EJERCICIOS PPL1

7/24/2019 EJERCICIOS PPL1

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Introduccin - Investigacin deOperaciones

Una decisin puede ser clasifcada en estructurada si envuelve una serie deactores quepuedan ser cuantifcados y luego ormulados en trminos matemticos. LaInvestigacin deOperaciones es una herramienta de apoyo a la decisin estructurada, y duranteel presentecurso vamos ver que algunos prolemas pueden ser ormuladosmatemticamente.

!ara mostrar los actores que intervienen en la ormulacin de un prolema deprogramacin lineal, utili"aremos una situacin prolemtica asada en el

#uego a dolemano. $ este prolema denominaremos %l planeamiento de un #ugador.

&esulta que !aquito est saliendo con dos de sus vecinas, llamadas 'aty y(iorella. !or talmotivo dee tomar la decisin con quien de las vecinas dee salir. Oviamente,lo primeroque pasa por su cae"a, es salir con las dos al mismo tiempo, cierto), pero salircon las dosal mismo tiempo puede causar prolemas dado que ellas no aceptar*an salir

#untas soretodo porque se sae que son muy celosas.

!or otro lado, salir todo el d*a con una vecina no es muy uenoeconmicamente dado que!aquito no dispone del dinero sufciente, pero por encima de esta limitacin!aquito estdecidido disrutar de su uena suerte al haer conquistado a sus dos vecinas+as* que estpensando en alguna estrategia que le permita decidir cuantas veces al mesdee salir concada una de sus vecinas. -ul es la decisin).

!aquito recordando las saias ensean"as de su proesor del curso de

Investigacin deOperaciones, curso que a propsito llev por segunda matricula, decideelaorar un modelomatemtico que le permita determinar cuntas veces al mes salir con cada unade susvecinas.

%l primer paso que reali"a es representar con letras y su*ndices el n/mero desalidas al


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mes con cada una de sus vecinas, de la siguiente orma0

12 0 &epresenta la cantidad de veces al mes, que dee salir con 'aty.13 0 &epresenta la cantidad de veces al mes, que dee salir con (iorella.

%stas e1presiones son denominadas variales de decisin 12 y 13 , las cuales

son la partems importante para la representacin matemtica de un prolema, ests sonescogidasliremente.

!odemos pensar que !aquito puede salir con sus vecinas cuantas vecesquisiera, pero unode sus principales prolemas es la alta de dinero 4prolemas fnancieros5,puesto que!aquito sae que a 'aty le gusta de recuentar lugares caros y una salida legenera un gastode 267 soles, sin emargo (iorella es ms sencilla y gusta recuentar lugares

ms aratos,as* ella le genera un gasto de 277 soles.

8e sae que !aquito recie una mensualidad 677 soles por mes, dinero que apropsito leenv*an sus padres para sus estudios. -onociendo los gastos que generan susvecinas,!aquito se pregunta cmo hacer para no terminar endeudado. !or tantocomien"a hacersus cuentas del siguiente modo0-omo una salida con 'aty le cuesta 267 soles y como 12 representa el n/merode veces al

mes que sale con 'aty, entonces al mes terminar*a gastando 267 12 soles. 9elmismo modosalir con (iorella le cuesta 277 soles y como sale 13 veces al mes con ella,entonces al mesterminar*a gastando 277 13 soles.

!aquito sae que no puede gastar ms de 677 soles mensuales, por tantorepresenta esteinconveniente del siguiente modo0
http://2.bp.blogspot.com/-qvFIZneWmis/UDueAMoKl7I/AAAAAAAAADA/aHMJEJITs2Q/s1600/I1.jpghttp://2.bp.blogspot.com/-qvFIZneWmis/UDueAMoKl7I/AAAAAAAAADA/aHMJEJITs2Q/s1600/I1.jpg


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!ero los inconvenientes para salir con ellas no quedan all*, porque la dierenciaentre las dos no son slo los gastos por salida, sino que tamin tieneprolemas con el tiempo. %sdecir, salir con 'aty requiere en promedio : horas de su tiempo, mientras que

una salidacon (iorella requiere en promedio 3 horas.

%l prolema con el tiempo es porque !aquito tiene que estudiar, porque de noser as* sus califcaciones a#ar*an y sus padres de#ar*an de asignarles los 677soles mensuales.-onsideremos que !aquito slo dispone de 37 horas lires por mes. -omopodemosgaranti"ar que l no emplear ms tiempo del que dispone, as* usando lanotacin anterior,tenemos0

!aquito dee comen"ar a unir todo lo pensado anteriormente

!ara poder planear y decidir cuantas veces tendr que salir con 'aty 4 12 5 ycuantas con

(iorella 4 13 5, tomando en cuenta el dinero y tiempo disponile. $ la ve" podrsaer cuntashoras y cuanto de dinero consumir, as* como cunto dinero y tiempo lesorar.
http://3.bp.blogspot.com/-83lXm0kcSBc/UDuef6Ze59I/AAAAAAAAADI/RUUCcJq8ZxE/s1600/I2.jpghttp://3.bp.blogspot.com/-83lXm0kcSBc/UDuef6Ze59I/AAAAAAAAADI/RUUCcJq8ZxE/s1600/I2.jpg


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1 Caso

Cunto consume si sale con Katy 3 veces y con Fiorella 2 veces, esdecir 12;< y 13 ; 3 ,

verifcamos cunto dinero y cunto tiempo consume.

