ejercicios grupal1
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EJERCICIO GRUPAL:
Una empresa petrolera desea construir un oleoducto desde su plataforma en el océano, ubicado en el
punto A hasta una refinería localizada en el punto B. la plataforma está a 25 millas de la costa, y la
refinería 8 millas tierra adentro. Además A y B están a 150 millas de distancia uno al otro. El costo
de construcción del oleoducto es US $3,45 millones por milla en el mar, y US $5,68 millones por
milla en tierra. El costo del oleoducto depende de la ubicación del punto P en la orilla del ma.
RESOLUCIÓN:
1. Elabore un gráfico que presente la situación del problemática planteada.
2. Modele la función que permite determinar el costo total del oleoducto.
𝐶(𝑥, 𝑦) = 3.45 (√(25)2 + 𝑥2) + 5.68𝑦
La función restricción del problema:
𝑦2 = (146 − 𝑥)2 + 25
3. Determinar la ruta que cebe trazar para que el costo de construcción del oleoducto sea menor
posible. Justifique formalmente su respuesta haciendo uso del método del Hessiano o del
Hessiano Orlado, dependiendo del modelo de optimización obtenido.
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝛾) = 3.45 (√(25)2 + 𝑥2) + 5.68𝑦 − 𝛾((146 − 𝑥)2 − 𝑦2 + 25)
SOLUCION:
Derivadas parciales en función de “x”,”y” y “z” e igualamos a cero para hallar puntos críticos.
𝜕𝐹
𝜕𝑥=
3.45𝑥
√(25)2 + 𝑥2− 𝛾[2(146 − 𝑥)(−1)] = 0
𝜕𝐹
𝜕𝑦= 5.68 − 𝛾[−2𝑦)] = 0
𝜕𝐹
𝜕𝑦= −[(146 − 𝑥)2 − 𝑦2 + 25] = 0
ENTONCES TENEMOS:
3.45𝑥
[2(146 − 𝑥)]√(25)2 + 𝑥2= −𝛾
→5.68
2𝑦= −𝛾
IGUALAMOS
3.45𝑥
[2(146 − 𝑥)]√(25)2 + 𝑥2=
5.68
2𝑦
𝑦 =5.68[(146 − 𝑥)]√(25)2 + 𝑥2
3.45𝑥
𝑦2 = [5.68[(146 − 𝑥)]√(25)2 + 𝑥2
3.45𝑥]
2
REMPLAZAMOS EN:
𝑦2 = (146 − 𝑥)2 + 25
(146 − 𝑥)2 + 25 = [5.68[(146 − 𝑥)]√(25)2 + 𝑥2
3.45𝑥]
2
1462 − 292𝑥 + 𝑥2 + 25 =5.682(1462 − 292𝑥 + 𝑥2)(252 + 𝑥2)
[3.45𝑥]2
(1462 + 25 − 292𝑥 + 𝑥2)[3.45𝑥]2 = 5.682(1462 − 292𝑥 + 𝑥2)(252 + 𝑥2)
[(1462 + 25)[3.45𝑥]2 − 292𝑥[3.45𝑥]2 + 𝑥2[3.45𝑥]2]
= [1462 × 252 − 292𝑥 × 252 + 252 × 𝑥2 + 1462 × 𝑥2 − 292𝑥 × 𝑥2 + 𝑥2
× 𝑥2][5.682]
[(1462 + 25)(3.452)𝑥2 − 292(3.452)𝑥3 + (3.452)𝑥4]
= [(1462)252 − (25)2292𝑥 + (252 + 1462)𝑥2 − 292𝑥3 + 𝑥4][5.682]
(3.452)𝑥4 − 292(3.452)𝑥3 + (1462 + 25)(3.452)𝑥2
= 5.682𝑥4 − (5.682)292𝑥3 + (252 + 1462)5.682𝑥2 − (25)2(5.682)292𝑥
+ 1462 × 252 × (5.682)
(5.682 − 3.452)𝑥4 + (−(5.682)292 + 292(3.452))𝑥3 + [(252 + 1462)5.682 − (1462 +
25)(3.452)]𝑥2 − (25)2(5.682)292𝑥+1462 × 252 × (5.682) =0
POR LO TANTO OBTENEMOS LOS SIGUIENTE PUNTOS CRITICOS:
𝑋1 = 164.77 𝑌1 = 19.42
𝑋2 = 127.44 𝑌2 = 19.22
PUNTOS CRITICOS
(164.77; 19.42) Y (127.44; 19.22)
REMPLAZAMOS EN EL COSTO GENERAL PARA HALLAR MAXIMO Y MINIMO
COSTO:
𝐶(𝑥, 𝑦) = 3.45 (√(25)2 + 𝑥2) + 5.68𝑦
𝐶(164.77; 19.42) = 3.45 (√(25)2 + (164.77)2) + 5.68(19.42) = 685.27
𝐶(127.44; 19.22) = 3.45 (√(25)2 + (127.44)2) + 5.68(19.22) = 557.22
Por lo tanto llegamos a la conclusión de que el costo del oleoducto es lo menor posible en las
coordenadas (127.44; 19.22) con un costo en millones:
𝐶(127.44; 19.22) = 557.22 COSTO MINIMO