Ejer 1-2 matematicas aplicadas

REGIONES EN EL PLANO COMPLEJO

EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS RESUELTOS

1) Dados los conjuntos de números complejos:

a) S = {–j, 0, –1, 2 + j} b) S = {j, j/2, j/3, j/4, ...}

c) Re(z) < –2 d) –1 Im(z) 1

e) 0 < arg(z) < /3 f) 1 3

g) 2 h) <

i) > 10

j) Segmento de recta cuyos extremos son z1 = 2 – j y z2 = 1 + j

k) 0 < Re(z) < 2 0 < Im(z) < 2

Determine en cada caso:

i) Cuáles son los puntos de acumulación ?ii) Cuáles son los puntos exteriores ?iii) Cuáles son los puntos frontera ? Determine además si estos conjuntos son:

iv) Abiertos o cerrados. v) Acotados.vi) Conexos. vii) Dominios.viii) Compactos. ix) Regiones.

Solución:

a) Representemos gráficamente al conjunto S = {–j, 0, –1, 2 + j} en el plano z (véase la figura 31).

i) El conjunto S no tiene puntos de acumulación.

ii) Todos los puntos del conjunto son exteriores.

iii) No tiene puntos frontera.

iv) El conjunto no es abierto ya que sus puntos no son puntos interiores. Si es cerrado, ya que no posee puntos de acumulación, y además su complemento es abierto.

v) Es acotado, ya que es posible dibujar algún entorno tal que S este contenido en el interior de dicho entorno. Por ejemplo, el entorno < 3 contiene al conjunto S.

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vi) No es conexo, ya que no es posible unir dos puntos de S mediante una poligonal que este contenida en S.

vii) No es un dominio, ya que ni es abierto ni es conexo.

viii) Es compacto, ya que es cerrado y es acotado.

ix) No es una región, ya que no es un dominio.

Figura 31:Conjunto S = {–j, 0, –1, 2 + j}

Figura 32:Conjunto S = {j, j/2, j/3, j/4, ...}

b) Nótese que el conjunto S = {j, j/2, j/3, j/4, ...} es una sucesión de números complejos (véase la figura 32).

i) El único punto de acumulación es z = 0.

ii) Todos sus puntos son exteriores.

iii) El único punto frontera es z = 0.

iv) El conjunto no es abierto ya que sus puntos no son interiores. Tampoco es cerrado ya que no contiene a su único punto de acumulación.

v) Es acotado, ya que el entorno < 2 contiene al conjunto S.

vi) No es conexo, ya que no es posible unir dos puntos a través de un camino poligonal contenido en S.

vii) No es un dominio, ya que ni es abierto ni es conexo.

viii) Es acotado pero no es cerrado, por ende no es compacto.

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ix) No es una región, ya que el conjunto no es un dominio.

c) Representemos gráficamente al conjunto Re(z) < –2:

Figura 33: Re(z) < –2

i) Todos los puntos del conjunto son puntos de acumulación, ya que todos los puntos del conjunto son interiores.

ii) No posee puntos exteriores.

iii) No contiene a los puntos frontera. Los puntos frontera están representados por una línea segmentada, Re(z) = –2.

iv) El conjunto es abierto, ya que todos sus puntos son interiores. No es cerrado, ya que no contiene a todos sus puntos de acumulación, puesto que no contiene a sus puntos frontera.

v) No es acotado, ya que no existe un círculo de radio finito que lo contenga.

vi) Es simplemente conexo.

vii) Es un dominio, ya que es abierto y es conexo.

viii) No es acotado ni es cerrado, por lo tanto no es compacto.

ix) Si es una región (región abierta), ya que es un dominio.

d) La figura 34 muestra la representación gráfica del conjunto –1 Im(z) 1.

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i) Todos sus puntos son puntos de acumulación. Nótese que el conjunto contiene solamente puntos interiores y puntos frontera.

ii) No tiene puntos exteriores.

iii) Si contiene a sus puntos frontera. Los puntos frontera están representados por las rectas Im(z) = –1 e Im(z) = 1.

iv) El conjunto no es abierto, ya que no todos sus puntos son interiores. Es cerrado, ya que contiene a todos sus puntos de acumulación, puesto que contiene a sus puntos interiores y a sus puntos frontera.

v) No es acotado. vi) Es simplemente conexo.

vii) No es un dominio, ya que no es abierto.

viii) No es acotado, por lo tanto no es compacto.

ix) Si es una región (región cerrada), ya que puede ser expresado como la unión de un dominio con todos sus puntos de acumulación.

