Ejemplos de Deflexion de Vigas
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7/18/2019 Ejemplos de Deflexion de Vigas
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ESTUDIO DE VIGAS
1.1 DEFLEXIÓN DE UNA VIGA1.1.1. VIGA.- En ingeniería y arquitectura se denoina !iga a un e"eento constructi!o
"inea" que tra#a$a %rinci%a"ente a &"e'i(n. En "as !igas "a "ongitud %redoinaso#re "as otras dos diensiones y sue"e ser )ori*onta".En "as !igas "a "ongitud %redoina so#re "as otras dos diensiones y sue"e ser
)ori*onta".E" es&uer*o de &"e'i(n %ro!oca tensiones de tracci(n y co%resi(n+%roduci,ndose "as 'ias en e" cord(n in&erior y en e" cord(n su%erior res%ecti!aente+ "as cua"es se ca"cu"an re"acionando e" oento &"ector y e"segundo oento de inercia. En "as *onas cercanas a "os a%oyos se %roducenes&uer*os cortantes. a#i,n %ueden %roducirse tensiones %or torsi(n+ so#retodo en "as !igas que &oran e" %eríetro e'terior de un &or$ado.Estructura"ente e" co%ortaiento de una !iga se estudia ediante un ode"ode %risa ecnico.
Figura /1.
1.0 EE DE 2I3E45A
Un e$e de sietría es una "ínea iaginaria que a" di!idir una &ora cua"quiera+ "o)ace en dos %artes cuyos %untos o%uestos son equidistantes entre sí+ es decir+quedan si,tricos
1
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Viga deformada por flexiónFigura /0.
6ara una !iga e"stica en "a que se a%"ican s("o oentos M 1 y M 0+ "a &ora de "acur!a e"stica de%ende s("o de dos %aretros inde%endientes+ "a &oraa%ro'iada de "a de&orada de%ender de" !a"or y signo re"ati!o de estosoentos+ siendo un caso tí%ico e" ostrado en "a &igura adyacente. Escri#iendo "a"ey de oentos &"ectores %ara "os %untos interedios de "a !iga y escogiendo "as
condiciones de contornos ""egaos a "a ecuaci(n di&erencia" siguiente7
2
2 112
( ) 1
z
M M d v x M x
dx EI L
− = + ÷
2 1
2 1
( ) (0)
( ) (0)
v L v
v L v L
δ δ δ
δ θ θ
− = − = ′ ′− = − =
La so"uci(n ana"ítica de ecuaci(n anterior con cua"quiera de "os dos %osi#"ese"ecciones de contorno+ se o#tiene coo7
3 2 3 2
2 1 23 2 3 2
3 5 2 3( ) ( )
x x x x x xv x L L
L L L L L Lθ θ θ
= − − + − + − + ÷ ÷
CAPÍTULO II: ECUACIONES DIE!ENCIALES LINEALES
0.1 E8UA8I9NE2 DIFE4EN8IALE2 LINEALE2De "a ecuaci(n Di&erencia" Linea" de orden n7
( ) ( 1)
1 1 0( ) ( ) ... ' ( )n n
n na x y a x y a y a y f x−−+ + + + = : 1( )α
Donde( ) 0na x ≠
8uando n;1+ se o#tiene7
1 0( ) ( ) ( )dy
a x a x y f xdx
+ = + 1( ) 0a x ≠ :. 2( )α
L"aada E8UA8IÓN DIFE4EN8IAL LINEAL DE 64I3E4 94DEN+
Donde 1 0, ,a a f son &unciones so"aente de ' o constantes.
2
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Di!idiendo a "a ecuaci(n 2( )α %or 1( ) 0a x ≠ 7
2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
a xdy f x y
dx a x a x+ =
( ) ( )dy
p x y q xdx
+ = : 3( )α
( ), ( ) p x q x 2on &unciones de ' o constantes
La ecuaci(n 3( )α se ""aa ecuaci(n di&erencia" "inea" de %rier orden en y.
2i ( ) 0q x = + "a ecuaci(n 3( )α se ""aa ecuaci(n di&erencia" "inea" )oog,nea+ caso
contrario es no )oog,neo+ y es una ecuaci(n de !aria#"e se%ara#"e+ cuya so"uci(nes7
( ) ( ) ( )dy
p x dx Ln y p x dx y
= − → = −∫
( ) p x dx y ke −∫ =
2i ( ) 0q x ≠ + "a ecuaci(n 3( )α
( ) ( )dy
p x y q xdx
+ = + se ""aa ecuaci(n di&erencia" "inea" no )oog,nea+ no es
E'acta+ %or tanto se #usca un &actor integrante %ara su so"uci(n.
