Ejercicios Modelacion Matematica -...

INVESTIGACION OPERATIVA

Guía de Ejercicios

Modelación Matemática

Mg. Jessica Pérez Rivera

Tomado de Universidad Mayor. Prof. Juan Carbajal.

Identifica tus objetivos, deja que Cristo modele tu vida y alcanzarás el éxito!!!

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1. Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K),

fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete.

Marca K P N Precio

A 4 6 1 15

B 1 10 6 24

¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un

abono que contenga, al menos, 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N?.

2. Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de

montaña que quiere vender, respectivamente a s/. 200 y s/. 150 cada una para sacar el máximo

beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2

kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

3. Un autobús Diaz ofrece plazas para fumadores al precio de s/.100 y a no fumadores al precio de

s/.60. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90

plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía

para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio?

4. A una persona le tocan 10 millones en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de

acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de

tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide

invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la

compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo

invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que el beneficio anual sea máximo?

5. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le

paga 5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 por impreso.

El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los

impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos

como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada

clase para que su beneficio diario sea máximo?

6. Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 500. Le ofrecen dos tipos de

naranjas: las de tipo A a s/.5 el kg. y las de tipo B a s/.8 el kg. Sabiendo que sólo dispone de su

camioneta con espacio para transportar 70 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el

kg. de naranjas tipo A a 8 y el kg. de tipo B a 10.

¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? ¿Cuál

será ese beneficio máximo?


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7. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de

algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular

el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si

un traje y un vestido se venden al mismo precio.

8. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones y el costo de

una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha

de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A

se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para

obtener el beneficio máximo?

9. Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A

y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones; además, quiere destinar a esa opción

como mínimo tanta cantidad de dinero como a la B.

Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué

cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?

10. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares

por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería

produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3

barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce

0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de

900 barriles de G, 800 barriles de C y 500 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y

pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.

11. La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al público

de una mesa es de 2.700 y el de una silla 2.100. LA MUNDIAL S.A. estima que fabricar una

mesa supone un gasto de 1.000 de materias primas y de 1.400 de costos laborales. Fabricar una

silla exige 900 de materias primas y 1.000 de costos laborales. La construcción de ambos tipos

de muebles requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura,

revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora

de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintería y 1

hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de

materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería

y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del mercado, LA

MUNDIAL S.A. fabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No ocurre así con las sillas, para

los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas.

Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente deberá fabricar la empresa para

maximizar sus beneficios.

12. Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de

yogurt con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yoghurt. Cada yogurt de

limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa

necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentación.

El costo de producción de un yoghurt de fresa es el doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos

yoghurt de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?


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13. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la

carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2

días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de

auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y

la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6

millones y de 3 millones por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para

maximizar las ganancias?

14. Una compañía de petróleos produce en sus refinerías gasóleo (G), gasolina sin plomo (P) y

gasolina súper (S), a partir de dos tipos de crudos C1 y C2. Las refinerías están dotadas de dos

tipos de tecnología: la tecnología nueva Tn utiliza en cada corrida de destilación 7 unidades de

crudo C1 y 12 de C2, para producir 8 unidades de G, 6 de P y 5 de S. Con la tecnología antigua

Ta, se obtienen en cada destilación 10 unidades de G 7 de P y 4 de S y se ocupan 10 unidades de

crudo C1 y 8 de C2.

Estudios de demanda permiten estimar que para el próximo mes se deben producir al menos 900

unidades de G 300 de P y entre 800 y 1700 de S. La disponibilidad de crudo C1 es de 1400

unidades y la de C2 de 2000 unidades.

Los beneficios por unidad producida son 4 US$ por unidad de G, 6 US$ por unidad de P y 7 US$

por unidad de S.

La compañía desea conocer cuantas destilaciones le debería realizar con cada proceso para que

el beneficio sea el máximo. (Se pueden realizar fracciones de proceso).

15. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone

de 150 kgs. de A, 80 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de

A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs.

de B y 1 kgs. de C.

a. Si se venden las tartas T1 a 1.000 la unidad y las T2 a 2.300. ¿Qué cantidad debe fabricar

de cada clase para maximizar sus ingresos?

b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1.500 ¿Cuál será el precio de una tarta del

tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T1 y 10 del tipo T2?

16. Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean

en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de

coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de

cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usar

durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene

un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearíamos

las máquinas para conseguir el beneficio máximo?

17. Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca

conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a $ 250 el litro de aceite C y a $ 125

el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada

de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si

disponemos de un máximo de $ 3.125 y acogiéndonos a la oferta, ¿Cuál el la mínima cantidad de

aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima de C?


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18. La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un

precio de 1,5 millones de pesos y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las

existencias, que son 20 autos del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas

unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaña, los ingresos

obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones ¿Cuántos automóviles de cada modelo deberá

vender para maximizar sus ingresos?

19. En una explotación agrícola de 25 Ha pueden establecerse dos cultivos A y B. El beneficio de

una Ha de A es de 20000 ptas. y el de una Ha de B de 30000 ptas. Las disponibilidades de trabajo

de explotación son de 80 jornadas, una Ha de A precisa 4 jornadas, mientras que una de B precisa

sólo 2 jornadas. La subvención de la Unión Europea es de 5 euros por Ha. de A y de 10 euros por

Ha. de B, siendo la subvención máxima por explotación agrícola de 200 euros.

Calcular el beneficio máximo.

20. Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo

2.000 toneladas de merluza y 2.000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos

especies no pueden pasar de las 3.000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1.000 $/kg y el

precio del rape es de 1.500 $/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?

21. Una persona tiene suficiente arcilla para hacer 24 vasos pequeños o 6 vasos grandes. Tiene

suficiente de un compuesto especial (materia prima del vidrio) que le permitiría hacer 18 de los

vasos pequeños o 6 de los vasos grandes. Haciendo X1 = número de vasos pequeños y X2 = el

número de vasos grandes.

Los vasos más pequeños se venden a $4 cada uno, y los más grandes a $.12

(a) Formular el problema

(b) Resolver gráficamente

22. Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de

p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro en

ambas pinturas. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones:

La cantidad de A es mayor que la de B, su diferencia no es menor que 10 gramos y no debe

superar los 30 gramos. La cantidad de B en la mezcla no puede superar los 30 gramos ni ser

inferior a 10 gramos.

(a) ¿Qué mezcla permite lograr la mayor cantidad del pigmento p?

(b) ¿Qué mezcla hace q mínimo?

23. Una hiladora ha recibido una orden para producir un hilo que debe contener al menos 45 onzas

de algodón y 25 onzas de seda. La orden puede ser conformada para cualquier mezcla posible de

dos tipos de Hilo (A y B). El Material A cuesta $3 por onza y el B cuesta $2 por onza. Contienen

las proporciones de algodón y seda que se presentan en la siguiente tabla:

Algodón Seda


6

A 30 % 50 %

B 60 % 10 %

¿Qué cantidades (onzas) de hilos A y B deberían ser usadas para minimizar el costo de esta

orden?

24. En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15

unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos

clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo

Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de

1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar

de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo?

25. La compañía ESPECIAS INDIAN S.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en

la producción de aderezos. INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea

curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede

vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máximo de 1500 botellas

de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de

HB2. Determine el consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa.

Aderezo Ingredientes (Onzas/Bot) Demanda Precio de Venta

HB1 HB2 Botellas) por botella ($)

Curry 5 3 1500 2750

Pimentón 2 3 Ilimitada 1300

Disponibilidad (Onzas) 10000 8500

26. Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulos y en polvo. Él no

puede hacer más de 1600 bolsas de cemento al día debido a una escasez de vehículos para

transportarlas fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que él debe producir 500 bolsas

de cemento en polvo al día. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo

para producir una bolsa de cemento granulado en relación al tiempo requerido para una de

cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 0.24

minutos/bolsa y la planta opera un 8 horas por día. Su ganancia es US$ 4 por bolsa para el cemento

granulado y US$ 3 por bolsa de cemento en polvo. Formule el problema de decidir cuánto se debe

producir de cada tipo de cemento para maximizar las ganancias de la Empresa.

27. SONY fabrica dos productos: (1) el Walkman un radiocasete portátil y (2) el Shader TV, un

televisor en blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción de ambos

productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento

de electrónica, y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada

Walkman necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada

televisor necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual período de


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producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien

horas en el de montaje. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 7 dólares, mientras que

para un televisor el beneficio unitario es de cinco dólares. El problema de SONY es determinar

la mejor combinación posible de Walkman y televisores que debe producir para alcanzar el

máximo beneficio.

