Sec. 14.3 Ms frmulas de integracin 629

Para su comodidad, en la tabla 14.2 listamos las frmulas bsicas de inte-gracin analizadas hasta el momento. Suponemos que u es una funcin de x.

=1

1 - w+ ln w - 1 + C.

3 c 1(1 - w)2 + 1w - 1 d dw = - (1 - w)-1

-1+ lnw - 1 + C

Ejercicio 14.3

En los problemas del 1 al 80 encuentre las integrales indefinidas.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. .

14. . 15. 16. .

17. . 18. . 19. .

20. . 21. . 22. .3x3e4x4

dx3xe7x2

dx3 -3w2e-w3

dw

3(2t + 1)et2 + t dt32e2t + 5 dt33e3x dx

3(3 - 2x)10 dx34x4(27 + x5)13 dx.39x21 + 2x2 dx3x(x2 + 3)12 dx3x2(3x3 + 7)3 dx3(7x - 6)4 dx3

1

2x - 2 dx322x - 1 dx3

4x

(2x2 - 7)10 dx

35

(3x - 1)3 dx3(-12z2 - 12z + 1)(-4z3 - 6z2 + z)18 dx

3(3y2 + 6y)(y3 + 3y2 + 1)23 dy3(3x2 + 14x)(x3 + 7x2 + 1) dx32x(x2 + 3)5 dx315(x + 2)4 dx3(x + 5)7 dx

1. una constante

2.

3.

4.

5.

6. 3[f(x) ; g(x)] dx = 3f(x) dx ; 3g(x) dx.3kf(x) dx = k 3f(x) dx.3

1u

du = ln u + C, u Z 0.

3eu du = eu + C.3un du =

un + 1

n + 1 + C, n Z -1.

3k du = ku + C, kTABLA 14.2 Frmulas bsicas de integracin

630 Captulo 14 Integracin

23. . 24. . 25. .

26. . 27. . 28. .

29. . 30. . 31. .

32. . 33. . 34. .

35. . 36. . 37. .

38. . 39. . 40. .

41. . 42. . 43. .

44. . 45. . 46. .

47. . 48. . 49. .

50. . 51. . 52. .

53. . 54. .

55. . 56. . 57. .

58. . 59. . 60. .

61. . 62. . 63. .

64. . 65. . 66. .

67. . 68. . 69. .

70. . 71. .

72. . 73. . 74. .

75. . 76. . 77. .

78. 79. . 80. .

En los problemas del 81 al 84 encuentre y, sujeta a las condiciones dadas.

81. . 82.

83. 84. y = 2x + 2; y(2) = 13, y(2) = - 715.y =1x2

; y(-1) = 1, y(1) = 0.

y =x

x2 + 6; y(1) = 0.y = (3 - 2x)2; y(0) = 1

323 x e1

38x4 dx3

x + 1x2 + 2x

ln(x2 + 2x) dx31

t2B

1t

- 1 dt.

31 + e2x

4ex dx3(e4 - 2e) dx3

e2x

2x dx

3 c 2xx2 + 3 - x3

(x4 + 2)2d dx3 c23x + 1 - xx2 + 3 d dx3(r3 + 5)2 dr

3 c 13x - 5 - (x2 - 2x5)(x3 - x6)-10 d dx3 c 3x - 1 + 1(x - 1)2 d dx3 c xx2 + 1 + x

5

(x6 + 1)2d dx3 cx(x2 - 16)2 - 12x + 5 d dx3(x2 + 1)2 dx

3x3

ex4 dx3 a22x - 122x b dx3e-x4 dx

3x2(8 - 5x2)3 dx3(u2 + 3 - ue7 - u2

) du3x(2x + 1)e4x3 + 3x2 - 4 dx

3(ex - e-x)2 dx318 + 12x

(4 - 9x - 3x2)5 dx3(e3.1)2 dx

3(2x3 + x)(x4 + x2) dx335

(v - 2)e2 - 4v + v2 dv3-(x2 - 2x5)(x3 - x6)-10 dx3(w3 - 8w7 + 1)(w4 - 4w8 + 4w)-6 dw3x(2x2 + 1)-1 dx