2i ( ) I x es un &actor integrante so"o de ' a "a ecuaci(n 3( )α "o e'%resaos %or7
[ ]( ) ( ) 0 p x y q x dx dy− + = : 4( )α
A)ora u"ti%"icado %or ( ) I x
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) 0 I x p x y q x dx I x dy− + = Es una ecuaci(n di&erencia" e'acta+ %or tanto
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ( )) ( )
p x dx
I x p x q x I x
y x
dI x I x e p x
dx
dI x p x dx Ln I x p x dx
dx
∂ − ∂=
∂ ∂
∫ = =
= = → =∫ ∫ ∫
E&ectuando
3
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( )( ) ( )
dI x I x p x
dx= + de donde agru%ando se tiene7
( )( )
dI x p x dx
dx=
Integrando res%ecto a '
( )( ) ( ( )) ( )
dI x p x dx Ln I x p x dx
dx= → =∫ ∫ ∫
De donde
( )( )
p x dx I x e∫ = + I<X=7 es e" &actor de integraci(n.
3u"ti%"icando a "a ecuaci(n 4( )α %or I<X=7
[ ]( ) ( )
( ) ( ) 0 p x dx p x dx
e p x y q x dx e dy∫ ∫ − + =
Agru%ando+ teneos7
( ) ( ) ( )( ) ( )
p x dx p x dx p x dxe p x ydx e dy e q x dx∫ ∫ ∫ + =
( ) ( )( )
p x dx p x dxd e y e q x dx
∫ ∫ = ÷
Integrando
( )( )( )
p x dx p x dxe y e q x dx c
∫ ∫ = +∫ De donde
( )( )( )
p x dx p x dx
y e e q x dx c− ∫ ∫ = + ∫
Es "a so"uci(n genera" de "a ecuaci(n 3( )α
E"emplo#4eso"!er7
2 2 2(1 ) (1 ) 2 (1 ) 2 tandy
x Ln x xy Ln x xArc xdx
+ + − = + −
donde / 2 y π → − + cuando x → ∞
4
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Sol$%iónDndo"e "a &ora de ecuaci(n di&erencia" "inea"+ se o#tiene7
2 2 2 2 2
2 1 2 tan
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
dy x xArc x y
dx x Ln x x x Ln x− = −
+ + + + +
Donde
2 2
2( )
(1 ) (1 )
x p x
x Ln x= −
+ ++ 2 2 2
1 2 tan( )
(1 ) (1 ) (1 )
xArc xq x
x x Ln x= −
+ + +
Luego su so"uci(n es.
( )( )( )
p x dx p x dx y e e q x dx c
− ∫ ∫ = + ∫
2 2 2 2
2 2
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 2 2
1 2 tan
(1 ) (1 ) (1 )
x xdx dx
x Ln x x Ln x xArc x
y e e dx c x x Ln x
− −−
+ + + +
∫ ∫ = − + ÷+ + + ∫
( )( ) ( )( )22 ln 1ln 1
2 2 2
1 2 tan
(1 ) (1 ) (1 )
Ln x Ln x xArc x y e e dx c
x x Ln x
− ++ = − + ÷+ + +
∫
2
2 2 2 2 2
1 2 tan(1 )
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
xArc x y Ln x dx c
x Ln x x Ln x
= + − + ÷+ + + +
∫
2
2
rctan(1 )
(1 )
A x y Ln x d dx c
Ln x
= + + ÷+
∫
2
2
rctan(1 )
(1 )
A x y Ln x c
Ln x
= + + +
8oo / 2 y π → − + cuando x → ∞ + entonces 0c =
rctan y A x=
&#& !EDUCCI'N DE O!DEN5
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&#&#( ECUACI'N DIE!ENCIAL DE )E!NOULLI 2i "a ecuaci(n di&erencia" no es "inea"+ se de#e )acer "a trans&oraci(n a "inea"+ uno de"os ,todos es reso"!er una ECUACI'N DIE!ENCIAL DE )E!NOULLI# >ue es de "a&ora siguiente7
( ) ( ) ndy
p x y q x ydx
+ = + 1n ≠ :.. 5( )α
( ) ( )
dy
p x y q xdx + = : 3( )α
8oo se o#ser!a dic)a ecuaci(n no es "inea" + %riero de#e trans&orarse en unaecuaci(n di&erencia" "inea".
