UNAD México, Noviembre 2014

Gpe. Rodríguez

Procesos Estocásticos

Ejemplos de Estacionalidad

Estacionalidad� Teorema: Toda matriz estocástica P tiene como valor propio a λ=1, es decir, existe un vector π tal que:

π= λ πP

Donde λ=1 siendo π un vector renglón

� Una cadena de Markov es estacionaria si su distribución de probabilidad incondicional πn tiende a mantenerse constante a largo plazo, cuando n tiende a infinito independientemente en que estado se inicie. Esto significa que las probabilidades se estabilizan en el tiempo.

EstacionalidadSe sabe que:

πn= πn-1PAhora

π= lim πnn→∞

Entoncesπ= lim πn-1P

n→∞Si hay estacionalidad

lim πn-1=πn→∞

Por tanto

π= πP

Estacionalidad� Aunque se continúe multiplicando por la matriz P el vector π

ya no cambia. El vector π es el vector característico de la matriz P correspondiente al valor característico λ=1

� Para obtener π basta con resolver el sistema de ecuaciones:

π= πPAgregando la restricción adicional

Σ π(x)=1x∈S

Para λ1=1

π(0)=0.3π(0)+0.5π(1)π(1)=0.7π(0)+0.5π(1)

π(0)+π(1)=1Despejando π(0)=5/12 y π(1)=7/12

Ejemplos

=

5.05.0

7.03.0(1)) ),0(((1)) ),0(( ππππ

=

5.05.0

7.03.0P

0 1

0.3

0.7

0.50.5

05.05.0

7.03.0=

−

−

λ

λ

� Ejemplo 1

Encontrando los valores propios

(0.3-λ)(0.5-λ)-(0.35)=0

0.15-0.8λ+λ2-0.35=0

λ2 -0.8λ-0.2=0

(λ-1)(λ+0.2)=0 ∴λ 1=1 λ 2=-0.2

EjemplosSi multiplicamos

Supongamos que iniciamos en ceroπ0=(1,0)π1=(0.3,0.7)π3=(0.44,0.56)

.

.

.

)12

7 ,

12

5(

5.05.0

7.03.0)

12

7 ,

12

5( =

El 42% del tiempo se pasará en el estado 0 y el 58% en el estado 1

¿Qué pasará si iniciamos

en 1?

Ejemplos

absoluta Movilidad 01

10P

=

0 1

1

1

001

10=

−

−

λ

λPara λ1=1

π(0)=π(1)π(1)=π(0)π(0)+π(1)=1

Despejando π(0)=1/2 y π(1)=1/2

� Ejemplo 2

Encontrando los valores propios

λ2 -1=0

∴λ 1=+1 λ 2=-1

=

01

10(1)) ),0(((1)) ),0(( ππππ

El orden es 2 en las raíces de 1 en este caso nos indican periodicidad de

orden 2.

EjemplosSi multiplicamos

Supongamos que iniciamos en unoπ0=(0,1)π1=(1,0)π3=(0,1)

.

.

.

)2

1 ,

2

1(

01

10)

2

1 ,

2

1( =

El 50% del tiempo se pasará en el estado 0 y el 50% en el estado 1

¿Qué pasará si iniciamos

en 0?

Ejemplos

10

10P

=

0 1

1

1

010

10=

−

−

λ

λPara λ2=1

π(0)=0π(1)=π(0)+ π(1)π(0)+π(1)=1

Despejando π(0)=0 y π(1)=1

� Ejemplo 3

Encontrando los valores propios

λ2 -λ-0=0

λ(λ-1)=0

∴λ 1=0 λ 2=1

=

10

10(1)) ),0(((1)) ),0(( ππππ

EjemplosSi multiplicamos

Supongamos que iniciamos en ceroπ0=(1,0)π1=(0,1)π3=(0,1)

.

.

.

1) ,0(10

101) ,0( =

El 0% del tiempo se pasará en el estado 0 y el 100%

en el estado 1 (estado absorbente)

¿Qué pasará si iniciamos

en 1?

Ejemplos

10

01P

=

0 1

1

1

010

01=

−

−

λ

λPara λ1=1

π(0)= π(0)π(1)= π(1)π(0)+π(1)=1

Solución múltiple, no es estacionario.

� Ejemplo 4

Encontrando los valores propios

(1-λ)2=0

λ2 -2λ+1=0

∴λ 1=1 λ 2=1

=

10

01(1)) ),0(((1)) ),0(( ππππ

Dos raíces iguales a la

unidad indica dos estados

absorbentes y dos clases finales

EjemplosSupongamos que iniciamos en cero

π0=(1,0)

π1=(1,0)

π3=(1,0)

.

.

.

¿Qué pasará si iniciamos

en 1?

