EJERCICIO 12.1

Una rueda de 30 𝑐𝑚 de radio tiene una manigueta en su borde. La rueda gira a 0,5 𝑟𝑒𝑣

𝑠𝑒𝑔 con

su eje de posición horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan vertical sobre la

tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento armónico simple encontrar:

a) El periodo de oscilación de la sombra,

b) La frecuencia,

c) Su amplitud,

d) Escribir las ecuaciones que expresan su desplazamiento en función del tiempo.

Suponer la fase inicial cero.

Solución

Datos:

Radio= Amplitud = 30 𝑐𝑚

0,5

a) El periodo de oscilación de la sombra es:

0,5

b) La frecuencia de la sombra es:

0,5

c) Su amplitud es:

30 𝑐𝑚

d) Escribir las ecuaciones q expresan su desplazamiento en función del tiempo.

Suponer la fase inicial cero.

0,30

Donde la fase inicial es igual a cero ( 0).

EJERCICIO 12.3

Un oscilador armónico simple está descrito por la ecuación

𝑥 4 𝑆 0. 0.5

Donde todos las cantidades se expresan en MKS.

Encuentre:

a. Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento

b. Velocidad y aceleración del movimiento

c. Condiciones iniciales

d. La posición, velocidad y aceleración para 5

e. Hacer el gráfico de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

Solución

Por comparación con la expresión

𝑥 𝑆 𝑤

Tenemos que,

𝑥 4 𝑆 0. 0.5

a) Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento.

Amplitud: 4𝑚 Frecuencia Angular: 0. / Fase Inicial: = 0.5 rad Periodo:

0,

0

Frecuencia:

0

b) Velocidad y aceleración del movimiento

0.4 0. 0.5

0.04𝑆 0. 0.5

c) Condiciones iniciales cuando 0,

𝑥0 𝑥 0 4𝑆 0.5 .9 𝑚

0 0 4 0.5 0.35 𝑚/

0 0 0.04𝑆 0.5 9. 7𝑥 0−3𝑚/ 2

d) La posición, velocidad y aceleración para 5

𝑥 5 4𝑆 3.37𝑚

5 4 0. 6𝑚/

5 0.04𝑆 3.37𝑥 0−2𝑚/ 2

e) l gráfico de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO CONTRA TIEMPO

GRAFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO

GRAFICA ACELERACION CONTRA TIEMPO

EJERCICIO 12.4

Una partícula está situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posición de equilibrio con

una velocidad de 𝑚

𝑠

la amplitud es de 0−3 𝑚. ¿Cuál es la frecuencia y el periodo del vibrador?

Escribir la ecuación que exprese su desplazamiento en función del tiempo.

Solución

𝐸𝑘

𝑚 2

𝐸𝑘

𝑚 2[ 2 𝑥2]

Como pasa por la posición de equilibrio 𝑥 0 tenemos,

𝑚 2[ 2 𝑥2]

𝑚 2

𝑚

0−3 𝑚

000

Así la el periodo es:

000

0−3

Y la frecuencia:

03

La ecuación que exprese su desplazamiento en función del tiempo es:

0−3 000 𝛼

EJERCICIO 12.5

Una particular cuya masa es de vibra con movimiento armónico simple de amplitud de 𝑚𝑚.

Su aceleración en el extremo de su recorrido es de 8,0 03 𝑚

𝑠 . Calcular la frecuencia del

movimiento y la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio y cuando la

elongación es de , 𝑚𝑚. Escribir la ecuación que expresa la fuerza que actúa sobre la partícula

en función posición y el tiempo.