28. La empresa Sunco Oil produce dos tipos de gasolina (NORMAL y SUPER), cada una de ellas

mezclando dos tipos de crudo (Liviano y Pesado). Los precios de venta de cada barril de gasolina

son 7.000 y 6.000, respectivamente. Por su parte, los precios de compra de los dos tipo de crudo

son de 4.500 y 3.500 por barril, respectivamente. Se pueden comprar hasta 5.000 barriles de cada

crudo diarios. Los dos tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido en

azufre. La mezcla del petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina SUPER ha de tener

un índice de octano promedio de al menos 10 y a lo sumo un 1% de azufre. La mezcla que se

obtiene para la gasolina NORMAL ha de tener un índice promedio de octano de por lo menos 8

y a lo sumo un 2% de azufre. Los índices de octano y el contenido en azufre de los dos tipos de

crudo son

Crudo LIVIANO: Octano =12 Azufre =0.5%

Crudo PESADO: Octano =6 Azufre =2%

La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 400, y la refinería de

Sunco puede producir diariamente, hasta 9.000 barriles de gasolina. Los clientes de Sunco

actualmente demandan 3.000 barriles de la gasolina Normal y 2.000 de la gasolina Super. Sin

embargo, Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda mediante la publicidad, de modo

que por cada unidad monetaria invertida en la publicidad de cada tipo de gasolina, aumenta la

demanda diaria de ese tipo de gasolina en 0,1 barriles (si por ejemplo gasta 1000 en la gasolina

Super, aumenta la demanda de gasolina Super en 1000*0,1=100 barriles). Formular el problema

de programación lineal que permita a SUNCO OIL maximizar sus ganancias diarias

29. Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La

administración ha decidido definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y

los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno. El hospital ha realizado un

análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis períodos del día. Las características de

cada período son las siguientes:

HORA DEL DIA Período

Número

Mínimo

Enfermeras

2 AM - 6 AM 1 25

6 AM - 10 AM 2 60

10 AM - 2 PM 3 50

2 PM - 6 PM 4 35

6 PM - 10 PM 5 55


8

10 PM - 2 AM 6 40

Las enfermeras que empiezan a trabajar en los períodos 2, 3 y 4 ganan US$ 40 al día, y aquellas

que comienzan en los períodos 1, 5 y 6 ganan US$ 50 al día. ¿Cuántas enfermeras deben empezar

a trabajar en cada turno para minimizar los costos por salarios?

30. Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada.

Si siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto

es de US$ 40 por hectárea.

El capital total disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, también existen restricciones en la

disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica:

Mes Consumo m3 / Ha. Consumo m3 / Ha. Disponibilidad

Trigo Cebada m3

Octubre 900 650 57.900

Noviembre 1.200 850 115.200

Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso.

Los precios vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada.

Determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que

maximice su beneficio.

31. Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 de espacio

refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no

refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos

refrigerados y 1200 no refrigerados. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica para

minimizar costos si el tipo A se alquila a 0,3 US$/Km y el B a 0,4 US$/Km?

32. Una compañía de transportes tiene 15 camiones con capacidad 30 ton., y 6 camiones de 40 ton.

Los camiones grandes tienen un costo de 0,30 US$/Km y los pequeños de 0,25 US$/Km. En una

semana debe transportar la empresa 400 ton. en un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros

compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe

quedarse por lo menos uno de los grandes.

¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que deben movilizarse para ese transporte de

forma óptima y teniendo en cuenta las restricciones descritas?

33. La empresa CHANNEL produce el perfume Versay. Este perfume requiere de químicos y trabajo

para su producción. Dos procesos están disponibles. El proceso A transforma 1 unidad de trabajo

y 2 unidades de químico en 3 onzas de perfume. El proceso B transforma 2 unidades de trabajo y

3 unidades de químico en 5 onzas de perfume. Cada unidad de trabajo le cuesta a CHANNEL

1.000 y cada unidad de químico le cuesta 1.500. Se tiene una disponibilidad máxima de 20.000

unidades de trabajo y un máximo de 35.000 unidades de químico para este período de


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planificación. En ausencia de publicidad CHANNEL cree que puede vender 1.000 onzas de

perfume. Para estimular la demanda de ese perfume CHANNEL puede contratar una modelo

famosa a quien se le pagará 50.000 la hora, hasta por un máximo de 25 horas. Cada hora que la

modelo trabaje para la empresa se estima que incrementará la demanda de Versay en 200 onzas.

Cada onza de Versay se vende a 60.500. Determine el volumen óptimo de la producción y venta

del perfume.

34. Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1.000.000 en salarios y 1.800.000 en energía

(electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de

A que elabora gana 80 y 50 por cada unidad de B. El costo salarial, y energético que acarrea la

elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:

A B

Costo 200 100

Costo energético 100 300

Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la

empresa para que el beneficio sea máximo.

35. La empresa de computadoras COMPAQ toma las decisiones trimestral sobre la fabricación de su

mezcla de productos. Mientras toda sus líneas productivas incluyen una gran variedad de artículos

de computación, solamente se considerará un problema más simple con sólo dos productos: las

computadoras portátiles y las computadoras del escritorio. A COMPAQ les gustaría saber cuántos

de dichos productos deben fabricar para obtener máximas ganancias en el primer trimestre. Hay

varios límites del proceso que definen la capacidad productiva tanto de la computadora portátil

como la de escritorio:

(a) Cada computadora (portátil o escritorio) requiere un microprocesador. Debido a la escasez

de estos productos en el mercado, INTEL les ha asignado solamente 10,000 unidades

trimestrales

(b) Cada computadora requiere de memoria RAM. La memoria viene en 16 MB por tarjeta.

Una computadora portátil requiere 16 MB de memoria instalada (es decir, necesita 1 tarjeta

RAM) mientras una computadora de escritorio tiene 32MB (ó sea, requiere 2 tarjetas RAM).

COMPAQ dispone en inventario 15.000 tarjetas RAM para el próximo trimestre.

(c) Cada computadora requiere un tiempo de ensamblaje. Debido a las estrechas tolerancias

para ensamblar una computadora portátil, esta tarda un tiempo de 4 minutos contra 3

minutos para una computadora de escritorio. Hay 25,000 minutos disponibles de tiempo de

ensamblaje para el próximo trimestre

Bajo las actuales condiciones del mercado, costos de los materiales y sistema productivo, la venta

de cada computadora portátil genera US$ 750 de ganancia y cada computadora de escritorio

produce $1000 ganancia.

Determinar la respuesta a las siguientes preguntas:

¿Cuántas computadoras de cada tipo debe fabricar COMPAQ en el próximo trimestre para

maximizar sus beneficios?,

¿Cuánto estaría dispuesta a pagar COMPAQ por una memoria RAM adicional?


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¿Qué efecto tiene sobre la ganancia , la perdida de 1,000 minutos de tiempo de ensamblaje por

fallas en una de sus máquinas?

¿Que ganancia se requiere para justificar la fabricación de una computadora portátil con 32 MB

de RAM?

36. La empresa COMPAQ necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes

(grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 trimestres.

Actualmente COMPAQ tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para los

próximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. COMPAQ tiene el material y la Capacidad

de producir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador.

Empleando sobre tiempo del personal se pueden producir hasta 2500 computadores más a un

costo individual de US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados

para satisfacer la demanda de ese período, o bien quedar en inventario para ser usados

posteriormente. Cada computador en inventario tiene un costo adicional de US$ 100 por período

para reflejar los costos de almacenaje. ¿Como puede satisfacer COMPAQ su demanda a costo

mínimo?

37. Un ejecutivo de una empresa tiene $100.000 para invertir. Tiene dos inversiones: A y B. El Plan

A garantiza que por cada dólar invertido, se obtendrán $0,70 al final de un año (se entiende que

no puede fraccionarse este lapso de tiempo). El Plan B garantiza que por cada dólar invertido, se

obtendrán $2,00 al final de un período de dos años (se entiende que no puede fraccionarse este

lapso de tiempo). Aplicando el método SIMPLEX, asesore al ejecutivo para obtener el mejor

rendimiento por su dinero durante un período de tres años.

38. La empresa McDonald’s vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso.

La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa

con queso sólo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La

utilidad neta es la siguiente: $ 0,20 por cada hamburguesa de cuarto de libra y $0,15 por cada

hamburguesa con queso. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en

total. Aplicando el método SIMPLEX, determine la máxima utilidad que obtiene McDonald's.

39. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa

que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese

día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000

y el de cada uno de los pequeños, 6000 ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuantos autobuses de

cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible?

40. A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla

de ambos con las siguientes recomendaciones:

No debe tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g.

La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B.

No debe incluir más de 100 g de A

Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de

vitaminas y 150 calorías, utilizando el método SIMPLEX:


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a. ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en

vitaminas?

b. ¿Y el más pobre en calorías?

41. Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción

de estos está definida por las siguientes condiciones:

La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. La

producción total es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se

producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta

que une los puntos anteriores.

Dar la función objetivo de la venta de ambos productos.

Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.

Utilizando el Método SIMPLEX, determinar los kilos que se han de producir de cada producto

para obtener el máximo beneficio.