2674:7 4dinero gastado5

:4


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$ero nos %alta un o!&etivo

!odemos notar que nos alta un o#etivo, es decir deemos pensar que es loquiere !aquito

para otener el mayor enefcio al salir con sus vecinas. Una opcin puede ser,salir lamayor cantidad de veces con las dos sin importar la preerencia por ellas+ estsituacinqueda e1presada del siguiente modo0

'a(imi)ar (1 * (2

Otro posile o#etivo puede ser construido del siguiente hecho+ a !aquito legusta dos veces ms 'aty que (iorella, entonces podemos crear un coefcienteque represente su

preerencia+ es decir un valor unitario para (iorella y el dole para 'aty.Oteniendo elsiguiente o#etivo

Aa1imi"ar 312 = 13

9e esta orma se logra ormali"ar dos modelos dierentes0

'etodolog+a - Investigacin de Operaciones


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%s posile de una orma astante general resumir el proceso de modelado o deconstruccin de modelos a#o el punto de vista operacional, por los pasossugeridos en el siguiente Bu#ograma.

9nde02. La defnicin del prolema es una de las ases ms importantes del procesoy comprende la clara percepcin del desa*o colocado. %l prolema dee sertraducido en elementos palpales engloando0

9escripcin e1acta de los o#etivos del estudio.

Identifcacin de las variales de decisin o control e1istentes

Civel de detalle 4reconocimiento de las limitaciones, restricciones y

e1igencias del sistema.La descripcin de los o#etivos es una de las actividades ms importantes entodo el proceso de estudio pues a partir de ella es que el modelo es creado. 9ela misma orma es esencial que las alternativas de decisin y las limitacionessean e1plicitadas, para que las soluciones otenidas al fnal del proceso seanvlidas y aceptales.3. %l secreto para construir un modelo de optimi"acin depende de unaadecuada traduccin, tamin denominada DormulacinE. %l propio trmino


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ormular largamente empleada para e1plicar el proceso de construccin demodelos de optimi"acin, trae consigo una enorme carga cuantitativa ymatemtica.

!or otro lado, una adecuada ormulacin depende tamin de elementos queescapan al contenido estrictamente tcnico, envolviendo la percepcin del

elaorador del modelo 4o equipo de elaoracin5 y una acultad cognitiva dealto nivel.

Las rmulas o ecuaciones del modelo no se encuentran listas y acaadas de lanaturale"a, ellas tienen que ser identifcadas o creadas. %1traamente, el rigorde la traduccin es otenido a travs de procesos poco rigurosos o conocidos,envolviendo0

La intuicin.

La e1periencia.

La creatividad. %l poder de sintesis, etc.

%sto nos trae dos consecuencias inmediatas para ormulacin de modelos0

%1iste una enorme difcultad en el proceso de ormulacin.

%1iste una uerte tendencia a considerar la actividad de ormulacin deun modelo como un arte.

%n esta ase de ormulacin del modelo de optimi"acin son defnidos los tiposde variales a utili"ar en la representacin, as* como el nivel apropiado de

agregacin de las variales. Famin deen ser representadas las restriccionesdel prolema, tanto las cuantitativas como las de naturale"a lgica.

%l modelo deer ser adecuado a la naturale"a de los datos de entrada y desalida, as* como ser capa" de e1presar las unciones de desempeo queposilemente sern e1igidos en el proceso de optimi"acin. 4(uncin o#etivo5


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estudio. %s conveniente que sea controlada por el equipo responsale, pueseventualmente los valores de la nueva solucin, cuando llevados a la prcticapueden demostrar la necesidad de corregir las relaciones uncionales delmodelo con#unto de posiles cursos de accin e1igiendo la reormulacin delmodelo en alguna de sus partes.

,structura y construccin de modelos deoptimi)acin Investigacin de Operaciones

Un modelo representa o descrie los elementos relevantes de una situacin ysus interacciones e1istentes entre ellos. La concepcin de un modelo tiene porfnalidad acilitar el entendimiento y la manipulacin de las relaciones queocurren entre los diversos parmetros que integran un sistema o proceso,astra*das de una realidad.

-omo el proceso de modelado depende del esp*ritu creativo del homre, talve" no podemos defnir claramente los l*mites de los modelos de !rogramacinAatemtica y sus aplicaciones. Heneralmente podemos decir que su empleoclsico seria0

.tili)ar de %orma e/ciente recursos limitados y 0ue pueden serdisputados por actividades alternativas

%n los modelos matemticos, la representacin de determinado sistema esgeneralmente reali"ada por tres con#untos principales de elementos0

1 aria!les de decisin y parmetros4las variales de decisin son lasincgnitas a ser determinadas por la solucin del modelo. Los parmetros sonlos valores f#os en el prolema. 8imlicamente, las variales de decisin sonrepresentadas por letrasmin/sculas con su*ndices como0 1i , i ;2,3,


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unauncin de varias variales " ; 412, 13,...,1n5 .

!odemos resumir de orma sucinta los pasos del proceso de anlisis

cuantitativo conormese e1presa en el siguiente Bu#o0

$roceso de anlisis cuantitativo

6a etapa de %ormulacin comprende4

La defnicin de las variales controlales 4de decisin o control5 y lasno controlales4e1ternas o de estado5.

La elaoracin de la uncin o#etivo y del criterio de optimi"acin.

La ormali"acin de las restricciones del modelo.

6a etapa de construccin del modelo englo!a4

La elaoracin de la estructura de entrada y salida de inormacin.

Las rmulas de interrelacin. Los hori"ontes de tiempo.

6a etapa de e&ecucin de los anlisis comprende4

$nlisis de sensiilidad de la solucin.

Levantamiento de la precisin de los datos.

%studio de la estailidad computacional.

Levantamiento de las dems especifcaciones del modelo.

6a etapa de implementacin de los resultados y la actuali)acin delmodelo comprende4

Un gran proceso de eedac repasando las etapas anteriores, haciendouso del modelo en el sistema de produccin o prestacin de servicios.

Los Aodelos Aatemticos se dividen sicamente en Aodelos 9etermin*sticos4A95 y Aodelos %stocsticos 4A%5. %n el primer caso 4A95 se considera que los


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parmetros asociados al modelo son conocidos con certe"a asoluta, adierencia de los Aodelos %stocsticos, donde la totalidad o un sucon#unto delos parmetros tienen una distriucin de proailidad asociada. Los cursosintroductorios a la Investigacin Operativa generalmente se enocan slo enAodelos 9eterministas.