Solución

Datos

0−3 𝑚, 𝑚 0−3 𝑘 , 8,0 03 𝑚

𝑠 , 𝑥 , 𝑚𝑚

La aceleración de la partícula es:

2𝑥

2

𝑥;

Así la frecuencia se puede calcular,

2

2𝑥

2 8,0 03 𝑚

2

2 0−3 𝑚

√ 06

2 2

√ 06

2 2

03

La velocidad de la partícula se puede calcular, partiendo de la energía cinética,

𝐸𝑘

𝑚 2

𝐸𝑘

𝑚 2[ 2 𝑥2]

Como pasa por la posición de equilibrio 𝑥 0 tenemos,

𝑚 2 2

𝑚 2

2 2 2

( 03

) 0−3𝑚

4𝑚

Cuando la elongación es de , 𝑚𝑚 , su velocidad se puede escribir,

𝑚 2[ 2 𝑥2]

𝑚 2

2[ 2 𝑥2] 2

√[ 2 𝑥2]

( 03

)√[ 0−3 ^ , 0−3 2] 𝑚

3, 𝑚

La fuerza que actúa sobre la partícula en función posición y el tiempo es

𝐹 𝑚 2𝑥

𝐹 0−3 03 2𝑥

𝐹 4 03 𝑥 [𝑁]

𝐹 𝑚 2 𝛼

𝐹 0−3 0−3 03 2 𝛼 [𝑁]

𝐹 8 03 𝛼 [𝑁]

EJERCICIO 12.7

Una partícula se mueve con movimiento armónico simple con una amplitud de .5 𝑚 y frecuencia

100 ciclos por segundo ¿Cuál es su frecuencia angular? Calcular su velocidad, aceleración y su fase

cuando su desplazamiento es de 0.75 𝑚.

Solución

La frecuencia angular es,

00

00

La velocidad se puede calcular a través de la energía cinética,

𝑚 2[ 2 𝑥2]

𝑚 2

2[ 2 𝑥2] 2

√[ 2 𝑥2]

00 √[ .5 𝑚 2 0.75 m 2]

,59 02

La aceleración se puede calcular como sigue,

2𝑥

00 2 0,75 𝑚

3 04 𝑚

La fase inicial se puede calcular como sigue, para la condiciones iniciales (t=0=),

𝑥 𝑤 𝛼

𝐴 𝛼

𝛼 −1 (

𝐴)

𝛼 −1 (0,75

1,5)

𝛼 30°

EJERCICIO 12.9

Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de 8 𝑐𝑚 y un periodo de 4 .

Calcular la velocidad y la aceleración 0,5 𝑆 después que la partícula pase por el

extremo de su trayectoria.

SOLUCIÓN:

DATOS:

A = 8 cm ---- 0.08m

T = 4 seg.

La frecuencia angular es,

4

La velocidad después de 0,5, es:

𝑐 𝛼

0,08

𝑐 (

0,5

)

,8 0−2𝑚

La aceleración después de 0,5, es:

2 𝑐 𝛼

0,08 (

)

2

(

0,5

)

,4 2 0−2𝑚

EJERCICIO 12.11

Una partícula cuya masa es de 0.5 Kg, se mueve con movimiento armónico

simple. Su periodo es de 0.15 seg y la Amplitud de su movimiento es de 10cm,

calcular la aceleración, la fuerza de la energía potencia y cinética cuando la

partícula esta a 5 cm de la posición inicial.

DATOS

Masa: 0.5 Kg Periodo (T): 0.15 S Amplitud (A): 10cm: 0.1M Po: 0.05 M

SOLUCIÓN

A) F= 1/T

F= 1/0.15(s)= 6.666 Hz

B) W=2 * f

W=2 *6.666= 41.88 hZ

C) a=-w²*x

a= -41.88² * 0.05

a=87.69

D) EK= ½ m w (2)[A^2 –X^2]

EK=1/2 0.5* 41.88² [0.10 ²- 0.05²]

Ek= 3.28 N

EJERCICIO 12.17

Encontrar, para un movimiento armónico simple, los valores de �̅� 𝑥2 , donde los promedios

se refieren.

Parte a)

𝑥 𝑤0

�̅� 𝑤0 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

Pero 𝑤0 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 0

Entonces �̅� 0

Parte b)

𝑥2 2 2 𝑤0

𝑥2̅̅ ̅ 2 2 𝑤0 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

Pero 2 𝑤0 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 1

∫ 2𝑤0

0

1

∫ [

1− 2

2]

0

2 𝑤0 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

∫

0

∫ [

𝑤0

]

0

Entonces 2 𝑤0 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 1

[

1

2]

1

2

12. Una plancha horizontal oscila con movimiento armónico simple con una

amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 15 oscilaciones por minuto. Calcular

el valor mínimo del coeficiente de fricción a fin de que un cuerpo colocado

sobre la plancha no resbale cuando la plancha se mueve.