Figura 34: –1 Im(z) 1 Figura 35: 0 < arg(z) < /3

e) El conjunto 0 < arg(z) < /3 se encuentra representado gráficamente en la figura 35.

i) Todos sus puntos son puntos de acumulación, ya que todos sus puntos son interiores.


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iii) No contiene a los puntos frontera. Los puntos frontera están representados por un par de líneas segmentadas, arg(z) = 0 y arg(z) = /3.

iv) El conjunto es abierto y no es cerrado.



viii) No es compacto, ya que no es acotado ni cerrado.


f) Es evidente que el conjunto 1 3 representa un anillo en el plano z, con centro en zo = 1 + j, radio menor igual a la unidad, y radio mayor igual a 3. Véase la figura 36.

Figura 36: 1 | z – 1 – j | 3

i) Todos sus puntos son puntos de acumulación.


iii) Si contiene a sus puntos frontera. Los puntos frontera están representados por las circunferencias = 1 y

= 3.

iv) No es abierto y si es cerrado.

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v) Es acotado, ya que por ejemplo el circulo < 4 contiene al conjunto dado.

vi) Es múltiplemente conexo. Nótese que, el círculo mas pequeño parece un agujero en el círculo mayor. Cuando un conjunto tiene un solo agujero, se dice que es doblemente conexo.


viii) Es cerrado y acotado, por lo tanto es compacto.

ix) Si es una región (región cerrada).

g) El conjunto 2 representa el complemento de un círculo con centro en el origen y radio igual a 2, (véase la figura 37).



iii) Si contiene a sus puntos frontera. Los puntos frontera están representados por la circunferencia = 2.

iv) No es abierto pero si es cerrado.

v) No es acotado.

vi) Es múltiplemente conexo (doblemente conexo).

vii) No es un dominio. viii) No es compacto.

ix) Si es una región (región cerrada), ya que puede ser expresado como la unión del dominio > 2 con todos sus puntos de acumulación.

h) La figura 38 muestra la representación gráfica del conjunto < .



iii) No contiene a los puntos frontera. Los puntos frontera están representados por una línea segmentada, = .

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Figura 37: | z | 2 Figura 38: | z + 2 + j | < | z – 2 – j |

iv) El conjunto es abierto. No es cerrado.



viii) No es compacto, ya que no es acotado ni es cerrado.


i) El conjunto > 10 representa a una elipse:

Figura 39: | z – j4 | < | z + j4 | > 10

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iii) No contiene a sus puntos frontera. Los puntos frontera están representados por la elipse = 10.

iv) Es abierto pero no es cerrado.

v) No es acotado.

vi) Es múltiplemente conexo (doblemente conexo). Nótese que el interior de la elipse se comporta como un agujero en el plano z.

vii) Es un dominio, ya que es abierto y conexo.

viii) No es acotado ni es cerrado, por lo tanto no es compacto.


j) La figura 40 muestra la representación gráfica del segmento de recta cuyos extremos son z1 = 2 – j y z2 = 1 + j.



iii) Todos sus puntos son puntos frontera.

iv) El conjunto no es abierto, ya que no tiene puntos interiores. Es cerrado, ya que contiene a todos sus puntos de acumulación, y además su complemento es abierto.

v) Es acotado, ya que puede ser inscrito en una circunferencia de radio finito.

vi) Es simplemente conexo.


viii) Es compacto, ya que es acotado y es cerrado.

ix) No es una región, ya que el conjunto dado no puede ser expresado como la unión de un dominio con ninguno, algunos o todos sus puntos de acumulación.

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Figura 40:Segmento de recta cuyos extremos

son z1 = 2 – j y z2 = 1 + j.