Clasi/cacin de los modelos de optimi)acin


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'odelos de programacin lineal -Investigacin de Operaciones

8e llama programacin lineal al con#unto de tcnicas matemticas quepretenden resolver la situacin siguiente0

JOptimi"ar 4ma1imi"ar o minimi"ar5 una uncin o#etivo, uncin lineal devarias variales, su#eta a una serie de restricciones, e1presadas porinecuaciones linealesJ

$s* un modelo de !rogramacin Lineal 4!L5 considera que las variales dedecisin tienen un comportamiento lineal, tanto en la uncin o#etivo comorestricciones del prolema. %n este sentido, la !rogramacin Lineal es una delas herramientas ms utili"adas en la Investigacin Operativa deido a que porsu naturale"a se acilitan los clculos y en general permite una uenaapro1imacin de la realidad.

La ormulacin del prolema a ser solucionado por programacin lineal siguealgunos pasos

Ksicos0

9ee ser defnido el o#etivo sico del prolema, es decir laoptimi"acin a ser alcan"ada. !or e#emplo ma1imi"ar ganancias,desempeos o ienestar social+ minimi"ar costos, perdidas, tiempo. Falo#etivo ser representado por una uncin o#etivo, a ser ma1imi"ada ominimi"ada.

!ara que esta uncin o#etivo sea matemticamente especifcada,deen ser defnidas las variales de decisin involucradas. !or e#emplo,

n/mero de mquinas, rea a ser e1plorada, etc. Cormalmente se asumeque todas estas variales poseen solamente valores positivos.

%stas variales estn su#etas a una serie de restricciones, normalmenterepresentadas por inecuaciones. !or e#emplo, cantidad de equiposdisponiles, tamao del rea a ser e1plorada, etc.


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Fodas las e1presiones, deen estar de acuerdo con la hiptesis principal de laprogramacin lineal, es decir todas las relaciones entre las variales deen serlineales. %sto implica proporcionalidad de las cantidades envueltas.

$ continuacin desarrollamos algunos e#emplos que nos permitir conocer unpoco ms acerca de los prolemas de programacin lineal.

$ro!lema 11

emito es un afcionado de los #uguetes electrnicos y planeando construir dostipos de #uguetes electrnicos 4Ken27 y 9ino&ey5. Ml sae que para construir un

#uguete Ken27 dee utili"ar @ sensores electrnicos y < horas de traa#o.Aientras que para construir un 9ino&ey utili"a 2 sensor electrnico y 2 hora detraa#o. emito pidi a su pap comprar los sensores electrnicos, pero steslo compro 26 sensores electrnicos. $ la ve" emito suele despertar a las6077 am y dormir a las 6077 pm, por tal motivo dispone de 23 horas paratraa#ar en la construccin de los #uguetes. emito tiene planeado vender estos

#uguetes en su escuela, oteniendo una utilidad de : dlares por cada #uguete

Ken27 y un dlar por cada #uguete 9ino&ey. !or otro lado, saiendo que emitologra vender todos los #uguetes construidos se dee elaorar un modelo deprogramacin lineal para optimi"ar sus utilidades.

7olucin4

!ara elaorar el modelo de programacin lineal seguimos los siguientes pasos0

1. Defnicin de las variables de decisin:

%n este caso estamos interesados en saer cuntos #uguetes Ken27 y 9ino&eydee construir, por tal motivo declaramos las variales de decisin de lasiguiente orma0

12 0 -antidad de #uguetes Ken27 construidos

13 0 -antidad de #uguetes 9ino&ey construidos

Una ve" declaradas las variales de decisin, deemos e1presar la uncino#etivo utili"ando dichas variales.

2. Elaboracin de la uncin objetivo:

9ado que nuestro propsito es ma1imi"ar la utilidad total y saemos que por laaricacin de un Ken27 tenemos una utilidad de : dlares, entonces la utilidadtotal generada por el modelo en27 es de N :12 , de igual orma el modelo

9ino&ey genera una utilidad de N2 13 .

!or tanto si queremos otener la utilidad total generada por la aricacin delos dos

#uguetes tendremos " ; :12 = 13 .

-omo nuestro o#etivo es ma1imi"ar la utilidad, tenemos la siguiente %uncino!&etivo0


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Aa1 " ; :12 = 13 .

3. Formulacin de las restricciones tecnolgicas:

$ntes de construir las restricciones del prolema, deemos tener presente lassiguientes

Oservaciones0

Co se puede utili"ar lo que no se tiene.

La cantidad utili"ada dee ser menor o igual a la cantidad disponile

5estriccin de sensores electrnicos

8aemos que disponemos de 26 sensores electrnicos y que para aricar unKen27, se necesita de @ sensores electrnicos y para un 9ino&ey se necesita 2sensor electrnico. !or tanto podemos decir que @12 = 13 ; 26 .

5estriccin de 8oras de tra!a&o

9e igual modo, se dispone de 23 horas de traa#o, pero para aricar un Ken27se necesita < horas de traa#o y para un 9ino&ey se necesita 2 hora de traa#o.!or tanto podemos decir que


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2. 8i tenemos como datos solo costos ya sean de materia prima, mano deora, uso de mquina, transporte, depreciacin, etc. Cos indicaindudalemente que la (uncin O#etivo 4(.O.5 ser de AICIAIQ$-IRC.

3. 8i el enunciado solo tiene datos econmicos de ganancia, precio deventa o dinero a reciir por unidad producida la (.O. ser de

A$SIAIQ$-IRC.


