EJEMPLO 1Analicemos una empresa de dos productos bajo una competencia perfecta. Una característica de la competencia pura es que los precios se consideran como exógenos, por lo tanto la función de ingreso es:

Función de ingresos:

Función de Costos:

R

𝐶=2𝑄12+𝑄1𝑄2+2𝑄2

2

𝜋=𝑅−𝐶

Función de las utilidades:

𝜋=𝑃10𝑄1+𝑃20𝑄2−2𝑄12−𝑄1𝑄2−2𝑄2

2

𝜋=𝑃10𝑄1+𝑃20𝑄2−2𝑄12−𝑄1𝑄2−2𝑄2

2

Función de las utilidades:

𝜋 2( 𝛿𝜋𝛿𝑄2)=𝑃20−𝑄1−4𝑄2𝜋 1( 𝛿𝜋𝛿𝑄1

)=𝑃10−4𝑄1−𝑄2

𝜋 1=𝜋 2=0A finde satisfacer lacondici ónde primer orden para unmá ximodeπ , sedebe tener❑

P10 𝑄1+4𝑄2=P 20

𝑄1∗=

4𝑃10−𝑃20

15𝑄2

∗=4𝑃20−𝑃10

15

Resultados

(𝑄¿¿1∗ ,𝑄2∗)=(2 , 4 ) ¿

𝜋∗=48

𝑃1=−𝑄2−𝑄1+55 𝑃2=−2𝑄2−𝑄1+70

𝑃10=12 8

𝜋=𝑃10𝑄1+𝑃20𝑄2−2𝑄12−𝑄1𝑄2−2𝑄2

2

< 0

|𝐻 2|= (−4∗−4 )− (−1∗−1 )

𝐻|−4 −1−1 −4|

𝐻|𝜋 11 𝜋 22

𝜋 12 𝜋 22|

¿Se puede concluir que este problema posee un máximo absoluto único?

|𝐻 2|=15>0

𝜋 2( 𝛿𝜋𝛿𝑄2)=𝑃20−𝑄1−4𝑄2𝜋 1( 𝛿𝜋𝛿𝑄1

)=𝑃10−4𝑄1−𝑄2

La matriz hessiana es definida negativa, y la solución maximiza la ganancia.

EJEMPLO 2Desarrollaremos el problema de maximización al entorno de un mercado monopolista. La función de ingreso refleja el hecho de que los precios de los dos productos varían en base a su cantidad de producción. Supongamos que las demandas son:

Y su función de costos es:

𝑄1=40−2𝑃1+𝑃2 𝑄2=15+𝑃1−𝑃2

−2𝑃1+𝑃2=𝑄1−40𝑃1+𝑃2=𝑄2−15

𝑃1=−𝑄2−𝑄1+55

𝑃2=−2𝑄2−𝑄1+70

𝑅=𝑃1𝑄1+𝑃2𝑄2

Función de total de Ingresos

𝜋=𝑅−𝐶Función de las utilidades:

𝐶=𝑄12+𝑄1𝑄2+𝑄2

2

𝑅=−𝑄12+55𝑄1−2𝑄1𝑄2+70𝑄2−2𝑄2

2

𝜋=𝑅−𝐶𝜋=−2𝑄1

2+55𝑄1−3𝑄1𝑄2+7 0𝑄2−3𝑄22

𝜋 1=−4𝑄1−3𝑄2+55

𝜋 2=−3𝑄1−6𝑄2+70

𝜋 1=𝜋 2=0

4𝑄1+3𝑄2=55

La función simplificada de los Ingresos totales resulta:

La función de ganancia es:

Derivadas parciales de la función ganancia:

A finde satisfacer lacondici ónde primer orden para unmá ximodeπ , sedebe tener❑

3𝑄1+6𝑄2=70

Resultados

𝑃1∗=

1183

(𝑄¿¿1∗ ,𝑄2∗)=(8 , 23

3 )¿

𝑃2∗=

1 403

𝜋∗=1 465

3

𝑃1=−𝑄2−𝑄1+55 𝑃2=−2𝑄2−𝑄1+70

𝜋=−2𝑄12+55𝑄1−3𝑄1𝑄2+7 0𝑄2−3𝑄2

2

< 0

|𝐻 2|= (−4∗−6 )− (−3∗−3 )

𝐻|−4 −3−3 −6|

𝐻|𝜋 11 𝜋 22

𝜋 12 𝜋 22|

¿Se puede concluir que este problema posee un máximo absoluto único?

|𝐻 2|=15>0

El valor * representa la ganancia máxima. La matriz hessiana es definida negativa, lo cual significa que la función objetivo tiene un máximo absoluto único.