Solución

A = 1,5m F = 15 osc/min

= 2πf = (2π)(15 𝑜𝑠𝑐

𝑚𝑖𝑛)(

1𝑚𝑖𝑛

60𝑠𝑒𝑔)

= (2π)(15𝑜𝑠𝑐

𝑚𝑖𝑛)(

1.5 𝑚

60𝑠𝑒𝑔 )

= 𝜋

2 rad/seg

Ff = 𝜇fN

ma = 𝜇mg 𝜇 = a/g

a= 2A

a = (𝜋

2)2

(1.5)

a = 3,70 m/s

ω =3.7/9,81

ω = 0.377

12.15 Un bloque de madera cuya densidad es ρ tiene dimensiones a, b, c. Mientras está

flotando en el agua con el lado a vertical se le empuja hacia abajo y se le suelta. Halle el

periodo de las oscilaciones resultantes.

Tomemos como sentido positivo de desplazamiento del bloque verticalmente hacia abajo.

Llamemos h a la longitud del bloque debajo del agua cuando flota en equilibrio. En esta

situación tendremos que la fuerza neta hacia abajo será nula:

mg− Fempuje = 0⇒ mg= (Vsumergidoρ0) g ⇒ mg= (bchρ0) g

Donde ρ0es la densidad del agua. Si realizamos un desplazamiento x del bloque respecto

de su posición de equilibrio, la nueva longitud del bloque por debajo del agua será h + x.

En esta nueva situación la fuerza neta hacia abajo ya no será nula:

Fneta = mg−F ´empuje= mg− (V ’sumergidoρ0) g = mg− (bc [h + x] ρ0) g

Sustituyendo en esta expresión la relación entre el peso del cilindro y la altura h:

Fneta = − (bcρ0g) x

Vemos que la fuerza es de tipo elástico con una constante elástica: k = bcρ0g

El periodo de las oscilaciones será:

𝑻 𝟐𝝅

𝝎 𝟐𝝅√

𝒎

𝒌 𝟐𝝅√

𝒂𝒃𝒄𝝆

𝒃𝒄𝝆𝟎𝒈 𝟐𝝅√(

𝝆

𝝆𝟎) (

𝒂

𝒈)

12. Cuando un hombre de 60kg se introduce en un auto, el centro de gravedad del auto baja 0,3 cm. ¿Cuál es la conste de elasticidad de los muelles del auto? Suponiendo que la masa del auto es de 500kg, ¿Cuál es su periodo de vibración cuando está vacío y cuando está el hombre adentro?

SOLUCIÓN:

Representación de Fuerzas

𝑚2 60𝑘 ; 𝑥 0.3𝑐𝑚= 3x10-3m

a) Calculo de la constante de elasticidad (K) de los muelles del auto.

𝐹 𝑘𝑥 𝑚2

𝑘 𝑚2

𝑥

60𝑘 9.8𝑚 2⁄

3 0−3𝑚

𝒌 𝟎 𝒎⁄

b) Periodo de vibración del auto vacío.

𝑘𝑥 𝑚1 2𝑥; m1=500kg

-kx

560 Kg

-kx

(M1+M2)g

500 Kg

M1g

√𝑘

𝑚 √

96 03 𝑁 𝑚⁄

500𝑘 9.79898987

⁄ 9.8 ⁄

𝟐𝝅

𝝎

𝟐𝝅

. 𝒂 ⁄ 𝟎.

c) Periodo de vibración del auto con el hombre adentro.

𝑚1 𝑚2 560𝑘

√𝑘

𝑚1 𝑚2 √

96 03 𝑁 𝑚⁄

560𝑘 8.708 9

⁄ 8.7 ⁄

𝟐𝝅

𝝎

𝟐𝝅

. 𝒂 ⁄ 𝟎.