� Ejemplo 5

Encontrando los valores propios

-λ3 +1=0

λ3=1

∴λ 1=1 λ 2=1 λ 3=1

Ejemplos

3)orden de dad(Periodici Absoluta Movilidad

001

100

010

P

=0 1

1

1

0

001

100

010

=

−

−

−

λ

λ

λ

Para λ1=1

π(0)=π(2)π(1)=π(0)π(2)= π(1)

π(0)+π(1)+ π(2)=1Despejando π(0)=1/3, π(1)=1/3,

π(2)=1/3

=

001

100

010

(2)) (1), ),0(((2)) (1), ),0(( ππππππ

21

El orden es 3, indica que el periodo es 3

EjemplosSi multiplicamos

Supongamos que iniciamos en el estado 2

π0=(0,0,1)π1=(1,0,0)π3=(0,1,0)

.

.

.

1/3) 1/3, 1/3,(

001

100

010

1/3) 1/3, 1/3,( =

El 33% estaremos en cada

estado

Periodicidad de orden 3

� Ejemplo 6

Encontrando los valores propios

-λ(1-λ)(1-λ)(1-λ)=0

∴λ 1=0 λ 2=1 λ 3=1, λ 4=1

Ejemplos

0000

0100

0010

4.04.02.00

P

=

0

1

11

0

1000

0100

0010

4.04.02.0

=

−

−

−

−

λ

λ

λ

λPara λ2=1

π(0)=0π(1)=0.2 π(0)+ π(1)π(2)=0.4π(0)+ π(2)π(3)=0.4 π(1)+ π(3)

π(0)+π(1)+ π(2)+ π(3) =1Solución Múltiple, no es estacionario, la distribución a largo plazo depende en que

estado se inicie

=

1000

0100

0010

4.04.02.00

(3)) (2), (1), ),0(((3)) (2), (1), ),0(( ππππππππ

21

2

0.20.4

0.4

3 raíces igual a 1(3 clases finales: 3 estados absorbentes)

� Ejemplo 7

Encontrando los valores propios

(0.5-λ)(-λ(0.5-λ)-0.5)=0

(0.5-λ)(-0.5λ+λ2-0.5)=0

(0.5-λ) (λ-1) (λ-0.5)=0

∴λ 1=0.5 λ 2=1 λ 3=-0.5

Ejemplos

5.05.00

100

05.05.0

P

=

0

2

0

5.05.00

100

05.05.0

=

−

−

−

λ

λ

λ

Para λ2=1

π(0)=0.5π(0)π(1)=0.5π(0)+ 0.5π(2)π(2)= π(1)+0.5 π(2)π(0)+π(1)+ π(2)=1

Despejando π(0)=0, π(1)=1/3, π(2)=2/3

=

5.05.00

100

05.05.0

(2)) (1), ),0(((2)) (1), ),0(( ππππππ

1

{1,2} Recurrentes

{0} Transitorio

Clase final

Un sólo valor característico

igual 1 significa una sola clase

final

EjemplosSi multiplicamos

Supongamos que iniciamos en el estado 0

π0=(1,0,0)π1=(0.5,0.5,0)π3=(0.25,0.25,0.5)

.

.

.

2/3) 1/3, 0,(

5.05.00

100

05.05.0

2/3) 1/3, 0,( =

El 33% estaremos en el estado 1 y el 66% en el

estado 2 y 0 en el estado 0

La distribución a largo plazo es única y no depende del estado inicial

¿Qué pasará si iniciamos en 1 o 2?

� Ejemplo 8

Encontrando los valores propios

-λ(λ2-1)=0

∴λ 1=0 λ 2=1 λ 3=-1

Ejemplos

010

100

5.05.00

P

=

0

2

0

10

100

5.05.00

=

−

−

−

λ

λ

λ

Para λ2=1

π(0)=0π(1)=0.5π(0)+ π(2)π(2)= 0.5π(0)+π(1)π(0)+π(1)+ π(2)=1

Despejando π(0)=0, π(1)=1/2, π(2)=1/2

=

010

100

5.05.00

(2)) (1), ),0(((2)) (1), ),0(( ππππππ

1

{1,2} Recurrentes

{0} Transitorio

Clase final

Un sólo valor característico

igual 1 significa una sola clase

final de orden 2 (periodicidad 2)

EjemplosSi multiplicamos

Supongamos que iniciamos en el estado 0

π0=(1,0,0)π1=(0,0.5,0.5)π3=(0,0.5,0.5)

.

.

.

1/2) 1/2, 0,(

010

100

5.05.00

1/2) 1/2, 0,( =

El 50% estaremos en el estado 1 y 2, y 0 en el

estado 0

¿Qué pasará si iniciamos en 1 o 2?

Observaciones Generales� Toda matriz estocástica P tiene al menos un valor

característico λ=1� El número de valores característicos iguales a uno es igual al

número de clases finales de la cadena.� El número de valores característicos raíces de la unidad

(λ5=1) indica el orden de la periodicidad. La periodicidad de orden 1 implica aperiodicidad.

� Cuando hay más de una clase final existen múltiples soluciones para el vector de distribución a largo plazo π.

� Cuando hay periodicidad el estado a largo plazo depende en realidad del estado inicial y del número de transición.