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,9,5CICIO7 $$6 :;estin deOperacionesY. 9ecide invertir como m1imo 8W


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que 1$ P; 7 , 1K P; 7

" 'odelo 6ineal4

(inalmente podemos e1presar el modelo lineal de la siguiente manera0

Aa1 " ; 7.21$ = 7.7>1K

8.$.0

1$ ; 4 'e)clas

$lice, gerente de la (ood (ast, proporciona alergues para cachorros. %lalimento para perros 'ennel se hace me"clando dos productos de soya paraotener una Jdieta para perros ien alanceadaJ. %n la Fala 2.3 se dan losdatos para los dos productos. 8i $lice quiere asegurarse de que sus perrosrecian al menos 6 on"as de prote*nas y 2 on"a de grasa diariamente, culser*a la me"cla del costo m*nimo de los dos alimentos para perro).

Fala0 -osto y porcenta#e de prote*nas y grasas por producto

7olucin4

1 =e/nicin de las varia!les de decisin4

1i 0 C/mero de on"as del producto i ;2,3 a comprar.

2 ,la!oracin de la %uncin o!&etivo4

%l costo total se otiene multiplicando el costo de cada on"a con la cantidad deon"as.

Oteniendo as*, un costo total de 7.?12 = 7.2X13 .

(inalmente tenemos la siguiente %uncin o!&etivo0


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Ainimi"ar " ; 7.?12 = 7.2X13

3 Formulacin de las restricciones tecnolgicas4

&estriccin de prote*nas.

7.X12 = 7.313 P; 6

&estriccin de grasas.

7.212 = 7.313 P; 2

&estricciones de no negatividad

9ado que las variales de decisin slo pueden tomar valores no negativos,tenemos

que 12 P; 7 , 13 P; 7

" 'odelo 6ineal4


Aa1 " ; 7.?12 = 7.2X13

8.$.0

7.X12 = 7.313 P; 6

7.212 = 7.313 P; 2

12 P; 7, 13 P; 7

$ro!lema ?4 'e)clas

!earce 9ears, un antiguo entrenador de grupos de choque, se ha convertido enavicultor.

9esea alimentar a sus animales en orma tal que se curan sus necesidades denutricin a un costo m*nimo. !earce est estudiando el uso de ma*", soya,avena y alala. %n la siguiente tala se muestra la inormacin dietticaimportante por lira de grano 4por e#emplo, 2 lira de ma*" proporciona 2Xmiligramos de prote*na5. %laore un modelo de !L para determinar la me"cla

diettica que satisaga los requisitos diarios a un costo m*nimo.Fala0 Cutrientes por lira de grano


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7olucin4


1i 0 -antidad de liras de i ; 2,3,


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12 , 13 , 1< , 1: P; 7

" 'odelo 6ineal4


Ainimi"ar " ; >712 = :X13 = :71< = @71:

8.$.0

2X12 = 1: P; X7

:712 = 2713 = :71< = :X1: P; 2X7

3712 = X713 = 61< = 3X1: P; 3X

3712 = X713 = 61< = 3X1: ; 237

6X712 = 2X7713 = 23771< = :7771: P; X777

12 , 13 , 1< , 1: P; 7

$ro!lema @4 ,ncuesta

!ara reali"ar una encuesta por telono, un grupo de investigacin de mercadonecesita comunicar por lo menos a 2X7 esposas, 237 maridos, 277 varonesadultos solteros y 227 mu#eres adultas solteras. -uesta N3 reali"ar una llamadatelenica durante el d*a, y NX reali"ar una llamada telenica durante la noche4deido a mayores costos laorales5. %stos datos se muestran en la talainerior. 8e pueden reali"ar a lo ms la mitad de estas llamadas en la noche,

por disponer de un n/mero limitado de empleados. (ormule un !L queminimice los costos para completar la encuesta.

Fala0 !orcenta#e de personas que contestan las llamadas

7olucin4



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1i 0 C/mero de llamadas reali"adas en horario i ;2,3 4diurno y nocturnorespectivamente5.


%l costo total por las llamadas reali"adas se otiene multiplicando el costo de

cada llamada seg/n el horario por la cantidad de llamadas reali"adas.Oteniendo as*, un costo total de 312 = X13 . (inalmente tenemos la siguiente%uncin o!&etivo0

Ainimi"ar " ; 312 = X13


&estriccin de esposas encuestadas.

7.


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12, 13 P; 7

$ro!lema A4 $esca

Las restricciones pesqueras impuestas por la -%% oligan a cierta empresa apescar como m1imo 3777 toneladas de merlu"a y 3777 toneladas de rape,adems, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las


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" 'odelo 6ineal4


Aa1 " ; 27777S2 = 2X777S3

8.$.0

S2 ; 3777

S3 ; 3777

S2 = S3 ; ca#as respectivamente. -ada contenedor que suministra $cuesta 8W327, mientras que los del mayorista K cuestan 8W


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&estriccin de langostinos.

61$ = 31K P;2?

&estriccin de percees.

31$ = >1K P; 37

&estriccin de ncoras.

1$ = 1K P; X

&estricciones de no negatividad.

9ado que las variales de decisin slo pueden tomar valores no negativos,tenemos que 1$, 1K P; 7.

" 'odelo 6ineal4


Ain " ; 3271$ = 1K P; 37

1$ = 1K P; X

1$ , 1K P; 7

$ro!lema 14 $roduccin

Una planta produce dos tipos de productos, en la misma l*nea de ensamle. Lal*nea de ensamle consta de tres departamentos. Los tiempos de ensamla#een los departamentos son dados en la siguiente tala.

-ada departamento tiene disponile las 6 horas de traa#o diario. 8in emargolos departamentos requieren mantenimiento diario, que utili"an el XY, 6Y y


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?Y del tiempo disponile para cada departamento diariamente. La plantadesea saer las unidades semanales 4se traa#a ? d*as a la semana5 que seensamlaran a fn de minimi"ar la suma de tiempos no ocupados 4ociosos5 enlos tres departamentos.