42. Una compañía petrolífera requiere diariamente 9 Tm, 12 Tm y 24 Tm de petróleo de calidad alta,

media y baja respectivamente. La compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce

diariamente 1 Tm, 3 Tm y 4 Tm de calidades alta, media y baja respectivamente. La refinería B

produce 2 Tm de cada una de las tres calidades. El costo diario de cada una de las refinerías es de

20.000.000 ¿Utilizando el método SIMPLEX, ccuántos días debe de trabajar cada refinería para

que el costo sea mínimo?.

43. Un laboratorio farmacéutico desea elaborar un reconstituyente de manera que cada frasco

contenga al menos 4 unidades de vitamina A, 23 unidades de vitamina B y 6 de vitamina C. Para

suministrar estas vitaminas se emplea un aditivo M que cuesta 100 el gramo, el cual contiene 4

unidades de vitamina A, 6 de B y 1 de C y un aditivo H a un costo de 160 por gramo que contiene

1 unidad de vitamina A, 10 de B y 6 de C. ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuántos gramos de

cada aditivo se deben incluir en cada frasco para minimizar el costo?

44. Un expendio de carnes acostumbra a preparar la carne para hamburguesas con una combinación

de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de

grasa, y le cuesta a la tienda 800 por kilo. La carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de

grasa, y le cuesta 600 el kilo. El expendio no desea que el contenido de grasa de un kilo de

hamburguesa preparada sea superior al 25%. Aplicando el método SIMPLEX, ¿Qué cantidad de

cada tipo de carne debe emplear la tienda para preparar un kilo de hamburguesas a fin de

minimizar los costos?.

45. Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas, 2 bolsas de semillas de trigo por

hectárea y 5 meses/hombre.

Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas, 1.5 bolsas de semillas de centeno

por hectárea y 9 meses/hombre.

El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a $300 y $230 respectivamente. El costo

de la bolsa de semillas de cada uno de estos productos es $20 la de trigo y $30 la de centeno.


12

El empresario que espera maximizar sus beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270

meses/hombre. Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un campo

lindero de 80 hectáreas a razón de $30 la hectárea utilizada. La ley laboral, por otra parte, le

brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $50 por meses/hombre, sin

limitación.

a. Formule el problema en términos de programación lineal.

b. Utilizando el Método SIMPLEX, determine cuál será la solución óptima del empresario y

el correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades.

c. Formule el programa dual correspondiente.

46. Una ama de casa, típico ejemplo de la economía informal, hace en sus ratos domésticos libres dos

tipos de salsa de tomate que vende en jarras de barro al supermercado de la zona. La primera

salsa, requiere utilizar 3 Kg. de tomates y 4 tazas de vinagre por jarra de salsa. La segunda requiere

5 Kg. de tomates y 2 tazas de vinagre. La primera salsa le produce un beneficio de 40 por jarra y

la segunda 50. El supermercado que remite su producción casera hacia los circuitos comerciales

(no sabemos con qué beneficio relativo) le impone a la ama de casa las siguientes condiciones:

• Que produzca como mínimo 3 jarras de salsa a la semana. • Que le compre como máximo 24

kg de tomate y 3 botellas de vinagre a la semana. Sabiendo que una botella de vinagre equivale a

16 tazas y que el supermercado monopoliza la venta de tomate y vinagre en la región. Utilizando

el método SIMPLEX, determinar los precios a los que estaría dispuesta a pagar el tomate y el

vinagre la ama de casa a otro comerciante de la economía informal, para minimizar sus costos.

47. La compañía Minas Universal opera tres minas en Puerto Ordaz, el mineral de cada una se separa,

antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las minas así como sus

costos diarios de operación son los siguientes:

Mineral de Grado alto

ton/día

Mineral de grado bajo

Ton/día

Costo de operación

miles/día

Mina I 4 4 20

Mina II 6 4 22

Mina III 1 6 18

La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de

mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos que garantizan

a los trabajadores de ambas minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la

mina esté abierta. Utilizando el método SIMPLEX, determinar el número de días que cada mina

debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a

un costo total mínimo.

48. La empresa Batisa S.A. fabrica camisas para ejes, estando especializada en dos productos:

Camisas con endurecimiento superficial mediante tratamiento térmico (Camisa tipo 1) y camisas


13

con recubrimiento cerámico (Camisa tipo 2), productos de alta aceptación en el mercado por su

alto rendimiento a la abrasión.

Ambos productos se producen mediante el mecanizado de una aleación denominada Inconel,

siendo necesario 1 kg de material para fabricar una camisa tipo 1 y 2 kg de aleación para las

camisas tipo 2.

Al ser necesario un mejor acabado superficial para recibir el tratamiento térmico, las camisas

tipo 1 necesitan un tiempo de mecanizado de 4 horas por pieza mientras que las camisas tipo 2

se mecanizan en 2 horas.

Tanto el tratamiento térmico como el recubrimiento cerámico se realizan en el mismo

departamento (Departamento de Acabado), siendo necesarias 3 y 2 horas respectivamente.

El acuerdo de suministro de material con nuestro proveedor garantiza el aprovisionamiento de

50 kg de material a la semana.

La plantilla de la empresa está compuesta por 4 personas que trabajan en conjunto 92 horas

semanales. Las 92 horas se reparten 32 en el departamento de mecanizado y 60 en el

departamento de Acabado. El coste de estas personas es de 400 € /hora siendo su contrato en

función de la carga de trabajo pudiendo ser rescindido a discreción de la empresa

Conociendo que el kg de Inconel cuesta 800 $ ( 1$=1,25 €) y que los precios de venta de las

camisas tipo 1 y 2 es 3920 € y 3700 € respectivamente: Se pide:

a. Plantear y resolver el problema de Programación lineal que maximice el beneficio de la

compañía.

b. Plantear y resolver el problema dual en función del resultado del problema Primal.

c. Justificar adecuadamente el valor del “costo de oportunidad” de las horas de mecanizado.

d. Indicar justificadamente cual sería el punto optimo de producción, si el precio de las camisas

tipo 1 subiera 50 € y el de las camisas tipo 2 bajara 5 €.

49. La empresa Polipen S.A. tiene como objeto la fabricación de material de oficina, destacando su

división de útiles de escritura.

Su línea de fabricación contempla tres productos : Lápices, Bolígrafos y Plumas.

El esquema de fabricación se indica a continuación:

La línea de ensamblaje está compuesta por 5 operarios a jornada completa y 15 operarios a media

jornada, cuyos salarios son de 400 €/ hora y 450 €/hora respectivamente. Todo el personal de

este departamento tiene un contrato de trabajo fijo.

Se ha llegado a un acuerdo con el comité de empresa para dotar de flexibilidad a la plantilla de

forma que se permite contratar al personal de la línea de empaquetado en función de la carga de

trabajo. Su coste es de 500 €/hora para un máximo de 200 horas de trabajo contratadas por

semana.


14

El horario de la fábrica es de Lunes a Viernes de 8:30 a 13:30 por la mañana y de 15:00 a 18:00

por la tarde.

La tabla siguiente indica el número de minutos necesarios para ensamblar y empaquetar cada

uno de los productos:

Lápices Bolígrafos Plumas

Ensamblaje 300 240 120

Empaquetado 60 240 180

El precio de venta de los lápices, bolígrafos y plumas es respectivamente de 506 €/unidad, 2010

€/unidad y 1505 €/unidad respectivamente

a. Plantear el problema de Programación Lineal que optimice la producción de la compañía

b. Se quiere negociar el aumentar la capacidad de empaquetado hasta un máximo de 550 horas

a la semana. ¿Cuántas horas aumentaría? ¿Cuál sería el punto óptimo en ese caso? ¿Cuál

sería el salario máximo que estaría dispuesto a negociar?

c. ¿Cuál es el aumento de precio necesario para que merezca la pena invertir recursos en

fabricar plumas?

d. Indicar cual es la bajada de precios que se puede soportar en los lápices sin que varíe el

punto óptimo.

50. La Refinería Isla S.A., produce gasolina tipos regular y primera. La refinería fabrica los productos

mezclando 3 componentes de petróleo. La empresa quiere determinar cómo mezclar los 3

componentes en los 2 productos de gasolina para alcanzar el máximo de ganancias. La gasolina

regular se vende a $0.50 por el galón y la de primera se vende a $0.54 por el galón. Cinco mil

galones están disponibles de Componente 1 cuyo costo es de $0.25 por el galón, 10000 galones

están disponibles de Componente 2 con costo de $0.30 por el galón, y 10000 galones están

disponibles de Componente 3 que cuesta $0.42 por el galón. Los compromisos actuales a

distribuidores exigen a la compañía producir 10000 galones de gasolina regular por lo menos.

Además, las especificaciones del producto requieren a lo siguiente: regular - a lo sumo 30% de

Componente 1, por lo menos 40% de Componente 2, y a lo sumo 20% de Componente 3; la de

primera - por lo menos 25% de Componente 1, a lo sumo 40% de Componente 2, y por lo menos

30% de Componente 3.