2E8UEN8IA A 2EGUI47
1?.- A "a ecuaci(n 5( )α u"ti%"icar"o %or n y−
1( ) ( )n ndy y p x y q x
dx
− −+ = ::.. 6( )α
0?.- 3u"ti%"icando a 6( )α
%or(1 )n
−1(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( )n ndy
n y n p x y n q xdx
− −− + − = − ... 7( )α
@?.- 2i 1 n z y −= +entonces (1 ) ndz dyn y
dx dx
−= − : 8( )α
?.- 4ee%"a*ar 8( )α en 7
( )α 7
(1 ) ( ) (1 ) ( )dz
n p x z n q xdx
+ − = − : 9( )α
Donde 9( )α ya es una ecuaci(n di&erencia" "inea" en * de %rier orden.
E"emplo4eso"!er 33 (1 3 )tdq q tSent q sent dt = + − :< β =
2o"uci(n. A dic)a ecuaci(n se "e trans&ora a ecuaci(n di&erencia" de Bernou""i+ %ara "uego
trans&orar"o a una Ecuaci(n Di&erencia" Linea". ( ) ( ) ndq p t q r t q
dt + = + 1n ≠ +
Esto es7
413
dq tSent Sent q qdt t t +− = − : 10( )α
Donde
10( )α es una ecuaci(n di&erencia" de Bernou""i+
1( )
3
tSent p t
t
+= − C ( )
Sent r t
t = −
4 4nq q n= → =
3u"ti%"icando ecuaci(n 10( )α %or 4q−
6
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4 4 4 41
3
dq tSent Sent q q q q q
dt t t
− − −+− = −
4 31
3
dq tSent Sent q q
dt t t
− −+− = − :. 11( )α
3u"ti%"icando %or 1-n;1-; -@ a "a ecuaci(n 11( )α
4 313 3
dq tSent Sent q q
dt t t
− −+− + = :. 12
( )α
2ea 3 43dz dq
z q qdt dt
− −= → = − : 13( )α
A)ora ree%"a*ando 13( )α en 12
( )α 7
13
3
dz tSent Sent z
dt t t
++ = : 14
( )α
14α es una ecuaci(n di&erencia" "inea" en * de %rier orden.
Donde a" reso"!iendo en &ora ana"ítica se tiene que7
1 3( ) ; ( )
tSent Sent p t q t
t t
+= =
cuya so"uci(n es7
( )( )( )
p t dt p t dt z e q t e dt c
− ∫ ∫ = + ∫ 1
13
tSent dt tSent
dt t
t
Sent
z e e dt ct
++
− ∫ ∫ = + ∫
( )
( ) 3 Lnt Cost
Lnt Cost Sent z e e dt c
t
−− −
= + ∫
3Cost
Cost e z e c
t
− = + e" iso que coincide con e" o#tenido con 3at)eatica.
A)ora sustituios 3 z q−= 7
3 3Cost
Cost eq e c
t
− − = + es "a so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" < β =
7
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&#&#&# ECUACI'N DIE!ENCIAL DE !ICCATI
La ecuaci(n di&erencia" de 4iccati es de "a &ora7
2( ) ( ) ( )dy
p x y q x y r xdx
= + + : 1( ) ρ
a" que ( ), ( ), ( ) p x q x r x son &unciones so"o de '.La idea a seguir+ es de tras&orar"o a "a &ora de una ecuaci(n de Bernou""i+ %ara"uego trans&orar"o a una ecuaci(n di&erencia" "inea".En e&ecto "a ecuaci(n 1( ) ρ no se %uede reso"!er %or e" ,todo de Bernou""i+ ni es
ecuaci(n di&erencia" "inea"+ sin e#argo si se conoce una so"uci(n %articu"ar+entonces se %uede encontrar "a so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia".2u%oniendo que ( ) y xψ = es una so"uci(n %articu"ar+ entonces se %uede )a""ar "aso"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" )aciendo
( ) y x z ψ = +
Donde z es una &unci(n inc(gnita que se !a deterinar con "a ayuda de "a ecuaci(ndi&erencia".