7olucin4

Indudalemente es una produccin en l*nea por que el producto paraensamlarse dee pasar por los tres departamentos, entonces0


1i0 -antidad de unidades del producto i;2,3 a elaorar semanalmente.

s#0 Fiempo ocioso en minutos en el departamento #;2,3,


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9ado que las variales de decisin slo pueden tomar valores no negativos,tenemos que 12, 13, s2, s3, s< P; 7

" 'odelo 6ineal4


Ain " ; s2 = s3 = s


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%l departamento de ventas indica que el potencial de ventas para losproductos 2 y 3 es mayor que la tasa de produccin m1ima y que el potencialde ventas para el producto < es de 37 unidades por semana.

La utilidad unitaria ser de N


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Aa1 " ;


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9ado que se desea ma1imi"ar la ganancia, deemos saer que0Hanancia;!recio de ventaT-ostos de produccin

-omo la materia prima tiene un costo de N27 y para la elaoracin de uncompacto se utili"a 377 unidades de materia prima, se tiene un costo de totalde N3777 por cada compacto producido y N 2X77 por cada sucompacto.

9el mismo modo, la mano de ora tiene un costo de N>7 y para la elaoracinde un compacto se utili"a 26 unidades de mano de ora, se tiene un costo totalde N23?7 por cada compacto producido y N2:77 por cada sucompacto.

(inalmente otenemos la siguiente uncin o#etivo0

Aa1imi"ar " ; 2777712 = 677713 T 377712 T 2X7713 T 23?712 T 2:77133 Formulacin de las restricciones tecnolgicas4

&estriccin de materia prima.

37712 = 2X713 ; 67777

&estriccin de mano de ora.

2612 = 3713 ; @777

&estriccin de n/mero m1imo de compactos.

12 ; 2X77

&estriccin de n/mero m1imo de sucompactos.

13 ; 377

&estricciones de no negatividad

9ado que las variales de decisin slo pueden tomar valores no negativos,tenemos que 12, 13 P; 7

" 'odelo 6ineal4

(inalmente podemos e1presar el modelo lineal de la siguiente manera0Aa1 " ; ?>:712 = X27713

8.$.0

37712 = 2X713 ; 67777

2612 = 3713 ; @777


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12 ; 2X77

13 ; 377


La empresa %lit elaora yogurt y #ugos a ase de mango y dura"no, estaempresa compra su materia prima al precio de N7,X7 por ilogramo de mangoy N7,


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9ado que las variales de decisin slo pueden tomar valores no negativos,tenemos que 12,13 P; 7.

" 'odelo 6ineal4


Aa1 " ;


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y continuar su via#e espacial pero con cierta perdida en la cantidad deinormacin cient*fca que puede ser otenida. 8in emargo, si todas lasunidades allan en los tres compartimentos, entonces los astronautas todav*apueden regresar la nave con seguridad, pero el via#e en con#unto dee sercompletamente aortado a gran costo. !or lo tanto, el o#etivo es minimi"ar laproailidad de que esto ocurra, su#eto a las limitaciones antes mencionadas y

a la restriccin adicional de que cada compartimento tenga una proailidadde no ms del 7.7X de que todas sus unidades allen. !lantese el modelo deprogramacin lineal para este prolema. 48ugerencia0 /sense logaritmos5

7olucin4


1i 0 C/mero de unidades de apoyo en el compartimento i ;2,3,< .


!ro 4compart. 25 !ro 4compart. 35 !ro 4compart.


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" 'odelo 6ineal4


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$ro!lema 24 Dgricultura

Una amilia de gran#eros posee 277 acres de tierra y tiene N


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La amilia desea saer cuntos acres deen plantarse en cada uno de cultivosy cuntas vacas y gallinas deen tener para ma1imi"ar su ingreso neto deeectivo.

!lantese el modelo de programacin lineal para este prolema.

7olucin4


12 0 C/mero de acres de tierra asignados para el ri#ol de soya.

13 0 C/mero de acres de tierra asignados para el ma*".

1< 0 C/mero de acres de tierra asignados para la avena.

1: 0 C/mero de vacas.

1X 0 C/mero de gallinas.

1? 0 VorasThomre ociosas en invierno.

1> 0 VorasThomre ociosas en verano.


Ainimi"ar " ; X12 = XX713 = 3X71< = 6771: = X1X = :1? = :.X1>



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" 'odelo 6ineal4


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La corporacin Krady produce armarios. Cecesitan semanalmente @7 777 piesc/icos de madera procesada. !uede conseguir madera procesada de dosmaneras.

!rimero, puede comprar madera de un proveedor eterno, y despus secarla ensu propio horno. 8egundo, puede cortar troncos en sus propios terrenos,convertidos en madera en su propio aserradero y, fnalmente, secar la maderaen su propio horno. Krady puede comprar madera clase 2 o clase 3. La maderaclase 2 cuesta < dlaresWpie c/ico y produce 7.> pie c/ico de manera /tilluego de secarla. La madera clase 3 cuesta > dlaresWpie c/ico y produce 7.@pie c/ico de madera /til ya seca. Le cuesta < dlares a la compa*a cortar untronco. 9espus de cortarlo y secarlo, un tronco produce 7.6 pie c/ico demadera. Krady incurre en un costo de : dlaresWpie c/ico de madera seca.-uesta 3.X7 dlaresWpie c/ico procesar troncos en el aserradero. %l aserraderopuede procesar semanalmente hasta


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" 'odelo 6ineal4

$ro!lema "4 $roduccin

Un consumidor requiere, durante los pr1imos cuatro meses, X7, ?X, 277 y >7unidades, respectivamente, de cierto art*culo 4no se permiten demandaspendientes5. Los costos de produccin son X dlares, 6 dlares, : dlares y >dlares por unidad, durante estos meses.