Figura 41:Intersección entre los conjuntos 0 < Re(z) < 2 y 0 < Im(z) < 2

k) La figura 41 muestra la representación gráfica de la intersección entre los conjuntos 0 < Re(z) < 2 y 0 < Im(z) < 2.



iii) No contiene a los puntos frontera. Nótese que la frontera está representada por líneas segmentadas (perímetro del cuadrado).

iv) El conjunto es abierto y no es cerrado.

v) Es acotado. Por ejemplo, el círculo < 3 contiene al conjunto.

vi) Es simplemente conexo. vii) Es un dominio.

viii) No es compacto, ya que no es cerrado.

ix) Si es una región, ya que es un dominio.

2) Representar en el plano complejo a cada uno de los siguientes conjuntos:

a) = 1 b) = 2

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c) < d) Im 0

e) < Re(z) +1

f) Re – < arg(z) < 0 < 1

Solución:

a) Aplicando la propiedad , se tiene que:

= 1

= 12

= 1

= 1

= 1

= 1

simplificando,j4 = 0

es decir,

igualando las partes real e imaginaria, se obtiene:

0 = 0

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Im(z) = 0

Por tanto, la solución es el eje real del plano z.

b) Aplicando nuevamente la propiedad , se tiene que:

= 2

= 22

= 4

= 4

= 4

= 4

simplificando y ordenando,

= 0

igualando las partes real e imaginaria, se obtiene:

= 0

10 = 0es decir,

= –4

Es evidente que la primera de estas dos ecuaciones no tiene solución, ya que, no existe algún número complejo z que satisfaga dicha ecuación, y en consecuencia, la solución es el conjunto

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vacío, y por lo tanto el conjunto dado no tiene representación en el plano complejo.

c) <

<

si hacemos z = x + jy, entonces:

<

como ambos miembros de la desigualdad son positivos x,y, podemos elevar al cuadrado a ambos lados:

<

simplificando,< 0

completando cuadrado en y:

x2 + (y + 6)2 < 32es decir,

|z – j6| <

las soluciones de esta desigualdad corresponden a los puntos de un círculo en el plano complejo, con centro en z = j6 y radio (véase la figura 42).

d) Im 0

si z = x + jy, entonces:

Im 0

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Figura 42: Región < Figura 43: Región Im

0

ordenando,

Im 0

desarrollando,

Im 0

Im 0

0

y finalmente se concluye que:

x 0 z 0 z –j2

es decir, la solución es la región Re(z) 0 con z –j2 (véase la figura 43).

e) < Re(z) + 1

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si decimos que z = x + jy, entonces:

< x + 1

< x + 1

como el miembro izquierdo de la desigualdad es positivo x,y, y además es menor que el miembro derecho, entonces ambos miembros siempre son positivos x,y, por lo tanto podemos elevar al cuadrado a ambos lados de la desigualdad:

x2 + (y – 3)2 < (x + 1)2

y simplificando,(y – 3)2 < 2x + 1

Nótese que la ecuación (y – 3)2 = 2x + 1 corresponde a una parábola horizontal en el plano z, tal como se muestra en la figura 44.

Figura 44: Parábola (y – 3)2 = 2x + 1

y la desigualdad (y – 3)2 < 2x + 1 corresponde a la región interior a dicha parábola.

f) Re – < arg(z) < 0 < 1

Acá tenemos la intersección de tres conjuntos. Vamos a determinar la representación gráfica de cada uno de ellos, para luego determinar la intersección y representarla en el plano z.

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En primer lugar, se tiene que:

Re

Re

Re

Re

2x x2 + y2

completando cuadrado en x, queda:

(x – 1)2 + y2 1

y su representación gráfica es mostrada en la figura 45.

Luego, el conjunto – < arg(z) < 0 es una región angular que equivale al semiplano inferior (sin incluir al eje real), véase la figura 46.

Figura 45: Región Re Figura 46: Región – < arg(z) < 0

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El tercer conjunto es: < 1

< 1

–1 < x < 1

el cual esta representado en la figura 47.

Figura 47: Región < 1

Finalmente, tenemos que la representación gráfica de la intersección de los tres conjuntos es la siguiente:

Figura 48: Región Solución de

Re – < arg(z) < 0 < 1

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