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MATEM ´ ATICAS 3 o ESO. UD6. APLICACI ´ ON DE SISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS DE M ´ OVILES 14 de abril de 2013 1.PROBLEMAS DE CRUCES Sean dos cuerpos que van a velocidades v y w, respectivamente. Se encuentran inicialmente a una distancia D. Si salen simult ´ aneamente uno al encuentro del otro EN SENTIDO CONTRARIO. ¿En qu ´ e momento se encontrar ´ an? ¿Qu´ e distancia habr ´ a recorrido cada cuerpo? SALEN A LA VEZ DESDE LUGARES DISTINTOS. Llamemos t al momento en que se encuentran.Llamemos x la distancia recorrida por el primer cuerpo. Entonces, se cumple: t = x v t = D - x w Esto es un sistema con inc´ ognitas x y t.Haci´ endolo directamente por igualaci ´ on, obtenemos la siguiente ecuaci ´ on para x: x v = D - x w Multiplicando en cruz, obtenemos: xw = v(D - x) Es decir: xw = vD - vx Sacando factor com ´ un x se obtiene: x(w + v)= vD Y, por fin, despejando x se obtiene: 1
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MATEMATICAS 3o ESO. UD6. APLICACION DESISTEMAS DE ECUACIONES. PROBLEMAS DE
MOVILES
14 de abril de 2013
1.PROBLEMAS DE CRUCES
Sean dos cuerpos que van a velocidades v y w, respectivamente. Seencuentran inicialmente a una distancia D. Si salen simultaneamenteuno al encuentro del otro EN SENTIDO CONTRARIO. ¿En que momentose encontraran? ¿Que distancia habra recorrido cada cuerpo?SALEN A LA VEZ DESDE LUGARES DISTINTOS.Llamemos t al momento en que se encuentran.Llamemos x la distanciarecorrida por el primer cuerpo.Entonces, se cumple:
t =x
v
t =D − x
w
Esto es un sistema con incognitas x y t.Haciendolo directamente porigualacion, obtenemos la siguiente ecuacion para x:
x
v=
D − x
w
Multiplicando en cruz, obtenemos:
xw = v(D − x)
Es decir:
xw = vD − vx
Sacando factor comun x se obtiene:
x(w + v) = vD
Y, por fin, despejando x se obtiene:
1
x =vD
w + v
Ya solo nos falta obtener t usando la primera formula escrita:
t =vDw+v
v
Es decir:
t =D
w + v
RECAPITULANDO, CON ESTAS FORMULAS CALCULAMOS:t, x, D-x que son, respectivamente, tiempo de encuentro, distancia re-corrida por el primer cuerpo, distancia recorrida por el segundo cuerpo.
2.PROBLEMAS DE ALCANCES SI EL DATO ES LA DISTANCIA DEVENTAJA
Sean dos cuerpos que van a velocidades v y w, respectivamente. Seencuentran inicialmente a una distancia D. Si salen simultaneamenteuno al encuentro del otro. ¿En que momento se encontraran? ¿Que dis-tancia habra recorrido cada cuerpo?SALEN A LA VEZ DESDE LUGARES DISTINTOSCon la misma nomenclatura de antes, tenemos el siguiente sistema deecuaciones:
t =x
v
t =D + x
w
Otra vez, por igualacion obtenemos:
x
v=
D + x
w
xw = v(D + x)
xw = vD + vx
xw − vx = vD
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x(w − v) = vD
x =vD
w − v
t =vDw−v
v
t =D
w − v
Como no podrıa ser de otra manera, solo si
w > v
se produce encuentro, es decir, el problema tiene solucion.RECAPITULANDO, CON ESTAS FORMULAS CALCULAMOS:t, x, D+x que son, respectivamente, tiempo de encuentro, distancia re-corrida por el primer cuerpo, distancia recorrida por el segundo cuerpo.
3.PROBLEMAS DE ALCANCES SI EL DATO ES EL TIEMPO DEVENTAJA
Sean dos cuerpos que van a velocidades v y w, respectivamente. Saleprimero el de velocidad v y T tiempo despues sale el otro a velocidad w.¿En que momento se encontraran? ¿Que distancia habran recorrido?SALEN DESDE EL MISMO LUGAR EN TIEMPOS DIFERENTESContinuamos con la misma idea:
t =x
v
t− T =x
w
Despejando t de esta ultima ecuacion, obtenemos:
t =x
w+ T
Igualando cada ecuacion que tiene t, obtenemos:
x
v=
x
w+ T
x
v− x
w= T
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x(1
v− 1
w) = T
x(w − v
vw) = T
x =T
w−vvw
x =Tvw
w − v
Hemos obtenido x, vamos a obtener ahora t
t =Tvww−v
v
t =Tw
w − v
Aunque hemos despejado t, realmente lo que se nos pide es el tiempoen que se alcanzan, es decir, t-T
t− T =Tw
w − v− T
t− T =Tw − Tw + Tv
w − v
t− T =Tv
w − v
RECAPITULANDO, CON ESTAS FORMULAS CALCULAMOS:t-T, x que son, respectivamente, tiempo de encuentro y distancia reco-rrida.
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