Problemas Capıtulo 2: Relatividad II

(Fecha de entrega: 28-1-2015; Fecha de recogida: 11-2-2015)

Problemas a entregar: 1, 3, 4 y 6.

1) Una partıcula inestable de masa en reposo M se desintregra en dos partıculas identicas,cada una de masa en reposo m. Obtener una expresion para las velocidades de las dospartıculas resultantes en el sistema de referencia del laboratorio si M esta en reposo en ellaboratorio.

2) Explicar por que un foton que colisiona con un electron libre no puede ser absorbido. Talreaccion sı que tiene lugar si el electron esta ligado en un atomo. ¿Por que sı puede ocurriren este caso?

3) En el sistema de referencia del laboratorio un proton con energıa total E colisiona conun proton en reposo. Encontrar la energıa cinetica mınima o energıa umbral del protonincidente para que la siguiente reaccion pueda tener lugar: p + p −→ p + p + π+ + π−.Calcular tambien la correspondiente velocidad mınima del proton incidente. Nota: la masade los piones es de 139.6 MeV/c2 y la del proton es 938.3 MeV/c2.

4) En un experimento en un acelerador, los bariones Λ0 se pueden identificar por su desin-tegracion Λ0 −→ π− + p ya que ambas partıculas finales dejan trazas en detectores comouna camara de niebla. En una desintegracion particular se miden los momentos del pion ydel proton y resultan ser 0.75 GeV/c y 4.25 GeV/c, respectivamente, y el angulo entre sustrayectorias es de 9o. Las masas del pion y del proton son 139.6 MeV/c2 y 938.3 MeV/c2. (a)Calcular la masa del Λ0. (b) En promedio, se observa que los bariones Λ0 con esta energıase desintegran a una distancia de 33.6 cm del punto de produccion. Calcular el tiempo devida media del Λ en el sistema de referencia en reposo con esta partıcula.

5) Encontrar el angulo maximo de apertura entre los fotones producidos en la desintegracionπ0 −→ γ + γ si la energıa del pion neutro es de 10 GeV. Nota: la masa del pion es mπ = 135MeV/c2.

6) El cohete de fotones. (a) Un nave espacial de masa M0 esta inicialmente en reposo enun cierto sistema de referencia en el espacio exterior. De repente, la nave comienza a expulsarfotones por su parte trasera. Como los fotones tienen momento lineal, la nave comienza aavanzar en la direccion contraria a los fotones por simple conservacion de momento. Lanave, por tanto, se ha convertido en un cohete de fotones. Demostrar que despues de ciertotiempo la nave habra alcanzado una velocidad dada por

v

c=

1− (M/M0)2

1 + (M/M0)2,

donde M es la masa restante de la nave en ese instante. (b) Si la fraccion de masa restantede la nave es M/M0 = 1/2, ¿cual es la velocidad que ha alcanzado la nave? (c) Invierte elresultado del apartado (a) para encontrar la formula para la fraccion de masa restante enfuncion de v/c. (d) Si la nave alcanza v = (4/5)c, ¿que fraccion de la masa inicial resta aun?

7) (a) Consideremos un objeto cuya velocidad es ~u = (ux, uy, uz) en un sistema de referenciainercial S y ~u′ = (u′

x, u′y, u

′z) en un sistema S ′ que se mueve con velocidad constante v con

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respecto a S a lo largo del eje x. Utilizar la ley relativista de adicion de velocidades parademostrar las siguientes relaciones:

u′x√

1− (u′)2/c2= γ

ux√1− u2/c2

− v√1− u2/c2

yu′

y,z√1− (u′)2/c2

=uy,z√

1− u2/c2,

donde γ = 1/√

1− v2/c2.

(b) Usar las relaciones del problema anterior para demostrar que las ecuaciones de trans-formacion del momento lineal y de la energıa entre dos sistemas de referencia inerciales S yS ′ que se mueven con una velocidad relativa v (a lo largo del eje x) vienen dadas por

p′x = γ(px −

vE

c2

); p′y = py; p′z = pz;

E ′

c= γ

(E

c− vpx

c

).

Nota: si comparamos estas ecuaciones con la transformacion de Lorentz correspondiente ax′, y′, z′, t′, nos damos cuenta de que las magnitudes px, py, pz, E/c se transforman del mismomodo que x, y, z, ct.

8) (a) Usar las ecuaciones de transformacion del problema anterior para derivar las expre-siones que describen el efecto Doppler relativista (ver seccion 1.5 de las notas del curso).Pista: usar para ello la relacion de Einstein que nos dice que la energıa de un foton vienedada por E = hf , donde h es la constante de Planck y f la frecuencia del foton. Estarelacion se discutira en el capıtulo 3.

(b) Utilizar las ecuaciones de transformacion del momento lineal y de la energıa derivadasen el problema anterior para demostrar que la expresion E2/c2−p2, donde p es el modulo delmomento lineal, es un invariante Lorentz, es decir, tiene el mismo valor en todos los sistemasde referencia inerciales. Demostrar ademas que esta expresion vale m2c2. Este resultado esvalido tanto si E y p son la energıa y el momento de una partıcula individual como si lo sonde un conjunto de ellas. ¿Sabrıas decir por que? Nota: este resultado es muy importante ypermite, en particular, obtener de forma muy sencilla una expresion para la energıa umbralde las reacciones en fısica de partıculas. Esto se discutira en el capıtulo 9 de este curso.

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