Es decir
'( ) ( )dz dz
y x z xdx dx
ψ ψ = + → = + :. 2( ) ρ
4ee%"a*ando 2( ) ρ en 1( ) ρ 7
[ ] [ ] 2' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dz x p x x z y q x x z r x
dxψ ψ ψ + = + + + + :. 3( ) ρ
4eordenando t,rinos se o#tiene7
[ ] 2 ' 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dz
p x x q x z q x z x p x x q x x r xdx
ψ ψ ψ ψ − + − + − − − =
Luego' 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x p x x q x x r xψ ψ ψ − − − = :. 3( ) ρ
dado que ( ) y xψ = es una so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" de 4iccati.
En consecuencia
[ ] 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0dz
p x x q x z q x z dx
ψ − + − =
[ ] 2( ) 2 ( ) ( ) ( )dz
p x x q x z q x z dx
ψ − + = : 4( ) ρ
8
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De donde se o#ser!a que 4( ) ρ ya es una ecuaci(n di&erencia" de Bernou""i. 6or tanto
se %uede trans&orar a una ecuaci(n di&erencia" "inea".
E"emplo4eso"!er "a ecuaci(n di&erencia"7
2
2
1 11
dy y y
dx x x= + − : 5( ) ρ
donde una de "as so"uciones es y x=
Sol$%ión
La ecuaci(n di&erencia" 5( ) ρ es de 4iccati+ es decir es de "a &ora 1( ) ρ +
Donde
1( ) p x
x= +
2
1( )q x
x= + ( ) 1r x = + son &unciones que de%enden so"o de ' . Asiiso
( ) y x xψ = = es una so"uci(n %articu"ar.
2ea
( ) y x x z ψ = = +
La so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" dada+ donde z es una &unci(n %or deterinar.
1dy dz
y x z dx dx
= + → = + : 6( ) ρ
4ee%"a*ando 6( ) ρ en 5
( ) ρ 7
[ ] [ ] 2
2
1 11 1
dz x z x z
dx x x+ = + + + −
2i%"i&icando se o#tiene7
2
2
3 1dz z z
dx x x− = : 7( ) ρ
Donde o#ser!aos c"araente que es una ecuaci(n di&erencia" de Bernou""i+ %orquetiene "a &ora de7
( ) ( ) ndz a x z b x z
dx+ = + 1n ≠
Donde
9
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3( )a x
x= − C
2
3( )b x
x= + 2n =
3u"ti%"icando %or 2 z − 2 z −
2 1
2
3 1dz z z
dx x x
− −− = : 8( ) ρ
3u"ti%"icando %or 1-n;1-0; -1 a "a ecuaci(n 8( ) ρ
2 1
2
3 1dz z z
dx x x
− −− + = −
2ea 1 2dw dz w z z
dx dx
− −= → = − : 9( ) ρ
A)ora ree%"a*ando 9( ) ρ en 8( ) ρ 7
2
3 1dww
dx x x− = − : 10( ) ρ es una ecuaci(n di&erencia" "inea" en de %rier orden+
10( ) ρ es una ecuaci(n di&erencia" "inea" en * de %rier orden
A)ora reso"!iendo en &ora ana"ítica se tiene7
2
3 1( ) ; ( ) p x q x
x x= − = −
cuya so"uci(n es7
( )( )( )
p x dx p x dxw e q x e dx c
− ∫ ∫ = + ∫ 3
3
2
1 dx
dx x xw e e dx c
x
−− − ∫ ∫ = − +
∫
( 3 )
3
2
1 Lnx
Lnx
w e e dx c x
−
= − + ∫ 3
4
1
4w x c
x
= + : 11( ) ρ
10
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4ee%"a*ando 1w z −= se tiene7
1 3
4
1
4 z x c
x
− = + : 12
( ) ρ
6ero1 y x z w z −= + → = : 13( ) ρ
13( ) ρ en 12
( ) ρ 7
1 3
4
1( )
4 y x x c
x
− − = +
Es "a so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" 5( ) ρ .
CAPÍTULO III: *ODELACI'N CON ECUACIONES DIE!ENCIALES DE O!DEN SUPE!IO!
