,0) excentricidad e =2
2
2
2
+=
+=
ppa
c
19.2 deduzca la ecuacin cartesiana de la hiprbola que tiene los mismos focos que laelipse de la parte a), y que tiene excentricidad 3 .
Foco ( 2 ,0) e = 3
La hiprbola tiene centro en el origen y el eje focal es x, 2=c
e = 3 e= 3
2
== aa
c
3
2
3
2==
a 3
22 =a
En la hiprbola 222 bac += 222 acb = =2b 2-3
2
=2b3
4
Reemplazando los valores obtenidos en la ecuacin 12
2
2
2
=b
y
a
xobtenemos:
-
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29/34
1
3
4
3
2
22
=yx
20) Obtenga todos los valores reales de k sabiendo que el eje focal de la hiprbola:
20.1 1)1()1( 22 =++ ykxkk es paralelo al eje de abscisas20.2 012622 =+++ kyxkyx es paralelo al eje de abscisas y el eje transverso mide 4
20.3 0164 22 =++ kxyx es paralelo al eje de ordenadas y el eje transversomide 8.
20.1 1)1()1( 22 =++ ykxkk es paralelo al eje de abscisas
Si es de eje x la ecuacin es de la forma: 12
2
2
2
=b
y
a
x, por lo tanto el primer trmino, en x, es
positivo y el segundo negativok(k-1)>0 y k+1
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
30/34
1616
4
16
)2( 22=
+
+ k
k
y
k
x
Si la hiprbola es paralela al eje de ordenadas tiene la forma: 1)()(
2
2
2
2
=
+
a
y
b
x
El eje transverso es 2.a =8 a = 4 1616 22 == kaya
-k-16=16 k = -32, reemplazando este valor en el segundo trmino de laecuacin me da por resultado un valor negativo, que es correcto para que nos de una hiprbola.
Rta: k = -32
21) Analice la ecuacin 1)()( 22 =+ ymhxkh en cada uno de los siguientes casos:21.1 k>h>m21.2 m>h>k21.3 h>k>m
21.1 k>h>mh-km
1)()( 22 =+ ymhxkh el primer trmino es negativo y el segundo positivo, es una hiprbolade eje focal o transverso y
21.2 m>h>kh-k>0
h-mk>mh-k>0
h-m>0
1)()(22 =+ ymhxkh los dos trminos son positivos, es una elipse
Vamos a analizar si puede ser una circunferencia:
Para que sea una circunferencia los coeficientes de los dos trminos deben ser iguales:h-k=h-m
de lo cual se deduce que k=m, es falso, por lo tanto nunca puede ser circunferencia
Rta: Elipse
22) Clasifique las siguientes ecuaciones para los distintos valores de k:22.1 1
3020
22
=
+ k
y
k
x
22.2 135
22
=
+ k
y
k
x
22.3 222 8)8( kkkyxk =+
-
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22.1 13020
22
=
+ k
y
k
x
Hay dos valores que no puede tomar k que son los que hacen cero los denominadores: parak=20 y k=30 la ecuacin no esta definida
Tenemos que analizar el signo que puede tener cada trmino dependiendo de los valores de k.
Puede pasar que los dos trminos sean positivos simultneamente y la ecuacin representara
una elipse20-k>0 y 30-k>0 k
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
32/34
A partir de esta ecuacin )8()8(22 kkkyxk =+ si 08 kk dividimos ambos
miembros por k(8-k):
1)8(
22
=
+k
y
k
x
Y a partir de ac analizamos como los ejercicios anteriores k>0 y 8-k>0 k>0 y k8 hiprbola de eje x
k0 k 0; B = 123.3 A = 0; B < 123.4 A = 0; B > 1
23.1 A > 0; B > 1
Si B>l
B-1>0
signo coeficiente de2
x es igual al signo del coeficiente de2
y
lacnica es del tipo ElipseSi A=B-1 es del tipo Circunferencia
23.2 A > 0; B = 1La ecuacin queda de la forma: 032
2 =+ yxAx
Al estar una variable elevada al cuadrado y la otra lineal es una parbola de eje focal y.
23.3 A = 0; B < 1La ecuacin queda del tipo : 032)1(
2 =+ yxyB Parbola de eje focal x
23.4 A = 0; B > 1 032)1( 2 =+ yxyB Parbola de eje focal x
24) Clasifique la ecuacin 0)(4 2222 =+++ mykxyxhyx en cada uno de los siguientescasos:24.1 h = k = m = 124.2 h = k = -1; m = 024.3 h = 1; k = m = 0
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
33/34
24.4 h = 0; k = m = 1
24.1 h = k = m = 1Si reemplazamos en la ecuacin nos queda :
04 2222 =+++ yxyxyx
422
=+ yxx completamos cuadrados 42 2 +=++ yxx
4)2
1(2 2 +=++ yxx
8
14)
16
1
2
1(2 2 ++=++ yxx
8
33)
4
1(2 2 +=+ yx
Parbola de Vrtice )8
33,
4
1( de eje focal y
24.2 h = k = -1; m = 0
Si reemplazamos en la ecuacin 0)(42222 =+++ mykxyxhyx
Nos queda de la forma: 04 2222 =++ xyxyx
422 += xy
)4(2
12 += xy Parbola de eje focal x y Vrtice (-4,0)
24.3h = 1; k = m = 0
0)(4 2222 =+++ mykxyxhyx
042222 =++ yxyx
42 2 =x
2x =2
=
=
2
2
x
x2 rectas paralelas
24.4h = 0; k = m = 10422 =++ yxyx completamos cuadrados
422 =++ yyxx
4
1
4
14)
4
1()
4
1( 22 ++=++++ yyxx
2
9)
2
1()
2
1( 22 =++ yx
-
7/29/2019 Ejercicios Resueltos Conicas
34/34
Circunferencia con centro )2
1,
2
1(
CONICAS ROTADAS
1. Clasificar las siguientes cnicas:a) 4x2-2xy+y2-14x+2y+13=0b) 4y2+4xy+2x2-8y-2x+9=0c) y2+2xy-6x-8y+15=0Rtas: a) Cnica degenerada en un punto b) Elipse real c) Dos rectas concurrentes
2. Clasificar y hallar los elementos de las cnicas:a) 5x2-3xy+y2-3x+2y-5=0b) -3x2+y2-4xy+x+2y-5=0Rtas.: a) Elipse real C(0,-1) Ejes x-2y-2=0 , 9x+2y-2=0 b) Hiprbola real C(5/2,-4)