3(t2 + 4t)(t3 + 6t2)6 dt316s - 4

3 - 2s + 4s2 ds3(ex - e-x + e3x) dx

3x2 + 2

x3 + 6x dx32ye3y

2

dy3(x + 1)(3 - 3x2 - 6x)3 dx342

3 y + 1 dy3(e-5x + 2ex) dx3x2

23 2x3 + 9 dx

3v2e-2v3 + 1 dv3524x - 3 dx32y3ey

4 + 1 dx

311

3 - 2x dx3

x

2x2 - 4 dx3

1(4x)7

dx

325x dx37t

5t2 - 6 dt3

85 - 3x

dx

32x2

3 - 4x3 dx3

s2

s3 + 5 ds3

31 + 2y

dy

34x

dx31

(8y - 3)3 dy3

6z

(z2 - 6)5 dx

39x2 - 2x

1 - x2 + 3x3 dx3

3x2 + 4x3

x3 + x4 dx3

2x + 1x + x2

dx

31

x + 5 dx3x4e-6x

5

dx36e-2x dx

Sec. 14.4 Tcnicas de integracin 631

4W. Simon, Mathematical Techniques for Physiology and Medicine(Nueva York: Academic Press. Inc., 1972).

85. Bienes races La tasa de cambio del valor de una casaque cuesta $350,000 puede modelarse por medio de

, donde t es el tiempo en aos desde que la

casa fue construida y V es el valor (en miles de dlares)de la casa. Determine V(t).

86. Tiempo de vida Si la tasa de cambio de la esperanzade vida l al nacer, de personas que nacen en EstadosUnidos

puede modelarse por , en donde t es el

nmero de aos a partir de 1940 y la esperanza de vidafue de 63 aos en 1940, encuentre la esperanza de vi-da para personas que nacieron en 1998.

dl

dt=

122t + 50

dVdt

= 8e0.05t

87. Oxgeno en los vasos capilares En un anlisis de ladifusin del oxgeno en los vasos capilares,4 se usan ci-lindros concntricos de radio r como modelos de un ca-pilar. La concentracin C de oxgeno en el capilar estdada por

donde R es la razn constante con que el oxgeno se di-funde en el capilar, y K y B1 son constantes. EncuentreC (escriba la constante de integracin como B2).

88. Encuentre f(2) si f(12) = 1 y f(x) = e2x - 1 - 6x.

C = 3 a Rr2K + B1r b dr,

OBJETIVO Analizar tcnicas demanejo de problemas de integra-cin ms complejas, a saber, pormedio de manipulacin alge-braica y por ajuste del integrandoa una forma conocida. Integraruna funcin exponencial con unabase diferente a e y determinarla funcin de consumo, dada lapropensin marginal al consumo.

Aqu partimos la integral.

14.4 TCNICAS DE INTEGRACINAhora que ha adquirido alguna prctica en resolver integrales indefinidas,consideraremos algunos problemas con mayor grado de dificultad.

Cuando se tienen que integrar fracciones, es necesario a veces efectuaruna divisin previa para obtener formas de integracin familiares, como se ve-r en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 1 Divisin antes de la integracin

a. Encontrar .

Solucin: no es evidente una forma familiar de integracin. Sin embargo,podemos descomponer el integrando en dos fracciones, dividiendo cadatrmino del numerador entre el denominador. Entonces tenemos

b. Encontrar .

Solucin: aqu el integrando es un cociente de polinomios en donde elgrado del numerador es mayor o igual que el del denominador, y el deno-minador tiene ms de un trmino. En tal caso, para integrar efectuamosprimero la divisin hasta que el grado del residuo sea menor que el del di-visor. Obtenemos

=x3

3+

x2

2+ 3

12x + 1

dx

32x3 + 3x2 + x + 1

2x + 1 dx = 3 ax2 + x + 12x + 1 b dx

32x3 + 3x2 + x + 1

2x + 1 dx

=x2

2+ ln x + C.

3x3 + x

x2 dx = 3 c x

3

x2+

x

x2d dx = 3 cx + 1x d dx

3x3 + x

x2 dx

Aqu utilizamos la divisin largapara reescribir el integrando.