3.1 ECUACIONES DIE!ENCIALES LINEALES: P!O)LE*AS DE VALO!ES ENLA !ONTE!A + DELE,I'N DE UNA VIGA + VIGA E*POT!ADA#
8on &recuencia+ "a descri%ci(n atetica de un sistea &ísico requiere "aso"uci(n de una ecuaci(n di&erencia" su$eta a condiciones en "a &ronteraC es decir condiciones es%eci&icadas %ara "a &unci(n desconocida o una de sus deri!adas+ einc"uso %ara una co#inaci(n de "a &unci(n desconocida y una de sus deri!adas+en dos o s %untos distintos.
De-.ia%ión de $na .iga#/ 3uc)as estructuras se construyen a #ase de !igasque se des!ían o distorsionan %or su %ro%io %eso o %or "a in&"uencia de a"guna&uer*a e'terna. 6ues a)ora estudiareos esta des!iaci(n78onsidereos dic)a des!iaci(n %or ( ) y x "a isa que esta deterinada %or unaecuaci(n di&erencia" "inea" de cuarto orden.
Asuiendo que una !iga de "ongitud L es )oog,nea y tiene secci(ntrans!ersa" uni&ore en toda su "ongitud. 8uando no reci#e carga a"guna+inc"uyendo su %ro%io %eso+ "a cur!a que une "os centroides de sus seccionestrans!ersa"es es una recta que se ""aa e"e de -ime0r1a <Fig. /1=.
11
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Figura 1@
2i a "a !iga se "e a%"ica una carga en un %"ano !ertica" que contenga quecontenga a" e$e de sietría+ su&re una distorsi(n y "a cur!a que une "os centroidesde "as secciones trans!ersa"es se ""aa %$r.a de de-.ia%ión2 %$r.a el3-0i%a2 osi%"eente el3-0i%a# La e"stica a%ro'ia "a &ora de "a !iga. 2u%ongaos quee" e$e x coincide con e" e$e de sietría y que la de-.ia%ión <o fle%4a= ( ) y x +
edida desde e" e$e+ es %ositi!a si es )acia a#a$o. En teoría de "a e"asticidad sedeuestra que e" oento &"e'ionante ( ) M x en un %unto x a "o "argo de "a
!iga+ se re"aciona con "a carga %or unidad de "ongitud ( )w x ediante "a siguienteecuaci(n7
2
2 ( )
d M w x
dx= 1
( )γ
Ades e" oento &"e'ionante ( ) M x es %ro%orciona" a "a cur!a+ κ + de "ae"stica7
( ) M x EI κ =
Donde E e I son constantes+ E es e" (du"o de oung de e"asticidad de"ateria" de "a !iga e I es e" oento de inercia de "a secci(n trans!ersa" de ,sta<res%ecto de un e$e ""aado e$e neutro=. E" %roducto EZ se denoina rigide5 ala flexión de "a !iga.De acuerdo a" c"cu"o di&erencia"+ "a cur!atura es7
32 2
''
1 ( ')
y
y
κ = +
2( )γ
8uando "a des!iaci(n ( ) y x es %equea es %equea+ "a %endiente ' 0 y ≈ + deodo que7
32 21 ( ') 1 y + ≈
2i '' yκ = + entonces e" oento &"e'ionante se trans&ora en '' M EIy= .La segunda deri!ada de esta ecuaci(n es7
2 2 4
2 2 4''
d M d d y EI y EI
dx dx dx
= = 3( )γ
4e%"a*ando resu"tado de 1( )γ en 3( )γ y !eos que "a des!iaci(n ( ) y x satis&ace
"a siguiente ecuaci(n di&erencia"7
4
4 ( )
d y EI w x
dx= 4( )γ
12
7/18/2019 Ejemplos de Deflexion de Vigas
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Las condiciones en "a &rontera asociados a esta ecuaci(n de%enden de "a &oraen que estn sostenidos "os e'treos de "a !iga. Una !iga en !o"adi*o <encanti"i!er= est empo0rada en un e'treo y "i#re en e" otro. E" a"a de un a!i(n+un #ra*o e'tendido+ "as astas de #anderas+ "os rascacie"os son e$e%"oscounes de !igas en !o"adi*o y "os oentos %ueden tra#a$ar coo !igas en!o"adi*o+ ya que estn e%otrados en su #ase y su&ren "a &uer*a de" !iento+ que"os tiende a &"e'ionar. 6ara una !iga en !o"adi*o+ "a des!iaci(n ( ) y x de#esatis&acer "as dos condiciones siguientes en e" e'treo e%otrado en 0 x = 7
a= (0) 0 y = + %orque no )ay des!iaci(n en ese "ugar+ y#= '(0) 0 y = + %orque "a cur!a de des!iaci(n es tangente a" e$e x <es decir+ "a%endiente de "a cur!a de des!iaci(n es cero en ese %unto=.