%l costo de almacena#e de un mes al siguiente, es de 3 dlares por unidad4aplicado al terminar el inventario5. 8e estima que cada unidad sorante al fnaldel cuarto mes, tendr que venderse a ? dlares. (ormule un !L que minimice


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los costos netos para cumplir con las demandas durante los pr1imos cuatromeses.

7olucin4


Ii 0 C/mero de unidades en el mes i ;2,3,


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" 'odelo 6ineal4

$ro!lema >4 5enta


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Una compa*a de seguros cree que necesitarn las siguientes cantidades decomputadoras personales durante los pr1imos seis meses0 enero, @+ erero,X+ mar"o, >+ aril, @+ mayo,27+ #unio,X. 8e pueden rentar computadoras por unper*odo de uno, dos o tres meses, a las rentas unitarias siguientes0 renta por unmes, 377 dlares+ renta por dos meses,


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4. Modelo ineal:


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$ro!lema ?4 'e)cla

Un proveedor dee preparar con X eidas de ruta en e1istencias, al menosX77 galones de un ponche que contenga por lo menos 37Y de #ugo de naran#a,27Y de #ugo de toron#a y XY de #ugo de arndano. 8i los datos del inventarioson los que se muestran en la tala siguiente [u cantidad de cada eidadeer emplear el proveedor a fn de otener la composicin requerida a uncosto total m*nimo)

Cota0 Las tres primeras columnas indican el porcenta#e de un tipo de #ugodentro de una determinada eida.

7olucin4


%l o#etivo es minimi"ar los costos cumpliendo todos los requisitos. !ara estodefnimos las siguientes variales

Si0 -antidad de eida i en galones incorporada al ponche i ; $, %

las siguientes constantes

-i0 -osto por galn de eida tipo i .

Ci0 !orcenta#e de #ugo de naran#a en eida tipo i .

Fi0 !orcenta#e de #ugo de toron#a en eida tipo i .

$i0 !orcenta#e de #ugo de arndano en eida tipo i .

%i0 %1istencia de eida tipo i




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$ro!lema @4 $roduccin

Un pequeo taller arma dispositivos mecnicos, ya sea como un productoterminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio paraentregar a una gran rica. Fraa#an < personas en #ornadas de :7 horassemanales. 9os de estos oreros no califcados recien N7.: por hora, y eltercero, un orero califcado, recie N7.? por hora. Los tres estn dispuestos atraa#ar hasta 27 horas adicionales a la semana con un salario X7Y superiordurante este per*odo.

Los costos f#os semanales son de N677. Los gastos de operacin variales sonde N2.7 por hora de traa#o de orero no califcado y N3.: por hora de orerocalifcado. Los dispositivos mecnicos sin acaar son vendidos a la planta aN?.X cada uno. %l taller tiene un contrato a#o el cual dee entregar 277 deestos dispositivos semanalmente a la empresa. %l dueo del taller tiene comopol*tica el producir no ms de X7 dispositivos a la semana por sore elcontrato.


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Los dispositivos terminados se venden a N2X cada uno sin restricciones demercado. 8e requieren 7.X horas de orero no califcado y 7.3X horas de orerocalifcado para producir un dispositivo sin acaar listo para entregar a laempresa. Uno de estos dispositivos puede ensamlarse y de#arlo terminadoagregndole 7.X horas de traa#ador califcado.

Un dispositivo acaado listo para entregar al mercado se puede producir con7.? horas de orero no califcado y 7.X horas de orero califcado.

!lantear el modelo de programacin lineal que permita responder la consulta0cmo y cunto producir para cumplir el contrato de modo de ma1imi"ar lasutilidades)

!ara la ormulacin del prolema, supondremos que los oreros traa#an :7horas semanales.

7olucin4


Si0 -antidad de productos tipo i ; 2,3,< aricados.

Q#0 Voras e1tra traa#adas por oreros del tipo # ; 2,3 .



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$ro!lema A4 Inversin

Un inversionista tiene oportunidad de reali"ar las actividades $ y K al principiode cada uno de los pr1imos X aos 4llmense aos 2 al X5. -ada dlarinvertido en $ al principio de cualquier ao retriuye N2.:7 4una ganancia deN7.:75 3 aos despus 4a tiempo para la reinversin inmediata5. -ada dlarinvertido en K al principio de cualquier ao retriuye N2.>7, < aos despus.

$dems, la actividad - estar disponile para inversin una sola ve" en eluturo. -ada dlar invertido en - al principio del ao 3 da N2.@7 al fnal del aoX. La actividad 9 estar disponile slo 3 veces, al inicio del ao 2 y del ao X.-ada dlar invertido en 9 al principio de ao retriuye N2.


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8e dee considerar que al inicio de cada ao slo se puede destinar a inversinel dinero proveniente de inversiones que terminan en ese momento, o ien quesean e1cedentes del per*odo inmediatamente anterior.

O#etivo0 'a(imi)ar utilidades al /nal del 0uinto aEo

1. Defnicin de las variables de decisin:Si#0 -antidad invertida de tipo i ; $, K,-,9 al inicio del ao # ; 2,3,


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$ro!lema B4 Compra

Una empresa de arriendo de veh*culos desea estalecer la Bota deautomviles, camionetas y #eeps para el presente ao. !ara tales eectos,estudia la adquisicin de veh*culos de los tres tipos. Fodos los veh*culoscomprados son depreciados y pagados en un per*odo de 3 aos, despus delcual son vendidos. La tala siguiente muestra el precio de compra y losingresos del per*odo para los tres tipos de veh*culos 4los ingresos para elsegundo ao incluyen el valor de salvata#e5.

