Ejercicios de separación de variables
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Universidad Nacional Experimental“Francisco de Miranda”
Área de TecnologíaPrograma IngenieríaU.C. Matemática IV
Ecuaciones Diferenciales por
Separación de Variables
A continuación, resolveremos ED por Separación de Variables Aplicando diversos procedimientos para su solución (Integración Inmediata, Cambio de Variables, ILATE, Fracciones Parciales)
ED por Separación de Variables
3 𝑦 ´+8 𝑥3=2
3 𝑦 ´=2−8𝑥3
𝑦 ´=2−8 𝑥3
3
Despejamos
a “y”
𝑑𝑦𝑑𝑥
=2−8𝑥3
3
𝒜
ED por Separación de Variables
Ahora:
Integramo
s
∫ 𝑑𝑦=23∫ 𝑑𝑥−
83∫ 𝑥3𝑑𝑥
Podemos Aplicar:
INTEGRACIÓN
INMEDIATA
𝑦+𝑐1=23
𝑥+𝑐2− 83.𝑥4
4+𝑐3
𝑦=−23
𝑥4+23
𝑥+𝑐2+𝑐3−𝑐 1
ED por Separación de Variables
𝑦=−23
𝑥4+23
𝑥+𝑐
Pero => 𝒞=𝑐 2+𝑐3−𝑐1
Solución
ED por Separación de Variables
𝟗 𝒚 ´+𝑺𝒆𝒏 (𝒙+𝟐 )=𝟎
y´ = -
Despejamos
a “y” = -
= -
ℬ
ED por Separación de Variables
= -
Integramo
s y + c 1= -
y + c 1= -
Aplicamos: CAMBIO DE VARIABLE
y + c 1= - Devolvemos el CAMBIO
ED por Separación de Variables
y + c 1= - 2
Pero => - 2
y = -
Solución
ED por Separación de Variables
Integramo
s
Despejamos
a “y”
𝒞
ED por Separación de Variables
Aplicamos: ILATE
𝓊= ln𝑥
𝑑𝑢=𝑑𝑥𝑥
∫𝒹 𝑣= ∫ 𝑥2𝑑𝑥
𝑣=𝑥3
3
. - .
Sustituimos
ED por Separación de Variables
. - .
. - . + 2
Integramos
. - . 2
ED por Separación de Variables
Sustituim
os en la
original
𝒚+𝒄1=¿ . - . 2
( -
Factor Común
𝒚=¿ . - .
Pero => - 2
Solución
𝒟𝑑𝑦𝑑𝑥
=5𝑥+2
3 𝑥2+5 𝑥+2
𝑑𝑦=5 𝑥+2
3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥
Despejamos a
“y”
Integramo
s
∫ 𝑑𝑦= ∫5 𝑥+2
3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥
y+𝑐1= ∫5𝑥+2
3𝑥2+5 𝑥+2𝑑𝑥
ED por Separación de Variables
y+𝑐1= ∫5𝑥+2
3𝑥2+5 𝑥+2𝑑𝑥
Apliquemos: FRACCIONES PARCIALES
∫5 𝑥+2
3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥
Debemos aplicar La RESOLVENTE
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎
𝑎=3 , b=5 , c=2
−5±√52−4(3)(2)2.3
ED por Separación de Variables
−5±√25−246
𝑥1=−5+16
𝑥2=−5−16
𝑥1=−23 𝑥2=−1
3 𝑥+2=0 𝑥+1=0
∫5 𝑥+2
3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥= ∫
5𝑥+2(3 𝑥+2)(𝑥+1)
𝑑𝑥
ED por Separación de Variables
∫5 𝑥+2
3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥= ∫
5𝑥+2(3 𝑥+2)(𝑥+1)
𝑑𝑥
Separamos
𝐴 ( 𝑥+1 )+𝐵(3 𝑥+2)(3𝑥+2)(𝑥+1)
∫5𝑥+2
(3 𝑥+2 ) (𝑥+1 )𝑑𝑥=¿
∫5𝑥+2
(3 𝑥+2 ) (𝑥+1 )𝑑𝑥=¿
∫5𝑥+2
(3 𝑥+2 ) (𝑥+1 )𝑑𝑥=¿
ED por Separación de Variables
𝐴𝑥+𝐴+3𝐵𝑥2𝐵(3𝑥+2)(𝑥+1)
∫5𝑥+2
(3 𝑥+2 ) (𝑥+1 )𝑑𝑥=¿
( 𝐴+3𝐵 ) 𝑥+( 𝐴+2𝐵)(3 𝑥+2)(𝑥+1)
∫5𝑥+2
(3 𝑥+2 ) (𝑥+1 )𝑑𝑥=¿
Ahora, Resolvemos:
A + 3B = 5 (1)(-1) A + 2B = 2 (2)
A + 3B = 5-A - 2B = -2
B = 3
A + 2B = 2 A = 2 - 2B A = 2 – 2(3)
Sustituimos En (2)
A = -4
ED por Separación de Variables
Sustituimos EN:
-4
Integramos:
−43ln (3 𝑥+2 )+3 ln ( 𝑥+1 )+𝑐2
Sustituimos EN ORIGINAL:
∫5 𝑥+2
3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥=¿
∫5 𝑥+2
3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥=¿
y+𝑐1=−43ln (3 𝑥+2 )+3 ln ( 𝑥+1 )+𝑐2
Pero =>𝑐 3=𝑐2−𝑐1
𝑐 3= ln𝑐
ED por Separación de Variables
y=−43ln (3𝑥+2 )+3 ln ( 𝑥+1 )+ ln𝑐
𝑦=ln (3𝑥+2 )− 43+ ln(𝑥+1)3+ ln𝑐
𝑦=ln [c . (3 𝑥+2 )¿¿− 43. ln(𝑥+1)3]¿
Solución
ED por Separación de Variables