12.19 El Periodo de un péndulo es de 3s. ¿Cual será su periodo si su longitud (a) aumenta, (b) disminuye un 60%? Solución

a. El periodo de un péndulo simple esta dado por:

√𝐿

3 .

Si su longitud aumenta un 60%, su nueva longitud es:

𝐿′ 𝐿 0,6𝐿

Luego.

′ √𝐿′

√

.6𝐿

√ .6𝐿 √

𝐿

′ √ .6 3 3.79

b. Si el periodo disminuye en un 60%, su nueva longitud es:

′′ √𝐿′′

√

0.4𝐿

√0.4𝐿 √

𝐿

′′ √0.4 3 .89

12.20 El péndulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando

g=9,80𝑚 2⁄ . Si la longitud se aumenta en 1mm. ¿Cuánto se habrá

atrasado el reloj después de 24horas?

12.21

¿Cuánto se habrá atrasado el reloj del problema anterior después de

24 horas si se coloca en un lugar donde la g=9,75𝑚 2⁄ . Sin cambiar

la longitud del péndulo? ¿Cuál debe ser la longitud correcta del

péndulo a fin de mantener el tiempo correcto en la nueva posición?

Solución 12.21

L= 1mm → L=0,001m

g=9,75𝑚 2⁄ .

1=2 √𝑂,𝑂𝑂1

9,80 = 0,06346975sg

2=2 √𝑂,𝑂𝑂1

9,75 = 0,063632291sg

2 - 1 = 0,001625411126sg

0,063632291sg → 0,001625411126sg

1440mt → X

X=3,6mt

L= 1mm

g=9,75𝑚 2⁄ .

T=2sg

L = 𝑔

4𝜋 →

4𝑔

4𝜋 → L=

9,75

𝜋

L= 0,988m

EJERCICIO 12.27

Estimar el orden relativo de magnitud de los primeros términos correctivos en la

serie del periodo de un péndulo simple si la amplitud es:

a) 10º

b) 30º

Solución

a) Para 10º

P= ( √

𝑔) [

1

4 (

1

2 )

2

9

64 (

1

2 )

4

]

P=( √

𝑔 ) [

1

4 (

1

2 0)

2

9

64 (

1

2 0)

4

]

P=( √

𝑔 ) [ .899 0−3 8. 4 0−6]

b) Para 30º

P=( √

𝑔) [

1

4 (

1

230)

2

9

64 (

1

230)

4

]

P= ( √

𝑔 ) [ .674 0−2 6.3 0−4]

EJERCICIO 12.31

. Una varilla de longitud L, oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por el

extremo, un cuerpo de igual masa que la varilla está situado sobre la varilla a una

distancia h del eje.

a) Obtener el periodo del sistema en función de h y de L.

b) ¿Hay algún valor de h para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera

masa?

Solución.

a). Lo primero que haremos será encontrar el centro de masa de la masa 2 que en

este caso es igual a la masa de la varilla, aplicando la siguiente formula.

𝑪𝒎 (𝑳

𝟐)𝒎+𝒉 𝒎

𝟐𝒎

𝑳

𝟐+𝒉

𝟐

𝑳+𝟐𝒉

𝟒

Luego calculamos el momento de inercia con la siguiente ecuación.

𝐼 1

3m𝐿2 𝑚ℎ2 factorizando m quedaría de la siguiente forma.

𝐼 [

3𝐿2 ℎ2]𝑚

Expresando el periodo con respecto al momento de inercia y al centro de masa, se

tiene la siguiente ecuación:

𝑃 √𝐼

𝑏𝑔𝑚

Donde:

b=centro de masa.

g=gravedad

m=masa

Reemplazando el centro de masa y el momento de inercia se obtiene que:

𝑃 √ /3𝐿2 ℎ2 𝑚/ +2ℎ

4 𝑚

Simplificando:

𝑃 4 √ /3𝐿2 ℎ2 / ℎ 𝐿

b). No hay ningún valor.