$un cuando la empresa puede pagar el costo de los veh*culos inmediatamente,puede tamin decidir dierir parte del costo de los veh*culos al fnal del primero segundo ao. %l costo del crdito es de 2:Y anual. La empresa dee pagarpor lo menos el 37Y de la inversin inicial al reciir un veh*culo y por lo menosel X7Y de la inversin inicial ms los intereses del crdito deen haer sidopagado al fnal del primer ao. La empresa dispone de U8N3777777 para lacompra de veh*culos este ao. La compa*a usa una tasa de descuento del2XY para eectos de fnanciamiento 4es decir, U8N277 hoy valen U8N6X dentrode un ao5. Fodo e1cedente en cualquier ao es invertido en otros ruros y, por

lo tanto, no puede considerarse en pagos uturos.(ormule un modelo de programacin lineal para el prolema. 9efnaclaramente variales, uncin o#etivo y restricciones.

7olucin4


Si0 -antidad de veh*culos tipo i ; 2,3,< comprados inicialmente.

i#0 9inero pagado en veh*culos tipo i ; 2,3,< al inicio del ao # ; 2,3,


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Constantes4

-i0 -osto del veh*culo del tipo i ;2,3,< .

Ii#0 Ingresos por veh*culo del tipo i ;2,3,< durante el ao # ;2,3,< .




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-onsidere el prolema de programacin de la produccin de un con#unto de mtipos dierentes de art*culos para los pr1imos n meses en una rica.

%n cuanto al uso de materias primas, el costo de produccin de cada art*culode tipo i se estima en c i.

La produccin de un art*culo tipo i requiere mo ihoras de mano de ora,disponiendo la rica de h#horas de mano de ora durante el mes # . %n ciertosmeses, la rica puede emplear horas e1tras para aumentar sus recursos demano de ora. %n general, se puede denotar por st#la cantidad m1ima dehoras e1tras disponiles en el mes # , cada una de las cuales tiene un costounitario de cst.

La demanda de art*culos tipo i en el mes # se estima en di#, las cuales

necesariamente deen ser satisechas.%l e1ceso de produccin puede ser almacenado a un costo mensual unitario des. %1iste capacidad para almacenar un volumen m1imo de v, pudindoserepresentar por viel volumen de un art*culo de tipo i . !ol*ticas de produccine1igen que al fnal del per*odo a#o consideracin e1ista un inventario m*nimode si unidades de art*culos tipo i.

(ormule un modelo de programacin lineal que permita planifcar la operacinde la rica durante los pr1imos n meses de orma tal de minimi"ar el costototal.

7olucin4

8upongamos que se traa#a por lo menos el total de horas h# de cada mes,nunca menos.


Si#0 -antidad de art*culos tipo i ;2,...,m producidos en mes # ;2,...,n .

Q#0 -antidad de mano e1tra empleada en mes # ;2,...,n .

Gi#0 -antidad de art*culos tipo i ;2,...,m almacenados en mes # ;2,...,n .



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'odelos =IFICI6,7


Hracias a una adecuada estrategia de mareting y a la calidad del producto,cierta pequea rica de canastos de mimre ha reciido pedidos que superansu actual capacidad de produccin. 9urante las pr1imas cuatro semanas deeentregar X3, ?X, >7 y 6X canastos, respectivamente. $ctualmente cuenta conseis artesanos.

La gerencia general de la rica ha decidido contratar personal nuevo parapoder cumplir sus compromisos comerciales. 9ada la escase" de artesanos, se


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deer contratar personal sin e1periencia. Un novato puede ser entrenado parallegar a ser aprendi" durante una semana.

La segunda semana traa#a como aprendi" para ganar e1periencia.-omen"ando la tercera semana 4despus de dos semanas de traa#o5 setransorma en artesano.

La produccin estimada y sueldos de los empleados es la siguiente0

-ada artesano puede entrenar hasta dos novatos por semana 4elentrenamiento de un novato slo dura una semana5. Fodo e1cedente deproduccin semanal puede ser guardado para cumplir los siguientescompromisos comerciales.

Los analistas de la empresa estiman que la demanda semanal de canastosdi*cilmente superar los noventa canastos, por lo que han decidido terminar elper*odo sin novatos y aprendices, pero con al menos nueve artesanos. Losreglamentos sindicales de la empresa proh*en los despidos por reduccin de

personal.(ormule un modelo de programacin lineal que permita defnir lascontrataciones a reali"ar, de modo de cumplir los compromisos comerciales acosto m*nimo.

7olucin4

!ara resolver el prolema se utili"arn las siguientes variales de decisin0

1 =e/nicin de las varia!les de decisin:

1i#0 !ersonal de tipo i ;2,3,


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8e dee de cumplir con los compromisos a costo m*nimo.



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La ciudad 2 produce X77 toneladas de asura por d*a y la ciudad 3 produce :77toneladas por d*a. La asura dee ser incinerada en los incineradores 2 3, ycada incinerador puede procesar hasta X77 toneladas de asura por d*a. %lcosto de incinerar la asura es U8N :7Wton en el incinerador 2 y U8N


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La cantidad de ceni"a a trasladar desde cada incinerador 42 y 35 a cada uno delos otaderos 42 y 35.

!ara esto, asumimos algunos supuestos y caracter*sticas0

Foda la asura producida en un d*a dee ser incinerada durante ese

mismo d*a. Los otaderos no coran por reciir las ceni"as.

%1iste indierencia en escoger el incinerador 2 3 con relacin acualquier variale que no sea el costo por tonelada incinerada.

%l costo de transporte es una uncin e1clusiva de la distancia recorrida,de#ando de lado cualquier otro actor.

La decisin se tomar e1clusivamente desde el punto de vista de loscostos.

%l anlisis se reali"ar en el per*odo de un d*a, dado los datosentregados.


9e acuerdo al o#etivo y los supuestos planteados, determinamos lassiguientes variales de decisin0

Si#0 -antidad de asura en toneladas transportada desde la ciudad i ; 2,3hasta el incinerador # ; 2,3 .

i#0 -antidad de ceni"a en toneladas transportada desde el incinerador i ; 2,3hasta el otadero # ; 2,3 .


