Ejercicios
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SOLVED EXERCISES
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CLOSED METHODS
BISECTIONFALSE POCISION
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Aproximar una raíz real positiva para la siguiente función con un ep< 0.01%
4016122)( 234 −+−−= xxxxxf
Bisection method
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1. si es necesario, hacemos la grafica para encontrar el intervalo a trabajar
2. Calculamos Xm: Xm: (xa+xb)/2
3. Con estos datos completamos la tabla:
Iteración a b f(a) f(b) f(a)*f(xr) Xr f(Xr) ep
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SOLUCION
1. observamos q la raiz se encuentra entre el
intervalo (n) 4-5 pues el signo cambia
2. Calculamos Xm:
Xm: (xa+xb)/2
Xm: (4.2 + 4.4)/2 = 4.3
n f(x)
0 -40
1 -37
2 -56
3 -73
4 -40
5 115
6 488
7 1199
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3. Con estos datos completamos la tabla:
Iteración a b f(a) f(b) f(a)*f(xr) Xr f(Xr) ep
1,000000 4,200000 4,400000 -21,486400 2,521600 219,459941 4,300000 -10,213900
2,000000 4,300000 4,400000 -10,213900 2,521600 104,323753 4,350000 -4,034744 1,149425
3,000000 4,350000 4,400000 -4,034744 2,521600 16,279157 4,375000 -0,804443 0,571429
4,000000 4,375000 4,400000 -0,804443 2,521600 0,647129 4,387500 0,846520 0,284900
5,000000 4,375000 4,387500 -0,804443 0,846520 -0,680977 4,381250 0,018035 0,142653
6,000000 4,375000 4,381250 -0,804443 0,018035 -0,014508 4,378125 -0,393954 0,071378
7,000000 4,378125 4,381250 -0,393954 0,018035 0,155200 4,379688 -0,188147 0,035676
8,000000 4,379688 4,381250 -0,188147 0,018035 0,035399 4,380469 -0,085103 0,017835
9,000000 4,380469 4,381250 -0,085103 0,018035 0,007243 4,380859 -0,033546 0,008917
Encontramos que en la interacción 9 el ep es menor que el 1 % por consiguiente la raíz de este problema es 4.38049
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4. la solución del problema es :
% ERROR 0,010000
a 4,200000
b 4,400000
raíz 4,380859
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Aplicando el método de la regla falsa, determine la raíz real mayor del polinomio:
Realizar el proceso iterativo hasta obtener un ep<0.015%
False position
36.9963.212965.167038.3)( 23 +−+−= xxxxf
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1. Graficamos la funcion para calcular el intervalos Xa - Xb
x f(x)-3 321,9201
-2,9 300,43824-2,8 279,92678-2,7 260,36348-2,6 241,72613-2,5 223,9925-2,4 207,14037-2,3 191,14752
-1 51,3233-0,9 45,026935-0,8 39,256506-0,7 33,989788-0,6 29,204561-0,5 24,8786-0,4 20,989683-0,3 17,515588-0,2 14,43409-0,1 11,722969
1,9 1,05630082 0,9896
2,1 0,80437322,2 0,47839762,3 -0,01054962,4 -0,68469122,5 -1,566252,6 -2,67744882,7 -4,04051042,8 -5,67765762,9 -7,6111132
3 -9,8631
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Haciendo algunos cálculos encontramos que la raíz se encuentra en el intervalo 2,1 – 2,2
= 2,2357235
f(a)= -3.7038(2.1)^3 + 16.2965(2.1)^2- 21.963(2.1) + 9.36 = 0,8043732
f(b)= -3.7038(2.5)^3 + 16.2965(2.5)^2- 21.963(2.5) + 9.36 = -1,56625
Procedemos a calcular el valor de fa y fb
2. Calculamos Xm:
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3. Completamos la tabla:
iteración a b f(a) f(b) Xm f(Xm) error
1 2,1 2,5 0,8043732 -1,56625 2,2357235 0,3235934
2 2,2357235 2,5 0,3235934 -1,56625 2,2809749 0,0960588 1,983864
3 2,2809749 2,5 0,0960588 -1,56625 2,2936316 0,025875 0,5518178
4 2,2936316 2,5 0,025875 -1,56625 2,2969855 0,0067855 0,1460116
5 2,2969855 2,5 0,0067855 -1,56625 2,2978612 0,0017669 0,0381107
6 2,2978612 2,5 0,0017669 -1,56625 2,298089 0,0004592 0,0099116
7 2,298089 2,5 0,0004592 -1,56625 2,2981482 0,0001193 0,0025753
8 2,2981482 2,5 0,0001193 -1,56625 2,2981635 3,099E-05 0,000669
9 2,2981635 2,5 3,099E-05 -1,56625 2,2981675 8,05E-06 0,0001738
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% ERROR 0,0001738
a 2,2981635
b 2,5
raíz 2,2981675
4. la solución del problema es :
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OPEN METHODS
SECANTPUNTO FIJONEWTON RAPHSON
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Secant1.El problema nos debe proporcionar dos valores iniciales , (Xi, Xi-1), para calcular Xi+1
2. Calcular Xi+1
3. Completar la tabla
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Aproxime una de las raíces reales de la siguiente ecuación por medio del método de la secante. Repita el proceso iterativo hasta obtener un ep<0.01%
Xi -0,800000
Xi-1 -1,800000
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1. Calculamos f(xi-1) , teniendo en cuenta los valores suministrados, (Xi, Xi-1):
f(Xi-1)= e^(-1,8)*sen(-1,8)-1/2(-1,8) = 0,739024