EJERCICIO 12.33

Un péndulo de torsión consiste de un bloque rectangular de madera de 8cm x

12cm x 3cm con una masa de 0.3 Kg, suspendido por medio de un alambre que

pasa a través de su centro y de tal modo que el lado corto es vertical. El periodo

de oscilación es de 2.4 s. ¿Cuál es la constante de torsión K del alambre?

Solución:

Antes que nada necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este

objeto en particular (cubo de madera), para lo cual se utilizará la siguiente

ecuación.

𝐼 [𝑚 𝑎 +𝑏

12 ]

Donde:

M=masa del objeto, 0.3Kg.

2= la dimensión horizontal del objeto para este caso 8cm=0.08m

𝑏2= la profundidad del objeto en este caso 12cm=0.12m

Como en el ejercicio nos piden encontrar la constante K=Kappa, Utilizamos la

siguiente ecuación que relaciona el momento de inercia con la constante.

𝐾 2 𝐼

Donde: 2 es igual al periodo de oscilación al cuadrado, siendo I el momento de

inercia y 2π al cuadrado una constante.

Haciendo la relación entre las dos ecuaciones anteriores tenemos que:

𝐾 2 [𝑚 𝑏

/ ]

Reemplazando valores tenemos que:

𝐾 2 [0.3𝑘 0.08𝑚 0. 𝑚

/ .4 ]

K=3.564X 0−3N.m [Newton por metro]

EJERCICIO 12.38

Encontrar la ecuación resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples

paralelos cuyas ecuaciones son:

𝑥₁

3

𝑥₂ 3

Hacer un gráfico de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar sus respectivos

vectores rotantes.

SOLUCIÓN:

Es una superposicion de M.A.S. Paralelos de igual frecuencia

𝑥₁ ₁ 𝛿₁

𝑥₂ ₂ 𝛿₂

Con resultante

𝑥 e 𝛿

Donde:

₁² A₂² A₁ A₂ α ^0.5

𝛼 𝛿₂ 𝛿₁

y

ta 𝛿 ₁ 𝛿₁ ₂ 𝛿₂

₁ 𝑐 𝛿₁ ₂ 𝑐 𝛿₂

E ta e ua e e tá dem trada e el l br de Al F pag. 37 , p r ejempl .

Val re :

𝛼 𝛿₂ 𝛿₁

3

6

₁² A₂² A₁ A₂ α ^0.5

3 . .3 π/6 ^0.5

4.73

ta 𝛿 ₁ 𝛿₁ ₂ 𝛿₂

₁ 𝑐 𝛿₁ ₂ 𝑐 𝛿₂

ta 𝛿 /3 3 /

𝑐 /3 3 𝑐 /

ta 𝛿 4.73

𝛿 .36

Luego:

𝑥 e 𝛿

𝑥 (

𝛿)

𝑥 4.73 0.

EJERCICIO 12.49

Un péndulo simple tiene un periodo de y un amplitud de °, después de 0 oscilaciones

completas su amplitud ha sido reducida a ,5° encontrar la constante de amortiguamiento 𝛾.

Solución

Datos:

; °; .5°

La ecuación para este movimiento toma la forma, donde la amplitud del movimiento viene dada

por,

= 0 −𝛾

−𝛾

0

𝛾 0

𝛾 l 0

𝛾

l

0

𝛾 0

eg l

°

.5°

𝛾 ,43 −1

EJERCICIO 12.59

Escribir la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple sin

amortiguamiento al cual se le aplica la fuerza 𝐹 𝐹0 𝑐 /𝑚. Verificar que

su solución es 𝑥 [𝐹0 𝑐 /𝑚 0 ]

Solución

𝑥/ 0 𝑥 𝐹0 / 𝑚 𝑐

𝑥/ 𝐹0 𝑐 / 𝑚 0

𝑥/ 𝐹0 𝑐 / 𝑚 0

Reemplazando en la ecuaciòn inicial:

𝐹0 𝑐 / 𝑚 0 0 𝐹0 𝑐 / 𝑚 0

Reorganizando términos:

0 𝐹0 𝑐 / 𝑚 0 𝐹0 𝑐 / 𝑚 0

Sacando factor común :

𝐹0 𝑐 / 𝑚 [ 0 / 0 ] 𝐹0 / 𝑚 𝑐

𝐹0 𝑐 / 𝑚 𝐹0 / 𝑚 𝑐

EJERCICIO 12.59

En el caso del oscilador amortiguado, la cantidad 1

2𝛾 se denomina tiempo de relajación.

a) Verificar que tiene unidades de tiempo. b) ¿en cuánto ha variado la amplitud del oscilador después de un tiempo ? c) Expresar como una función de , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la

mitad de su valor inicial. d) ¿Cuáles son los valores de la amplitud después de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el

valor obtenido en c)?

Solución

a) Verificamos que tiene unidades de tiempo haciendo un análisis dimensional.

𝛾

m

m

F

m

𝐹

[𝐾 ] [𝑚/ ]

[𝐾 𝑚 2]

b) la amplitud del oscilador después de un tiempo ha variado,

−𝛾

(

𝛾)

−𝛾12𝛾

(

𝛾) −

12

(

𝛾) 0,6

c) Expresar como una función de , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial.

−𝛾

−𝛾

−𝛾

𝐿 /

𝐿 /

,38

,38

d) ¿Cuáles son los valores de la amplitud después de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)?

−𝛾

,38

,38

4

3 ,38

8

,38

𝑛

EJERCICIO 12.59

Una partícula se desliza hacia adelante y hacia atrás entre dos planos inclinados sin fricción

a) Encontrar el periodo de oscilación del movimiento si h es la altura inicial

b) ¿Es el movimiento oscilatorio?

c) ¿Es el movimiento armónico simple?

Solución

a) La aceleración será:

Partiendo del reposo a la altura h se tiene:

Para descender del plano y entonces:

Teniendo en cuenta una de las identidades fundamentales de la trigonometría:

a = g cos θ

La longitud del plano = L = h / sen θ

L = ½ a t² => t = √(2L/a)

T = 4t = 4 √(2L/a) = 4 √ [ 2 (h/sen θ) / g cos θ ]

T = 4 √ [ 4 (h/g) / (2 sen θ cos θ) ]

2 sen θ cos θ = sen 2θ

y operando, resulta:

T = 4 x 2 √ [ (h/g) / sen 2θ]

T = 8 √ [ (h/g) / sen 2θ]

b) Sí, es oscilatorio;

c) NO, no es armónico simple porque no sigue una variación senoidal o cosenoidal del tipo:

x = A cos (wt+delta)

12.30 Un disco solido de radio R puede colgarse de un eje horizontal a una distancia h de su centro

A. Encontrar la longitud del péndulo simple equivalente

B. Encontrar la posición del eje para el cual el periodo es un mínimo.

C. Representar el periodo en función de h.

Para determinar la longitud del péndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del

péndulo e igualarlo al periodo de un simple

Para determinar el periodo del péndulo compuesto primero debemos conocer el momento de

inercia del disco con respecto al centro de masa

I0= ½ mR2

Pero debido a que el disco no gira en su centro de masa sino a una distancia h del mismo se debe

aplicar el Teorema de Steiner.

El teorema de Steiner dice que el momento de inercia respecto a el eje B es Ik=mh2+I0 donde I0 es

el momento de inercia respecto a el disco

Entonces,

Ik= mh2+1/2mR2= m (h2+1/2R2)

El radio de giro K se define Ik= mK2

mk2= m(h2+1/2R2)

K2=1/2R2+h2

el periodo del péndulo compuesto es P=2 √ m(k2)/mgh

P(h)= 2 √ ½ R2+h2/gh

A. Debemos igualar la fórmula de péndulo compuesto con péndulo simple para despejar L

Donde péndulo simple P = 2𝜋√

𝑔

2 √ ½ R2+h2/gh = 2𝜋√

𝑔

[2 √ ½ R2+h2/gh]2 =[ 2𝜋√

𝑔 ]2

K2/gh=L/g

K2/h= L

L=( 1/2R2+h2)/h

B. Para hallar minimos debemos derivar P en funcion de h

dP/dh= 2 √ R2/2+ h2)/gh

Derivada de R2/2+ h2)/gh

= [R2/2+h2]’[gh]-[R2/2+h2][gh]’