-on la tala de distancias dadas y los costos de incineracin, se plantea launcin o#etivo0


-on la inormacin de la produccin de asura, capacidad de incineracin y lacapacidad m1ima de recepcin de ceni"a de los otaderos, se construyen lasrestricciones del prolema


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-ae destacar que todas las variales deen ser positivas y no necesariamente

enteras dado que representan peso de asura o de ceni"a. %s importanteagregar tamin dos condiciones relativas a que cada tonelada de asura queentra al incinerador es transormada en 7.3 toneladas de ceni"a, luego0

Las condiciones anteriores pueden ser agregadas al prolema como dosrestricciones ms, o ien despe#ar dos de ellas en uncin de otras tres, demodo de reducir el prolema a un total de seis variales.



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8ilicon Galley -orporation 48ilvco5 arica transistores. Un aspecto importanteen la aricacin de los transistores es undir un elemento denominado H4germanium5 en un horno. Lamentalemente el proceso de undido var*amucho en cuanto a la calidad que se otiene del elemento H. Vay dos mtodosque se pueden usar para undir el elemento H0 el mtodo 2 cuesta U8NX7 portransistor, y el mtodo 3 U8N>7 por transistor. Las calidades del elemento se

muestran en la tala. 8ilvco puede reali"ar un proceso adicional para aumentarla calidad del elemento undido. %ste cuesta U8N3X por transistor. Losresultados del proceso adicional se muestran en la tala. 8ilvco tiene sufcientecapacidad de horneado ya sea para undir o hacer el retratamiento de a lo ms37777 transistores al mes. Las demandas mensuales son 2777 de transistoresde nivel :, 3777 del nivel


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7olucin4

O!&etivo4el o#etivo del prolema es minimi"ar los costos involucrados en laproduccin de los transistores, satisaciendo la demanda para cada nivel deellos. 8e considerarn dos mtodos de produccin adems de un mtodo deretratamiento para me#orar la calidad de dichos transistores. !ara conseguireste o#etivo se dee considerar las posiles decisiones que admite elprolema0La cantidad transistores a producir por el mtodo 2 y por el mtodo 3.

La cantidad transistores de cada nivel0


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8lo se considerar que el proceso adicional se puede reali"ar una ve", es decirla decisin de cuantas variales mandar al retratamiento se reali"a una ve".

Co es necesario producir a plena capacidad 437777 transistores al mes5, puedeproducirse esta cantidad o menos, la produccin se a#ustar al resultado de

este estudio.-omo los datos entregados estn reeridos a un mes, el anlisis se har paraeste intervalo de tiempo, pero en trminos de cantidades producidas al mes node variales temporales propiamente tales.


9e acuerdo al o#etivo y supuestos planteados, declaramos las variales dedecisin del siguiente modo0

S2 0 -antidad de transistores producidos por el mtodo 2.

S 3 0 -antidad de transistores producidos por el mtodo 3.

Si# 0 -antidad de transistores provenientes del mtodo i ;2,3 y de clase # ;7,2,3,< que se env*an a reprocesar.

%ntendemos por clase # al nivel de undido, considerando como deectuoso laclase D7E.

!or otro lado, no tiene sentido reprocesar los transistores de nivel :, por talmotivo el su*ndice # slo llega hasta


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-ae destacar que todas las variales deen ser positivas y enteras dado querepresentan n/mero de unidades de transistores.


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$ro!lema "4 $roduccin - $6D,DCIO =,$5O=.CCIO =, CD77I,66I , GI9O7 7DC

La empresa de eidas gaseosas %nrique -assinelli e Vi#os 8.$. es de origentru#illano, se dedica a la produccin y comerciali"acin de eidas gaseosas-assinelli, en dierentes presentaciones y saores.

8u comerciali"acin se reali"a tanto en la ciudad de Fru#illo como en la "onanorte 4-hiclayo, !iura, Falara5 y nor Oriente 4Kagua, Zaen, Farapoto5.

$ctualmente -assinelli tiene una participacin en el mercado de Fru#illo de27Y, -oncordia 2:Y, 'ola &eal 22Y, Friple 'ola 2


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%l proceso de aricacin de estos productos se lleva a cao en dos etapas4]reas de traa#o5

2. %n el 9pto. de %laoracin se reali"a la preparacin de #araes el mismo quecuenta con : traa#adores permanentes.

3. %n el 9pto. de %nvasado se reali"a traa#os inherentes al proceso deenvasado y presentacin fnal del producto. %ste 9pto. cuenta con 2Xtraa#adores

Las horas requeridas en amos departamentos para producir 2777 ca#as decada uno de los productos mencionados en la Fala 2.33, se muestran en la

Fala 2.3


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La Herencia ha solicitado determinar el !lan de !roduccin semanal ptimopara el mes de octure 3773.

!ara determinar el plan de produccin ptimo, el o#etivo general es elaorarun modelo lineal que permita hallar el plan de produccin ptimo y comoo#etivos espec*fcos tenemos que determinar la cantidad de cada tipo degaseosa que se dee elaorar semanalmente y otener la m1ima utilidad enla produccin de gaseosas -assinelli.

7olucin4


Si# 0 C/mero de ca#as a producir de gaseosa del tipo i ; 2,3,X lt, C& de 7.?7 lt, G& de 7.3@? lt5 en la semana # ;2,3,


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Lin de Interes, para encontrar los e#ercicios que nos altan.

http0WWes.slideshare.netW#ohanastarWe#erciciosTresueltosTprogramacionTlineal
http://es.slideshare.net/johanastar/ejercicios-resueltos-programacion-linealhttp://es.slideshare.net/johanastar/ejercicios-resueltos-programacion-lineal

EJERCICIOS PPL1

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