8uando x L= "as condiciones de" e'treo "i#re son7a= ''( ) 0 y L = + %orque e" oento &"e'ionante es cero
#= '''( ) 0 y L = + %orque "a &uer*a cortante es cero.
La &unci(n73
3( )
dM d y F x EI
dx dx
= = 5( )γ
2e ""aa &uer*a cortante. 2i un e'treo de una !iga est -implemen0e apo6ado<a esto ta#i,n se "e ""aa e#isagrado+ articu"ado o e%ernado=+ se de#ecu%"ir que (0) 0 y = y ''(0) 0 y = en ese e'treo.
A continuaci(n se uestra una ta#"a de "as condiciones en "a &rontera asociadas
con "a ecuaci(n 4( )γ 7
Ex0remo- deLa .iga
Condi%ione- enLa fron0era
E%otrado (0) 0 y = + '(0) 0 y =
Li#re ''(0) 0 y = + '''(0) 0 y =
2i%"eentea%oyado
(0) 0 y = + ''(0) 0 y =
E7E*PLO/ VIGA E*POT!ADA#
Una !iga de "ongitud L est e%otrada en a#os e'treos. Deterine "a
des!iaci(n de esa !iga si sostiene una carga constante+ 0w + uni&oreente
distri#uida en su "ongitudC esto es 0( )w x w= + 0 x L< < .
Sol$%ión2egn "o que aca#aos de %"antearC "a des!iaci(n ( ) y x satis&ace a
13
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4
04
d y EI w
dx= 6( )γ
Dado que "a !iga est e%otrada en su e'treo i*quierdo < 0 x = = y en sue'treo derec)o ( ) x L= + no )ay des!iaci(n !ertica" y "a e"stica es )ori*onta" eesos %untos. De esta anera "as condiciones en "a &rontera son7
(0) 0, '(0) 0, ( ) 0, '( ) 0 y y y L y L= = = =
6odeos reso"!er deterinando c y teniendo en cuenta que 0m = es una raí* de
u"ti%"icidad cuatro de "a ecuaci(n au'i"iar 4 0m = + "uego deterinaos una
so"uci(n %articu"ar p y %or e" ,todo de coe&icientes indeterinados. a#i,n
%odeos reso"!er integrando cuatro "a ecuaci(n74
0
4
wd y
dx EI = 7( )γ
2e o#tiene coo so"uci(n genera"7
2 3 401 2 3 4( )
24
w y x c c x c x c x x
EI = + + + + 8( )γ
8on "as condiciones (0) 0, '(0) 0 y y= = se o#tiene 1 20 0c y c= = +
2in e#argo "as otras condiciones restantes ( ) 0, '( ) 0 y L y L= = a%"icados a "aecuaci(n7
2 3 403 4( )
24
w y x c x c x x
EI = + + 9( )γ
Dan origen a7
2 3 403 4
2 303 4
024
2 3 0
6
wc L c L L
EI
wc L c L L
EI
+ + =
+ + = 10( )γ
4eso"!iendo e" sistea 10( )γ se o#tiene7
2
0 03 4
24 12
w L w Lc y c
EI EI
−= = 11( )γ
H En consecuencia "a des!iaci(n es714
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( )2
22 3 4 20 0 0 0( )24 12 24 24
w L w L w w y x x x x x x L
EI EI EI EI = − + = − 12( )γ
2i 0 24 1w EI L= ∧ = + se o#tiene "a gr&ica de "a cur!a e"stica de "a &igura 1
Figura 1
8#& VALO!ES P!OPIOS 9 UNCIONES P!OPIAS EIGENVALO!ES 9EIGENUNCIONES;En "as a%"icaciones e'isten uc)os %ro#"eas+ que son %ro#"eas de !a"or en "a&rontera en dos %untos+ donde inter!iene una ecuaci(n di&erencia" que contieneun %aretro λ . 2e trata de )a""ar "os !a"ores de λ %ara "os cua"es e" %ro#"eade !a"or en "a &rontera tenga so"uciones no tri!ia"es.