51. Una empresa proveedora de alimentos balanceados generadora de beneficios ha obtenido una

orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300

gramos de proteínas y 70 gramos de minerales.

En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:

CONTENIDO DE: PRODUCTO


15

1 2 3

FIBRAS 20% 30% 5%

PROTEÍNAS 60% 50% 38%

MINERALES 9% 8% 8%

PRECIO POR KG. $10 $15 $8

Determine:

a. ¿ Cuál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo ?

b. ¿ A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: Fibras, Proteínas y Minerales

52. La empresa MADERAS S.A. es un fabricante de muebles independiente. Hace tres estilos

diferentes de mesas, A, B, C. Cada modelo de mesa requiere de una cierta cantidad de tiempo

para el corte de las piezas, su montaje y pintura. MADERAS S.A., puede vender todas las

unidades que fabrica. Es más, el modelo B se puede vender sin pintar. Utilizando los datos

indicados. Determine la máxima utilidad mensual que puede obtener la Empresa.

Requerimiento de Horas Hombre por mesa

Modelo Utilidad por mesa Corte Ensamblado Pintura

A $ 17.500 1 2 4

B $ 20.000 2 4 4

B sin pintar $ 10.000 2 4 0

C $ 25.000 3 7 5

Disponibilidad mensual de HH 200 298 148

53. Una Empresa metalmecánica, puede fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C, D) en

cualquier combinación. La producción de cada producto requiere emplear las cuatro máquinas.

El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en la tabla

anexa Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden

vender a $8, $6, $5 y $4 por kilogramo, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de

$3 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material

para cada kilogramo de producto A es de $3. El costo de material es de $1 para cada kilogramo

de los productos B, C y D. Determinar la máxima utilidad mensual que puede obtener la Empresa.

Tiempo de máquina (Minutos por kilogramo de producto)

Producto Máquina


16

1 2 3 4

Demanda

Máxima

A 10 5 3 6 100

B 6 3 8 4 400

C 5 4 3 3 500

D 2 4 2 1 150

54. DELL COMPUTER necesita satisfacer la demanda de computadoras portátiles de su Cliente

Corporativo (PDVSA), así como de sus Clientes del Sector Educativo (USM), para los próximos

cuatro trimestres. DELL COMPUTER dispone en inventario de 5,000 computadoras portátiles.

La demanda esperada de computadoras portátiles para cada uno de los trimestres es la siguiente,

7,000; 15,000; 10,000; y 8,000 respectivamente. DELL COMPUTER tiene la capacidad

productiva y los componentes requeridos para fabricar 10,000 computadoras portátiles en cada

trimestre, a un costo unitario de $2000 por el computadora ensamblada. Usando horas extras de

sobre tiempo, DELL COMPUTER , pudiera fabricar adicionalmente hasta 2,500 computadoras

portátiles trimestrales pero a un costo de $2200 cada una ó también pueden disponerse de

computadoras fabricadas en un trimestre para satisfacer la demanda de otro trimestre ,

manteniendo las mismas en inventario . Cada computadora portátil en inventario genera un

sobrecosto de almacenamiento y despacho de $100 la unidad almacenada.

Indicar como puede DELL COMPUTER satisfacer la demanda de sus clientes al mínimo costo.

55. Una institución bancaria se encuentra en proceso de formular su política de préstamos para el

próximo mes. Para este fin, se asigna un máximo de $12.000.000. Siendo una institución de

servicios integrales, debe otorgar préstamos a todos los tipos de clientes. La tabla que sigue señala

los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el banco y la cantidad porcentual de pagos no

cubiertos estimado por experiencia.

TIPO DE PRÉSTAMO TASA DE INTERÉS PORCENTAJE DE PAGOS NO

CUBIERTOS

Personal 14% 10%

Automóvil 13% 7%

Casa 12% 3%

Agrícola 12,5% 5%

Comercial 10% 2%


17

Se supone que los pagos no cubiertos son irrecuperables y por lo tanto no producen ingresos por

concepto de interés. La competencia con otras instituciones bancarias exige que cuando menos

el 40% de la asignación de fondos sea para préstamos agrícolas y comerciales. El banco tiene,

así mismo, una política que especifica que el porcentaje total de pagos irrecuperables no debe

exceder el 4%. Determinar las condiciones para las cuales se optimizan las ganancias netas de la

institución bancaria.

56. Un restaurante de autoservicio, está abierto los siete días de la semana. Basado en la experiencia

del pasado, el número de empleados requeridos en un día particular se da como sigue:

DIA LUN. MAR. MIE. JUE. VIE. SAB. DOM.

No. OBREROS 14 13 15 16 19 18 11

De acuerdo a la norma laboral, cada obrero trabaja cinco días consecutivos, con dos días de

descanso, repitiéndose este proceso para todos los obreros. Indicar como se puede minimizar el

número de obreros requeridos por el restaurante?

57. Una firma financiera tiene $500,000 disponible para invertir y busca determinar cuánto de esa

cantidad debe ser invertida en cada una de las cuatro siguientes posibilidades: bolsa X, bolsa Y,

bonos X y bonos Y, en el lapso de un año. Un máximo de $105,000 puede ser invertido en bonos

de tipo X y un máximo de $100,000 puede ser invertido en bonos del tipo Y. La inversora sabe

que existe un riesgo considerable asociado con la inversión en la bolsa X. Por lo tanto, ha

determinado que no invertirá más de un cuarto de su inversión total en la bolsa X. También la

cantidad total invertida en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa

X. Además, la inversora requiere que la inversión en bonos sea al menos tan grande como la

mitad de sus inversiones en las bolsas. Los retornos netos anuales son:

Bolsa X 20%

Bolsa Y 10%

Bonos X 9%

Bonos Y 11%

58. Una compañía de inversiones tiene que elegir entre cuatro proyectos que compiten por un

presupuesto de inversión fijo de US$1,500,000. En la la tabla anexa, se muestran la inversión

neta y los rendimientos estimados de cada proyecto. A cada uno de estos proyectos se le pueden

asignar fondos en cualquier nivel fraccional menor o igual al 100%. La compañía requiere de un

rendimiento mínimo del 25% y desea minimizar el riesgo.

Supóngase que el riesgo es aditivo. Por ejemplo, el riesgo de asignar fondos para aceites al 20%

y para edificio de oficinas al 50% será (0,2)(9) + (0,5)(4) = 3,8. Elabore un modelo de PL donde

las variables de decisión sean las fracciones de cada proyecto que se debe llevar a cabo.


18

Proyectos de inversión

Proyecto Monto de la

inversión (US$) Retorno

estimado

(US$)

Riesgo

Centros Comerciales 550.000 700.000 6

Aceite 400.000 900.000 9

Edificios de Oficinas 450.000 550.000 4

Viviendas para Bajos Ingresos 500.000 600.000 2

59. En la empresa PROLINEAL S.A., el departamento de ingeniería señala que cuando se produce

el bien 1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo;

utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la

capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se

produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de

la capacidad instalada de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del

bien en cuestión.

El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3.

En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción

argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá

ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que

realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de

A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el

mercado con un beneficio neto unitario de $14.

Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación

lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que dé su

opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de

los dos gerentes.

60. La empresa avícola PROTINAL, desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus

necesidades de nutrición a un costo mínimo. PROTINAL está estudiando el uso de maíz, soya,

avena y alfalfa, cuya información dietética se muestra en la Tabla anexa, en miligramo por libra

de oleaginosa. (por ejemplo, 1 libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Resuelva el

modelo de programación lineal para determinar la mezcla dietética que satisfará los requisitos

diarios a un costo mínimo.

Nutriente Maíz Soya Avena Alfalfa Necesidades diarias


19

Proteína (mg) 15 30 15 7 Mínimo 50 mg

Calcio (mg) 40 10 40 45 Mínimo 150 mg

Grasas (mg) 20 50 8 25 Mínimo 25 mg

Máximo 120 mg

Calorías 850 1500 1200 4000 Mínimo 5000 calorías

Costo por Libra ($) 70 45 40 90

61. Al gerente de cartera de un fondo de pensiones se le ha pedido invertir $1.000.000 en un gran

fondo de pensiones. El Departamento de Investigación de Inversiones ha identificado seis fondos

mutuales con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales

y riesgos asociados, como se resume en la tabla siguiente.

FONDOS

1 2 3 4 5 6

Retorno (%) 30 20 15 12 10 7

Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

La administración ha especificado las siguientes pautas:

• La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre el 50% y el 75% de la

cartera.

• La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre el 20% y el 30% de

la cartera.

• La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser de al menos el 5% de la cartera.

• La cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 debe estar en relación proporcional de

1:2.

• La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe estar en la proporción 1:2.