[gh]2

=2h [gh]-[ R2/2+h2][g+h]

[gh]2

=2 gh2- R2/2g-gh2

g 2 h2

dp /dh = [ 2 / 2 √ R2/2+ h2)/gh ] [ 2 gh2- R2/2g-gh2/ g 2 h2]

El valor de h para el cual el periodo es un minimo es h = R/√

C.

P(h)= 2 √ ½ R2+h2/gh cuando h = R/√

P(h)=2 √ √ R/g

12.6 Un anillo de 0,1 m de radio esta suspendido de una varilla como se ilustra determinar el periodo de oscilación hallar el equivalente a un péndulo simple.

a.

P= 2 √ k2/ gb

K

2= I/m

Ic=mR2

Teorema de Steiner I=Ic+ma

2

I=mR

2+mR

2 =LmR

2

K2=2m R

2/m

K

2=2R

2

P=2 √2R2/gr

P= 2 √2R/g

P=6.28√ 0.

9.8

P=O,89 SEG

b. L=k2/ b

L=2R2/2 L=2R= 2 (0,1)= 0,2 m Ejercicio 12.3 Un oscilador armonico simple es descrito por la ecuacion X=a sen (0,1t + 0,5)/ wt Donde todas las cantidades se expresan en MKS encontrar (a.) la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase inicial del movimiento b)la velocidad y la aceleración c) las condiciones iniciales d) la posición velocidad y aceleración para t=5 s hacer un grafico de la posición, velocidad, y aceleración en función del tiempo. a) A=4 mt w=0.1 rad/seg T=2 /w = 2 0,1= 20 seg

F=1/T 1/20 hz

∅= 0,5 rad b) V=dx/dt V=4 cos (0,1t+0,5)0,1 V= 0.4 cos (0.1t+0,5) mt a = dv/dt a = 0.4 sen (0,1+0.5) 0,1 a = -0.004 sen (0,1+0,5) m/s c) si t=0 x=4 sen (0,5)m X=0,03 V=0,4 cos (0.5) V=0.35 m/s a = -0.04 sen (0.5) a = -0,019 d) si t=5 x(5)=4 sen (0,5+0,5) x(5)= 4 sen (1) = 3,36 m V(5)=0,4 cos (0,5+0,5) =0,4 cos 1 =0.21 m/s a (5) = -0,04 sen 1 a(5)= -0,033 m/s2

nota: la grafica se encuentra adjunta a el documento como un pdf.

Ejercicio 12.14

M=? m=60kg y=0.3cm y=0.003cm

Fg= ky mg=ky

K= (60kg*9.8 m/s2)/0.003 cm k=196000 N/m

M=500 kg

Auto vacio

T=2 √M

K 2 √

500

196000T=0.3173 s

Con el hombre

T= 2 √ M+m y

M+m g= 2 √

y

g2 √

0.003

9.8 m/ 2T=0.1099s

12. Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de la combinación de dos

movimientos armónicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones x=3senwt, e y=4sen(wt-α)

cuando α=0, α= , α= /2.hacer una gráfica de la trayectoria de la partícula para cada caso y señalar

el sentido en el cual viaja la partícula.

Solución

α=0

x=4senwt

y=3sen(wt-α)

y=3sen(wt-0)

y/x=3senwt/4senwt

y=(3/4)x

α=1

x=4senwt

y=3sen(wt-α)

y=3sen(wt- )

y/x=-3senwt/4senwt

y=(-3/4)x

α= /2

x=4senwt

y=3sen(wt-π/2)

y=-3senwt

𝑥2=42 2𝑤

2=32𝑐 2𝑤

2/32 𝑥2/42=𝑐 2𝑤 + 2𝑤

2/9 𝑥2/ 6=1