E"emplo: De Sol$%ione- No Tri.iale- De Un Pro<lema De Valor En Laron0era#
4eso"!er e" %ro#"ea de !a"or en "a &rontera
'' 0, (0) 0, ( ) y y y y L cl λ + = = =
Sol$%ión#8onsidereos tres casos7 0, 0 0 yλ λ λ = < >
CASO I# 2i 0λ = + "a so"uci(n de '' 0 y = es7
1 2 y c x c= +
Las condiciones (0) 0, ( ) 0 y y L= = i%"ican 2 10 0c y c= = + %or tantocuando 0λ = + "a nica so"uci(n a" %ro#"ea de !a"or en "a &rontera es "a tri!ia"
0 y = .
CASO II# 2i 0λ < +1 2 y c Cosh x c Senh xλ λ = − + − +
De (0) 0 y = se o#tiene 1 0c = y así2 y c Senh xλ = − .
15
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La segunda condici(n+ ( ) 0 y L = o#"iga a que2 0c Senh xλ − = . Dado que +
se de#e cu%"ir 2 0c = C %or consiguiente+ 0 y = .
CASO III# 8uando 0λ > + so"uci(n genera" de '' 0 y yλ + = es7
1 2 y c Cos x c Sen xλ λ = + .
coo (0) 0, y = se o#tiene 1 0c = + %ero ( ) 0, y L = i%"ica que7
2 0c Senh xλ = .2i 2 0c = + se o#tiene 0 y = C e%ero si 2 0c ≠ + entonces 0Sen xλ = . 2in
e#argo "a "tia condici(n indica que e" arguento de "a &unci(n seno )a de ser un "ti%"o entero de π 7
L nλ π = es decir2 2
2 , 1, 2, 3,...
nn
L
π λ = =
6or "o tanto+ %ara todo rea" 2c di&erente de cero+ 2
n x y c Sen
L
π = ÷
es una
so"uci(n de" %ro#"ea %ara cada n . Dado que "a ecuaci(n di&erencia"+ es)oog,nea+ no necesitaos escri#ir 2c si así "o deseaosC es decir+ %ara un
nero dado de "a sucesi(n
2 2 2
2 2 2
4 9, , ,...
L L L
π π π
La &unci(n corres%ondiente en "a sucesi(n
2 3, , ,...Sen x Sen x Sen x
L L L
π π π
Es una so"uci(n no tri!ia" de" %ro#"ea origina".
Los neros2 2
2 , 1, 2, 3,...n
nn
L
π λ = = %ara "os que e" %ro#"ea de !a"or en
"a &rontera de" e"emplo an0erior tiene so"uciones no tri!ia"es se ""aan .alore-%ara%0er1-0i%o- o .alore- propio-#
Las so"uciones con res%ecto a esos !a"ores den
λ coo2n
n x y c Sen
L
π = ÷
o
si%"eente n
n x y Sen
L
π = ÷
se ""aan &unciones características+ &unciones
%ro%ias.
16
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8#8 CU!VATU!A DE UNA COLU*NA VE!TICAL ES)ELTA#
En e" sig"o !III Leon)ard Eu"er &ue uno de "os %rieros ateticos enestudiar un %ro#"ea de !a"ores %ro%ios a" ana"i*ar c(o se cur!a una co"unae"stica es#e"ta soetida a una &uer*a a'ia" de co%resi(n.E'ainando una co"una !ertica" "arga y es#e"ta de secci(n trans!ersa" uni&orey "ongitud L . 2ea ( ) y x "a cur!atura de "a co"una a" a%"icar"e una &uer*a !ertica"de co%resi(n+ o carga+ " + en su e'treo su%erior !er Figura 1. A" co%arar "os oentos &"e'ionantes en cua"quier %unto de "a co"una se o#tiene7
2
2
d y EI "y
dx= − es decir
2
2 0
d y EI "y
dx+ =
Donde E es e" (du"o de e"asticidad de oung e I es e" oento de inercia deuna secci(n trans!ersa" con res%ecto a una recta !ertica" %or e" centroide.
Figura 1
E"emplo: De Pro<lema !ela%ionado Con Valore- Propio-#
Deterinar "a des!iaci(n de una co"una )oog,nea+ de"gada y !ertica" dea"tura L + soetida a una carga a'ia" " constante. La co"una se encuentraarticu"ada en sus dos e'treos.