Determine los fondos mutuales que maximicen el beneficio al final del período

62. Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, normal y super, que vende a sus estaciones

de servicio a 120 y 140 por litro respectivamente. Ambos tipos de gasolina se realizan mezclando

combustible nacional y extranjero de sus almacenes y debe cumplir las siguientes

especificaciones:

Presión de Octanaje Demanda Despachos

Vapor Mínimo Máxima Mínimos

Máxima (Lts/semana) (Lts/semana)


20

NORMAL 23 88 100.000 50.000

SUPER 23 93 20.000 5.000

Las características del combustible disponible en el almacén son:

Presión de Octanaje Almacén Costo

Vapor Mínimo (litros) (Bs/Lit)

1ACIO1AL 25 86 40.000 80

IMPORTADA 15 98 60.000 150

Determinar:

¿Qué cantidades de combustible nacional y extranjero deben mezclarse para producir las dos

gasolinas y obtener los máximos beneficios semanales?

NOTA: Los componentes de la mezcla contribuyen al octanaje (y a la presión de vapor) de

acuerdos a su porcentaje en la mezcla.

63. Un industrial agrícola fabrica alimentos para vacas, ovejas y pollos. Esto se hace mezclando los

siguientes ingredientes: maíz, piedra caliza, soja y harina de pescado. Estos ingredientes

contienen los siguientes nutrientes: vitaminas, proteína, calcio y grasa. Los contenidos de los

nutrientes en cada kg de los ingredientes se resumen en la tabla:

1utriente

Ingrediente Vitamina Proteína Calcio Grasa

Maíz 8 10 6 8

Piedra caliza 6 5 10 6

Soja 10 12 6 6

Harina de Pescado 4 8 6 9

El industrial es contratado para producir 10, 6 y 8 ton métricas de los tres tipos de alimentos.

Debido a escasez, una cantidad limitada de los ingredientes está disponible, concretamente: 6

ton de maíz, 10 ton de piedra caliza, 4 ton de soja y 5 ton de harina de pescado. El precio por

kilogramo de estos ingredientes es, respectivamente, $0,20, $0,12, $0,24 y $0,12. Las unidades

máximas y mínimas de nutrientes permitidas por kg de alimento se detallan en la siguiente tabla:


21

1utriente

VITAMINA PROTEÍNA CALCIO GRASA

PRODUCTO min max min max min max min max

Al. vaca 6 6 7 4 8

Al. oveja 6 6 6 4 6

Al. pollo 4 6 6 6 4 6

Determinar la composición del alimento que minimice su costo total.

64. Una compañía produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en

$10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de

tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada metro del tubo

B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la

producción, cada metro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo

total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente

semana, la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan

2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como sólo se dispone

de 40 hrs. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5,500 kgs de material

de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000

kgs de material para soldar y más tiempo de producción. No se espera que continúe este alto nivel

de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia esta

considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega

de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos

datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de producción, se le ha

pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la

cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la

Compañía.

Tabla 1: Datos referentes al problema:

Tubo

tipo Precio de

Venta

($/metro)

Demanda

(metros) Tiempo de

Máquina

(min/metro)

Material

para soldar

(kg/metro)

Costo de

Producció

n ($/metro)

Costo de

compra a Japón

($/metro)

A 10 2,000 0.50 1 3 6

B 12 4,000 0.45 1 4 6

C 9 5,000 0.60 1 4 7

Formule el modelo de PL


22

65. La empresa REPSOL-YPF, obtiene 4 tipos de petróleo crudo de sus reservas en Argentina, Norte

de África, Indonesia y Oriente Medio. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla

junto con dos aditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos contienen

azufre y fósforo, según se muestra en la tabla adjunta:

Argentina Indonesia África Oriente Aditivo A Aditivo B

AZUFRE (%) 0,07 0,08 0,1 0,06 - -

FÓSFORO (%) - - - - 0,025 0.020

COSTO (US$/galon) 0,55 0,47 0,33 0,45 0,08 0,15

Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo de Argentina da lugar a 0.35 galón de

producto final, cada galón de Norte de Africa da lugar a 0.3 galón de producto final, cada galón

de Indonesia da lugar a 0.4 galón de producto final y cada galón de Oriente Medio da lugar a

0.45 galón de producto final. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones técnicas

para controlar las cantidades de azufre y fósforo en la gasolina:

* Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre.

* Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gr. de fósforo.

* La cantidad total de aditivos no puede exceder del 20% de la mezcla.

Plantee un modelo de programación lineal que le permita determinar un plan de mezclado que

produzca una gasolina aceptable al mínimo costo.

66. La empresa PARMALAT tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche

descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir

cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:

LECHE

DESCREMADA

MA1TEQUILLA

QUESO

MAQUI1A #1 (min/galón) 0,2 0,5 1,5

MAQUI1A #2 (min/galón) 0,3 0,7 1.2

GA1A1CIA 1ETA (US$/Galon) 0,22 0,38 0,72

Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como Gerente del

Departamento de Administración formule un modelo para determinar un plan de producción

diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de

leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso.

67. Considere un presupuesto de publicidad de $30,000 para un nuevo producto ligeramente caro.

Por lo menos deben usarse 10 anuncios de la televisión, y por lo menos deben localizarse 50,000

compradores potenciales durante la campaña. También, un máximo de $18,000 pueden gastarse


23

los anuncios en la televisión. ¿Dado los datos incluidos en la Tabla anexa determinar el plan de

medios de comunicación de publicidad óptimo que aumentará al máximo las compras esperadas?

Tipo de medio Familias

Encuestadas

Costo Por

aviso

Máximo

disponible

Expectativa de

compra

TV-de día (1 min.) 1,000 $1,500 15 65

TV-tarde. (30 sec.) 2,000 $3,000 10 90

Periódico semanal 1,500 $400 25 40

Periódico domingo 2,500 $1,000 4 60

Radio (30 sec.) 300 $100 30 20

68. Knoxville Survey S.A. se ha contratado para dirigir la puerta-a-puerta las entrevistas personales

para obtener la información de ambas casas con y sin niños para un estudio de mercado. Además,

las entrevistas se realizaran mañana y tarde para permitir incluir una variedad de actividades de

trabajo de la casa. La empresa debe dirigir 1,000 entrevistas bajo las pautas siguientes:

a. Por lo menos se entrevistarán 400 casas con los niños.

b. Por lo menos 400 casas se entrevistarán sin niños.

c. El número total de entrevistas de la tarde será por lo menos tan grande como el número total

de entrevistas del día.

d. Por lo menos se dirigirán 40% de entrevistas para las casas con niños durante la tarde.

e. Por lo menos 60% de entrevistas para las casas sin niños durante la tarde.

Los costos de la entrevista son $20 durante niño-día, $25 por niño-tarde, $18 durante ningún

niño-día, y $20 durante ningún niño-tarde. ¿ Determinar cuántas entrevista de cada tipo debe

hacerse para minimizar los costos del estudio de mercado?

69. La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construcción de 100 casas. El contrato la obliga

a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para

Constructora Casas, éstas tienen un margen de utilidad diferente, así las casas tipo campo arrojan

$ 5.100.000 y las de tipo rancho $ 5.000.000. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los

nueve meses de firmado el contrato. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla:

Requerimiento de horas por tipo de

casa Disponibilidad horas

de

Campo Rancho

200 100 12000

Carpintero


24

50 120 13000

Albañil

a. Formule el problema de programación lineal.

b. Encuentre la solución óptima gráficamente.

c. Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de casa denominada “Colonial” que da un

margen de utilidad de 4.900.000/casa y que requiere de 150 hr-carpintero/casa y 80

hralbañil/casa. Explique si conviene o no fabricar las casas.

70. Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido

una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300

gramos de proteínas y 70 gramos de minerales.

En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:

CONTENIDO

PRODUCTO

DE: 1 2 3

FIBRAS 20% 30% 5%


MINERALES 9% 8% 8%


Conteste:

a. ¿ Cuál será la proporción de cada producto en el compuesto óptimo ?

b. ¿ A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: Fibras, Proteínas y Minerales ?

c. ¿Cómo cambiaría su respuesta a cada uno de los puntos anteriores si se exige que cada

unidad de compuesto pese un kilo exactamente?

71. En el zoológico municipal, se requiere un compuesto de carne para alimentar a los leones, que

contenga igual cantidad de proteínas y de grasa. Según un estudio de mercado, los distintos tipos

de carne tienen las siguientes características y los siguientes precios:

CO1TE1IDO

CAR1E TIPO:

DE: A B C

GRASAS 16% 18% 25%



25


Si se desea minimizar el costo de la alimentación de las fieras:

a. Plantee el problema en términos de programación lineal.

b. Plantear el programa dual al planteado por usted.

c. Encontrar la combinación óptima de tipos de carne a adquirir que minimiza el costo de la

dieta por kilogramo de ración.

72. En la empresa PROLINEAL, el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien

1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo; utilizando a

pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la capacidad de las

máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se

utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de la capacidad instalada

de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión.

El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3.

En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción

argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias A, convendrá

ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que

realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de

A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el

mercado con un beneficio neto unitario de $14.

Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación

lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que dé su

opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de

los dos gerentes.

73. En una economía lineal, se requiere por hectárea 2 hombres, 6 bolsas de semillas y 3 de

fertilizantes; para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal. Por otra

parte, para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesitan, en cambio,

por hectárea; 4 bolsas de semillas, 2 de fertilizantes y 3 hombres.

Una vez cosechada la producción, ésta debe almacenarse en silos del tipo A, B y/o C, cuyas

capacidades son de 100 toneladas de cereales cada uno (alternativamente, debe venderse a un

precio de $100 la tonelada de cereal sea cual fuere el producto).

Los silos del tipo A sólo almacenan trigo; los del tipo B sólo cebada, mientras que los del tipo C

pueden almacenar ambos productos simultánea o indistintamente.

Los valores pertinentes a los enunciados anteriores son:

- Costo por bolsa de semilla de trigo $5

- Costo por bolsa de semilla de cebada $10

- Costo por bolsa de semilla de fertilizantes $10

- Precio por tonelada de trigo $190

- Precio por tonelada de cebada $160 - Cantidad de silos: uno de cada tipo.


26

- Cantidad de hombres: 320

- Cantidad de Hectáreas: 120

(Los precios rigen para la venta después del período de almacenamiento).

a. Plantee el problema global (de producción y de almacenamiento) en términos de

programación lineal, si el objetivo es maximizar los beneficios.

b. Plantee y resuelva únicamente el problema de producción.

c. Plantee el dual de a) y la primera tabla de simplex.

74. En una fábrica de guardapolvos se pueden producir tres tipos de prendas.

- La primera de ellas requiere dos horas hombre del taller de cortado y cuatro horas hombre del

taller de cosido.

- El segundo artículo se fabrica utilizando una hora hombre del taller de cortado y cinco del de

cosido.

- La confección de la última especie de prenda requiere tres horas hombre de cada uno de los

talleres señalados.

Cada una de las prendas que es factible producir consume respectivamente, por unidad; dos, tres

y cinco metros cuadrados de tela cuyo costo por metro cuadrado es de $3. Si la empresa dispone

en cada taller respectivamente de 100 cortadores y de 350 cosedores, operarios que deben

cumplir con 200 horas de trabajo mensual cada uno, y se verifican las condiciones necesarias

para la aplicación de la programación lineal:

a. Determine cuál será la asignación óptima de la mano de obra entre las distintas actividades

si el precio de los tres tipos de guardapolvos -al que pueden venderse cantidades ilimitadas

de los mismos- es de $20, $26 y $40 cada uno, respectivamente.

b. Conteste: ¿produciría una nueva prenda cuyo precio es de $52 y que requiere 4 horas hombre

de cortado y 5 de cosido, consumiendo 6 metros cuadrados de tela?

c. Plantee el problema en términos de programación lineal si cada operario del plantel de

cortadores pudiera trabajar 20 horas extras mensuales a un costo de $4 la hora adicional.

75. Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada

actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado.

Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las

plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija.

El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda

fabricar.

El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de

producción y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso

requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de

envasado, por cada 100 unidades de detergente.

Conteste:

a. ¿Cuál es el programa óptimo de producción y a cuánto ascenderá el beneficio esperado?


27

b. ¿Cuál planta aconsejará usted ampliar, si ello fuera posible y de muy bajo costo, y en qué

porcentaje ?

76. En una economía lineal, para producir 3 unidades de trigo se requieren 6 unidades de tierra, $8

en semillas y 3 trabajadores. Para producir 4 unidades de centeno se requieren 5 unidades de

tierra, $10 de semillas y 6 trabajadores.

El precio por unidad de trigo y centeno es $15 y $20,5 respectivamente, siendo las cantidades

disponibles de tierra y de trabajo de 100 y 130 unidades respectivamente.

Si el empresario desea optimizar el resultado de su explotación, interprete la solución del dual.

77. Usted, como vendedor de FERRETERIA S.A. tiene que decidir cómo asignar sus esfuerzos entre

los diferentes tipos de clientes de su territorio. Usted debe visitar comerciantes mayoristas y

clientes que compran al detalle. Una visita a un comerciante mayorista usualmente le produce

$20 en ventas, pero la visita en promedio dura 2 horas y debe manejar también en promedio 10

Km. En una visita a un comprador al detalle, le vende $50 requiere de unas 3 horas y 20 Km

manejando su carro aproximadamente. Usted planifica viajar como máximo 600 Km por semana

en su carro y prefiere trabajar no más de 36 horas a la semana. Encuentre la combinación óptima

de visitas a comerciantes y clientes al menudeo que le permitan maximizar sus ganancias

78. El grupo ANTAR, S.A. está analizando la posibilidad de diversificar sus inversiones, hacia

sectores diferentes de donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para

inversiones de esta naturaleza se ha fijado en $100,000,000. Tomando en cuenta las áreas de

inversión actuales, el director de finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones sean en la

INDUSTRIA PETROLERA, LA INDUSTRIA SIDERÚRGICA Y EN CETES.

Específicamente, el director ha identificado siete oportunidades de inversión, así como las tasas

de rendimiento esperadas de las mismas. Dicha información se da a continuación.

OPCIO1ES DE I1VERSIÓ1 TASA DE RE1DIMIE1TO (%)

Petróleo y Derivados, S.A.

Industria Petrolera, S.A.

Petróleos del Norte, S.A.

Aceros Monclova, S.A.

Siderúrgica Nacional, S.A.

Hierro y Acero, S.A.

CETES

50

75

40

70

45

55

60


28

a. No se debe destinar más del 50% del total de la inversión a una industria en particular.

b. La inversión en CETES debe ser por lo menos el 25% del total invertido en siderurgia.

c. La inversión en Industria Petrolera S. A., la cual resulta ser la de mayor rendimiento aunque

también la de más alto riesgo, no puede exceder al 50% del total a invertir en el sector

petrolero.

d. El total a invertir en siderúrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petróleo.

• Formular el modelo como uno de PL

• Desarrollar el modelo Matemático

79. Texas Instruments Inc. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a su

línea con el fin de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados y

evaluados. Cada uno requerirá de una inversión de $300,000. El computador 1 tiene un valor

esperado en las ventas de 50,000 unidades por año como máximo, con una contribución en las

utilidades de $20 por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de

300,000 y 100,000 unidades, respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. La

TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de planta técnica para estos nuevos productos.

Los computadores 1, 2 y 3 requieren 1, 0.2 y 0.5 horas técnicas por unidad respectivamente. El

sistema de empaque y despachos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema

puede empacar y despachar como máximo 25,000 cajas con minicomputadores 1, 2 y 3. El

minicomputador 1 es empacado sólo, en 1 caja; los computadores 2 y 3 son empacados de a 4

computadores por caja. Formule un modelo de programación lineal para determinar las decisiones

que aporten la máxima utilidad a la TEI.

80. En un contexto que usted puede asumir como lineal, una fábrica de jeans produce varios modelos

de pantalones:

- El modelo "Basic" (B), que requiere 2 m2 de tela denim, 3 minutos hombre del taller de cortado

para cortar las distintas piezas y 6 minutos hombre del taller de cosido. El empaque se hace en

un minuto y cada prenda esta lista para ser despachada previo desembolso de tres pesos por

prenda en concepto de caja de embalaje y apliques varios en cada pantalón.

- El modelo "Basic plus" (BP) no es otra cosa que el modelo anterior al que se le agrega un

bordado muy bonito cuya confección requiere de 1 minuto de la utilización del taller de

bordado.

- El modelo "Basic plus ultra" (BPU) es igual al modelo Basic plus pero esta confeccionado

previo planchado de la tela -que requiere de un lapso de 2 minutos por prenda de la concurrencia

de Juanita, la planchadora-.

- Los modelos B largo, BP largo y BPU largo son variantes de los modelos comunes descriptos,

pero requieren un 10% más de cada uno y de todos los insumos por prenda. Existe, sin embargo,

una limitación dado que no es posible producir más de 30 de estas prendas en total, limitación

que no rige para las prendas comunes.

Los parámetros relevantes son los siguientes:

- Costo de la tela por m2 $10.


29

- Capacidad máxima disponible mensual en horas hombre del taller de cortado 2000; del taller

de cosido 800; del taller de bordado 250; del taller de empaque 70. Juanita sólo trabaja 100

horas efectivas mensuales.

- Los jeans comunes B, BP y BPU se pueden colocar en cantidades ilimitadas a $30, $40 y $50

respectivamente y los modelos BL, BPL y BPUL de igual modo, a $34, $43 y $56

respectivamente.

a. Formule el problema en términos de programación lineal.

b. Si fuera posible obtener un 50% de horas adicionales del taller de cortado a un precio de $1

por minuto, ¿cómo modificaría su planteo?

81. Un complejo industrial produce dos productos, A y B, los que comercializa en mercados

perfectamente competitivos a $120 y $630 por unidad respectivamente.