𝜋 1=−4𝑄1−3𝑄2+55 𝜋 2=−3𝑄1−6𝑄2+70

Ejemplo 3

• Usaremos ahora tres variables de elección, por ejemplo 3 mercados por separado. Además trabajaremos con formas generales en lugar de funciones numéricas. En este caso asumiremos que nuestra empresa monopolística tendrá ingresos totales y costos totales de la siguiente manera:

• Cada función de ingreso implica una particular estructura de demanda, que será generalmente diferente de las funciones de ingreso de los otros dos mercados. Por el lados de los costos, se establece una sola función dado que una sola empresa está produciendo para los tres mercados. El costo total está en función de Q1 , Q2 y Q3 , las cuales constituyen las variables de elección del modelo.

• Podemos reescribir C(Q) como C(Q1+Q2+Q3). Esto nos dejará como conclusión que no podremos considerar a la función como dependiente de un solo argumento, ya que ésta contiene tres variables independientes. Si la función aparece en la forma C(Q1+Q2+Q3), se contarán tantos argumentos como variables independientes.

• La función de beneficio será:

Las primeras parciales (para i=1,2,3) de la siguiente manera:

• Estableciendo simultáneamente que esto es igual a cero, obtendremos lo siguiente:

Que es igual a:

(Condición de maximización)

• El ingreso marginal en cualquier mercado está directamente relacionado con el precio en ese mismo mercado, entonces el ingreso marginal debe ser:

• La elasticidad es normalmente negativa, por lo que la relación entre ingreso marginal y precio puede ser expresada alternativamente por la ecuación

La elasticidad está en función de P, así que cuando se escoja un valor de Q* y P*, la elasticidad asumirá un valor específico (igual, menor o mayor a 1).

• El nivel de Q de la empresa debe ser aquel en el que el punto correspondiente de elasticidad es mayor a UNO.

• La primera condición de orden IMg1=IMg2=IMg3 se puede transformar en:

• Podemos inferir que mientras menor sea la elasticidad (al nivel de producción elegido) en un mercado, mayor será el precio (discriminación) y el beneficio se maximizará.

• Condición de segundo orden

• |H1|=I’’1-C<0; la pendiente de Img1 es menor que la del costo marginal de la producción total.

• |H2|=(I’’1-C’’)(I’’2-C’’)-(C’’)2>0 o I’’1I’’2-(I’’1+I’’2)C’’>0

• |H3|=I’’1I’’2I’’3-(I’’1I’’2+I’’1I’’3+I’’2I’’3)C’’<0

• La función de ingreso es cóncava, pero C(Q) es convexa, así que –C(Q) es cóncava, por lo que la función de beneficios (la suma de las funciones cóncavas) puede ser tomada como cóncava, pero es necesario tomar en cuenta la condición de segundo orden.

Ejemplo 4

• Ahora usaremos una función numérica. Una empresa monopolística tiene las siguientes funciones de ingreso promedio y costo:

• Funciones marginales

• Cuando igualamos cada ingreso marginal al costo marginal, obtenemos las siguientes cantidades de equilibrio:

• Segundas derivadas parciales

• P*1=39

• P*2=60

• P*3=45• La elasticidad punto es menor en el mercado

#2, en el cual se carga un mayor precio.

11.6 2.Una empresa de dos productos enfrenta las siguientes funciones de demanda y costos:

a) Encuentre los niveles de producción que satisfacen en la condición de primer orden para ganancia máxima (usa fracciones).

b) Compruebe la condición suficiente de segundo orden. ¿Se puede concluir que este problema posee un máximo absoluto único?

c) ¿Cuál es la ganancia máxima?