Sol$%ión#E" %ro#"ea de !a"or en "a &rontera que se de#e reso"!er es7
2
2 0, (0) 0, ( ) 0
d y EI "y y y L
dx+ = = =
0 y = es una so"uci(n !a"ida %ara este %ro#"ea+ "o que indica que si "a carga "
no es su&icienteente grande+ entonces no )ay de&"e'i(n. Luego J%ara qu,
17
7/18/2019 Ejemplos de Deflexion de Vigas
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!a"ores de " se cur!a "a co"unaK. En t,rino ateticos7 J%ara qu, !a"oresde " e" %ro#"ea de !a"or en "a &rontera tiene so"uciones no tri!ia"esK
aciendo "a sustituci(n "
EI λ = se o#tiene7
'' 0, (0) 0, ( ) 0 y y y y Lλ + = = =
Es id,ntica a" %ro#"ea de so"uciones no tri!ia"es de un %ro#"ea de !a"or en "a
&rontera+ en e" caso III de este %ro#"ea se o#ser!a que "as cur!as de des!iaci(nson7
2( )n
n x y x c Sen
L
π = ÷
+ que corres%onden a "os !a"ores %ro%ios
2 2
2 , 1, 2, 3,...n
n
" nn
EI L
π λ = = =
Esto quiere decir &ísicaente+ que "a co"una se des!ía s("o cuando "a &uer*a de
co%resi(n tiene uno de "os !a"ores
2 2
2 , 1, 2, 3,...n
n EI " n
L
π = =
Estas &uer*as se ""aan %arga- %r10i%a-. La cur!a de de&"e'i(n que corres%onde
a "a ínia carga crítica+2
1 2
EI "
L
π = se denoina %arga de E$ler y es
1 2( ) x
y x c Sen L
π = ÷
C esta &unci(n se conoce coo primer modo de
de-.ia%ión.
En "a siguiente &igura !eos "as cur!as de des!iaci(n de" %resente e$e%"o+ que
corres%onden %ara 1, 2 3n n y n= = = . 2i "a co"una origina" tiene a"gn ti%o de
restricci(n &ísica o guía en2
L x = + "a carga crítica ínia ser
2
2 2
4 EI "
L
π = + y
"a cur!a de de&"e'i(n ser "a de "a &igura<=. 2i %onen guías a "as co"unas en
3
L x = y en
2
3
L x = + "a co"una no se des!iar sino )asta a%"icar"e "a carga
crítica2
3 2
9 EI "
L
π = y "a cur!a de des!iaci(n ser "a que se i"ustra en "a &igura
%; . JD(nde se de#erían %oner guías en "a co"una %ara que "a carga de Eu"er
sea 4 " K
18
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Figura 1M
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)I)LIOG!AÍA
1. 8our#(n+ $ 4esistencia de 3ateria"esEd. Agui"ar 2.A 3adrid Es%aa. 1OMP.
0. 8.. Edards+ r. Ecuaciones Di&erencia"es E"eenta"es Da!id E. 6enney 6ro#"eas con condiciones en "a &rontera.
20
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6rentice-i"". is%anoaericana 2.A3e'ico 1OO@.
@. Dennis G. Qi"" Ecuaciones Di&erencia"es con A%"icacionesde ode"ado 3ode"aci(n.Internatriona" )oson Editores. 2.A.Bogot 0///.
. Erin Rreys*ig 3ateticas A!an*adas %ara Ingeniería.Editoria" Liusa+ 2.A. de 8.V.3e'ico.0//0.
. Fit*gera"ds+ 4o#ert S. 3ecnica de 3ateria"es Gru%o editor A"&a y9ega+ 2.A. de 8.V. 3e'ico.1OOM.
M. an . ua 6). D. eoría y %ro#"eas de An"isisEstructructura"Ed. 3c. Gra-i"". Inc-U2A.1OT/.
T. e&&ery 6.Lai#"e An"isis Estructura"
Ed. 3c. Gra-i"". Interaericana3e'ico 1OO0.
P. 4o#ert L. Borre""i Ecuaciones Di&erencia"es una 6ers%ecti!a 8ourtney 2. 8o"ean de 3ode"aci(n.
Uni!ersity 6ress3e'ico 2.A de 8.V.
O. 4ousse" 8. i##e"er An"isis Estructura"Ed. 6rentice-i"". is%anoaericana 2.A3e'ico 1OOM.
1/. 4ousse" 8. i##e"er Ingeniería 3ecnica - EstticaEd. 6rentice-i"". is%anoaericana 2.A3e'ico 1OOM.