f(Xi)= e^(-0,8)*sen(-0,8)-1/2(-0,8) = 0,077671
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2. Calculamos la derivada de la función xi, f'(xi)
f'(xi) = f(xi) – f(xi-1) /( xi - xi-1) = -0,661353
3. Calculamos xi+1 =
xi+1 = xi – (f(xi)/ f'(xi) ) = -0,682557
4. Completamos la tabla:
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iteración xi-1 xi f(xi-1) f(xi) f'(xi) xi+1 ep
1,000000 -1,800000 -0,800000 0,739024 0,077671 -0,661353 -0,682557
2,000000 -0,800000 -0,682557 0,077671 0,022531 -0,469505 -0,634568 7,562517
3,000000 -0,682557 -0,634568 0,022531 0,002987 -0,407267 -0,627234 1,169198
4,000000 -0,634568 -0,627234 0,002987 0,000169 -0,384196 -0,626794 0,070258
5,000000 -0,627234 -0,626794 0,000169 0,000001 -0,380848 -0,626790 0,000618
6,000000 -0,626794 -0,626790 0,000001 0,000000 -0,380656 -0,626790 0,000000
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c
c 5. la solución del problema es :
% ERROR: 0,010000
Xi -0,800000
Xi-1 -1,800000
Raiz -0,626790
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fixed point method
1.El problema nos debe proporcionar un valor inicial , (Xi), para calcular g(x)
2. Calcular g(x)
3. Completar la tabla
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Obtener una raíz real de la siguiente función por el método de punto fijo Realizar el proceso iterativo hasta que se cumpla un ep<0.001%
23)( xexf x −=
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1. Graficamos la función =
x f(x)-4 -47,9816844-3 -26,9502129-2 -11,8646647-1 -2,632120560 11 -0,281718172 -4,61094393 -6,914463084 6,598150035 73,4131591
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2. Procedemos a despejar la ecuación =
g(x) = x luego 23)( xexf x −=
g(x1) = √ e^x /3 g(x2) = Ln(3x^2)o
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3. Completamos la tabla =x g1(x) error
3 3,29583687 3,29583687 3,48393252 5,398946573,48393252 3,59493567 3,087764533,59493567 3,65766448 1,714996343,65766448 3,69226194 0,937026013,69226194 3,71109081 0,507367653,71109081 3,72126399 0,273379763,72126399 3,72673908 0,146913493,72673908 3,72967951 0,078838693,72967951 3,7312569 0,042275183,7312569 3,73210258 0,02265968
3,73210258 3,73255583 0,012143023,73255583 3,7327987 0,006506513,7327987 3,73292884 0,00348612
3,73292884 3,73299856 0,001867773,73299856 3,73303592 0,001000683,73303592 3,73305593 0,00053612
x g2(x) error-1 0,35018064
0,35018064 0,68782845 49,08895640,68782845 0,8143281 15,53423680,8143281 0,86749798 6,12910712
0,86749798 0,89086965 2,623467160,89086965 0,90134128 1,161782220,90134128 0,90607291 0,522212840,90607291 0,90821904 0,236301820,90821904 0,90919415 0,107249350,90919415 0,90963754 0,04874336
0,90963754 0,90983922 0,022166940,90983922 0,90993097 0,010083670,90993097 0,90997272 0,004587610,90997272 0,90999172 0,002087280,90999172 0,91000036 0,0009497
Observamos que tanto g1(x) como g2(x) convergen
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Newton Raphson method
1. Este método nos proporciona un valor inicial para calcular xi+1
2. Calcular xi+1
3. Completar la tabla
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Obtener la raíz real negativa de la ecuación
por el método de Newton Raphson.Aproxime hasta que ep< 0.02%
0 2
x-sen x ef(x) x ==
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1. Graficamos la función =x f(x)
-2,000000 0,876940-1,900000 0,808463-1,800000 0,739024-1,700000 0,668839-1,600000 0,598190-1,500000 0,527429-1,400000 0,456991-1,300000 0,387400-1,200000 0,319275-1,100000 0,253343-1,000000 0,190440-0,900000 0,131523-0,800000 0,077671-0,700000 0,030091-0,600000 -0,009882-0,500000 -0,040786-0,400000 -0,061035-0,300000 -0,068927-0,200000 -0,062657-0,100000 -0,0403330,000000 0,0000000,100000 0,0603330,200000 0,1426550,300000 0,2489110,400000 0,3809440,500000 0,540439
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2. Calculamos la función
f'(X)= e^x*cosx+senox-0,5
3. Calculamos la derivada de la función
f(X)= e^x*senox-0,5
4. Completamos la tabla
3. Calculamos xi+1
Xi+1 = xi- (f(xi) / f’(xi))
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iteración xi f(xi) f´(xi) xi+1 error
1,000000 -0,800000 0,077671 -0,509278 -0,647488
2,000000 -0,647488 0,008062 -0,398250 -0,627245 3,227340
3,000000 -0,627245 0,000173 -0,381048 -0,626790 0,072475
4,000000 -0,626790 0,000000 -0,380655 -0,626790 0,000037
5,000000 -0,626790 0,000000 -0,380654 -0,626790 0,000000
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Error 0,020000
Xi -1,000000
Raiz -0,626790
5. la solución del problema es :
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Bibliography
Ejercicios resueltos, datos tabularios y gráficos Mancilla.Robin