𝑄1=40−2𝑃1−𝑃2 𝑄2=35−𝑃1−𝑃2 𝐶=𝑄12+2𝑄2

2+10

−2𝑃1− 𝑃2=𝑄1−40𝑃1+𝑃2=−𝑄2+35

𝑃1=𝑄2−𝑄1+5

𝑃2=−2𝑄2+𝑄1+3 0

𝑅=𝑃1𝑄1+𝑃2𝑄2

Función de total de Ingresos

𝜋=𝑅−𝐶Función de las utilidades:

𝑅=−𝑄12+5𝑄1+2𝑄1𝑄2+30𝑄2−2𝑄2

2

𝜋=𝑅−𝐶

𝜋=−2𝑄12+5𝑄1+2𝑄1𝑄2+30𝑄2−4𝑄2

2−10

𝜋 1=−4𝑄1+2𝑄2+5

𝜋 2=2𝑄1−8𝑄2+30

𝜋 1=𝜋 2=0

4𝑄1−2𝑄2=5

La función simplificada de los Ingresos totales resulta:

La función de ganancia es:

Derivadas parciales de la función ganancia:

A finde satisfacer lacondici ónde primer orden para unmá ximodeπ , sedebe tener❑

−2𝑄1+8𝑄2=30

Resultados

𝑃1∗=

8514

(𝑄¿¿1∗ ,𝑄2∗)=( 25

7,6514 )¿

𝑃1=𝑄2−𝑄1+5 𝑃2=−2𝑄2+𝑄1+3 0

𝑃2∗=

1707

𝜋=−2𝑄12+5𝑄1+2𝑄1𝑄2+30𝑄2−4𝑄2

2−10

𝜋∗=480

7

< 0

|𝐻 2|= (−4∗−8 )− (2∗2 )

𝐻|−4 22 −8|

𝐻|𝜋 11 𝜋 22

𝜋 12 𝜋 22|

¿Se puede concluir que este problema posee un máximo absoluto único?

𝜋 1=−4𝑄1+2𝑄2+5 𝜋 2=2𝑄1−8𝑄2+30

|𝐻 2|=28>0

El valor * representa la ganancia máxima. La matriz hessiana es definida negativa, lo cual significa que la función objetivo tiene un máximo absoluto único.

11.7 Aspectos estáticos comparativos de la optimización

Soluciones de forma reducida

• En el ejemplo 1 de la sección 11.6 en el que hay 2 variables exógenas (P10 y P20 ) las cantidades optimas de producción se expresan de manera estricta:

• Su diferenciación parcial solo es suficiente para indicar las propiedades estáticas comparativas del modelo.

• Para la ganancia máxima, cada producto se debe producir en mayor cantidad si se eleva su precio de mercado o si cae el precio del otro producto.

Modelo de función general• Teorema de función implícita:• Se trabaja con las condiciones de optimización

de primer orden.• Tomemos el ejemplo 6 y coloquemos todos los

términos del lado izquierdo del igual y hagamos explicito que “Qa” y “Qb” son funciones de las variables endógenas “a” y “b” entonces las condiciones de primer orden son:

• Ahora supongamos que “F1” y “F2” poseen derivadas continuas.

• Que el jacobiano con respecto a las variables endógenas no se anulen en el equilibrio inicial.

• El jacobiano resultante es el determinante hessiano de la función “π” del ejemplo 6.

• Condición suficiente (2º orden) de máximo local estricto= Hf(x*) definida negativa

• Si se satisface la condición entonces: tanto |H| y |J| deben ser positivas en el equilibrio u óptimo.

• En este caso las funciones implícitas son:

• El par de identidades:

• Para estudiar la estática comparativa del modelo, se toma la diferencial total, en donde todavía se tiene variaciones en las variables exógenas y se despejan los términos que contienen da* y db*

• Si se observa en la ecuación anterior se aprecia que los términos de la izquierda son los elementos del jacobiano (11.46)

• Posteriormente se selecciona una sola variable exógena, una a la vez, en este caso Po, causando que su derivada sea diferente de cero mientras que las demás son iguales a cero, si se divide entre dPo se forma una ecuación matricial

• De esta manera se encuentra la solución con la regla de Cramer

• Otro método para obtener la estática comparativa es diferencias las dos identidades del 11.48 respecto a Po (manteniendo fijas las otras variables exógenas) y tomando en cuenta que Po afecta a a*y b*.

En cuanto a los signos de las derivadas estáticas comparativas • Suponiendo que se cumple la condición de segundo orden, el

jacobiano debe ser positivo, mientras que Qaa y Qbb son negativas.

• La condición de primer orden indica que Qa y Qb son positivas así como la expresión

• Si Qab>0 se concluye que y serán positivas lo cual indica que un incremento en el precio del producto causara un mayor uso en los insumos en el equilibrio.

• Mientras que Qab<0 el signo de casa derivada dependerá de la resistencia relativa de las fuerzas positivas y negativas de la expresión en paréntesis a la derecha

• http://externos.uma.es/cuadernos/pdfs/papeles35.pdf