Para producir cada uno de estos bienes se requieren respectivamente por cada 100 unidades, 4 y

8 horas/operario y, 1 y 3 horas/supervisor. También se necesita de máquinas tipo X y de tipo Y

para el procesamiento de estos productos. El parque de máquinas tipo X tiene una capacidad para

procesar 40 y 60 unidades de cada uno de los productos citados respectivamente por minuto y

en forma simultánea. Mientras que el parque de máquinas de tipo Y utiliza igual tiempo de

procesamiento por producto pero en forma secuencial, de modo que, por ejemplo, si se procesa

A al máximo admisible por minuto no se puede procesar unidad de B alguna en igual lapso. El

producto B requiere a su vez como insumo de 2 unidades de A por cada unidad de B. La materia

prima indispensable para producir A es de 2 kg. por unidad cuyo costo por kg. es de $10, en la

medida en que no se excedan las 10 toneladas de consumo por período y de $15 por el excedente

de dicho tonelaje, si lo hubiera.

La empresa considerada dispone de 10 operarios y de 3 supervisores y, en cada período, de 7

horas-máquina tipo X y de 13 horas-máquina del otro tipo. Las horas efectivas de trabajo suman

9 horas por período y por trabajador. Es posible disponer horas/operario extra a un costo de $60

la hora. El equipo de ventas puede comercializar hasta un máximo de 3000 y 8000 unidades de

A y B respectivamente por período. Cuando no se especifica la duración, el período se asume de

una duración de 9 horas.

Suponiendo que se cumplen los supuestos para la aplicación de la programación lineal:

a. Plantee en términos de programación lineal el problema de optimización que enfrenta la

Dirección del complejo industrial.

b. Plantee e interprete el problema dual si no existieran horas extras ni precios diferenciales

por insumos, ni restricciones a la comercialización.

82. Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de 100 horas operario y dos plantas

ubicadas en distintos puntos geográficos del país debe satisfacer los pedidos diarios de tres

comerciantes en distintas zonas. Los costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete

de envasados se resume en la siguiente tabla:

Tarifa por paquete desde

planta hasta el comercio

Planta I Planta II


30

Comerciante A $ 4 $ 7

Comerciante B $ 6 $ 5

Comerciante C $ 5 $ 8

La elaboración diaria de cada paquete de envasados en la planta I requiere de 1/2 hora operario,

4/3 % de utilización de la capacidad de la maquinaria para envasado y de $ 2 en concepto de

insumos varios. La planta II-cuya tecnología es menos eficiente- requiere un 50% mas de todos

los insumos por unidad de producto . El precio uniforme por paquete es de $ 13 y las cantidades

diarias requeridas por los tres clientes es respectivamente de 50 , 60 y 40 paquetes

a. Plantee el problema de optimización que se le presenta al empresario en términos de PL.

b. Si cada planta, en el planteo anterior, produjera 50 y 100 paquetes respectivamente, obtenga

un plan de transporte óptimo, independientemente de los costos de producción.

83. Asuma que debe programar la producción de una empresa agrícola en cada uno de los siguientes

cuatro periodos en los que son elegibles tres cultivos posibles- el A, el B y el C -, existe una

restricción de tierra (T), los coeficientes de insumo producto son conocidos e iguales para cada

cultivo en los distintos periodos pero diferentes entre sí (a, b y c) y los precios netos (Pat, Pbt y

Pct) son datos en todos los periodos. Existen además las siguientes restricciones de rotación: i)

no se puede cultivar el mismo producto en la tierra en que se lo cultivó en el periodo anterior y

ii) no se puede cultivar C en más de dos periodos en la misma tierra. Formule el programa lineal

a resolver.

84. Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido

una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300

gramos de proteínas y 70 gramos de minerales pero que no excedan respectivamente de 150, 400

y 90 gramos. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes

características:

CO1TE1IDO

PRODUCTO

DE: 1 2 3

FIBRAS 20% 30% 5%


MINERALES 9% 8% 8%

PRECIO POR KG $10 $15 $8


31

Si el compuesto no puede pesar más de 500 gramos- o si lo hace se debe pagar una multa de 20

centavos por gramo excedente por los primeros 50 grs y de 30 centavos si excede de 50 grs-

formule el problema de optimización que enfrenta el empresario en términos de PL si debe

producir 10.000 unidades del compuesto.

85. La empresa LAVAELECTRO S.A. es fabricante de dos componentes mecánicos para una gran

compañía de lavadoras de ropa. La compañía fabricante de lavadoras hace pedidos trimestrales a

LAVAELECTRO S. A. Los requerimientos mensuales varían de un mes a otro, dedo que a venta

de lavadoras se ve afectada por cierta estacionalidad, LAVAELECTRO S. A. acaba de recibir

una orden para el siguiente trimestre, la cual se detalla a continuación.

MES

Componente Enero Febrero Marzo

X-126 A 30,000 20,000 40,000

X-112 C 10,000 20,000 30,000

Después que se procesa la orden, se envía una requisición al departamento de control de

producción, en donde elaboran una programación trimestral para ambos componentes. El

gerente de producción opina que lo mejor es fabricar en promedio 30,000 = (30,000 + 20,000 +

40,000)/3 unidades por mes del primer componente, y 20,000 = (10,000 + 20,000 + 30,000)/3

unidades por mes del segundo componente, con lo cual se tendría un nivel de producción

constante. Por otra parte, el gerente de finanzas no opina lo mismo que el de producción, dado

que con una producción constante, el nivel de inventarios para los componentes sería alto,

redundando en un alto costo financiero. Específicamente, el inventario que se generaría con una

producción constante es:

Mes Inventario Inicial Producción Ventas Inventario

Final

X-126A 0 30,000 30,000 0

1 0 30,000 20,000 10,000

2 10,000 30 ,000 40,000 0

Y-112C

1 0 20,000 10,000 10,000

2 10,000 20,000 20,000 10,000


32

3 10,000 20,000 30,000 0

Por tanto, el gerente de finanzas sugiere que se produzca únicamente lo que se va a vender en

cada mes. A esta sugerencia, el gerente de producción ha contestado que sería muy costoso para

la compañía tener tiempo ocioso en la maquinaria durante ciertos meses al variar el nivel de

producción; y además, que sería aún más costoso para la empresa, disponer de diferentes niveles

de mano de obra de un mes a otro. El gerente de control de la producción ha decidido conciliar

los objetivos en conflicto de los gerentes de producción y de finanzas, para la cual ha obtenido

la siguiente información:

Mes

Capacidad en maquinaria

(horas)

Capacidad en

mano de obra

(horas)

Capacidad en

almacén

(m2)

Enero 800 1,000 300

Febrero 1,000 1,000 300

Marzo 1,500 1,000 300

Componente Horas-máquina

unidad

por Horas-hombre

por unidad

Espacio unitario

(m2)

X-126A 0.10

0.05 0.30

Y-112C 0.15

0.05 0.25

Adicionalmente, se sabe que el costo de producción es $3,000 para el primer componente y

$2,000 para el segundo; el costo de mantener una unidad en inventario se estima en 5% del costo

de producción y actualmente se tienen en inventario 10,000 unidades del primer componente y

5,000 unidades del segundo; el costo por hora-hombre contratada adicionalmente es $1,000 y

por hora-hombre no utilizada es $500.

¿Qué programa de producción debe establecer el gerente de control de producción?

86. Una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos

distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado

por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente

verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo

tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo)

sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500

horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le


33

permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las

utilidades será proporcional a esa fracción.

Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600

horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que

maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor

combinación.

a. Formule el modelo de programación lineal para este problema.

b. Resuelva este modelo con una gráfica. ¿Cuál es la ganancia total estimada?

c. Indique por qué parece que cada una de las cuatro suposiciones de programación lineal se

satisface razonablemente en este problema. ¿Está en duda alguna de las suposiciones?

Si así es, ¿Qué puede hacerse para tomar en cuenta esto?

87. Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no

redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere

dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente

tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción.

Tipo de máquina Tiempo disponible

(en horas-máquina por semana)

Fresadora

Torno

Rectificadora

500

350

150

El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es:

Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)

Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3

Fresadora

Torno

Rectificadora

9

5 3

3

4 0

5

0 2

El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2

exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20

unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los

productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la

compañía para maximizar la ganancia. Formule y resuelva el modelo de programación lineal

para este problema.

88. Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de

alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la

siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un

kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de

los alimentos:


34

Ingrediente nutricional Maíz (Kg) Grasas (Kg) Alfalfa

(Kg.)

Requerimiento

(mín./dia)

Carbohidratos

Proteínas

Vitaminas

90

30

10

20

80

20

40

60

60

200

180

150

Costo (US$) 42 36 30

Formule y resuelva el modelo de programación lineal.

89. La compañía UNITECH tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres

pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad

adicional para esto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico, que

darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de

mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una, sin importar el

tamaño o la combinación de tamaños de que se trate.

