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43 Ejercicios complementarios sobre: 14.1 Varias variables 14.3 Derivadas parciales 14.4 Planos tangentes y aproximaci´ on lineal 3.1. Hallar las segundas derivadas parciales, incluyendo las mixtas, para las funciones: (a) f (x, y)= 1 sin 2 x + 2e y (b) f (x, y , z)= e xyz (c) f (x, y , z)= x 2 yz + xy 2 z + xyz 2 (d) f (x, y , z)= xyz 3.2. El operador diferencial es conocido co- mo el laplaciano. En coordenadas cartesia- nas este operador aplicado a una funci´ on f = f (x, y , z) de clase C 2 tiene la siguiente estructu- ra: f = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 La ecuaci´ on de Laplace para una funci´ on f de clase C 2 es: f = 0. Una funci´ on de clase C 2 se llama arm´ onica si satisface la ecuaci´ on de la Laplace. Determine si las fucniones dadas son arm´ onicas. (a) f (x, y , z)= x 2 + y 2 + z 2 (b) f (x, y , z)= x 2 + y 2 2z 2 (c) f (x, y , z)= x 2 y 2 + z 2 (d) f (x, y , z)= 1 x 2 + y 2 + z 2 3.3. Encuentre la ecuaci ´ on del plano tangente a la superfcie x 2 2y 2 + 5xz = 7 en el punto P 1, 0, 6 5 . 3.4. Encuentre la ecuaci ´ on del plano tangente a la superfcie x 3 + y 3 + z 3 = 7 en el punto P (0, 1, 2). 3.5. Encuentre la ecuaci´ on de la recta normal a la superfcie ze y cos x = 1 en el punto P (π , 0, 1). 3.6. Encuentre un punto sobre la superficie x 3 2y 2 + z 2 = 27 donde el plano tangente sea perpendicular a la recta x = 3t 5 y = 2t + 7 z = 1 2t 3.7. Encuentre todos los puntos sobre el hiper- boloide 9x 2 45y 2 + 5z 2 = 45 donde el plano tangente sea paralelo al plano x + 5y 2z = 7 3.8. Considere la superficie definida por la ecuaci´ on x 3 z + x 2 y 2 + sin (yz)+ 3 = 0 En el punto P (1, 0, 3) halle (a) La ecuaci´ on del plano tangente. (b) La ecuaci´ on de la recta normal. 3.9. Demuestre que la recta normal a la super- ficie x 2 + y 2 z 2 = 1 en el punto P (x 0 , y 0 , z 0 ) intersecta el eje z. 3.10. Encuentre una expresi´ on en coordenadas cil´ ındricas x = r cos θ y = r sin θ z = z para la ecuaci´ on de Laplace. 3.11. Las figuras dadas a continuaci´ on corres- ponden a los gr´ aficos y las curvas de nivel de ciertas funciones. Llene la siguiente tabla es- cogiendo adecuadamente para cada funci´ on su gr´ afico y sus curvas de nivel (C.N.). Tenga algu- na estrategia v´ alida para argumentar el porqu´ e lo hace.

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Ejercicios complementarios sobre:

14.1 Varias variables14.3 Derivadas parciales14.4 Planos tangentes y aproximacion lineal

3.1. Hallar las segundas derivadas parciales,incluyendo las mixtas, para las funciones:

(a) f (x,y) =1

sin2 x+2ey

(b) f (x,y, z) = exyz

(c) f (x,y, z) = x2yz+ xy2z+ xyz2

(d) f (x,y, z) = xyz

3.2. El operador diferencial ∆ es conocido co-mo el laplaciano. En coordenadas cartesia-nas este operador aplicado a una funcion f =f (x,y, z) de clase C2 tiene la siguiente estructu-ra:

∆ f =∂ 2 f∂x2 +

∂ 2 f∂y2 +

∂ 2 f∂ z2

La ecuacion de Laplace para una funcion f declase C2 es: ∆ f = 0. Una funcion de clase C2

se llama armonica si satisface la ecuacion de laLaplace. Determine si las fucniones dadas sonarmonicas.

(a) f (x,y, z) = x2 + y2 + z2

(b) f (x,y, z) = x2 + y2 −2z2

(c) f (x,y, z) = x2 − y2 + z2

(d) f (x,y, z) =1√

x2 + y2 + z2

3.3. Encuentre la ecuacion del plano tangente ala superfcie

x2 −2y2 +5xz = 7

en el punto P

(−1,0,−6

5

).

3.4. Encuentre la ecuacion del plano tangente ala superfcie

x3 + y3 + z3 = 7

en el punto P(0,−1,2).

3.5. Encuentre la ecuacion de la recta normal ala superfcie

zey cosx = 1

en el punto P(π ,0,−1).

3.6. Encuentre un punto sobre la superficie

x3 −2y2 + z2 = 27

donde el plano tangente sea perpendicular a larecta

x = 3t −5

y = 2t +7

z = 1−√2t

3.7. Encuentre todos los puntos sobre el hiper-boloide

9x2 −45y2 +5z2 = 45

donde el plano tangente sea paralelo al plano

x+5y−2z = 7

3.8. Considere la superficie definida por laecuacion

x3z+ x2y2 + sin(yz)+3 = 0

En el punto P(−1,0,3) halle

(a) La ecuacion del plano tangente.(b) La ecuacion de la recta normal.

3.9. Demuestre que la recta normal a la super-ficie

x2 + y2 − z2 = 1

en el punto P(x0,y0, z0) intersecta el eje z.

3.10. Encuentre una expresion en coordenadascilındricas

x = rcosθy = r sinθz = z

para la ecuacion de Laplace.

3.11. Las figuras dadas a continuacion corres-ponden a los graficos y las curvas de nivel deciertas funciones. Llene la siguiente tabla es-cogiendo adecuadamente para cada funcion sugrafico y sus curvas de nivel (C.N.). Tenga algu-na estrategia valida para argumentar el porquelo hace.

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f (x,y) = Grafico C.N.(5x2 −3y2

)e−x2−2y2

2sin√

x2 + y2

x3 −3xy2

41+ x2 + y2

yx2e−x2−y2

− ln(x2 +5y2

)

2

10

-2 0 y-1

20

-10

40

z

x 1-2

60

2

A

2

1

-2 0

-0.1

y-1-10

0.0

x

z

1

0.1

-22

B

2

1-0.5-2 0

0.0

y

0.5

-1

1.0

-1

z

0

1.5

1x-22

C

2

1

-2 0

-10

y-1-10

0

x

z

1

10

-22

D

-10

-10

-2 zx

E

2

1

-2 0

1

y-1

2

-10

z

3

x 1-2

4

2

F

xK1.5 K1.0 K0.5 0 0.5 1.0 1.5

y

K1.5

K1.0

K0.5

0.5

1.0

1.5

a

xK2 K1 0 1 2

y

K2

K1

1

2

b

xK2 K1 0 1 2

y

K1.5

K1.0

K0.5

0.5

1.0

1.5

c

xK2 K1 0 1 2

y

K2

K1

1

2

d

xK2 K1 0 1 2

y

K1.0

K0.5

0.5

1.0

e

xK2 K1 0 1 2

y

K1.5

K1.0

K0.5

0.5

1.0

1.5

f