La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación

en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta con 13000, 12000 y 5000 pies

cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción

diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y

12 pies cuadrados, respectivamente.

Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 650 unidades diarias,

correspondientes a los tamaños grandes, mediano y chico.

Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna

flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción adicional que se les asigne emplee el

mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan. El gerente quiere saber cuántas

unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule y

resuelva el modelo de programación lineal.

90. Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40,000 para invertir. Sus

miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de

invierno (mediados de Mayo a mediados de Septiembre) y 4000 horas-hombre durante el verano.

En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las

emplearán para trabajar en un campo vecino por $5. la hora durante los meses de invierno y por

$6 la hora en el verano.

Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de

granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada

vaca requerirá un desembolso de $1,200 y cada gallina costará $8.

Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en

el verano; cada una producirá un ingreso anual de $1600 por venta de leche para la familia. Las

cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombres en el invierno,

0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual de $15 por venta de huevos. Caben 3000

gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones

de las horas-hombres y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son:


35

Soya Maíz Avena

Horas-hombre en invierno

Horas-hombre en verano

Ingreso neto anual ($)

20 50

600

35 75

950

10 40

480

La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas

vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Por compromisos con la

comunidad local deben comprar a lo menos 5 vacas.

Formule el modelo de programación lineal para este problema.

91. Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos

compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se

resumen enseguida:

Compartimiento Capacidad de peso

(toneladas)

Capacidad de espacio

(pies cúbicos)

Delantero

Central

Trasero

12 18

10

7000 9000

5000

Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe

ser proporcional a su capacidad.

Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:

Carga Peso

(tonelada

s)

Volumen

(pies cúbicos/tonelada)

Ganancia

($/tonelada)

1 2

3 4

20 16

25 13

500 700

600 400

320 400

360 290

Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de

cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para

maximizar la ganancia del vuelo.

Formule y resuelva el modelo de programación lineal.


36

92. Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo

producto de la GMC. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades

adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con 3 elementos básicos: A,

B, C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener, por lo menos, 5 libras de elemento

básico A, por lo menos 100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. El mineral

de cada una de las 4 minas contiene los 3 elementos básicos, pero en distintas proporciones. Sus

composiciones en libras/toneladas, y los costos de extracción de los minerales de cada mina son:

Elemento

MI1A MI1A Costos en U$/Ton

mineral

de

Básico 1 2 3 4 1 800

A 10 3 8 2 2 400

B 90 150 75 175 3 600

C 45 25 20 37 4 500

GMC desea hallar la combinación (mezcla) de costo mínimo para fabricar la banda.

93. Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un

ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo

de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente, indicar ¿Qué

cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a

un costo total mínimo?

Jugo de

1aran

ja

Jugo de

Toron

ja

Jugo de

Aránd

ano

Existencia

[gal]

Costo

[$/gal]

Bebida A 40 40 0 200 1,50

Bebida B 5 10 20 400 0,75

Bebida C 100 0 0 100 2,00

Bebida D 0 100 0 50 1,75

Bebida E 0 0 0 800 0,25


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ota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una

determinada bebida.

94. Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega

al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas

en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y

el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10

horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. Los costos fijos

semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de

obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar

son vendidos a la planta a $6.5 cada uno.

El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la

empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana

por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de

mercado.

Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un

dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede

ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo

acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado

y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita

responder la consulta e indicar ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de

maximizar las utilidades?

95. Un producto se puede formar de 4 unidades del componente A1 junto con 3 unidades del

componente B1, o se pueden utilizar 3 unidades del componente A2 junto con 4 unidades del

componente B2. En cualquiera de las dos opciones, usted puede suponer que la calidad del

producto es la misma. Las componentes A1 y B1 se fabrican en la Fábrica UNO y las

componentes A2 y B2 se fabrican en la Fábrica DOS. Cada componente necesita 3 materiales P,

Q y R. Sin embargo, se utilizan en diferentes proporciones. Las cantidades usadas dependen del

lugar y del tipo de componente a elaborar. Actualmente se dispone de 400 unidades de P, 300 de

Q y 500 de R. Plantear el problema de programación lineal asociado que permita determinar el

número de corridas de producción en cada fábrica, tal que maximice la producción total del

producto terminado, si se conoce la siguiente tabla:

Fábrica Unidades requeridas por

corrida

Unidades producidas por corrida

Material P Q R A1 B1 A2 B2

UNO 7 3 10 5 6 0 0

DOS 5 6 5 0 0 7 8


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96. Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de

los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier

año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión

inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años

después. Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada

dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará

disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio de

año retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber

¿cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año 6?

97. Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (A, B, C y D) usando dos

procesos de reacción diferentes (1 y 2). Por cada hora que se realiza el proceso 1 éste entrega 400

lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de C. El proceso 2 entrega 100 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs

de D por hora. El departamento de marketing ha especificado que la producción diaria debe ser

no más de 500 lbs de B y 300 lbs de C y al menos 800 lbs de A y 100 lbs de D. Una corrida del

proceso 1 tiene un costo de US$ 500 y una corrida del proceso 2 tiene un costo de US$ 100.

Suponga que una libra da cada químico A, B, C y D se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 dólares,

respectivamente. Formule un modelo de programación lineal y encuentre la solución óptima

(todas en caso de existir óptimos alternativos).

98. Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y

jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres tipos.

Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años, después del

cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos del período para

los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor de salvamento).

Vehículo Costo [US$] Ingresos primer

año [US$]

Ingresos segundo año

[US$]

Automóvil 7000 3000 5400

Camioneta 6500 2300 5300

Jeep 5800 2100 5000

Aún cuando la empresa puede pagar el costo de los vehículos inmediatamente, puede también

decidir diferir parte del costo de los vehículos al final del primer o segundo año. El costo del

crédito es de 14% anual. La empresa debe pagar por lo menos el 20% de la inversión inicial al

recibir un vehículo y por lo menos el 50% de la inversión inicial más los intereses del crédito

deben haber sido pagado al final del primer año. La empresa dispone de US$ 2000000 (2

millones) para la compra de vehículos este año. La compañía usa una tasa de descuento del 15%

para efectos de financiamiento (es decir, US$ 100 hoy valen US$ 85 dentro de un año). Todo

excedente en cualquier año es invertido en otros rubros y, por lo tanto, no puede considerarse en

pagos futuros. Formule un modelo de programación lineal para el problema y resuelva.


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99. La Canadian Parks Commission controla dos zonas. La zona 1 consiste en 300 acres y la zona 2,

de 100 acres. Cada acre de la zona 1 se puede usar para abetos o caza, o ambos. Cada acre de la

zona 2 se puede usar para abetos o para acampar, o para ambas cosas. El capital (en cientos de

dólares), la mano de obra (días-trabajador) que se requieren para conservar un acre de cada zona

y la utilidad (en miles de dólares) por acre para cada uso posible se proporciona en la tabla. Hay

un capital disponible de 150000 dólares y 200 días - hombre. ¿Qué usos se le pueden asignar a

las zonas para maximizar la utilidad que se obtenga de las dos zonas?

TABLA

Zona Uso Capital Mano de

Obra

Utilidad

1 Abetos 3 0.1 0.2

1 Caza 3 0.2 0.4

1 Ambos 4 0.2 0.5

2 Abetos 1 0.05 0.06

2 Acampar 30 5 0.09

2 Ambos 10 1.01 1.1

100. En Chile se reabre el supermercado Almac y usted es dueño de una planta agroindustrial que

produce tomates peras y duraznos em conserva. Usted debe planificar la producción del próximo

mês de tal forma de maximizar los ingresos netos.

Los costos de materia prima son 10, 15 y 20 pesos por kilo en los tres productos, respectivamente,

si se abastece del proveedor A y 15, 20 y 10 pesos por kilo si se abastece del proveedor B.

El abastecedor A no le presenta ningún problema para venderle las cantidades que usted desee.

Sin embargo, el abastecedor B lo obliga a comprar por lo menos un kilo de peras por cada dos

kilos de duraznos que le compre y un máximo de un kilo de duraznos por cada kilo de tomates

que le compre.

La producción usted la puede vender a la cadena de supermercados Almac y/o a la cadena

Unimarc. Las demandas de Almac vienen dadas por las siguientes ecuaciones donde los precios

son por Kg de materia prima equivalente:

=2000−2

=1000−4

=850−3

A Unimarc por otro lado le gustaría que le vendiera sólo a él por lo cual le ofrece menos precio

a mayor cantidad que le envíe a Almac. Las demandas de Unimarc están dadas por las siguientes

ecuaciones:

=2500−2 −

=2000−3 −

=3000− −


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En este caso, se deberá decidir acerca de cuanto comprar de cada producto a cada abastecedor y cuánto vender de cada producto en conserva a cada supermercado. Suponga además, que ambos supermercados pagan el mismo precio por cada producto.

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